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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（湖南1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022春·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可
【详解】设直线的倾斜角为，可得，
所以的取值范围为
故选：D
2．（2022春·湖南长沙·高一雅礼中学校联考期末）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简后，再开方可求得结果
【详解】由题意得，，
因为
,
所以
，
所以，
故选：C
3．（2022秋·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平行直线的特点先设出待求直线方程，代入所过点可得答案.
【详解】由题意设所求方程为，
因为直线经过点，
所以，即，所以所求直线为.
故选：A.
4．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）如图，已知四棱柱的体积为，四边形是平行四边形，点在平面内，且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出辅助线，找到两三棱锥的公共部分，结合三角形相似知识得到边长比，从而得到体积比，求出答案.
【详解】先找两三棱锥的公共部分，由知：，故，
在上取点，使得，连接，
设，连接，
则三棱锥为三棱锥与三棱锥的公共部分，
∵∽，
，
点到平面的距离是点到平面的距离的，又，
.
故选：A.
5．（2021春·湖南长沙·高二长郡中学校考期中）两条平行直线和间的距离为，则，分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据两直线平行的性质可得参数，再利用平行线间距离公式可得.
【详解】由直线与直线平行，
得，解得，
所以两直线分别为和，即和，
所以两直线间距离，
故选：D.
6．（2021春·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）若向量，且与夹角的余弦值为，则等于（ ）
A． B． C．或 D．2
【答案】A
【分析】利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.
【详解】因为，
所以，，
又与夹角的余弦值为，，
所以，解得，
注意到，即，所以.
故选：A.
7．（2022秋·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）已知圆内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设圆心，由圆的对称性可知过点与垂直的直线被圆所截的弦长最短
【详解】由题意可知，当过圆心且过点时所得弦为直径，
当与这条直径垂直时所得弦长最短，
圆心为，，
则由两点间斜率公式可得，
所以与垂直的直线斜率为，
则由点斜式可得过点的直线方程为，
化简可得，
故选：B
8．（2022秋·湖南长沙·高二长沙一中校联考期中）已知正方体棱长为2，P为空间中一点.下列论述正确的是（ ）
A．若，则异面直线BP与所成角的余弦值为
B．若，三棱锥的体积不是定值
C．若，有且仅有一个点P，使得平面
D．若，则异面直线BP和所成角取值范围是
【答案】D
【分析】A：为中点，连接，若分别是中点，连接，找到异面直线BP与所成角为或其补角，求其余弦值；B：在（含端点）上移动，△面积恒定，到面的距离恒定，即可判断；C：若分别是中点，在（含端点）上移动，证明面，易知要使面，则必在面内，即可判断；D构建空间直角坐标系，设，应用向量夹角的坐标表示求，进而判断夹角的范围.
【详解】A：由，即为中点，连接，若分别是中点，
连接，则，
又且，即为平行四边形，所以，
所以异面直线BP与所成角，即为或其补角，
而，，，故，错误；
B：由知：在（含端点）上移动，如下图示，
△面积恒定，到面的距离恒定，故的体积是定值，错误；
C：若分别是中点，由知：在（含端点）上移动，
由面，面，则面面，
由，面面，面，
所以面，面，则，同理可证：，
由，、面，故面，
而面面，要使面，则必在面内，
显然面，故错误；
D：由知：在（含端点）上移动，
如下图建系，，，则，
设，则，
所以，令，
当，即时，，此时直线和所成角是；
当，即时，则，
当，即时，取最大值为，直线和所成角的最小值为，正确.
故选：D
【点睛】关键点点睛：根据向量的线性关系判断的位置，结合异面直线夹角的定义、锥体体积公式、线面垂直的判定及向量夹角的坐标求法，证明或求解线面垂直、体积、异面直线夹角范围等.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·湖南怀化·高二怀化市第三中学校考期中）已知向量，，则下列结论正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用向量线性关系、数量积、模长的坐标运算判断各项正误.
【详解】由题设，，A错误；
，B正确；
，C正确；
，D错误.
故选：BC
10．（2022秋·湖南长沙·高二长郡中学校考期中）已知直线，则（ ）
A．直线过定点
B．当时，
C．当时，
D．当时，两直线之间的距离为1
【答案】CD
【分析】根据给定的直线的方程，结合各选项中的条件逐一判断作答.
【详解】依题意，直线，由解得：，因此直线恒过定点，A不正确；
当时，直线，而直线，显然，即直线不垂直，B不正确；
当时，直线，而直线，显然，即，C正确；
当时，有，解得，即直线，
因此直线之间的距离，D正确.
故选：CD
11．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是( )
A．若平面，则动点Q的轨迹是一条线段
B．存在Q点，使得平面
C．当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大
D．若，那么Q点的轨迹长度为
【答案】ACD
【分析】A：取、中点，连接、、PF，证明平面∥平面，则点的轨迹为线段；
B：以为原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，根据求出x、z即可判断；
C：的面积为定值，当且仅当到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大；
D：可求为定值，即可判断Q的轨迹，从而求其长度.
【详解】取、中点，连接、、PF，
由PF∥∥且PF＝知是平行四边形，
∴∥，∵平面，平面，∥平面，
同理可得EF∥平面，∵EF∩＝F，
∴平面∥平面，则点的轨迹为线段，A选项正确；
如图，建立空间直角坐标系，
则，，，设，
则，，
设为平面的一个法向量，
则即得取，则.
若平面，则∥，即存在，使得，则，解得，故不存在点使得平面，B选项错误；
的面积为定值，当且仅当到平面的距离d最大时，三棱锥的体积最大.
，
，，则当时，d有最大值1；
②，，则当时，d有最大值；
综上，当，即和重合时，三棱锥的体积最大，C选项正确；
平面，，
，，Q点的轨迹是半径为，圆心角为的圆弧，轨迹长度为，D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】本题综合考察空间里面的位置关系的判断与应用，需熟练运用线面平行、面面平行的判定定理和性质，需掌握运用空间直角坐标系和空间向量来解决垂直问题，掌握利用空间向量求点到平面的距离，利用几何关系判断空间里面的动点的轨迹，考察知识点较多，计算量较大，属于难题.
12．（2022·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知为坐标原点，圆：，则下列结论正确的是（ ）
A．圆与圆内切
B．直线与圆相离
C．圆上到直线的距离等于1的点最多两个
D．过直线上任一点作圆的切线，切点为，，则四边形面积的最小值为
【答案】ACD
【分析】A.计算圆心距离与半径差的大小关系；B.求圆心到直线的距离来判断；C.圆心到直线的距离为来判断；D. 过直线上任一点作圆的切线，切点为，，四边形面积为：
，当垂直直线时，有最小值，求出的最小值，即可求出四边形面积的最小值，即可判断.
【详解】圆的圆心，半径，而圆的圆心，
所以，所以圆与圆内切，A正确；
圆心到直线的距离，故圆和直线相切或相交，B错误；
因为圆心到直线的距离为：，
因为，
又因为圆的半径为1，所以圆M上到直线的距离等于1的点最多两个，故C正确；
过直线上任一点作圆的切线，切点为，，四边形面积为：
，当垂直直线时，有最小值，且，
因为，
所以，则四边形面积的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量 .
【答案】
【分析】设，然后整理解方程组即可.
【详解】设，
即有，
因为是空间的一个单位正交基底，
所以有，
所以.
故答案为：
14．（2021春·湖南长沙·高一雅礼中学校考期末）已知两点，，则线段的垂直平分线方程为 ．
【答案】
【分析】先由两点坐标求出线段中点坐标，再由斜率公式以及垂直关系，得到所求直线的斜率，根据点斜式，即可得出直线方程.
【详解】因为，的中点坐标为，即；
又，
所以线段的垂直平分线所在直线的斜率为，
因此所求直线方程为，即.
故答案为：.
15．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）正方体的棱长为2，点平面，点是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，三棱锥外接球的体积为 .
【答案】
【分析】先构建空间直角坐标系，取的中点，证明出平面，得到点在上，结合的面积取得最小值时，得出，得出的位置，过点作交平面于点，连接，，可以得到直三棱柱，再向外构建长方体，三棱锥外接球即为长方体外接球，根据长方体外接球的求法得到球的半径，再利用球的体积公式即可得到结果.
【详解】如图以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，取的中点，连接，，，
得，，，，，所以，，
，因为，，所以
，，所以平面，因为，点又在平面上，所以点在
直线上，则，当的面积取得最小值时，线段的长度即为点到直
线的距离，即时，面积最小，由，，为直角三角形，可得
，，，过点作交平面于点，连接，，可以得
到直三棱柱，向外构建长方体，则三棱锥外接球即可以为长方
体的外接球，设外接球的半径为，所以，即
，则外接球体积为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：
解决与球有关的外接问题时，一般有两种方法可以去解决：
（1）若能补全长方体或者正方体，可以直接利用球的直径为长方体或正方体体对角线进行求解.
（2）若不能用补全的方法去做，则可构造球心到截面圆的垂线段，小圆的半径和球半径组成直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.
16．（2021秋·湖南长沙·高二长郡中学校考期中）2020年11月，我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，探测器在进入近圆形的环月轨道后，将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体分离.我们模拟以下情景：如图，假设月心位于坐标原点，探测器在处以的速度匀速直线飞向距月心的圆形轨道上的某一点，在点处分离出着陆器和上升器组合体后，轨道器和返回器组合体立即以的速度匀速直线飞至，这一过程最少用时 s.
【答案】
【分析】设，飞行过程所用时间，再令，则问题转化为求两条线段最小即可作答.
【详解】设，飞行过程所用时间，令，即，
设点C(0，m)在圆形轨道内，取点P坐标(0，2000)，而，由得， ，
即，设动点，当时，即，
化简整理得，即满足的动点M的轨迹就是给定的圆形轨道，
所以距月心的圆形轨道上的任意点均有成立，如图，连PC，
于是有，当且仅当P为线段AC与圆形轨道交点时取“=”，
即有，
所以这一过程最少用时s.
故答案为：
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2021秋·湖南长沙·高二周南中学校考阶段练习）如图，正三棱柱中，底面边长为.
(1)设侧棱长为，求证：；
(2)设与的夹角为，求侧棱的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据空间向量的线性运算表示与，结合向量数量积的运算律计算，即可得证；
（2）根据向量数量积的运算律表示数量积及模长，根据夹角可得模长.
【详解】（1）由已知得，，
平面，
，，
又是正三角形，
,
；
；
（2）由（1）得，
又，
，
，
解得，
即侧棱长为.
18．（2022秋·湖南邵阳·高二湖南省隆回县第二中学校考期中）的三个顶点、、，D为BC中点，求：
(1)BC边上的高所在直线的方程；
(2)中线AD所在直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出直线的斜率，即可得到BC边上的高线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.
（2）求出BC的中点D坐标，求出中线AD所在直线的斜率，代点斜式即可求解.
【详解】（1）解：∵、，BC边斜率k，故BC边上的高线的斜率k＝，故BC边上的高线所在直线的方程为，即.
（2）解：BC的中点，中线AD所在直线的斜率为，故BC边上的中线AD所在直线的方程为，即.
19．（2020秋·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期末）已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积．
【答案】（1）（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25．（2）12
【分析】（1）求出半径，从而可得圆的标准方程；
（2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理求出弦长，从而可求出面积．
【详解】解：（1）圆C的半径为 ，
从而圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25；
（2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，
在直角三角形ADC中，由点到直线的距离公式，得|CD|＝3，
所以，
所以|AB|＝2|AD|＝8，
所以△ABC的面积．
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
20．（2023秋·湖南永州·高二永州市第一中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥DC，E为线段PD的中点，已知PA＝AB＝AD＝CD＝2，∠PAD＝120°.
(1)证明：直线PB∥平面ACE；
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接BD交AC于点H，连接HE，可证HE∥PB，从而可证PB∥平面ACE，
（2）作Ax⊥AP，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面PCD的一个法向量，利用向量法求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
【详解】（1）连接BD交AC于点H，连接HE，
∵AB∥DC，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，
∴H是BD的中点，又E为线段PD的中点，
∴HE∥PB，又HE 平面ACE，PB 平面ACE，
∴直线PB∥平面ACE.
（2）∵AB⊥平面PAD，作Ax⊥AP，建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知PA＝AB＝AD＝CD＝2，∠PAD＝120°，
得，
∴，
设平面PCD的一个法向量为，
则，得，不妨取，
∴，
所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．
21．（2022·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）如图所示，C为半圆锥顶点，O为圆锥底面圆心，BD为底面直径，A为弧BD中点．是边长为2的等边三角形，弦AD上点E使得二面角的大小为30°，且．
(1)求t的值；
(2)对于平面ACD内的动点P总有平面BEC，请指出P的轨迹，并说明该轨迹上任意点P都使得平面BEC的理由．
【答案】(1)；
(2)P的轨迹为过靠近的三等分点及中点的直线，理由见解析
【分析】（1）建立空间坐标系，易得面的一个法向量为，用表示出面的法向量，通过二面角的大小为30°建立方程，解方程即可；
（2）取中点，中点，连接，证明面平面BEC，结合面，即可求出P的轨迹.
【详解】（1）
易知面，，以所在直线为轴建立如图的空间直角坐标系，则，，，
易知面的一个法向量为，
设面的法向量为，则，
令，则，
可得，
解得或3，又点E在弦AD上，故.
（2）
P的轨迹为过靠近的三等分点及中点的直线，证明如下：
取靠近的三等分点即中点，中点，连接，
由为中点，易知，又面，面，
所以平面BEC，
又，面，面，所以平面BEC，
又，所以面平面BEC，
即和所在直线上任意一点连线都平行于平面BEC，
又面，故P的轨迹即为所在直线，
即过靠近的三等分点及中点的直线.
22．（2022秋·湖南湘潭·高二湘潭一中校考阶段练习）如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点为的中点，.
(1)求钝二面角的余弦值；
(2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，，理由见解析.
【分析】（1）建立空间直角坐标系求得相关点的坐标，求平面SCD的一个法向量，根据向量的夹角坐标公式求答案；
（2）假设存在点H，设，表示出的坐标，根据BH与平面SCD所成角的大小为，利用向量的夹角坐标公式求参数，进而求的长.
【详解】（1）因为面ABCD，AB、面ABCD，
所以，，又，则，
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则,,，
所以，，
设面SCD的法向量为，则，令，则，
又面ESD的一个法向量为，
所以，
所以钝二面角的余弦值为.
（2）存在，理由如下：
若存在H，设，则，
由（1）知，面SCD的一个法向量为，
则，即，
所以，则，
故存在满足题意的H，此时.
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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（湖南1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022春·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022春·湖南长沙·高一雅礼中学校联考期末）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）如图，已知四棱柱的体积为，四边形是平行四边形，点在平面内，且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021春·湖南长沙·高二长郡中学校考期中）两条平行直线和间的距离为，则，分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2021春·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）若向量，且与夹角的余弦值为，则等于（ ）
A． B． C．或 D．2
7．（2022秋·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）已知圆内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022秋·湖南长沙·高二长沙一中校联考期中）已知正方体棱长为2，P为空间中一点.下列论述正确的是（ ）
A．若，则异面直线BP与所成角的余弦值为
B．若，三棱锥的体积不是定值
C．若，有且仅有一个点P，使得平面
D．若，则异面直线BP和所成角取值范围是
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·湖南怀化·高二怀化市第三中学校考期中）已知向量，，则下列结论正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
10．（2022秋·湖南长沙·高二长郡中学校考期中）已知直线，则（ ）
A．直线过定点
B．当时，
C．当时，
D．当时，两直线之间的距离为1
11．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是( )
A．若平面，则动点Q的轨迹是一条线段
B．存在Q点，使得平面
C．当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大
D．若，那么Q点的轨迹长度为
12．（2022·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知为坐标原点，圆：，则下列结论正确的是（ ）
A．圆与圆内切
B．直线与圆相离
C．圆上到直线的距离等于1的点最多两个
D．过直线上任一点作圆的切线，切点为，，则四边形面积的最小值为
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量 .
14．（2021春·湖南长沙·高一雅礼中学校考期末）已知两点，，则线段的垂直平分线方程为 ．
15．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）正方体的棱长为2，点平面，点是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，三棱锥外接球的体积为 .
16．（2021秋·湖南长沙·高二长郡中学校考期中）2020年11月，我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，探测器在进入近圆形的环月轨道后，将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体分离.我们模拟以下情景：如图，假设月心位于坐标原点，探测器在处以的速度匀速直线飞向距月心的圆形轨道上的某一点，在点处分离出着陆器和上升器组合体后，轨道器和返回器组合体立即以的速度匀速直线飞至，这一过程最少用时 s.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2021秋·湖南长沙·高二周南中学校考阶段练习）如图，正三棱柱中，底面边长为.
(1)设侧棱长为，求证：；
(2)设与的夹角为，求侧棱的长．
18．（2022秋·湖南邵阳·高二湖南省隆回县第二中学校考期中）的三个顶点、、，D为BC中点，求：
(1)BC边上的高所在直线的方程；
(2)中线AD所在直线的方程．
19．（2020秋·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期末）已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积．
20．（2023秋·湖南永州·高二永州市第一中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥DC，E为线段PD的中点，已知PA＝AB＝AD＝CD＝2，∠PAD＝120°.
(1)证明：直线PB∥平面ACE；
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
21．（2022·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）如图所示，C为半圆锥顶点，O为圆锥底面圆心，BD为底面直径，A为弧BD中点．是边长为2的等边三角形，弦AD上点E使得二面角的大小为30°，且．
(1)求t的值；
(2)对于平面ACD内的动点P总有平面BEC，请指出P的轨迹，并说明该轨迹上任意点P都使得平面BEC的理由．
22．（2022秋·湖南湘潭·高二湘潭一中校考阶段练习）如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点为的中点，.
(1)求钝二面角的余弦值；
(2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
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