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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（辽宁1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2021秋·辽宁·高二辽宁实验中学校考期中）直线的倾斜角为
A． B． C． D．
2．（2022秋·辽宁大连·高二大连二十四中校联考阶段练习）已知、都是空间向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（ ）
A． B．5 C． D．
4．（2022秋·辽宁·高二辽宁实验中学校考开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与，的夹角都等于60°．若是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）已知点，向量，过点P作以向量为方向向量的直线为l，则点到直线l的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·辽宁大连·高二大连二十四中校联考阶段练习）已知（2，﹣1，2），（x，y，6），与共线，则x+y＝（ ）
A．5 B．6 C．3 D．9
7．（2022秋·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022春·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考开学考试）如图，在圆锥中，，为底面圆的两条直径，，且，，，异面直线与所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·辽宁鞍山·高二鞍山市鞍钢高级中学校考阶段练习）已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A． B．平面
C．动点的轨迹长为 D．与所成角的余弦值为
10．（2021秋·辽宁·高二渤海大学附属高级中学校考阶段练习）已知直线：与直线：的交点在第三象限，则实数k的值可能为（ ）
A． B． C． D．2
11．（2022·辽宁大连·大连二十四中校联考模拟预测）已知正四棱台的上下底面边长分别为4，6，高为，E是的中点，则（ ）
A．正四棱台的体积为
B．正四棱台的外接球的表面积为104π
C．AE∥平面
D．到平面的距离为
12．（2022秋·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校考阶段练习）已知圆，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形PAMB周长的最小值为 B．的最大值为2
C．直线AB过定点 D．存在点N使为定值
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2021秋·辽宁·高二辽宁实验中学校考期中）已知向量可作为空间的一组基底，若，且在基底下满足，则 ．
14．（2022秋·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）经过两点和，且圆心在x轴上的圆的标准方程为 .
15．（2021秋·辽宁·高二辽师大附中校考阶段练习）实数、满足，则的取值范围是 ．
16．（2022春·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考开学考试）在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高等于 .
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2022秋·辽宁大连·高二大连二十四中校联考阶段练习）如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，，，．
(1)若点F为DC的中点，求；
(2)若点E为PB的中点，点M为AB上一点，当时，求的值．
18．（2023秋·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考阶段练习）（1）若直线过点，且与直线平行，求直线的一般式方程．
（2）若直线过点，且与直线垂直，求直线的斜截式方程．
19．（2021秋·辽宁·高二辽师大附中校考阶段练习）已知圆N的标准方程为．
(1)若点M（6，9）在圆N上，求半径a；
(2)若点P（3，3）与Q（5，3）有一点在圆N内，另一点在圆N外，求实数a的取值范围．
20．（2022春·辽宁大连·高三育明高中校考阶段练习）在三棱柱中中，为中点，平面平面.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
21．（2022秋·辽宁大连·高二育明高中校考期中）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形A1C1CA为菱形，∠B1A1A=∠C1A1A=60°，AC=4，AB=2，平面ACC1A1⊥平面ABB1A1，Q在线段AC上移动，P为棱AA1的中点.
(1)若Q为线段AC的中点，H为BQ中点，延长AH交BC于D，求证：AD∥平面B1PQ;
(2)若二面角B1-PQ-C1的平面角的余弦值为，求点P到平面BQB1的距离.
22．（2021秋·辽宁大连·高二期中）如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，，分别是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面和平面夹角的余弦值；
（3）在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（辽宁1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2021秋·辽宁·高二辽宁实验中学校考期中）直线的倾斜角为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出斜率，根据斜率与倾斜角关系，即可求解.
【详解】化为，
直线的斜率为，倾斜角为.
故选:D.
【点睛】本题考查直线方程一般式化为斜截式，求直线的斜率、倾斜角，属于基础题.
2．（2022秋·辽宁大连·高二大连二十四中校联考阶段练习）已知、都是空间向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用空间向量的数量积运算即可得到答案
【详解】解：
，
，
， ，
故选：A
3．（2022·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【分析】由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线过定点可得定点与定点，进而可得，再利用基本不等式及三角形面积公式即得．
【详解】由题意直线过定点，
直线可变为，所以该直线过定点，
所以，
又，
所以直线与直线互相垂直，
所以，
所以即，
当且仅当时取等号,
所以，，即面积的最大值是.
故选：D.
4．（2022秋·辽宁·高二辽宁实验中学校考开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与，的夹角都等于60°．若是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据空间向量基本定理得到，平方后，利用空间向量数量积公式计算出，从而求出模长.
【详解】因为是的中点，
所以，
所以
因为的长为2，且与，的夹角都等于60°．
所以
，
所以.
故选：A
5．（2022秋·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）已知点，向量，过点P作以向量为方向向量的直线为l，则点到直线l的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得直线l的方程，再利用点到直线距离公式去求点到直线l的距离即可.
【详解】以向量为方向向量的直线l的斜率
则过点P的直线l的方程为，即
则点到直线l的距离
故选：B
6．（2022秋·辽宁大连·高二大连二十四中校联考阶段练习）已知（2，﹣1，2），（x，y，6），与共线，则x+y＝（ ）
A．5 B．6 C．3 D．9
【答案】C
【分析】利用向量共线求得，由此求得.
【详解】由于与共线，所以.
故选：C
7．（2022秋·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求得圆关于直线对称的圆的圆心坐标，进而即可得到该圆的方程.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为3
设点关于直线的对称点为，
则 ，解之得
则圆关于直线对称的圆的圆心坐标为
则该圆的方程为，
故选：D．
8．（2022春·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考开学考试）如图，在圆锥中，，为底面圆的两条直径，，且，，，异面直线与所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角的余弦值，再得正弦值．
【详解】由题意以为轴建立空间直角坐标系，如图，
，，，，
又，
．
，
则，
设异面直线与所成角为，则，为锐角，
，所以．
故选：D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·辽宁鞍山·高二鞍山市鞍钢高级中学校考阶段练习）已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A． B．平面
C．动点的轨迹长为 D．与所成角的余弦值为
【答案】BC
【分析】建立空间直角坐标系，结合向量法判断各选项.
【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，
则，，，，，
所以，，，
由平面，
得，即，化简可得，
所以动点在直线上，
A选项：，，，所以与不垂直，所以A选项错误；
B选项：，平面，平面，所以平面，B选项正确；
C选项：动点在直线上，且为侧面上的动点，则在线段上，，所以，C选项正确；
D选项：，，D选项错误；
故选：BC.
10．（2021秋·辽宁·高二渤海大学附属高级中学校考阶段练习）已知直线：与直线：的交点在第三象限，则实数k的值可能为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】BC
【分析】联立直线方程求出交点坐标，根据象限列出不等式，求出的范围即可得出.
【详解】联立方程组，解得交点为，
因为交点在第三象限，所以，解得，
所以实数k的值可能为和.
故选：BC.
11．（2022·辽宁大连·大连二十四中校联考模拟预测）已知正四棱台的上下底面边长分别为4，6，高为，E是的中点，则（ ）
A．正四棱台的体积为
B．正四棱台的外接球的表面积为104π
C．AE∥平面
D．到平面的距离为
【答案】BCD
【分析】利用正四棱台的体积计算可判断A；连接相交于，连接相交于，分外接球的球心在正四棱台的内部、内部，
根据、，求出可判断B；取的中点，利用面面平行的判断定理可判断平面平面，从而可判断C；以为原点，所在的直线分别为建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用点到平面的距离的向量求法可判断D.
【详解】正四棱台的体积为，
，故A错误；
连接相交于，连接相交于，
如果外接球的球心在正四棱台的内部，
则在上，，
因为上下底面边长分别为4，6，所以 ，，
设外接球的半径为，所以，即
，无解，所以外接球的球心在正四棱台的外部，如下图，
则在延长线上，，
因为上下底面边长分别为4，6，所以 ，，
设外接球的半径为，所以，即
，解得，
所以正四棱台的外接球的表面积为，故B正确；
取的中点，连接，，连接，
所以，所以是的中点，因为，所以，
又，所以，又因为，所以四边形是平行四边形，
所以，平面，平面，所以平面，
因为，所以，
平面，平面，所以平面，
因为，所以平面平面，
因为平面，所以平面，
故C正确；
以为原点，所在的直线分别为建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
所以，即，令可得，
到平面的距离为，故D正确.
故选：BCD.
12．（2022秋·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校考阶段练习）已知圆，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形PAMB周长的最小值为 B．的最大值为2
C．直线AB过定点 D．存在点N使为定值
【答案】ACD
【分析】设，由此据圆的切线性质表示出，则即可表示出四边形PAMB周长，进而求得其最小值，从而判断A的对错；利用表示出
,由此可判断B的对错；根据圆的切线性质表示出切线方程，进而求出AB的直线方程，求其过的定点坐标，可判断C对错；判断C点位于某个圆上，可知出其圆心和C点距离为定值，从而判断D的对错.
【详解】如图示：
设 ，则，
所以四边形PAMB周长为 ，
当P点位于原点时，t 取值最小2，
故当t取最小值2时，四边形PAMB周长取最小值为，故A正确；
由 可得： ，
则 ，而 ，则 ,故B错误；
设 ，
则 方程为： ，
的方程为，
而在切线，上，故，，
故AB的直线方程为，
当时，，即AB过定点 ，故C正确；
由圆的切线性质可知 ,设AB过定点为D,
则D点位于以MD为直径的圆上，设MD的中点为N，则 ,
则为定值，即D正确，
故选：ACD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2021秋·辽宁·高二辽宁实验中学校考期中）已知向量可作为空间的一组基底，若，且在基底下满足，则 ．
【答案】2
【分析】根据题意利用向量相等列出方程组求出的值．
【详解】因为，且
，
所以，解得
故答案为：2．
14．（2022秋·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）经过两点和，且圆心在x轴上的圆的标准方程为 .
【答案】
【分析】根据题意，设圆心为，由两点的距离公式建立关于的方程，解出从而算出圆心坐标和半径，即可得到所求圆的标准方程．
【详解】设圆心为
由两点的距离公式，得，
两点，在圆上
，得
解之得，可得圆心，半径
因此可得所求圆的方程为
故答案为：
15．（2021秋·辽宁·高二辽师大附中校考阶段练习）实数、满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设，可知直线与圆有公共点，利用圆心到直线的距离不大于圆的半径可得出关于的不等式，由此可解得的取值范围，即为所求.
【详解】圆的圆心坐标为，该圆的半径为，
设，可知直线与圆有公共点，
所以，，即，解得.
因此，的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查代数式的取值范围的求解，令，将问题转化为直线与圆有公共点，将问题转化为利用直线与圆的位置关系求参数是解本题的关键，同时在处理直线与圆的位置关系问题时，常利用代数法与几何法求解.
16．（2022春·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考开学考试）在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高等于 .
【答案】2
【分析】先求出平面的法向量，然后求出在方向上的投影的绝对值即可得答案
【详解】设平面的法向量，则
，令，则，
因为，
所以四棱锥的高为，
故答案为：2
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2022秋·辽宁大连·高二大连二十四中校联考阶段练习）如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，，，．
(1)若点F为DC的中点，求；
(2)若点E为PB的中点，点M为AB上一点，当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）可证，再建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标后可求夹角的余弦值.
（2）设，则可用表示的坐标，再利用可求，从而可得两条线段的比值.
【详解】（1）因为为等腰直角三角形，，，所以，
又，，所以．
而，，故，
因，平面，故平面.
以点C为原点，CP，CD所在直线分别为x，z轴，过点C作PB的平行线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则，，，，．
则，，
所以．
（2）由（1）知，设，
而，所以，
所以，所以，
又，
因为，故，
所以，解得，
所以．
18．（2023秋·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考阶段练习）（1）若直线过点，且与直线平行，求直线的一般式方程．
（2）若直线过点，且与直线垂直，求直线的斜截式方程．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由题可设直线方程为，进而即得；
（2）设直线方程为，把点坐标代入即得.
【详解】（1）设直线方程为：，将代入方程，得 ，
所以直线方程为 ；
（2）设直线方程为：，将代入方程，得 ，
所以直线方程为，
即直线的斜截式方程为．
19．（2021秋·辽宁·高二辽师大附中校考阶段练习）已知圆N的标准方程为．
(1)若点M（6，9）在圆N上，求半径a；
(2)若点P（3，3）与Q（5，3）有一点在圆N内，另一点在圆N外，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知，建立方程计算求解即可.
（2）通过已知，利用点与圆的位置关系进行求解.
【详解】（1）因为点M（6，9）在圆N上，所以，
即，又，所以．
（2）因为圆心，，，
所以，，
所以，故点P在圆N外，点Q在圆N内，又因为圆N的半径为，
所以，故实数a的取值范围是．
20．（2022春·辽宁大连·高三育明高中校考阶段练习）在三棱柱中中，为中点，平面平面.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）依题意可得，根据面面垂直的性质即可得证；
（2）在平面内过点作，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；
【详解】（1）证明：因为，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以 平面；
（2）解：在平面内过点作，如图建立空间直角坐标系，由，，所以，所以，因为，所以，所以，，，，，由，所以，所以，显然平面的一个法向量可以为，设与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为；
【点睛】
21．（2022秋·辽宁大连·高二育明高中校考期中）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形A1C1CA为菱形，∠B1A1A=∠C1A1A=60°，AC=4，AB=2，平面ACC1A1⊥平面ABB1A1，Q在线段AC上移动，P为棱AA1的中点.
(1)若Q为线段AC的中点，H为BQ中点，延长AH交BC于D，求证：AD∥平面B1PQ;
(2)若二面角B1-PQ-C1的平面角的余弦值为，求点P到平面BQB1的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）取BB1中点E，连接AE，EH，结合已知条件易得EH∥B1Q、AE∥PB1，根据线面平行的判定可证面，面，再由面面平行的判定及性质即可证结论.
（2）连接PC1，AC1有PC1⊥AA1，由面面垂直的性质可得PC1⊥面ABB1A1，过P作PR⊥AA1交BB1于点R，进而构建空间直角坐标系，设=λ=λ(0,-2,2)，λ∈[0,1]，确定相关点坐标，求面PQB1、面AA1C1C的法向量，根据已知二面角的余弦值求参数λ，进而可得，连接BP，应用等体积法求P到平面BQB1的距离.
【详解】（1）如图，取BB1中点E，连接AE，EH，由H为BQ中点，则EH∥B1Q.
在平行四边形AA1B1B中，P、E分别为AA1，BB1的中点，则AE∥PB1，
由EH∩AE=E且面，面，
所以面，面，又PB1∩B1Q=B1，
所以面EHA∥面B1QP，而AD面EHA，
∴AD∥面B1PQ.
（2）连接PC1，AC1，由四边形A1C1CA为菱形，则AA1=AC=A1C1=4.
又∠C1A1A=60°，则△AC1A1为正三角形，P为AA1的中点，即PC1⊥AA1.
因为面ACC1A1⊥面ABB1A1，面ACC1A1∩面ABB1A1=AA1，PC1面ACC1A1，
∴PC1⊥面ABB1A1，在面ABB1A1内过P作PR⊥AA1交BB1于点R.
建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz，则P(0,0,0)，A1(0,2,0)，A(0,-2,0)，C1(0,0,2)，C(0,-4,2)，
设=λ=λ(0,-2,2)，λ∈[0,1]，则Q(0,-2(λ+1),2λ)，
∴=(0,-2(λ+1),2λ).
∵A1B1=AB=2，∠B1A1A=60°，则B1(,1,0)，
∴=(,1,0).
设面PQB1的法向量为=(x,y,z)，则,令x=1，则=1,-,-，
设面AA1C1C的法向量为=(1,0,0)，二面角B1-PQ-C1的平面角为θ，则，解得λ=或λ=-(舍)，
∴=且Q(0,-3,)，又B(,-3,0)，
∴=(,0,-)，故||=，=(,4,-)，故||=.
所以，即，
连接BP，设P到平面BQB1的距离为h，则××4××=××4××h，
∴h=，即点P到平面BQB1的距离为.
22．（2021秋·辽宁大连·高二期中）如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，，分别是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面和平面夹角的余弦值；
（3）在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.
【分析】取的中点，连接，易得两两垂直，建立空间直角坐标系，并求出各点坐标，
（1）利用空间向量法，分别求出平面和平面的法向量：和，通过，即可证出平面平面；
（2）先求出是平面的一个法向量，利用空间向量法求二面角公式，即可得出答案；
（3）假设在线段（含端点）上存在点，使点到平面的距离为，设，通过向量法求点到面的距离公式，求出的值，即可得出结论.
【详解】解：取的中点，连接，则，，
又平面，所以平面，
所以两两垂直，
如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，
轴建立空间直角坐标系，
则，
（1）证明：，
，
设分别为平面和平面的法向量，
由，
得，
令，则，
∴是平面的一个法向量，
由，得，
令，则，
∴是平面的一个法向量，
，
∴平面平面．
（2），设平面的法向量为．
由，得，
令，则，，
∴是平面的一个法向量，
设平面和平面的夹角为，由图可知为锐角，
则，
即平面和平面夹角的余弦值为．
（3）假设在线段（含端点）上存在点，
使点到平面的距离为，
设，则，
由，
解得：（舍去）或，
故在线段上存在点M（端点处），
使点M到平面的距离为．
【点睛】本题考查利用空间向量法证明面面垂直，以及利用空间向量法求二面角余弦值和借助空间向量法求点到面的距离从而解决存在性问题，考查推理证明和运算能力，属于中档题.
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