中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（云南1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2021秋·云南大理·高二校考阶段练习）已知向量，若共面，则等于（ ）
A． B．1 C．1或 D．1或0
2．（2023春·云南大理·高二大理白族自治州民族中学校考阶段练习）已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·云南曲靖·高二校考开学考试）如图，平行六面体中，与的交点为，设，，，则选项中与向量相等的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023秋·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）已知直线：经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021秋·云南红河·高二弥勒市一中校考阶段练习）已知向量，且，则x的值为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．1
6．（2021秋·云南大理·高二云南省下关第一中学校考阶段练习）设直线，为直线上动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）如图，已知是侧棱长和底面边长均等于的直三棱柱，是侧棱的中点.则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B．4 C． D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023春·云南红河·高一开远市第一中学校校考阶段练习）若点D，E，F分别为的边BC，CA，AB的中点，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022秋·云南昆明·高二昆明一中校考期中）若直线与直线垂直，则a=（ ）
A．0 B． C．2 D．1
11．（2022春·云南昆明·高二昆明市第三中学校考开学考试）已知向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．不存在实数，使得
D．若，则
12．（2022秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知． 则下列说法中， 正确的有（ ）
A．若在内， 则
B．当时， 与共有两条公切线
C．若与存在公共弦， 则公共弦所在直线过定点
D．， 使得与公共弦的斜率为
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2021·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）,为空间直角坐标系中的两个点，，若，则 ．
14．（2021秋·云南红河·高二云南省泸西县第一中学校考期中）已知两点，若直线与线段恒有交点，则k的取值范围是 ．
15．（2022秋·云南昆明·高二昆明市第三中学校考阶段练习）已知空间向量则向量在向量上的投影向量的坐标是 .
16．（2020秋·云南保山·高一校考阶段练习）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为 .
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2021秋·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中学校考期中）已知△的三个顶点是，求：
(1)边AB上的中线所在直线的一般式方程；
(2)边AC上的高所在直线的一般式方程．
18．（2021秋·云南曲靖·高二校考阶段练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足.
(1)判断三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内.
19．（2023春·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）已知抛物线C：x2= 2py经过点（2， 1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y= 1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
20．（2022·云南昆明·高三昆明一中校考开学考试）如图，三棱柱中，平面平面，过的平面交线段于点（不与端点重合），交线段于点.
(1)证明：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
21．（2022秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）如图， 在三棱锥中， 二面角是直二面角， ， 且， 为上一点， 且平面．分别为棱上的动点， 且．
(1)证明： ；
(2)若平面与平面所成角的余弦值为， 求的值．
22．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，CD平面PAD，为等边三角形，，，E，F分别为棱PD，PB的中点.
(1)求证AE平面PCD；
(2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；
(3)在棱PC上是否存在点G，使得DG平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（云南1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2021秋·云南大理·高二校考阶段练习）已知向量，若共面，则等于（ ）
A． B．1 C．1或 D．1或0
【答案】C
【分析】根据向量共面的条件求解．
【详解】因为共面，所以存在不全为0的实数，使得，
即，解得．
故选：C．
2．（2023春·云南大理·高二大理白族自治州民族中学校考阶段练习）已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意得出直线的斜率，由直线与垂直可得进而求得的斜率，就可得到的倾斜角.
【详解】∵直线，直线与垂直，
，解得，
的倾斜角为.
故选：B.
3．（2022春·云南曲靖·高二校考开学考试）如图，平行六面体中，与的交点为，设，，，则选项中与向量相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】解：平行六面体中，与的交点为，设，，，
所以，
则，
所以．
故选：A．
4．（2023秋·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）已知直线：经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直线方程变为，可得定点.根据的方向向量，可得斜率为，代入点斜式方程，化简为一般式即可.
【详解】可变形为，
解得，即点坐标为.
因为，所以直线的斜率为，又过点，
代入点斜式方程可得，整理可得.
故选：A.
5．（2021秋·云南红河·高二弥勒市一中校考阶段练习）已知向量，且，则x的值为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．1
【答案】A
【分析】根据可知，代入坐标公式即可求解．
【详解】因为，所以，
因为向量，，
所以，解得，所以x的值为4，
故选：A．
6．（2021秋·云南大理·高二云南省下关第一中学校考阶段练习）设直线，为直线上动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用的几何意义，通过数形结合即可得解.
【详解】表示点到点距离的平方，
该距离的最小值为点到直线的距离，即，
则的最小值为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查点到线的距离公式，利用两点之间距离的几何意义，通过数形结合是解题的关键，属于基础题.
7．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）如图，已知是侧棱长和底面边长均等于的直三棱柱，是侧棱的中点.则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取的中点，连接，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.
【详解】取的中点，连接，
因为为等边三角形，为的中点，则，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
，所以，点到平面的距离为.
故选：A.
8．（2023春·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】由已知，根据题中给出的圆的方程，写出圆心坐标与半径，然后求解圆心到直线的距离，最后利用垂径定理可直接求解弦长.
【详解】由已知，圆，圆心坐标为，半径为，
所以点到直线的距离为，
所以，直线被圆截得的弦长为.
故选：A.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023春·云南红河·高一开远市第一中学校校考阶段练习）若点D，E，F分别为的边BC，CA，AB的中点，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据已知条件，运用向量的线性运算公式，即可求解．
【详解】，，
，故选项A正确；
，故选项B正确；
，，故选项C正确；
，故选项D错误．
故选：．
10．（2022秋·云南昆明·高二昆明一中校考期中）若直线与直线垂直，则a=（ ）
A．0 B． C．2 D．1
【答案】AB
【分析】根据直线垂直列出方程，化简求得的值.
【详解】由于直线与直线垂直，
所以，
解得或.
故选：AB.
11．（2022春·云南昆明·高二昆明市第三中学校考开学考试）已知向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．不存在实数，使得
D．若，则
【答案】AC
【分析】根据向量的模的计算公式，可判定A选项正确；根据向量垂直的条件，列出方程，可判定B选项错误；根据共线向量的条件，列出方程组，可判定C选项正确；根据向量的数量积的运算公式，列出方程，可判定D选项错误.
【详解】对于A中，由，可得，解得，故A选项正确；
对于B中，由，可得，解得，故B选项错误；
对于C中，若存在实数，使得，则，显然无解，即不存在实数，使得，故C选项正确；
对于D中，若，则，解得，于是，故D选项错误.
故选：AC.
【点睛】本题主要考查了空间向量的垂直与共线的表示及应用，以及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空间向量的垂直与共线的条件，以及数量积的运算公式，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
12．（2022秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知． 则下列说法中， 正确的有（ ）
A．若在内， 则
B．当时， 与共有两条公切线
C．若与存在公共弦， 则公共弦所在直线过定点
D．， 使得与公共弦的斜率为
【答案】BC
【分析】根据点与圆的位置关系判断方法判断A，通过判断圆与圆的位置关系确定与的公切线的条数，通过将两圆方程相减确定两圆的公共弦的方程，判断C，D.
【详解】因为，
所以：，：，
则，，，，则，
由在内，可得，即，A错误；
当时，，，，，所以，所以两圆相交，共两条公切线，B正确；
，得，即，令解得所以定点为，C正确；
公共弦所在直线的斜率为，令，无解，所以D错误，
故选：BC．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2021·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）,为空间直角坐标系中的两个点，，若，则 ．
【答案】0
【分析】由向量的平行公式，则，可以求出，即可得到的值.
【详解】由A.B的点坐标可得，因为，则，所以．
故答案为：0.
14．（2021秋·云南红河·高二云南省泸西县第一中学校考期中）已知两点，若直线与线段恒有交点，则k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】把、两点分别代入直线中，求出斜率和，结合题意求出的取值范围．
【详解】把，，两点分别代入直线中，
计算，，
由图可知，直线与线段恒有交点时，，
∴的取值范围是，．
故答案为：．
15．（2022秋·云南昆明·高二昆明市第三中学校考阶段练习）已知空间向量则向量在向量上的投影向量的坐标是 .
【答案】
【分析】按照投影向量的定义，代入计算即可得到结果.
【详解】因为，
依题意向量在向量上的投影向量的坐标是
.
故答案为:
16．（2020秋·云南保山·高一校考阶段练习）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为 .
【答案】
【分析】先求出直线MN的斜率，再写出直线的点斜式方程得解.
【详解】∵为圆的弦的中点，
∴圆心与点确定的直线斜率为，
∴弦所在直线的斜率为2，
则弦所在直线的方程为，即.
故答案为：
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线的方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2021秋·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中学校考期中）已知△的三个顶点是，求：
(1)边AB上的中线所在直线的一般式方程；
(2)边AC上的高所在直线的一般式方程．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求中点坐标，由两点式求斜率，最后由点斜式写出直线方程即可.
（2）由两点式求斜率，再应用点斜式写出直线方程.
(1)
边的中点，又直线过点，
∴ 所求直线的斜率，
∴所求方程为：，即.
(2)
∵直线的斜率为，
∴上的高所在的直线的斜率为，又直线过点，
∴所求直线的方程为，即.
18．（2021秋·云南曲靖·高二校考阶段练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足.
(1)判断三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内.
【答案】(1)，，共面
(2)点M在平面ABC内
【分析】（1）根据空间向量的线性运算，结合平面向量基本定理证明即可；
（2）根据（1）结合平面向量的基本定理判断即可.
【详解】（1）由题知，
∴，
即，
∴共面.
（2）由（1）知，共面且基线过同一点M，
∴M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.
19．（2023春·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）已知抛物线C：x2= 2py经过点（2， 1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y= 1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
【答案】(Ⅰ) ，；
(Ⅱ)见解析.
【分析】(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；
(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x=0即可证得题中的结论.
【详解】(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，
故抛物线方程为：，其准线方程为：.
(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，
设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.
故：.
设，则，
直线的方程为，与联立可得：，同理可得，
易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，
且：，，
则圆的方程为：，
令整理可得：，解得：，
即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20．（2022·云南昆明·高三昆明一中校考开学考试）如图，三棱柱中，平面平面，过的平面交线段于点（不与端点重合），交线段于点.
(1)证明：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由棱柱的性质有，根据线面平行的判定可得面，再由线面平行的性质证结论.
（2）构建空间直角坐标系，求的方向向量和面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值.
（1）
在三棱柱中，面，面，
所以面，又过的平面面，
所以.
（2）
面面面面 面，
所以面面则，
过作面，则可构建为原点，为轴的空间直角坐标系，
又，且，
所以，，，，
则，，，
若为面的法向量，则，令，
即，
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
21．（2022秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）如图， 在三棱锥中， 二面角是直二面角， ， 且， 为上一点， 且平面．分别为棱上的动点， 且．
(1)证明： ；
(2)若平面与平面所成角的余弦值为， 求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由线面垂直的性质得到，从而得到平面，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
（1）
证明：平面平面，平面平面，，且平面，
平面，
又平面，
，
又平面，平面，
，
且，平面，
平面，
又平面，
．
（2）
解：如图，
以点为原点，分别以，，过点且与平面垂直的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设，则，
，，，，
则，，，
由，可得，
，
，，
因为平面与平面所成角的余弦值为，所以，
设为平面的法向量，则，
即，令，则，，
所以，
取平面的法向量，
则，
令，则，化简得，即（负值舍去），
所以．
22．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，CD平面PAD，为等边三角形，，，E，F分别为棱PD，PB的中点.
(1)求证AE平面PCD；
(2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；
(3)在棱PC上是否存在点G，使得DG平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，.
【分析】（1）根据平面得到，根据为等边三角形，得到，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角即可；
（3）设，得到，然后利用空间向量和∥平面列方程，解得即可.
【详解】（1）∵平面，平面，
∴，
∵为等边三角形，为中点，
∴，
∵，平面，平面，
∴平面.
（2）
取中点，连接，，
∵平面，平面，平面，
∴平面平面，，
∵为中点，为等边三角形，
∴，，
∵平面平面，平面，
∴平面，
∵，，
∴四边形为平行四边形，，
如图，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
，，，，,
∵平面，
∴可以作为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，则
，令，则，，，
所以，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
（3），，，，
设，则，
∵∥平面，
∴，解得，
所以在棱上存在点使∥平面，此时.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
