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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（黑龙江1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2021秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一中学校校考期中）设点 ，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
2．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期末）如图，在四面体中，，，，.则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）直线过点，分别与两坐标轴交于A，B两点，О为坐标原点，的面积为12，符合条件的直线的条数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）已知斜三棱柱所有棱长均为，点满足，则（ ）
A． B． C．2 D．
5．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）已知两条直线，，则这两条直线之间的距离为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．10
6．（2021秋·黑龙江牡丹江·高二牡丹江一中校考期中）已知＝(1，－2，1)，＝(－1，2，－1)，则＝（ ）
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
7．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期末）圆关于直线l：对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020秋·黑龙江牡丹江·高二牡丹江一中校考期末）如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市阿城区第一中学校校考阶段练习）已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2022秋·黑龙江牡丹江·高二牡丹江一中校考阶段练习）已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第五中学校校考开学考试）如图，在正方体中，，点M，N分别在棱AB和上运动（不含端点），若，下列命题正确的是（ ）
A． B．平面
C．线段BN长度的最大值为 D．三棱锥体积不变
12．（2022秋·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．过点作圆的切线，切线方程为
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知直线：与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为 .
14．（2021秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）如图，点为所在平面外一点，点为的中点，若与同时成立，则实数的值为 ．
15．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考阶段练习）若直线不能构成三角形，则的取值集合是 .
16．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈师大附中校考期末）已知动点P在正方体的对角线（不含端点）上.设，若为钝角，则实数的取值范围为 .
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴 y轴 z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作.
(1)若，，求的斜60°坐标；
(2)在平行六面体中，AB=AD=2，AA1=3，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”.
①若，求向量的斜坐标；
②若，且，求.
18．（2022秋·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考阶段练习）已知直线.
(1)当直线l在x轴上的截距是它在y上的截距3倍时，求实数a的值：
(2)当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围.
19．（2020·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.
20．（2022春·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，Q为AD的中点，．
(1)点M在线段PC上，，求证：平面MQB；
(2)在（1）的条件下，若，求直线PD和平面MQB所成角的余弦值．
21．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，，，E是PB的中点．
(1)求证：平面平面PBC；
(2)若二面角的余弦值为，求a的值；
(3)在（2）的条件下求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
22．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨德强学校校考期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（黑龙江1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2021秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一中学校校考期中）设点 ，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
【分析】根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】如图所示：
依题意，，
要想直线l过点且与线段AB相交，
则或，
故选：A
2．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期末）如图，在四面体中，，，，.则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图形，转化向量，利用向量数量积公式，即可求解.
【详解】
故选：C
3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）直线过点，分别与两坐标轴交于A，B两点，О为坐标原点，的面积为12，符合条件的直线的条数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由题意得到直线的斜率存在且斜率不为0，设出直线方程的点斜式，表达出的坐标，从而根据面积得到方程，分与，分别求出相应的值，得到结论.
【详解】显然，直线的斜率存在且斜率不为0，
设直线的方程为，
令得：，令得：，
则，即，
当时，，即，
解得：，符合要求，
当时，，即，
解得：，满足要求，
综上：符合条件的直线的条数为3.
故选：C
4．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）已知斜三棱柱所有棱长均为，点满足，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】以向量为基底向量，则根据条件由向量的数量积的运算性质，两边平方运算即可.
【详解】
斜三棱柱所有棱长均为
.
故选:.
5．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）已知两条直线，，则这两条直线之间的距离为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．10
【答案】A
【分析】由两平行线距离公式求解即可.
【详解】这两条直线之间的距离为.
故选：A
6．（2021秋·黑龙江牡丹江·高二牡丹江一中校考期中）已知＝(1，－2，1)，＝(－1，2，－1)，则＝（ ）
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
【答案】A
【分析】根据空间向量的坐标运算直接计算结果.
【详解】解析：．
故选：A
7．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期末）圆关于直线l：对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先求出圆的圆心坐标与半径，再设圆心关于直线对称的点的坐标为，即可得到方程组，求出、，即可得到圆心坐标，从而求出对称圆的方程；
【详解】解：圆的圆心为，半径，设圆心关于直线对称的点的坐标为，
则，解得，即圆关于直线对称的圆的圆心为，半径，
所以对称圆的方程为；
故选：A
8．（2020秋·黑龙江牡丹江·高二牡丹江一中校考期末）如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先设棱长为1，，建立如图坐标系，根据计算点P坐标和向量，再写出平面的一个法向量的坐标，根据构建关系，求其值域即可.
【详解】如图，设正方体棱长为1，，则，
以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
则，故，，又，则，所以．
在正方体中，可知体对角线平面，
所以是平面的一个法向量，
所以．
所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值．
所以.
故选：A．
【点睛】方法点睛：
求空间中直线与平面所成角的常见方法为：
（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；
（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；
（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市阿城区第一中学校校考阶段练习）已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】AD
【分析】根据直线的方向向量和平面的法向量，以及线面的位置关系求得正确答案.
【详解】若，则，即有，即，即有，故A正确，C错误；
若，则，即有，可得，
解得，则，故B错误，D正确．
故选：AD
10．（2022秋·黑龙江牡丹江·高二牡丹江一中校考阶段练习）已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】所给直线上的点到定点距离能否取，可通过求各直线上的点到点的最小距离，即点到直线的距离来分析，分别求出定点到各选项的直线的距离，判断是否小于或等于4，即可得出答案.
【详解】所给直线上的点到定点距离能否取，可通过求各直线上的点到点的最小距离，即点到直线的距离来分析．
A．因为，故直线上不存在点到距离等于，不是“切割型直线”；B．因为，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点距离等于，是“切割型直线”；
C．因为，直线上存在一点，使之到点距离等于，是“切割型直线”；D．因为，故直线上不存在点到距离等于，不是“切割型直线”．
故选：BC.
11．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第五中学校校考开学考试）如图，在正方体中，，点M，N分别在棱AB和上运动（不含端点），若，下列命题正确的是（ ）
A． B．平面
C．线段BN长度的最大值为 D．三棱锥体积不变
【答案】ACD
【分析】以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立坐标系，设出动点M，N的坐标，利用空间向量运算判断选项A，B，C，利用等体积法的思想判断选项D即可得解.
【详解】在正方体中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：
A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)，设M(3,y,0)，N(3,3,z)，，
，而
则，
对于A选项：，则，，A正确；
对于B选项：，，即CM与MN不垂直，从而MN与平面D1MC不垂直，B不正确；
对于C选项：，则线段BN长度，当且仅当时取“=”，C正确；
对于D选项：不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而，
三棱锥体积为定值，即D正确.
故选：ACD
12．（2022秋·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．过点作圆的切线，切线方程为
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1
【答案】AB
【分析】根据直线系的方程求解顶点即可判断A；结合点在圆上求解切线判断B；分和讨论判断C；直接求解直线在坐标轴上的交点坐标即可判断D.
【详解】解：对于A选项，，
故直线过与的交点，
所以，联立得，即直线必过定点，故正确；
对于B选项，点在上，圆心为，所以切线的斜率为，所以切线方程为，即，故正确；
对于C选项，经过点，倾斜角时，直线方程为，当时，直线方程为，故错误；
对于D选项，令得，令得，所以直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为，故错误.
故选：AB
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知直线：与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为 .
【答案】
【分析】求出直线经过的定点，再求出，数形结合求出直线的斜率的取值范围.
【详解】变形为，经过定点，
画出图形如图所示：
当直线经过点时，的斜率为，
当直线经过点时，的斜率为，
当直线与以，为端点的线段有公共点时，
直线的斜率的取值范围是.
故答案为：.
14．（2021秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）如图，点为所在平面外一点，点为的中点，若与同时成立，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】由 用表示，最后变成用表示后可得结论（可以把也用表示后得出结论）．
【详解】，所以．
故答案为：．
15．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考阶段练习）若直线不能构成三角形，则的取值集合是 .
【答案】
【分析】首先解出直线的交点，若三条直线不能构成三角形，则过直线的交点，或者与直线其中一条直线平行，分三种情况讨论，求出的值，得到答案.
【详解】由，解得，即直线与的交点为M（1，1），
因为直线不能构成三角形，
所以过点M或或，
若过点M，则，即，
若，则，即，
若，则，即,
综上，m的取值集合为.
故答案为：.
16．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈师大附中校考期末）已知动点P在正方体的对角线（不含端点）上.设，若为钝角，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，由求得的范围．
【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，，，，，
，所以，
，
为钝角，则，解得．
又不可能共线，
故答案为：．
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴 y轴 z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作.
(1)若，，求的斜60°坐标；
(2)在平行六面体中，AB=AD=2，AA1=3，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”.
①若，求向量的斜坐标；
②若，且，求.
【答案】(1)
(2)①；②2
【分析】（1）根据所给定义可得，，再根据空间向量线性运算法则计算可得；
（2）设分别为与同方向的单位向量，则，
①根据空间向量线性运算法则得到，即可得解；
②依题意、且根据空间向量数量积的运算律得到方程，即可求出，再根据及向量数量积的运算律计算可得；
【详解】（1）解：由，，知，，
所以，
所以；
（2）解：设分别为与同方向的单位向量，
则，
①
②由题，
因为，所以，
由知
则
18．（2022秋·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考阶段练习）已知直线.
(1)当直线l在x轴上的截距是它在y上的截距3倍时，求实数a的值：
(2)当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）先求出且，再求出直线l在x轴上的截距，在y上的截距，列出方程，求出a的值；
（2）考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，列出不等式组，求出实数a的取值范围.
【详解】（1）由条件知，且，
在直线l的方程中，令得，令得
∴，解得：，或，
经检验，，均符合要求.
（2）当时，l的方程为：.即，此时l不通过第四象限；
当时，直线/的方程为：.
l不通过第四象限，即，解得
综上所述，当直线不通过第四象限时，a的取值范围为
19．（2020·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.
【答案】(1)证明见解析；(2) ， 或， .
【详解】（1）设，.
由 可得，则.
又，故.
因此的斜率与的斜率之积为，所以.
故坐标原点在圆上.
（2）由（1）可得.
故圆心的坐标为，圆的半径.
由于圆过点，因此，故，
即，
由（1）可得.
所以，解得或.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆 的方程为.
【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证或说明中点在曲线内部.
20．（2022春·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，Q为AD的中点，．
(1)点M在线段PC上，，求证：平面MQB；
(2)在（1）的条件下，若，求直线PD和平面MQB所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于，连接，利用，可得，进而可得，从而根据线面平行的判断定理即可证明；
（2）在平面内作于，证明平面，以点为原点，建立空间直角坐标系，设直线和平面所成角为，利用向量法即可求解.
【详解】（1）证明：连接交于，连接，
因为 ，所以，
所以，
所以，又，
所以，
因为平面，平面，
所以平面MQB；
（2）解：连接， 由题意，都是等边三角形，
因为是中点，所以，又，
所以平面，，
在中，，所以，
在平面内作于，则，
由平面，所以，又，
所以平面，
以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
由，可得，所以，
设平面的法向量, 则，
可取，则，
直线的方向向量，
设直线和平面所成角为，则，
所以，即直线和平面所成角的余弦值等于.
21．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，，，E是PB的中点．
(1)求证：平面平面PBC；
(2)若二面角的余弦值为，求a的值；
(3)在（2）的条件下求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)4
(3)
【分析】（1）由线线垂直证平面PBC，再证平面平面PBC；
（2）以C为原点建立如图所示空间直角坐标系，由向量法求平面与平面的夹角余弦值，进而由二面角的余弦值建立方程，解得a的值；
（3）由向量法求得，即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
【详解】（1）证明：由题意得，直角梯形ABCD中，，，由得.
底面ABCD，平面ABCD，∴.
∵平面PBC，∴平面PBC，
∵平面，∴平面平面PBC；
（2）由（1）得，以C为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则有，
设平面的法向量为，，，
则有，令有；
平面的其中一个法向量为.
故.
由二面角的余弦值为得，解得；
（3）由（2）得，，
∴，
∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.
22．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨德强学校校考期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，，理由见解析.
【分析】（1）取PC的中点O，连接ON，OB，可得四边形ABON为平行四边形，则，然后利用线面平行的判定定理即可求解；
（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标,求出平面ANC的法向量，利用向量在该法向量上的投影即可计算；
（3）令，可得，求出，结合已知条件可列出关于的方程，从而可求出的值
【详解】（1）取PC的中点O，连接ON，OB，
∵为的中点，∴，，
∵，∴，
∵，∴，
∴四边形ABON为平行四边形，∴，
∵平面PBC，平面PBC，
∴平面PBC；
（2）过点A作AGBC，交CD于点G，则，
因为平面，平面，
所以，所以两两垂直，
以A为坐标原点，AG，AB，AP所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
设平面ANC的法向量为，
则，即，令，则，
所以，
所以点到平面的距离；
（3）设，故，所以，
所以，
由（1）可得，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以，
设直线与平面所成角为，则，则，
则，
整理得：，解得：或(舍去)，
故即.
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