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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（浙江1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2021秋·浙江绍兴·高二诸暨中学校考期中）已知，，，若四点共面，则实数 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·浙江杭州·高二学军中学校考期中）已知直线与直线，若直线与直线的夹角是60°，则k的值为（ ）
A．或0 B．或0
C． D．
3．（2020秋·浙江绍兴·高二诸暨中学校考期中）在三棱锥中，是的中点，则直（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023春·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）已知直线与平行，则系数（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）设、，向量，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021秋·浙江绍兴·高二诸暨中学校考阶段练习）已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023春·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·浙江杭州·高二学军中学校考期中）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023春·浙江·高二浙江省开化中学校联考期中）空间直角坐标系中，已知，，，，则（ ）
A．
B．是等腰直角三角形
C．与平行的单位向量的坐标为或
D．在方向上的投影向量的坐标为
10．（2022秋·浙江嘉兴·高二桐乡市茅盾中学校考阶段练习）已知直线，则（ ）
A．直线过定点
B．当时，
C．当时，
D．当时，两直线之间的距离为1
11．（2022春·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期中）如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．的最小值为
C．平面
D．异面直线与，所成角的取值范围是
12．（2022秋·浙江杭州·高二学军中学校考期中）已知圆过点，且与圆相切于原点，直线则下列结论中，正确的有（ ）
A．圆的方程为 B．直线过定点
C．直线被圆所截得的弦长的最小值为 D．直线被圆截得的弦长有最大值时，则
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·浙江杭州外国语·高二期末）如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为 ．
14．（2021温州中学·高二单元测试）若直线的倾斜角的变化范围为，则直线斜率的取值范围是 .
15．（2020秋·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）空间向量，，，，，，且，，若点P满足，且，，，，则动点P的轨迹所形成的空间区域的体积为 .
16．（2021秋·浙江杭州·高二学军中学校考期中）经过点，且在x轴上的截距等于y轴上截距的2倍的直线方程为 .
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2023秋·浙江杭州·高二杭师大附中校考期末）如图，平行六面体中，，，
(1)求对角线的长度；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
18．（2021秋·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考期末）已知直线经过两条直线:和:的交点，直线:；
(1)若，求的直线方程；
(2)若，求的直线方程．
19．（2022秋·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）（1）圆C的圆心在x轴上，且经过两点，求圆C的方程；
（2）圆C经过三点，求圆C的方程．
20．（2022春·浙江宁波·高二镇海中学校考期末）如图，在六面体中，是等边三角形，二面角的平面角为30°，.
(1)证明：；
(2)若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面所成角的正切的最大值.
21．（2022春·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）如图，在直三棱柱中，侧棱，，且M，N分别为BB1，AC的中点，连接MN．
(1)证明：平面；
(2)若BA=BC=2，求二面角的平面角的大小．
22．（2021秋·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考期中）如图，在三棱柱中，面，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由.
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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（浙江1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2021秋·浙江绍兴·高二诸暨中学校考期中）已知，，，若四点共面，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】若四点共面，则存在实数使得成立，代入坐标求解即可．
【详解】若四点共面，则存在实数使得成立，
则解得
故选：D．
2．（2022秋·浙江杭州·高二学军中学校考期中）已知直线与直线，若直线与直线的夹角是60°，则k的值为（ ）
A．或0 B．或0
C． D．
【答案】A
【分析】先求出的倾斜角为120°，再求出直线的倾斜角为0°或60°，直接求斜率k.
【详解】直线的斜率为，所以倾斜角为120°.
要使直线与直线的夹角是60°，
只需直线的倾斜角为0°或60°，
所以k的值为0或.
故选：A
3．（2020秋·浙江绍兴·高二诸暨中学校考期中）在三棱锥中，是的中点，则直（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据向量的线性运算可表示得到结果.
【详解】
故选：
【点睛】本题考查利用基底表示向量的问题，关键是能够熟练掌握向量的线性运算的知识.
4．（2023春·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）已知直线与平行，则系数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由直线的平行关系可得，解之可得．
【详解】解：直线与直线平行，
，解得．
故选：．
5．（2023春·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）设、，向量，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.
【详解】因为，则，解得，则，
因为，则，解得，即，
所以，，因此，.
故选：D.
6．（2021秋·浙江绍兴·高二诸暨中学校考阶段练习）已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据直线的方程先确定出直线所过的定点，然后判断出点到直线的距离的最大值为，结合点的坐标求解出结果.
【详解】将变形得，
所以是经过两直线和的交点的直线系.
设两直线的交点为，由得交点，
所以直线恒过定点，
于是点到直线的距离，
即点到直线的距离的最大值为.
故选：B.
7．（2023春·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在点O建立空间直角坐标系．观察图像可知，借助向量坐标法求解即可.
【详解】以过点O且垂直于平面的直线为x轴，直线分别为y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设，
则根据题意可得，
所以，
设异面直线与所成角为，
则．
故选：A.
8．（2022秋·浙江杭州·高二学军中学校考期中）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化圆的方程为标准方差，求出圆心M的坐标与半径，最长的弦即为圆的直径，最短的弦和垂直，且经过点O，由垂径定理求得，从而可求四边形的面积.
【详解】化圆为，
可得圆心坐标为,半径为3.
由圆的性质可得，最长的弦即圆的直径，故.
因为，所以.
弦最短时，弦与垂直，且经过点O,此时.
故四边形的面积为.
故选:B.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023春·浙江·高二浙江省开化中学校联考期中）空间直角坐标系中，已知，，，，则（ ）
A．
B．是等腰直角三角形
C．与平行的单位向量的坐标为或
D．在方向上的投影向量的坐标为
【答案】AC
【分析】本题考查空间向量的坐标运算，利用向量的加减法得出坐标，再利用向量的模长公式，可判断A选项；计算出三角形三条边长，可判断B选项；与已知向量平行的单位向量计算公式：可判断C选项；根据在方向上的投影向量与向量共线的性质，可判断D选项.
【详解】根据空间向量的线性运算，
，选项A正确；
计算可得，三条边不相等，选项B不正确；
与平行的单位向量为：
选项C正确；
在方向上的投影向量与向量共线，，选项D不正确，
故选：AC.
10．（2022秋·浙江嘉兴·高二桐乡市茅盾中学校考阶段练习）已知直线，则（ ）
A．直线过定点
B．当时，
C．当时，
D．当时，两直线之间的距离为1
【答案】ACD
【分析】根据直线过定点的求法，可判断A,根据直线的一般式在垂直平行满足的条件可判断BC,根据两平行线间距离公式即可求解D.
【详解】对A;变形为
令，则，因此直线过定点，A正确；
对于B;当时，，故两直线不垂直，故B错误；
对于C;当时，，故两直线平行，C正确；
对于D;当时,则满足，此时则两直线距离为，故D正确；
故选：ACD
11．（2022春·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期中）如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．的最小值为
C．平面
D．异面直线与，所成角的取值范围是
【答案】ABC
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量计算可得；
【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，所以，所以，故A正确；
因为是线段上一动点，所以，所以，所以，当且仅当时，故B正确；
设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，因为，即，因为平面，所以平面，故C正确；
设直线与所成的角为，因为，当在线段的端点处时，，在线段的中点时，，所以，故D错误；
故选：ABC
12．（2022秋·浙江杭州·高二学军中学校考期中）已知圆过点，且与圆相切于原点，直线则下列结论中，正确的有（ ）
A．圆的方程为 B．直线过定点
C．直线被圆所截得的弦长的最小值为 D．直线被圆截得的弦长有最大值时，则
【答案】AC
【分析】设，根据题意列方程组解得可判断A，根据直线方程可求出直线所经过的定点判断B，再根据圆心到直线的距离的最大值可得直线被圆所截得的弦长的最小值可判断C，根据直线被圆截得的弦长最大时，直线过圆心可判断D.
【详解】设，圆的圆心，半径为，
则，解得，
所以圆的方程为，故A正确；
因为，即，
由得，所以直线过定点，故B错误；
设圆心到直线的距离为，
则，当且仅当时，等号成立，
所以弦长，
所以直线被圆截得的弦长的最小值为，故C正确；
直线被圆截得的弦长最大时，则直线过圆心，
所以，即，故D错误.
故选：AC.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·浙江杭州外国语·高二期末）如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为 ．
【答案】/-0.125
【分析】根据给定条件，证明平面PAB，将用表示出，再结合空间向量数量积的运算律求解作答.
【详解】连接，如图，
因平面ABC，平面ABC，则，而，，平面PAB，
则平面PAB，又平面PAB，即有，
因M是AC的中点，则，又，
，当且仅当取“=”，
所以的最小值为.
故答案为：
14．（2021温州中学·高二单元测试）若直线的倾斜角的变化范围为，则直线斜率的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据正切函数的单调性求解.
【详解】因为正切函数在上单调递增，
所以，当时，，
所以斜率
【点睛】本题考查直线的斜率和正切函数的单调性，属于基础题.
15．（2020秋·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）空间向量，，，，，，且，，若点P满足，且，，，，则动点P的轨迹所形成的空间区域的体积为 .
【答案】
【分析】先分析若，，，时，点在图中的点，
由，，，可得，，，可以得出点在三棱锥内，计算三棱锥的体积即可求解.
【详解】因为，，，，
当，，时，点在图中的点，
因为，当，时，
同理，，
，，，
由知点在内，
而，，，，
所以点在三棱锥内，
且，，，
过作平面的垂线，垂足为，
由三余弦定理可得：，即，
所以，所以，
，
所以三棱锥的体积为，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由可得是以为邻边所成的平行六面体的体对角线，关键点是分析出，，，得出点在三棱锥内.
16．（2021秋·浙江杭州·高二学军中学校考期中）经过点，且在x轴上的截距等于y轴上截距的2倍的直线方程为 .
【答案】或.
【分析】利用直线方程的截距式，分截距为0和截距不为0两种情况讨论，从而求出答案.
【详解】若直线在x轴上的截距为0，设直线方程为，
因为直线经过点，所以，即，所以直线方程为，即；
若直线在x轴上的截距不为0，设直线方程为，
因为直线经过点，所以，解得，所以直线方程为.
所以所求直线方程方程为或.
故答案为：或.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2023秋·浙江杭州·高二杭师大附中校考期末）如图，平行六面体中，，，
(1)求对角线的长度；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1) 以向量为基底，则有，两边平方即可得，即可得的值，即可得答案；
(2)由向量的四则运算及数量积可得,从而可得的值，即可得答案.
【详解】（1）因为，，
所以三角形为等腰直角三角形，所以，
又因为，，
所以三角形为边长为1的等边三角形，
以向量为基底，
则有，
两边平方得
，
所以，
即,
所以对角线的长度为3；
（2）因为，，，，
所以
,
所以,
即异面直线与所成角的余弦值为.
18．（2021秋·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考期末）已知直线经过两条直线:和:的交点，直线:；
(1)若，求的直线方程；
(2)若，求的直线方程．
【答案】(1) ； (2)
【分析】(1)先求出与的交点，再利用两直线平行斜率相等求直线l
(2)利用两直线垂直斜率乘积等于-1求直线l
【详解】（1）由，得，
∴与的交点为.
设与直线平行的直线为，
则，∴.
∴所求直线方程为.
（2）设与直线垂直的直线为，
则，解得．
∴所求直线方程为.
【点睛】两直线平行斜率相等，两直线垂直斜率乘积等于-1．
19．（2022秋·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）（1）圆C的圆心在x轴上，且经过两点，求圆C的方程；
（2）圆C经过三点，求圆C的方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出的中垂线方程，再求出其与x轴的交点，从而可得圆心坐标，然后可求出圆的半径，进而可求出圆的方程；
（2）设圆的方程为，然后将三个点的坐标代入可求出的值，从而可求出圆的方程.
【详解】（1）的中点为，
因为，
所以线段的中垂线的斜率为，
所以线段的中垂线的方程为，
当时，，则圆心为，
所以圆的半径为，
所以所求圆的方程为；
（2）设圆的方程为，则
，解得，
所以圆的方程为.
20．（2022春·浙江宁波·高二镇海中学校考期末）如图，在六面体中，是等边三角形，二面角的平面角为30°，.
(1)证明：；
(2)若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面所成角的正切的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质定理即可证得；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得线面，满足，利用换元法结合二次函数的最值即可求解.
【详解】（1）证明：取中点，连接，
因为，所以，且，
所以平面，
又平面，所以.
（2）连接，则，由，可得，
于是，所以，
又，所以平面，
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
由，可得，
平面的法向量为，
设，则，
设与平面所成角为，
则，
令，则，
令，由对称轴知，当，即时，，
，于是
直线与平面所成角的正切的最大值为2.
21．（2022春·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）如图，在直三棱柱中，侧棱，，且M，N分别为BB1，AC的中点，连接MN．
(1)证明：平面；
(2)若BA=BC=2，求二面角的平面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点P可得四边形B1MNP是平行四边形，再由线面平行的判断定理可得平面；
（2）做，交于，以点B为原点，为轴，BC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面AB1C1、平面的法向量由二面角的向量求法可得答案.
【详解】（1）如图，取的中点P，连接，
N为AC的中点，，且．
又，，
四边形B1MNP是平行四边形，．
又平面，MN平面，平面．
（2）如图，做，交于，以点B为原点，为轴，BC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
直三棱柱的底面△ABC的边长BA=BC=2，侧棱，
，
．设平面AB1C1的法向量为．
因为，，所以令x=1，则，．
平面的一个法向量为，，
由图知二面角的平面角为锐角，二面角的平面角的大小为．
22．（2021秋·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考期中）如图，在三棱柱中，面，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，，理由见解析.
【分析】（1）连接交于点，连接，进而根据中位线定理得，再根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）根据题意两两垂直，故以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
(1)
解：如图，连接交于点，连接，
因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，
所以是的中点，
因为为的中点，
所以在中，，
因为平面，平面，
所以平面
(2)
解：因为在三棱柱中，面，，
所以两两垂直，故以点为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，
因为，
所以，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，
假设棱上存在一点，使得平面平面，
则，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，
所以，解得，此时，
所以棱上存在一点，使得平面平面，此时
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