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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（广西1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022秋·广西南宁·高二南宁三中校考期中）已知过两点的直线与直线垂直，则的值（ ）
A．4 B．－8 C．2 D．－1
【答案】B
【分析】由两直线的斜率乘积为得结论．
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，．
故选：B．
2．（2023秋·广西南宁·高二南宁市邕宁高级中学校考开学考试）设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】B
【分析】作出图形，结合直线相交关系及斜率公式可求答案.
【详解】如图，直线的斜率为；直线的斜率为；
当直线与线段相交时，则的斜率的取值范围是或.
故选：B.
3．（2020秋·广西南宁·高二南宁三中校考阶段练习）过点（1，-3）且平行于直线x+2y-3=0的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可先设所求的直线方程为x+2y+c=0再由直线过点（1，﹣3），代入可求c的值，进而可求直线的方程
【详解】由题意可设所求直线方程为x+2y+c=0，
∵直线过点（1，–3），代入x+2y+c=0可得1–6+c=0，
解得c=5，
∴所求直线方程为x+2y+5=0，
故选D．
【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x+2y+c=0．
4．（2023秋·广西南宁·高二南宁市邕宁高级中学校考开学考试）过点的直线的方向向量为，则该直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据直线的方向向量确定直线的斜率，利用直线点斜式方程进行求解即可.
【详解】由于直线的方向向量为，故直线的斜率为，
故直线的方程为，即，
故选：A
5．（2022秋·广西南宁·高二南宁三中校考期中）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（ ）
A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0
【答案】B
【分析】先求出定点M的坐标，再设出与直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案.
【详解】由ax＋y＋3a－1＝0得，
由，得，∴M（－3，1）．
设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为，
∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去），
∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0．
故选：B．
6．（2023秋·广西南宁·高二南宁二中校考开学考试）如下图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】作关于轴的对称点，作关于的对称点，连接交轴于，交于，有，即此时周长最小，求出点坐标，可得直线方程，与联立求出点坐标，令可得点坐标.
【详解】作关于轴的对称点，
作关于的对称点，
连接交轴于，交于，所以，
此时周长最小，即，
由，直线方程为，所以，解得，
所以，可得直线方程为，即，
由，解得，所以，
令可，所以.
故选：C.
7．（2021·广西南宁·南宁三中校考二模）已知圆内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设圆心，由圆的对称性可知过点与垂直的直线被圆所截的弦长最短
【详解】由题意可知，当过圆心且过点时所得弦为直径，
当与这条直径垂直时所得弦长最短，
圆心为，，
则由两点间斜率公式可得，
所以与垂直的直线斜率为，
则由点斜式可得过点的直线方程为，
化简可得，
故选：B
8．（2022秋·广西南宁·高二南宁三中校考期中）已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则当最小时，（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】D
【分析】首先求出直线过定点，即可求出弦的最小值，求出直线的倾斜角的倾斜角，再利用锐角三角函数计算可得.
【详解】解：直线过定点，最小时，，
圆心到直线的距离，，
因为，所以此时，所以直线的倾斜角为，
过点作交于点，则，
在中，所以.
故选：D
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）已知正方体的棱长为，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点，使得平面
C．若，则P点在正方形底面内的运动轨迹长为
D．若点是的中点，点是的中点，经过三点的正方体的截面周长为
【答案】AC
【分析】根据等体积法可计算出三棱锥的体积，可判断选项A，建立空间直角坐标系，写出点的坐标与向量的坐标，设，根据垂直得向量数量积为列式，从而判断选项BC，作出过三点的正方体的截面，计算周长即可判断选项D．
【详解】对于A，由等体积法，三棱锥的高等于，
底面积，所以，
所以三棱锥的体积为定值，故A正确；
对于B，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，，
，，，，，，
，，，
若平面，则，，
则，，
解得，不符合，故B错误；
对于C，，若，
，即，
所以点的轨迹就是线段，轨迹长为，故C正确；
对于D，连接PQ并延长交DC的延长线于，连接交于，连接QF，
延长QP交DA的延长线于，连接交于，连接PE，
则五边形即为经过三点的正方体的截面，如图：
正方体的棱长为2，则，
则为等腰直角三角形，则，
根据得，，
则，则，，
同理可得，而，
则五边形的周长为，故D错误．
故选：AC．
10．（2023秋·广西玉林·高二统考期末）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．已知任意非零向量，若，则
B．若对空间中任意一点，有，则四点共面
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若空间四个点，则三点共线
【答案】BD
【分析】由向量平行的性质判断A；根据空间向量共面定理即可判断选项B；用向量运算法则判断C；由共线向量定理判断D.
【详解】对于：若，则，
且，故错误；
对于，若对空间中任意一点，
有，，
四点共面，故B正确；
对于，是空间中的一组基底，
且，共面，
不可以构成空间的一组基底，故C错误；
对于，若空间四个点，，
，三点共线，故D正确.
故选：BD
11．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）已知直线，是圆上的一点，则（ ）
A．直线过定点 B．圆C的半径是
C．点P可能在圆上 D．点P到直线的最大距离是
【答案】ACD
【分析】根据直线过定点、圆、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】直线可化为，
由，解得，故直线过定点，A选项正确.
圆可化为，
所以圆心，半径，所以B选项错误.
圆的圆心为，半径为，
，所以圆与圆外切，
所以点可能在圆上，C选项正确.
，所以点P到直线的最大距离是，D选项正确.
故选：ACD
12．（2022秋·广西玉林·高二博白县中学校考阶段练习）如图，设，分别是正方体的棱上两点，且，，其中正确的命题为（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．异面直线与所成的角为
C．平面
D．直线与平面所成的角为
【答案】AD
【解析】A. 利用，三棱锥的体积为定值，正确
B. 利用平移法找异面直线所成的角，，和所成的角为，所以异面直线与所成的角为，故B错误
C. 若平面，则线与所成的角为，而异面直线与所成的角为，故C错误
D，建立坐标系，用向量坐标法求解，先求出平面的一个法向量，再求平面的一个法向量和的方向向量的夹角，正确
【详解】解：对于A，
故三棱锥的体积为定值，故A正确
对于B， ，和所成的角为，异面直线与所成的角为，故B错误
对于C， 若平面，则直线，即异面直线与所成的角为，故C错误
对于D，以为坐标原点，分布以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，，
设平面的法向量为则
，即
令，则
所以直线与平面所成的角为，正确
故选：AD
【点睛】以正方体为载体，考查：判断顶点不固定的三棱锥的体积是否为定值，求线线角、线面角，判断线面是否垂直.判断顶点不固定的三棱锥的体积是否为定值可通过变换三棱锥顶点和底面解决，求线线角一般是用平移法，求线面角可转化为求平面的法向量与直线的方向向量的夹角，判断线面垂直也可用反证法.基础题.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·广西柳州·高二校联考期中）在直三棱柱中，若，则= .(用表示)
【答案】
【分析】连接根据直三棱柱的结构特征及空间向量减法的几何意义可得，结合已知即可求表达式.
【详解】连接则.
故答案为：
14．（2022秋·广西玉林·高二校考阶段练习）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题
①若，则斜率； ②若斜率，则；
③若，则倾斜角；④若倾斜角，则；
其中正确命题的个数是 ．
【答案】
【分析】根据两直线平行的充要条件、斜率与倾斜角的关系判断即可；
【详解】解：因为与为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，.
①由于斜率都存在，若，则，此命题正确；
②因为两直线的斜率相等即斜率，得到倾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命题正确；
③因为，根据两直线平行，得到，此命题正确；
④因为两直线的倾斜角，根据同位角相等，得到，此命题正确；
所以正确的命题个数是4．
故答案为：．
15．（2022·广西·广西师范大学附属外国语学校校考模拟预测）正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为 .
【答案】2.
【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，由得，证明为与平面所成角，令，用三角函数表示出，求解三角函数的最大值得到结果.
【详解】
如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，则，
，又，
得即；
又平面，为与平面所成角，
令，
当时，最大，即与平面所成角的正切值的最大值为2.
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了立体几何中的动点问题，考查了直线与平面所成角的计算.对于这类题，一般是建立空间直角坐标，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的最值问题求解，考查了学生的运算求解能力和直观想象能力.
16．（2021秋·广西玉林·高二广西壮族自治区北流市高级中学校考开学考试）若点在直线上，其中m，n均大于0，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据点在直线上得到的关系式，再根据基本不等式中“”的妙用求解出的最小值.
【详解】点A在直线上，则
，
当且仅当时，即时，等号成立，
即的最小值为8.
故答案为：.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2022秋·广西桂林·高二广西师范大学附属中学校考阶段练习）已知两点，，两直线：，：．
求：（1）过点且与直线平行的直线方程；
（2）过线段的中点以及直线与的交点的直线方程．
【答案】（1）（2）．
【详解】【试题分析】（1）设所求直线方程为：，将点坐标代入，求得的值，即得所求.（2）求得中点坐标和直线交点的坐标，利用点斜式得到所求直线方程.
【试题解析】（1）设与：平行的直线方程为：，
将代入，得，解得，
故所求直线方程是：．
（2）∵，，∴线段的中点是，
设两直线的交点为，联立解得交点，
则，
故所求直线的方程为：，即．
18．（2022秋·广西钦州·高二浦北中学校考期中）如图，已知M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且.求证：B，G，N三点共线.
【答案】证明见解析.
【分析】由空间向量的共线定理证明，
【详解】证明：取CD的中点E，连接AE，BE，
因为M，N分别为四面体A-BCD的面DCD与面ACD的重心，
所以M在BE上，N在AE上，
设，，，
因为M为BCD的重心，
所以
因为，所以，
所以，
同理得，
∴.
又，
∴B，G，N三点共线
19．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）如图，在三棱锥中，分别为的中点，为正三角形，平面平面．
(1)求点到平面的距离；
(2)在线段上是否存在异于端点的点，使得平面和平面夹角的余弦值为若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在点，为中点.
【分析】（1）连接，即可得到，由面面垂直的性质得到平面，即可得到，，再由得到，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；
（2），且，求出平面的法向量，利用空间向量法得到方程，解得的值，即可得解.
【详解】（1）连接，∵为正三角形，又为中点，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又平面，∴，
因为分别为的中点，所以，
∴，
∴如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
∵，则，
设平面的法向量为，∵，
则，令，则
又，则点到平面的距离为；
（2）由（1）可知是平面的一个法向量，
由题可设，且，则，
∴，
设平面的法向量为，由于，
则，
令，则，
∴，整理得，解得或（舍），
故存在点，使得平面和平面夹角的余弦值为，此时为中点.
20．（2022秋·广西钦州·高二浦北中学统考期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在上，且.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】(1)利用坐标法或几何法利用线面垂直的判定定理证明；(2)利用空间向量计算面面角.
【详解】（1）证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图：
则，，，，，，
，，，
∵∴，
∵，∴，
∵,且平面，∴平面.
（法二）证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图：
则，，，，，，
设是平面的一个法向量.
，.
取，有
∴，，
则，.
∴平面.
（法三）证明：连接
∵平面，平面,∴.
在中，，.
∵，∴，且，
∴平面，
又∵平面，∴.
∵，又∵，
∴，∴.
且，且平面，∴平面.
（2）（接向量法）由（1）可知平面的法向量为（也可为）.
平面的一个法向量为.
.
∴平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值为.
（法二）延长AM，DC，交于点N，连接PN.
∵，∴平面，∵，∴平面.
∴平面平面.
过D做于，连接.
∵平面，∴.
又，，
∴平面，又平面，∴.
又∵，，平面,
∴平面，∴，
∴为二面角的平面角.
在中，，
∴.
∴平面与平面的夹角的余弦值为.
21．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）如图，是边长为6的正三角形，点E，F，N分别在边AB，AC，BC上，且，为BC边的中点，AM交EF于点，沿EF将三角形AEF折到DEF的位置，使.
(1)证明：平面平面；
(2)试探究在线段DM上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)时二面角的大小为
【分析】（1）先由勾股定理证，根据线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理证明平面平面BEFC；（2）建立空间直角坐标系设，再利用向量法求解.
【详解】（1）在中，易得，，，
由，得，
又，，，
又为中点，，，
因为，平面，
平面，又平面，
所以平面平面；
（2）由(1) 平面，以为原点，以为的正方向建立空间直角坐标系，，，
，，
由(1)得平面的法向量为，
设平面的法向量为，，
所以，所以.
由题得,所以，
所以，所以，
因为二面角P—EN—B的大小为60°，
所以，解之得（舍去）或.
此时，所以.
22．（2022秋·广西百色·高二统考期末）三棱柱中，侧面为菱形，，，，．
（1）求证：面面；
（2）在线段上是否存在一点M，使得二面角为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）取BC的中点O，连结AO、，在三角形中分别证明和，再利用勾股定理证明，结合线面垂直的判定定理可证明平面，再由面面垂直的判定定理即可证明结果.
（2）建立空间直角坐标系，假设点M存在，设，求出M点坐标，然后求出平面的法向量，利用空间向量的方法根据二面角的平面角为可求出的值.
【详解】（1）取BC的中点O，连结AO,,，
为等腰直角三角形，所以，；
侧面为菱形，，
所以三角形为为等边三角形，所以，
又，所以，又，满足，所以；
因为，所以平面，
因为平面中，所以平面平面.
（2）由（1）问知：两两垂直，以O为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间之间坐标系.
则，，，，
若存在点M，则点M在上，不妨设，
则有，则，
有，，
设平面的法向量为，
则解得：
平面的法向量为
则
解得：或（舍）
故存在点M，.
【点睛】本题考查立体几何探索是否存在的问题，属于中档题.
方法点睛：（1）判断是否存在的问题，一般先假设存在；
（2）设出点坐标，作为已知条件，代入计算；
（3）根据结果，判断是否存在.
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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（广西1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022秋·广西南宁·高二南宁三中校考期中）已知过两点的直线与直线垂直，则的值（ ）
A．4 B．－8 C．2 D．－1
2．（2023秋·广西南宁·高二南宁市邕宁高级中学校考开学考试）设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
3．（2020秋·广西南宁·高二南宁三中校考阶段练习）过点（1，-3）且平行于直线x+2y-3=0的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·广西南宁·高二南宁市邕宁高级中学校考开学考试）过点的直线的方向向量为，则该直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022秋·广西南宁·高二南宁三中校考期中）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（ ）
A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0
6．（2023秋·广西南宁·高二南宁二中校考开学考试）如下图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2021·广西南宁·南宁三中校考二模）已知圆内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022秋·广西南宁·高二南宁三中校考期中）已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则当最小时，（ ）
A．4 B． C．8 D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）已知正方体的棱长为，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点，使得平面
C．若，则P点在正方形底面内的运动轨迹长为
D．若点是的中点，点是的中点，经过三点的正方体的截面周长为
10．（2023秋·广西玉林·高二统考期末）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．已知任意非零向量，若，则
B．若对空间中任意一点，有，则四点共面
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若空间四个点，则三点共线
11．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）已知直线，是圆上的一点，则（ ）
A．直线过定点 B．圆C的半径是
C．点P可能在圆上 D．点P到直线的最大距离是
12．（2022秋·广西玉林·高二博白县中学校考阶段练习）如图，设，分别是正方体的棱上两点，且，，其中正确的命题为（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．异面直线与所成的角为
C．平面
D．直线与平面所成的角为
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·广西柳州·高二校联考期中）在直三棱柱中，若，则= .(用表示)
14．（2022秋·广西玉林·高二校考阶段练习）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题
①若，则斜率； ②若斜率，则；
③若，则倾斜角；④若倾斜角，则；
其中正确命题的个数是 ．
15．（2022·广西·广西师范大学附属外国语学校校考模拟预测）正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为 .
16．（2021秋·广西玉林·高二广西壮族自治区北流市高级中学校考开学考试）若点在直线上，其中m，n均大于0，则的最小值为 .
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2022秋·广西桂林·高二广西师范大学附属中学校考阶段练习）已知两点，，两直线：，：．
求：（1）过点且与直线平行的直线方程；
（2）过线段的中点以及直线与的交点的直线方程．
18．（2022秋·广西钦州·高二浦北中学校考期中）如图，已知M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且.求证：B，G，N三点共线.
19．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）如图，在三棱锥中，分别为的中点，为正三角形，平面平面．
(1)求点到平面的距离；
(2)在线段上是否存在异于端点的点，使得平面和平面夹角的余弦值为若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
20．（2022秋·广西钦州·高二浦北中学统考期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在上，且.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
21．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）如图，是边长为6的正三角形，点E，F，N分别在边AB，AC，BC上，且，为BC边的中点，AM交EF于点，沿EF将三角形AEF折到DEF的位置，使.
(1)证明：平面平面；
(2)试探究在线段DM上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
22．（2022秋·广西百色·高二统考期末）三棱柱中，侧面为菱形，，，，．
（1）求证：面面；
（2）在线段上是否存在一点M，使得二面角为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
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