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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（四川2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）在下列条件中，使与 ，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案.
【详解】对于A选项，,由于，所以不能得出共面.
对于B选项，由于，则为共面向量，所以共面.
对于C选项, ，由于，所以不能得出共面.
对于D选项，由得，
而，所以不能得出共面,
故选：B
2．（2021秋·四川绵阳·高二四川省绵阳第一中学校考期中）已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为（ ）
A．－4 B．20
C．0 D．24
【答案】A
【解析】由垂直求出，垂足坐标代入已知直线方程求得，然后再把垂僄代入另一直线方程可得，从而得出结论．
【详解】由直线互相垂直可得，∴a＝10，所以第一条直线方程为5x＋2y－1＝0，
又垂足(1，c)在直线上，所以代入得c＝－2，再把点(1，－2)代入另一方程可得b＝－12，所以a＋b＋c＝－4.
故选：A．
3．（2022春·四川成都·高二四川师范大学实验外国语学校阶段练习）如图，平行六面体中，与交于点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用空间向量的加法、减法法则化简可得结果.
【详解】.
故选：D.
4．（2022秋·四川成都·高二成都外国语学校校考期中）已知直线：与直线：垂直，则实数的值为（ ）
A． B．
C．或 D．不存在
【答案】C
【分析】根据直线垂直的关系即得.
【详解】由两直线垂直可得，
解得或.
故选：C.
5．（2022春·四川成都·高二成都外国语学校校考阶段练习）已知空间向量，，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】由空间向量平行的坐标公式求出即可.
【详解】由，解得，则.
故选：A.
6．（2022秋·四川成都·高二成都外国语学校校考期中）过点引直线，使到它的距离相等，则此直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】设出直线方程，利用点到直线距离公式列出方程，求出的值，从而求出直线方程.
【详解】由题意得直线斜率存在，设直线方程为，
因为到直线距离相等，
所以，
解得：或，
所以直线方程为或，
整理得：或.
故答案为：C
7．（2022秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）在正方体ABCD A1B1C1D1中，若F，G分别是棱AB，CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】过F作BD的平行线交AC于M，则∠MGF即为直线FG与平面A1ACC1所成的角，易得，从而可得解.
【详解】方法一 过F作BD的平行线交AC于M，则∠MGF即为直线FG与平面A1ACC1所成的角．
设正方体棱长为1，由,所以面A1ACC1，所以
则MF＝，GF＝，∴sin ∠MGF＝.
方法二 如图，分别以AB，AD，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设正方体棱长为1，则易知平面A1ACC1的一个法向量为n＝(－1,1,0)．
∵F，G，∴＝.
设直线FG与平面A1ACC1所成角为θ，
则sin θ＝|cos〈n， 〉|＝＝.
答案：D.
【点睛】本题考查直线与平面所成的角的求解，考查学生的推理论证能力，属中档题．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．面面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，要么建系来做.
8．（2021秋·四川绵阳·高二四川省绵阳第一中学校考期中）过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直线的斜率分两种情况，直线的斜率不存在时求出直线的方程，即可判断出答案；直线的斜率存在时，由点斜式设出直线的方程，根据直线和圆有公共点的条件：圆心到直线的距离小于或等于半径，列出不等式求出斜率的范围，可得倾斜角的范围．
【详解】解：①当直线的斜率不存在时，直线的方程是，
此时直线与圆相离，没有公共点，不满足题意；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
即，
直线和圆有公共点，
圆心到直线的距离小于或等于半径，则，
解得，
直线的倾斜角的取值范围是，
故选：D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023秋·四川雅安·高二校考阶段练习）已知向量，下列等式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】根据数量积的结果是实数判断A；根据向量的线性运算、数量积运算、模长公式判断BCD.
【详解】A.左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确；
B.左边
右边，左边=右边，因此正确.
C.
左边，右边左边=右边，因此正确.
D.由C可得左边=，
左边=右边，因此正确.
故选：BCD
10．（2023秋·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）下列说法中，正确的有（ ）
A．过点且在，轴截距相等的直线方程为
B．直线在y轴的截距是
C．直线的倾斜角为120°
D．过点并且倾斜角为90°的直线方程为
【答案】BD
【分析】选项A中，设直线的截距式，然后带入点坐标，并考虑当在，轴截距相等时，存在截距为0的情况；选项B中，令，即可计算直线的截距；选项C中，计算直线的斜率，从而计算出倾斜角；选项D中，倾斜角为90°，故直线斜率不存在。
【详解】对于A，因为过点且在，轴截距相等的直线方程还包括直线，故A错误；
对于B，当时，，所以直线在y轴的截距是，故B正确；
对于C，直线的，所以倾斜角为，故C错误；
对于D，因为直线的倾斜角为90°，则斜率不存在，且直线过点，所以直线方程为，故D正确.
故选：BD
【点睛】对直线方程的不同形式进行考查，同时涉及到斜率、倾斜角和截距的定义。
11．（2023秋·四川成都·高二校考阶段练习）如图，在平行六面体中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是，下列说法中不正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与夹角是
D．向量与所成角的余弦值为
【答案】CD
【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结果.
【详解】在平行六面体中，其中以顶点为端点的三条棱长均为6 ，且彼此夹角都是，
.
对于A，
，， A正确；
对于B，
，
，即，B正确；
对于C，连接，由题意可知是等边三角形，则，
，且向量与的夹角是，
向量与夹角是，C错误；
对于D，，
，
，
，D错误.
故选：CD
12．（2023秋·四川乐山·高二校考阶段练习）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A．向量，，若，则
B．任意向量，，满足
C．若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面
D．已知向量，，若，则为锐角
【答案】ACD
【分析】根据共线向量的性质、共面向量定义、空间夹角的计算公式逐一判断即可.
【详解】A：对于选项A，由，因为与任意向量也垂直，则正确，故正确；
B：因为向量， 不一定是共线向量，因此不一定成立，所以不正确；
C：因为，，是空间的一组基底，
所以三点不共线，又因为，，
所以A，B，C，D四点共面，故正确；
D：，
当时，，
若向量，同向，则有，
所以有，而，所以向量，不可能同向，
因此为锐角，故正确，
故选：ACD
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022春·四川成都·高二四川师范大学附属中学校考期中）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长都为，且它们彼此的夹角都是，则的长为 .
【答案】
【分析】由两边同时平方后展开计算即可.
【详解】，
，
，
即的长为.
故答案为：.
14．（2022秋·四川绵阳·高二四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习）在中，，点是边上的一点，且，当的面积最大时，则 .
【答案】/0.5
【分析】建立平面直角坐标系，求出点 的轨迹为以 为圆心，半径为2的圆，数形结合，得到当 在 处时， 的面积最大，从而求出.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系.
则 .
令 .
由 ，即 .
所以 ，即点 的轨迹为以 为圆心，半径为2的圆.
所以当 在 处时， 的面积最大.
所以.
故答案为：
15．（2022春·四川成都·高二成都七中校考期中）如图，在正方体中，直线和平面所成角的正弦值是 ；
【答案】/
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线和平面所成角的正弦值.
【详解】设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，设平面的法向量为，
则，故可设.
设直线和平面所成角为，
则.
故选：
16．（2022秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期末）过点作圆圆的切线，则的方程是 .
【答案】
【分析】根据圆心到直线的距离等于半径即可列方程求解.
【详解】当直线无斜率时，方程为： ，显然与圆不相切，
故直线有斜率，设斜率为，则直线方程为：，
由是圆的切线，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得，
故直线方程为：
故答案为：
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，记，，，满足，，，.
(1)用，，表示；
(2)计算.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据空间向量对应线段的位置关系，用表示出；
（2）应用向量数量积的运算律得，结合已知即可求数量积.
【详解】（1）；
（2）
.
18．（2018秋·四川雅安·高二雅安中学校考期中）已知直线．
（1）求证：无论为何实数，直线恒过一定点；
（2）若直线过点，且与轴负半轴、轴负半轴围成三角形面积最小，求直线的方程．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）解方程组，可得定点的坐标；
（2）设直线的方程为，分析可得，求出该直线与两坐标轴的交点坐标，可得出三角形面积关于的关系式，结合基本不等式可求得的最小值，利用等号成立可求得的值，即可得出直线的方程.
【详解】（1）证明：将直线的方程化为，
解方程组，解得，故直线恒过定点；
（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为，
令，可得，令，可得，
由已知可得，解得，
所以，三角形面积为，
当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.
19．（2022秋·四川眉山·高二四川省眉山第一中学校考阶段练习）求下列圆的方程
(1)若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，求圆的标准方程；
(2)过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由对称性确定圆心为，由此可得圆的标准方程；
（2）由圆心在直线垂直平分线上，直线与直线垂直，可求得圆心的坐标，并利用两点间距离公式求得半径，由此可得圆的标准方程.
【详解】（1）点关于直线对称的点为，
圆是以为圆心，为半径的圆，圆的标准方程为.
（2）两点在圆上，圆的圆心在垂直平分线上；
，中点为，的垂直平分线方程为；
直线与圆相切于点，直线与直线垂直，
，直线方程为：，即；
由得：，圆心，半径，
圆的标准方程为.
20．（2022秋·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考阶段练习）如图，在直角中，PO⊥OA，PO=2OA，将绕边PO旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点C为的中点．
(1)求证：；
(2)设直线PC与平面PAB所成的角为，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）本题首先易证PO⊥平面AOB，可得PO⊥AB，再证AB⊥平面POC；
（2）根据线面夹角可知，利用空间向量计算处理．
【详解】（1）证明：由题意知：，
∴PO⊥平面AOB，
又∵平面AOB，所以PO⊥AB．
又点C为的中点，所以OC⊥AB，
，
所以AB⊥平面POC，
又∵平面POC，所以PC⊥AB．
（2）以O为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，
所以，，．
设平面PAB的法向量为，则取，则
可得平面PAB的一个法向量为，
所以．
21．（2022秋·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点M，N分别是边BC，CD的中点，，．沿MN将翻折到的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥P-ABMND．
(1)在翻折过程中是否总有平面平面PAG？证明你的结论；
(2)当四棱锥P-MNDB体积最大时，求直线PB和平面MNDB所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，在线段PA上是否存在一点Q，使得二面角的平面角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)总有平面平面PAG；证明见解析
(2)
(3)存在；Q为线段PA的中点．
【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面PAG.
（2）首项判断出平面MNDB时，四棱锥P-MNDB体积最大，作出直线PB和平面MNDB所成角，解三角形求得其正弦值.
（3）建立空间直角坐标系，设，根据二面角的余弦值求得，由此确定点的位置.
【详解】（1）在翻折过程中总有平面平面PAG，
证明如下：∵点M，N分别是边BC，CD的中点，∴，
又因为菱形ABCD中∠DAB＝60°，∴是等边三角形，
∵G是MN的中点，∴，
∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴，∴，
∵，平面PAG，平面PAG，
∴平面PAG，∴平面PAG，∵平面PBD，∴平面平面PAG．
（2）由题意知，四边形MNDB为等腰梯形，且DB＝4，MN＝2，，
所以等腰梯形MNDB的面积，
要使得四棱锥P-MNDB体积最大，只要点P到平面MNDB的距离最大即可，
∴当平面MNDB时，点P到平面MNDB的距离的最大值为，
此时四棱锥P-MNDB体积的最大值为，
连接BG，则直线PB和平面MNDB所成角的为∠PBG，
在中，，，由勾股定理得：．
∴．
（3）假设符合题意的点Q存在．
以G为坐标原点，GA，GM，GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
因为平面PMN，故平面PMN的一个法向量为，
设，∵，，
故，∴，，
平面QMN的一个法向量为，则，，
即，令，所以，
即，
则平面QMN的一个法向量，设二面角的平面角为，
所以，解得：，
故符合题意的点Q存在，且Q为线段PA的中点．
22．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，．
(1)证明：平面PAC；
(2)，是否存在常数，满足，且直线AM与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在满足条件，M满足.
【分析】（1）连接BD交AC于O，连接PO，由，证平面PAO；
（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出及平面PBC的法向量，由向量法建立线面角正弦值的方程，从解的情况即可判断.
【详解】（1）
证明：连接BD交AC于O，连接PO.
因为底面ABCD是边长为2的菱形，所以，
因为O是BD中点，，所以.
因为，平面PAC，所以平面PAC，
（2）如图，取线段BC的中点H，连接AH，
因为底面ABCD是边长为2的菱形，，所以.
因为平面PAC，平面PAC，所以.
因为，，平面ABCD，所以平面ABCD.
因为平面ABCD，所以，
以A为坐标原点，分别以AH，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系，
则，，，.
，.
设，由得，
解得，进而.
设平面PBC的法向量为.
由，得，取.
设直线AM与平面PBC所成的角为，则
，
化简得，，解得，
所以存在满足条件，M满足.
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（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）在下列条件中，使与 ，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021秋·四川绵阳·高二四川省绵阳第一中学校考期中）已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为（ ）
A．－4 B．20
C．0 D．24
3．（2022春·四川成都·高二四川师范大学实验外国语学校阶段练习）如图，平行六面体中，与交于点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022秋·四川成都·高二成都外国语学校校考期中）已知直线：与直线：垂直，则实数的值为（ ）
A． B．
C．或 D．不存在
5．（2022春·四川成都·高二成都外国语学校校考阶段练习）已知空间向量，，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
6．（2022秋·四川成都·高二成都外国语学校校考期中）过点引直线，使到它的距离相等，则此直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．（2022秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）在正方体ABCD A1B1C1D1中，若F，G分别是棱AB，CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于( )
A． B．
C． D．
8．（2021秋·四川绵阳·高二四川省绵阳第一中学校考期中）过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023秋·四川雅安·高二校考阶段练习）已知向量，下列等式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023秋·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）下列说法中，正确的有（ ）
A．过点且在，轴截距相等的直线方程为
B．直线在y轴的截距是
C．直线的倾斜角为120°
D．过点并且倾斜角为90°的直线方程为
11．（2023秋·四川成都·高二校考阶段练习）如图，在平行六面体中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是，下列说法中不正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与夹角是
D．向量与所成角的余弦值为
12．（2023秋·四川乐山·高二校考阶段练习）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A．向量，，若，则
B．任意向量，，满足
C．若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面
D．已知向量，，若，则为锐角
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022春·四川成都·高二四川师范大学附属中学校考期中）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长都为，且它们彼此的夹角都是，则的长为 .
14．（2022秋·四川绵阳·高二四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习）在中，，点是边上的一点，且，当的面积最大时，则 .
15．（2022春·四川成都·高二成都七中校考期中）如图，在正方体中，直线和平面所成角的正弦值是 ；
16．（2022秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期末）过点作圆圆的切线，则的方程是 .
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，记，，，满足，，，.
(1)用，，表示；
(2)计算.
18．（2018秋·四川雅安·高二雅安中学校考期中）已知直线．
（1）求证：无论为何实数，直线恒过一定点；
（2）若直线过点，且与轴负半轴、轴负半轴围成三角形面积最小，求直线的方程．
19．（2022秋·四川眉山·高二四川省眉山第一中学校考阶段练习）求下列圆的方程
(1)若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，求圆的标准方程；
(2)过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程．
20．（2022秋·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考阶段练习）如图，在直角中，PO⊥OA，PO=2OA，将绕边PO旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点C为的中点．
(1)求证：；
(2)设直线PC与平面PAB所成的角为，求．
21．（2022秋·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点M，N分别是边BC，CD的中点，，．沿MN将翻折到的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥P-ABMND．
(1)在翻折过程中是否总有平面平面PAG？证明你的结论；
(2)当四棱锥P-MNDB体积最大时，求直线PB和平面MNDB所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，在线段PA上是否存在一点Q，使得二面角的平面角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．
22．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，．
(1)证明：平面PAC；
(2)，是否存在常数，满足，且直线AM与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．
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