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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（广西2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022春·广西玉林·高二容县高级中学校考开学考试）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用空间向量加法法则直接求解．
【详解】连接BD，如图，
则
故选：A．
2．（2020秋·广西南宁·高二南宁三中校考阶段练习）已知空间四面体中，对空间内任一点，满足下列条件中能确定点共面的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用空间中四点共面定理求解即可.
【详解】根据空间中四点共面可知，解得.
故选：D
3．（2022秋·广西贵港·高二桂平市浔州高级中学统考期中）如图，在平行六面体中，E，F分别在棱和上，且.记，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，由空间向量的线性运算可得，由空间向量基本定理即可求解.
【详解】设，因为
，
所以，，.
因为，所以.
故选:B.
4．（2022秋·广西·高二广西师范大学附属中学校考期中）已知、、，若，则的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设点的坐标为，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可得出点的坐标.
【详解】设点坐标为，则，
又，，
所以，，，，则点的坐标为.
故选：A.
5．（2022秋·广西柳州·高二柳州市第三中学校考阶段练习）若向量，，且与的夹角的余弦值为，则实数等于（ ）
A．1 B． C．1或 D．0或
【答案】B
【分析】根据空间向量数量积的坐标计算方法即可计算.
【详解】由题知，，
解得．
故选：B.
6．（2019秋·广西南宁·高二南宁三中校考期中）已知正四棱柱中，，E为中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于,故选C.
取DD1中点F，则为所求角, ，选C.
7．（2023春·广西南宁·高一南宁二中校考期末）已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用空间向量的线性运算性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】设该正面体的棱长为，因为M为BC中点，N为AD中点，
所以，
因为M为BC中点，N为AD中点，
所以有，
，
根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为，
故选：B
8．（2022秋·广西南宁·高二南宁三中校考期中）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
【答案】B
【分析】由圆的面积被直线平分，可得圆心在直线上，求出，进而利用圆心距与半径和以及半径差的关系可得圆与圆的位置关系．
【详解】因为圆的面积被直线平分，所以圆的圆心在直线上，
所以，解得，所以圆的圆心为，半径为．
因为圆的圆心为，半径为，所以，
故，所以圆与圆的位置关系是相交．
故选：B．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023春·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）在空间直角坐标系中，，，，则（ ）
A．
B．
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．点到直线的距离是
【答案】ABD
【分析】利用空间向量的坐标表示，结合向量数量积、模的意义计算判断AB；利用异面直线夹角的向量求法判断C；利用空间向量求出点到直线距离判断D作答.
【详解】依题意，，，A正确；
显然，B正确；
因为，则异面直线与所成角的余弦值为，C错误；
因为，，所以点到直线的距离是，D正确.
故选：ABD
10．（2022秋·广西桂林·高二广西师范大学附属中学校考阶段练习）已知直线，，则（ ）
A．当变化时，的倾斜角不变 B．当变化时，过定点
C．与可能平行 D．与不可能垂直
【答案】AB
【分析】对四个选项一一验证：
对于A：由直线的斜率为即可判断；
对于B：由直线恒过定点即可判断；
对于C：用反证法证明；
对于D：当， 与垂直，即可判断.
【详解】对于A：当变化时，直线的斜率为，所以的倾斜角不变.故A正确；
对于B：直线恒过定点.故B正确；
对于C：假设与平行，则，即，这与相矛盾，所以与不可能平行.故C不正确；
对于D：假设与垂直，则，即，所以与可能垂直.故D不正确.
故选：AB
11．（2023春·广西南宁·高二南宁市邕宁高级中学校考阶段练习）已知圆和圆的交点为，，则（ ）
A．圆和圆有两条公切线
B．直线的方程为
C．圆上存在两点和使得
D．圆上的点到直线的最大距离为
【答案】ABD
【分析】A：判断两圆相交可得切线条数；B：两圆相交，做差可得公共弦方程；C：判断弦AB经过圆心，则弦为最长弦，不再存在比AB更长的弦；D：求圆心到直线的距离加半径即为到直线AB的最大距离.
【详解】解：对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；
对于B，将两圆方程作差可得，即得公共弦的方程为，故B正确；
对于C，直线经过圆的圆心，所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，故C错误；
对于D，圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最大距离为，D正确.
故选：ABD.
12．（2022秋·广西柳州·高二柳州市第三中学校考阶段练习）已知空间中三点，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．与共线的单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面ABC的一个法向量是
【答案】AD
【分析】对于A，通过计算来判断，对于B，利用共线单位向量的定义求解，对于C，利用向量的夹角公式求解，对于D，利用法向量的定义求解.
【详解】对于A，因为，所以，
所以，所以，所以A正确，
对于B，因为，所以与共线的单位向量为，
或，所以B错误，
对于C，因为，
所以，所以C错误，
对于D，因为，，
所以，
所以，所以平面ABC的一个法向量是，所以D正确，
故选：AD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2023春·广西梧州·高二校考阶段练习）已知向量，，则在方向上的投影为 ．
【答案】
【分析】根据向量投影的计算公式，计算出在方向上的投影.
【详解】依题意在方向上的投影为.
【点睛】本小题主要考查向量在另一个向量上的投影的计算，考查空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题.
14．（2023秋·广西南宁·高二南宁市邕宁高级中学校考开学考试）直线与直线互相垂直,则
【答案】或
【分析】由两条直线垂直的充要条件求得m的值
【详解】直线与直线互相垂直，所以，即，解得或
【点睛】直线与垂直的充要条件为
15．（2023春·广西柳州·高二校考阶段练习）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点.若，，，则向量 (用，，表示).
【答案】
【分析】利用空间向量的线性运算进行求解.
【详解】
.
故答案为：.
16．（2022·广西南宁·南宁三中校考一模）直线截圆所得两部分弧长之比为，则 ．
【答案】
【分析】由题意可得劣弧所对的圆心角为，从而求出圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式可得答案.
【详解】由直线截圆所得两部分弧长之比为
所以劣弧所对的圆心角为，由圆的半径为2，则对应的弦长为
所以圆心到直线的距离，即，解得，
故答案为：
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2023秋·广西南宁·高二南宁市邕宁高级中学校考开学考试）已知的三个顶点是，，.求：
(1)边上的中线所在直线方程；
(2)边上的高所在直线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出点的坐标为，由两点式斜率公式求出的斜率，代入点斜式即可求解.
（2）由两点式斜率公式求出斜率，利用垂直关系得的斜率，代入点斜式即可求解.
【详解】（1）由题知的中点，所以直线的斜率，
则边上的中线所在直线的方程为，化简得.
（2）由题意得直线AC的斜率，且，所以.
则边上的高所在直线的方程为，化简得.
18．（2022秋·广西·高二广西师范大学附属中学校考期中）已知直线，点
(1)求线段的中垂线与直线的交点坐标；
(2)若点在直线上运动求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)先由点斜式求线段的中垂线方程，联立方程组求其与直线的交点坐标；
(2)求点关于直线的对称点的坐标，再求的长度即可.
【详解】（1）因为，所以的中点坐标为，
直线的方程为，所以线段的中垂线的斜率为2，
则线段的中垂线方程为，化简得，
联立，解得，
所以线段的中垂线与直线的交点坐标为；
（2）设A点关于直线对称的点为，
则的中点坐标为，因为点在直线上，故：
①，又直线的斜率为2，故：②，
联立①②解得：，因为，
所以的最小值为．
19．（2021春·广西梧州·高一蒙山中学校考阶段练习）已知圆C的圆心为(1，1)，直线与圆C相切.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线过点(2，3)，且被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）利用点到直线的距离可得：圆心到直线的距离．根据直线与圆相切，可得．即可得出圆的标准方程．
（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，即：，可得圆心到直线的距离，又，可得：．即可得出直线的方程．②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得可得弦长，即可验证是否满足条件．
【详解】（1）圆心到直线的距离．
直线与圆相切，．
圆的标准方程为：．
（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，
即：，，又，．
解得：．
直线的方程为：．
②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得，可得弦长，满足条件．
综上所述的方程为：或．
【点睛】本题考查直线与圆的相切的性质、点到直线的距离公式、弦长公式、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（2023春·广西柳州·高二柳州地区高中校考期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，M为PC中点．
(1)求证：平面MBD；
(2)若，求直线BM与平面AMD所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线的性质即可得证；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，得到对应点的坐标，求得和平面AMD的法向量，由向量夹角的计算公式，可得答案.
【详解】（1）连接AC交BD于点O，连接OM，
由四边形ABCD为矩形，
可知O为AC中点，M为PC中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面MBD.
（2）以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则 ，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
设直线与平面所成角为，则
，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
21．（2022秋·广西贵港·高三校联考阶段练习）故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体ABCDEF有五个面，其形状与四阿顶相类似．已知底面ABCD为矩形，AB＝2AD＝2EF＝8，EF∥底面ABCD，EA＝ED＝FB＝FC，M，N分别为AD，BC的中点．
(1)证明：EF∥AB且BC⊥平面EFNM．
(2)若二面角为，求CF与平面ABF所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面平行的性质结合已知条件可证得EF∥AB，由等腰三角形的性质可得EM⊥AD，FN⊥BC，再结合线面垂直的判定可证得BC⊥平面EFNM；
（2）过点E作，垂足为H，作，垂足为K，以H为原点，以的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可.
【详解】（1）证明：因为EF∥底面ABCD，平面ABFE，平面底面，
所以．
因为，M，N分别为AD，BC的中点，
所以EM⊥AD，FN⊥BC，，
因为∥，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为，
所以四边形EFNM为梯形，且EM与FN必相交于一点，
又，
所以，
因为平面，
故BC⊥平面．
（2）解：过点E作，垂足为H，
由（1）知BC⊥平面，
因为平面，
所以平面平面，
因为平面平面，平面，
所以EH平面，
由，，得为二面角的平面角，则．
因为，所以．
作，垂足为K．
以H为原点，以的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，
，．
设平面ABF的法向量为，
则，
令，得．
因为，
所以，
故CF与平面ABF所成角的正弦值为．
22．（2022秋·广西·高二广西师范大学附属中学校考期中）图是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图.
(1)求证：平面平面；
(2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出二面角的大小；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据长度关系可证得为等边三角形，取中点，由等腰三角形三线合一和勾股定理可证得、，由线面垂直和面面垂直的判定可证得结论；
（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设存在且，由共线向量可表示出点坐标，利用点到面的距离的向量求法可求得，进而由二面角的向量求法求得结果.
【详解】（1）在图中取中点，连接，，
，，，，，
，，，四边形为矩形，，
，又，为等边三角形；
又，为等边三角形；
在图中，取中点，连接，
为等边三角形，，，
，又，，，
又，平面，平面，
平面，平面平面.
（2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设棱上存在点且满足题意，
即，解得：，即，
则，
设平面的法向量，
则，令，则，
，
到平面的距离为，解得：，
，
又平面的一个法向量，
，
又二面角为锐二面角，二面角的大小为.
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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（广西2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022春·广西玉林·高二容县高级中学校考开学考试）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020秋·广西南宁·高二南宁三中校考阶段练习）已知空间四面体中，对空间内任一点，满足下列条件中能确定点共面的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·广西贵港·高二桂平市浔州高级中学统考期中）如图，在平行六面体中，E，F分别在棱和上，且.记，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·广西·高二广西师范大学附属中学校考期中）已知、、，若，则的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022秋·广西柳州·高二柳州市第三中学校考阶段练习）若向量，，且与的夹角的余弦值为，则实数等于（ ）
A．1 B． C．1或 D．0或
6．（2019秋·广西南宁·高二南宁三中校考期中）已知正四棱柱中，，E为中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
7．（2023春·广西南宁·高一南宁二中校考期末）已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·广西南宁·高二南宁三中校考期中）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023春·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）在空间直角坐标系中，，，，则（ ）
A．
B．
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．点到直线的距离是
10．（2022秋·广西桂林·高二广西师范大学附属中学校考阶段练习）已知直线，，则（ ）
A．当变化时，的倾斜角不变 B．当变化时，过定点
C．与可能平行 D．与不可能垂直
11．（2023春·广西南宁·高二南宁市邕宁高级中学校考阶段练习）已知圆和圆的交点为，，则（ ）
A．圆和圆有两条公切线
B．直线的方程为
C．圆上存在两点和使得
D．圆上的点到直线的最大距离为
12．（2022秋·广西柳州·高二柳州市第三中学校考阶段练习）已知空间中三点，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．与共线的单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面ABC的一个法向量是
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2023春·广西梧州·高二校考阶段练习）已知向量，，则在方向上的投影为 ．
14．（2023秋·广西南宁·高二南宁市邕宁高级中学校考开学考试）直线与直线互相垂直,则
15．（2023春·广西柳州·高二校考阶段练习）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点.若，，，则向量 (用，，表示).
16．（2022·广西南宁·南宁三中校考一模）直线截圆所得两部分弧长之比为，则 ．
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2023秋·广西南宁·高二南宁市邕宁高级中学校考开学考试）已知的三个顶点是，，.求：
(1)边上的中线所在直线方程；
(2)边上的高所在直线方程.
18．（2022秋·广西·高二广西师范大学附属中学校考期中）已知直线，点
(1)求线段的中垂线与直线的交点坐标；
(2)若点在直线上运动求的最小值．
19．（2021春·广西梧州·高一蒙山中学校考阶段练习）已知圆C的圆心为(1，1)，直线与圆C相切.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线过点(2，3)，且被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.
20．（2023春·广西柳州·高二柳州地区高中校考期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，M为PC中点．
(1)求证：平面MBD；
(2)若，求直线BM与平面AMD所成角的正弦值．
21．（2022秋·广西贵港·高三校联考阶段练习）故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体ABCDEF有五个面，其形状与四阿顶相类似．已知底面ABCD为矩形，AB＝2AD＝2EF＝8，EF∥底面ABCD，EA＝ED＝FB＝FC，M，N分别为AD，BC的中点．
(1)证明：EF∥AB且BC⊥平面EFNM．
(2)若二面角为，求CF与平面ABF所成角的正弦值．
22．（2022秋·广西·高二广西师范大学附属中学校考期中）图是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图.
(1)求证：平面平面；
(2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出二面角的大小；若不存在，说明理由.
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