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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（重庆2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）如图，在斜三棱柱中，M为BC的中点，N为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知直线与直线互相平行，则实数的值为( )
A． B．2或 C．2 D．
3．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）已知直线x＋y＋1＝0与直线2x－my＋3＝0垂直，则m＝（ ）
A．2 B． C．－2 D．
5．（2021秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知为坐标原点，向量，点，.若点在直线上，且，则点的坐标为（ ）.
A． B．
C． D．
6．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）已知两点，点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．10
7．（2020秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面，，E为PC的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）若方程有两个不等的实根，则实数b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知空间向量，则下列选项中正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考开学考试）已知直线：，：，设两直线分别过定点，，直线和直线的交点为，则下列结论正确的有（ ）
A．直线过定点，直线过定点
B．
C．面积的最大值为5
D．若，，则点恒满足
11．（2023秋·重庆·高三重庆一中校考开学考试）三棱锥的各顶点均在半径为2的球O表面上，，，则（ ）
A．有且仅有2个点P满足
B．有且仅有2个点P满足与所成角为
C．的最大值为
D．的最大值为
12．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知的顶点在圆上，顶点在圆上.若，则（ ）
A．的面积的最大值为
B．直线被圆截得的弦长的最小值为
C．有且仅有一个点，使得为等边三角形
D．有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）点P是棱长为2的正四面体表面上的动点，若MN是该四面体外接球的一条直径，则的最小值是 .
14．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考开学考试）直线的倾斜角的取值范围是 .
15．（2021秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知，，且，则 .
16．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）若圆上到直线的距离等于的点恰有3个，则实数a的值为 .
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2021秋·重庆北碚·高二重庆市朝阳中学校考阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，．
(1)用，，表示；
(2)求AE的长．
18．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考开学考试）已知的三个顶点为，，.
(1)求过点A且平行于的直线方程；
(2)求过点B且与A、C距离相等的直线方程.
19．（2022秋·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知圆的方程为：
(1)求实数的取值范围.
(2)当圆半径最大时，点在圆上，点在直线上，求的最小值.
20．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）如图，多面体中，平面，且，，，M是的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)若，求直线与平面所成角的大小.
21．（2023春·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）如图，在梯形中，AB，四边形为矩形，且平面.
(1)求证：平面平面；
(2)点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
22．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中）如图，在四棱锥中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且.
(1)求证:CD平面PAD;
(2)求二面角的余弦值;
(3)设点G在线段PB上，且直线AG在平面AEF内，求的值.
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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（重庆2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）如图，在斜三棱柱中，M为BC的中点，N为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合图形，根据空间向量的线性运算即可得到答案.
【详解】
故选：A
2．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知直线与直线互相平行，则实数的值为( )
A． B．2或 C．2 D．
【答案】D
【分析】两直线斜率存在时，两直线平行则它们斜率相等，据此求出a的值，再排除使两直线重合的a的值即可﹒
【详解】直线斜率必存在，
故两直线平行，则，即，解得，
当时，两直线重合，∴．
故选：D．
3．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由空间向量基底的定义即可得出答案.
【详解】选项A：令，则，，A正确；
选项B：因为，所以不能构成基底；
选项C：因为，所以不能构成基底；
选项D：因为，所以不能构成基底．
故选：A.
4．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）已知直线x＋y＋1＝0与直线2x－my＋3＝0垂直，则m＝（ ）
A．2 B． C．－2 D．
【答案】A
【分析】利用两条直线垂直的一般式方程结论列式求解即可.
【详解】解：∵直线x＋y＋1＝0与直线2x－my＋3＝0垂直，
∴，则m＝2，
故选：A．
5．（2021秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知为坐标原点，向量，点，.若点在直线上，且，则点的坐标为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由在直线上，设，再利用向量垂直，可得，进而可求E点坐标.
【详解】因为在直线上，故存在实数使得，
.若，则，所以，解得，
因此点的坐标为.
故选：A.
【定睛】本题考查了空间向量的共线和数量积运算，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
6．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）已知两点，点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．10
【答案】C
【分析】根据给定条件求出B关于直线的对称点坐标，再利用两点间距离公式计算作答.
【详解】依题意，若关于直线的对称点，
∴，解得，
∴，连接交直线于点，连接，如图，
在直线上任取点C，连接，显然，直线垂直平分线段，
则有，当且仅当点与重合时取等号，
∴，故 的最小值为.
故选：C
7．（2020秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面，，E为PC的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法可求得结果.
【详解】以点为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，，，，，，
设异面直线与所成角为，则.
故选：B.
【点睛】方法点睛：本题考查线线角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
①两直线所成的角为(),；
②直线与平面所成的角为(),；
③二面角的大小为(),
8．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）若方程有两个不等的实根，则实数b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将化为，作出直线与半圆的图形，利用两个图形有个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解.
【详解】解：由得，
所以直线与半圆有个公共点，
作出直线与半圆的图形，如图：
当直线经过点时，，
当直线与圆相切时，，解得或（舍），
由图可知，当直线与曲线有个公共点时，，
故选：B.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知空间向量，则下列选项中正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】ABD
【分析】对于A，利用空间向量垂直的坐标表示即可判断；对于B，利用空间向量平行的性质即可判断；对于C，先根据空间向量运算法则计算出，再利用模长公式列出方程，从而得以判断；对于D，利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可判断.
【详解】对于A，因为，，
所以，解得，故A正确；
对于B，因为，所以存在，使得，
则，即，解得，故B正确；
对于C，因为，
所以，解得，故C错误；
对于D，因为，则，
所以，故D正确．
故选：ABD.
10．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考开学考试）已知直线：，：，设两直线分别过定点，，直线和直线的交点为，则下列结论正确的有（ ）
A．直线过定点，直线过定点
B．
C．面积的最大值为5
D．若，，则点恒满足
【答案】ABD
【分析】根据直线过定点、向量数量积、三角形的面积公式、轨迹方程、基本不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A，可化作，可发现过定点，
同理，过定点，A正确；
对于B，∵，可得恒成立，因此是以为直径的圆上的点，
根据定义，，B正确；
对于C，，
当且仅当时等号成立，故C错误；
对于D，线段的中点为，，
所以以为直径的圆的方程为，
由可知在圆上运动，
设，若，
则，化简可得，
与的方程相同，故D正确.
故选：ABD
11．（2023秋·重庆·高三重庆一中校考开学考试）三棱锥的各顶点均在半径为2的球O表面上，，，则（ ）
A．有且仅有2个点P满足
B．有且仅有2个点P满足与所成角为
C．的最大值为
D．的最大值为
【答案】AC
【分析】建立空间直角坐标系，运用方程组的思想进行求解方程的个数，从而判断A、B两个选项的正误；运用函数思想借助三角换元法判断C、D两个选项的正误.
【详解】以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
故有，，，设，球心，
因为三棱锥的各顶点均在半径为2的球O表面上，
所以有，即，解得，即，
因为点在球面上，所以，即，
因为，所以，
由，，联立方程组得，
化简得，即有，
选项A：，，
因为，所以，即，
因为，所以，
所以，化简得，
因为，所以（2）有两解，故A选项正确；
选项B：因为与所成角为60°，
所以，所以，解得，
又，所以，
所以，化简得，解得或，
当时，；当时，；
所以此时对应点的解为或，此时对应的点有四个，故选项B错误；
选项C：因为，且，
所以，化简得，
即，
设，即，
故
，（其中），
所以当时，，故选项C正确；
选项D：由选项C得，
所以
所以当时，，故选项D错误；
故选：AC.
12．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知的顶点在圆上，顶点在圆上.若，则（ ）
A．的面积的最大值为
B．直线被圆截得的弦长的最小值为
C．有且仅有一个点，使得为等边三角形
D．有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线
【答案】ACD
【分析】设点到直线的距离为，由求得的最大值判断A，利用直线和圆的位置关系判断B，利用为等边三角形，则需，判断C，利用射影定理可得进而判断D.
【详解】设线段的中点为，因为圆的半径为2，，
所以，且，
对于A选项，设点到直线的距离为，则，
所以当且仅当四点共线时，点到直线距离的最大值为15，所以的面积的最大值为，故A正确；
对于B选项，点到直线的距离小于等于，当时，等号成立，又的最大值为7，
所以点到直线的距离的最大值为7，这时直线被圆截得的弦长的最小值为，故B错误；
对于C选项，若为等边三角形，则需，，因为，
所以点的轨迹是以为圆心的单位圆，所以，又的最小值为4，所以，
当且仅当四点共线时成立，因此有且仅有一个点，使得为等边三角形，故C正确；
对于D选项，若直线，都是圆的切线，则，由射影定理，可得，
同上，当且仅当三点共线时，，因此有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线，故D正确；
故选：ACD
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）点P是棱长为2的正四面体表面上的动点，若MN是该四面体外接球的一条直径，则的最小值是 .
【答案】/
【分析】设正四面体S-ABC的外接球球心为O，外接球半径为R，内切球半径为r，且SH⊥平面ABC于H，利用AH，SH与外接球及内切球半径的关系，转化即可求解外接球、内切球的半径，然后利用向量的数量积，判断P的位置即可求解向量数量积的最小值．
【详解】解：设正四面体的外接球球心为，外接球半径为，内切球半径为，且平面于，则，；
由得
，当为该正四面体的内切球与各面的切点时取等号．
所以的最小值是.
故答案为： .
14．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考开学考试）直线的倾斜角的取值范围是 .
【答案】
【分析】先求得直线的斜率的取值范围，进而求得倾斜角的取值范围.
【详解】设直线的倾斜角为，
因为直线的斜率，
即，所以.
故答案为：.
15．（2021秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知，，且，则 .
【答案】
【分析】由可得,即可求得,则,进而求模即可
【详解】由题,因为,所以,即,
所以,则,
所以,
故答案为：
【点睛】本题考查已知向量垂直求坐标,考查坐标法向量的模
16．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）若圆上到直线的距离等于的点恰有3个，则实数a的值为 .
【答案】或
【分析】设圆心到直线的距离为，由题意有，
利用点到直线距离公式列出等式即可求解.
【详解】圆，即，
所以圆C的圆心坐标为，半径，
因为圆上到直线距离等于的点恰有3个，
设圆心到直线的距离为，则，
即，解得或，
故答案为：或.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2021秋·重庆北碚·高二重庆市朝阳中学校考阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，．
(1)用，，表示；
(2)求AE的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量运算求得正确答案.
（2）结合（1）利用平方的方法，结合向量运算求得正确答案.
【详解】（1）
（2）由（1）得，
两边平方得
，
所以.
18．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考开学考试）已知的三个顶点为，，.
(1)求过点A且平行于的直线方程；
(2)求过点B且与A、C距离相等的直线方程.
【答案】(1)
(2)和
【分析】（1）根据平行得斜率相等，即可由点斜式求解，
（2）根据距离相等，分直线与平行和过中点直线，即可求解.
【详解】（1）由B、C两点的坐标可得，
因为待求直线与直线平行，故其斜率为
由点斜式方程可得目标直线方程为
整理得.
（2）由A、C点的坐标可知，AC的中点D坐标为
又直线没有斜率，则与直线平行的直线符合题意，即.
过B，D两点的直线到A，C的距离也相等，
点斜式方程为，整理得.
综上所述，满足题意的直线方程为和.
19．（2022秋·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知圆的方程为：
(1)求实数的取值范围.
(2)当圆半径最大时，点在圆上，点在直线上，求的最小值.
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）方程配方化为圆的标准方程，由右边大于0可得；
（2）由（1）得圆半径，由函数性质得最大值，从而得值，求出圆心坐标，然后求得圆心到已知直线的距离，确定直线与圆相离，由距离减半径得最小值．
【详解】（1）方程配方得：，它表示圆，
则，解得；
（2）由（1），时，，
圆方程为，圆心为，
圆心到直线的距离为，已知直线与圆相离，
所以的最小值是．
20．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）如图，多面体中，平面，且，，，M是的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)若，求直线与平面所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直与面面垂直的判定定理证明，
（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解．
【详解】（1）证明：取的中点N，连结，
因为，所以.
因为面，面，所以.
又因为，且两直线在平面内，所以平面.
因为点M是的中点，所以，且.
所以四边形为平行四边形，所以，所以面，
又平面，从而平面平面.
（2）设点O，D分别为，的中点，连结，则，
因为面，面，所以.
因为，由（1）知，又因为
所以，所以为正三角形，所以，
因为面，所以面.
故，，两两垂直，以点O为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.
，，，，
设平面的法向量，则
所以取，则，
设与平面所成的角为，则，
因为，所以，故与平面所成角的大小为.
21．（2023春·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）如图，在梯形中，AB，四边形为矩形，且平面.
(1)求证：平面平面；
(2)点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【答案】(1)证明见解析
(2)点M在到E的距离为的位置
【分析】（1）通过证明AC⊥BC，AC⊥CF，可得AC⊥平面BCF，结合ACEF可证明结论；（2）由（1）如图建立以点C为坐标原点，CA、CB、CF所在直线分别为x、y、z轴的空间直角坐标系，设点M(t，0，1)，其中，分别求出平面与平面法向量，利用平面与平面所成锐二面角的余弦值为可得答案.
【详解】（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CD=BC=1，故梯形ABCD为等腰梯形，因为，则，所以
又因为，则，
∴AC⊥BC，因为CF⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥CF.
又∵平面BCF，，∴AC⊥平面BCF，因为四边形ACFE为矩形，AC∥EF，则EF⊥平面BCF ，EF在平面EFD内，因此，平面EFD⊥平面BCF；
（2）因为CF⊥平面ABCD，AC⊥BC，以点C为坐标原点，CA、CB、CF所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系.
在直角三角形中，因则A(，0，0)、B(0，1，0)、C(0，0，0)、F(0，0，1)、E(，0，1)，设点M(t，0，1)，其中.
设平面MAB的法向量为，则，.
则，取，可得.又由题易知平面FCB的一个法向量为
则，
得或（舍去），所以，即点M在到E的距离为的位置.
22．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中）如图，在四棱锥中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且.
(1)求证:CD平面PAD;
(2)求二面角的余弦值;
(3)设点G在线段PB上，且直线AG在平面AEF内，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明PACD，ADCD，证明CD平面PAD；
（2）以A为原点建立空间直角坐标系，写出平面AEF的法向量，计算二面角的余弦；
（3）设，用表示，由与垂直，建立方程，解出.
【详解】（1）因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，
所以PACD，又因为ADCD，PAAD=A，PA，AD平面PAD，
所以CD平面PAD；
（2）过点A作AD的垂线交BC于点M，
因为PA平面ABCD，AM，AD平面ABCD，
所以PAAM，PAAD，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
因为E为PD的中点，所以，
所以，，，
所以，，
设平面AEF的法向量为，则
，即，取，
又因为平面PAD的一个法向量为，
所以，
由题知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
（3）因为点G在PB上，设，，，，
由得，
即，所以，
由（2）知，平面AEF的法向量为，
因为直线AG在平面AEF内，，得，
综上，的值为.
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