中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（黑龙江2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市实验中学校考阶段练习）已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.
【详解】设与的夹角为．由，得，两边平方，得，
所以，解得，又，所以，
故选：C．
2．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考开学考试）已知，，从点射出的光线经直线反射后，再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴的对称点，则的长就是所求路程．
【详解】由题意直线方程为，设关于直线的对称点，
则，解得，即，又关于轴的对称点为，
．
故选：C
3．（2021秋·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期中）如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的线性运算可得结果.
【详解】因为，即为的中点，所以，
因为，所以，
.
故选：C
4．（2021秋·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考阶段练习）已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】考虑截距是否为0，分两种情况求解，求出直线斜率，即可求得答案.
【详解】由题意设直线与x轴交点为，则与y轴交点为，
当时，直线过原点，斜率为，故方程为；
当时，直线的斜率，
故直线方程为，即，
故选：D
5．（2022秋·黑龙江大庆·高二肇州县第二中学校考阶段练习）已知空间三点，，，若向量与的夹角为60°，则实数（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】直接由空间向量的夹角公式计算即可
【详解】，，，
，
由题意有
即，
整理得，
解得
故选：B
6．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市实验中学校考阶段练习）点关于直线的对称点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出对称点，根据对称 关系列出式子即可求解.
【详解】解：设点关于直线的对称点是，
则有，解得，，
故点关于直线的对称点是.
故选：B.
【点睛】方法点睛：关于轴对称问题：
（1）点关于直线的对称点，则有；
（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
7．（2022·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）直角中，是斜边上的一动点，沿将翻折到，使二面角为直二面角，当线段的长度最小时，四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，过点作交延长线于，过点作交于，再作，使得与交于点，设，进而得，，，故，当且仅当时等号成立，再根据题意，以为坐标原点，以的方向为正方向建立空间直角坐标系，设四面体的外接球的球心为，进而利用坐标法求球心坐标，进而求出四面体外接球的半径，表面积.
【详解】解：根据题意，图1的直角三角形沿将翻折到使二面角为直二面角，
所以，过点作交延长线于，过点作交于，
再作，使得与交于点，
所以，由二面角为直二面角可得，
设，即，则，
因为，所以，
所以，在中，，
在中，，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
此时，，，，
在图1中，由于，即为角的角平分线，
所以，即，
所以，所以，，
由题知，两两垂直，故以为坐标原点，以的方向为正方向建立空间直角坐标系，
则，
所以，设四面体的外接球的球心为，
则，
即，即，
解得，，即，
所以四面体的外接球的半径为 ，
所以四面体的外接球的表面积为.
故选：D
【点睛】本题考查空间几何折叠问题中的距离最值问题，几何体的外接内切问题，考查空间想象能力，运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于由二面角为直二面角构造辅助线（过点作交延长线于，过点作交于，
再作，使得与交于点），进而通过表示，空间几何体的外接球的半径的求解利用坐标法求解即可.
8．（2022秋·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考阶段练习）已知点在过点且与直线垂直的直线上，则圆：上的点到点的轨迹的距离的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．
【答案】A
【分析】利用直线垂直的性质、直线的点斜式以及直线与圆上的点的位置关系进行求解.
【详解】过点且与直线垂直的直线为：，
已知点在该直线上，所以，即，
所以点的轨迹方程为，又圆：，
所以圆心，半径，所以圆上的点到点的轨迹的距离的最小值为：
.故A，B，D错误.
故选：A.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·黑龙江牡丹江·高二牡丹江一中校考阶段练习）给出下列命题，其中正确的有（ ）
A．空间任意三个向量都可以作为一个基底
B．已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．，，，是空间中的四个点，若，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面
D．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
【答案】BCD
【分析】作为空间中基底的性质，结合各选项的描述判断正误即可.
【详解】A：空间中共面的三个向量不能作为基底，故错误；
B：向量，即，可平移到一条直线上，它们与其它任何向量都会共面，故不能作为基底，正确；
C：，，不能构成空间的一个基底，即它们共面，则，，，共面，正确；
D：是空间的一个基底，即它们不共面，由即共面，故与不共面，则是空间的一个基底，正确.
故选：BCD
10．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）下列有关直线的说法中正确的有（ ）
A．经过两点和（其中，为相异的两点）的直线方程可表示为：
B．方程与方程表示同一条直线
C．是直线与直线互相垂直的充分不必要条件
D．直线：不过第一象限时，的范围是
【答案】AC
【分析】利用直线方程的性质逐项判断即可.
【详解】解：对于A，此方程为直线的两点式方程变形，但是包含了与轴平行或垂直的直线，即直线方程可表示为，故A正确；
对于B，方程可表示过点的直线，程表示的直线不能过点，故B错误；
对于C，直线与直线，可得，解得：或，则是直线与直线互相垂直的充分不必要条件，故C正确；
对于D，直线：过定点，如图
当时符合，当时，也符合直线不过第一象限，故的范围是，故D错误.
故选：AC.
11．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第一中学校校考阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（ ）
A．的方程为
B．在上存在点，使得到点的距离为
C．在上存在点，使得
D．上的点到直线的最小距离为
【答案】ABD
【分析】对于A，设点，由结合两点间的距离公式化简即可判断，对于B，由A可知曲线C的方程表示圆心为，半径为的圆，从而可求出圆上的点到点的距离的范围，进而进行判断，对于C，设，由，由距离公式可得方程，再结点在曲线C上，得到一个方程，两方程联立求解判断，对于D，由于曲线C的方程表示圆心为，半径为的圆，所以只要求出圆心到直线的距离减去圆的半径可得答案
【详解】由题意可设点，由，，，得，化简得，即，所以选项A正确；
对于选项B，曲线C的方程表示圆心为，半径为的圆，点与圆心的距离为，与圆上的点的距离的最小值为，最大值为，而，所以选项B正确；
对于选项C，设，由，得，又，联立方程消去得，解得无解，所以选项C错误；
对于选项D，的圆心到直线的距离为，且曲线的半径为，则上的点到直线的最小距离故选项D正确；
故选：ABD．
12．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）已知正方体的棱长为2，棱AB的中点为M，点N在正方体的内部及其表面运动，使得平面，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．当最大时，MN与BC所成的角为
C．正方体的每个面与点N的轨迹所在平面夹角都相等
D．若，则点N的轨迹长度为
【答案】ACD
【分析】首先利用平面的基本性质确定点所在平面，且面面，构建空间直角坐标系，求面的一个法向量，应用向量法求到面的距离，进而求三棱锥的体积判断A；找到最大时MN与BC所成角的平面角即可判断B；判断，，与的夹角余弦值的绝对值是否相等即可判断C；N的轨迹是以为球心的球体被面所截的圆，进而求周长判断D.
【详解】过中点作与交，作与交，重复上述步骤，
依次作的平行线与分别交于（注意各交点均为各棱上的中点），
最后依次连接各交点，得到如下图示的正六边形，
因为，面，面，
所以面，同理可得面，
因为，面，所以面面，
所以面中直线都平行于面，又面，且平面，
所以面，即面，
根据正方体性质，可构建如下图示的空间直角坐标系，则，，，，且，，，，，，
A：由上分析知：面任意一点到面的距离，即为到面的距离，
而，，若为面的一个法向量，
所以，令，则，而，
所以到面的距离，即到面的距离为，
又△为等边三角形，则，
所以三棱锥的体积为定值，正确；
B：由图知：当与重合时最大为，且，
所以MN与BC所成的角，即为，错误；
C：由正方体性质，只需判断各侧面的法向量，，与的夹角余弦值的绝对值是否相等即可，
又，同理可得，
所以正方体的每个面与点N的轨迹所在平面夹角都相等，正确；
D：若，则点N的轨迹是以为球心的球体被面所截的圆，
因为面面，故也是面的法向量，而，
所以到面的距离为，故轨迹圆的半径，
故点N的轨迹长度为，正确.
故选：ACD
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考开学考试）二面角为，,是棱上的两点，，分别在半平面，内，，，且，，则的长为 ．
【答案】
【分析】将分解为，再求模即可.
【详解】由题意，∵二面角为，，，∴与夹角为，
∴与夹角为，
，
∴，即的长为.
故答案为：.
14．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第二十四中学校校考阶段练习）已知直线过两点且倾斜角为，则的值为 .
【答案】
【分析】由两点求得得斜率与倾斜角的正切值相等可求得m.
【详解】因直线的倾斜角为，则其斜率，
又由，，
则的斜率，
则有．
故答案为：.
15．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第二十四中学校校考阶段练习）已知四棱柱的底面是正方形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为 ．
【答案】
【分析】由向量的方法计算，将表示成，平方即可.
【详解】由题可知四棱柱为平行六面体，，
所以
，
所以.
故答案为：.
16．（2019春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）点到直线的距离的最大值为 .
【答案】
【分析】先判断过定点，可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离，从而可得结果.
【详解】化简可得，
由，
所以过定点，
点到直线的距离的最大值就是
点与点的距离为，
故答案为.
【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将求最大值的问题转化成了两点间的距离的问题来解决，转化巧妙.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2020秋·黑龙江牡丹江·高二牡丹江一中校考开学考试）求适合下列条件的直线方程：
经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的倍；
经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．
【答案】（1）（2）或
【分析】（1）根据倾斜角等于直线的倾斜角的倍，求出直线的倾斜角，再利用点斜式写出直线．
（2）与两坐标轴围成一个等腰直角三角形等价于直线的斜率为.
【详解】（1）已知，
直线方程为化简得
（2）由题意可知，所求直线的斜率为.
又过点，由点斜式得，
所求直线的方程为或
【点睛】本题考查直线方程，属于基础题．
18．（2022秋·黑龙江牡丹江·高二牡丹江一中校考阶段练习）在中，，，.
(1)求；
(2)若点在上，且，求点的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量的坐标运算及数量积运算求解即可；
（2）由向量的线性运算和坐标运算求解即可．
【详解】（1）解：因为，
所以，
则
所以．
（2）解：由（1）知，，因为，所以点的坐标为．
设点为坐标原点，，则，
则，
所以，点的坐标为.
19．（2021秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知为三个不同的定点，且A，B，C不共线，.以原点为圆心的圆与线段都相切.
（Ⅰ）求圆的方程及的值；
（Ⅱ）若直线与圆相交于两点，且，求的值；
（Ⅲ）在直线上是否存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有为常数？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）, ；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析
【分析】（Ⅰ）根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径求解；（Ⅱ）用坐标表示向量积，再联立直线与圆方程，消元代入向量积求解；（Ⅲ）假设A、P的坐标，根据两点距离公式与建立等式，再根据A、P分别满足直线和圆的方程化简等式，最后根据等式恒成立的条件求解.
【详解】（Ⅰ）由于圆与线段相切，所以半径.
即圆的方程为.
又由题与线段相切，
所以线段方程为.即.
故直线的方程为.
由直线和圆相切可得：，
解得或.由于为不同的点，所以.
（Ⅱ）设，，则.
由可得，
，解得.所以.
故.
所以.所以.
故.
（Ⅲ）设.
则，.
若在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点，
都有为常数,
等价于对圆上任意点恒成立.
即.
整理得.
因为点在直线上，所以.
由于在圆上，所以.
故对任意恒成立.
所以显然，所以.
故，
因为，解得或.
当时，，此时重合，舍去.
当时，，
综上，存在满足条件的定点，此时.
【点睛】本题考查直线与圆的综合应用.主要知识点有：点到直线的距离公式及应用，向量数量积的坐标表示，两点距离公式.
20．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第二十四中学校校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，底面ABC为等腰直角三角形，，AB＝AC＝2，，M是侧棱上一点，设．
(1)若，求证：；
(2)若，求直线与平面ABM所成角的正弦值；
(3)若，求点M到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)1
【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据运算证明；（2）先求平面ABM的法向量，再根据线面夹角运算求解；（3）先求平面的法向量，再根据点到面的距离运算求解．
（1）
由题意可得AB，AC，两两垂直，以A为原点，AB，AC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
当h＝1时，，，，
则，
∵
∴．
（2）
当h＝2时，，，，，
，，，设平面ABM的法向量
则，取y＝1，得是平面ABM的一个法向量
设直线与平面ABM所成角为
则
∴直线与平面ABM所成角的正弦值为．
（3）
当h＝3时，，，，，
，，，
设平面的法向量，则，
取a＝2，得是平面的一个法向量
∴点M到平面的距离．
21．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考开学考试）已知正四棱柱中，.
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）直接建立空间直角坐标系，表示出，由即可证明；
（2）求出平面和的法向量，由向量夹角的余弦公式求解即可；
（3）假设存在，设，求出平面的法向量，由法向量垂直求出，即可求解.
【详解】（1）
易得两两垂直，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，
则，则，
，则；
（2）由（1）知，则，
设平面的法向量为，则，令，则，
设平面的法向量为，则，令，则，
则，又二面角为钝角，则二面角的余弦值为；
（3）假设存在，设，则，又，则，
设平面的法向量，则，令，则，
又由（2）知平面的法向量为，由平面平面，可得，
即，解得，则，.
22．（2022秋·黑龙江·高三哈尔滨三中校考期中）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形为菱形，，，.
(1)求证：；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)点存在，.
【分析】（1）连接与相交于点，连接， 证明平面，可得，再利用已知条件证明平面，可证得.
（2）建立空间直角坐标系，设出点坐标，利用法向量表示平面与平面的夹角的余弦，求出点坐标.
【详解】（1）连接与相交于点，连接，如图所示：
四边形为菱形，∴为的中点，有，
为等边三角形，有，
平面，，∴平面，
平面，∴，
四边形为菱形，∴，
平面，，
平面，平面，∴
（2）分别为的中点，连接，
由（1）可知，又，
平面，，平面，
，平面，
为等边三角形，，
以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
由，，∴，，
设，则，有,
∴，，，
设平面的一个法向量，则有，
令，则，，即，
平面的一个法向量为的方向上的单位向量，
若平面与平面的夹角的余弦值为，则有，
，由，∴，解得.
所以，点存在， .
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（黑龙江2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市实验中学校考阶段练习）已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考开学考试）已知，，从点射出的光线经直线反射后，再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（ ）
A． B．6 C． D．
3．（2021秋·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期中）如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021秋·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考阶段练习）已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．（2022秋·黑龙江大庆·高二肇州县第二中学校考阶段练习）已知空间三点，，，若向量与的夹角为60°，则实数（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市实验中学校考阶段练习）点关于直线的对称点是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）直角中，是斜边上的一动点，沿将翻折到，使二面角为直二面角，当线段的长度最小时，四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考阶段练习）已知点在过点且与直线垂直的直线上，则圆：上的点到点的轨迹的距离的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·黑龙江牡丹江·高二牡丹江一中校考阶段练习）给出下列命题，其中正确的有（ ）
A．空间任意三个向量都可以作为一个基底
B．已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．，，，是空间中的四个点，若，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面
D．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
10．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）下列有关直线的说法中正确的有（ ）
A．经过两点和（其中，为相异的两点）的直线方程可表示为：
B．方程与方程表示同一条直线
C．是直线与直线互相垂直的充分不必要条件
D．直线：不过第一象限时，的范围是
11．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第一中学校校考阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（ ）
A．的方程为
B．在上存在点，使得到点的距离为
C．在上存在点，使得
D．上的点到直线的最小距离为
12．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）已知正方体的棱长为2，棱AB的中点为M，点N在正方体的内部及其表面运动，使得平面，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．当最大时，MN与BC所成的角为
C．正方体的每个面与点N的轨迹所在平面夹角都相等
D．若，则点N的轨迹长度为
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考开学考试）二面角为，,是棱上的两点，，分别在半平面，内，，，且，，则的长为 ．
14．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第二十四中学校校考阶段练习）已知直线过两点且倾斜角为，则的值为 .
15．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第二十四中学校校考阶段练习）已知四棱柱的底面是正方形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为 ．
16．（2019春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）点到直线的距离的最大值为 .
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2020秋·黑龙江牡丹江·高二牡丹江一中校考开学考试）求适合下列条件的直线方程：
经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的倍；
经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．
18．（2022秋·黑龙江牡丹江·高二牡丹江一中校考阶段练习）在中，，，.
(1)求；
(2)若点在上，且，求点的坐标.
19．（2021秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知为三个不同的定点，且A，B，C不共线，.以原点为圆心的圆与线段都相切.
（Ⅰ）求圆的方程及的值；
（Ⅱ）若直线与圆相交于两点，且，求的值；
（Ⅲ）在直线上是否存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有为常数？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.
20．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第二十四中学校校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，底面ABC为等腰直角三角形，，AB＝AC＝2，，M是侧棱上一点，设．
(1)若，求证：；
(2)若，求直线与平面ABM所成角的正弦值；
(3)若，求点M到平面的距离．
21．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考开学考试）已知正四棱柱中，.
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
22．（2022秋·黑龙江·高三哈尔滨三中校考期中）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形为菱形，，，.
(1)求证：；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
