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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（江西1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022春·江西南昌·高二南昌大学附属中学校考阶段练习）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·江西宜春·高一江西省万载中学校考阶段练习）已知，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022春·江西赣州·高二赣州市第一中学校考阶段练习）三棱锥O﹣ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，且＝，＝，＝，用，，表示，则等于（ ）
A． B．
C．） D．
4．（2021春·江西赣州·高一赣州市赣县第三中学校考期末）已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
5．（2023春·江西吉安·高二吉安三中校考期末）已知向量，则向量在向量上的投影向量（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·江西·高二江西省清江中学校考期末）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点Q，使得 B．存在点Q，使得平面
C．三棱锥的体积是定值 D．存在点Q，使得PQ与AD所成的角为
8．（2022秋·江西宜春·高二江西省铜鼓中学校考阶段练习）若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·江西南昌·高二南昌县莲塘第一中学校考期末）已知空间中三点，则下列结论正确的有（ ）
A． B．与共线的单位向量是
C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是
10．（2022秋·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）（多选题）光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线还经过下列哪个点（ ）
A． B． C． D．
11．（2023秋·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期末）已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．，，两两共面，但，，不共面
C．，，一定能构成空间的一个基底
D．一定存在实数，，使得
12．（2022秋·江西南昌·高二南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）已知圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0相交于A、B两点，下列说法正确的是（ ）
A．圆M的圆心为（1，－2），半径为1
B．直线AB的方程为x－2y－4＝0
C．线段AB的长为
D．取圆M上点C（a，b），则2a－b的最大值为
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2021秋·江西·高二宁冈中学校考阶段练习）已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是 ．
14．（2022秋·江西九江·高二永修县第一中学校考开学考试）已知点A（2，-1），B（3，m），若，则直线AB的倾斜角的取值范围为__________．
15．（2022秋·江西吉安·高二吉安一中校考阶段练习）如图，平行六面体的底面是边长为的正方形，且，，则线段的长为 ．
16．（2022秋·江西新余·高二新余市第一中学校考开学考试）过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线的一般方程是 .
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2022秋·江西抚州·高二临川一中校考期中）已知的顶点.
(1)求边上的中线所在直线的方程；
(2)求经过点，且在轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程.
18．（2022秋·江西抚州·高二临川一中统考阶段练习）已知点、、，，．
(1)若，且，求；
(2)求；
(3)若与垂直，求．
19．（2020秋·江西抚州·高二临川一中校考期中）已知p：方程x2+y2﹣4x+m2＝0表示圆：q：方程1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆．
（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p、q有且仅有一个为真，求实数m的取值范围．
20．（2022秋·江西抚州·高三临川一中校考阶段练习）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E．
(1)求证；
(2)若平面平面，，，求直线与平面所成角的正弦值．
21．（2023春·江西抚州·高二临川一中校考阶段练习）如图①所示，平面五边形ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，∠B=90°且AD∥BC，若AD=2BC=2，AB=，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，现将△ADE沿AD折起，连接EB，EC得如图②的几何体．
（1）若点M是ED的中点，求证：CM∥平面ABE；
（2）若EC=2，在棱EB上是否存在点F，使得二面角E-AD-F的大小为60°？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由．
22．（2022秋·江西南昌·高三南昌十中校考期中）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，点E为AD的中点，，平面ABCD，且
(1)求证：；
(2)线段PC上是否存在一点F，使二面角的余弦值是？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．
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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（江西1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022春·江西南昌·高二南昌大学附属中学校考阶段练习）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由向量线性运算得，利用数量积的定义和运算律可求得，由此可求得.
【详解】由题意得：，，且，
又，，
，
，.
故选：D.
2．（2022春·江西宜春·高一江西省万载中学校考阶段练习）已知，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】数形结合，计算，判断斜率不存在的情况，从而写出斜率的取值范围.
【详解】如图所示，过点的直线与线段相交，
，；
又因为该直线与轴垂直时，斜率不存在，
所以过点与线段相交的直线斜率取值范围为.
故选：A.
【点睛】求解过定点与线段相交的直线斜率取值范围问题时，需要注意判断该直线有无斜率不存在的情况.
3．（2022春·江西赣州·高二赣州市第一中学校考阶段练习）三棱锥O﹣ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，且＝，＝，＝，用，，表示，则等于（ ）
A． B．
C．） D．
【答案】B
【分析】根据空间向量运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：B
4．（2021春·江西赣州·高一赣州市赣县第三中学校考期末）已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
【答案】B
【分析】先将直线方程变形得到定点的坐标，根据点在直线上确定出所满足的关系，最后根据“”的妙用求解出的最小值.
【详解】已知直线整理得：，
直线恒过定点，即.
点也在直线上，
所以，整理得：，
由于，均为正数，则,
取等号时，即，
故选：B.
【点睛】方法点睛：已知，求的最小值的方法：
将变形为，将其展开可得，然后利用基本不等式可求最小值，即，取等号时.
5．（2023春·江西吉安·高二吉安三中校考期末）已知向量，则向量在向量上的投影向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用投影向量的定义求解作答.
【详解】向量，，，
所以向量在向量上的投影向量.
故选：B
6．（2023春·江西·高二江西省清江中学校考期末）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得到交点坐标为，从而得到，再解不等式组即可.
【详解】，即交点为.
因为交点在第一象限，所以.
故选：A
7．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点Q，使得 B．存在点Q，使得平面
C．三棱锥的体积是定值 D．存在点Q，使得PQ与AD所成的角为
【答案】B
【分析】A由、即可判断；B若为中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；C只需求证与面是否平行；D利用空间向量求直线夹角的范围即可判断.
【详解】A：正方体中，而P为线段的中点，即为的中点，
所以，故不可能平行，错；
B：若为中点，则，而，故，
又面，面，则，故，
，面，则面，
所以存在Q使得平面，对；
C：由正方体性质知：，而面，故与面不平行，
所以Q在线段上运动时，到面的距离不一定相等，
故三棱锥的体积不是定值，错；
D：构建如下图示空间直角坐标系，则，，且，
所以，，若它们夹角为，
则，
令，则，
当，则，；
当则；
当，则，；
所以不在上述范围内，错.
故选：B
8．（2022秋·江西宜春·高二江西省铜鼓中学校考阶段练习）若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直线始终平分圆的周长，即直线经过点,即故点在直线上,可看作动点到定点的距离的平方，利用点到直线的距离公式即可求得.
【详解】解：，故圆的圆心坐标为，直线始终平分圆的周长，即直线经过点,故，即.
可看作动点到定点的距离的平方，又因为，故点在直线上,所以的最小值为点到直线的距离.
∵
∴
∴
即的最小值为.
故选：D.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·江西南昌·高二南昌县莲塘第一中学校考期末）已知空间中三点，则下列结论正确的有（ ）
A． B．与共线的单位向量是
C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是
【答案】AD
【分析】根据空间向量垂直的坐标运算可判断AD，根据共线向量和单位向量判断B，根据向量夹角的坐标运算判断C.
【详解】由题意可得，，，
选项A：，故，正确；
选项B：不是单位向量，且与不共线，错误；
选项C：，错误；
选项D：设，则，，
所以，，又，所以平面的一个法向量是，正确；
故选：AD
10．（2022秋·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）（多选题）光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线还经过下列哪个点（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，求出反射光线所在直线的方程，逐一验证各选项中的点是否在反射光线所在直线上，由此可得出合适的选项.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以，反射光线经过点和点，反射光线所在直线的斜率为，
则反射光线所在直线的方程为，
当时，；当时，.
故选：BD.
【点睛】结论点睛：若点与点关于直线对称，由方程组可得到点关于直线的对称点的坐标（其中，）.
11．（2023秋·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期末）已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．，，两两共面，但，，不共面
C．，，一定能构成空间的一个基底
D．一定存在实数，，使得
【答案】ABC
【分析】由已知，选项A，可使用反证法，假设结论不成立来推导条件；选项B，可根据基底的定义和性质来判断；选项C，可先假设，，共面，得到无解，即可判断，，组成基底向量；选项D，由，，不共面可知，不存在这样的实数.
【详解】选项A，若不全为，则，，共面，此时与题意矛盾，所以若，则，该选项正确；
选项B，由于，，是空间的一个基底，根据基底的定义和性质可知，，，两两共面，但，，不共面，该选项正确；
选项C，假设，，共面，
则，此时，无解，
所以，，不共面，即可构成空间的一个基底，所以该选项正确；
选项D，，，不共面，则不存在实数，，使得，故该选项错误.
故选：ABC.
12．（2022秋·江西南昌·高二南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）已知圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0相交于A、B两点，下列说法正确的是（ ）
A．圆M的圆心为（1，－2），半径为1
B．直线AB的方程为x－2y－4＝0
C．线段AB的长为
D．取圆M上点C（a，b），则2a－b的最大值为
【答案】ABD
【分析】化圆M的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径判断A；联立两圆的方程求得AB的方程判断B；由点到直线的距离公式及垂径定理求得AB的长判断C；利用直线与圆相切求得2a－b的范围判断D．
【详解】由圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，得(x－1)2+(y+2)2＝1，
则圆M的圆心为（1，－2），半径为1，故A正确；
联立圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，消去二次项，
可得直线AB的方程为x－2y－4＝0，故B正确；
圆心O到直线x－2y－4＝0的距离d，圆O的半径为2，
则线段AB的长为2，故C错误；
令t＝2a－b，即2a－b－t＝0，由M（1，－2）到直线2x－y－t＝0的距离等于圆M的半径，
可得，解得t＝4．
∴2a－b的最大值为，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2021秋·江西·高二宁冈中学校考阶段练习）已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先利用空间向量的数量积运算性质求得，，关于的表达式，再由两向量夹角为钝角得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】因为，
所以，，，
故，
，
，
因为向量与的夹角为钝角，
所以，即，
则，
解得，即.
故答案为：.
14．（2022秋·江西九江·高二永修县第一中学校考开学考试）已知点A（2，-1），B（3，m），若，则直线AB的倾斜角的取值范围为__________．
【答案】
【分析】设直线AB的倾斜角为α，由点A，B的坐标求出直线AB的斜率k，结合m的范围可得k的斜率，即tanα的范围，再利用正切函数的性质即可求出α的取值范围．
【详解】设直线AB的倾斜角为α，
∵点A（2，-1），B（3，m），
∴直线AB的斜率，
又∵，
∴，
即k的取值范围为，
即，
又∵α∈[0，π），
∴，
故答案为：．
15．（2022秋·江西吉安·高二吉安一中校考阶段练习）如图，平行六面体的底面是边长为的正方形，且，，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】以为基底表示出空间向量，利用向量数量积的定义和运算律求解得到，进而得到的长.
【详解】，
，即线段的长为.
故答案为：.
16．（2022秋·江西新余·高二新余市第一中学校考开学考试）过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线的一般方程是 .
【答案】或
【分析】根据直线是否过原点进行分类讨论，结合点的坐标求得直线的一般方程.
【详解】①当在x轴、y轴上的截距都是时，设所求直线方程为，
将代入中，得，此时直线方程为，即.
②当在x轴、y轴上的截距都不是0时，设所求直线方程为，
将代入中，得，此时直线方程为.
综上所述，所求直线方程为或.
故答案为：或
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2022秋·江西抚州·高二临川一中校考期中）已知的顶点.
(1)求边上的中线所在直线的方程；
(2)求经过点，且在轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先利用中点坐标公式求出线段的中点，再利用两点式即可求出所求；
（2）分类讨论截距是否为0的情况，再利用截距式即可求得所求.
【详解】（1）线段的中点为，
则中线所在直线方程为：，即.
（2）设两坐标轴上的截距为，
若，则直线经过原点，斜率，
直线方程为，即；
若，则设直线方程为，即，
把点代入得，即，直线方程为；
综上，所求直线方程为或.
18．（2022秋·江西抚州·高二临川一中统考阶段练习）已知点、、，，．
(1)若，且，求；
(2)求；
(3)若与垂直，求．
【答案】(1)或；
(2)
(3)或
【分析】（1）利用空间向量平行充要条件设出，再利用列方程，进而求得；
（2）先求得，，再利用公式即可求得的值；
（3）利用空间向量垂直充要条件列出关于的方程，解之即可求得的值．
【详解】（1）、，，，且，
设，且，
解得，或；
（2）、、，，，
，，
；
（3），，
又与垂直，
，
解得或．
19．（2020秋·江西抚州·高二临川一中校考期中）已知p：方程x2+y2﹣4x+m2＝0表示圆：q：方程1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆．
（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p、q有且仅有一个为真，求实数m的取值范围．
【答案】（1）﹣2＜m＜2．（2）（﹣2，0]∪[2，3）．
【分析】（1）把方程x2+y2﹣4x+m2＝0化为（x﹣2）2+y2＝4﹣m2，得到4﹣m2＞0，即可求解；
（2）由方程1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，求得0＜m＜3，再分类讨论，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）由题意，命题p：方程x2+y2﹣4x+m2＝0，可化得（x﹣2）2+y2＝4﹣m2，
则4﹣m2＞0，解得﹣2＜m＜2，所以实数m的取值范围．
（2）命题q：方程1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，则0＜m＜3，
当p为真，q为假时，，解得﹣2＜m≤0．
当p为假，q为真时，，解得2≤m＜3．
综上，实数m的取值范围为：（﹣2，0]∪[2，3）．
【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的应用，以及圆与椭圆的标准方程的应用，其中解答中正确求解命题，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
20．（2022秋·江西抚州·高三临川一中校考阶段练习）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E．
(1)求证；
(2)若平面平面，，，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）首先证明平面，再根据线面平行的性质定理，即可证明线线平行；
（2）取的中点，首先证明互相垂直，再以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用线面角的向量公式，即可求解.
【详解】（1），
且平面，平面，
平面，
又平面，且平面平面，
；
（2）连结，取中点，连结，，
在菱形中，，是等边三角形，
又为中点，，
平面平面，平面平面，
平面，且，
平面，平面，
，
又，，
以点为原点，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，令，则，，
故，又，
设与平面所成角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21．（2023春·江西抚州·高二临川一中校考阶段练习）如图①所示，平面五边形ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，∠B=90°且AD∥BC，若AD=2BC=2，AB=，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，现将△ADE沿AD折起，连接EB，EC得如图②的几何体．
（1）若点M是ED的中点，求证：CM∥平面ABE；
（2）若EC=2，在棱EB上是否存在点F，使得二面角E-AD-F的大小为60°？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在；点为的中点．
【分析】（1）作出辅助线，证得，结合线面平行的判定定理即可证出结论；
（2）证出面，建立空间直角坐标系，假设存在点，然后利用空间向量的夹角公式建立方程，解方程即可判断.
【详解】（1）证明：取的中点为，连接，，∵是的中点，，
∴是的中位线，
∴且，
所以为平行四边形，∴，
因为面，面，所以平面．
（2）解：取的中点为，连接，，其中，，
由可得，显然面，
故以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴；
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
设存在点，
，，，
易知面的法向量可取，
另外，，
设面的一个法向量为，则
，
可取一个法向量为，
则，为的中点．
故存在点为的中点．
22．（2022秋·江西南昌·高三南昌十中校考期中）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，点E为AD的中点，，平面ABCD，且
(1)求证：；
(2)线段PC上是否存在一点F，使二面角的余弦值是？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)当时满足条件，证明见解析.
【分析】先证明， ，根据线面垂直判定定理证明平面，再证明；
推导出两两垂直，建立空间直角坐标系，设点的坐标，求平面和平面的法向量，结合向量夹角公式列方程求出点的坐标.
【详解】（1）因为，，所以，
因为，E为AD的中点，所以，
所以≌，所以，
因为，所以，,所以，
又因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又因为，且PH，平面PEC，所以平面PEC，
又平面PEC，．
（2）因为，≌，，
所以，，
因为，，
所以∽，
所以，
所以， ，，，
因为、EC、BD两两垂直，
建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，
，，，，，
假设线段PC上存在一点F满足题意，
因为与共线，所以存在唯一实数，满足，
所以，
设向量为平面的一个法向量，且，，
所以，取，得，
同理得平面的一个法向量，
因为二面角的余弦值是，
所以，
由，解得或，
观察图象可得当时，二面角的平面角为钝角，与条件矛盾，故，
所以，又，
所以线段PC上存在一点F，当点F满足时，二面角的余弦值是．
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