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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（山西2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022秋·山西太原·高二山西大附中校考阶段练习）以下四组向量在同一平面的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
【答案】B
【分析】利用共面向量的基本定理逐项判断可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，设，所以，，无解；
对于B选项，因为，故B选项中的三个向量共面；
对于C选项，设，所以，，无解；
对于D选项，设，所以，，矛盾.
故选：B.
2．（2022秋·山西太原·高二山西大附中校考阶段练习）经过两点，的直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】B
【分析】先由直线的倾斜角求得直线的斜率，再运用两点的斜率进行求解.
【详解】由于直线的倾斜角为，
则该直线的斜率为，
又因为，，
所以，解得.
故选：B.
3．（2022秋·山西太原·高二山西大附中校考阶段练习）已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由图形可得，根据比例关系可得，，再根据向量减法，代入整理并代换为基底向量．
【详解】
即
故选：D．
4．（2022秋·山西太原·高二山西大附中校考期中）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据倾斜角和斜率的关系求解.
【详解】由已知得，
故直线斜率
由于倾斜的范围是，
则倾斜角为.
故选：B.
5．（2021秋·山西太原·高二太原五中校考阶段练习）已知两个向量，，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】由，可知，使，利用向量的数乘运算及向量相等即可得解.
【详解】∵，∴，使，得，解得：，所以
故选：C
【点睛】思路点睛：在解决有关平行的问题时，通常需要引入参数，如本题中已知，引入参数，使，转化为方程组求解；本题也可以利用坐标成比例求解，即由，得，求出m，n.
6．（2022秋·山西太原·高二山西大附中校考阶段练习）已知点，向量，过点P作以向量为方向向量的直线为l，则点到直线l的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得直线l的方程，再利用点到直线距离公式去求点到直线l的距离即可.
【详解】以向量为方向向量的直线l的斜率
则过点P的直线l的方程为，即
则点到直线l的距离
故选：B
7．（2022秋·山西太原·高二山西大附中校考阶段练习）在四棱锥中，平面，底面为矩形，.若边上有且只有一个点，使得，此时二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由线面垂直的性质与判定可证得平面，进而得到，设，，，利用勾股定理可得关于的方程，由方程有且仅有一个范围内的解，由求得的值；以为坐标原点，利用二面角的向量求法可求得结果.
【详解】平面，平面，，
又，，平面，平面，
又平面，；
设，，，
，，，
，即，
关于的方程有且仅有一个范围内的解，对称轴为，
，解得：，，
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
轴平面，平面的一个法向量；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
，
由图形可知：二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用向量法求解二面角的问题；解题关键是能够根据线面垂直的判定与性质证得，从而利用勾股定理构造关于的一元二次方程，根据其根的分布可求得和的长度，进而得到利用向量法求解时所需的线段长度.
8．（2021秋·山西太原·高二太原五中校考阶段练习）直线与轴，轴分别交于点，，以线段为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由已知得，的坐标，进而得圆心坐标和半径，写出圆的标准方程，然后化为一般方程即可.
【详解】由直线截距式方程知：，，
所以中点坐标为，且，
所以以为直径的圆的圆心为，半径为，
所以以线段为直径的圆的方程为，
化为一般方程为.
故选：A.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·山西阳泉·高二阳泉市第一中学校校考期中）在长方体中，，E，F分别为棱的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；
【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则、、、
、、、、、，
所以、、、，
所以，故A正确；
，故B正确；
，，，，
所以，，故，即C正确；
因为，所以与不垂直，故D错误；
故选：ABC
10．（2021秋·山西临汾·高二乡宁县第一中学校校考阶段练习）若三条直线l1：ax+y+1＝0，l2：x+ay+1＝0，l3：x+y+a＝0不能围成三角形，则a的取值为（ ）
A．a＝1 B．a＝-1 C．a＝-2 D．a＝2
【答案】ABC
【分析】根据题意得出l1和l3平行或重合，或l2和l3平行或重合，或l1和l2平行或重合以及三线交于同一个点，分类讨论，利用两条直线平行的条件分别求得m的值．
【详解】由题意可得l1和l3平行或重合，或l2和l3平行或重合，或l1和l2平行或重合，或三条直线交于同一个点，
若l1和l3平行或重合，则，求得a＝1；
若l2和l3平行或重合，则，求得a＝1；
若l1和l2平行或重合，则，求得a＝±1；
若三条直线l1：ax+y+1＝0，l2：x+ay+1＝0，l3：x+y+a＝0交于同一个点时，a＝-2.
综上可得，实数a所有可能的值为-1，1，-2，
故选：ABC．
11．（2023春·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，， ，，为的中点，则下列各选项正确的是（ ）
A．
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．直线与平面所成角的余弦值为
D．点到平面的距离为
【答案】AD
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出各点坐标，可以证明，可以判断A正确；
利用线线角公式可以判断B错误；利用线面角公式可以判断C错误；利用点到平面距离公式可以判断D正确；.
【详解】
如图，过作，则，
所以四边形为矩形，
则，
由题意可知两两垂直，
则以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
则，即，故A正确；
，
则，
所以异面直线与所成角的余弦值为，故B错误；
设直线与平面所成角为，平面的法向量为，
，
则，即，
令可得，
，
所以，
即直线与平面所成角的余弦值为，故C错误；
点到平面的距离为
，故D正确；
故选：AD.
12．（2021秋·山西长治·高二山西省长治市第二中学校校考期中）过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，直线与，轴分别交于点，，则（ ）
A．点恒在以线段为直径的圆上 B．四边形面积的最小值为4
C．的最小值为 D．的最小值为4
【答案】BCD
【分析】对于A，由动点及圆的性质即可判断；
对于B，连接，利用切线的性质将四边形的面积用表示，进而利用点到直线的距离公式求解；
对于C，由点，在以为直径的圆上可求得直线的方程，进而得到该直线过定点，最后数形结合即可得解；
对于D，先由直线的方程得到点，的坐标，进而得到，最后利用基本不等式即可求解．
【详解】对于A，在四边形中，不一定是直角，故A错误；
对于B，连接，由题易知，所以四边形的面积，又的最小值为点到直线的距离，即，所以四边形面积的最小值为，B正确；
设，则以线段为直径的圆的方程是，与圆的方程相减，得，即直线的方程为，又点在直线上，所以，则，代入直线的方程，得，即，令，则，得，，所以直线过定点，所以，数形结合可知的最小值为，C正确；
在中，分别令，得到点，，所以，因为点在直线上，所以且，，则，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，D正确．
故选：BCD.
【点睛】结论点睛：与圆的切线有关的结论：
（1）过圆上一点的切线方程为；
（2）过圆：外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线的方程为．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·山西·高二山西大附中校考期中）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，，，与平面交于点，则 ．
【答案】
【分析】设，由空间向量运算法则表示出，结合，，，四点共面，可得，解出即可得到答案．
【详解】解：由题设，
因为，
所以，
又因为，，，四点共面，
所以，
解得，
故答案为：．
14．（2021秋·山西长治·高二山西省长治市第二中学校校考期末）已知直线和直线垂直，则实数的值为 ．
【答案】
【详解】∵，
∴，
得．
故答案为.
15．（2022·山西太原·山西大附中校考三模）如图，多面体中，面为正方形，平面，，且，，为棱的中点，为棱上的动点，有下列结论：
①当为棱的中点时，平面；
②存在点，使得；
③三棱锥的体积为定值；
④三棱锥的外接球表面积为．
其中正确的结论序号为 ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【分析】根据线面平行的判定定理，以及线线垂直的判定，结合棱锥体积的计算公式，以及棱锥外接球半径的求解，对每一项进行逐一求解和分析即可.
【详解】对①：当H为DE的中点时，取中点为，连接，
因为分别为的中点，
故可得//，，
根据已知条件可知：//，
故//，
故四边形为平行四边形，则//，又平面平面，
故//面，故①正确；
对②：因为平面平面，
故，
又四边形为矩形，
故，则两两垂直，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：
则，设，，
若GH⊥AE，则，
即，解得，不满足题意，故②错误；
对③：，因为均为定点，故为定值，
又//平面平面，
故//面，
又点在上运动，故点到平面的距离是定值，
故三棱锥的体积为定值，则③正确；
对④：由题可得平面，又面为正方形，
∴，
∴AB⊥平面BCF，则AB，BC，CF两两垂直，
∴AF为三棱锥的外接球的直径，
又，
∴三棱锥的外接球表面积为，故④正确.
故答案为：①③④.
16．（2022秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）若直线：被圆：截得线段的长为6，则实数的值为 .
【答案】24
【分析】把圆的一般方程化为圆的标准方程，利用点到直线的距离公式以及勾股定理进行求解.
【详解】把圆：化为标准方程有：，
所以圆心，半径，又直线：，
所以圆心到直线的距离为，
因为直线：被圆：截得线段的长为6，
根据勾股定理有：，解得，
所以，解得.
故答案为：24.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2023秋·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）已知直线的方程为y＝－2x＋3.
(1)若直线与平行，且过点，求直线的方程；
(2)若直线与垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设的方程为，代入点得出所求方程；
（2）设的方程为，求出在坐标轴上的交点，进而由面积公式得出.
【详解】（1）由直线与平行，可设的方程为，
将代入，得，
即得，所以直线的方程为
（2）由直线与垂直，可设的方程为，
令，得，令，得，
故三角形面积，
所以，解得，所以直线的方程是或
18．（2021秋·山西晋中·高二山西省平遥中学校校考期中）三棱锥中，是的中点，在上，且，，，，
（1）试用，，表示向量；
（2）若底面是等腰直角三角形，且，，求的长.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)根据给定条件利用空间向量线性运算直接写出并化简计算即可；
(2)利用给定条件借助空间向量的数量积即可计算的长.
【详解】（1）依题意，因是的中点，在上，且，
则
，
所以；
（2）因，，，
即，则，，，
由(1)知：，
所以的长是.
19．（2022秋·山西运城·高二芮城县风陵渡中学校考阶段练习）在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知圆E经过点，且______.
(1)求圆E的一般方程；
(2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选择①③时，设圆的一般式方程或者标准方程，代入点以及相关条件，根据待定系数法，即可确定圆的方程，选择②时，根据几何法确定圆心和半径即可求解，
（2）根据相关点法即可求解轨迹方程.
【详解】（1）方案一：选条件①.
设圆的方程为，
则，解得，
则圆E的方程为.
方案二：选条件②.
直线恒过点.
因为圆E恒被直线平分，所以恒过圆心，
所以圆心坐标为，
又圆E经过点，所以圆的半径r＝1，所以圆E的方程为，即.
方案三：选条件③.
设圆E的方程为.
由题意可得，解得，
则圆E的方程为，即.
（2）设.
因为M为线段AP的中点，所以，
因为点P是圆E上的动点，所以，即，
所以M的轨迹方程为.
20．（2021秋·山西运城·高二芮城中学校考阶段练习）如图，已知平面，底面为矩形，，分别为，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形，从而得，进而可证明平面；（2）由题意，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，对应的平面向量，求出平面的法向量，由向量的夹角公式代入求解.
【详解】（1）取的中点，连接，，∵，分别为，的中点，∴且，又为的中点，底面为矩形，∴且，∴且，故四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面
（2）由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，∵，所以，故，设平面的法向量，则，得，设与平面所成角为，则，故与平面所成角的正弦值为.
21．（2022秋·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD中，ADBC， E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为 .
(1)在平面PAB内是否存在一点M，使得直线CM平面PBE，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，请说明理由；
(2)若二面角P CD A的大小为 ，求P到直线CE的距离.
【答案】(1)存在，在平面内可以找到一点，使得直线CM平面PBE
(2)
【分析】（1）先判断存在符合题意的点，再通过作辅助线找到该点，证明平面即可；
（2）建立空间直角坐标系，通过已知的二面角度数，找到线段之间关系，从而确定相关点的坐标，然后利用向量的运算求得答案.
【详解】（1）延长交直线于点，
点为的中点，，
，
，即，
四边形为平行四边形，即.
，
平面平面，
平面，
平面，
平面，
故在平面内可以找到一点，使得直线平面.
（2）如图所示，，即，
且异面直线与所成的角为，即，
又平面平面.
平面，
又平面，
平面，
平面.
因此是二面角的平面角，大小为.
.
因为.
以A为坐标原点，平行于的直线为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，
，
方向上的单位向量坐标为，
则在上的投影的绝对值为，
所以到直线的距离为.
22．（2022秋·山西运城·高二山西省运城中学校校联考期中）如图，平行六面体中，底面是菱形，且.
(1)求与所成角的余弦值；
(2)若空间有一点P满足：，求点P到直线的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将分别用表示，再结合数量积的运算律求出向量的夹角，即可得解；
（2）求出向量，利用数量积的运算律求出，再求出向量在向量上的投影，再利用勾股定理即可得解.
【详解】（1）解：因为，，
所以，同理可得，，
因为，
所以，
，
所以
，
所以，
，
与所成角的余弦值是；
（2）解：因为，，
所以，
在菱形中，，
则为等边三角形，所以，
所以
，
则点到直线的距离.
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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（山西2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022秋·山西太原·高二山西大附中校考阶段练习）以下四组向量在同一平面的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
2．（2022秋·山西太原·高二山西大附中校考阶段练习）经过两点，的直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C．0 D．2
3．（2022秋·山西太原·高二山西大附中校考阶段练习）已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022秋·山西太原·高二山西大附中校考期中）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021秋·山西太原·高二太原五中校考阶段练习）已知两个向量，，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．（2022秋·山西太原·高二山西大附中校考阶段练习）已知点，向量，过点P作以向量为方向向量的直线为l，则点到直线l的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·山西太原·高二山西大附中校考阶段练习）在四棱锥中，平面，底面为矩形，.若边上有且只有一个点，使得，此时二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021秋·山西太原·高二太原五中校考阶段练习）直线与轴，轴分别交于点，，以线段为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·山西阳泉·高二阳泉市第一中学校校考期中）在长方体中，，E，F分别为棱的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021秋·山西临汾·高二乡宁县第一中学校校考阶段练习）若三条直线l1：ax+y+1＝0，l2：x+ay+1＝0，l3：x+y+a＝0不能围成三角形，则a的取值为（ ）
A．a＝1 B．a＝-1 C．a＝-2 D．a＝2
11．（2023春·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，， ，，为的中点，则下列各选项正确的是（ ）
A．
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．直线与平面所成角的余弦值为
D．点到平面的距离为
12．（2021秋·山西长治·高二山西省长治市第二中学校校考期中）过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，直线与，轴分别交于点，，则（ ）
A．点恒在以线段为直径的圆上 B．四边形面积的最小值为4
C．的最小值为 D．的最小值为4
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·山西·高二山西大附中校考期中）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，，，与平面交于点，则 ．
14．（2021秋·山西长治·高二山西省长治市第二中学校校考期末）已知直线和直线垂直，则实数的值为 ．
15．（2022·山西太原·山西大附中校考三模）如图，多面体中，面为正方形，平面，，且，，为棱的中点，为棱上的动点，有下列结论：
①当为棱的中点时，平面；
②存在点，使得；
③三棱锥的体积为定值；
④三棱锥的外接球表面积为．
其中正确的结论序号为 ．（填写所有正确结论的序号）
16．（2022秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）若直线：被圆：截得线段的长为6，则实数的值为 .
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2023秋·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）已知直线的方程为y＝－2x＋3.
(1)若直线与平行，且过点，求直线的方程；
(2)若直线与垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程．
18．（2021秋·山西晋中·高二山西省平遥中学校校考期中）三棱锥中，是的中点，在上，且，，，，
（1）试用，，表示向量；
（2）若底面是等腰直角三角形，且，，求的长.
19．（2022秋·山西运城·高二芮城县风陵渡中学校考阶段练习）在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知圆E经过点，且______.
(1)求圆E的一般方程；
(2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.
20．（2021秋·山西运城·高二芮城中学校考阶段练习）如图，已知平面，底面为矩形，，分别为，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
21．（2022秋·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD中，ADBC， E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为 .
(1)在平面PAB内是否存在一点M，使得直线CM平面PBE，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，请说明理由；
(2)若二面角P CD A的大小为 ，求P到直线CE的距离.
22．（2022秋·山西运城·高二山西省运城中学校校联考期中）如图，平行六面体中，底面是菱形，且.
(1)求与所成角的余弦值；
(2)若空间有一点P满足：，求点P到直线的距离.
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