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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（浙江2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第七中学校考期中）正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解
【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则，
所以，
故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，，
又，
所以，，
所以的取值范围为．
故选：D．
2．（2022秋·浙江·高二浙江省余姚市第五中学校联考期中）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】C
【分析】由直线的方程得直线所过定点坐标，求k的临界值，得k的取值范围.
【详解】
直线l：经过定点，，．
又直线l：与线段相交，所以或，
故选：C．
3．（2022秋·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先用，，，表示向量，再利用为的中点，得代入整理得答案.
【详解】因为为的重心，所以.
为的中点，所以.
故选：C.
4．（2021春·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）下列直线方程纵截距为的选项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】纵截距就是令是的值，令每一个选项中的为0，解出y，最后选出符合题意的.
【详解】直线的纵截距为，直线的纵截距为，直线的纵截距为，直线的纵截距为.
故选：B.
5．（2021秋·浙江杭州·高二学军中学校考期中）已知，，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由求出，再利用空间向量的夹角公式求解即可
【详解】设向量与的夹角为，
因为，，且，
所以，得，
所以，
所以，
因为，所以，
故选：A
6．（2023秋·浙江台州·高二台州市书生中学校考开学考试）已知直线过定点，则点关于对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据直线方程得到定点A的坐标，设其关于的对称点坐标，列出方程组，解之即可.
【详解】直线即，故，
设点关于的对称点坐标为．
则解得．
点关于的对称点坐标为．
故选：A．
7．（2022秋·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面是等腰直角三角形，平面平面，当棱上一动点到直线的距离最小时，过作截面交于点，则四棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取的中点，连接，由题意可得平面建立空间直角坐标系，利用空间向量中点到直线距离公式计算出到直线的距离最小时的具体坐标，再用空间向量的方法计算出点到直线的距离和点到平面的距离即可.
【详解】
取的中点，连接，
因为是等腰直角三角形且，所以，，，
因为平面平面平面平面平面
所以平面所以以为原点，分别以，，的方向为，，轴的
建立空间直角坐标系，则
所以，，
因为动点在棱上，所以设，则
所以，，
，，，，
所以点到直线的距离为，
所以当时，点到直线的最小距离为，此时点是的中点即．
因为，平面，平面，所以平面，
因为平面，平面平面，所以，所以，
因为点是的中点，所以点是的中点，所以，
，，
，，，，
所以点到直线的距离为，
所以梯形的面积为，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，，
所以，
则点到平面的距离，
所以四棱锥的体积为．
故选：B
【点睛】方法点睛：针对于立体几何中角度范围和距离范围的题目，可以建立空间直角坐标系来进行求解，熟练各种距离、各种角度的计算方式．
8．（2023秋·浙江嘉兴·高二嘉兴高级中学校考阶段练习）已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．则直线AB过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由PA⊥AC，PB⊥BC可知点A、B在以PC为直径的圆上，设点P坐标，写出以PC为直径的圆的方程，然后可得直线AB方程，再由直线方程可确定所过定点.
【详解】根据题意，P为直线l：上的动点，设P的坐标为，
过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则PA⊥AC，PB⊥BC，
则点A、B在以PC为直径的圆上，
又由C（0，0），，则以PC为直径的圆的方程为：，
变形可得：，
则有，联立可得：，变形可得：，
即直线AB的方程为，
变形可得：，则有，解可得，故直线AB过定点.
故选：A．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·浙江温州乐成寄宿中学·高二校考阶段练习）已知空间中三点，，，则（ ）
A． B．
C． D．A，B，C三点共线
【答案】AB
【详解】易得，，，，A正确;
因为，所以，B正确，D错误;
而，C错误.
故选: AB.
10．（2022秋·浙江宁波慈溪中学·高二校考阶段练习）对于直线.以下说法正确的有（ ）
A．的充要条件是
B．当时，
C．直线一定经过点
D．点到直线的距离的最大值为5
【答案】BD
【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D.
【详解】当时， 解得 或，
当时，两直线为 ，符合题意；
当时，两直线为 ，符合题意，故A错误；
当时，两直线为， ，
所以，故B正确；
直线即直线，故直线过定点，C错误；
因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ，
故D正确，
故选：BD.
11．（2022秋·浙江杭州第二中学·高二校考期中）在四边形中(如图1)，，将四边形沿对角线折成四面体（如图2所示），使得，E，F，G分别为的中点，连接为平面内一点，则（ ）
A．三棱锥的体积为
B．直线与所成的角的余弦值为
C．四面体的外接球的表面积为
D．若，则Q点的轨迹长度为
【答案】ABD
【分析】取中点，先证平面，再由计算体积即可判断A选项；用表示出，再由向量的运算求出夹角的余弦值即可判断B选项；取的中点，由求出外接球半径，即可判断C选项；作交延长线于，由平面，进而求得，得出Q点的轨迹即可求得D选项.
【详解】
对于A，如图，取中点，连接，易得，又，平面，则平面，
易得，则，则，
，则，A正确；
对于B，，
则，
则，，则，，
又，
则，即直线与所成的角的余弦值为，B正确；
对于C，易得，，则，取的中点，连接，易得，
则四面体的外接球的半径为，则外接球表面积为，C错误；
对于D，作交延长线于，由A选项知，，又，平面，则平面，
又平面，则，又，则，又，则，
即Q点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，则Q点的轨迹长度为，D正确.
故选：ABD.
【点睛】求三棱锥的体积关键在于找出棱锥的高，本题通过分割三棱锥进而得到棱锥的高求出体积；求异面直线的夹角，可以通过向量法进行解决，通过基底表示出两条异面直线所在向量，再由向量的运算求解即可；本题外接球问题属于共斜边的直角三角形模型，求出半径即可求解；立体几何中的轨迹问题通常借助平面的垂线段转化为平面的轨迹问题加以处理.
12．（2023秋·浙江杭州学军中学·高二考期末）已知圆与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆与轴相切，则
B．若，则圆C1与圆C2相离
C．若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为
D．直线与圆C1始终有两个交点
【答案】BD
【分析】对A，圆心到x轴的距离等于半径判断即可；对B，根据圆心间的距离与半径之和的关系判断即可；对C，根据两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程求解即可；对D，根据直线过定点以及在圆C1内判断即可.
【详解】因为，，
对A，故若圆与x轴相切，则有，故A错误；
对B，当时，，两圆相离，故B正确；
对C，由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，故C错误；
对D，直线过定点，而，故点在圆内部，所以直线与圆始终有两个交点，故D正确.
故选：BD
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022春·浙江嘉兴·高一平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知P是棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1内(含正方体表面)任意一点，则的最大值为 .
【答案】2
【分析】利用向量在上的投影的最大值可求得结果.
【详解】由题意画出图形，如图所示，
因为，且是向量在上的投影，
所以当P在棱C1C上时，投影最大，所以的最大值为.
故答案为：2
【点睛】关键点点睛：利用向量在上的投影的最大值求解是解题关键.
14．（2023秋·浙江嘉兴·高二浙江省海盐高级中学校考开学考试）若经过点和的直线的倾斜角是钝角，则实数的取值范围是 ．
【答案】，
【分析】根据倾斜角为钝角斜率为负，结合直线的斜率公式，解不等式即可得到所求范围．
【详解】因为直线的倾斜角是钝角，
所以斜率，解得．
所以的取值范围是，．
故答案为：，．
15．（2022秋·浙江·高二浙江省余姚市第五中学校联考期中）在空间四边形中，为中点，为的中点，若，则使、、三点共线的的值是 ．
【答案】/
【分析】根据空间向量的运算，结合向量共线定理即可求得使、、三点共线的的值.
【详解】由题意可知，
，，则，
，
，，三点共线，，．
故答案为：.
16．（2022秋·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程 ．
【答案】或
【分析】当直线经过原点时，直线的方程直接求出；当直线不经过原点时，设直线的截距式为，把点P的坐标代入即可得出．
【详解】当直线经过原点时，直线的方程为，化为，
当直线不经过原点时，设直线的截距式为，
把点代入可得：，解得，
所以直线的方程为：，
综上所述，所求直线方程为或.
故答案为：或.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2021秋·浙江宁波慈溪·高二校考阶段练习）已知直线过点，且与轴，轴的正半轴分别相交于A，两点，为坐标原点．求：
(1)当十取得最小值时，直线的方程；
(2)当取得最小值时，直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设点，，且，，由直线过定点，得，然后用基本不等式求得的最小值，从而得直线方程；
（2）设直线方程为，求出坐标，并求出，由基本不等式得最小值，从而得直线方程．
【详解】（1）设点，，且，，
直线的方程为：，
且直线过点，①；
，
当且仅当，即时取“”，
将代入①式得，；
直线的方程为，
即取最小值4时，的方程为；
（2）设直线方程为，
则，，
，
当且仅当时取“”；
当取得最小值4时，直线的方程为，即．
18．（2021秋·浙江温州中学·高二校考阶段练习）如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点．
(1)以为一组基底表示向量；
(2)若，，，求．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）直接利用向量的数乘运算及加减运算求解；
（2）由向量的单项式乘多项式及向量的数量积运算求解．
【详解】（1）∵为线段的中点，∴，
∵，∴，
∴
；
（2）
．
19．（2021杭州外国语·高二单元测试）已知圆，直线，当为何值时，
（1）圆与直线有两个公共点；
（2）圆与直线只有一个公共点；
（3）圆与直线没有公共点．
【答案】（1）；（2）；（3）或.
【分析】求得圆的标准方程，求出圆心到直线的距离d，分别求得d=r、d＜r、d＞r时，b的值，可得直线与圆相切、相交、相离时，b的范围．
【详解】方法一：圆心到直线的距离为，圆的半径．
（1）当，即时，直线与圆相交，有两个公共点；
（2）当，即时，直线与圆相切，有一个公共点；
（3）当，即或时，直线与圆相离，无公共点．
方法二：联立直线与圆的方程，得方程组，
消去得，则．
（1）当，即时，直线与圆有两个公共点；
（2）当，即时，直线与圆有一个公共点；
（3）当，即或时，直线与圆无公共点．
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的判定，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
20．（2022秋·浙江宁波慈溪中学·高二校考阶段练习）如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，，.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)在线段上是否存在一点H，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，.
【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明；（2）证明出，.利用向量法求解；（3）利用向量法求解.
【详解】（1）连接FG.
在△中，F、G分别为的中点，所以.
又因为平面, 平面，所以平面.
（2）因为平面,平面，所以.
又，所以.
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.
则,.,.
设平面SCD的一个法向量为.
则，即，
令,得.
所以平面SCD的一个法向量为.
又平面ESD的一个法向量为.
所以
所以平面SCD与平面ESD夹角的余弦值为.
（3）假设存在点H,设,则.
由（2）知,平面的一个法向量为.则，
即,所以.
故存在满足题意的点H,此时.
21．（2022秋·浙江金华·高二统考期末）如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点是线段的中点
【分析】（1）作出辅助线，得到，，从而得到线面垂直，得到面面垂直，再由，面面垂直的性质得到线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，设出的坐标，求出平面的法向量，从而列出方程，求出的值，确定点位置.
【详解】（1）证明：连接，取线段的中点，连接，
在Rt中，，
，
在中，，
由余弦定理可得：，
在中，
，
又平面，
平面，
又平面
∴平面平面，
在中，，
∵平面平面平面，
平面.
（2）过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
平面的法向量，
在平面直角坐标系中，直线的方程为，
设的坐标为，
则，
设平面的法向量为，
，
所以，
令，则，
由已知，
解之得：或9（舍去），
所以点是线段的中点.
22．（2022秋·浙江温州中学·高二校联考期中）如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,平面平面,且侧面为等边三角形.为线段的中点.
(1)求证:直线;
(2)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在
【分析】(1)连接,通过一个顶角的菱形得到,又有得到平面即可证明结果;
(2)根据题意建立空间直角坐标系,设出点坐标,通过向量求平面法向量与的夹角正弦值,使其等于,得出点坐标即可.
【详解】（1）证明:连接,如图所示:
因为三角形为正三角形,,
又四边形为菱形,且,
所以也是正三角形,
所以,
平面,
平面,
又平面;
（2）由平面平面,及可得,平面.
直线两两垂直,以为原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示,
菱形边长为2,所以可求得
,
,
设平面的法向量为,
则,
取,
可得其中一个法向量,
因为是线段上的点,
所以存在实数,
使得,
,
设直线与平面所成的角为,
则
,
解得或,
所以线段上存在点满足题意,且为线段的两个三等分点.
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（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第七中学校考期中）正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·浙江·高二浙江省余姚市第五中学校联考期中）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
3．（2022秋·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021春·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）下列直线方程纵截距为的选项为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021秋·浙江杭州·高二学军中学校考期中）已知，，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·浙江台州·高二台州市书生中学校考开学考试）已知直线过定点，则点关于对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面是等腰直角三角形，平面平面，当棱上一动点到直线的距离最小时，过作截面交于点，则四棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋·浙江嘉兴·高二嘉兴高级中学校考阶段练习）已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．则直线AB过定点（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·浙江温州乐成寄宿中学·高二校考阶段练习）已知空间中三点，，，则（ ）
A． B．
C． D．A，B，C三点共线
10．（2022秋·浙江宁波慈溪中学·高二校考阶段练习）对于直线.以下说法正确的有（ ）
A．的充要条件是
B．当时，
C．直线一定经过点
D．点到直线的距离的最大值为5
11．（2022秋·浙江杭州第二中学·高二校考期中）在四边形中(如图1)，，将四边形沿对角线折成四面体（如图2所示），使得，E，F，G分别为的中点，连接为平面内一点，则（ ）
A．三棱锥的体积为
B．直线与所成的角的余弦值为
C．四面体的外接球的表面积为
D．若，则Q点的轨迹长度为
12．（2023秋·浙江杭州学军中学·高二考期末）已知圆与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆与轴相切，则
B．若，则圆C1与圆C2相离
C．若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为
D．直线与圆C1始终有两个交点
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022春·浙江嘉兴·高一平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知P是棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1内(含正方体表面)任意一点，则的最大值为 .
14．（2023秋·浙江嘉兴·高二浙江省海盐高级中学校考开学考试）若经过点和的直线的倾斜角是钝角，则实数的取值范围是 ．
15．（2022秋·浙江·高二浙江省余姚市第五中学校联考期中）在空间四边形中，为中点，为的中点，若，则使、、三点共线的的值是 ．
16．（2022秋·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程 ．
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2021秋·浙江宁波慈溪·高二校考阶段练习）已知直线过点，且与轴，轴的正半轴分别相交于A，两点，为坐标原点．求：
(1)当十取得最小值时，直线的方程；
(2)当取得最小值时，直线的方程．
18．（2021秋·浙江温州中学·高二校考阶段练习）如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点．
(1)以为一组基底表示向量；
(2)若，，，求．
19．（2021杭州外国语·高二单元测试）已知圆，直线，当为何值时，
（1）圆与直线有两个公共点；
（2）圆与直线只有一个公共点；
（3）圆与直线没有公共点．
20．（2022秋·浙江宁波慈溪中学·高二校考阶段练习）如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，，.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)在线段上是否存在一点H，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
21．（2022秋·浙江金华·高二统考期末）如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.
22．（2022秋·浙江温州中学·高二校联考期中）如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,平面平面,且侧面为等边三角形.为线段的中点.
(1)求证:直线;
(2)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为.
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