中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（云南2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2021秋·云南·高二云南师大附中校考期中）已知能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由不共面的向量可作为基底即可得出选项.
【详解】由图形结合分析
三个向量共面，不构成基底，
故选：C
2．（2022秋·云南昆明·高二昆明一中校考期末）已知直线与垂直，则为（ ）
A．2 B． C．-2 D．
【答案】A
【分析】利用一般式中垂直的系数关系列式计算即可.
【详解】由已知得，解得
故选：A.
3．（2022秋·云南昆明·高二昆明市第三中学校考阶段练习）如图所示,在四面体中,,,,点在上,且,为的中点,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】连接,再根据空间向量加法和减法的三角形法则即可得出．
【详解】解:由题知,连接,画图如下:
是的中点,
,
,
,
.
故选:B
4．（2022秋·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中学校考期末）直线经过第一、二、四象限，则a、b、c应满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据直线经过第一、二、四象限判断出即可得到结论.
【详解】由题意可知直线的斜率存在，方程可变形为，
∵直线经过第一、二、四象限，
∴，
∴且．
故选：A.
5．（2022秋·云南昆明·高二昆明市第三中学校考阶段练习）已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由向量垂直关系的坐标表示可构造方程求得结果.
【详解】由已知得：，又，
，解得：.
故选：B.
6．（2021秋·云南昆明·高二昆明一中校考期中）已知点到直线的距离为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案.
【详解】解：由题意得．
解得或．，．
故选：C.
7．（2022秋·云南昆明·高二昆明市第三中学校考阶段练习）已知向量，，，若共面，则实数的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据向量共面可设，结合坐标求解出的值，则的值即可求解.
【详解】因为共面，则设，所以，解得，
所以，
故选：D.
8．（2021秋·云南·高二云南师大附中校考期中）AB为⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25的一条弦，，若点P为⊙C上一动点，则的取值范围是（ ）
A．[0，100] B．[－12，48] C．[－9，64] D．[－8，72]
【答案】D
【分析】取AB中点为Q,利用数量积的运算性质可得，再利用圆的性质可得取值范围，即求.
【详解】取AB中点为Q，连接PQ
，
，
又，
，
∵点P为⊙C上一动点，
∴
的取值范围[－8，72].
故选：D.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·云南大理·高二鹤庆县第三中学校考阶段练习）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（ ）
A． B．
C．的长为 D．
【答案】BD
【分析】AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出，从而求出；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算.
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A选项，，A错误，
对于B选项，，B正确：
对于C选项，，则，
则，C错误：
对于，则，D正确.
故选：BD.
10．（2023春·云南·高二校联考阶段练习）已知点，且点在直线上，则（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得
C．的最小值为
D．的最大值为
【答案】BCD
【分析】根据圆的几何性质，结合两点间距离公式、点关于线对称的性质逐一判断即可.
【详解】对于，由的中点坐标为，所以以为直径的圆的方程为，而该圆心到直线的距离，故错误；
对于，设，则满足的动点的方程为，化简得，则圆心到直线的距离，故正确；
对于，因为关于的对称点为，
所以有，解得，即，
所以，故正确；对于（当且仅当三点共线时，等号成立），故正确.
故选：BCD
11．（2023春·云南曲靖·高二会泽县实验高级中学校校考阶段练习）已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面.下列说法中正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
【答案】ACD
【分析】对于A，利用线面平行的性质定理判断，对于B，利用线面平行的判定定理判断，对于C，利用线面垂直的判定定理判断即可，对于D，利用面面平行的判定方法判断.
【详解】由线面平行的性质定理可知，A正确；
若，则或，即B错误；
设的法向量分别为，若，则，又，则， ，所以，即C正确；
若，则，又，则，即D正确.
故选：ACD
12．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）过点的直线与圆交于A，B两点，线段MN是圆C的一条动弦，且，则（ ）
A．的最小值为 B．△ABC面积的最大值为8
C．△ABC面积的最大值为 D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】设圆心到直线AB的距离为，求出，即可判断A；再由，求出面积的最大值即可判断B，C；取MN的中点，求的最小值转化为求的最小值即可判断D．
【详解】∵即，∴圆心，半径
在圆C内，，
设圆心到直线AB的距离为，由题意得，
∵，∴，故A正确；
∵，∴当时，，故B错误，C正确．
取MN的中点，则，又，则，
∴点的轨迹是以为圆心，半径为3的圆．
因为，且，
所以的最小值为，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022·云南昆明·高三昆明一中校考开学考试）已知圆和圆交于两点，则直线的方程是 .
【答案】
【分析】由两圆相交弦方程为两圆方程相减得到，将已知圆的方程相减即可得结果.
【详解】由两圆相交，则交线的方程由两圆方程相减得到，
所以直线的方程是.
故答案为：
14．（2021·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心 重心 垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中各顶点的坐标分别为，，，则其“欧拉线”的方程为 .
【答案】
【分析】由题意知是直角三角形，即可写出垂心、外心的坐标，进而可得“欧拉线”的方程.
【详解】由题设知：是直角三角形，则垂心为直角顶点，外心为斜边的中点，
∴“欧拉线”的方程为.
故答案为：.
15．（2023秋·云南昆明·高二昆明一中校考期末）在直三棱柱中，，则直线与所成角的余弦值为 .
【答案】/
【分析】建立空间直角坐标系，求直线的方向向量，利用向量夹角公式求两向量夹角，结合异面直线夹角定义可得两直线的余弦值.
【详解】因为三棱柱为直三棱柱，且，
所以以点为坐标原点，分别以为 轴建立空间直角坐标系,
设，则
，
所以，
所以 ，
因为异面直线所成的角在，
所以异面直线与所成的角余弦值为，
故答案为：.
16．（2021·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知半径为1的圆关于直线对称，写出圆的一个标准方程 ．
【答案】（答案不唯一，只要圆心在直线上，半径为1，均可）
【分析】根据题意，可知圆心在直线上，半径为1，取满足题意的圆心坐标，即可得出圆的一个标准方程.
【详解】解：由题可知，圆关于直线对称，半径为1，
则圆心在直线上，则当时，，
所以当圆心为，圆的标准方程为.
故答案为：.（答案不唯一，只要圆心在直线上，半径为1，均可）
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2021·云南昆明·校联考二模）如图，四棱柱的侧棱底面，四边形为菱形，，分别为，的中点．
（1）证明：，，，四点共面；
（2）若，，求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连结交于点，根据题意，为原点建立空间直角坐标系，进而证明向量即可得答案；
（2）由（1），利用坐标法求得平面的法向量，利用空间向量点到面的距离公式计算求解即可.
【详解】解：（1）证明：连结交于点，因为为菱形，故，
又因为侧棱底面，所以为原点建立空间直角坐标系，如图所示，
设，，，
则，，，，
所以，
所以，故，所以，，，四点共面；
（2）因为，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
又，，
则有，即，令，故，
又，
所以点到平面的距离为．
【点睛】本题考查空间向量证明四点共面，求点到面的距离，考查运算求解能力，空间想象能力，是中档题.本题解题的关键在于根据已知，以与的交点为原点建立空间直角坐标系，利用坐标法求解.
18．（2022秋·云南昆明·高二昆明一中校考期中）已知三角形的三个顶点，求：
(1)AC边所在直线的方程
(2)BC边上中线所在直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直线方程的截距式方程列式，化简即得AC边所在直线的方程；
（2）由线段的中点坐标公式，算出BC中点D的坐标，从而得到直线AD的斜率k，再由直线方程的点斜式列式，化简即得BC边上中线所在直线的方程．
【详解】（1），
∴直线AC的截距式方程为，化简得
即AC边所在直线的方程为：；
（2）
∴BC中点为D（，），
直线AD的斜率为k
因此，直线AD的方程为y（x+5），
化简得，即为BC边上中线所在直线的方程．
19．（2023秋·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）已知圆C经过点且圆心C在直线上.
(1)求圆C方程；
(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用待定系数法运算求解；
（2）根据题意利用相关点法运算求解.
【详解】（1）设圆C的标准方程为，可知其圆心为，
由题意可得，解得，
所以圆C的标准方程为.
（2）设，
由及M为线段EF的中点得，解得，即，
又因为点E在圆C：上，则，
化简得：，
故所求的轨迹方程为．
20．（2022春·云南曲靖·高二会泽县实验高级中学校校考阶段练习）如图，四棱锥中，底面是梯形，，，是等边三角形，是棱的中点，，．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）可证得四边形为平行四边形，由此可得，利用勾股定理证得；由等腰三角形三线合一性质可得；根据线面垂直的判定定理可得结论；
（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1）为等边三角形，，为中点，且；
，，四边形为平行四边形，，
又，，，
又，平面，平面.
（2），四边形为平行四边形，，
则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，
，令，解得：，，，
，
即直线与平面所成角的正弦值为.
21．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上的动点（不与A、C重合），平面与棱交于点.
(1)求证；
(2)若平面平面，，判断是否存在点D使得平面与平面所成的锐二面角为，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）先证明平面，再由线面平行的性质定理证明；
（2）假设D点存在，建立空间直角坐标系，利用法向量解决二面角问题，判断D点坐标是否有解.
【详解】（1），且平面，平面，
∴平面，又∵平面，且平面平面，∴；
（2）连接，取AC中点O，连接，，在菱形中，，
∴是等边三角形，
又∵O为AC中点，∴，
∵平面平面，
平面平面，平面，且，
∴平面，平面，∴，
又∵，∴，
以点为原点，，，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
假设存在点D，满足题意，设，
，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，令，则，，
故，
设平面的法向量为
，，
，，令，则，，故，
，解，
所以点D在点C的位置时，平面与平面所成锐角为，
由于D不与A、C重合，故AC上不存满足题意的点.
22．（2022春·云南昆明·高二昆明市第三中学校考开学考试）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.
(1)求证：平面平面；
(2)在线段上是否存在一点，使二面角的大小为？若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点M位于靠近点C的四等分处
【分析】（1）由已知易得四边形为平行四边形，有，进而有，利用面面垂直的性质有平面，最后根据面面垂直的判定证结论；
（2）首先证明两两垂直，构建空间直角坐标系，设且求的坐标，再求面、面的法向量，根据已知角大小及空间向量夹角坐标表示求即可判断存在性.
【详解】（1）因为，，Q为的中点，
所以四边形为平行四边形，则．
所以，即．
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，
所以平面平面．
（2）由（1）知：平面，平面，则，
又，为的中点，则，
所以两两垂直，故可构建如下图示的空间直角坐标系，
所以，，则，
假设存在点M，设且，得，
所以，又，
设平面法向量为，则，令，则．
由（2）知平面的法向量为，二面角为，
所以，解得，
故线段上存在点M使二面角大小为，且点M位于靠近点C的四等分处．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（云南2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2021秋·云南·高二云南师大附中校考期中）已知能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基底的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·云南昆明·高二昆明一中校考期末）已知直线与垂直，则为（ ）
A．2 B． C．-2 D．
3．（2022秋·云南昆明·高二昆明市第三中学校考阶段练习）如图所示,在四面体中,,,,点在上,且,为的中点,则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022秋·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中学校考期末）直线经过第一、二、四象限，则a、b、c应满足（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·云南昆明·高二昆明市第三中学校考阶段练习）已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021秋·云南昆明·高二昆明一中校考期中）已知点到直线的距离为，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·云南昆明·高二昆明市第三中学校考阶段练习）已知向量，，，若共面，则实数的值为（ ）
A． B．1 C． D．
8．（2021秋·云南·高二云南师大附中校考期中）AB为⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25的一条弦，，若点P为⊙C上一动点，则的取值范围是（ ）
A．[0，100] B．[－12，48] C．[－9，64] D．[－8，72]
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·云南大理·高二鹤庆县第三中学校考阶段练习）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（ ）
A． B．
C．的长为 D．
10．（2023春·云南·高二校联考阶段练习）已知点，且点在直线上，则（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得
C．的最小值为
D．的最大值为
11．（2023春·云南曲靖·高二会泽县实验高级中学校校考阶段练习）已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面.下列说法中正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
12．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）过点的直线与圆交于A，B两点，线段MN是圆C的一条动弦，且，则（ ）
A．的最小值为 B．△ABC面积的最大值为8
C．△ABC面积的最大值为 D．的最小值为
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022·云南昆明·高三昆明一中校考开学考试）已知圆和圆交于两点，则直线的方程是 .
14．（2021·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心 重心 垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中各顶点的坐标分别为，，，则其“欧拉线”的方程为 .
15．（2023秋·云南昆明·高二昆明一中校考期末）在直三棱柱中，，则直线与所成角的余弦值为 .
16．（2021·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知半径为1的圆关于直线对称，写出圆的一个标准方程 ．
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2021·云南昆明·校联考二模）如图，四棱柱的侧棱底面，四边形为菱形，，分别为，的中点．
（1）证明：，，，四点共面；
（2）若，，求点到平面的距离．
18．（2022秋·云南昆明·高二昆明一中校考期中）已知三角形的三个顶点，求：
(1)AC边所在直线的方程
(2)BC边上中线所在直线的方程．
19．（2023秋·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）已知圆C经过点且圆心C在直线上.
(1)求圆C方程；
(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.
20．（2022春·云南曲靖·高二会泽县实验高级中学校校考阶段练习）如图，四棱锥中，底面是梯形，，，是等边三角形，是棱的中点，，．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
21．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上的动点（不与A、C重合），平面与棱交于点.
(1)求证；
(2)若平面平面，，判断是否存在点D使得平面与平面所成的锐二面角为，并说明理由.
22．（2022春·云南昆明·高二昆明市第三中学校考开学考试）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.
(1)求证：平面平面；
(2)在线段上是否存在一点，使二面角的大小为？若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
