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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（江西2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022春·江西·高二江西师大附中校考阶段练习）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
2．（2020秋·江西南昌·高二南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．重合
3．（2022秋·江西抚州·高二临川一中统考阶段练习）已知矩形为平面外一点，且平面，分别为上的点，，则（ ）
A． B． C．1 D．
4．（2022·江西抚州·临川一中校考模拟预测）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，且，则的欧拉线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022秋·江西抚州·高二临川一中校考期末）已知在空间单位正交基底下，是空间的一组单位正交基底，是空间的另一组基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·江西抚州·高三临川一中校考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为
A． B． C． D．
7．（2020秋·江西抚州·高二临川一中校考期中）已知在正方体中，点为棱的中点，则直线与体对角线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．0
8．（2023春·江西抚州·高二临川一中校考阶段练习）设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且，球体O表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023春·江西·高一吉安三中校考期末）已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量的长度为
10．（2022秋·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点，的曼哈顿距离为．若点，Q是圆上任意一点，则的取值可能为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
11．（2022秋·江西吉安·高二吉安一中校考阶段练习）如图，若正方体的棱长为1，点是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．沿正方体的表面从点到点的最短路程为
B．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为
C．三棱锥的体积最大值为
D．若在平面内运动，且，点的轨迹为线段
12．（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）P是直线上的一个动点，过点P作圆的两条切线，A，B为切点，则（ ）
A．弦长的最小值为 B．存在点P，使得
C．直线经过一个定点 D．线段的中点在一个定圆上
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·江西抚州·高二临川一中校考期中）在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为 ．
14．（2021春·江西抚州·高一临川一中校考期末）已知直线与平行，则的值是 ．
15．（2021秋·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）如图所示,在空间四边形OABC中，,点在线段上，且，为中点，若，则
16．（2022春·江西抚州·高一临川一中校考阶段练习）如图，已知直线过点，且与轴，轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为 .
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2023春·江西赣州·高二江西省龙南中学校考期末）如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，，，的中点，，．
(1)试建立空间直角坐标系，并写出点，的坐标；
(2)求的余弦值．
18．（2022秋·江西新余·高二新余市第一中学校考开学考试）已知圆过点，，且圆心在直线：上.
(1)求圆的方程；
(2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程.
(3)若点在直线上运动，求的最小值.
19．（2023春·江西吉安·高二吉安三中校考期末）已知直线和直线.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值.
20．（2021·江西南昌·进贤县第一中学校考模拟预测）如图，四边形与均为菱形，，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21．（2022春·江西南昌·高二南昌大学附属中学校考阶段练习）在四棱锥中，底面ABCD为正方形，G为线段PC上一点，若平面平面．
(1)若G为线段PC的中点，求证：．
(2)若平面平面ABCD，为等边三角形，若二面角的余弦值，求的值．
22．（2023秋·江西吉安·高三吉安三中校考开学考试）如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，是棱上的动点，且．
(1)证明:平面．
(2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（江西2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022春·江西·高二江西师大附中校考阶段练习）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决.
【详解】，即
整理得
由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，
可得 ，解之得
故选：B
2．（2020秋·江西南昌·高二南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．重合
【答案】B
【分析】利用韦达定理可得,即可判断两直线位置关系
【详解】由题意可设方程的两根为、，则，
所以直线与直线垂直,
故选：B
3．（2022秋·江西抚州·高二临川一中统考阶段练习）已知矩形为平面外一点，且平面，分别为上的点，，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根据空间向量基本定理求出，求出答案.
【详解】因为，
所以
，
故，故.
故选：B
4．（2022·江西抚州·临川一中校考模拟预测）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，且，则的欧拉线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】因为，结合题意可知的欧拉线即为线段的垂直平分线，利用点斜式求方程．
【详解】∵，结合题意可知的欧拉线即为线段的垂直平分线
的中点为，斜率，则垂直平分线的斜率
则的欧拉线的方程为，即
故选：D．
5．（2022秋·江西抚州·高二临川一中校考期末）已知在空间单位正交基底下，是空间的一组单位正交基底，是空间的另一组基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用空间向量基本定理求解即可.
【详解】设向量在基底下的坐标为，则，
又向量在基底下的坐标为，则，
所以，即，
所以解得
所以向量在基底下的坐标为.
故选：C.
6．（2021·江西抚州·高三临川一中校考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先求出点A关于直线的对称点，点到圆心的距离减去半径即为最短.
【详解】解：设点A关于直线的对称点，
的中点为，
故解得，
要使从点A到军营总路程最短，
即为点到军营最短的距离，
“将军饮马”的最短总路程为，
故选A.
【点睛】本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题.
7．（2020秋·江西抚州·高二临川一中校考期中）已知在正方体中，点为棱的中点，则直线与体对角线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【解析】建立空间直角坐标系，求出、，再由，运算即可得解.
【详解】以点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为1，
则，，，，
则，，
则，
所以直线与体对角线所成角的余弦值为.
故选：A.
8．（2023春·江西抚州·高二临川一中校考阶段练习）设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且，球体O表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立直角坐标系，根据确定轨迹为圆，转化到空间得到轨迹为两球的交线，计算球心距，对应圆的半径为，再计算周长得到答案.
【详解】以所在的平面建立直角坐标系，为轴，的垂直平分线为轴，
，则，，设，，
则，整理得到，
故轨迹是以为圆心，半径的圆，
转化到空间中：当绕为轴旋转一周时，不变，依然满足，
故空间中的轨迹为以为球心，半径为的球，
同时在球上，故在两球的交线上，为圆.
球心距为，
为直角三角形，对应圆的半径为，
周长为.
故选：D
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023春·江西·高一吉安三中校考期末）已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量的长度为
【答案】BD
【分析】根据向量坐标运算，验证向量的平行垂直，向量的模，向量的投影向量的长度即可解决.
【详解】对于A，由题得，而，故A不正确；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，因为，故C不正确；
对于D，因为在上的投影向量的长度为，故D正确；
故选：BD.
10．（2022秋·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点，的曼哈顿距离为．若点，Q是圆上任意一点，则的取值可能为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】ABC
【分析】结合曼哈顿距离的定义以及三角换元进行分析，由此确定正确选项.
【详解】依题意圆，
设，
当时，，
，，，
当时，,
，，.
综上所述，，ABC选项符合，D选项不符合.
故选：ABC
11．（2022秋·江西吉安·高二吉安一中校考阶段练习）如图，若正方体的棱长为1，点是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．沿正方体的表面从点到点的最短路程为
B．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为
C．三棱锥的体积最大值为
D．若在平面内运动，且，点的轨迹为线段
【答案】ABD
【分析】A把两个平面展开到同一平面内，利用两点之间，线段最短进行求解，注意展开方式可能有多种；B找到点M在侧面内的运动轨迹是圆弧，再求解弧长；C利用等体积法和建立空间直角坐标系，求出的最大值，即为最大值；D在空间直角坐标系中利用余弦定理得到点M的轨迹方程为线段.
【详解】将面与面展开到同一平面内，连接AP，此时，
也可将面ABCD与面展开到同一平面内，此时，
而，故A正确；
过P作PE⊥于E，连接EM，则E为的中点，PE=1且PE⊥面，EM面，所以PE⊥EM，由知：，故M在面上的轨迹：以E为圆心，1为半径的半圆，故M在侧面运动路径的长为，B正确；
连接，，，，，，则，所以，以D为原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，设(，)，设面的法向量为，则，令得 ，设到面的距离为，则，故当，时，取得最大值为，此时三棱锥体积最大，，C错误；
，所以，连接，，因为，（，），所以，，，化简，所以且，知M的轨迹是线段，D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：应用空间直角坐标系解决轨迹问题，并求解空间角度和距离.
12．（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）P是直线上的一个动点，过点P作圆的两条切线，A，B为切点，则（ ）
A．弦长的最小值为 B．存在点P，使得
C．直线经过一个定点 D．线段的中点在一个定圆上
【答案】ACD
【分析】设，则为的中点，且，再根据勾股定理、等面积法及锐角三角函数得到、，根据的范围，即可判断A、B，设，求出以为直径的圆的方程，两圆方程作差，即可得到切点弦方程，从而判断C，再根据圆的定义判断D；
【详解】解：依题意，即，设，则为的中点，且，
所以，所以，，又，
所以，，所以，，故A正确，B不正确；
设，则，所以以为直径的圆的方程为，
则，即，所以直线的方程为，所以直线过定点，故C正确；
又，，所以的中点在以为直径的圆上，故D正确；
故选：ACD
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·江西抚州·高二临川一中校考期中）在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为 ．
【答案】
【分析】首先根据几何关系，转化向量再进行运算可得答案.
【详解】延长交边于点，则，
则有，，
故．
故答案为：.
14．（2021春·江西抚州·高一临川一中校考期末）已知直线与平行，则的值是 ．
【答案】或
【分析】由两直线平行得出，解出的值，然后代入两直线方程进行验证.
【详解】直线与平行，
，整理得，解得或.
当时，直线，，两直线平行；
当时，直线，，两直线平行.
因此，或.
故答案为或.
【点睛】本题考查直线的一般方程与平行关系，在求出参数后还应代入两直线方程进行验证，考查运算求解能力，属于基础题.
15．（2021秋·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）如图所示,在空间四边形OABC中，,点在线段上，且，为中点，若，则
【答案】
【分析】用表示 ，从而求出，即可求出，从而得出答案
【详解】点在上，且，为的中点
故
故答案为
【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，运用向量的加法法则来求解，属于基础题
16．（2022春·江西抚州·高一临川一中校考阶段练习）如图，已知直线过点，且与轴，轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为 .
【答案】
【分析】设出直线的截距式方程，推出截距关系式，写出面积的表达式，再由不等式得最值.
【详解】解：设直线为，
因为直线过点，则有关系，
三角形面积为
对，利用均值不等式，
得，即.
于是，三角形面积为.当且仅当等号成立
故答案为：.
【点睛】本题考查直线方程，基本不等式的应用，设出适当的直线方程，可使问题简化，得出解答.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2023春·江西赣州·高二江西省龙南中学校考期末）如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，，，的中点，，．
(1)试建立空间直角坐标系，并写出点，的坐标；
(2)求的余弦值．
【答案】(1)，；坐标系见解析
(2)．
【分析】（1）根据已知条件得到三条线两两垂直建系写出坐标即可;
（2）根据空间两点间距离公式求出距离,再在三角形中应用余弦定理即得.
【详解】（1）因为，平面，所以平面．
又平面，平面，所以，．
又，所以，所以直线，，两两垂直，
以E为坐标原点，以，，为轴建立如图所示的空间直角坐标系．
易得，，，
所以点D、G的坐标分别为， ．
（2）因为，所以，
，，
在中，，
即的余弦值为．
18．（2022秋·江西新余·高二新余市第一中学校考开学考试）已知圆过点，，且圆心在直线：上.
(1)求圆的方程；
(2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程.
(3)若点在直线上运动，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可求线段的中垂线方程，联立直线方程可得圆心，进而可得半径与圆的方程；
（2）由恰好平分圆的圆周，得经过圆心，求点关于直线的对称点，求出直线即为；
（3）由题意设点的坐标为，根据两点间距离公式可得，进而可得最小值.
【详解】（1）由，，得直线的斜率为，线段中点，
所以，直线的方程为，即，
联立，解得，即，
所以半径，
所以圆的方程为；
（2）由恰好平分圆的圆周，得经过圆心，
设点关于直线的对称点，
则直线与直线垂直，且线段的中点在上，
即，解得，
所以，
所以直线即为直线，且，
直线方程为，即；
（3）由已知点在直线上，
设，
则，
所以当时，取最小值为.
19．（2023春·江西吉安·高二吉安三中校考期末）已知直线和直线.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)0或2
(2)
【分析】（1）根据两直线垂直的公式，即可求解；
（2）根据两直线平行，，求解，再代回直线验证.
【详解】（1）若，则
，解得或2；
（2）若，则
，解得或1.
时，，满足，
时，，此时与重合，
所以.
20．（2021·江西南昌·进贤县第一中学校考模拟预测）如图，四边形与均为菱形，，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）设与相交于点O，连接，说明和即可证明；
（2）连接，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）设与相交于点O，连接，
∵四边形为菱形，∴，且O为中点，
∵，∴，
又，∴平面
（2）连接，∵四边形为菱形，且，
∴为等边三角形，
∵O为中点，∴，又，
∴平面.
∵，，两两垂直，
∴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，四边形为菱形，，
∴，.
∵为等边三角形，
∴，，，
∵，
∴
，，.
设平面的法向量为，
则，取，得.
设直线与平面所成角为θ，
则.
【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的向量求法，属于中档题.
21．（2022春·江西南昌·高二南昌大学附属中学校考阶段练习）在四棱锥中，底面ABCD为正方形，G为线段PC上一点，若平面平面．
(1)若G为线段PC的中点，求证：．
(2)若平面平面ABCD，为等边三角形，若二面角的余弦值，求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用线面平行的判定定理及性质定理即证；
（2）利用坐标法即求.
(1)
连AC交BD于点E，连EG．
因为底面ABCD为正方形，则E为AC中点，
又G为线段PC的中点，则，
又平面BDG且平面BDG，
所以平面BDG，
因为平面PAD且平面平面，
所以．
(2)
取AD中点O，连PO，为等边三角形，则
又平面平面ABCD，平面平面，
平面PAD，则平面ABCD．如图建立直角坐标系，
设，则，，，，
令，则．
，，．
设平面PBD的法向量，
则，
令，则，．即．
设平面GBD的法向量，
则
令，则，，即．
则，
解得，（舍），
即．
22．（2023秋·江西吉安·高三吉安三中校考开学考试）如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，是棱上的动点，且．
(1)证明:平面．
(2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在实数，使得面与面所成锐二面角的余弦值是.
【分析】（1）由题设，根据线面垂直的判定得平面，再由线面垂直的性质有，并由勾股定理证，最后应用线面垂直的判定证结论；
（2）取棱的中点，连接，构建空间直角坐标系，写出相关点的坐标，应用向量法求面面角的余弦值，结合已知列方程求参数，即可判断存在性.
【详解】（1）
因为四边形是菱形，所以.
因为平面，且，所以平面.
因为平面，所以.
因为，所以，即.
因为平面，且，所以平面.
（2）
取棱的中点，连接，易证两两垂直，
故以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系．
设，则，
故，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，得．
平面的一个法向量为,设面与面所成的锐二面角为，
则，整理得，解得(舍去)．
故存在实数，使得面与面所成锐二面角的余弦值是．
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