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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（贵州2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2021秋·贵州毕节·高二毕节市第一中学校考阶段练习）已知向量＝(2m＋1，3，m－1)，＝(2，m，－m)，且，则实数m的值等于（ ）
A． B．－2
C．0 D．或－2
2．（2020·贵州贵阳·贵阳一中校考模拟预测）已知，则“直线与平行”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
3．（2022秋·贵州六盘水·高二校考阶段练习）已知斜三棱柱所有棱长均为2，，点 满足，，则（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2022秋·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习）已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023春·贵州贵阳·高二校考开学考试）设x，,向量，且，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
6．（2020春·贵州铜仁·高一贵州省铜仁第一中学校考期末）点到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．（2022秋·贵州遵义·高二遵义市第五中学校考期中）在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知直线与圆：交于两点，若为等腰直角三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·贵州六盘水·高二校考阶段练习）已知向量，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）方程表示圆的充分不必要条件可以是（ ）
A． B．或
C． D．
11．（2022秋·贵州贵阳·高二校考期中）如图，已知，分别是正方体的棱和的中点，则（ ）
A．与是异面直线
B．与所成角的大小为
C．与平面所成角的余弦值为
D．二面角的余弦值为
12．（2022秋·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2021秋·贵州贵阳·高二贵阳六中校考期中）设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为 .
14．（2022秋·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）若直线和直线互相垂直，则实数k的值为 ．
15．（2022秋·贵州六盘水·高二校考阶段练习）在长方体中，，，，若是与的交点，，则 .
16．（2021秋·贵州·高二贵州师大附中校考阶段练面的法向量，平面的法向量，已知，则 .
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2023春·贵州贵阳·高二校考开学考试）已知顶点
(1)求边上中线所在的直线方程
(2)求边上高线所在的直线方程．
18．（2019秋·贵州遵义·高二遵义航天高级中学校考期中）已知直线： ().
（1）证明：直线过定点；
（2）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为(为坐标原点)，求的最小值并求此时直线的方程．
19．（2023春·贵州贵阳·高二校考开学考试）已知的顶点，直角顶点为，顶点在轴上，求：
(1)顶点的坐标；
(2)外接圆的一般方程.
20．（2022秋·贵州黔西·高二校考期中）如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，，，，.
(1)证明：平面；
(2)在线段CM（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
21．（2018春·贵州遵义·高二遵义航天高级中学阶段练习）如图，在四棱锥P—ABCD中，已知PC⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝1，E是PB上一点．
(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若E是PB的中点，且二面角P—AC—E的余弦值是，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
22．（2022秋·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习）如图， 在直三棱柱中，.
(1)求证：；
(2)若为的中点，三棱锥的体积为，线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由.
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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（贵州2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2021秋·贵州毕节·高二毕节市第一中学校考阶段练习）已知向量＝(2m＋1，3，m－1)，＝(2，m，－m)，且，则实数m的值等于（ ）
A． B．－2
C．0 D．或－2
【答案】B
【分析】利用空间向量平行的坐标表示，即可求得结果.
【详解】当m＝0时，=(1，3，－1)，＝(2，0，0)，
与不平行，∴m≠0，∵，
∴，解得m＝－2.
故选：B
2．（2020·贵州贵阳·贵阳一中校考模拟预测）已知，则“直线与平行”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
【答案】A
【分析】根据直线的平行，斜率相等，截距不等即可解决.
【详解】若直线与平行，
则，即，当，时，
两直线方程为，，此时两直线重合，
故“直线与平行”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
【点睛】本题考查充分必要条件，考查直线的位置关系，是基础题.
3．（2022秋·贵州六盘水·高二校考阶段练习）已知斜三棱柱所有棱长均为2，，点 满足，，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】以向量为基底向量，则，根据条件由向量的数量积的运算性质，两边平方可得答案.
【详解】以向量为基底向量，
所以
所以
故选：D
4．（2022秋·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习）已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围.
【详解】直线的方程可化为，由，可得，
所以，直线过定点，
设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则，
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
因为直线经过点，且与线段总有公共点，
所以，即，
又斜率，所以
因为，所以或，
故直线的倾斜角的取值范围是．
故选：D．
5．（2023春·贵州贵阳·高二校考开学考试）设x，,向量，且，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据向量的垂直和平行列出相应的方程组，解得的值，可得答案.
【详解】由得： ，解得，
故，
故选：A.
6．（2020春·贵州铜仁·高一贵州省铜仁第一中学校考期末）点到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求直线恒过的定点，将点到直线的距离的最大值转化为两点间距离.
【详解】直线恒过点，,
点到直线距离，
即点到直线距离的最大值为.
故选：B
7．（2022秋·贵州遵义·高二遵义市第五中学校考期中）在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以点P为坐标原点，以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求出直线PN和BM的方向向量代入公式即可得出答案.
【详解】以点P为坐标原点，以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
令，则，，，，
则，，
设异面直线PN和BM所成角为，则.
故选：B.
8．（2021·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知直线与圆：交于两点，若为等腰直角三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出圆的圆心和半径，根据已知条件可得圆心到直线的距离等于，即可求解.
【详解】由可得：，
所以圆心，半径，
由为等腰直角三角形知，
圆心到直线的距离，
所以，解得，
故选：D.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·贵州六盘水·高二校考阶段练习）已知向量，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算判断作答.
【详解】向量，，则，A正确；
显然，B正确；
由数量积的定义得，C错误；
显然，则，即有，D错误.
故选：AB
10．（2022秋·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）方程表示圆的充分不必要条件可以是（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】CD
【分析】先求方程表示圆的充要条件，再根据集合的包含关系可得正确的选项.
【详解】可化为：，
因为该方程表示圆，故即或，
即方程表示圆的充要条件为或.
因为，均为的真子集，
不是的真子集，
故，均为方程表示圆的充分不必要条件，
故选：CD.
11．（2022秋·贵州贵阳·高二校考期中）如图，已知，分别是正方体的棱和的中点，则（ ）
A．与是异面直线
B．与所成角的大小为
C．与平面所成角的余弦值为
D．二面角的余弦值为
【答案】ABD
【分析】根据异面直线的概念可判断A，建立空间直角坐标系，用向量的方法可判断BCD．
【详解】根据异面直线的概念可得“平面内一点与平面外一点的连线，与此平面内不经过该点的直线是异面直线异面直线”可知A正确；
以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，， ， ， ，
所以， ，
设与所成角的大小为，
则，
所以，故B正确；
由题意可知，平面的法向量可取，
，
设与平面所成角为，则，
所以与平面所成角的正弦值为，故C错误；
， ，
设平面的法向量为，
则，
令，得，
同理可得平面的法向量，
则，
又因为二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为，故D正确.
故选：ABD．
12．（2022秋·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【答案】ACD
【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2021秋·贵州贵阳·高二贵阳六中校考期中）设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为 .
【答案】/
【分析】由列方程，化简求得的值.
【详解】∵，，，
∴，
又∵A，C，D三点共线，∴，
∵，不共线，∴，
∴，∴.
故答案为：
14．（2022秋·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）若直线和直线互相垂直，则实数k的值为 ．
【答案】1或
【分析】根据两直线垂直的条件列方程求解．
【详解】由题意，解得或，
故答案为：1或．
15．（2022秋·贵州六盘水·高二校考阶段练习）在长方体中，，，，若是与的交点，，则 .
【答案】/0.25
【分析】利用空间向量基本定理分解即可.
【详解】如图：
因为
，所以，，所以.
故答案为：
16．（2021秋·贵州·高二贵州师大附中校考阶段练面的法向量，平面的法向量，已知，则 .
【答案】0
【分析】由可得，可设，可得出关于、、的方程组，解出这几个未知数的值，进而可求得的值.
【详解】，则，设，
则，解得，因此，.
故答案为：.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2023春·贵州贵阳·高二校考开学考试）已知顶点
(1)求边上中线所在的直线方程
(2)求边上高线所在的直线方程．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求出线段的中点坐标，用两点式求出直线方程，化为一般方程；
（2）求出直线的斜率，得到边上高线所在直线的斜率，利用点斜式求出直线方程，化为一般方程.
【详解】（1）线段的中点坐标为，即，
所以边上中线所在的直线方程为：，
整理得：；
（2）直线的斜率为，
所以边上高线所在直线的斜率为，
所以边上高线所在直线的方程为，
整理得：
18．（2019秋·贵州遵义·高二遵义航天高级中学校考期中）已知直线： ().
（1）证明：直线过定点；
（2）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为(为坐标原点)，求的最小值并求此时直线的方程．
【答案】（1）证明见解析；（2）4，.
【解析】（1）将直线化简为，即可求得定点，即可得证；
（2）根据l的方程，可求得A，B的坐标，代入面积公式，即可求得面积S的表达式，结合基本不等式，即可求得答案.
【详解】（1）证明：直线的方程可化为，
令，则，解得，
∴无论取何值，直线总经过定点.
（2）由题意可知，再由的方程，得，．
依题意得：，解得．
∵.
当且仅当，即时取等号，
∴，此时直线的方程为．
19．（2023春·贵州贵阳·高二校考开学考试）已知的顶点，直角顶点为，顶点在轴上，求：
(1)顶点的坐标；
(2)外接圆的一般方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出点坐标，由求解即可；
（2）设出外接圆的一般方程，代入坐标，解方程即可求解.
【详解】（1）设顶点，显然直线斜率均存在，
由题意得，且，
所以，解得，所以顶点；
（2）设外接圆的方程为，
由题意知，解得，
所以外接圆的一般方程为.
20．（2022秋·贵州黔西·高二校考期中）如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，，，，.
(1)证明：平面；
(2)在线段CM（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)见解析
(2)存在，
【分析】（1）由面面垂直的性质可得，再得出即可证明；
（2）设，求出平面和平面的法向量，利用向量关系建立方程求出即可得出.
【详解】（1）证明：正方形中，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，
，且，又，
，又，，
，又，，
又平面，
平面；
（2）解：如图，以B为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
设点，，，
，
，
设平面的法向量为，
，
令，
显然，平面的法向量为，
，
即，即
即，解得或（舍），
所以存在一点，且.
21．（2018春·贵州遵义·高二遵义航天高级中学阶段练习）如图，在四棱锥P—ABCD中，已知PC⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝1，E是PB上一点．
(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若E是PB的中点，且二面角P—AC—E的余弦值是，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设AB的中点为G，连接CG，易得四边形ADCG为边长为1的正方形，得到，再由，从而证得平面PBC，再利用面面垂直的判定定理证明；
（2）建立空间直角坐标，设 ，易知 为 平面 PAC的一个法向量，再求得平面EAC的一个法向量 ，由，求得 ，从而得到 求解.
【详解】（1）证明：如图所示：
因为PC⊥底面ABCD，AC底面ABCD，
所以，又，在中，，
设AB的中点为G，连接CG，则四边形ADCG为边长为1的正方形，
所以，且，
则，所以，又，
所以平面PBC，又平面EAC，
所以平面EAC⊥平面PBC；
（2）建立如图所示空间直角坐标系：
则，
设 ，则 ，
所以 ，
因为 ，
所以 平面PAC，则 为 平面 PAC的一个法向量，
设平面EAC的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，
所以 ，
解得 ，则 ，
设直线PA与平面EAC所成的角为 ，
则 ，
所以 直线PA与平面EAC所成的角的正弦值为.
22．（2022秋·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习）如图， 在直三棱柱中，.
(1)求证：；
(2)若为的中点，三棱锥的体积为，线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）利用线垂直于面来证明线线垂直.
（2）建立空间直角坐标系，利用体积计算边长，找对应点坐标，利用空间数量积公式求得结果.
【详解】（1）三棱柱为直棱柱，平面.
又平面平面，
平面，平面， 所以.
（2）平面，
两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示空间直角坐标系，
设 .
，
所以.
易知平面的一个法向量为 ，
设平面的一个法向量为，
，
所以， 设，
，
则 令， 得， 所以，
二面角的大小为，则，所以（负值舍去），所以存在点，当时， 二面角的大小为.
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