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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（山东2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023秋·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考开学考试）已知向量，不共线，，，，则（ ）
A．与共线 B．与共线
C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面
2．（2022秋·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考阶段练习）若直线与直线平行，则（ ）
A． B． C．或 D．不存在
3．（2022秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022秋·山东威海·高二乳山市第一中学校考阶段练习）过与的交点，且平行于向量的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022秋·山东日照·高二山东省日照实验高级中学校考阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·山东济南·高二济南外国语学校校考期中）若直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A．1 B． C．3 D．4
7．（2023秋·山东聊城·高二聊城二中校考开学考试）直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形， AA1＝AB，M是A1C1的中点，则AM与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·山东菏泽·高二校考期末）已知直线与圆：交于，两点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·山东济南·高二山东师范大学附中校考阶段练习）如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.下列选项中，正确的是（ ）
A．＋＋＋＝ B．＋－－＝
C．－＋－＝ D．·＝·
10．（2022秋·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2020秋·山东济南·高二山东师范大学附中校考阶段练习）已知空间三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·山东·山东省实验中学校考模拟预测）对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”为．已知不同三点A，B，C满足，则下列结论正确的是（ ）
A．A，B，C三点可能共线
B．A，B，C三点可能构成锐角三角形
C．A，B，C三点可能构成直角三角形
D．A，B，C三点可能构成钝角三角形
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知空间四边形ABCD的对角线为AC与BD，M，N分别为线段AB，CD上的点满足，，点G在线段MN上，且满足，若，则 .
14．（2022秋·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考阶段练习）若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三点共线，则 .
15．（2021秋·山东烟台·高二莱州市第一中学校考阶段练习）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任一点，设，，，则向量用表示为 ．
16．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知点，设动直线和动直线交于点，则的取值范围是 ．
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2022秋·山东·高二山东省实验中学校考期中）如图，在四面体OABC中，，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设，，．
(1)用，，表示向量；
(2)已知，，求的大小．
18．（2020秋·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考阶段练习）已知中，点，边和边上的中线方程分别是和，求所在直线方程.
19．（2022秋·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）求下列各圆的方程，并面出图形.
（1）圆心为点，且过点；
（2）过，，三点．
20．（2022·山东济南·济南市历城第二中学校考模拟预测）如图，在五面体ABCDE中，平面ABC，，，.
(1)求证：平面平面ACD；
(2)若，，五面体ABCDE的体积为，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值.
21．（2022秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形为菱形，，，.
(1)求证：；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
22．（2022·山东·高三山东师范大学附中校考阶段练习）如图，在四棱锥中，面，．E为的中点，点F在上，且．
(1)求证：面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)设点G在上，且．判断是否存在这样的，使得A，E，F，G四点共面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（山东2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023秋·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考开学考试）已知向量，不共线，，，，则（ ）
A．与共线 B．与共线
C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面
【答案】D
【分析】根据平面向量共线定理及推论依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，不存在实数，使得成立，与不共线，A错误；
对于B，，，，
又，不存在实数，使得成立，与不共线，B错误；
对于C、D，若，，，四点共面，
则有，
，即，故，
故，，，四点共面，C错误，D正确.
故选：D.
2．（2022秋·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考阶段练习）若直线与直线平行，则（ ）
A． B． C．或 D．不存在
【答案】B
【分析】根据两直线平行，列出方程，去掉两直线重合的情况，即可得到结果.
【详解】由直线与直线平行，可得:，解得．
故选:B.
3．（2022秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的基本定理和坐标表示即得结果.
【详解】设在基底下的坐标为，
则，
所以，
解得，
故在基底下的坐标为.
故选：B.
4．（2022秋·山东威海·高二乳山市第一中学校考阶段练习）过与的交点，且平行于向量的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先求出两直线的交点坐标，然后再根据所求直线平行于向量，从而可求出答案.
【详解】由，得，所以交点坐标为，
又因为直线平行于向量，所以所求直线方程为，
即.
故选：C.
5．（2022秋·山东日照·高二山东省日照实验高级中学校考阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题可求在方向上的投影数量，进而点到直线的距离为，即求.
【详解】∵，，，
∴，
∴，
∴在方向上的投影数量为，
∴点到直线的距离为.
故选：C.
6．（2022秋·山东济南·高二济南外国语学校校考期中）若直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A．1 B． C．3 D．4
【答案】B
【分析】先求得m的值，再去求两平行直线间的距离即可.
【详解】由直线与直线平行，
可得，解之得
则直线与直线间的距离为
故选：B
7．（2023秋·山东聊城·高二聊城二中校考开学考试）直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形， AA1＝AB，M是A1C1的中点，则AM与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取的中点，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，即可根据线面角的向量公式求出．
【详解】如图所示，取的中点，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
不妨设，则，
所以，平面的一个法向量为
设AM与平面所成角为，向量与所成的角为，
所以，
即AM与平面所成角的正弦值为．
故选：B．
8．（2022秋·山东菏泽·高二校考期末）已知直线与圆：交于，两点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】利用圆的弦长、弦心距、半径关系，以及点线距离公式列方程求k值.
【详解】由题设且半径，弦长，
所以到的距离，
即，可得.
故选：B
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·山东济南·高二山东师范大学附中校考阶段练习）如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.下列选项中，正确的是（ ）
A．＋＋＋＝ B．＋－－＝
C．－＋－＝ D．·＝·
【答案】CD
【分析】利用空间向量运算对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】，所以C正确.
由上述分析可知：，所以，所以A正确.
，所以B错误.
，
，
，所以，所以D正确.
故选：CD
10．（2022秋·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据直线的图像特征，结合直线的斜率与倾斜角定义，得出结论.
【详解】直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，
由倾斜角定义知，，，，故C正确；
由，知，，，，故B正确；
故选：BC
11．（2020秋·山东济南·高二山东师范大学附中校考阶段练习）已知空间三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】由条件可得的坐标，然后逐一判断即可.
【详解】因为，，，
所以
所以，，
所以不共线.
故选：AC
12．（2022·山东·山东省实验中学校考模拟预测）对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”为．已知不同三点A，B，C满足，则下列结论正确的是（ ）
A．A，B，C三点可能共线
B．A，B，C三点可能构成锐角三角形
C．A，B，C三点可能构成直角三角形
D．A，B，C三点可能构成钝角三角形
【答案】ACD
【分析】取两定点为A，C，再设任意点B，然后利用给定定义逐项分析、计算判断作答.
【详解】令点，设点，则有，
由得：，
当时，A，B，C三点共线，且有成立，A正确；
当时，则A，B，C三点不共线，
若，有，且成立，为直角三角形，C正确；
若，显然是钝角，且成立，为钝角三角形，D正确；
若，不成立，显然A，B，C三点不可能构成锐角三角形，B不正确.
故选：ACD
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知空间四边形ABCD的对角线为AC与BD，M，N分别为线段AB，CD上的点满足，，点G在线段MN上，且满足，若，则 .
【答案】
【解析】以作为空间向量的基底，利用向量的线性运算可得的表示，从而可得的值，最后可得的值.
【详解】,
又，
故，
而，
所以，
因为不共面，故，
所以，
故答案为：
14．（2022秋·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考阶段练习）若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三点共线，则 .
【答案】
【分析】由斜率相等得的关系．
【详解】解析：由题意得，
ab+2(a+b)=0，．
故答案为：．
15．（2021秋·山东烟台·高二莱州市第一中学校考阶段练习）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任一点，设，，，则向量用表示为 ．
【答案】.
【分析】根据向量的线性运算可得答案.
【详解】解：因为＝－2，∴，∴，
∴.
故答案为：.
16．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知点，设动直线和动直线交于点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由两动直线解析式可知其互相垂直，且均过定点，则交点轨迹为圆，继而可知的取值范围.
【详解】如图所示，由条件可知两动直线，分别过原点和，且两直线互相垂直.
所以动点的轨迹为以为直径的圆上，，设圆心为，则
显然当三点共线时取得最值，故，即
故答案为：
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2022秋·山东·高二山东省实验中学校考期中）如图，在四面体OABC中，，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设，，．
(1)用，，表示向量；
(2)已知，，求的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由P是线段MN的中点得，由N是棱BC的中点，得，即可求；
（2）由数量积运算直接求模即可
【详解】（1）连接，因为P是线段MN的中点，所以，
因为N是棱BC的中点，，即，
所以．
（2）
因为，，
所以，故．
18．（2020秋·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考阶段练习）已知中，点，边和边上的中线方程分别是和，求所在直线方程.
【答案】.
【解析】可设点坐标为，将代入边的中线方程，再求出中点坐标，代入边上的中线方程，联立方程即可求解点，同理求得点，则可求解所在直线方程
【详解】设点坐标为，因为点在边的中线上，所以有.①
的中点坐标为，因为的中点在边的中线上，
所以有.②
联立①②解得，，即.
同理，可得.
则，的方程为，化简得.
【点睛】本题考查中点坐标公式的应用，三角形中线的性质，直线方程的求解，属于中档题
19．（2022秋·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）求下列各圆的方程，并面出图形.
（1）圆心为点，且过点；
（2）过，，三点．
【答案】（1）（图见解析）（2）（图见解析）
【分析】（1）求出半径，利用圆的标准方程写出即可.
（2）设出圆的一般方程，将三点代入解出即可.
【详解】（1）由题意知半径,
所以圆的方程为：.
（2）设圆的一般方程为：.
将，，代入得：
所以圆的方程为：.
20．（2022·山东济南·济南市历城第二中学校考模拟预测）如图，在五面体ABCDE中，平面ABC，，，.
(1)求证：平面平面ACD；
(2)若，，五面体ABCDE的体积为，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）若是中点，连接，作，根据题设可得两两垂直，构建空间直角坐标系，令，并确定点坐标，求面、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示即可证结论.
（2）根据已知体积，结合棱锥的体积公式求出，进而求面ABED的法向量、直线CE的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值.
【详解】（1）若是中点，连接，作，由知：，
因为面ABC，则面ABC，又面ABC，
所以，，
综上，两两垂直，故可构建如下图示的空间直角坐标系，
令，，，则，，，
所以，，
若是面的一个法向量，即，令，则，
又是面的一个法向量，则，
所以面面.
（2）由面ABC，面ABED，则面ABED面ABC，故到面ABED的距离，即为△中上的高，
因为，，则，故，
所以上的高.
又面ABC，则，而，有，，
所以为直角梯形，令，则，
综上，，故.
由（1）知：，，，，
所以，，
若是面ABED的一个法向量，即，令，则，
而，则，
所以直线CE与平面ABED所成角的正弦值为.
21．（2022秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形为菱形，，，.
(1)求证：；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)点存在，.
【分析】（1）连接与相交于点，连接， 证明平面，可得，再利用已知条件证明平面，可证得.
（2）建立空间直角坐标系，设出点坐标，利用法向量表示平面与平面的夹角的余弦，求出点坐标.
【详解】（1）连接与相交于点，连接，如图所示：
四边形为菱形，∴为的中点，有，
为等边三角形，有，
平面，，∴平面，
平面，∴，
四边形为菱形，∴，
平面，，
平面，平面，∴
（2）分别为的中点，连接，
由（1）可知，又，
平面，，平面，
，平面，
为等边三角形，，
以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
由，，∴，，
设，则，有,
∴，，，
设平面的一个法向量，则有，
令，则，，即，
平面的一个法向量为的方向上的单位向量，
若平面与平面的夹角的余弦值为，则有，
，由，∴，解得.
所以，点存在， .
22．（2022·山东·高三山东师范大学附中校考阶段练习）如图，在四棱锥中，面，．E为的中点，点F在上，且．
(1)求证：面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)设点G在上，且．判断是否存在这样的，使得A，E，F，G四点共面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，.
【分析】（1）由线面垂直的性质有，再根据线面垂直的判定即可证结论.
（2）构建以A为原点，面内与垂直的直线为x轴，方向为y轴，z轴空间坐标系，根据已知确定对应点坐标，进而求出面、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求面面角的余弦值，即可得其正弦值.
（3）由题设有且，根据点共面结合（2）中面的一个法向量，利用向量垂直的坐标表示求，即可确定结果.
【详解】（1）由面面，则，
又且，可得：面.
（2）以A为原点，面内与垂直的直线为x轴，方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易知：，
由可得：，由可得：，
设平面的法向量为：，则，
∴面的一个法向量为，而是面的一个法向量，
∴，故二面角的余弦值为，则正弦值为．
（3）存在这样的.
由可得：，则，
若A，E，F，G四点共面，则在面内，又面的一个法向量为，
∴，即，可得.
∴存在这样的，使得四点共面.
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