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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（湖北1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期中）向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积．现定义向量的叉乘：给定两个不共线的空间向量与，规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图1）；③；④若，，则，其中．如图2，在长方体中，，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．长方体的体积
2．（2022秋·湖北宜昌·高二当阳一中校考阶段练习）已知直线斜率为k，且，那么倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·湖北·高二江夏一中校联考期末）如图，在四面体OABC中，，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2020秋·湖北荆门·高二沙洋县沙洋中学校考阶段练习）当点到直线的距离最大时，m的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．1
5．（2021秋·湖北武汉·高二武汉市第四中学校考阶段练习）已知直线的一个方向向量，直线的一个方向向量，若，且，则（ ）
A．-3或1 B．3或
C．-3 D．1
6．（2023春·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学校考阶段练习）如果直线与直线关于直线对称，那么（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线异面，直线平面
D．直线与直线相交，直线平面
8．（2022秋·湖北襄阳·高二襄阳四中校考阶段练习）过圆内一点作直线交圆O于A，B两点，过A，B分别作圆的切线交于点P，则点P的坐标满足方程（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023春·湖北襄阳·高二襄阳五中校考开学考试）如图，平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角是.
D．异面直线与所成的角的余弦值为.
10．（2020秋·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学校考阶段练习）（多选）对于下列选项中正确的是（ ）
A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B．若k是直线的斜率，则k∈R
C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
11．（2022秋·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学阶段练习）已知空间四点，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．以，为邻边的平行四边形的面积为
C．点到直线的距离为
D．，，，四点共面
12．（2021秋·湖北襄阳·高二襄阳五中校考阶段练习）设，过定点A的动直线，和过定点B的动直线交于点P，圆，则下列说法正确的有（ ）
A．直线过定点(1，3) B．直线与圆C相交最短弦长为2
C．动点P的曲线与圆C相交 D．|PA|+|PB|最大值为5
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·湖北襄阳·高二襄阳四中校考阶段练习）如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线上a，b分别取点，E和点A，F，使且.已知，，.则线段 .
14．（2023秋·湖北襄阳·高二宜城市第一中学校考阶段练习）已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为 ．
15．（2022秋·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学校考开学考试）如图所示，三棱柱中，，分别是和上的点，且，设，则的值为 .
16．（2021秋·湖北黄石·高二黄石二中校考开学考试）已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程 ．
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2023秋·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）已知三条直线，，．
(1)若，且过点，求、的值；
(2)若，求、的值．
18．（2022秋·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学阶段练习）已知，．
(1)求与夹角的余弦值；
(2)当时，求实数k的值．
19．（2021秋·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学校考阶段练习）如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成.已知隧道总宽度为，行车道总宽度为，侧墙高，为，弧顶高为.
（1）以所在直线为轴，所在直线为轴，为单位长度建立平面直角坐标系，求圆弧所在的圆的标准方程；
（2）为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部（设为平顶）在竖直方向上的高度之差至少为，问车辆通过隧道的限制高度是多少？
20．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）如图，直四棱柱的底面为正方形，P，O分别是上、下底面的中心，E是的中点，．
(1)当时，求直线与平面所成角的正弦值；
(2)当k取何值时，O在平面内的射影恰好为的重心．
21．（2021秋·湖北襄阳·高三襄阳五中校考开学考试）如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合).
（1）求证：平面EMN⊥平面PBC；
（2）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由.
22．（2023秋·湖北武汉·高二华中师大一附中校考阶段练习）如图，在八面体中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，二面角与二面角的大小都是，，．
(1)证明：平面平面；
(2)设为的重心，是否在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求到平面的距离，若不存在，说明理由．
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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（湖北1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期中）向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积．现定义向量的叉乘：给定两个不共线的空间向量与，规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图1）；③；④若，，则，其中．如图2，在长方体中，，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．长方体的体积
【答案】C
【分析】利用向量的叉乘的定义逐项分析即得.
【详解】解法一：同时与，垂直；，，三个向量构成右手系，
且，所以选项A错误；
根据右手系知：与反向，所以，故选项B错误；
因为，
且与同向共线；
又因为，且与同向共线，
，与同向共线，
所以，且与同向共线，
，故选项C正确；
因为长方体的体积为．
又因为由右手系知向量方向垂直底面向上，与反向，所以，故选项D错误；
故选：C．
解法二：如图建立空间直角坐标系：
，，，
则，所以选项A错误；
，则，故选项D错误；
，故选项B错误；
，则，
，，则．
所以，故选项C正确；
故选：C．
2．（2022秋·湖北宜昌·高二当阳一中校考阶段练习）已知直线斜率为k，且，那么倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角的取值范围.
【详解】解：直线l的斜率为k，且，
∴，.
∴.
故选：B.
3．（2023秋·湖北·高二江夏一中校联考期末）如图，在四面体OABC中，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用空间向量基本定理求解出，从而求出.
【详解】因为，所以，
又，所以．
故选：D
4．（2020秋·湖北荆门·高二沙洋县沙洋中学校考阶段练习）当点到直线的距离最大时，m的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．1
【答案】C
【分析】求得直线所过的定点，当和直线垂直时，距离取得最大值，根据斜率乘积等于列方程，由此求得的值.
【详解】直线可化为，故直线过定点，当和直线垂直时，距离取得最大值，故，故选C.
【点睛】本小题主要考查含有参数的直线过定点的问题，考查点到直线距离的最值问题，属于基础题.
5．（2021秋·湖北武汉·高二武汉市第四中学校考阶段练习）已知直线的一个方向向量，直线的一个方向向量，若，且，则（ ）
A．-3或1 B．3或
C．-3 D．1
【答案】A
【分析】根据空间向量的模的坐标表示结合即可求得x的值，再根据，列出方程，即可求得y，从而可得答案.
【详解】因为，所以，又，所以，
所以，所以，
所以当时，，则，当时，，则，
所以或.
故选：A.
6．（2023春·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学校考阶段练习）如果直线与直线关于直线对称，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意在上任取一点，其关于直线的对称点在上，代入可求出，然后在上任取一点，其关于直线的对称点在上，代入可求出.
【详解】在上取一点，
则由题意可得其关于直线的对称点在上，
所以，得，
在上取一点，
则其关于直线的对称点在上，
所以，得，
综上，
故选：A
7．（2022·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线异面，直线平面
D．直线与直线相交，直线平面
【答案】A
【分析】根据空间的平行和垂直关系进行判定.
【详解】连接；由正方体的性质可知，是的中点，所以直线与直线垂直；
由正方体的性质可知，所以平面平面，
又平面，所以直线平面，故A正确；
以为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，
显然直线与直线不平行，故B不正确；
直线与直线异面正确，，，所以直线与平面不垂直，故C不正确；
直线与直线异面，不相交，故D不正确；
故选：A.
8．（2022秋·湖北襄阳·高二襄阳四中校考阶段练习）过圆内一点作直线交圆O于A，B两点，过A，B分别作圆的切线交于点P，则点P的坐标满足方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设出点坐标，求解出以为直径的圆的方程，将圆的方程与圆的方程作差可得公共弦的方程，结合点在上可得点P的坐标满足的方程.
【详解】设，则以为直径的圆，即①
因为是圆O的切线，所以，所以A，B在圆M上，
所以是圆O与圆M的公共弦，又因为圆②，
所以由①②得直线的方程为：，
又点满足直线方程，所以，即.
故选：A.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023春·湖北襄阳·高二襄阳五中校考开学考试）如图，平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角是.
D．异面直线与所成的角的余弦值为.
【答案】AB
【分析】根据题意，引入基向量，分别用基向量表示，利用向量求长度的计算公式，计算可得A正确；利用向量证垂直的结论，计算可得B正确；利用向量求夹角公式，计算可得CD错误.
【详解】设，因为各条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，
所以，
因为，所以，，故A正确；
由，所以，
所以，故B正确；
因为，且，所以
，所以其夹角为，故C错误；
因为，，
，
，
所以，故D错误.
故选：AB.
10．（2020秋·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学校考阶段练习）（多选）对于下列选项中正确的是（ ）
A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B．若k是直线的斜率，则k∈R
C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
【答案】ABC
【分析】根据倾斜角和斜率的定义分析即可得解.
【详解】由倾斜角的范围，可得正确；
由正切函数的值域可得斜率为一切实数，故正确；
任意一条直线都有倾斜角，而斜率不一定存在，比如倾斜角为直角，则该直线的斜率不存在，
故正确；错误．
故选：．
11．（2022秋·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学阶段练习）已知空间四点，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．以，为邻边的平行四边形的面积为
C．点到直线的距离为
D．，，，四点共面
【答案】AC
【分析】直接利用空间向量，向量的模，向量垂直的充要条件，共面向量基本定理，向量的夹角，判定A、B、C、D的结论即可．
【详解】空间四点，，，，则，，所以，，
对于A：，故A正确；
对于B：，所以，
所以以，为邻边的平行四边形的面积，故B错误；
对于C：由于，，所以，故，
所以点到直线的距离，故C正确；
对于D：根据已知的条件求出：，，，
假设共面，则存在实数和使得，
所以，无解，故不共面，故D错误；
故选：AC．
12．（2021秋·湖北襄阳·高二襄阳五中校考阶段练习）设，过定点A的动直线，和过定点B的动直线交于点P，圆，则下列说法正确的有（ ）
A．直线过定点(1，3) B．直线与圆C相交最短弦长为2
C．动点P的曲线与圆C相交 D．|PA|+|PB|最大值为5
【答案】ABC
【分析】根据直线过定点的求法求出定点坐标即可判断A；
由题意可知当时所得弦长最短，由求出进而得到的方程，结合 到直线的距离公式和勾股定理求出弦长即可判断B；
当时得到，P在圆C外；当时，根据两直线方程消去m得到点P的轨迹方程，比较圆心距和两圆半径之和的大小即可判断C；
由题可证，设可得，进而得到
，结合三角函数的值域即可判断D.
【详解】A：由，
有，所以直线过的定点为，故A正确；
B：由圆的标准方程可得圆心为，半径，直线过的定点为，当
时所得弦长最短，则，又，，所以，得
，则圆心到直线的距离为，所以弦长为：，
故B正确；
C：当时，，则点，此时点P在圆C外；
当时，由直线得，代入直线中得点P的方程为
圆，得，半径为，
所以圆心距，所以两圆相交.故C正确；
D：由，
当时，，有，
当时，，，则，所以，
又点P是两直线的交点，所以，所以，
设，则，
因为，所以，
所以，故D错误.
故选：ABC
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·湖北襄阳·高二襄阳四中校考阶段练习）如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线上a，b分别取点，E和点A，F，使且.已知，，.则线段 .
【答案】或
【分析】根据空间向量的加法，利用向量数量积的性质计算模长，建立方程，可得答案.
【详解】因为，所以，
由于，，则，，
又因为两条异面直线a，b所成角为，所以或，
故，可得或.
故答案为：或
14．（2023秋·湖北襄阳·高二宜城市第一中学校考阶段练习）已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】在坐标系中标出这三个点，然后根据直线和线段有公共点的临界情况分析.
【详解】在同一坐标系下标出这三个点，连接，如图当直线恰好经过时为临界情况，
又，当直线从位置顺时针转动到位置时，
由倾斜角和斜率的关系可知，.
故答案为：
15．（2022秋·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学校考开学考试）如图所示，三棱柱中，，分别是和上的点，且，设，则的值为 .
【答案】
【分析】把三个向量看作是基向量，由向量的线性运算将用三个基向量表示出来，由此能求出结果.
【详解】解：由题意三棱柱中， 分别是B 上的点，
且，，
则
，
，
.
故答案为：.
16．（2021秋·湖北黄石·高二黄石二中校考开学考试）已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程 ．
【答案】或
【分析】直线在两坐标轴上的截距相等，有两种情况，斜率为，或直线过原点，结合直线过点即可求解，有两种情况
【详解】因为直线与坐标轴的截距相等，则直线的斜率为，或直线过原点，当直线斜率为时，因为直线过点，根据点斜式，直线方程为：，化简得：；
当直线过原点时，，所以直线方程为
故答案为：或
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2023秋·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）已知三条直线，，．
(1)若，且过点，求、的值；
(2)若，求、的值．
【答案】(1)或；
(2)
【分析】（1）由直线垂直的特征及直线过的点可得关于a、b的方程组，即可得解；
（2）由直线平行的特征求解a，b，再代入验证即可.
【详解】（1）因为，，且，所以，
又直线过点，所以，所以，
所以，所以或；
（2）若，则，解得，
当时，，也即，
，也即，满足 ，
所以若，.
18．（2022秋·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学阶段练习）已知，．
(1)求与夹角的余弦值；
(2)当时，求实数k的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据空间向量夹角公式求得正确答案.
（2）根据列方程，从而求得的值.
【详解】（1）.
（2）由于，
所以，
所以，
，
解得或.
19．（2021秋·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学校考阶段练习）如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成.已知隧道总宽度为，行车道总宽度为，侧墙高，为，弧顶高为.
（1）以所在直线为轴，所在直线为轴，为单位长度建立平面直角坐标系，求圆弧所在的圆的标准方程；
（2）为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部（设为平顶）在竖直方向上的高度之差至少为，问车辆通过隧道的限制高度是多少？
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设出圆的方程，代入即可求解；
（2）设限高为，作，求出点P的坐标，即可得出答案.
【详解】（1）由题意，有，，.
所求圆的圆心在轴上，设圆的方程为（，），
，都在圆上，
，解得.
圆的标准方程是.
（2）设限高为，作，交圆弧于点，
则.
将点的横坐标代入圆的方程，得，
得或（舍去）.
.
故车辆通过隧道的限制高度为.
20．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）如图，直四棱柱的底面为正方形，P，O分别是上、下底面的中心，E是的中点，．
(1)当时，求直线与平面所成角的正弦值；
(2)当k取何值时，O在平面内的射影恰好为的重心．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，求直线的方向向量与平面的法向量，求两向量的夹角余弦，可得直线与平面所成角的正弦值；
（2）设的重心为，由已知可得与平面法向量平行，列方程求k值.
【详解】（1）因为，
所以以点为原点，以为轴正方向建立空间直角坐标系，
设，则，
所以，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，所以，
取，则，
所以为平面的一个法向量，
当时，为平面的一个法向量，
又，，
所以，
所以，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
（2）设的重心为，取线段的中点为，
则，，
所以，
所以，
由（1）知 为平面的一个法向量，
因为O在平面内的射影恰好为的重心，
所以，所以，所以.
21．（2021秋·湖北襄阳·高三襄阳五中校考开学考试）如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合).
（1）求证：平面EMN⊥平面PBC；
（2）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，N为BC的中点.
【分析】（1）根据题意，先证明EM⊥平面PBC，再利用面面垂直的判定定理，证明结论；
（2）以E为原点，EB，ED，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PE=EB=2，设N(2，m，0)，求出平面EMN的法向量，利用夹角公式求出m，得到结论.
【详解】解：（1）证明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED=E，
所以PE⊥平面EBCD，又BC 平面EBCD，
故PE⊥BC，又BC⊥BE，故BC⊥平面PEB，
EM 平面PEB，故EM⊥BC，
又等腰三角形PEB，EM⊥PB，
BC∩PB=B，故EM⊥平面PBC，
EM 平面EMN，
故平面EMN⊥平面PBC；
（2）假设存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值.
以E为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设PE=EB=2，设N(2，m，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，
P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，0，1)，
，，，
设平面EMN的法向量为，
由，令，得，
平面BEN的一个法向量为，
故，
解得：m=1，
故存在N为BC的中点.
【点睛】立体几何解答题的基本结构：
(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；
(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．
22．（2023秋·湖北武汉·高二华中师大一附中校考阶段练习）如图，在八面体中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，二面角与二面角的大小都是，，．
(1)证明：平面平面；
(2)设为的重心，是否在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求到平面的距离，若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）依题意可得平面，再由面面平行及，可得平面，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明，即可得到平面，再证明平面，即可得证；
（2）设点，其中，利用空间向量法得到方程，求出的值，即可得解.
【详解】（1）因为为正方形，所以，又，，平面，
所以平面，所以为二面角的平面角，即，
又平面平面，，
所以平面，即为二面角的平面角，即，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，即，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，
因为，平面，
所以平面平面.
（2）由点在上，设点，其中，点，
所以，平面的法向量可以为，
设与平面所成角为，
则，
即，化简得，
解得或（舍去），
所以存在点满足条件，且点到平面的距离为.
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