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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（湖南2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023秋·湖南常德·高二常德市一中校考开学考试）如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】C
【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由二面角的平面角的定义知，
∴，
由，得，又，
∴
，
所以，即.
故选：C.
2．（2022春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）已知直线l：在x轴上的截距的取值范围是（，3），则其斜率的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】先求出含参数的直线所过定点坐标，然后求出直线两端点的斜率，
画出示意图，写出范围即可.
【详解】已知直线l：(2+a)x+(a 1)y 3a=0，所以(x+y-3)a+2x-y=0
，所以直线过点，
由题知，在轴上的截距取值范围是，
所以直线端点的斜率分别为：，如图：
或.
故选：D.
3．（2023秋·湖南永州·高二永州市第一中学校考阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据向量线性运算，以为基底表示出，从而确定的取值.
【详解】，，
，
，，，.
故选：A.
4．（2022秋·湖南怀化·高二怀化市第三中学校考期中）直线恒过定点（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由时，可得到定点坐标.
【详解】当，即时，，直线恒过定点.
故选：B.
5．（2022春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知空间向量，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的数量积的运算公式，求得，结合，即可求解.
【详解】由题意，空间向量，，，
可得，
则.
故选：A.
6．（2023春·湖南长沙·高二浏阳一中校考开学考试）已知两点到直线的距离相等，则（ ）
A．2 B． C．2或 D．2或
【答案】D
【分析】分在的同侧和异侧分类讨论求解.
【详解】（1）若在的同侧，
则，所以，，
（2）若在的异侧，
则的中点在直线上，
所以解得,
故选:D.
7．（2022秋·湖南长沙·高二长沙麓山国际实验学校校考开学考试）如图，正方体中，，，， 当直线与平面所成的角最大时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用坐标法，利用线面角的向量求法，三角函数的性质及二次函数的性质即得.
【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
∴，令，可得，
又，
设直线与平面所成的角为，则
，又，
∴当时，有最大值，即直线与平面所成的角最大.
故选：C.
8．（2022秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知过点的动直线l与圆C：交于A，B两点，过A，B分别作C的切线，两切线交于点N．若动点，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】先判断出四点在以为直径的圆上，求出该圆方程，进而求得方程，由点在直线上得出点轨迹为，又在圆上，进而将的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，即可求解.
【详解】
易得圆心，半径为4，如图，连接，则，则四点在以为直径的圆上，
设，则该圆的圆心为，半径为，圆的方程为，又该圆和圆的交点弦即为，
故，整理得，又点在直线上，
故，即点轨迹为，又在圆上，故的最小值为
圆心到直线的距离减去半径1，即.
故选：B.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022春·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）下面四个结论正确的是（ ）
A．空间向量，若，则
B．若空间四个点，，则三点共线
C．已知向量，若，则为钝角
D．任意向量满足
【答案】AB
【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断ACD，由空间向量的基本定理与共线定理可判断B
【详解】对于A：因为，，则，故A正确；
对于B：因为，则，即，
又与有公共点，所以三点共线，故B正确；
对于C：，
若为钝角：则，且与不共线，
由得，
当时，，即，由与不共线得，
于是得当且时，为钝角，故C错误；
对于D：是的共线向量，而是的共线向量，故D错误，
故选：AB
10．（2021秋·湖南长沙·高二雅礼中学校考阶段练习）若直线的斜率，且过点，则直线经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据直线的斜率公式一一验证各选项，可得答案.
【详解】直线的斜率，且过点，
对于A,计算，故A错误；
对于B,计算，故B正确；
对于C,计算，故C正确；
对于D,计算，故D错误；
故选：BC
11．（2022秋·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）下列说法中，正确的有（ ）
A．直线必过定点（2，3）
B．直线在y轴上的截距为
C．直线的倾斜角为60°
D．点（1，3）到直线的距离为1
【答案】BCD
【分析】令的系数为0求解判断A；根据截距的定义判断B，求出直线的斜率再根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角判断C，利用点到直线的距离的定义求距离判断D.
【详解】对A，直线过的定点坐标满足：，，故定点为，故A错误；
对B，在轴上的截距为，故B正确；
对C，直线的斜率为，故倾斜角满足，
即，故C正确；
对D，因为直线垂直于轴，故过作直线的垂线，垂足为，所以点到直线的距离为，故D正确.
故选：BCD
12．（2022春·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为，则（ ）
A．的周长为
B．（不重合时）平分
C．面积的最大值为6
D．当时，直线与轨迹相切
【答案】ABD
【分析】设，根据题意求得曲线的方程为，结合圆的周长公式，可判定A正确；求得，延长到，使，连结，得到，进而求得，可判定B正确；利用三角形的面积公式和圆的性质，可判定C错误；不妨取，求得直线的方程，结合直线与圆的位置关系的判定方法，即可求解.
【详解】设，因为，且点满足，可得，整理得，即曲线的方程为．
对于A中，曲线为半径为的圆，所以周长为，所以A正确；
对于B中，因为，所以，所以，
延长到，使，连结，如图所示，
因为，所以，所以，
所以，，
因为，所以，所以，
即平分，所以B正确．
对于C中，由的面积为，
要使得的面积最大，只需最大，
由点的轨迹为，可得，
所以面积的最大值为，所以C错误；
对于D中，当时，或，
不妨取，则直线，即，
因为圆心到直线的距离为，
所以，即直线与圆相切，所以D正确．
故选：ABD．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·湖南邵阳·高三邵阳市第二中学校考阶段练习）如图，已知正方体的棱长为，，，分别是棱， ，的中点，设是该正方体表面上的一点，若，则点的轨迹围成图形的面积是 .
【答案】
【分析】由题知，在平面上，进而取，，的中点，即可得点的轨迹是正六边形，再求面积即可
【详解】解：∵，在平面上，
分别取，，的中点，则点的轨迹是正六边形，
因为正方体的棱长为，
所以正六边形的边长为，
所以，点的轨迹围成图形的面积是.
故答案为：
14．（2021秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知直线和互相垂直，且，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】根据两直线垂直得到，再利用基本不等式求解.
【详解】解：由题得.
所以.
当且仅当时等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：
15．（2022春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量 .
【答案】
【分析】设，然后整理解方程组即可.
【详解】设，
即有，
因为是空间的一个单位正交基底，
所以有，
所以.
故答案为：
16．（2020春·湖南长沙·高一长沙市南雅中学校考阶段练习）若直线与直线交于点，则到坐标原点距离的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据题意可知,直线与直线分别过定点,且这两条直线互相垂直,由此可知,其交点在以为直径的圆上,结合图形求出到坐标原点距离的最大值即可.
【详解】由题可知,直线可化为,
所以其过定点,
直线可化为,
所以其过定点,且满足,
所以直线与直线互相垂直,
其交点在以为直径的圆上,作图如下:
结合图形可知,线段的最大值为,
因为为线段的中点,
所以由中点坐标公式可得,
所以到坐标原点距离，即线段的最大值为.
故答案为:
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2022秋·湖南长沙·高二长郡中学校联考阶段练习）如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点．
(1)用，，表示向量；
(2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，
【分析】（1）根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可；
（2）设，，用，，表示向量，依题意可得，根据空间向量数量积的运算律求出，即可得解．
【详解】（1）解：因为是中点，所以，
所以
；
（2）解：假设存在点，使，设，，
显然，，
因为，所以，
即，
，，，
即，
解得，所以当时，.
18．（2020春·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）已知圆及直线：.
(1)证明：不论取什么实数，直线与圆C总相交；
(2)求直线被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程.
【答案】(1)证明见解析；(2) ，.
【分析】（1）根据直线过的定点在圆内，得出直线与圆总相交．
（2）作图分析出当直线与半径CM垂直与点M时|AB|最短，利用勾股定理求出此时|AB|的长，再运用两直线垂直时斜率相乘等于 1，求出此时直线的方程．
【详解】解：(1)证明：直线的方程可化为，
由方程组，解得
所以直线过定点M(3，1)，
圆C化为标准方程为，所以圆心坐标为(1，2)，半径为5，
因为定点M(3，1)到圆心(1，2)的距离为√，
所以定点M(3，1)在圆内，
故不论m取什么实数，过定点M(3，1)的直线与圆C总相交；
(2)设直线与圆交于A、B两点，当直线与半径CM垂直与点M时，直线被截得的弦长|AB|最短，
此时，
此时，所以直线AB的方程为，即.
故直线被圆C截得的弦长的最小值为，此时的直线的方程为.
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，当直线与半径CM垂直于点M时|AB|最短是解题的关键，是中档题．
19．（2022秋·湖南长沙·高二长郡中学阶段练习）已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设圆的方程为：，由已知列出方程组，解之可得圆的方程；
（2）由已知得四边形的面积为，即有，又有.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，根据点到直线的距离公式可求得答案.
【详解】解：（1）设圆的方程为：，
根据题意得，
故所求圆M的方程为： ；
（2）如图，
四边形的面积为，即
又，所以，
而，即.
因此要求的最小值，只需求的最小值即可，
的最小值即为点到直线的距离
所以，
四边形面积的最小值为.
20．（2020春·湖南长沙·高一长郡中学校考期末）已知关于x，y的方程.
（1）若方程C表示圆，求实数m的取值范围；
（2）若圆C与直线相交于M，N两点，且，求m的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先将圆的一般方程化为标准方程，可得，然后根据，可得结果.
（2）根据圆的弦长公式，可得结果.
【详解】（1）化简
得，
则当时，
方程C表示以为圆心，为半径的圆.
（2）圆心到直线l的距离
为.
，
解得.
【点睛】本题考查表示圆的方程满足条件以及圆的弦长公式，属基础题.
21．（2022秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；
（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；
【详解】（1）[方法一]：几何法
因为，所以．
又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示，
过E作的平行线分别与交于其中点，连接，
因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，
易证，则．
又因为，所以．
又因为，所以平面．
又因为平面，所以．
[方法二] 【最优解】：向量法
因为三棱柱是直三棱柱，底面，
，，，又，平面．所以两两垂直．
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．
，．
由题设（）．
因为，
所以，所以．
[方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以．
（2）[方法一]【最优解】：向量法
设平面的法向量为，
因为，
所以，即．
令，则
因为平面的法向量为，
设平面与平面的二面角的平面角为，
则．
当时，取最小值为，
此时取最大值为．
所以，此时．
[方法二] ：几何法
如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面．
作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角．
设，过作交于点G．
由得．
又，即，所以．
又，即，所以．
所以．
则，
所以，当时，．
[方法三]：投影法
如图，联结，
在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则．
设，在中，．
在中，，过D作的平行线交于点Q．
在中，．
在中，由余弦定理得，，，
，，
当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为．
【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.
第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面与面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面积与面积之比即为面与面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维．
22．（2023秋·湖南长沙·高二长郡中学校考开学考试）如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，为棱上一动点（不包含端点）．
(1)若为的中点，求证：平面；
(2)是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）取中点，易证得四边形为平行四边形，得到，由线面平行的判定可证得结论；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据面面角的向量求法可构造方程求得的值，由此可得结果.
【详解】（1）分别取中点，连接，
则为的中位线，，，
又，，，，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面.
（2）以为坐标原点，正方向为轴可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设，则，
，
令平面的法向量为，
则，令，则，，；
又平面的一个法向量，
，
解得：或（舍），
，，即的长为.
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（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023秋·湖南常德·高二常德市一中校考开学考试）如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）
A． B． C．4 D．2
2．（2022春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）已知直线l：在x轴上的截距的取值范围是（，3），则其斜率的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
3．（2023秋·湖南永州·高二永州市第一中学校考阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022秋·湖南怀化·高二怀化市第三中学校考期中）直线恒过定点（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知空间向量，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·湖南长沙·高二浏阳一中校考开学考试）已知两点到直线的距离相等，则（ ）
A．2 B． C．2或 D．2或
7．（2022秋·湖南长沙·高二长沙麓山国际实验学校校考开学考试）如图，正方体中，，，， 当直线与平面所成的角最大时，（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知过点的动直线l与圆C：交于A，B两点，过A，B分别作C的切线，两切线交于点N．若动点，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022春·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）下面四个结论正确的是（ ）
A．空间向量，若，则
B．若空间四个点，，则三点共线
C．已知向量，若，则为钝角
D．任意向量满足
10．（2021秋·湖南长沙·高二雅礼中学校考阶段练习）若直线的斜率，且过点，则直线经过点（ ）
A． B． C． D．
11．（2022秋·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）下列说法中，正确的有（ ）
A．直线必过定点（2，3）
B．直线在y轴上的截距为
C．直线的倾斜角为60°
D．点（1，3）到直线的距离为1
12．（2022春·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为，则（ ）
A．的周长为
B．（不重合时）平分
C．面积的最大值为6
D．当时，直线与轨迹相切
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·湖南邵阳·高三邵阳市第二中学校考阶段练习）如图，已知正方体的棱长为，，，分别是棱， ，的中点，设是该正方体表面上的一点，若，则点的轨迹围成图形的面积是 .
14．（2021秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知直线和互相垂直，且，则的最小值为 .
15．（2022春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量 .
16．（2020春·湖南长沙·高一长沙市南雅中学校考阶段练习）若直线与直线交于点，则到坐标原点距离的最大值为 ．
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2022秋·湖南长沙·高二长郡中学校联考阶段练习）如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点．
(1)用，，表示向量；
(2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由．
18．（2020春·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）已知圆及直线：.
(1)证明：不论取什么实数，直线与圆C总相交；
(2)求直线被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程.
19．（2022秋·湖南长沙·高二长郡中学阶段练习）已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.
20．（2020春·湖南长沙·高一长郡中学校考期末）已知关于x，y的方程.
（1）若方程C表示圆，求实数m的取值范围；
（2）若圆C与直线相交于M，N两点，且，求m的值.
21．（2022秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小
22．（2023秋·湖南长沙·高二长郡中学校考开学考试）如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，为棱上一动点（不包含端点）．
(1)若为的中点，求证：平面；
(2)是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由．
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