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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（吉林1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考阶段练习）在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·吉林长春·高二长春市第二中学校考期末）如图，直线的斜率分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）已知空间向量，，，下列命题中正确的个数是（ ）
①若与共线，与共线，则与共线；
②若，，非零且共面，则它们所在的直线共面；
③若，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一有序实数组，使得；
④若，不共线，向量，则可以构成空间的一个基底.
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2021秋·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考期中）已知点，，则线段AB的垂直平分线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（ ）.
A．1 B． C． D．
6．（2023·吉林·东北师大附中校考二模）直线的方程为，当原点到直线的距离最大时，的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021秋·吉林长春·高二长春市实验中学校考期中）过点，且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021秋·吉林长春·高二东北师大附中校考阶段练习）如图，是直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知正方体的棱长为3，P为正方体表面上的一个动点，Q为线段上的动点，.则下列说法正确的是（ ）
A．当点P在侧面（含边界）内时，为定值
B．当点P在侧面（含边界）内时，直线与直线所成角的大小为
C．当点P在侧面（含边界）内时，对任意点P，总存在点Q，使得
D．点P的轨迹长度为
10．（2022秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线：上一动点，则（ ）
A．周长的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为4
11．（2022秋·吉林长春·高二长春市第八中学校考期中）已知，分别是正方体的棱和的中点，则（ ）
A．与是异面直线
B．与所成角的大小为
C．与平面所成角的正弦值为
D．二面角的余弦值为
12．（2022秋·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考阶段练习）已知动直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．圆的圆心坐标为
C．直线与圆的相交弦的最小值为
D．直线与圆的相交弦的最大值为4
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2021秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）不论为任何实数，直线恒过一定点，该定点坐标为 .
14．（2023秋·吉林·高二吉林一中校考期末）已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且，，，则 .
15．（2021秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考阶段练习）设为圆上的动点，是圆的切线且，则点的轨迹方程是 ．
16．（2023秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）如图，正方体ABCA1B1C1D1中，E、F分别为棱C1D1，A1D1的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是 ．
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2021秋·吉林·高二吉林油田高级中学校考开学考试）已知空间中三点的坐标分别为，，，且，．
(1)求向量与夹角的余弦值；
(2)若与互相垂直，求实数的值．
18．（2020秋·吉林四平·高二四平市实验中学校考阶段练习）已知直线及点
（1）证明直线过某定点，并求该定点的坐标
（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程
19．（2022秋·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上.
(1)求圆心为的圆的一般方程；
(2)已知，为圆上的点，求的最大值和最小值.
20．（2023春·吉林长春·高二长春市解放大路学校校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，点是的中点.
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
21．（2021秋·吉林白城·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面ACDE，是等边三角形，在直角梯形ACDE中，，，，，P是棱BD的中点．
（1）求证：平面BCD；
（2）设点M在线段AC上，若平面PEM与平面EAB所成的锐二面角的余弦值为，求MP的长．
22．（2021秋·吉林白山·高二抚松县第一中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PD＝DC，F，G分别是PB，AD的中点．
（1）求证：GF⊥平面PCB；
（2）求平面PAB与平面PCB夹角的余弦值；
（3）在AP上是否存在一点M，使得DM与PC所成角为60°？若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由．
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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（吉林1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考阶段练习）在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题知平面，直线，故当、最短时，平面，，再根据向量的关系计算即可得答案.
【详解】，，
∴ ，，
即:，；
平面，直线，
所以当、最短时，平面，，
为的中心，为线段的中点，
如图：
又正四面体的棱长为1，
，
平面，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查空间向量的数量积运算，共面向量定理，共线向量定理，解题的关键在于结合共面向量定理与共线向量定理得平面，直线，进而当当、最短时，平面，，再求解.
2．（2023秋·吉林长春·高二长春市第二中学校考期末）如图，直线的斜率分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接由斜率的定义判断大小即可.
【详解】由斜率的定义知，.
故选：D.
3．（2022秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）已知空间向量，，，下列命题中正确的个数是（ ）
①若与共线，与共线，则与共线；
②若，，非零且共面，则它们所在的直线共面；
③若，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一有序实数组，使得；
④若，不共线，向量，则可以构成空间的一个基底.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】用向量共线或共面的基本定理即可判断.
【详解】若 与 ， 与共线， ，则不能判定 ，
故①错误；
若非零向量共面，则向量 可以在一个与 组成的平面平行的平面上，
故②错误；
不共面，意味着它们都是非零向量，可以作为一组基底，
故③正确；
，∴ 与 共面，故 不能组成一个基底，
故④错误；
故选：B.
4．（2021秋·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考期中）已知点，，则线段AB的垂直平分线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】应用两点式求线段AB的斜率，进而可得垂直平分线的斜率，结合中点坐标及点斜式写出垂直平分线方程.
【详解】由题设，，故线段AB的垂直平分线的斜率为2，又中点为，
所以线段AB的垂直平分线方程为，整理得：.
故选：B
5．（2022秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（ ）.
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】向量的垂直用坐标表示为，代入即可求出答案.
【详解】，，
因为与互相垂直，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
6．（2023·吉林·东北师大附中校考二模）直线的方程为，当原点到直线的距离最大时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知当时，原点到直线的距离最大，利用两直线垂直斜率的关系可求得实数的值.
【详解】直线方程可化为，
由可得，
所以，直线过定点，
当时，原点到直线的距离最大，且，
又因为直线的斜率为，解得.
故选：B.
7．（2021秋·吉林长春·高二长春市实验中学校考期中）过点，且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题设得的中垂线方程为，其与交点即为所求圆心，并应用两点距离公式求半径，写出圆的方程即可.
【详解】由题设，的中点坐标为，且，
∴的中垂线方程为，联立，
∴，可得，即圆心为，而，
∴圆的方程是.
故选：B
8．（2021秋·吉林长春·高二东北师大附中校考阶段练习）如图，是直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，然后坐标运算即可.
【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，，，，
可得，，
，
此时，与所成角的余弦值是.
故选：A
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知正方体的棱长为3，P为正方体表面上的一个动点，Q为线段上的动点，.则下列说法正确的是（ ）
A．当点P在侧面（含边界）内时，为定值
B．当点P在侧面（含边界）内时，直线与直线所成角的大小为
C．当点P在侧面（含边界）内时，对任意点P，总存在点Q，使得
D．点P的轨迹长度为
【答案】ACD
【分析】对选项A，易证得，即可求出的值；对选项B，易知直线与直线所成角为，求出，即可得出答案；对选项，通过关系建立方程，结合点的坐标满足，得到关于的一元二次方程，再通过判别式即可判断出对任意点，总存在点，便得；对于选项D，点P的轨迹一部分是在面三个面内以为半径，圆心角为的三段弧，另一部分是在面三个面内以为半径，圆心角为的三段弧，求解即可.
【详解】对于A，因为P在侧面（含边界）内，由正方体的性质知，
平面，平面，所以，
所以，故A正确；
对于B，点P在侧面（含边界）内，由正方体的性质知，
平面，平面，所以，
直线与直线所成角为，
所以，
直线与直线所成角的大小为，故B不正确；
对于C，建立如下图所示的空间直角坐标系，根据题意，可得：，，，，，，，
为线段上的动点，则有：（）
解得：，设点，
因为，所以，
则，若，
则有：，
，又
则有：
又，则有：，
故对任意点，总存在点，便得，故选项正确；
对于D，当时，如图2，点P的轨迹一部分是在面三个面内以为半径，圆心角为的三段弧，
另一部分是在面三个面内以为半径，圆心角为的三段弧；所以此时点P轨迹的长度为，故D选项正确；
故选：ACD.
10．（2022秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线：上一动点，则（ ）
A．周长的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为4
【答案】BCD
【分析】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为，对于A：根据对称性可得，进而可得结果；对于B：根据点到直线的距离分析判断；对于C：因为，结合点到直线的距离分析判断；对于D：根据题意分析可得，结合点到直线的距离分析判断.
【详解】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为，
可知，
对于选项A： 可得周长，
当且仅当四点共线时，等号成立，
所以周长的最小值为，故A错误；
对于选项B：设到轴，直线：的距离分别为，
则，
可得，
所以的最小值为，故B正确；
对于选项C：因为，
设到直线：的距离为，
可得，
所以的最小值为，故C正确；
对于选项D：作，垂足为，
因为直线的斜率，则，可得，
则，
可得，
所以的最小值为4，故D正确；
故选：BCD.
11．（2022秋·吉林长春·高二长春市第八中学校考期中）已知，分别是正方体的棱和的中点，则（ ）
A．与是异面直线
B．与所成角的大小为
C．与平面所成角的正弦值为
D．二面角的余弦值为
【答案】AD
【分析】根据异面直线的判定定理可判断A；建立空间直角坐标系，用向量方法可计算B，C，D是否正确
【详解】根据异面直线的判定定理，及正方体的结构特征，易知：A正确；
以为原点，，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
设正方体棱长2，则，，，，,
,
所以 ,,
设与所成角的大小为,
则
所以 ，故B错误;
由题意可知,平面的法向量为,,
设与平面所成角为, 则
,故C错误;
,
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
设平面的一个法向量为，，
则，令，得，
设二面角为，由题图知为锐角，
则，故D正确．
故选:AD．
12．（2022秋·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考阶段练习）已知动直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．圆的圆心坐标为
C．直线与圆的相交弦的最小值为
D．直线与圆的相交弦的最大值为4
【答案】ACD
【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐一判断即可.
【详解】对于A，直线，即，
令，得，即直线过定点，故A正确；
对于B，圆，即，圆心坐标为，故B错误；
对于C，因为，所以直线所过定点在圆的内部，不妨设直线过定点为，
当直线与圆的相交弦的最小时，与相交弦垂直，
又因为，所以相交弦的最小为，故C正确；
对于D，直线与圆的相交弦的最大值为圆直径4，故D正确.
故选：ACD
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2021秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）不论为任何实数，直线恒过一定点，该定点坐标为 .
【答案】
【分析】变换直线方程得到，得到，解得答案.
【详解】，即，
，解得，故直线过定点.
故答案为：.
14．（2023秋·吉林·高二吉林一中校考期末）已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且，，，则 .
【答案】
【分析】根据向量运算求得，进而求得.
【详解】
所以，
所以.
故答案为：
15．（2021秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考阶段练习）设为圆上的动点，是圆的切线且，则点的轨迹方程是 ．
【答案】．
【分析】设，由圆得到圆心和半径，再根据是圆的切线且，由求解.
【详解】设，易知圆的圆心，半径，
因为是圆的切线且，
所以，
所以,即，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．
所以点的轨迹方程是．
【点睛】本题考查圆的方程的应用以及定义法求轨迹方程，属于基础题.
16．（2023秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）如图，正方体ABCA1B1C1D1中，E、F分别为棱C1D1，A1D1的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是 ．
【答案】
【分析】分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成角的余弦值.
【详解】分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），F（1，0，2），D（0，0，0），E（0，1，2），
∴=（，0，2），=（0，1，2），
设，的夹角为，
则异面直线AF与DE所成角的余弦值是．
故答案为：.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2021秋·吉林·高二吉林油田高级中学校考开学考试）已知空间中三点的坐标分别为，，，且，．
(1)求向量与夹角的余弦值；
(2)若与互相垂直，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求得向量与的坐标，根据向量的夹角公式即可求得答案；
（2）表示出与的坐标，根据与互相垂直可得关于k的方程，即可求得答案.
【详解】（1），，
所以．
（2）因为，，且与互相垂直，
所以，解得．
18．（2020秋·吉林四平·高二四平市实验中学校考阶段练习）已知直线及点
（1）证明直线过某定点，并求该定点的坐标
（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程
【答案】（1）证明见解析，；（2）.
【解析】（1）首先根据题意得到，再根据即可得到答案.
（2）首先根据题意得到当点在直线上的射影点恰好是时，即时，点到直线的距离最大，再求直线方程即可.
【详解】（1）直线方程可化为：
由，解得且，
∴直线恒过定点.
（2）因为直线恒过定点，
∴当点在直线上的射影点恰好是时，即时，点到直线的距离最大，
∵，∴直线的斜率
由此可得点到直线的距离最大时，直线的方程为，
即.
【点睛】本题第一问考查直线横过定点问题，第二问考查直线方程，属于简单题.
19．（2022秋·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上.
(1)求圆心为的圆的一般方程；
(2)已知，为圆上的点，求的最大值和最小值.
【答案】(1)；
(2)最大值为，最小值为.
【分析】由和的坐标，求出直线的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为求出线段垂直平分线的斜率，再由和的坐标，利用线段中点坐标公式求出线段的中点坐标，由中点坐标和求出的斜率，得出线段垂直平分线的方程，与直线联立组成方程组，求出方程组的解集得到圆心的坐标，再由和的坐标，利用两点间的距离公式求出的值，即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的标准方程，再化为一般方程即可;
（2）先确定点在圆外，求得可求的最大值和最小值．
【详解】（1）∵，，∴,
∴弦的垂直平分线的斜率为，
又弦的中点坐标为，∴弦的垂直平分线的方程为，即，
与直线：联立，解得：，
圆心坐标为，∴圆的半径，
则圆的方程为.
∴圆的一般方程为；
（2）由（1）知圆的方程为，
所以,∴在圆外，
的最大值为，最小值为.
20．（2023春·吉林长春·高二长春市解放大路学校校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，点是的中点.
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的性质和判定定理即可证明；
（2）根据题意建立空间直角坐标系，通过线面角相关公式进行计算即可.
【详解】（1）如图，连接，
∵四边形是正方形，∴.
又平面，平面，∴，
∵平面，，
∴平面，
又平面，
∴
（2）易知，，两两垂直，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
∵，∴，，，，，
∴，，.
设平面的法向量为，则，
令，得.设直线与平面所成角为，由图可知，
则.
即直线与平面所成角的正弦值为.
21．（2021秋·吉林白城·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面ACDE，是等边三角形，在直角梯形ACDE中，，，，，P是棱BD的中点．
（1）求证：平面BCD；
（2）设点M在线段AC上，若平面PEM与平面EAB所成的锐二面角的余弦值为，求MP的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）取BC的中点Q，连接PQ、AQ，由线面垂直判定定理可证面，即可得证；
（2）以Q为原点建立坐标系，利用向量法建立关系可求出.
【详解】（1）证明：如图，取BC的中点Q，连接PQ、AQ，因为是等边三角形，所以，
又平面平面ACDE，，平面平面ACDE=AC，所以面，又面，所以，
又，所以，又，所以面，
因为，又P是棱BD的中点，所以，，又，，
所以，，即四边形是一个平行四边形，所以，
所以平面BCD；
（2）由（1）得平面，所以以点Q为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量为，
由，
因为点M在线段上，设其坐标为，其中，
所以，
设平面的法向量为，
由，
由题意，设平面与平面所成的锐二面角为，
则或，因为，
所以，所以.
【点睛】方法点睛：向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.
1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线;建立右手直角坐标系,让尽量多的点落在坐标轴上。
2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标.
3、求：求出两个面的法向量.
4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值；
5、取：根据二面角的范围和图示得出的二面角是锐角还是钝角,再取值.
22．（2021秋·吉林白山·高二抚松县第一中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PD＝DC，F，G分别是PB，AD的中点．
（1）求证：GF⊥平面PCB；
（2）求平面PAB与平面PCB夹角的余弦值；
（3）在AP上是否存在一点M，使得DM与PC所成角为60°？若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）M为AP中点.
【分析】（1）以点D为原点，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，建立平面PBC的法向量，证得，即GF⊥平面PCB;
（2）建立平面PAC的法向量，根据空间向量数量积公式，求得平面PAB与平面PCB夹角的余弦值；
（3）设＝λ，求得点M坐标表示，使用空间向量数量积公式，求得的值，即得到点M的坐标.
【详解】（1）证明：因为ABCD是边长为2的正方形，故，
又PD⊥底面ABCD，故以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则G（1，0，0），P（0，0，2），A （2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
F（1，1，1），
故＝（0，1，1），＝（2，2，﹣2），＝（0，2，﹣2），
设平面PCB的法向量为＝（x，y，z），则，即，
令y＝1，则x＝0，z＝1，∴＝（0，1，1），
∴∥，故GF⊥平面PCB．
（2）解：由（1）知，平面PCB的法向量为＝（0，1，1），＝（2，0，﹣2），
设平面PAB的法向量，
则，即，
令＝1，则＝0，＝1，故，
故cos＜，＞＝＝＝，.
由平面与平面的夹角为锐角，
因此平面PAB与平面PCB夹角的余弦值为．
（3）解：设＝λ，则M（2﹣2λ，0，2λ），则＝（2﹣2λ，0，2λ），
∵DM与PC所成角为60°，＝（0，2，﹣2），.
∴cos60°＝|cos＜，＞|＝||＝||，
解得λ＝，故在AP上存在一点M，使得DM与PC所成角为60°，
点M的坐标为（1，0，1）
M为AP中点．
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