中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（河北2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022秋·河北石家庄·高二河北师范大学附属中学校考阶段练习），若三向量共面，则实数（ ）
A．3 B．2 C．15 D．5
【答案】D
【分析】利用向量共面的坐标运算进行求解即可.
【详解】∵，∴与不共线，
又∵三向量共面，则存在实数m，n使
即，解得．
故选：D．
2．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄二中校考阶段练习）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角.
【详解】设斜率为，倾斜角为，
∵，∴，．
故选：D．
3．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第十五中学校考阶段练习）如图，在四面体中，是的中点，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形法则先求得向量、，进而求得．
【详解】解：，
，
．
故选：B．
4．（2019春·河北石家庄·高一石家庄二中校考期末）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（ ）
A．4 B．10 C．5 D．
【答案】C
【分析】由题意可知两条动直线经过定点、，且始终垂直，有，利用勾股定理求出，再利用基本不等式求得答案.
【详解】由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过定点，
因为，所以动直线和动直线始终垂直，
又是两条直线的交点，
则有，，
故（当且仅当时取“” ，
故选：C．
5．（2022秋·河北邯郸·高二大名县第一中学校考阶段练习）已知，，则等于（ ）
A．（0，34，10） B．（-3，19，7） C．44 D．23
【答案】C
【分析】由题可得，再利用数量积的坐标表示即得.
【详解】∵，，
∴，
∴.
故选：C.
6．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄二中校考阶段练习）直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】先求得两点的坐标，求得关于对称点的坐标，根据三点共线求得的最大值.
【详解】依题意可知，
关于直线的对称点为，，
即求的最大值，
，
当三点共线，即与原点重合时，取得最大值为，
也即的最大值是.
故选：A
7．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄实验中学校考阶段练习）已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题首先可根据题意得出，然后求出与，最后根据空间点到直线的距离公式即可得出结果.
【详解】因为，，所以，
则，，
由点到直线的距离公式得，
故选：A.
8．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知圆是以点和点为直径的圆，点为圆上的动点，若点，点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设可知圆：，在坐标系中找到，应用三角线相似将转化到，再利用三角形的三边关系确定目标式的最大值即可.
【详解】由题设，知：且，即圆的半径为4，
∴圆：，
如上图，坐标系中则，
∴，即△△，故，
∴，在△中，
∴要使最大，共线且最大值为的长度.
∴.
故选：A
【点睛】关键点点睛：首先求出圆方程，找到定点使，进而将转化到其它线段，结合三角形三边关系求目标式的最值.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2021秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）已知向量，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用向量坐标运算法则直接求解．
【详解】解：向量，
，，，故正确；
，1，，故错误；
，故错误；
，故正确．
故选：．
10．（2021秋·河北石家庄·高二石家庄一中校考期中）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A．的倾斜角等于 B．在轴上的截距等于
C．与直线垂直 D．上存在与原点距离等于1的点
【答案】CD
【分析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角和直线方程，进而可判断A，B，C，对于计算出原点到直的距离即可判断
【详解】解：因为直线的一个方向向量为，
所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为（），则，所以，所以A错误；
因为经过点，所以直线的方程为，令，则，
所以在轴上的截距为，所以B错误；
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
所以，所以与直线垂直，所以C正确；
因为原点到直线的距离为，
所以上存在与原点距离等于1的点，所以D正确，
故选：CD
【点睛】此题考查直线方程的求法，考查两直线的位置关系，考查斜率与倾斜角的关系，考查点到直线的距离公式的应用，属于中档题
11．（2023秋·河北承德·高二承德市双滦区实验中学校考开学考试）如图，在棱长为1的正方体中（ ）
A．与的夹角为 B．二面角的平面角的正切值为
C．与平面所成角的正切值 D．点到平面的距离为
【答案】BCD
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法逐项判断即得.
【详解】如图建立空间直角坐标系，
则，
∴，，即，与的夹角为，故A错误；
设平面的法向量为，，
所以，令，则，
平面的法向量可取，二面角的平面角为，
则，所以，故B正确；
因为，设与平面所成角为，
则，故C正确；
因为，设点到平面的距离为，则
，故D正确.
故选：BCD.
12．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄实验中学校考阶段练习）已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有（ ）
A．的一个方向向量为
B．直线与两坐标轴围成三角形的面积为
C．与直线垂直
D．与直线平行
【答案】AC
【分析】根据点斜式求得直线的方程，结合直线的方向向量、截距、垂直、平行（重合）等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由题意直线的斜率为，直线方程为，即，
它与直线重合，D错误；
，因此是直线的一个方向向量，A正确；
在直线方程中令得，令得，
直线与两坐标轴围成三角形的面积为，B错误；
由于，C正确
故选：AC
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2019秋·河北邯郸·高二大名县第一中学校考阶段练习）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是 ．
【答案】
【分析】利用，即可求解．
【详解】，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了空间向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
14．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄二中校考阶段练习）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用直线的点斜式方程及两点间的距离，结合三角换元、辅助角公式及三角函数的性质即可求解.
【详解】由题意可知，动直线经过定点,
动直线,即，经过定点,
所以,
显然动直线和动直线始终垂直，
又因为是两条直线的交点，所以,
所以,
设,则
因为且，可得，
所以，
因为，所以，
所以，即.
所以的取值范围是.
故答案为：
15．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄实验中学校考阶段练习）四面体OABC的所有棱长都等于，E，F，G分别为OA，OC，BC中点，则 .
【答案】/0.5
【分析】取定空间的一个基底，用基底表示，，再计算空间向量数量积作答.
【详解】四面体OABC的所有棱长都等于，则此四面体是正四面体，不共面，
，因E，F，G分别为OA，OC，BC中点，
则，，
所以.
故答案为：
16．（2022春·河北石家庄·高三石家庄二中校考开学考试）已知为正方体表面上的一动点，且满足，则动点运动轨迹的周长为 .
【答案】
【分析】首先根据条件确定P点所处的平面，再建立坐标系求出动点P的轨迹方程，据此求出轨迹的长.
【详解】由可知，正方体表面上到点A距离最远的点为 ，
所以P点只可能在面，面，面上运动，
当P在面上运动时，如图示，建立平面直角坐标系，
则 ,
设，由得：，
即，即P点在平面ABCD内的轨迹是以E（4,0）为圆心，以 为半径的一段圆弧，
因为 ,故 ,
所以P点在面ABCD内的轨迹的长即为
同理，P点在面内情况亦为；
P点在面上时，因为，,
所以，
所以此时P点轨迹为以B为圆心，2为半径的圆弧，
其长为 ，
综上述，P点运动轨迹的周长为 ，
故答案为：.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2021秋·河北石家庄·高二石家庄市第十七中学校考阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，为与的交点．若，，．
（1）用，，表示．
（2）求的长．
（3）求与所成角的余弦值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据向量的线性运算法则，即可得答案.
（2）见模平方，结合数量积公式，整理计算，即可得答案.
（3）根据求夹角公式，代入计算，即可得答案.
【详解】（1）由题意得
（2）因为，所以，
，
所以
（3），所以，
所以
，
所以与所成角的余弦值为
18．（2020春·河北石家庄·高三石家庄一中校考阶段练习）（2017新课标全国Ⅲ理科）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）.
【详解】试题分析：（1）利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直；
（2）利用题意求得两个半平面的法向量，然后利用二面角的夹角公式可求得二面角D–AE–C的余弦值为.
试题解析：（1）由题设可得，，从而.
又是直角三角形，所以.
取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.
又由于是正三角形，故.
所以为二面角的平面角.
在中，.
又，所以，
故.
所以平面ACD⊥平面ABC.
（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则.
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得.
故.
设是平面DAE的法向量，则即
可取.
设是平面AEC的法向量，则同理可取.
则.
所以二面角D-AE-C的余弦值为.
【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算时，要认真细心，准确计算.
（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等，故有.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.
19．（2022秋·河北邢台·高二邢台市第二中学校考阶段练习）已知直线过点.
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；
(2)若直线在两坐标轴的截距互为相反数，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先设出与直线垂直的直线的方程，把点代入所设方程求解即可求得直线的方程；
（2）分直线过原点与不过原点两种情况，当过原点时，用点斜式可求；当直线不过原点时，用截距式设出直线的方程，再把点代入所设方程求解即可求得直线的方程
【详解】（1）因为直线与直线垂直
所以，设直线的方程为，
因为直线过点，
所以，解得，
所以直线的方程为.
（2）当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，
即.
当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，
所以直线的方程是.
综上，所求直线的方程为或.
20．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点．
（1）证明：；
（2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）通过证明，得出平面，即可由线面垂直的性质得出；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，可得为二面角的平面角，，求出平面的法向量和，利用向量关系可表示出直线与平面所成角的正弦值，即可根据范围求出.
【详解】（1）证明：如图，作的中点，连接，，
在等腰梯形中，，为，的中点，
∴，
在正中，为的中点，
∴，
∵，，，，平面，
∴平面，
又平面，∴．
（2）解：∵平面，
在平面内作，以为坐标原点，以，，，分别为，，，轴正向，如图建立空间直角坐标系，
∵，，∴为二面角的平面角，即，
，，，，，，
设平面的法向量为，，，
则有，即，
则可取，又，
设直线与平面所成角为，
∴，
∵，∴，
∴．
21．（2022秋·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考期中）如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）连接，由（1）知⊥平面，又直线与平面所成的角的正切值为，可得，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用二面角的坐标公式计算大小可得答案．
【详解】（1）是正三角形，为的中点，
．
又是直三棱柱，
平面ABC，
．
又，
平面．
（2）连接，由（1）知平面，
∴直线与平面所成的角为，
．
是边长为2的正三角形，则，
．
在直角中，，，
．
建立如图所示坐标系，则，，，，．
，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为．
，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为．
设平面与平面夹角为，则
．
平面与平面夹角的余弦值为．
22．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第二十五中学校考开学考试）如图，矩形所在的平面，分别是的中点，且
(1)求证：；
(2)平面和平面所成角的余弦值；
(3)在线段上是否存在一点，使平面？若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在中点，理由见解析
【分析】（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，证明即可；
（2）求出平面和平面的法向量，利用向量关系可求出；
（3）设，根据 即可求出.
【详解】（1）由题可以为原点建立如图所示空间直角坐标系，设，
则，
所以,
因为，所以，即；
（2）易得平面的一个法向量为，
因为，则,
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，即，
则，
由图可得平面和平面所成角为锐角，
所以平面和平面所成角的余弦值为.
（3）设存在点满足，则，所以，
因为，所以，
因为平面，则，即，解得，
所以存在点，使平面，此时在中点.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（河北2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022秋·河北石家庄·高二河北师范大学附属中学校考阶段练习），若三向量共面，则实数（ ）
A．3 B．2 C．15 D．5
2．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄二中校考阶段练习）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第十五中学校考阶段练习）如图，在四面体中，是的中点，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2019春·河北石家庄·高一石家庄二中校考期末）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（ ）
A．4 B．10 C．5 D．
5．（2022秋·河北邯郸·高二大名县第一中学校考阶段练习）已知，，则等于（ ）
A．（0，34，10） B．（-3，19，7） C．44 D．23
6．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄二中校考阶段练习）直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄实验中学校考阶段练习）已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知圆是以点和点为直径的圆，点为圆上的动点，若点，点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2021秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）已知向量，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021秋·河北石家庄·高二石家庄一中校考期中）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A．的倾斜角等于 B．在轴上的截距等于
C．与直线垂直 D．上存在与原点距离等于1的点
11．（2023秋·河北承德·高二承德市双滦区实验中学校考开学考试）如图，在棱长为1的正方体中（ ）
A．与的夹角为 B．二面角的平面角的正切值为
C．与平面所成角的正切值 D．点到平面的距离为
12．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄实验中学校考阶段练习）已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有（ ）
A．的一个方向向量为
B．直线与两坐标轴围成三角形的面积为
C．与直线垂直
D．与直线平行
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2019秋·河北邯郸·高二大名县第一中学校考阶段练习）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是 ．
14．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄二中校考阶段练习）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是 ．
15．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄实验中学校考阶段练习）四面体OABC的所有棱长都等于，E，F，G分别为OA，OC，BC中点，则 .
16．（2022春·河北石家庄·高三石家庄二中校考开学考试）已知为正方体表面上的一动点，且满足，则动点运动轨迹的周长为 .
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2021秋·河北石家庄·高二石家庄市第十七中学校考阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，为与的交点．若，，．
（1）用，，表示．
（2）求的长．
（3）求与所成角的余弦值．
18．（2020春·河北石家庄·高三石家庄一中校考阶段练习）（2017新课标全国Ⅲ理科）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.
19．（2022秋·河北邢台·高二邢台市第二中学校考阶段练习）已知直线过点.
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；
(2)若直线在两坐标轴的截距互为相反数，求直线的方程.
20．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点．
（1）证明：；
（2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
21．（2022秋·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考期中）如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．
22．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第二十五中学校考开学考试）如图，矩形所在的平面，分别是的中点，且
(1)求证：；
(2)平面和平面所成角的余弦值；
(3)在线段上是否存在一点，使平面？若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
