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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（安徽2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022秋·安徽合肥·高一合肥一六八中学校考期末）已知，，，且与垂直，则λ等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】由向量数量积的运算律可得，根据向量的垂直关系列方程，求λ即可.
【详解】由题意知：，，
∴，即.
故选：A.
2．（2023秋·安徽阜阳·高二安徽省阜南实验中学校考开学考试）如图，若直线的斜率分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可.
【详解】解析 设直线的倾斜角分别为，
则由图知，
所以，
即．
故选：A
3．（2021秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考阶段练习）已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【答案】D
【分析】在四面体中，取定一组基底向量，表示出，，再借助空间向量数量积计算作答.
【详解】四面体的所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为，
则，
因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，，
，
所以.
故选：D
4．（2022秋·安徽六安·高二安徽省舒城中学校考阶段练习）已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA、PB的斜率，
从而得出l的斜率的取值范围,即得解
【详解】设直线过定点，则直线可写成，
令解得直线必过定点．
，．直线与线段相交，
由图象知，或，解得或，
则实数的取值范围是．
故选：A
【点睛】本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合的能力，属于中档题．
5．（2021春·安徽六安·高二六安一中校考开学考试）设x，，向量，，且，，则（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据，，解得x，y，然后由空间向量的模公式求解.
【详解】因为向量，，且由得，由，得 解得，所以向量，，
所以，
所以
故选：C
6．（2022秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考期中）光线从点射到轴上，经反射以后经过点，则光线从到经过的路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】点关于轴的对称点为,求出即得解.
【详解】点关于轴的对称点为，
则光线从到经过的路程为的长度，
即.
故选：C
7．（2021秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，点为棱上一点，满足，下列结论错误的是（ ）
A．平面平面；
B．点到直线的距离；
C．若二面角的平面角的余弦值为，则；
D．点A到平面的距离为．
【答案】D
【分析】A选项，作出辅助线，证明出AC⊥BC，结合平面可得线线垂直，从而证明线面垂直，最后证明出面面垂直；B选项，求出点P到直线CD的距离即为PC的长度，利用勾股定理求出答案；C选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解；D选项，过点A作AH⊥PC于点H，证明AH的长即为点A到平面的距离，求出AH的长.
【详解】A选项，因为平面，平面，
所以CD，
故∠PBA即为与底面所成的角，，
因为，
所以PA=AB=1，
因为，
取AD中点F，连接CF，则AF=DF=AB=CF=BC，
则四边形ABCF为正方形，∠FCD=∠FCA=45°，
所以AC⊥CD，
又因为，
所以CD⊥平面PAC，
因为CD平面PCD，
所以平面平面PCD，A正确；
由A选项的证明过程可知：CD⊥平面PAC，
因为平面PAC
所以CD⊥PC，
故点P到直线CD的距离即为PC的长度，
其中
由勾股定理得：，B正确；
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
其中平面ACD的法向量为，设平面ACE的法向量为，
则，令得：，
所以，
设二面角的平面角为，显然，
其中，
解得：或，
因为，所以，C正确；
过点A作AH⊥PC于点H，
由于CD⊥平面APC，平面APC，
所以AH⊥CD，
因为，
所以AH⊥平面PCD，
故AH即为点A到平面PCD的距离，
因为PA⊥AC，
所以，D选项错误
故选：D
8．（2022·安徽合肥·合肥市第五中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点满足，直线l：与动点Q的轨迹交于A，B两点，记动点Q轨迹的对称中心为点C，则当面积最大时，直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用，求出点Q的轨迹方程，求出直线l过定点，设，结合直线与圆的位置关系得到，即可求出面积最大时，直线l的方程．
【详解】解：设，由题意得，化简可得动点Q的轨迹方程为，
圆心为，半径为．
又由，可得．
则由解得所以直线l过定点，
因为，所以点在圆C的内部．
作直线，垂足为D，设，因为，
所以，所以，
所以，
所以当，即时，．
此时，又，
所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查圆有关的轨迹问题，考查直线与圆的位置关系，直线系方程过定点，涉及三角形面积计算以及函数最值，考查学生计算能力，解题的关键是求出点Q的轨迹方程和直线过的定点，画出图形，结合图形求解，属于较难题．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2021秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考阶段练习）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．向量与的夹角是60° D．与AC所成角的余弦值为
【答案】AB
【解析】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断.
【详解】以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°，
可设棱长为1,则
而
， 所以A正确.
=0,所以B正确.
向量,
显然 为等边三角形，则.
所以向量与的夹角是 ,向量与的夹角是,则C不正确
又，
则，
所以，所以D不正确.
故选：AB
【点睛】本题考查空间向量的运算，用向量求夹角等，属于中档题.
10．（2022秋·安徽芜湖·高二芜湖一中校考阶段练习）下列四个命题中真命题有（ ）
A．直线在轴上的截距为-2
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．直线必过定点
D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1
【答案】AC
【分析】根据截距的定义，点斜式的应用，直线恒过定点的求解以及由直线平行求参数和两平行线间的距离公式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对直线方程，令解得，故该直线在轴上的截距为，故A正确；
经过点的直线若斜率存在，可用表示；若斜率不存在，则无法用表示，故B错误，
当时，可整理为：，恒过定点；
当时，即为，过点；
故直线必过定点，C正确，
直线与直线平行，则，
此时即，也即，
则两平行线间的距离，故D错误.
综上所述，正确的选项是：.
故选：.
11．（2021秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考阶段练习）已知四面体的所有棱长都是分别是棱的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量级的坐标运算计算即可.
【详解】以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，
，
，，
，.
故选：ACD
12．（2023春·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考开学考试）下列结论正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．直线的倾斜角为120°
C．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
D．与圆相切，且在轴 轴上的截距相等的直线有两条
【答案】BC
【分析】求出直线过的定点，即可判断A；
根据斜率与倾斜角的关系求出直线的倾斜角，可判断B;
计算圆心到直线的距离，即可判断C的对错；
求出与圆相切，且在轴 轴上的截距相等的直线，看有几条即可判断D的对错.
【详解】可变形为 ，
令 ，得 ，
即直线过定点 ，故A错；
直线的斜率为 ，故其倾斜角为 ，故B正确；
圆的圆心到直线的距离为 ，
圆的半径为2，故圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，故C正确；
当直线不过原点时，设直线与圆相切，
则 ，解得，则满足题意；
当直线不过原点时，设直线与圆相切，
则 ，解得，则满足题意；
所以满足题意得直线有三条，故D错误，
故选：BC
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022春·安徽合肥·高二合肥市第八中学校考开学考试）直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距2倍的直线方程： .
【答案】或
【分析】分类讨论，由直线过原点和不过原点分类讨论求解．
【详解】直线过原点时，设直线方程为，则，，方程为，即；
直线不过原点时，设直线方程为，则，，直线方程为，即．
故答案为：或．
14．（2023秋·安徽六安·高二六安一中校考期末）已知直线，，若，则的值是 .
【答案】
【分析】利用直线一般式情况下平行的结论即可得解.
【详解】因为，，，
所以当，即时，，，显然不满足题意；
当，即时，，
由解得或，
当时，，舍去；
当时，，满足题意；
综上：.
故答案为：.
15．（2020秋·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考阶段练习）圆心在直线，且与直线相切于点的圆的标准方程为 .
【答案】
【详解】试题分析：可设圆标准方程： ，则根据题意可列三个条件： ，解方程组可得 ，即得圆方程
试题解析：设
则，解得
所以（x-1）2+（y+4）2=8．
点睛：确定圆的方程方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．
16．（2022·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）直线被圆O；截得的弦长最短，则实数m= .
【答案】1
【分析】求出直线MN过定点A（1,1），进而判断点A在圆内，当时，|MN|取最小值，利用两直线斜率之积为-1计算即可.
【详解】直线MN的方程可化为，
由，得，
所以直线MN过定点A（1，1），
因为，即点A在圆内.
当时，|MN|取最小值，
由，得，∴，
故答案为：1.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2022秋·安徽芜湖·高二安徽师范大学附属中学校考开学考试）如图所示，在平行四边形中，，，沿它的对角线将折起，使与成角，求此时两点间的距离．
【答案】或
【分析】利用空间向量线性运算可得，结合数量积的运算律可求得，进而得到所求结果.
【详解】四边形为平行四边形，，又， ，
，，
在空间四边形中，与成角，或，
又，，
当时，，，即此时两点间的距离为；
当时，，，即此时两点间的距离为；
综上所述：两点间的距离为或.
18．（2021秋·安徽亳州·高二亳州二中校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.
(1)试用表示向量；
(2)求BM的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】利用空间向量基本定理用基底表示；（2）在第一问的基础上运用空间向量数量积运算法则进行运算.
【详解】（1）
（2）
，所以，则BM的长为.
19．（2021秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考阶段练习）如图，在三棱锥中，平面ABC，，，点E，F分别是AB，AD的中点.
（1）求证：平面BCD；
（2）设，求直线AD与平面CEF所成角的正弦值
【答案】（1）证明见解析，（2）
【分析】（1）由平面ABC，可得，由可得，然后由线面垂直的判定定理可结论，
（2）如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可
【详解】（1）证明：因为平面ABC，平面ABC，
所以，
因为，所以，
因为，
所以平面BCD；
（2）解：因为平面ABC，平面ABC，
所以，
所以两两垂直，所以以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，则,
因为点E，F分别是AB，AD的中点,所以,
所以，
设平面的一个法向量为，则
，令，则，
直线AD与平面CEF所成角为，则
，
所以直线AD与平面CEF所成角的正弦值为
20．（2022秋·安徽安庆·高二安徽省安庆市外国语学校校考阶段练习）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．
(1)证明：EF∥平面PCD
(2)若PD⊥平面ABCD，，且，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取PD的中点G，连接CG，EG，则由三角形中位线定理可得，再结合底面四边形为菱形，可得四边形EGCF为平行四边形，从而得然后由线面平行的判定定理可证得结论，
（2）由已知可得两两垂直，所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，然后利用空间向量求解即可
【详解】（1）证明：取PD的中点G，连接CG，EG，
因为E，F分别为PA，BC的中点，
所以，
又底面ABCD为菱形，所以，
所以，
所以四边形EGCF为平行四边形，
所以
又平面PCD．平面PCD，
所以EF//平面PCD．
（2）解：连接，
因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，
所以，
因为四边形ABCD为菱形，，
所以为等边三角形，
因为F为BC的中点，
所以，
因为∥，
所以，
所以两两垂直，
所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz．
因为，所以D（0，0，0），F(，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），
则．
设平面DEF的法向量，则
，令，得．
设直线AF与平面DEF所成的角为θ，
则，
所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为
21．（2021秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考阶段练习）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点，别是边BC，CD的中点，，．沿MN将翻折到的位置，连接PA、PB、PD，得到如图2所示的五棱锥P—ABMND．
(1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；
(2)当四棱锥P—MNDB体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平面PMN夹角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)在翻折过程中总有平面PBD⊥平面PAG，证明见解析
(2)符合题意的点存在且为线段的中点．
【分析】（1）证明出平面，进而证明面面垂直；
（2）易得当平面时，四棱锥体积最大，再建立空间直角坐标系，设（），利用空间向量和二面角的大小，列出方程，确定点的位置
【详解】（1）在翻折过程中总有平面平面，
证明如下：∵点，分别是边，的中点，
又，∴，且是等边三角形，
∵是的中点，∴，
∵菱形的对角线互相垂直，∴，∴，
∵，平面，平面，
∴平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
（2）由题意知，四边形为等腰梯形，
且，，，
所以等腰梯形的面积，
要使得四棱锥体积最大，只要点到平面的距离最大即可，
∴当平面时，点到平面的距离的最大值为.
假设符合题意的点存在．
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，又，
又，且，平面，平面，
平面，故平面的一个法向量为，
设（），
∵，
，故，
∴，，
平面的一个法向量为，
则，，
即
令，所以
，
则平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，
则，即，解得：，
故符合题意的点存在且为线段的中点．
22．（2021·安徽六安·安徽省舒城中学校考一模）如图，在四棱台中，底面四边形为菱形，，．平面．
（1）若点是的中点，求证：；
（2）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且．
【分析】（1）取中点，连接、、，以点为坐标原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，计算出，进而可证得；
（2）设点的坐标为，其中，利用空间向量法可得出关于实数的方程，由题意得出点在线段上，可求得的值，进而可求得，即可得出结论.
【详解】（1）取中点，连接、、，
因为四边形为菱形，则，，为等边三角形，
为的中点，则，，，
由于平面，以点为坐标原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图.
则、、、、、、，
，，
，；
（2）假设点存在，设点的坐标为，其中，
，，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，，所以，，
平面的一个法向量为，
所以，，解得，
又由于二面角为锐角，由图可知，点在线段上，所以，即．
因此，棱上存在一点，使得二面角的余弦值为，此时.
【点睛】方法点睛：立体几何开放性问题求解方法有以下两种：
（1）根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；
（2）假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（安徽2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022秋·安徽合肥·高一合肥一六八中学校考期末）已知，，，且与垂直，则λ等于（ ）
A． B． C． D．1
2．（2023秋·安徽阜阳·高二安徽省阜南实验中学校考开学考试）如图，若直线的斜率分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考阶段练习）已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
4．（2022秋·安徽六安·高二安徽省舒城中学校考阶段练习）已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021春·安徽六安·高二六安一中校考开学考试）设x，，向量，，且，，则（ ）
A． B． C．3 D．4
6．（2022秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考期中）光线从点射到轴上，经反射以后经过点，则光线从到经过的路程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，点为棱上一点，满足，下列结论错误的是（ ）
A．平面平面；
B．点到直线的距离；
C．若二面角的平面角的余弦值为，则；
D．点A到平面的距离为．
8．（2022·安徽合肥·合肥市第五中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点满足，直线l：与动点Q的轨迹交于A，B两点，记动点Q轨迹的对称中心为点C，则当面积最大时，直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2021秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考阶段练习）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．向量与的夹角是60° D．与AC所成角的余弦值为
10．（2022秋·安徽芜湖·高二芜湖一中校考阶段练习）下列四个命题中真命题有（ ）
A．直线在轴上的截距为-2
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．直线必过定点
D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1
11．（2021秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考阶段练习）已知四面体的所有棱长都是分别是棱的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023春·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考开学考试）下列结论正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．直线的倾斜角为120°
C．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
D．与圆相切，且在轴 轴上的截距相等的直线有两条
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022春·安徽合肥·高二合肥市第八中学校考开学考试）直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距2倍的直线方程： .
14．（2023秋·安徽六安·高二六安一中校考期末）已知直线，，若，则的值是 .
15．（2020秋·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考阶段练习）圆心在直线，且与直线相切于点的圆的标准方程为 .
16．（2022·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）直线被圆O；截得的弦长最短，则实数m= .
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2022秋·安徽芜湖·高二安徽师范大学附属中学校考开学考试）如图所示，在平行四边形中，，，沿它的对角线将折起，使与成角，求此时两点间的距离．
18．（2021秋·安徽亳州·高二亳州二中校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.
(1)试用表示向量；
(2)求BM的长.
19．（2021秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考阶段练习）如图，在三棱锥中，平面ABC，，，点E，F分别是AB，AD的中点.
（1）求证：平面BCD；
（2）设，求直线AD与平面CEF所成角的正弦值
20．（2022秋·安徽安庆·高二安徽省安庆市外国语学校校考阶段练习）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．
(1)证明：EF∥平面PCD
(2)若PD⊥平面ABCD，，且，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．
21．（2021秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考阶段练习）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点，别是边BC，CD的中点，，．沿MN将翻折到的位置，连接PA、PB、PD，得到如图2所示的五棱锥P—ABMND．
(1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；
(2)当四棱锥P—MNDB体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平面PMN夹角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．
22．（2021·安徽六安·安徽省舒城中学校考一模）如图，在四棱台中，底面四边形为菱形，，．平面．
（1）若点是的中点，求证：；
（2）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．
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