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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（河北1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022秋·河北石家庄·高二正定一中校考期中）已知，若，则实数t的值为（ ）
A．－5 B．－6 C．－4 D．－3
【答案】B
【分析】依题意存在实数，使得，即可得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为，且，所以存在实数，使得，即，所以，解得
故选：B
2．（2022秋·河北张家口·高二张北县第一中学校考阶段练习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据斜率的定义，由斜率的范围可得倾斜角的范围.
【详解】因为直线的斜率为，且，
，因为，
.
故选：A.
3．（2021春·河北衡水·高二校考阶段练习）在平行六面体中，M为与的交点．，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据空间向量线性运算的法则，对向量进行表示即可．
【详解】平行六面体中，
故选：A．
4．（2021秋·河北衡水·高二河北武强中学校考阶段练习）过点且平行于直线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设直线的方程为，代入点的坐标即得解.
【详解】解：设直线的方程为，
把点坐标代入直线方程得.
所以所求的直线方程为.
故选：A
5．（2022秋·河北石家庄·高二校考期中）设，向量，，且，则（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据空间向量平行与垂直的坐标表示，求得的值，结合向量模的计算公式，即可求解.
【详解】由向量且，
可得，解得，所以，，
则，所以.
故选：C.
6．（2022秋·河北邢台·高二邢台市第二中学校考阶段练习）已知，若直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】根据平行关系确定参数，结合平行线之间的距离公式即可得出．
【详解】解：直线与直线平行，
，解得或，
又，所以，
当时，直线与直线距离为.
故选：A
7．（2020秋·河北石家庄·高二正定一中校考期中）如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】由题意可得，，
以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，，，
因此异面直线与所成角的余弦值等于.
故选：D.
8．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄二中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆：，点是轴上的一个动点，，分别切圆C于P，Q两点，则线段长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，利用面积相等得到，再根据即可求得的取值范围.
【详解】设，则，
由可知，
∵AC垂直平分PQ，
∴，
∴当时，PQ取得最小值，
又，∴，
∴．
故选：B．
.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023秋·河北石家庄·高三石家庄精英中学校考阶段练习）正方体的棱长为，为底面的中心，为线段上的动点（不包括两个端点），为线段的中点，则（ ）
A．与是异面直线
B．平面平面
C．存在点使得
D．当为线段中点时，过、，三点的平面截此正方体所得截面的面积为
【答案】BD
【分析】选项A，可证明与共线；选项B，利用面面垂直的判定定理证明；选项C，假设结论成立能推出矛盾；选项D，截面是等腰梯形，可求面积.
【详解】因为、、共线，又，即、、、共面，因此与共面，故A选项不正确；
正方体中，，，，、平面，
平面，因为平面，∴平面平面，故B选项正确；
已知为线段上的动点（不包括两个端点），设，
假设存在点使得，则有：
解得，与重合，与已知矛盾，故C选项不正确；
当为线段中点时，为线段中点，连接，如图所示：
有，得 ，因为，同理,
过、、三点的平面截此正方体所得截面为等腰梯形，
正方体的棱长为2，，，，
过点作，交于点，由，，
从而可得等腰梯形的高为，∴截面等腰梯形的面积为，
所以过、、三点的平面截此正方体所得截面的面积为，故D选项正确；
故选：BD.
10．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）若过点有两条直线与圆相切，则实数m的可能取值是（ ）
A．－3 B．3 C．0 D．
【答案】CD
【解析】由题意得点在圆外，列出不等式解出，再由二元二次方程表示圆时的特征列出不等式，综合得结果.
【详解】由题意过点有两条直线与圆相切，
则点在圆外，即，解得，
由方程表示圆，则，解得，
综上，实数的取值范围是.
即实数取值范围是0，.
故选：CD.
【点睛】关键点点睛：
（1）将题意等价转化为点和圆的位置关系；
（2）理解二元二次方程在什么情况下表示圆.
11．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第四十一中学校考期中）如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律逐项分析即得.
【详解】因为，，
所以，，
所以，
故A错误；
因为，，，
所以，
所以，故B正确；
因为，，
所以，故C错误；
因为，所以，
因为，
所以，
所以，故D正确.
故选：BD.
12．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄二中校考阶段练习）已知直线，圆，则下列选项中正确的是（ ）
A．圆心的轨迹方程为
B．时，直线被圆截得的弦长的最小值为
C．若直线被圆截得的弦长为定值，则
D．时，若直线与圆相切，则
【答案】BC
【分析】首先表示出圆心坐标，即可判断A，再求出直线过定点坐标，由弦长公式判断B，求出圆心到直线的距离，当距离为定值时，弦长也为定值，即可判断C，求出圆心到直线的距离，即可判断D；
【详解】解：圆的圆心坐标为，
所以圆心的轨迹方程为，故A错误；
直线，令，解得，即直线恒过点，
当时圆，圆心为，半径，又，
所以直线被圆截得的弦长的最小值为，故B正确；
对于C：若直线被圆截得的弦长为定值，则圆心到直线的距离为定值，
所以，解得，故C正确；
对于D：当时直线，圆心到直线的距离，
若直线与圆相切，则，故D错误；
故选：BC
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2021秋·河北石家庄·高二石家庄一中校考期中）已知点，，，若，，三点共线，则 .
【答案】
【分析】首先求出，的坐标，再根据，，三点共线，即可得到，从而，即可得到方程，解得即可；
【详解】解：因为，，
所以，
因为，，三点共线，所以，即，所以， 解得
故答案为：
14．（2021秋·河北石家庄·高二石家庄实验中学校考阶段练习）直线的倾斜角的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据直线斜率，可知，结合可求得结果.
【详解】由知：直线斜率，
设直线倾斜角为，则，又，.
故答案为：.
15．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第二十一中学校考阶段练习）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则= ．
【答案】2
【分析】由条件可得两个平面的法向量平行，然后可得答案.
【详解】，，解得．
故答案为：2
16．（2023秋·河北保定·高二定州一中校考阶段练习）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ．
【答案】9
【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可；
【详解】由题意，动直线过定点，
直线可化为，
令，可得，
又，所以两动直线互相垂直，且交点为P，
所以，
因为，
所以，当且仅当时取等号．
【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄二中校考阶段练习）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为.
（1）求点的坐标；
（2）求所在直线的方程.
【答案】(1) (2)
【详解】试题分析：（1）根据AC和BH的垂直关系可得到直线的方程为，再代入点A的坐标可得到直线的方程为，联立CM直线可得到C点坐标；（2）设，则，将两个点分别带入BH和CM即可求出，结合第一问得到BC的方程．
解析：
（1）因为，的方程为，不妨设直线的方程为，
将代入得，解得，
所以直线的方程为，
联立直线的方程，即，
解得点的坐标为.
（2）设，则，
因为点在上，点在上，
所以，解得，
所以,
所以直线的方程为，
整理得.
18．（2021秋·河北石家庄·高三石家庄实验中学校考开学考试）圆C过点，，且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程；
（2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求得线段垂直平分线的方程，与直线方程联立，求得圆心的坐标，由求得半径，由此求得圆的方程.
（2）设出点坐标，由此求得点坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程.
【详解】（1）直线的斜率，
所以的垂直平分线m的斜率为1.
的中点的横坐标和纵坐标分别为，.
因此，直线m的方程为.即.
又圆心在直线上，所以圆心是直线m与直线的交点.联立方程组
，
解得
所以圆心坐标为，又半径，
则所求圆的方程是.
（2）设线段的中点，
M为线段的中点，则，
解得
代入圆C中得，
即线段中点M的轨迹方程为.
【点睛】本小题主要考查圆的方程的求法，考查动点轨迹方程的求法，属于中档题.
19．（2022秋·河北石家庄·高二河北师范大学附属中学校考阶段练面直角坐标系中，圆C过点，和点，且圆心C在直线上，求圆C的标准方程．
【答案】
【分析】根据所给条件，利用待定系数法求圆的方程即可.
【详解】设圆C的圆心为，半径为，
则圆C标准方程为，
由题意，则，
解得，
故圆C的标准方程为.
20．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第十八中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，，分别是线段，的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见详解.
(2)
【分析】（1）过作交于，利用勾股定理证得，进而得到，进而证得平面，故平面平面；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再代入算得结果.
【详解】（1）如图，在四边形中，过作交于，在中，得，，则，得，
，
又由已知条件平面，
故平面，
又平面平面平面.
（2）为等腰三角形，，又因为平面，
以为原点建立空间直角坐标系，
如图：可得，
，
设平面的法向量为，根据
，得，令，则，得，
又，设直线与平面所成角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值.
21．（2023春·河北石家庄·高二石家庄一中校考阶段练习）如图，在三棱柱中，底面ABC，，点M为的中点．
(1)证明：平面；
(2)AC上是否存在点N，使二面角的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）连接与交于点O，连接OM，证明，根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，不妨设，设，，利用向量法求出，从而可得出的结论.
【详解】（1）解：连接与交于点O，则O为的中点，连接OM，
因为点M为的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）解：因为，
所以，所以，
如图建立空间直角坐标系，
设，则，，，
设，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则有，取，得，
设平面的一个法向量为，
则有，取得，
因为，解得或（舍），
此时，
所以AC上存在点N，当时，二面角的大小为.
22．（2020秋·河北保定·高二河北易县中学校考阶段练习）如图，四棱锥中，平面，是边长为2的等边三角形，直线与底面所成的角为45°，，，是棱的中点.
（1）求证：；
（2）在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，为的中点.
【分析】（1）根据平面，得到，，.然后根据已知条件计算，利用勾股定理逆定理证得，然后利用线面垂直的判定定理证得平面，从而证得.
（2）假设在棱上存在一点满足题意，则，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.利用空间向量探究求解即可.
【详解】（1）∵平面，平面，平面，平面，∴，，.
∵直线与底面所成的角为45°，∴.
∵是边长为2的等边三角形.
∴.
又，∴.
在中，，，∴.
在中，，，，
∴，∴.
又，平面.
又平面，∴.
（2）假设在棱上存在一点满足题意，，
由（1）可知，所以，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.如图所示，
则，，，，，
设，则，
∴，得，，，
∴，，
设平面得法向量为，则有，可得
令，则，，∴是平面的一个法向量.
易知为平面的一个法向量.
∴，
故即解得，
故在棱上存在点且为的中点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查线面垂直的判定与证明，考察利用空间向量坐标方法求解存在性问题，关键是经过证明判定后，建立适当的空间直角坐标系，并注意认真计算空间平面的法向量，还要熟练掌握线段上的点的坐标的表示方法.
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（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022秋·河北石家庄·高二正定一中校考期中）已知，若，则实数t的值为（ ）
A．－5 B．－6 C．－4 D．－3
2．（2022秋·河北张家口·高二张北县第一中学校考阶段练习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021春·河北衡水·高二校考阶段练习）在平行六面体中，M为与的交点．，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021秋·河北衡水·高二河北武强中学校考阶段练习）过点且平行于直线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022秋·河北石家庄·高二校考期中）设，向量，，且，则（ ）
A． B． C．3 D．4
6．（2022秋·河北邢台·高二邢台市第二中学校考阶段练习）已知，若直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）
A． B． C． D．或
7．（2020秋·河北石家庄·高二正定一中校考期中）如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄二中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆：，点是轴上的一个动点，，分别切圆C于P，Q两点，则线段长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023秋·河北石家庄·高三石家庄精英中学校考阶段练习）正方体的棱长为，为底面的中心，为线段上的动点（不包括两个端点），为线段的中点，则（ ）
A．与是异面直线
B．平面平面
C．存在点使得
D．当为线段中点时，过、，三点的平面截此正方体所得截面的面积为
10．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）若过点有两条直线与圆相切，则实数m的可能取值是（ ）
A．－3 B．3 C．0 D．
11．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第四十一中学校考期中）如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄二中校考阶段练习）已知直线，圆，则下列选项中正确的是（ ）
A．圆心的轨迹方程为
B．时，直线被圆截得的弦长的最小值为
C．若直线被圆截得的弦长为定值，则
D．时，若直线与圆相切，则
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2021秋·河北石家庄·高二石家庄一中校考期中）已知点，，，若，，三点共线，则 .
14．（2021秋·河北石家庄·高二石家庄实验中学校考阶段练习）直线的倾斜角的取值范围是 .
15．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第二十一中学校考阶段练习）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则= ．
16．（2023秋·河北保定·高二定州一中校考阶段练习）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ．
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄二中校考阶段练习）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为.
（1）求点的坐标；
（2）求所在直线的方程.
18．（2021秋·河北石家庄·高三石家庄实验中学校考开学考试）圆C过点，，且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程；
（2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程.
19．（2022秋·河北石家庄·高二河北师范大学附属中学校考阶段练面直角坐标系中，圆C过点，和点，且圆心C在直线上，求圆C的标准方程．
20．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第十八中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，，分别是线段，的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
21．（2023春·河北石家庄·高二石家庄一中校考阶段练习）如图，在三棱柱中，底面ABC，，点M为的中点．
(1)证明：平面；
(2)AC上是否存在点N，使二面角的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
22．（2020秋·河北保定·高二河北易县中学校考阶段练习）如图，四棱锥中，平面，是边长为2的等边三角形，直线与底面所成的角为45°，，，是棱的中点.
（1）求证：；
（2）在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由.
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