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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（江苏2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023春·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据向量共面定理，，若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，则其充要条件是，由此可判断出答案.
【详解】根据向量共面定理，，若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，则其充要条件是，
由此可得A，B，D不正确，
选项C：，所以四点共面，
故选：C.
2．（2022秋·江苏扬州·高二扬州中学校考开学考试）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】由可得直线与直线平行，即充分条件成立；由直线与直线平行，求得的值为，即必要条件成立；
【详解】因为，所以直线，直线，则与平行，故充分条件成立；
当直线与直线平行时，，解得或，当时，直线与直线重合，当时，直线，直线平行，故必要条件成立.
综上知，“”是“直线与直线平行”的充要条件.
故选：A.
3．（2022春·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据向量加减法，和空间向量基本定理直接求解即可.
【详解】
.
故选：C
【点睛】本题主要考查向量在几何中的应用以及向量共线定理，空间向量基本定理，属于基础题.
4．（2022秋·江苏扬州·高二扬州中学校考期中）已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可.
【详解】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.
故选：C.
5．（2022·江苏南京·金陵中学校考二模）为正方体对角线上的一点，且，下面结论不正确的是（ ）
A． B．若平面PAC，则
C．若为钝角三角形，则 D．若，则为锐角三角形
【答案】C
【分析】连接，根据正方体的性质，证得平面，得到，可判定A正确；连接，证得平面，得到点在平面中，可判定B正确；设正方体的棱长为，当时，求得，可判定C不正确；建立如图所示的空间直角坐标系，求得的坐标，利用，求得的范围，可判定D正确.
【详解】如图（1）所示：
对于A中，正方体中，连接，
因为平面，且平面，所以，
又由且，所以平面，
因为，所以平面，所以，所以A正确；
对于B中，正方体中，连接，
可得，且，所以平面，
若平面，可得点在平面中，可得，
又由，所以，所以B正确；
对于C中，设正方体的棱长为，
当为的中点时，即时，可得，，
由余弦定理可得，可得，
所以若为钝角三角形，则是不正确的，故C不正确；
对于D中，建立如图所示的空间直角坐标系，如图（2）所示不妨设正方体的棱长为1，
则，
可得，
,
由，
令，解得或（舍去），
又由，所以，
即当时，，即为锐角，
又因为中，，所以为锐角三角形，所以D正确.
故选：C.
6．（2022秋·江苏扬州·高二扬州中学校考期中）已知点在直线上的运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】表示点与距离的平方，求出到直线的距离，即可得到答案.
【详解】表示点与距离的平方，
因为点到直线的距离，
所以的最小值为．
故选：A
7．（2023·江苏南京·南京师大附中校考一模）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将半正多面体补成正方体并建立空间直角坐标系，确定相关点坐标，设，利用向量夹角的坐标表示及二次函数性质求所成角的余弦值的取值范围.
【详解】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为半正多面体的棱长为，故正方体的棱长为
所以，.
设，则.
所以.
令，则，
因为，所以.
故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为.
故选：C
8．（2022秋·江苏南京·高二南京师大附中校考阶段练习）已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于（ ）
A．14 B．34 C．14或45 D．34或14
【答案】D
【分析】根据两圆内切或外切可得圆心距，从而可求实数a.
【详解】圆：的圆心为,
圆：的圆心为,
，
因为圆与圆有且仅有一个公共点，故圆与圆相内切或外切，
故或，从而或，
所以或，解得：或
所以实数a等于34或14
故选：D
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022春·江苏淮安·高二马坝高中校考期中）若，，与的夹角为120°，则的值为（ ）
A． B．17 C．1 D．
【答案】BD
【分析】由空间向量夹角的坐标表示求解
【详解】由题意得
解得或
故选：BD
10．（2022秋·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）已知直线：和直线：，则（ ）
A．若，则或 B．若在轴和轴上的截距相等，则
C．若，则或2 D．若，则与间的距离为
【答案】CD
【分析】由两直线平行，即可求出，则可判断出A选项，结合两直线的距离公式即可判断出D选项；由在轴和轴上截距相等等价于过原点或其斜率为，即可列出等式，解出或2，则可判断出B选项；由两直线垂直，即可求出或2，则可判断出C选项.
【详解】若，由，解得或，
经检验当时，，重合，当时，，
所以，故A错误；
若在轴和轴上截距相等，则过原点或其斜率为，则或，则或，故B错误；
若，则，解得或2，故C正确；
当时，，则：，：，
即：，则与间的距离为，故D正确．
故选：CD．
11．（2023春·江苏泰州·高二泰州中学校考阶段练习）如图的六面体中，CA＝CB＝CD＝1，AB＝BD＝AD＝AE＝BE＝DE＝，则（ ）
A．CD⊥平面ABC B．AC与BE所成角的大小为 C． D．该六面体外接球的表面积为3π
【答案】ACD
【分析】利用线面垂直的判定定理、空间向量以及球的表面积公式进行计算求解.
【详解】因为CA＝CB＝CD＝1，BD＝AD＝，
所以，
即 又，
所以CD⊥平面ABC，故A正确；
因为CD⊥平面ABC，如图，建立空间之间坐标系，
因为CA＝CB＝CD＝1，所以四面体是正三棱锥，
因为AB＝BD＝AD＝AE＝BE＝DE＝，所以四面体是正四面体，
在正三棱锥中过点C作底面的垂线，垂足为正三角形的中心，
同理，在正四面体中，过顶点作底面的垂线，垂足为正三角形的中心，
所以，三点共线；
因为，因为正三角形的中心，所以，
设，因为在正四面体中，，在正三棱锥中，，
所以，解得，所以，所以，又，
所以，故AC与BE所成角的大小为，故B错误；
因为，所以，故C正确；
显然，该六面体外接球的球心位于线段的中点，因为，所以六面体外接球的半径，
所以该六面体外接球的表面积为，故D正确.
故选：ACD.
12．（2022秋·江苏·高三统考期末）瑞士数学家欧拉(Euler)在1765年在其所著作的《三角形的几何学》－书中提出：三角形的外心(中垂线的交点)、重心(中线的交点)、垂心(高的交点)在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.若△ABC的顶点A(－4，0)，B(0，4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．△ABC的外心为(－1，1) B．△ABC的顶点C的坐标可能为(－2，0)
C．△ABC的垂心坐标可能为(－2，0) D．△ABC的重心坐标可能为
【答案】ACD
【分析】求出直线AB的垂直分线方程，联立欧拉方程可求得外心坐标，判断A;求出外接圆方程，表示出重心，坐标，代入到外接圆方程中，可求得C的坐标，进而判断B,D的对错；写出过C和直线AB垂直的可能的方程，和欧拉方程联立求得垂心坐标，可判断C.
【详解】由顶点A(－4，0)，B(0，4)，可知直线AB的垂直分线方程为 ，
的外心在直线x－y＋2＝0上，
联立 ，可得外心坐标为(－1，1)，故A正确；
设外心为G,则G(－1，1)，故 ,
所以外接圆方程为 ，
设 ，则的重心为 ，代入欧拉线方程为x－y＋2＝0中，
得： ，和联立，解得或，
即C点坐标可以为 ，故B错误；
由C点坐标为，可知重心可能为，故D正确；
当C点坐标为时，过C和AB垂直的直线方程为 ，
联立欧拉线方程为x－y＋2＝0可解得垂心坐标为；
当C点坐标为时，过C和AB垂直的直线方程为 ，
联立欧拉线方程为x－y＋2＝0可解得垂心坐标为，故C正确，
故选：ACD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2023春·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）已知，，，若三个向量共面，则实数等于 .
【答案】8
【分析】由题意可得存在实数使得成立，列出方程组求解即可.
【详解】解：因为共面，
所以存在实数使得成立，
即，解得.
所以.
故答案为：8.
14．（2021秋·江苏扬州·高二扬州中学校考期中）直线l1：x+my+6=0与l2：(m-2)x+3y+2m=0，若则= ；
【答案】
【分析】两直线，平行，则有，按照公式代入计算即可求出结果.
【详解】由题意，因为，则，即，
解得或，其中当时，代入验证可得两直线是重合的，不满足题意，
所以当时，．
故答案为：-1.
15．（2020春·江苏南通·高一江苏省如东高级中学校考阶段练习）.在四面体中，、分别是、的中点，若记，，，则 .
【答案】
【解析】根据空间向量的线性运算法则计算可得；
【详解】解:四面体中，、分别是、的中点，则
故答案为：
【点睛】本题考查了空间向量的线性表示与运算的应用问题，属于基础题．
16．（2020春·江苏淮安·高一江苏省清江中学校考期中）点到直线的距离的最大值为 .
【答案】
【分析】先判断过定点，可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离，从而可得结果.
【详解】化简可得，
由，
所以过定点，
点到直线的距离的最大值就是
点与点的距离为，
故答案为.
【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将求最大值的问题转化成了两点间的距离的问题来解决，转化巧妙.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2023春·江苏淮安·高二洪泽湖高级中学校考阶段练习）如图，在平行六面体中，．求：
(1)；
(2)的长；
(3)的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用数量积的定义得，即可求解；
（2）由，结合，代入数据，即可求解；
（3）根据，代入数据，即可求解．
【详解】（1）解：由向量的数量积的概念，可得.
（2）解：因为，
所以，
即的长为.
（3）解：以为，
所以
.
18．（2022秋·江苏连云港·高二连云港高中校考开学考试）设直线的方程为.
(1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围；
(2)若,直线与轴 轴分别交于点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程.
【答案】(1)
(2)面积的最小值为，此时直线的方程为
【分析】（1）将直线化为斜截式方程，由直线不经过第二象限，列方程组解出实数的取值范围；
（2）由已知得出，代入面积公式，利用基本不等式可求出最值以及取得最值时的直线方程．
【详解】（1）直线的方程可化为，因为不过第二象限，所以，解得，从而的取值范围为
（2）直线的方程可化为，所以，从而，当且仅当，即时等号成立，因此面积的最小值为，此时直线的方程为
19．（2022秋·江苏连云港·高二江苏省海州高级中学校考阶段练习）已知圆心为C的圆经过两点，且圆心C在直线上
(1)求圆C的标准方程．
(2)若直线PQ的端点P的坐标是，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程.
（2）设出点的坐标，求得点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程.
【详解】（1）线段的中点的坐标为，
直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的方程为，
由解得，所以，
,
所以圆的标准方程为.
（2）设，由于是线段的中点，，
所以，
将点的坐标代入原的方程得，
整理得点的轨迹方程为：.
20．（2023春·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，，.
（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）与平面所成角的正弦值为.
【分析】（1）、取的中点，连接，证明结合，先证明平面，得到，再证明，然后证明平面；
（2）、以为坐标原点建立空间直角坐标系，计算平面的法向量及，利用向量法求线面角.
【详解】（1）证明：作的中点，连接，因为是正三角形，所以，
又平面，所以平面，又平面，所以，
因为∥，所以，又平面，所以平面；
（2）以为坐标原点, 所在直线分别为为轴非负半轴，建立空间直角坐标系如图示，
则，所以，
设平面的法向量为，则，取，则，
设与平面所成角为，则.与平面所成角的正弦值为.
21．（2022·江苏南京·金陵中学校考二模）如图，三角形ABC是边长为3的等边三角形，E，F分别在边AB，AC上，且，M为BC边的中点，AM交EF于点O，沿EF将三角形AEF折到DEF的位置，使．
(1)证明：平面EFCB；
(2)若平面EFCB内的直线平面DOC，且与边BC交于点N，问在线段DM上是否存在点P，使二面角P—EN—B的大小为60°？若存在，则求出点P；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，.
【分析】（1）先由勾股定理证，易得，即得证；
（2）连接，过作交于，如图建立空间直角坐标系设，再利用向量法求解.
【详解】（1）证明：在中，易得，，，
由，得，
又，，，
又为中点，，，
因为，平面，
平面.
（2）解：连接，过作交于，平面，平面，则平面，
又，四边形为平行四边形，，
如图建立空间直角坐标系设，
由题得平面的法向量为.
设平面的法向量为，
由题得,
所以，所以.
由题得,所以,
所以，所以，
因为二面角P—EN—B的大小为60°，
所以，解之得（舍去）或.
此时.
22．（2021秋·江苏南京·高三金陵中学校考阶段练习）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，为的中点．
（1）求证平面；
（2）若点为的中点，线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请确定的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在；．
【分析】（1）先证明平面，进而得到面，得出，再根据条件证明，最后根据线面垂直的判定定理得到结论；
（2）建立空间直角坐标系，设，求出两个平面的法向量，进而根据面面垂直求出k.
【详解】（1）因为平面，所以，又，，所以平面，又，所以面，面，．
又，为的中点，所以，而，所以平面．
（2）以A为坐标原点，所在方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，．
所以，设（），所以，则，所以，，
设平面的法向量为，则，，
即，令，则，
由（1）可知为平面的一个法向量，若平面平面，则，即，解得．
即时平面平面.
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（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023春·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·江苏扬州·高二扬州中学校考开学考试）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要
3．（2022春·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022秋·江苏扬州·高二扬州中学校考期中）已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏南京·金陵中学校考二模）为正方体对角线上的一点，且，下面结论不正确的是（ ）
A． B．若平面PAC，则
C．若为钝角三角形，则 D．若，则为锐角三角形
6．（2022秋·江苏扬州·高二扬州中学校考期中）已知点在直线上的运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·江苏南京·南京师大附中校考一模）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·江苏南京·高二南京师大附中校考阶段练习）已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于（ ）
A．14 B．34 C．14或45 D．34或14
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022春·江苏淮安·高二马坝高中校考期中）若，，与的夹角为120°，则的值为（ ）
A． B．17 C．1 D．
10．（2022秋·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）已知直线：和直线：，则（ ）
A．若，则或 B．若在轴和轴上的截距相等，则
C．若，则或2 D．若，则与间的距离为
11．（2023春·江苏泰州·高二泰州中学校考阶段练习）如图的六面体中，CA＝CB＝CD＝1，AB＝BD＝AD＝AE＝BE＝DE＝，则（ ）
A．CD⊥平面ABC B．AC与BE所成角的大小为 C． D．该六面体外接球的表面积为3π
12．（2022秋·江苏·高三统考期末）瑞士数学家欧拉(Euler)在1765年在其所著作的《三角形的几何学》－书中提出：三角形的外心(中垂线的交点)、重心(中线的交点)、垂心(高的交点)在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.若△ABC的顶点A(－4，0)，B(0，4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．△ABC的外心为(－1，1) B．△ABC的顶点C的坐标可能为(－2，0)
C．△ABC的垂心坐标可能为(－2，0) D．△ABC的重心坐标可能为
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2023春·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）已知，，，若三个向量共面，则实数等于 .
14．（2021秋·江苏扬州·高二扬州中学校考期中）直线l1：x+my+6=0与l2：(m-2)x+3y+2m=0，若则= ；
15．（2020春·江苏南通·高一江苏省如东高级中学校考阶段练习）.在四面体中，、分别是、的中点，若记，，，则 .
16．（2020春·江苏淮安·高一江苏省清江中学校考期中）点到直线的距离的最大值为 .
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2023春·江苏淮安·高二洪泽湖高级中学校考阶段练习）如图，在平行六面体中，．求：
(1)；
(2)的长；
(3)的长．
18．（2022秋·江苏连云港·高二连云港高中校考开学考试）设直线的方程为.
(1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围；
(2)若,直线与轴 轴分别交于点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程.
19．（2022秋·江苏连云港·高二江苏省海州高级中学校考阶段练习）已知圆心为C的圆经过两点，且圆心C在直线上
(1)求圆C的标准方程．
(2)若直线PQ的端点P的坐标是，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程
20．（2023春·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，，.
（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.
21．（2022·江苏南京·金陵中学校考二模）如图，三角形ABC是边长为3的等边三角形，E，F分别在边AB，AC上，且，M为BC边的中点，AM交EF于点O，沿EF将三角形AEF折到DEF的位置，使．
(1)证明：平面EFCB；
(2)若平面EFCB内的直线平面DOC，且与边BC交于点N，问在线段DM上是否存在点P，使二面角P—EN—B的大小为60°？若存在，则求出点P；若不存在，请说明理由．
22．（2021秋·江苏南京·高三金陵中学校考阶段练习）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，为的中点．
（1）求证平面；
（2）若点为的中点，线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请确定的位置；若不存在，请说明理由．
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