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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（山西1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022秋·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设，则的值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-2
【答案】B
【分析】由正方体的性质可知两两垂直，从而对化简可得答案
【详解】由题意可得,
所以，所以，
所以，
故选：B
2．（2022秋·山西·高二山西大附中校考期中）已知点，则直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出直线的斜率，根据倾斜角的范围可得答案.
【详解】因为点，所以，
设直线的倾斜角为，则，
所以.
故选：A.
3．（2021秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考阶段练习）如图，空间四边形OABC中，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将表示为以为基底的向量，由此求得的值.
【详解】依题意
，所以.
故选：C.
【点睛】本小题主要考查空间中，用基底表示向量，考查空间向量的线性运算，属于基础题.
4．（2022秋·山西运城·高二芮城县风陵渡中学校考阶段练习）过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出与直线垂直的直线的斜率，利用点斜式求出直线方程.
【详解】直线的斜率，因为，故的斜率，故直线的方程为，即，
故选：B．
5．（2021秋·山西太原·高二太原五中校考阶段练习）已知向量，且，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，设，即，，，2，，分析可得、的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．
【详解】根据题意，向量，2，，，，，且，
则设，即，，，2，，
则有，则，，
则，，，故；
故选：A．
6．（2023秋·山西大同·高二大同一中校考阶段练习）已知直线：与关于直线对称，与平行，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】点关于直线的对称点为可得的方程，再根据相互平行可得答案.
【详解】直线关于直线对称的直线，即是交换位置所得，
即，相互平行，的斜率为，
故.
故选：C.
7．（2022秋·山西阳泉·高二阳泉市第一中学校校考期中）如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为和的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所以，
所以，
故选：D
8．（2022秋·山西·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，为圆上两动点，点，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令为中点，根据直角三角形性质，圆中弦长、弦心距、半径的几何关系求得轨迹为圆，求定点到所得圆上点距离的最大值，结合即可求结果.
【详解】由，要使最大只需到中点距离最大，
又且，
令，则，整理得，
所以轨迹是以为圆心，为半径的圆，又，即在圆内，
故，而，故.
故选：D
【点睛】关键点点睛：利用圆、直角三角形的性质求中点的轨迹，再求定点到圆上点距离最值即可.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）已知直线与直线平行，且与圆相切，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，设，根据直线与圆相切可知圆心到直线距离等于半径，由此可构造方程求得结果.
【详解】由圆的方程可知：圆心，半径；
设直线，
则圆心到直线的距离，解得：或，
直线的方程为：或.
故选：AC.
10．（2021秋·山西太原·高二太原五中校考阶段练习）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】ABD
【分析】在选项A中，利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；
在选项B中，根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；
在选项C中，根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；
在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可.
【详解】在选项A中，∵，，，
且平面，
∴平面，平面，
∴，
同理，，
∵，且平面，
∴直线平面，故A正确；
在选项B中，
∵，平面，平面，
∴平面，
∵点在线段上运动，
∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，
∴三棱锥的体积为定值，故B正确；
在选项C中，
∵，
∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角.
易知为等边三角形，
当为的中点时，；
当与点或重合时，直线与直线的夹角为.
故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；
在选项D中，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为1，
则，，，，
所以，.
由A选项正确：可知是平面的一个法向量，
∴直线与平面所成角的正弦值为：，
∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.
故选：ABD
11．（2023秋·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）已知直线，其中，则（ ）
A．当时，直线与直线垂直
B．若直线与直线平行，则
C．直线过定点
D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等
【答案】AC
【分析】对于A，求出直线方程，根据斜率的关系判断，对于B，由两直线平行直接列方程求解判断，对于C，由求出的值可得直线过的定点，对于D，当时，求出直线方程，然后求出直线在两坐标轴上的截距进行判断.
【详解】对于A，当时，直线的方程为，其斜率为1，而直线的斜率为－1，
所以当时，直线与直线垂直，所以A正确；
对于B，若直线与直线平行，则，解得或，所以B错误；
对于C，当时，，与无关，故直线过定点，所以C正确；
对于D，当时，直线的方程为，在两坐标轴上的截距分别是－1，1，不相等，所以D错误，
故选：AC．
12．（2023春·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考开学考试）已知正方体的棱长为2，M为的中点，N为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的有（ ）
A．若，则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为
B．若MN与平面ABCD所成的角为，则N的轨迹为圆
C．若N到直线与直线DC的距离相等，则N的轨迹为抛物线
D．若与AB所成的角为，则N的轨迹为双曲线
【答案】BCD
【分析】设MN中点为H，DM中点为Q，连接PQ，计算出PQ可知P的轨迹为圆可判断A；根据已知算出DN，可判断B；根据抛物线定义可判断C；以DA、DC、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，利用向量的夹角公式计算可判断D.
【详解】对于A，设MN中点为H，DM中点为Q，连接HQ，则，且，
如图，若，则所以，，则，所以点H的轨迹是以Q为圆心，半径为的圆，面积，故A错误；
对于B，，，则，所以N的轨迹是以D为圆心，半径为的圆，故B正确；
对于C，点N到直线的距离为BN，所以点N到定点B和直线DC的距离相等，且B点不在直线DC上，由抛物线定义可知，N的轨迹是抛物线，故C正确；
对于D，如图，以DA、DC、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设，，，，
所以，，，
化简得，即，所以的轨迹为双曲线，故D正确；
故选： BCD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·山西太原·高二山西大附中校考阶段练习）如图，在大小为60°的二面角中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是 ．
【答案】
【分析】利用，求出向量间的夹角，结合向量乘法即可求
【详解】由题意可知，，则∠BFC为二面角的平面角，
故．又，故异面直线BF，ED所成角也为．
∵，∴，
∴．
故答案为：
14．（2022秋·山西运城·高二芮城县风陵渡中学校考阶段练习）经过两点的直线的一个方向向量为，则 ．
【答案】5
【分析】根据直线方向向量即可计算．
【详解】由条件可知，，解得．
故答案为：5．
15．（2022秋·山西大同·高一山西省阳高县第一中学校校考阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，则的长为 .
【答案】2
【分析】可以看成空间的一个基底，由空间向量基本定理可以表达出，则，利用向量的相关知识即可求解.
【详解】，
又：，，，
∴
.
故答案为：2.
16．（2019秋·山西太原·高二山西大附中校考期中）若点为直线上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】把转化为，结合点到直线的距离公式，即可求解．
【详解】由可化为，转化为点到点的距离的平方，
因为点为直线上的动点，
由原点到直线的距离为，
所以最小值为．
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2022·山西太原·山西大附中校考模拟预测）已知圆经过，两点，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程
(2)从原点向圆作切线，求切线方程及切线长.
【答案】(1) (或写成:)；(2)，.
【分析】(1) 解法一: 设圆的方程为,将，两点代入得: ,根据圆的一般方程的圆心为: ,代入,
联立方程即可求出答案.
解法二:设根据题意,分析可得圆的圆心是线段的垂直平分线与直线的交点,先求出线段的垂直平分线的方程,与直线联立可得圆的圆心的坐标,在由两点间距离公式: ,代入圆的标准方程: 即可得出答案.
(2) 解法一:过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆相切，当斜率存在时，可设直线方程为:,直线圆线切,联立方程: 将其化为关于的一元二次方程,由题意可知此方程的,解得 ,即可求出切线方程及切线长.
解法二: 过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆相切，当斜率存在时，可设直线方程为:.因为直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径,根据点到直线的距离公式: 可求得圆的圆心到:的距离为1,可解得 ,即可求出切线方程及切线长.
【详解】(1)解法一:设圆的方程为
由题意: ①
②
又圆心在直线上
故 ， ③
由①②③解得:，，，
圆的方程为:(或写成:)，
解法二:由题意，圆心在的中垂线上，
又在已知直线上，
解得圆心坐标为，
于是半径
所求圆的方程为:;
(2)解法一:过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆相切
当斜率存在时，设直线方程为
代入得
即
令，
解得，
即切线方程为.
对应切线长为.
解法二:过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆相切；
当斜率存在时，设直线方程为，
因为直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，
根据点到直线的距离公式:可得
解得.即切线方程为.
对应切线长为.
综上所述: 切线方程为,切线长为.
【点睛】本题主要考查圆的方程,圆的切线方程的求解.在求解圆的方程时,把已知点代入圆的一般方程,联立方程,这种求法的计算量较大,可以结合题意用数形结合,用几何知识来求解,可简化计算.
18．（2022秋·山西太原·高二山西大附中校考阶段练习）已知空间三点、、，设，．
(1)若向量与互相垂直，求实数的值；
(2)若向量与共线，求实数的值．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）求出向量、的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示可得出关于实数的方程，解之即可；
（2）求出向量与的坐标，设，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值.
【详解】（1）解：由已知可得，，
所以，，
，
由题意可知，
即，解得或.
（2）解：，
，
由题意，设，所以，，解得或.
因此，.
19．（2021秋·山西太原·高二太原五中校考阶段练习）已知线段的端点的坐标是，端点在圆：上运动.
（1）求线段的中点的轨迹的方程；
（2）设圆与曲线交于 两点，求线段的长.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设点的坐标为，点的坐标为，由于点的坐标为，且点是线段的中点，利用代入法可得轨迹方程.
（2）两圆相减得公共弦方程得，利用弦长公式可得的长.
【详解】解：（1）设点的坐标为，点的坐标为，
由于点的坐标为，且点是线段的中点，
所以，，
于是有，.①
因为点在圆：上运动，
所以点的坐标满足方程，
即.②
把①代入②，得，
整理，得，
所以点的轨迹的方程为.
（2）圆：与圆：的方程相减，
得.
由圆：的圆心为，半径，
且到直线的距离，
则公共弦长.
20．（2022春·山西太原·高一太原五中校考阶段练习）如图1，在△ABC中，，DE是△ABC的中位线，沿DE将△ADE进行翻折，使得△ACE是等边三角形（如图2），记AB的中点为F．
(1)证明：平面ABC．
(2)若，二面角D-AC-E为，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取AC中点G，连接FG和EG，证明四边形DEGF是平行四边形,然后利用线面垂直的判定定理证明平面ABC, 从而得到平面ABC.
（2）（方法一）过点E作，以E为原点，建立空间直角坐标系E-xyz，设,求出平面AEC和平面ACD的法向量，由已知条件可得长，然后利用线面角的向量公式求解即可；
（方法二）连接DG，可证得，可得长，过点F作，垂足为I，利用线面垂直及面面垂直的性质可得平面ACD，连接AI，则∠FAI即为所求角，在三角形中计算可得答案.
【详解】（1）如图，
取AC中点G，连接FG和EG，由已知得，且．
因为F，G分别为AB，AC的中点，所以，且
所以，且．
所以四边形DEGF是平行四边形．
所以．
因为翻折的，易知．
所以翻折后，．
又因为，EA，平面AEC，
所以平面AEC．
因为，
所以平面AEC．
因为平面AEC，所以．
因为ACE是等边三角形，点G是AC中点，所以
又因为，AC，平面ABC．
所以平面ABC．
因为，所以平面ABC．
（2）（方法一）如图，
过点E作，以E为原点，EH、EC，ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，设，则，，，，则，，，
因为平面AEC．所以是平面AEC的法向量，
设面ACD的法向量为，则
，即，解得．
取，得．
因为二面角D-AC-E为，所以，
解得，所以，．
记直线AB与平面ACD所成角为，
则，
所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为．
（方法二）如图，
连接DG，因为平面AEC，平面AEC，所以．
又因为，，DE，平面DEG．所以平面DEC．
因为EG，平面DEG，所以，，所以∠DGE是二面角D-AC-E的平面角，故．
由△ACE是边长为2的等边三角形，得，
在RtDGE中，，所以，．
过点F作，垂足为I，
因为平面DEGF，平面ACD，所以平面平面ACD．
又因为平面平面，平面DEGF，且，
所以平面ACD．
连接AI，则∠FAI即为直线AB与平面ACD所成的角．
在Rt△DFG中，，，得，由等面积法得，解得．
在RtAFG中，，，所以．
在RtFAI中，，
所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为．
21．（2021·山西太原·山西大附中校考模拟预测）如图，在三棱柱ABC 中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2．
（1）求证：AC⊥平面BEF；
（2）求二面角B CD C1的余弦值；
（3）证明：直线FG与平面BCD相交．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析．
【分析】（1）由等腰三角形性质得，由线面垂直性质得,由三棱柱性质可得，因此，最后根据线面垂直判定定理得结论；
（2）根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，利用方程组解得平面BCD一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果；
（3）根据平面BCD一个法向量与直线FG方向向量数量积不为零，可得结论.
【详解】（1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵CC1⊥平面ABC，∴四边形A1ACC1为矩形．
又E，F分别为AC，A1C1的中点，∴AC⊥EF．
∵AB=BC，E为AC的中点，．∴AC⊥BE，而，
∴AC⊥平面BEF．
（2）［方法一］：【通性通法】向量法
由（1）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．
∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．
如图建立空间直角坐称系E-xyz．
由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）．
∴，
设平面BCD的法向量为，
∴，∴，
令a=2，则b=-1，c=-4，
∴平面BCD的一个法向量，
又∵平面CDC1的一个法向量为，∴．
由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为．
［方法二］： 【最优解】转化＋面积射影法
考虑到二面角与二面角互补，设二面角为，易知，，所以．
故．
［方法三］：转化＋三垂线法
二面角与二面角互补，并设二面角为，易知平面．
如图3，作，垂足为H，联结．则是二面角的平面角，所以，不难求出，所以二面角的余弦值为．
（3）［方法一］：【最优解】【通性通法】向量法
平面BCD的一个法向量为，∵G（0，2，1），F（0，0，2），
∴，∴，∴与不垂直，
∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交．
［方法二］：几何转化
如图4，取的中点，分别在取点N，M，使．联结．则平面平面，又平面，平面，故直线与平面相交．
［方法三］：根据相交的平面定义
如图5，设与交于P，联结．
因为，且，所以四点共面．
因为，所以．
又，所以四边形是梯形，即直线与直线一定相交．
因为平面，所以直线与平面相交．
【整体点评】（2）方法一：直接利用向量法求出，属于通性通法；
方法二：根据二面角与二面角互补，通过转化求二面角，利用面积射影法求出，是该问的最优解；
方法三：根据二面角与二面角互补，通过转化求二面角，利用三垂线法求出；
（3）方法一：利用向量证明平面的法向量与直线的方向向量不垂直即可，既是该问的通性通法，也是最优解；
方法二：通过证明与平面平行的平面与直线相交证出；
方法三：构建过直线且与平面相交的平面，通过证明直线与交线相交证出．
22．（2019春·山西太原·高三太原五中校考阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，、、、分别是棱、、、的中点，点、分别在棱、上移动，且.
（1）当时，证明：直线平面；
（2）是否存在，使面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.
【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，证明出，利用线面平行的判定定理可证得平面；
（2）计算出面与面的法向量，由已知条件得出这两个平面的法向量垂直，结合求出实数的值，即可得解.
【详解】（1）证明：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，当时，，
，，，，
平面，平面，因此，平面；
（2）、、、、，
设平面的一个法向量为，，，
由，可得，取，则，，，
设平面的一个法向量为，，，
由，可得，取，则，，
，
若存在，使得面与面所成的二面角为直二面角，则.
且，整理可得，
，解得.
因此，存在，使得面与面所成的二面角为直二面角.
【点睛】方法点睛：立体几何开放性问题求解方法有以下两种：
（1）根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；
（2）假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（山西1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022秋·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设，则的值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-2
2．（2022秋·山西·高二山西大附中校考期中）已知点，则直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考阶段练习）如图，空间四边形OABC中，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·山西运城·高二芮城县风陵渡中学校考阶段练习）过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021秋·山西太原·高二太原五中校考阶段练习）已知向量，且，那么（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·山西大同·高二大同一中校考阶段练习）已知直线：与关于直线对称，与平行，则（ ）
A． B． C． D．2
7．（2022秋·山西阳泉·高二阳泉市第一中学校校考期中）如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为和的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·山西·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，为圆上两动点，点，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）已知直线与直线平行，且与圆相切，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021秋·山西太原·高二太原五中校考阶段练习）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
11．（2023秋·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）已知直线，其中，则（ ）
A．当时，直线与直线垂直
B．若直线与直线平行，则
C．直线过定点
D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等
12．（2023春·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考开学考试）已知正方体的棱长为2，M为的中点，N为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的有（ ）
A．若，则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为
B．若MN与平面ABCD所成的角为，则N的轨迹为圆
C．若N到直线与直线DC的距离相等，则N的轨迹为抛物线
D．若与AB所成的角为，则N的轨迹为双曲线
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·山西太原·高二山西大附中校考阶段练习）如图，在大小为60°的二面角中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是 ．
14．（2022秋·山西运城·高二芮城县风陵渡中学校考阶段练习）经过两点的直线的一个方向向量为，则 ．
15．（2022秋·山西大同·高一山西省阳高县第一中学校校考阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，则的长为 .
16．（2019秋·山西太原·高二山西大附中校考期中）若点为直线上的动点，则的最小值为 ．
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2022·山西太原·山西大附中校考模拟预测）已知圆经过，两点，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程
(2)从原点向圆作切线，求切线方程及切线长.
18．（2022秋·山西太原·高二山西大附中校考阶段练习）已知空间三点、、，设，．
(1)若向量与互相垂直，求实数的值；
(2)若向量与共线，求实数的值．
19．（2021秋·山西太原·高二太原五中校考阶段练习）已知线段的端点的坐标是，端点在圆：上运动.
（1）求线段的中点的轨迹的方程；
（2）设圆与曲线交于 两点，求线段的长.
20．（2022春·山西太原·高一太原五中校考阶段练习）如图1，在△ABC中，，DE是△ABC的中位线，沿DE将△ADE进行翻折，使得△ACE是等边三角形（如图2），记AB的中点为F．
(1)证明：平面ABC．
(2)若，二面角D-AC-E为，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值．
21．（2021·山西太原·山西大附中校考模拟预测）如图，在三棱柱ABC 中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2．
（1）求证：AC⊥平面BEF；
（2）求二面角B CD C1的余弦值；
（3）证明：直线FG与平面BCD相交．
22．（2019春·山西太原·高三太原五中校考阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，、、、分别是棱、、、的中点，点、分别在棱、上移动，且.
（1）当时，证明：直线平面；
（2）是否存在，使面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
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