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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（河南1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022秋·河南郑州·高二郑州外国语学校校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则与所在直线平行
B．向量、、共面即它们所在直线共面
C．空间任意两个向量共面
D．若，则存在唯一的实数λ，使
2．（2022秋·河南郑州·高二郑州外国语学校校考阶段练习）下列说法正确的是( )
A．若直线的斜率为，则该直线的倾斜角为
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
D．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
3．（2022秋·河南郑州·高二郑州外国语学校校考期中）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．（2022秋·河南郑州·高二郑州外国语学校校考期中）过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
5．（2022秋·河南郑州·高二郑州市第七中学校考阶段练习）已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·河南郑州·高二郑州市第七中学校考阶段练习）若直线与平行，则与间的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
7．（2022秋·河南郑州·高二郑州外国语学校校考阶段练习）在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·河南郑州·高二郑州外国语学校校考阶段练习）直线与圆相交于A，B两点，若，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023秋·河南·高二长葛市第二高级中学校联考开学考试）已知是直线l的一个方向向量，是平面的一个法向量，则下列说法正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2023秋·河南焦作·高三博爱县第一中学校考开学考试）已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值可能为（ ）
A．1 B． C．﹣2 D．﹣1
11．（2022秋·河南郑州·高二郑州市第七中学校考阶段练习）在棱长为1的正方体中，已知E为线段的中点，点F和点P分别满足，，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．当λ=时，三棱锥P-EFD的体积为定值
B．当 =时，四棱锥P-ABCD的外接球的表面积是
C．的最小值为
D．存在唯一的实数对，使得EP⊥平面PDF
12．（2022秋·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习）以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．圆与圆恰有三条公切线，则
D．已知圆，点P为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·河南郑州·高二郑州市第九中学校考阶段练习）球为正四面体的内切球，，是球的直径，点在正四面体的表面运动，则的最大值为 ．
14．（2022秋·河南郑州·高二巩义二中校联考阶段练习）若直线经过两点，且倾斜角为，则的值为 ．
15．（2022秋·河南郑州·高二郑州市第七中学校考阶段练习）如图所示,在空间四边形OABC中，,点在线段上，且，为中点，若，则
16．（2022秋·河南郑州·高二郑州外国语学校校考阶段练习）若直线：y＝kx－k＋1与直线关于点（3，3）对称，则直线恒过定点 .
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2022秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知空间向量与夹角的余弦值为，且，，令，．
(1)求，为邻边的平行四边形的面积S；
(2)求，夹角的余弦值．
18．（2022秋·河南濮阳·高二濮阳南乐一高校考阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B．
(1)求面积的最小值及此时直线l的方程；
(2)求当取得最小值时直线l的方程．
19．（2022秋·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；
(2)设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长；
(3)若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值．
20．（2023春·河南许昌·高三鄢陵一中校考阶段练习）如图所示，六面体的底面是菱形，，且平面，平面与平面的交线为.
(1)证明：直线平面；
(2)已知，三棱锥的体积，若与平面所成角为，求的取值范围.
21．（2023秋·河南濮阳·高二濮阳一高校考阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，△SAD是等边三角形，平面平面ABCD，AB＝1，P为棱AD的中点，四棱锥的体积为．
(1)若E为棱SA的中点，F为棱SB的中点，求证：平面平面SCD．
(2)在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由．
22．（2022秋·河南濮阳·高二濮阳南乐一高校考阶段练习）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求平面与平面所成角；
(3)若线段上总存在一点，使得，求的最大值．
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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（河南1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022秋·河南郑州·高二郑州外国语学校校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则与所在直线平行
B．向量、、共面即它们所在直线共面
C．空间任意两个向量共面
D．若，则存在唯一的实数λ，使
【答案】C
【分析】根据空间向量的相关观念逐一判断即可.
【详解】对于A，若，，当时与所在直线可以不平行，因此不正确；
对于B，向量、、共面，则它们所在直线可能共面，也可能不共面，因此不正确；
对于C，根据共面向量基本定理可知：空间任意两个向量共面，正确；
对于D，若且，则存在唯一的实数λ，使，因此不正确．
故选：C．
2．（2022秋·河南郑州·高二郑州外国语学校校考阶段练习）下列说法正确的是( )
A．若直线的斜率为，则该直线的倾斜角为
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
D．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
【答案】B
【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系逐项分析判断即可．
【详解】对于选项A：直线倾斜角的的范围是.例如，若直线的斜率为，则其倾斜角为，而不是，故A错误；
对于选项B：直线倾斜角的的范围是，故B正确；
对于选项C：当直线垂直于x轴时，其倾斜角为，∵无意义，∴不存在斜率，故C错误；
对于选项D：在，正切函数不单调，故D错误．
故选：B
3．（2022秋·河南郑州·高二郑州外国语学校校考期中）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】利用向量基底的定义和向量的线性运算的应用逐一判断即可求解.
【详解】对于A，若向量，，共面，则，无解，所以向量，，不共面，故A错误；
对于B，若向量，，共面，则，无解，所以向量，，不共面，故B错误；
对于C，若向量，，共面，则，无解，所以向量，，不共面，故C错误；
对于D，若向量，，共面，则，即，解得，所以向量，，共面，故D正确.
故选：D.
4．（2022秋·河南郑州·高二郑州外国语学校校考期中）过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.
【详解】动直线化为，可知定点，
动直线化为，可知定点，
又
所以直线与直线垂直，为交点，
.
则，当且仅当时，等号成立.
即面积的最大值为2.
故选：C.
5．（2022秋·河南郑州·高二郑州市第七中学校考阶段练习）已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量表示出点Q坐标，再求出，的坐标，借助数量积建立函数关系即可求解.
【详解】因点Q在直线上运动，则，设，于是有，
因为，，所以，，
因此，，
于是得
，
则当时，，此时点Q，
所以当取得最小值时，点Q的坐标为.
故选：C
6．（2022秋·河南郑州·高二郑州市第七中学校考阶段练习）若直线与平行，则与间的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】先由两直线平行，列方程求出，再利用两平行线间的距离公式可求得结果.
【详解】因为直线与平行，
所以，且，
解得，
所以直线，，
所以，，
所以与间的距离为，
故选：B
7．（2022秋·河南郑州·高二郑州外国语学校校考阶段练习）在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先计算出平面的法向量，再计算出与平面所成角的正弦值，然后根据四棱锥的高为即可计算结果.
【详解】设平面的法向量为，
则，即，
令，可得，，则.
.
设与平面所成的角为：则.
故到平面的距离为，即四棱锥的高为.
故选：D.
8．（2022秋·河南郑州·高二郑州外国语学校校考阶段练习）直线与圆相交于A，B两点，若，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用圆的弦长、半径、弦心距的关系结合已知求出弦心距的范围，再借助点到直线的距离公式计算作答.
【详解】令圆的圆心到直线l的距离为d，而圆半径为，弦AB长满足，
则有，又，于是得，解得，
所以实数m的取值范围为.
故选：B
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023秋·河南·高二长葛市第二高级中学校联考开学考试）已知是直线l的一个方向向量，是平面的一个法向量，则下列说法正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】AD
【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的关系逐一判断即可.
【详解】若，则，得，得，A正确，B错误．
若，则，得，得，C错误，D正确．
故选：AD
10．（2023秋·河南焦作·高三博爱县第一中学校考开学考试）已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值可能为（ ）
A．1 B． C．﹣2 D．﹣1
【答案】BCD
【分析】根据三条直线中有两条直线的斜率相等时，或者三条直线交于一点时，不能构成三角形进行求解即可.
【详解】因为直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为，所以直线一定相交，交点坐标是方程组的解，解得交点坐标为：.
当时，直线与横轴垂直，方程为：不经过点，所以三条直线能构成三角形；
当时，直线的斜率为：.
当直线l1与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；
当直线l2与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；
当直线l3过直线交点时，三条直线不能构成三角形，即有，
故选：BCD
【点睛】本题考查了三条直线不构成三角形求参数取值范围问题，考查了直线平行与相交的判断，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.
11．（2022秋·河南郑州·高二郑州市第七中学校考阶段练习）在棱长为1的正方体中，已知E为线段的中点，点F和点P分别满足，，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．当λ=时，三棱锥P-EFD的体积为定值
B．当 =时，四棱锥P-ABCD的外接球的表面积是
C．的最小值为
D．存在唯一的实数对，使得EP⊥平面PDF
【答案】ACD
【分析】对于A选项，当时，，只需要证明点到平面的距离恒定，就能说明三棱锥的体积为定值；对于B选项，当时，点为正方体的中心，只需求出四棱锥的外接球的半径即可算出表面积；对于C选项，把问题转化为在平面内求点使得最小即可求解；对于D选项，建立空间直角坐标系，利用向量方法来证明即可.
【详解】对于A选项，当时，点为线段的中点，又为线段的中点，故为三角形的中位线，，点在线段运动时，点到平面的距离恒定，故三棱锥的体积为定值；对于B选项，当时，点为正方体的中心，设四棱锥的外接球的半径为，由，解得，故四棱锥的外接球的表面积为对于C选项，把问题转化为在平面内求点使得最小，如图，作点关于线段的对称点，过点作的垂线，垂足分别为和，
则，设，则，故，故
对于D选项，以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，
易求得，，故，若平面，
则
解得（舍）或故存在唯一的实
数对，使得平面.
故选：.
12．（2022秋·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习）以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．圆与圆恰有三条公切线，则
D．已知圆，点P为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点
【答案】BCD
【解析】将直线的方程进行整理利用参数分离即可判断选项A；根据圆心到直线的距离与半径的关系比较即可判断选项B；由题意知两圆外切；由圆心距等于半径即可求得值，即可判断选项C；设出点坐标，求出以线段为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减即可得直线的方程，即可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】对于选项A：由可得：，
由可得，所以直线恒过定点，故选项A不正确；
对于选项B：圆心到直线的距离等于，圆的半径，
平行于且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切，
故圆上有且仅有3个点到直线的距离等于，故选项B正确；
对于选项C：由可得，圆心，，
由 可得，
圆心，，由题意可得两圆相外切，所以，
即，解得：，故选项C正确；
对于选项D：设点坐标为，所以，即，
因为、分别为过点所作的圆的两条切线，所以，，
所以点在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为，
整理可得：，与已知圆相减可得，
消去可得：即，由可得，
所以直线经过定点，故选项D正确.
故选：BCD.
【点睛】结论点睛：
（1）圆和圆的公共弦的方程为两圆的方程相减即可.
（2）已知，，以线段为直径的圆的方程为：
.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·河南郑州·高二郑州市第九中学校考阶段练习）球为正四面体的内切球，，是球的直径，点在正四面体的表面运动，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】设球的半径为，利用正四面体的性质可得，进而可得，然后根据向量线性运算及数量积的运算律可得，进而即得.
【详解】设球的半径为，由题可知正四面体的高为，
所以，
解得，
因为点在正四面体的表面运动，
所以，
所以.
故答案为：.
14．（2022秋·河南郑州·高二巩义二中校联考阶段练习）若直线经过两点，且倾斜角为，则的值为 ．
【答案】
【分析】利用斜率计算公式即可得出．
【详解】解：由题意可得：，
解得，
故答案为：．
15．（2022秋·河南郑州·高二郑州市第七中学校考阶段练习）如图所示,在空间四边形OABC中，,点在线段上，且，为中点，若，则
【答案】
【分析】用表示 ，从而求出，即可求出，从而得出答案
【详解】点在上，且，为的中点
故
故答案为
【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，运用向量的加法法则来求解，属于基础题
16．（2022秋·河南郑州·高二郑州外国语学校校考阶段练习）若直线：y＝kx－k＋1与直线关于点（3，3）对称，则直线恒过定点 .
【答案】（5，5）
【分析】先求所过定点，再该点关于点（3，3）的对称点即可.
【详解】∵，∴：y＝kx－k＋1过定点（1，1），
设点（1，1）关于点（3，3）对称的点的坐标为（x，y），
则，解得，即直线恒过定点（5，5）.
故答案为：（5，5）.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2022秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知空间向量与夹角的余弦值为，且，，令，．
(1)求，为邻边的平行四边形的面积S；
(2)求，夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用算出答案即可；
（2）分别求出、、的值即可.
【详解】（1）根据条件，，∴；
∴；
（2）
；
，
；
∴.
18．（2022秋·河南濮阳·高二濮阳南乐一高校考阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B．
(1)求面积的最小值及此时直线l的方程；
(2)求当取得最小值时直线l的方程．
【答案】(1)6，
(2)
【分析】（1）设直线方程为，，求出两点坐标，从而求得面积，由基本不等式得最小值，从而得此时直线方程；
（2）设，，由A，P，B三点共线得，计算，用基本不等式求得最小值，并求得值得直线方程．
【详解】（1）∵点在第一象限，且直线l分别与x轴正半轴 、y轴正半轴相交，
∴直线l的斜率，
则设直线l的方程为，，
令，得；令，得．
∴．
∵，∴，
∴，当且仅当，即时等号成立．
∴面积的最小值为6．
此时直线l的方程为，即．
（2）设，，，．
∵A，P，B三点共线，∴，整理得，
∴，当且仅当，即时等号成立，
∴当取得最小值时，直线l的方程为，即．
19．（2022秋·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；
(2)设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长；
(3)若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1) 设，，可得，代入圆化简即可；
(2) 联立方程和，得MN所在公共弦所在的直线方程,再由弦长公式可求得结果；
(3) 作关于轴得对称点，连接与x轴交于Q点，根据时求解即可.
【详解】（1）设，，点A在圆，所以有：，
P是A，B的中点，，即，得P得轨迹方程为：；
（2）联立方程和，得MN所在公共弦所在的直线方程，
设到直线MN得距离为d，则,
所以，；
（3）作出关于轴得对称点，
如图所示；
连接与x轴交于Q点，点Q即为所求，
此时，所以的最小值为.
20．（2023春·河南许昌·高三鄢陵一中校考阶段练习）如图所示，六面体的底面是菱形，，且平面，平面与平面的交线为.
(1)证明：直线平面；
(2)已知，三棱锥的体积，若与平面所成角为，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据线面平行以及线面垂直，求出线面垂直即可；
(2)作辅助线得出在点处可以作为原点建立空间直角坐标系，利用已知求出，进而求出，结合平面的法向量求出的取值范围即可.
【详解】（1）连接，
，即.
四边形为平行四边形，则.
平面平面
平面，
平面平面，又平面，
，
四边形是菱形，，
又平面平面，则，
又，平面，
平面，又
平面.
（2）连接交于点，，则.
平面，
平面，因为平面，
则.
，四边形是菱形，则，
，
以为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，
设，则.
.
，即，
，则，
，又是平面的一个法向量，
，
设，则
.
21．（2023秋·河南濮阳·高二濮阳一高校考阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，△SAD是等边三角形，平面平面ABCD，AB＝1，P为棱AD的中点，四棱锥的体积为．
(1)若E为棱SA的中点，F为棱SB的中点，求证：平面平面SCD．
(2)在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点M，位于AS的靠近点A的三等分点处
【分析】（1）由题可得EPSD，EFCD，即证；
（2）由题可得SP⊥平面ABCD，结合条件可得AD的长，建立空间直角坐标系，设＝λ，利用条件列方程，即可解得.
【详解】（1）因为E、F分别是SA、SB的中点，
所以EF AB，
在矩形ABCD中，AB CD，
所以EF CD，CD 平面SCD，EF平面SCD，
∴EF 平面SCD，
又因为E、P分别是SA、AD的中点，
所以EP SD，SD 平面SCD，EP平面SCD，
∴EP 平面SCD，
又EF∩EP＝E，EF，EP平面PEF，
所以平面PEF 平面SCD．
（2）假设在棱SA上存在点M满足题意，
在等边三角形SAD中，P为AD的中点，所以，
又平面平面ABCD，平面平面ABCD＝AD，平面SAD，
所以平面ABCD，所以SP是四棱锥的高．
设，则，，
所以，所以m＝2．
以点P为原点，，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，，．
设，所以．
设平面PMB的一个法向量为，则，
所以取．易知平面SAD的一个法向量为，
所以，
因为，所以，
所以存在点M，位于AS的靠近点A的三等分点处满足题意．
22．（2022秋·河南濮阳·高二濮阳南乐一高校考阶段练习）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求平面与平面所成角；
(3)若线段上总存在一点，使得，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）设，连接，进而证明即可证明结论；
（2）根据题意平面，进而以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用坐标法求解即可；
（3）设，其中，进而结合题意得，再求解即可.
【详解】（1）证明：设，连接，
因为矩形中是线段的中点，是线段的中点，
所以，，所以为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）解：由题意，正方形和矩形所在的平面互相垂直，
因为平面平面，，
所以平面，
所以，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
若，则，
则，，
可知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则由，可知，
不妨令，则，，即，
设平面与平面所成角为，
因为为锐角，所以，
所以平面与平面所成角的大小为．
（3）解：，则，
因为点在线段上，设，其中，
则，从而点坐标为，
于是，而，
则由可知，即，
所以，解得，故的最大值为
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