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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（吉林2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2021秋·吉林长春·高二东北师大附中校考阶段练习）在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可.
【详解】因为在平行六面体中，，
所以.
故选：A.
2．（2022秋·吉林·高三吉化第一高级中学校校考阶段练习）“”是“直线和直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据两条直线垂直的性质再结合充分条件、必要条件的概念求解即可.
【详解】直线的斜率为，
当时，直线的斜率为，则两条直线垂直，满足充分性.
因为“直线和直线垂直”，
所以直线的斜率存在，为.
所以，解得，不满足必要性.
所以“”是“直线和直线垂直”的充分不必要条件.
故选：A
3．（2022秋·吉林长春·高二长春市第八中学校考期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，由，即可求出答案.
【详解】连接如下图：
由于是的中点，
.
根据题意知.
.
故选：C.
4．（2020春·吉林松原·高一吉林油田高级中学校考期末）直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出直线的斜率，然后利用点斜式可写出直线的方程，化为一般式可得出答案.
【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故选：C.
5．（2021秋·吉林长春·高二长春市第二十九中学校考阶段练习）若，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量线性关系的坐标运算求即可.
【详解】.
故选：D
6．（2021秋·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考期中）已知两平行直线，分别过点，，它们分别绕，旋转，但始终保持平行，则，之间的距离的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直线，之间距离介于两直线重合和两直线与直线垂直这两种情况之间，故求出两种临界情况即可得到两直线之间的距离的取值范围.
【详解】当直线，与直线垂直时，它们之间的距离达到最大，
此时，
当两直线重合时其距离为0.
所以．
故选：C.
7．（2021秋·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考期中）平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（ ）
A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直
【答案】C
【分析】由题设知，根据空间向量共线定理，即可判断平面与平面的位置关系.
【详解】平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，
，
平面与平面的关系是平行或重合．
故选：C．
8．（2021秋·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考阶段练习）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交且过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
【答案】D
【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小比较，即可判断圆与直线的位置关系.
【详解】圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离，又因为直线不过圆心，所以直线与圆相交但不过圆心．
故选:D
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考阶段练习）已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（ ）
A．若两圆外切，则
B．若两圆公共弦所在的直线方程为，则
C．若两圆的公共弦长为，则
D．若两圆在交点处的切线互相垂直，则
【答案】AB
【分析】根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设圆为圆，圆的圆心为，半径.
设圆为圆，圆的圆心为，半径.
.
A选项，若两圆外切，则，A选项正确.
B选项，由两式相减并化简得，
则，
此时，满足两圆相交，B选项正确.
C选项，由两式相减并化简得，
到直线的距离为，
所以，
即，则解得或，C选项错误.
D选项，若两圆在交点处的切线互相垂直，设交点为，
根据圆的几何性质可知，
所以，D选项错误.
故选：AB
10．（2021秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考阶段练习）已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．） D．与夹角的余弦值为
【答案】BCD
【分析】对于A，结合向量平行的性质，即可求解，对于B，结合向量模公式，即可求解，对于C，结合向量垂直的性质，即可求解，对于D，结合向量的夹角公式，即可求解．
【详解】因为，且，故A不正确；
因为，，则，故B正确；
因为，，故C正确；
由于，，所以，所以D正确.
故选:BCD.
11．（2021秋·吉林长春·高二东北师大附中校考阶段练习）已知直线，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．当时，与相交，交点为 D．当时，不经过第三象限
【答案】BD
【分析】利用直线与直线垂直判断A，利用直线与直线平行判断B，利用直线与直线相交判断C，利用直线与坐标轴的交点判断D．
【详解】解：直线，，
对于A，若，则，
解得，故A错误；
对于B，若，则，解得，故B正确；
对于C，当时，直线，，
与相交，交点为，故C错误；
对于D，当时，，不过第三象限；
当时，时，，当时，，
不经过第三象限．
综上，当时，不经过第三象限，故D正确．
故选：BD．
12．（2021秋·吉林松原·高二长岭县第三中学校考阶段练习）（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．若可以构成空间的一组基，向量与共线，，则也可以构成空间的一组基
B．已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一组基
C．已知，，，是空间中的四点，若，，不能构成空间的一组基，则，，，四点共面
D．已知是空间的一组基，若，则不是空间的一组基
【答案】ABC
【分析】根据基向量的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一组基，对选项进行一一判断，即可得到答案；
【详解】对B，根据基向量的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一组基，故B是真命题．
对C，由，，不能构成空间的一组基，知，，共面，又，，有公共点，所以，，，四点共面，故C是真命题．
对A，假设向量与，共面，则存在实数，，使得，又向量与共线，，∴存在实数，使得，∵，∴，从而，∴与，共面，与条件矛盾，∴向量与，不共面，即A是真命题．
对D，假设是空间的一组基，则不存在满足，所以不存在满足，是空间的一组基，不存在满足，假设成立， D是假命题．
故选：ABC．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2021秋·吉林长春·高二长春外国语学校校考阶段练习）在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点作一个平面分别交，，于点，，，得到四棱锥；第二步，将剩下的几何体沿平面切开，得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形，若，，则的值为 .
【答案】
【分析】解法一：以AC、BD交点O为原点，射线OA、OB、OP为x、y、z轴正方向构建空间直角坐标系，设，，，，，进而写出、、、坐标，可得，，由四点共面有，设，求值即可.
解法二：利用平面的性质作出点G的位置，再由平面几何的知识即可得解.
【详解】解法一：建立如图所示空间直角坐标系，设，，，， (a、b均不为0)，则，，，，
∴，，
由题意四点共面，有，其中，设，
∴
由方程组，即，解得：.
故答案为：.
解法二：连接AC,BD交于点O，则O是底面的中心，连接PO，PO垂直于底面ABCD，
连接AF，交PO于H，可得H为PO的三等分点（靠近O）,连接EH并延长，与PD的交点即为G，
在平面内作出三角形PBD，作,垂足分别为S，T，如图，
由题意，,所以，，
设，则，
又由三角形相似得，,
所以，解得：.
解得：
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：构建空间直角坐标系，利用四点共面有且，再设，应用空间向量线性关系的坐标表示，列方程组求参数.
14．（2021秋·吉林白山·高二抚松县第一中学校考阶段练习）已知A（1，0），B（﹣1，2），直线l：2x﹣ay﹣a＝0上存在点P，满足|PA|+|PB|＝，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】计算线段AB的距离，得到点P的轨迹，将点A，B分别代入2x﹣ay﹣a＝0，得到，根据题意得到直线所过定点Ｃ，求出直线AC ,BC的斜率，根结合直线l与线段AB始终有交点计算出的取值范围.
【详解】因为，且，
由图可知，点P的轨迹为线段AB，
将点A，B的坐标分别代入直线l的方程，可得a＝2，a＝，
由直线l的方程可化为：2x﹣a（y+1）＝0，所以直线l过定点C（0，﹣1），
画出图形，如图所示：
因为直线AC的斜率为kAC＝1，直线BC的斜率为kBC＝＝﹣3，
当时，符合题意；
当时，所以直线l的斜率为k＝，令，解得≤a≤2且；
所以a的取值范围是[，2]．
故答案为：[，2]．
15．（2022秋·吉林长春·高二长春市解放大路学校校考阶段练习）如图，平行六面体，其中，，，，，，则的长为
【答案】
【分析】运用空间向量加法及向量模的计算规则求解向量的模即可.
【详解】根据题意，
根据题中的数据可知，
故答案为：.
16．（2022秋·吉林长春·高二长春市解放大路学校校考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 ．
【答案】/
【分析】先求出点关于直线的对称点，点到圆心的距离减去半径即为最短.
【详解】设点关于直线的对称点，
则的中点为， ,
故解得，
由知军营所在区域中心为，
要使从点到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离为，
“将军饮马”的最短总路程为，
故答案为：
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2021秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考阶段练习）已知空间三点，，，设，．
(1)求；
(2)与互相垂直，求实数k的值．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）应用向量线性关系坐标运算得，，根据向量夹角的坐标公式求夹角余弦值；
（2）首先求出的坐标，再根据向量垂直的坐标表示列方程求参数k.
【详解】（1）由题设，，
所以.
（2）由，，而，
所以，
可得或.
18．（2021秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）已知的顶点，AC边上的高BD所在直线方程为．AC边上的中线BE所在直线方程为．
(1)求点B的坐标；
(2)求点C的坐标及BC边所在直线方程．
【答案】(1)；
(2)；.
【分析】（1）解直线BD与直线BE的方程组成的方程组，即可得点B的坐标.
（2）求出直线AC的方程，与直线BE的方程联立求出点E的坐标，再利用中点坐标公式求出点C的坐标，进而求出直线BC方程作答.
【详解】（1）依题意，点B是直线BD与直线BE的交点，由解得，
所以点B的坐标是.
（2）因，则设直线AC的方程为，而点，则，解得，
直线AC：，由解得，于是得边AC的中点，
因此点C的坐标为，直线BC的方程为，即，
所以点C的坐标为，BC边所在直线方程.
19．（2021·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）如图，平面，.
(1)求证：平面；
(2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）两种方法，一是通过题意，得到平面的法向量，然后结合，通过计算
可得，从而得到平面；二是通过证明、，得到平面平面，进而推出平面；
（2）通过建立空间直角坐标系，设出平面和平面的法向量，并结合题意条件，求解出的长，然后根据平面，求解出，即可.
【详解】（1）依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，.设，则.
（1）法一：证明：依题意，平面， ，
平面，，
又，，
平面，
是平面的法向量，又，
可得，又因为直线平面，
所以平面.
法二：，平面，平面，
平面.
同理平面，，
平面平面，
又平面，
所以平面.
（2）设为平面的法向量，则即
不妨令，可得.
同理可得平面的一个法向量为
由题意，有，
解得.
. 平面，
为直线与平面所成角，
.
20．（2023·吉林·东北师大附中校考二模）已知圆，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为.
(1)当切线的长度为时，求点的坐标.
(2)若的外接圆为圆，试问：当点运动时，圆是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】(1)或；(2)过定点，定点和.
【分析】(1)由切线的性质可得，列方程求P的坐标；(2)由条件求出圆N的方程，根据恒等式的性质确定圆所过定点.
【详解】(1)由题可知圆的圆心为，半径.
设，因为是圆的一条切线，所以.
在中，，故.
又，
所以，解得或.
所以点的坐标为或.
(2)因为，所以的外接圆圆是以为直径的圆，且的中点坐标为，所以圆的方程为，
即.
由，解得或，
所以圆过定点和.
21．（2021秋·吉林·高二吉化第一高级中学校校考期末）如图在中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图 (2).
（1）若是的中点，求与平面所成角的大小；
（2）线段上是否存在点，使平面与平面垂直 说明理由.
【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.
【分析】（1）以DC的延长线为x轴，以CB为y轴，为z轴，写出各相关点的坐标，求得平面法向量坐标和直线CM的方向向量坐标，利用空间向量的数量积求得所求线面角；
（2）设线段上存在点，设点坐标为，则,求得平面法向量坐标，根据平面垂直其法向量垂直，利用空间向量的数量积运算求得a的值，检验即可得到结论.
【详解】（1）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，.
设平面的法向量为，则
又，，
所以
令，则，
所以
设与平面所成的角为，
因为
所以
所以与平面所成角的大小为.
（2）线段上不存在点，使平面与平面垂直，理由如下：
假设这样的点存在，设其坐标为，其中.
设平面的法向量为，
则
又，，
所以
令，则
所以
平面平面，当且仅当，
即.
解得，与矛盾.
所以线段上不存在点，使平面与平面垂直.
【点睛】关键点睛：利用空间向量求线面角，进而得出平面垂直，属中档题，解题关键在于建立适当的坐标系，正确求得平面的法向量，数量使用空间向量的数量积的坐标运算，属于中档题
22．（2022·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）如图①所示，平面五边形ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，∠B=90°且AD∥BC，若AD=2BC=2，AB=，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，现将△ADE沿AD折起，连接EB，EC得如图②的几何体．
（1）若点M是ED的中点，求证：CM∥平面ABE；
（2）若EC=2，在棱EB上是否存在点F，使得二面角E-AD-F的大小为60°？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在；点为的中点．
【分析】（1）作出辅助线，证得，结合线面平行的判定定理即可证出结论；
（2）证出面，建立空间直角坐标系，假设存在点，然后利用空间向量的夹角公式建立方程，解方程即可判断.
【详解】（1）证明：取的中点为，连接，，∵是的中点，，
∴是的中位线，
∴且，
所以为平行四边形，∴，
因为面，面，所以平面．
（2）解：取的中点为，连接，，其中，，
由可得，显然面，
故以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴；
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
设存在点，
，，，
易知面的法向量可取，
另外，，
设面的一个法向量为，则
，
可取一个法向量为，
则，为的中点．
故存在点为的中点．
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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（吉林2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2021秋·吉林长春·高二东北师大附中校考阶段练习）在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2022秋·吉林·高三吉化第一高级中学校校考阶段练习）“”是“直线和直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．（2022秋·吉林长春·高二长春市第八中学校考期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2020春·吉林松原·高一吉林油田高级中学校考期末）直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021秋·吉林长春·高二长春市第二十九中学校考阶段练习）若，则=（ ）
A． B． C． D．
6．（2021秋·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考期中）已知两平行直线，分别过点，，它们分别绕，旋转，但始终保持平行，则，之间的距离的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
7．（2021秋·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考期中）平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（ ）
A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直
8．（2021秋·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考阶段练习）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交且过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考阶段练习）已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（ ）
A．若两圆外切，则
B．若两圆公共弦所在的直线方程为，则
C．若两圆的公共弦长为，则
D．若两圆在交点处的切线互相垂直，则
10．（2021秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考阶段练习）已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．） D．与夹角的余弦值为
11．（2021秋·吉林长春·高二东北师大附中校考阶段练习）已知直线，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．当时，与相交，交点为 D．当时，不经过第三象限
12．（2021秋·吉林松原·高二长岭县第三中学校考阶段练习）（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．若可以构成空间的一组基，向量与共线，，则也可以构成空间的一组基
B．已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一组基
C．已知，，，是空间中的四点，若，，不能构成空间的一组基，则，，，四点共面
D．已知是空间的一组基，若，则不是空间的一组基
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2021秋·吉林长春·高二长春外国语学校校考阶段练习）在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点作一个平面分别交，，于点，，，得到四棱锥；第二步，将剩下的几何体沿平面切开，得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形，若，，则的值为 .
14．（2021秋·吉林白山·高二抚松县第一中学校考阶段练习）已知A（1，0），B（﹣1，2），直线l：2x﹣ay﹣a＝0上存在点P，满足|PA|+|PB|＝，则实数a的取值范围是 ．
15．（2022秋·吉林长春·高二长春市解放大路学校校考阶段练习）如图，平行六面体，其中，，，，，，则的长为
16．（2022秋·吉林长春·高二长春市解放大路学校校考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 ．
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2021秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考阶段练习）已知空间三点，，，设，．
(1)求；
(2)与互相垂直，求实数k的值．
18．（2021秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）已知的顶点，AC边上的高BD所在直线方程为．AC边上的中线BE所在直线方程为．
(1)求点B的坐标；
(2)求点C的坐标及BC边所在直线方程．
19．（2021·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）如图，平面，.
(1)求证：平面；
(2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正切值.
20．（2023·吉林·东北师大附中校考二模）已知圆，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为.
(1)当切线的长度为时，求点的坐标.
(2)若的外接圆为圆，试问：当点运动时，圆是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
21．（2021秋·吉林·高二吉化第一高级中学校校考期末）如图在中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图 (2).
（1）若是的中点，求与平面所成角的大小；
（2）线段上是否存在点，使平面与平面垂直 说明理由.
22．（2022·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）如图①所示，平面五边形ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，∠B=90°且AD∥BC，若AD=2BC=2，AB=，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，现将△ADE沿AD折起，连接EB，EC得如图②的几何体．
（1）若点M是ED的中点，求证：CM∥平面ABE；
（2）若EC=2，在棱EB上是否存在点F，使得二面角E-AD-F的大小为60°？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由．
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