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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（重庆1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2021秋·重庆巴南·高二重庆市实验中学校考阶段练习）已知在四面体中，为的中点，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·重庆·高二重庆第二外国语学校校考期中）直线经过点和以，为端点的线段相交，直线斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考阶段练习）为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）过点作直线，若经过点和，且均为正整数，则这样的直线可以作出（ ），
A．条 B．条 C．条 D．无数条
5．（2022春·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考开学考试）已知，若三向量共面，则实数等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）在平面直角坐标系中，已知直线：，点，则点A到直线的距离的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021秋·重庆南岸·高二重庆第二外国语学校校考阶段练习）已知平面内的两个向量，，则该平面的一个法向量为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知点引圆的两条切线，切点分别为为坐标原点，若为等边三角形，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期中）已知，则下述正确的是（ ）
A．圆C的半径 B．点在圆C的内部
C．直线与圆C相切 D．圆与圆C相交
10．（2022秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．方程表示经过，两点的直线
B．经过点，倾斜角为的直线方程为
C．直线一定经过第一象限
D．截距相等的直线都可以用方程表示
11．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）在棱长为3的正方体中，点在棱上运动（不与顶点重合），则点到平面的距离可以是（ ）
A． B． C．2 D．
12．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知动直线：和：，是两直线的交点，、是两直线和分别过的定点，下列说法正确的是（ ）
A．点的坐标为 B．
C．的最大值为10 D．的轨迹方程为
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）如图，在四棱台中，，，，则的最小值为 ．
14．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）已知，，三点共线，则＝ ．
15．（2023春·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）如图，两个正方形，的边长都是3，且二面角为，为对角线靠近点的三等分点，为对角线的中点，则线段 .
16．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知，若的平分线方程为，则所在的直线方程为 ．
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）已知、在直线上.
(1)求直线的方程；
(2)若直线倾斜角是直线倾斜角的2倍，且与的交点在轴上，求直线的方程.
18．（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）如图，已知分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且.设.
(1)请用表示；
(2)求证：三点共线.
19．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）平面直角坐标系中，圆M经过点，，.
(1)求圆M的标准方程；
(2)设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上.
（i）过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；
（ii）设直线OP，BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.
20．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E.
(1)求证：；
(2)若，从条件① 条件② 条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②：；条件③：.
21．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.
22．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，为棱上一动点（不包含端点）．
(1)若为的中点，求证：平面；
(2)是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由．
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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（重庆1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2021秋·重庆巴南·高二重庆市实验中学校考阶段练习）已知在四面体中，为的中点，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】如图所示，因为为的中点，，且，
则.
故选：D.
2．（2022秋·重庆·高二重庆第二外国语学校校考期中）直线经过点和以，为端点的线段相交，直线斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，求出，再结合图象即可求解．
【详解】∵，，
图象如图所示：
由图可知，直线的斜率满足或，
故直线的斜率的取值范围为．
故选：D．
3．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考阶段练习）为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】确定，，排除ABD，得到答案.
【详解】对选项A：，向量共面，故不能构成基底，错误；
对选项B：，向量共面，故不能构成基底，错误；
对选项C：假设，即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；
对选项D：，向量共面，故不能构成基底，错误；
故选：C
4．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）过点作直线，若经过点和，且均为正整数，则这样的直线可以作出（ ），
A．条 B．条 C．条 D．无数条
【答案】B
【分析】假设直线截距式方程，代入已知点坐标可得之间关系，根据为正整数可分析得到结果.
【详解】均为正整数，可设直线，
将代入直线方程得：，
当时，，方程无解，，
，，，或，
或，即满足题意的直线方程有条.
故选：B.
5．（2022春·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考开学考试）已知，若三向量共面，则实数等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据空间向量共面充要条件可设，再利用坐标运算列方程组即可得实数的值.
【详解】因为三向量共面，故存在实数使得
所以
则，解得.
故选：A.
6．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）在平面直角坐标系中，已知直线：，点，则点A到直线的距离的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可确定直线：，则直线过原点，且斜率为，由此可确定点到直线l的距离大于1，再确定当l与垂直时，点A到直线l的距离最大，即可求得答案.
【详解】由题意直线：，则直线过原点，且斜率为，
当直线l无限靠近于y轴时，点到直线l的距离无限接近于1，
故点到直线l的距离大于1，
当l与垂直时，点A到直线l的距离最大，最大值为，
故点A到直线的距离的取值范围为，
故选：B
7．（2021秋·重庆南岸·高二重庆第二外国语学校校考阶段练习）已知平面内的两个向量，，则该平面的一个法向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用法向量的定义、求法进行计算.
【详解】显然与不平行，设该平面的一个法向量为，
则有，即，
令，得，所以，故A,B错误，
令，得，则此时法向量为，故D错误.
故选：C.
8．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知点引圆的两条切线，切点分别为为坐标原点，若为等边三角形，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由直线与圆的位置关系可得，可得点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，由此分析可得答案.
【详解】根据题意，圆，
即是以为圆心，半径为的圆，
连接，若为等边三角形，则，
在中，，易得，
故点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
又由，
则，即，
故的取值范围是.
故选：B.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期中）已知，则下述正确的是（ ）
A．圆C的半径 B．点在圆C的内部
C．直线与圆C相切 D．圆与圆C相交
【答案】ACD
【分析】先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，然后逐个分析判断即可
【详解】由，得，则圆心，半径，
所以A正确，
对于B，因为点到圆心的距离为，所以点在圆C的外部，所以B错误，
对于C，因为圆心到直线的距离为，
所以直线与圆C相切，所以C正确，
对于D，圆的圆心为，半径，
因为，，
所以圆与圆C相交，所以D正确，
故选：ACD
10．（2022秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．方程表示经过，两点的直线
B．经过点，倾斜角为的直线方程为
C．直线一定经过第一象限
D．截距相等的直线都可以用方程表示
【答案】ABD
【分析】根据直线两点式、点斜式、截距式的局限性可判断ABD错误，根据直线过定点可判断C正确.
【详解】对于A，时，显然不符合方程，错误；
对于B，时，不存在，不符合，错误；
对于C，点显然符合直线，点P在第一象限，正确；
对于D，直线截距相等，但不符合方程，错误.
故选：ABD
11．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）在棱长为3的正方体中，点在棱上运动（不与顶点重合），则点到平面的距离可以是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】CD
【分析】利用坐标法，设，可得平面的法向量，进而即得.
【详解】以D为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，设，
所以，，
设为平面的法向量，
则有： ，令，可得，
则点到平面的距离为，
因为，所以距离的范围是.
故选：CD.
12．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知动直线：和：，是两直线的交点，、是两直线和分别过的定点，下列说法正确的是（ ）
A．点的坐标为 B．
C．的最大值为10 D．的轨迹方程为
【答案】BC
【分析】根据直线方程求出定点的坐标，判断A，证明直线垂直，判断B，再结合判断C，D.
【详解】直线的方程可化为，
所以直线过定点，
直线的方程可化为，
所以直线过定点，
所以点的坐标为，点的坐标为，所以A错误，
由已知，
所以直线与直线垂直，即，B正确，
因为，所以，
故，
所以，当且仅当时等号成立，
C正确；
因为，故，
设点的坐标为，
则，
化简可得，
又点不是直线的交点，点在圆上，
故点的轨迹为圆除去点，D错误；
故选：BC.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）如图，在四棱台中，，，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】先由平面向量的基本定理推得所求为四棱台的高，再结合图形利用线面垂直的判定定理证得面，由此依次在，中求得，，最后在中求得，即为所求.
【详解】设，由平面向量基本定理与，可得点为平面内任一点，
故，
显然，当平面时，为四棱台的高的长度，取得最小值，
由于过点作高不好解答，不妨过作平面，则也为四棱台的高，其长度即为所求.
再作于，连结，如图，
因为平面，平面，所以，
又，面，所以面，
因为面，所以，
所以在中，，，可得，，
又由，所以为的平分线（注：此处也可过作的垂线，垂足为，同理可得，从而得到证得），
所以在中，，故，
所以在中，，
所以四棱台的高为，故的最小值为.
故答案为：.
.
【点睛】本题综合了空间向量，立体几何及三角形知识，难度较大，关键点在于先利用向量基本定理将要求向量的模转化为棱台的高，过作出高，再结合线面垂直的判定以及解三角形的知识加以求解即可.
14．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）已知，，三点共线，则＝ ．
【答案】6
【分析】利用可得出关于的等式，由此可求得实数的值.
【详解】由于、、三点共线，则，
即，解得.
故答案为：6.
15．（2023春·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）如图，两个正方形，的边长都是3，且二面角为，为对角线靠近点的三等分点，为对角线的中点，则线段 .
【答案】
【分析】由已知可得.进而表示出，即可根据数量积的运算性质求出，进而即可求出答案.
【详解】由已知可得，，，所以即为二面角的平面角，即.
因为，为对角线的中点，所以.
因为为对角线靠近点的三等分点，所以，
所以.
所以，
所以.
所以，
所以线段.
故答案为：.
16．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知，若的平分线方程为，则所在的直线方程为 ．
【答案】
【分析】先求得直线与直线的交点，然后利用角平分线定理求得点坐标，进而求得直线的方程.
【详解】，直线的方程为，
由解得，设，
依题意，的平分线为直线，
由正弦定理得，
由于，由此整理得,
则，设，
则，
整理得，解得或（舍去），
则，，
直线的方程为.
故答案为：
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）已知、在直线上.
(1)求直线的方程；
(2)若直线倾斜角是直线倾斜角的2倍，且与的交点在轴上，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程；
（2）设直线的倾斜角为，则，利用二倍角公式求出，再求出直线与轴的交点，再由斜截式得到直线的方程.
【详解】（1）因为、在直线上，
所以，所以直线的方程为，即.
（2）设直线的倾斜角为，则，
所以，
所以直线的斜率，
对于，令得，即直线与轴交于点，
所以直线的方程为.
18．（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）如图，已知分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且.设.
(1)请用表示；
(2)求证：三点共线.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解，
（2）根据空间向量的线性运算用基底表示，即可根据向量共线证明.
【详解】（1）．
（2）；
则，
又有公共起点，，，三点共线．
19．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）平面直角坐标系中，圆M经过点，，.
(1)求圆M的标准方程；
(2)设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上.
（i）过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；
（ii）设直线OP，BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.
【答案】(1)
(2)（i）7；（ii）在定直线上
【分析】（1）设圆M的方程为，利用待定系数法求出，即可得解；
（2）（i）设直线的方程为，分和两种情况讨论，利用圆的弦长公式分别求出，再根据即可得出答案；
（ii）设，联立，利用韦达定理求得，求出直线OP，BQ的方程，联立求出交点坐标即可得出结论.
【详解】（1）解：设圆M的方程为，
则，解得，
所以圆M的标准方程为；
（2）解：设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
（i）若，则直线斜率不存在，
则，，
则，
若，则直线得方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
则
，
当且仅当，即时，取等号，
综上所述，因为，
所以S的最大值为7；
（ii）设，
联立，消得，
则，
直线的方程为，
直线的方程为，
联立，解得，
则
，
所以，
所以点N在定直线上.
【点睛】本题考查了利用待定系数法求圆的标准方程，考查了圆的弦长问题及圆中四边形的面积的最值问题，还考查了圆中的定直线问题，有一定的计算量.
20．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E.
(1)求证：；
(2)若，从条件① 条件② 条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②：；条件③：.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由棱柱的性质可得，即可得到平面，再根据线面平行的性质证明即可；
（2）选①②，连接，取中点，连接，，即可得到，根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由，即可建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；
选②③，连接，取中点，连接，，依题意可得，再由勾股定理逆定理得到，即得到平面，后续同①②；
选①③，取中点，连接，，即可得到，由面面垂直的性质得到平面，从而得到，再由勾股定理逆定理得到后续同①②；
【详解】（1）在三棱柱中，，又面，面，
所以平面，又面面，面，
所以.
（2）选①②：连接，取中点，连接，.
在菱形中，所以为等边三角形.
又为中点，所以，
又面面，面面， 平面，
所以平面，平面，
故，又，所以.
以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
所以，.
设面的一个法向量为，则，令，故.
又，设直线与面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
选②③：连接，取中点，连接，.
在菱形中，所以为等边三角形.
又为中点，故，且，又，.
所以，则.
又，面，所以面，
由平面，故，又，所以.
以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
所以，.
设面的一个法向量为，则，令，故.
又，设直线与面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
选①③：取中点，连接，.
在中，因为，所以，且，.
又面面，面面，面，
所以平面，又平面，所以.
在中，，又，，
所以，则.
由，面，则面，
由平面，故，又，所以.
以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
所以，.
设面的一个法向量为，则，令，故.
又，设直线与面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点是线段的中点
【分析】（1）作出辅助线，得到，，从而得到线面垂直，得到面面垂直，再由，面面垂直的性质得到线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，设出的坐标，求出平面的法向量，从而列出方程，求出的值，确定点位置.
【详解】（1）证明：连接，取线段的中点，连接，
在Rt中，，
，
在中，，
由余弦定理可得：，
在中，
，
又平面，
平面，
又平面
∴平面平面，
在中，，
∵平面平面平面，
平面.
（2）过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
平面的法向量，
在平面直角坐标系中，直线的方程为，
设的坐标为，
则，
设平面的法向量为，
，
所以，
令，则，
由已知，
解之得：或9（舍去），
所以点是线段的中点.
22．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，为棱上一动点（不包含端点）．
(1)若为的中点，求证：平面；
(2)是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）取中点，易证得四边形为平行四边形，得到，由线面平行的判定可证得结论；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据面面角的向量求法可构造方程求得的值，由此可得结果.
【详解】（1）分别取中点，连接，
则为的中位线，，，
又，，，，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面.
（2）以为坐标原点，正方向为轴可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设，则，
，
令平面的法向量为，
则，令，则，，；
又平面的一个法向量，
，
解得：或（舍），
，，即的长为.
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