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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（江苏1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023春·江苏南京·高二南京市人民中学校考阶段练习）如图，三棱锥各棱的棱长是1，点是棱的中点，点在棱上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】首先在中利用余弦定理求出，然后由空间向量的运算法则可得，变形可得，由二次函数的知识可得答案.
【详解】根据题意，在中， ，
所以
所以==
则时，取得最小值，
则的最小值为.
故选：B
2．（2021秋·江苏苏州·高二星海实验中学阶段练习）若直线过点（1，2），（4，2＋），则此直线的倾斜角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【分析】求出直线的斜率，由斜率得倾斜角．
【详解】由题意直线斜率为，所以倾斜角为．
故选：A．
3．（2023春·江苏连云港·高二连云港高中校考期中）在以下命题中，真命题的是（ ）．
A．是、共线的充要条件
B．若，则存在唯一的实数，使
C．对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若，则P、A、B、C四点共面
D．若、、是不共面的向量，则、、的线性组合可以表示空间中的所有向量
【答案】D
【分析】根据模的性质、向量共线定理、空间向量共面定理、空间向量基本定理判断各选项．
【详解】A．若则、一定共线，若、共线，当、同向时，，即不一定成立，所以是、共线的充分不充要条件，A错；
B．若，当时，不存在唯一的实数，使，B错；
C．因为A、B、C三点不共线，则不共线，
若四点共面，则存在唯一的一组实数使得，
即，变形得，
而当由时，，所以不共面，C错；
D．若、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量，
否则若、、共面，则存在实数，使得，
即，中至少有一个不等于0，
若，则 ，因此、、共面，与已知矛盾，或同样得出矛盾，所以、、也不共面，由空间向量基本定理，可能用它们表示出空间任意向量．D正确．
故选：D．
4．（2021秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考阶段练习）已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把坐标代入两条直线和得,,求出,再用两点式方程求过点,的直线的方程．
【详解】把坐标代入两条直线和,得
,,
,
过点,的直线的方程是：,
,则,
,,
所求直线方程为：．
故选 ：A.
5．（2022春·江苏淮安·高二马坝高中校考期中）已知，，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】求出和的坐标，根据空间向量共线的充要条件即可得，的值.
【详解】因为，，所以，
，
因为，所以，解得：，，
故选：B.
6．（2022·江苏南京·高三金陵中学校考学业考试）已知点，，，直线将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得直线（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b；②若点M在点O和点A之间，求得b； ③若点M在点A的左侧，求得b＞1．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．
【详解】由题意可得，三角形ABC的面积为 1，
由于直线与x轴的交点为M，
由直线将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，
故0，故点M在射线OA上．
设直线和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为，
①若点M和点A重合，如图：
则点N为线段BC的中点，故N（，），
把A、N两点的坐标代入直线，求得a＝b．
②若点M在点O和点A之间，如图：
此时，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，
即，即 ，可得a0，求得 b，
故有．
③若点M在点A的左侧，
则，由点M的横坐标1，求得b＞a．
设直线和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为，
此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 ，
即，化简可得 ．
由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．
两边开方可得 1，∴，化简可得，
故有1．
综上可得b的取值范围应是 ，
故选：B．
7．（2023春·江苏南通·高二江苏省通州高级中学校考阶段练习）已知正方体的棱长为2，，分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，按照距离的向量求法求解即可.
【详解】
如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，易知，
设平面的法向量，则，令，解得，
故点到平面的距离为.
故选：A.
8．（2022春·江苏盐城·高三江苏省阜宁中学校考阶段练习）已知直线l：与圆C：交于A，B两点，O为坐标原点，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意直线l过圆心，则，当OC垂直直线l时，取得最小值得出答案.
【详解】圆的圆心，满足，所以直线l过圆心，
所以，
当OC垂直直线l时，取得最小值，所以的最小值为
所以的得最小值为，故的最小值为．
故选：A
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022春·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）已知空间三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】由条件可得的坐标，然后逐一判断即可.
【详解】因为，，，
所以
所以，，
所以不共线.
故选：AC
10．（2022秋·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ）
A．曲线C围成的图形有4条对称轴
B．曲线C围成的图形的周长是
C．曲线C上的任意两点间的距离不超过5
D．若是曲线C上任意一点，的最小值是
【答案】ABD
【分析】去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而可作出曲线的图像，由图像即可判断ABCD.
【详解】，
当时，，即，
表示圆心为，半径的半圆；
当时，，即，
表示圆心为，半径的半圆；
当时，，即，
表示圆心为，半径的半圆；
当时，，即，
表示圆心为，半径的半圆.
曲线的图像如下图所示：
对于A，易知曲线图像有4条对称轴，A正确；
对于B，曲线图形由4个半圆组成，故其周长为，B正确；
对于C，由图可知，曲线C上的任意两点间的最大距离为，C错误；
对于D，圆心到直线的距离为，
到直线的距离，
若使最小，则有，
所以，得，D正确.
故选：ABD.
11．（2023春·江苏南京·高一南京师大附中校考阶段练习）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线AP与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】AB
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量夹角公式、三棱锥的体积性质逐一判断即可.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，
，
设，设，
即.
A：，
因为，
所以，
而平面，
所以直线平面，因此本选项结论正确；
B：侧面的对角线交点为，所以，，
而平面，平面，
所以，而平面，
所以平面，
为定值，因此本选项结论正确；
C：，
设异面直线AP与所成角为，
则有，
当时，；
当时，，
因为，所以，
因此，
，即，所以，
综上所述：，所以本选项结论不正确；
D：设平面的法向量为，，
所以有，
直线与平面所成角的正弦值为：
因为，所以当时，有最小值，最小值为，
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为，因此本选项结论不正确，
故选：AB
【点睛】关键点睛：利用空间向量夹角公式是解题的关键.
12．（2022秋·江苏南京·高二南京师大附中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆O的两条切线，A，B为切点，满足，则k的值可能为（ ）
A．-7 B．-5 C．-2 D．–1
【答案】ABC
【分析】先设出，利用求出在以原点为圆心，半径为2的圆上，数形结合转化为且只需原点到直线的距离小于半径2即可，用点到距离公式列出不等式，求出k的取值范围.
【详解】设，连接，设，
则，，
所以，
又，
所以
令，则有，
解得：或
因为在单位圆外，所以舍去，
即在以原点为圆心，半径为2的圆上，
因为曲线上存在四个点（i＝1，2，3，4），
即与圆有4个交点，
结合图象可知，且只需原点到直线的距离小于半径2即可，
所以，解得：或（舍去），
故选：ABC
【点睛】数形结合的思想对于求解函数零点或交点个数问题经常使用，要能抓住一些不变量，比如本题中的直线方程过定点
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）空间向量，若三个向量共面，则实数的值为 ．
【答案】1
【分析】利用空间向量共面定理即得.
【详解】因为三个向量共面，
可设，即，
∴，
解得.
故答案为：1.
14．（2022秋·江苏徐州·高二徐州市第七中学校考阶段练习）若直线与直线垂直，直线的斜率为，则直线的倾斜角为 ．
【答案】/
【分析】求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可求得结果.
【详解】设直线的倾斜角为，
因为直线与直线垂直，直线的斜率为，则，
因为，因此，.
故答案为：.
15．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在平行六面体中，，且，则的余弦值是 .
【答案】/
【分析】利用空间向量基本定理，得到，求出，，再由向量夹角公式求的余弦值.
【详解】由题设，可得如下示意图，
∴，
设，则，又，
所以，，，
所以以
.
，
所以
故答案为：.
16．（2022秋·江苏南京·高二南京市雨花台中学校考阶段练习）直线l过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是 .
【答案】或
【分析】根据题意，分2种情况讨论：①直线过原点，又由直线经过点，由点斜式方程即可得出答案. ②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点，代入求出，即可求出直线l的方程.
【详解】根据题意，分2种情况讨论：
①直线过原点，又由直线经过点，此时直线的方程为，即；
②直线不过原点，设其方程为，
又由直线经过点，则有，解可得，
此时直线的方程为，
故直线l的方程为或.
故答案为：或.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2022春·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设，，．
(1)用，，表示向量；
(2)若，且满足 （从下列三个条件中任选一个，填上序号：①；②；③，则可求出的值；并求出的大小．
【答案】(1)
(2)①②③
【分析】（1）连接由 可得答案；
（2）选①，对两边平方代入已知再开方可得答案；
选②，对两边平方代入已知再开方可得答案；
③对两边平代入已知再开方可得答案.
【详解】（1）
连接，因为N是棱BC的中点，所以，因为 M是棱OA上靠近A的三等分点，所以
.
（2）选①，
因为，，所以
，所以；
选②，
因为，，所以
，所以；
③，
因为，，所以
，所以.
18．（2022秋·江苏扬州·高二扬州大学附属中学校考阶段练习）已知的顶点．
(1)求边上的高所在直线的方程；
(2)求边上的中线所在直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求直线的斜率，结合，求高所在直线的斜率，再利用点斜式求直线方程；（2）先根据中点坐标公式求点M的坐标，再利用点斜式求直线方程.
【详解】（1）∵直线的斜率
∴边上的高所在直线的斜率，则所求直线方程为，即
∴边上的高所在直线的方程为
（2）∵线段的中点
∴边上的中线所在直线的斜率，则所求直线方程为，即
∴边上的中线所在直线的方程为
19．（2022秋·江苏扬州·高二扬州中学校考期末）求满足下列条件的圆的方程：
(1)经过点，，圆心在轴上；
(2)经过直线与的交点，圆心为点.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出圆的方程，代入A、B两点坐标，求出圆心和半径，从而求出圆的方程；（2）先求出交点坐标，进而求出半径，写出圆的方程.
【详解】（1）设圆的方程为，由题意得：，解得：，所以圆的方程为；
（2）联立与，解得：，所以交点为，则圆的半径为，所以圆的方程为.
20．（2023春·江苏南京·高二金陵中学校考期末）在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.
【详解】（1）证明：在四边形中，作于，于，
因为，
所以四边形为等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，
所以平面，
又因为平面，
所以；
（2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
，
则，
则，
设平面的法向量，
则有，可取，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
21．（2023·江苏南京·南京师大附中校考一模）如图，在四棱锥中，侧棱矩形，且，过棱的中点，作交于点，连接
(1)证明：；
(2)若，平面与平面所成二面角的大小为，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证平面，得，再证平面，得，然后证明平面，得证；
（2）以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，由空间向量法求二面角得的长，然后利用棱锥体积公式计算．
【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，
由底面为矩形，有，而，平面，
所以平面，又平面，所以．
又因为，点是的中点，所以．
而，平面，所以平面，平面，
所以，
又，，平面，
所以平面，而平面，
所以得证．
（2）如图，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系．
因为，设，（），
则，，点是的中点，所以，
由，所以是平面的一个法向量；
由（1）知，，所以是平面的一个法向量．
因为平面与平面所成二面角的大小为，
则，解得（负值舍去）．
所以，
．
22．（2021春·江苏南京·高二金陵中学校考期末）如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，，，，.
(1)证明：平面；
(2)在线段CM（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)见解析
(2)存在，
【分析】（1）由面面垂直的性质可得，再得出即可证明；
（2）设，求出平面和平面的法向量，利用向量关系建立方程求出即可得出.
【详解】（1）证明：正方形中，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，
，且，又，
，又，，
，又，，
又平面，
平面；
（2）解：如图，以B为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
设点，，，
，
，
设平面的法向量为，
，
令，
显然，平面的法向量为，
，
即，即
即，解得或（舍），
所以存在一点，且.
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（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023春·江苏南京·高二南京市人民中学校考阶段练习）如图，三棱锥各棱的棱长是1，点是棱的中点，点在棱上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
2．（2021秋·江苏苏州·高二星海实验中学阶段练习）若直线过点（1，2），（4，2＋），则此直线的倾斜角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．（2023春·江苏连云港·高二连云港高中校考期中）在以下命题中，真命题的是（ ）．
A．是、共线的充要条件
B．若，则存在唯一的实数，使
C．对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若，则P、A、B、C四点共面
D．若、、是不共面的向量，则、、的线性组合可以表示空间中的所有向量
4．（2021秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考阶段练习）已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022春·江苏淮安·高二马坝高中校考期中）已知，，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2022·江苏南京·高三金陵中学校考学业考试）已知点，，，直线将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·江苏南通·高二江苏省通州高级中学校考阶段练习）已知正方体的棱长为2，，分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022春·江苏盐城·高三江苏省阜宁中学校考阶段练习）已知直线l：与圆C：交于A，B两点，O为坐标原点，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022春·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）已知空间三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022秋·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ）
A．曲线C围成的图形有4条对称轴
B．曲线C围成的图形的周长是
C．曲线C上的任意两点间的距离不超过5
D．若是曲线C上任意一点，的最小值是
11．（2023春·江苏南京·高一南京师大附中校考阶段练习）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线AP与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
12．（2022秋·江苏南京·高二南京师大附中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆O的两条切线，A，B为切点，满足，则k的值可能为（ ）
A．-7 B．-5 C．-2 D．–1
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）空间向量，若三个向量共面，则实数的值为 ．
14．（2022秋·江苏徐州·高二徐州市第七中学校考阶段练习）若直线与直线垂直，直线的斜率为，则直线的倾斜角为 ．
15．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在平行六面体中，，且，则的余弦值是 .
16．（2022秋·江苏南京·高二南京市雨花台中学校考阶段练习）直线l过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是 .
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2022春·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设，，．
(1)用，，表示向量；
(2)若，且满足 （从下列三个条件中任选一个，填上序号：①；②；③，则可求出的值；并求出的大小．
18．（2022秋·江苏扬州·高二扬州大学附属中学校考阶段练习）已知的顶点．
(1)求边上的高所在直线的方程；
(2)求边上的中线所在直线的方程．
19．（2022秋·江苏扬州·高二扬州中学校考期末）求满足下列条件的圆的方程：
(1)经过点，，圆心在轴上；
(2)经过直线与的交点，圆心为点.
20．（2023春·江苏南京·高二金陵中学校考期末）在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
21．（2023·江苏南京·南京师大附中校考一模）如图，在四棱锥中，侧棱矩形，且，过棱的中点，作交于点，连接
(1)证明：；
(2)若，平面与平面所成二面角的大小为，求的值．
22．（2021春·江苏南京·高二金陵中学校考期末）如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，，，，.
(1)证明：平面；
(2)在线段CM（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
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