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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（贵州1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最大值为( )
A．4 B．12 C．8 D．6
【答案】C
【分析】设正方体内切球的球心为，则，，将问题转化为求的最大值.
【详解】设正方体内切球的球心为，则，，
∴＝，
又点在正方体表面上运动，∴当为正方体顶点时，最大，且最大值为正方体体对角线的一半，，∴的最大值为.
故选：C.
2．（2022秋·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习）已知直线，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两直线垂直可得出关于的等式，解之即可.
【详解】因为直线，，若，则，解得.
故选：A.
3．（2019春·贵州铜仁·高二贵州省铜仁第一中学校考期中）正方体的棱长为a，，N为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用基底向量分别表示出，再根据向量减法以及向量的模的计算公式即可解出．
【详解】因为，所以，而N为的中点，
所以．
故．
故选：C．
4．（2023·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设垂直于直线的直线为，代入点得的值，即得解.
【详解】设垂直于直线的直线为，
代入点得，
则所求直线为.
故选：A.
5．（2022秋·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习）下列关于空间向量的命题中，错误的是（ ）
A．若非零向量，，满足，，则有
B．任意向量，，满足
C．若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面
D．已知向量，，若，则为锐角
【答案】B
【分析】根据共线向量的性质、共面向量的结论、空间向量夹角的计算公式逐一判断即可.
【详解】A：因为，，是非零向量，所以由，，可得，因此本选项说法正确；
B：因为向量， 不一定是共线向量，因此不一定成立，所以本选项说法不正确；
C：，，是空间的一组基底，
且
所以A，B，C，D四点共面，因此本选项说法正确；
D：，
当时，，
若向量，同向，则有，
所以有，则（舍去）
所以向量，不能同向，
因此为锐角，故本选项说法正确，
故选：B.
6．（2022秋·贵州黔西·高二校考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）．
A．5 B． C．45 D．
【答案】B
【分析】先求出点关于直线的对称点，则线段的长度即为最短总路程，再利用两点间的距离公式进行求解.
【详解】因为点关于直线的对称点为，
所以即为“将军饮马”的最短总路程，
则“将军饮马”的最短总路程为．
故选：B．
7．（2022春·贵州遵义·高二遵义航天高级中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面，，E为PC的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法可求得结果.
【详解】以点为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，，，，，，
设异面直线与所成角为，则.
故选：B.
【点睛】方法点睛：本题考查线线角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
①两直线所成的角为(),；
②直线与平面所成的角为(),；
③二面角的大小为(),
8．（2021秋·贵州遵义·高二校联考期中）已知的直角顶点P在圆上，若点，，则t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出P的轨迹方程，结合点P为两圆交点且，列出不等式，求出t的取值范围.
【详解】由题意得P在以AB为直径的圆上（去掉A，B两点）．
又因为点P在圆上，所以圆C与圆M有交点，
因为，所以，所以．
故选：D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习）已知四边形是平行四边形，，，，则（ ）
A．点D的坐标是 B．
C． D．四边形的面积是
【答案】BD
【分析】根据平行四边形的性质可知即可求出D点坐标判断A，利用两点间距离公式判断B，由向量夹角公式判断C，由三角形面积公式可得平行四边形面积判断D.
【详解】不妨设点D坐标为，因为四边形是平行四边形，所以，
即，所以，，，所以点D坐标为，故A错误；
，故B正确；
，，所以，故C错误；
因为，所以四边形的面积，故D正确.
故选：BD
10．（2023春·贵州贵阳·高二校考开学考试）已知直线l：，其中，下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线l与直线垂直
B．若直线l与直线平行，则
C．直线l过定点
D．当时，直线l在两坐标轴上的截距相等
【答案】AC
【分析】对于A，代入，利用斜率之积为得知直线l与直线垂直；
对于B，由两平行线的一般式有求得，从而可判断正误；
对于C，求定点只需令参数的系数为0即可，故直线l过定点；
对于D，代入，分别求得直线l在两坐标轴上的截距即可判断正误.
【详解】对于A，当时，直线l的方程为，故l的斜率为1，直线的斜率为，因为，所以两直线垂直，所以A正确；
对于B，若直线l与直线平行，则，解得或，所以B错误；
对于C，当时，则，所以直线过定点，所以C正确；
对于D，当时，直线l的方程为，易得在x轴、y轴上的截距分别是，所以D错误.
故选：AC.
11．（2022春·贵州贵阳·高一贵阳一中校考阶段练习）在长方体中，，分别为线段上的动点，分别为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．当E点运动时，总有平面
B．当点运动时，三棱锥的体积为定值
C．三棱锥的外接球表面积为
D．直线和夹角的余弦值为
【答案】ABD
【分析】对于A，由面面平行即可判断；对于B，由，高不变，底面积在变即可判断；对于C，由三棱锥的外接球即为长方体的外接球求出外接球表面积即可判断；对于D，建立空间直角坐标系，由向量夹角公式求出直线和夹角的余弦值即可判断.
【详解】
对于A，如图，连接，易得，又平面,平面，则平面，
同理可得平面，又，平面，则平面平面，
又平面，则平面，A正确；
对于B，，又，，则，
则，故三棱锥的体积为定值，B正确；
对于C，易得三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
则外接球半径，则外接球表面积为，C错误；
对于D，以为原点建立如图所示坐标系，易得，则，
则，则直线和夹角的余弦值为，D正确.
故选：ABD.
12．（2022秋·贵州遵义·高二遵义一中校考阶段练习）“太极图”是中国传统文化之一，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆.则下列命题正确的是（ ）
A．黑色阴影区域在轴右侧部分的边界所在圆的方程为
B．直线与白色部分有公共点
C．点是黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点，则的最大值为4
D．过点作互相垂直的直线、，其中与圆交于点、，与圆交于点、，则四边形面积的最大值是
【答案】ABD
【分析】对于A：确定它的圆心和半径可以确定答案；对于B：只需考虑白色部分的圆心到直线的距离与其半径的大小可判断；对于C：可用数形结合的思想解决；对于D：运用弦长公式求出面积的表达式可得最值.
【详解】
对A：圆心，半径为，圆的方程为，A对；
对B：分析易知，直线与白色部分是否有交点只需判断轴左侧部分即可，
左侧为半圆，圆心，半径为，
圆心到直线的距离为，
则直线与白色部分的轴左侧半圆相交，B对；
对C：令，则为直线在轴上截距的相反数，
故我们将代入可得，
再判断一下与第一象限的小圆相切时，则有，所以，，
故的最大值不是，C错；
对D：如图于，
，
当且仅当D对.
故选：ABD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2020春·贵州铜仁·高二贵州省铜仁第一中学校考开学考试）已知，，，，，则 .
【答案】-1
【分析】求得的坐标，由此求得两者的数量积.
【详解】依题意，所以.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查空间向量加法、减法、数乘以及数量积的坐标运算，属于基础题.
14．（2018秋·贵州遵义·高二遵义四中阶段练习）已知两条直线，，若，则的值为 .
【答案】
【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出的值．
【详解】当时，不满足，舍去；
当时，直线的斜率，的斜率
∵，
∴，
解得
故答案为：．
15．（2020春·贵州铜仁·高一贵州省铜仁第一中学校考期末）过点且倾斜角为的直线方程是 .
【答案】
【分析】先求出斜率，再用点斜式写出直线方程，最后化简即可得出答案.
【详解】∵直线倾斜角为，∴斜率，又∵直线过点，
∴直线方程为：.
故答案为：.
16．（2019秋·贵州黔西·高二统考期末）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+3＝0，直线l：mx+2y﹣4m﹣10＝0（m∈R）.当l被C截得的弦长最短时，m＝ .
【答案】2
【分析】由直线方程求得直线恒过的顶点，再根据圆与直线相交时的几何性质，即可求得.
【详解】圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+3＝0，即（x﹣2）2+（y﹣3）2＝10
其圆心为C（2，3）、半径为，
直线l：mx+2y﹣4m﹣10＝0，即 m（x﹣4）+（2y﹣10）＝0，
由，求得x＝4，y＝5，
故直线l经过定点A（4，5）.
要使直线l被圆C截得的弦长最短，需CA和直线l垂直，
故有，即 （）＝﹣1，求得m＝2.
故答案为：2.
【点睛】本题考查直线恒过定点，以及圆与直线相交时，弦长最短的问题，属综合基础题.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O为CD1的中点，且点E既在平面AB1C1内，又在平面ACD1内.
(1)证明:E∈AO.
(2)若AA1=4，E为AO的中点，且，求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）要证明，可先找到平面∩平面，再因为点E既在平面AB1C1内，又在平面ACD1内，则点E在交线上;
（2）建立空间直角坐标系，设，找到所需点的坐标，根据，可求出值，再由侧面积公式求解.
【详解】（1）证明：连接.
在正四棱柱中，∥，则A，，，D四点共面，
所以E∈.
因为侧面CC1D1D为矩形，且O为的中点.
所以，所以O为平面与平面的一个公共点，
所以平面AB1C1D∩平面，即平面∩平面.
故.
（2）以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.
设，其中，
则（t，0，4），C（t，t，0），（t，t，4），E（，，1），..
，
所以，解得.
所以正四棱柱的侧面积为.
18．（2022秋·贵州贵阳·高二校联考阶段练习）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.
(1)试用向量表示向量；
(2)若，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由点为的中点，可得，而，代入前面的式子化简可得结果；
（2）由（1）可知，由于，再利用数量积的运算律结合已知条件可求得结果.
【详解】（1）因为点为的中点，所以，
因为，所以，
所以，
所以；
（2）由（1）得，
因为，，
所以
.
19．（2020春·贵州铜仁·高一贵州省铜仁第一中学校考期末）已知直线；.
（1）若，求的值；
（2）若，且直线与直线之间的距离为，求、的值．
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）由两直线垂直，可得斜率乘积为，列方程可得答案；
（2）由两直线平行，斜率相等可求出的值，再由两平行线间的距离公式列方程可求出的值
【详解】解：（1）设直线的斜率分别为，则．
若，则，，
（2）若，则，
∴可以化简为，
又直线与直线的距离，
或，
综上：.
20．（2021秋·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）如图，四边形中，满足，，，，，将沿翻折至，使得.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）过作，垂足为，连，，作，垂足为，易得，通过勾股定理可得，即可得平面，进而可得结果；
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，平面的法向量，利用向量法即可得结果.
【详解】（Ⅰ）过作，垂足为，连，，则，
作，垂足为，则，，
所以，即
又，所以平面，
又平面，
所以平面平面；
（Ⅱ）以为坐标原点，，所在的直线为，轴建立空间直角坐标系
则，，，，
，
设平面的法向量为，则
取法向量，
设直线与平面所成角为，
则.
21．（2023春·贵州遵义·高二遵义清华中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为棱PD的中点．
(1)证明：；
(2)求直线AE与平面PBD所成角的正弦值
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的性质与判定，证明平面即可；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面夹角即可.
【详解】（1）因为底面，平面，故.
又为正方形，故.又，平面，故平面.又平面，故.
（2）以为坐标原点，，，分别为，，轴建立如图空间直角坐标系.
设，则，，，，.
，，.
设平面的法向量，则，即，设则.
设直线AE与平面PBD所成角为，则.
22．（2023·贵州·校联考一模）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,平面ABCD,,
(1)求证:平面平面PBC;
(2)试问在线段PC上是否存在一点M,使得二面角的大小为,若存在求出的值;若不存在,请说明理由．
【答案】(1)证明见解析;
(2)存在,.
【分析】(1)先由长度之间关系证明,再证明平面,根据面面垂直判定定理即可证明结论;
(2)先建立空间直角坐标,设,写出M点坐标,分别求出平面及平面的法向量,进而求出二面角大小的余弦值,使其为,解出的值,进而求出的值即可.
【详解】（1）证明:,
,
,
四边行为平行四边形,
,
又平面,
,
而,且BD,PD含于面PBD
平面,
又平面,
平面平面;
（2）由(1)知,,且平面ABCD,
故以D为原点,分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系,
则,
假设在存在一点满足条件,
设,
,
,
即,
设为平面的法向量,
则,
即,
即,
令,
可得,
平面ABCD,
不妨令平面的法向量为,
由二面角的大小为,
,
或（舍去）,
存在实数,
即,
解得,使得二面角的大小为．
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（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最大值为( )
A．4 B．12 C．8 D．6
2．（2022秋·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习）已知直线，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2019春·贵州铜仁·高二贵州省铜仁第一中学校考期中）正方体的棱长为a，，N为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022秋·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习）下列关于空间向量的命题中，错误的是（ ）
A．若非零向量，，满足，，则有
B．任意向量，，满足
C．若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面
D．已知向量，，若，则为锐角
6．（2022秋·贵州黔西·高二校考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）．
A．5 B． C．45 D．
7．（2022春·贵州遵义·高二遵义航天高级中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面，，E为PC的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021秋·贵州遵义·高二校联考期中）已知的直角顶点P在圆上，若点，，则t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习）已知四边形是平行四边形，，，，则（ ）
A．点D的坐标是 B．
C． D．四边形的面积是
10．（2023春·贵州贵阳·高二校考开学考试）已知直线l：，其中，下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线l与直线垂直
B．若直线l与直线平行，则
C．直线l过定点
D．当时，直线l在两坐标轴上的截距相等
11．（2022春·贵州贵阳·高一贵阳一中校考阶段练习）在长方体中，，分别为线段上的动点，分别为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．当E点运动时，总有平面
B．当点运动时，三棱锥的体积为定值
C．三棱锥的外接球表面积为
D．直线和夹角的余弦值为
12．（2022秋·贵州遵义·高二遵义一中校考阶段练习）“太极图”是中国传统文化之一，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆.则下列命题正确的是（ ）
A．黑色阴影区域在轴右侧部分的边界所在圆的方程为
B．直线与白色部分有公共点
C．点是黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点，则的最大值为4
D．过点作互相垂直的直线、，其中与圆交于点、，与圆交于点、，则四边形面积的最大值是
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2020春·贵州铜仁·高二贵州省铜仁第一中学校考开学考试）已知，，，，，则 .
14．（2018秋·贵州遵义·高二遵义四中阶段练习）已知两条直线，，若，则的值为 .
15．（2020春·贵州铜仁·高一贵州省铜仁第一中学校考期末）过点且倾斜角为的直线方程是 .
16．（2019秋·贵州黔西·高二统考期末）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+3＝0，直线l：mx+2y﹣4m﹣10＝0（m∈R）.当l被C截得的弦长最短时，m＝ .
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O为CD1的中点，且点E既在平面AB1C1内，又在平面ACD1内.
(1)证明:E∈AO.
(2)若AA1=4，E为AO的中点，且，求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面积.
18．（2022秋·贵州贵阳·高二校联考阶段练习）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.
(1)试用向量表示向量；
(2)若，求的值.
19．（2020春·贵州铜仁·高一贵州省铜仁第一中学校考期末）已知直线；.
（1）若，求的值；
（2）若，且直线与直线之间的距离为，求、的值．
20．（2021秋·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）如图，四边形中，满足，，，，，将沿翻折至，使得.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
21．（2023春·贵州遵义·高二遵义清华中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为棱PD的中点．
(1)证明：；
(2)求直线AE与平面PBD所成角的正弦值
22．（2023·贵州·校联考一模）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,平面ABCD,,
(1)求证:平面平面PBC;
(2)试问在线段PC上是否存在一点M,使得二面角的大小为,若存在求出的值;若不存在,请说明理由．
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