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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（福建2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023秋·福建厦门·高二福建省厦门第二中学校考阶段练习）下列条件中，一定使空间四点P A B C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】要使空间中的、、、四点共面，只需满足，且即可.
【详解】对于A选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于B选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于C选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于D选项，，,所以点与、、三点共面.
故选：D.
2．（2021秋·福建厦门·高二厦门双十中学校考期中）已知直线的斜率为，倾斜角为，若，则的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据倾斜角和斜率关系求解.
【详解】直线倾斜角为45°时，斜率为1，
直线倾斜角为135°时，斜率为，
因为在上是增函数，在上是增函数，
所以当时，的取值范围是.
故选：B
3．（2022秋·福建莆田·高二莆田第四中学校考期中）如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先以为基底表示空间向量，再利用数量积运算律求解.
【详解】解：，
，
，
，
所以，
故选：B
4．（2022春·福建厦门·高二厦门外国语学校校考期末）已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可.
【详解】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.
故选：C.
5．（2022春·福建厦门·高二厦门外国语学校校考期末）已知，，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】利用向量平行的充要条件列出关于x、y的方程组，解之即可求得x、y的值.
【详解】，，
则，
由，可得，解之得
故选：B
6．（2021春·福建泉州·高二泉州五中校考开学考试）已知，，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设点关于直线的对称点为，列方程组求出，从而，当，，共线时，的最小值为.
【详解】，，点为直线上的动点，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，，，
，
当，，共线时，的最小值为：．
故选：C．
【点睛】方法点睛：该题考查的是有关一条直线上的动点到直线同侧两点距离和的最小值问题，解题方法如下：
（1）分析图形的特征，求其中一个点关于直线的对称点的坐标；
（2）利用线段中垂线上的点到线段两端点距离相等，将距离转化；
（3）两点直线直线段最短，利用两点间距离公式求得结果.
7．（2022秋·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）已知，，，则点C到直线的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算C到直线AB的距离．
【详解】因为，，
所以在方向上的投影数量为．
设点C到直线的距离为d，则．
故选：B.
8．（2022春·福建厦门·高二厦门外国语学校校考期末）已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】A
【分析】写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定最小时直线与直线的位置关系，即可得结果.
【详解】由恒过，
又，即在圆C内，
要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短，
由，圆的半径为5，
所以.
故选：A
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·福建福州·高二福建省福州第二中学统考阶段练习）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为钝角 D．在方向上的投影向量为
【答案】BD
【分析】利用向量垂直，平行的坐标关系判断A，B，根据向量夹角公式判断C，根据投影向量和投影数量的关系计算求解判断D.
【详解】因为，所以，不垂直，A错，
因为，所以，B对，
因为，所以，所以不是钝角，C错，
因为在方向上的投影向量，D对，
故选：BD.
10．（2022秋·福建厦门·高二厦门双十中学校考期中）已知直线l：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角是
B．点到直线l上的点的最短距离是2
C．直线l关于x轴对称的直线方程是
D．直线l在x轴上的截距是
【答案】BC
【分析】选项A，转化为直线的斜截式，结合即可判断；选项B，求解点到直线距离，即可判断；选项C，由直线过，且斜率与直线l的斜率互为相反数即可判断；选项D，计算直线与x轴的交点即可判断.
【详解】选项A，记直线倾斜角为，直线l：，故直线斜率，故，错误；
选项B，点到直线l上的点的最短距离即为点到直线的距离，正确；
选项C，直线l：与轴的交点为，直线l关于x轴对称的直线过，且斜率与直线l的斜率互为相反数，故直线方程为，正确；
选项D，直线l：与轴的交点为，故在x轴上的截距是，错误.
故选：BC
11．（2023秋·福建厦门·高二福建省厦门第二中学校考阶段练习）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（ ）
A．
B．
C．四边形的面积为
D．平行六面体的体积为
【答案】ABD
【分析】A、B选项通过空间向量的模长及数量积进行判断即可；C选项通过空间向量求出，进而求出面积即可；D选项作出平行六面体的高，求出相关边长，即可求出体积.
【详解】，则，故，A正确；
，，，故，B正确；
连接，则，，即，同理，故四边形为矩形，
面积为，C错误；
过作面，易知在直线上，过作于，连接，由得面，易得，故，，，故平行六面体的体积为，
D正确.
故选：ABD.
12．（2022秋·福建厦门·高二厦门一中校考期中）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为 B．若圆C关于直线l对称，则
C．若，则或 D．若A，B，C，O四点共圆，则
【答案】ACD
【分析】判断出直线过定点，结合勾股定理、圆的对称性、点到直线的距离公式、四点共圆等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】直线过点，
圆，即①，
圆心为，半径为，
由于，所以在圆内.，
所以，此时，所以A选项正确.
若圆关于直线对称，则直线过两点，斜率为，所以B选项错误.
设，则，此时三角形是等腰直角三角形，
到直线的距离为，即，
解得或，所以C选项正确.
对于D选项，若四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心为，
的中点为，，
所以的垂直平分线为，则②，
圆的方程为，
整理得③，
直线是圆和圆的交线，
由①-③并整理得，
将代入上式得，④，
由②④解得，
所以直线即直线的斜率为，D选项正确.
故选：ACD
【点睛】求解直线和圆位置关系有关题目，首先要注意的是圆和直线的位置，是相交、相切还是相离.可通过点到直线的距离来判断，也可以通过直线所过定点来进行判断.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·福建漳州·高二漳州三中校考期中）已知一直线的倾斜角为，且，则该直线的斜率的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由倾斜角和斜率的关系进行求解.
【详解】因为直线的倾斜角为，且，
当时，；
当时，；
即该直线的斜率的取值范围是.
故答案为：.
14．（2022秋·福建福州·高二福建省福州第一中学校考阶段练习）直线的倾斜角为 ．
【答案】
【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．
【详解】设直线的倾斜角为．
由直线化为，故，
又，故，故答案为．
【点睛】一般地，如果直线方程的一般式为，那么直线的斜率为，且，其中为直线的倾斜角，注意它的范围是．
15．（2022秋·福建龙岩·高二上杭县第二中学校考阶段练习）已知直线l经过点P（0，1）且一个方向向量为（2，1），则直线l的方程为 ．
【答案】
【分析】根据方向向量可得直线的斜率，进而根据点斜式求解方程即可.
【详解】因为直线l的一个方向向量为（2，1），所以其斜率为，所以直线l的方程为，即．
故答案为：
16．（2022秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=1，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P，如图所示，若光线QR经过△ABC的重心G，则AP= ．
【答案】
【分析】建立坐标系，根据重心坐标公式求出重心G，利用光的反射与轴对称的性质确定的所在直线斜率，结合斜率公式进行求解即可
【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，可得，
所以直线BC的方程为，即x＋y－1=0，△ABC的重心G的坐标为，
设点，M，N分别是点P关于直线BC和y轴的对称点，连接NR，QM，所以，
设，则有解得，
，所以，
由光的反射原理可知，M，Q，R，N四点共线，所以，
即，解得或(舍去)，此时，
故答案为：
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2022秋·福建泉州·高二校考阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，．求：
(1)
(2)的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量数量积定义可直接求得结果；
（2）利用向量线性运算可得，由向量数量积的定义和运算律可求得，由此可得结果.
【详解】（1）.
（2），
，
，即的长为.
18．（2022秋·福建福州·高二福建省福州第一中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，分别为，，的中点，分别记，，为，，.
(1)用，，表示，；
(2)若，，求.
【答案】(1)；.
(2).
【分析】（1）用空间向量的加减运算分别表示，，，，再转化为，，表示即可；
（2）先把用，，表示，然后平方，把向量的模和数量积分别代入，计算出结果后再进行开方运算求得.
【详解】（1）连结.在直三棱柱中，，，，
则.
.
（2）如图，在直三棱柱中，，，，所以，，又，
所以，，.
，
所以.
19．（2021秋·福建厦门·高二厦门大学附属科技中学校考期中）已知的三个顶点分别为，求：
(1)边中线所在的直线方程
(2)的外接圆的方程
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出中点的坐标，由两点得直线斜率，由点斜式得直线方程并化简；
（2）设出圆的一般方程，代入三点坐标求解．
【详解】（1）设的中点为，则所在直线的斜率为，
则边所在直线的方程为，即．
（2）设的外接圆的方程为，
由，解之可得
故的外接圆的方程为．
20．（2023·福建厦门·厦门一中校考二模）如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)与平面所成的角的正弦值为
【分析】（1）根据已知关系证明，得到，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；
（2）根据勾股定理逆用得到，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.
【详解】（1）因为，E为的中点，所以；
在和中，因为，
所以，所以，又因为E为的中点，所以；
又因为平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）连接，由（1）知，平面，因为平面，
所以，所以，
当时，最小，即的面积最小.
因为，所以，
又因为，所以是等边三角形，
因为E为的中点，所以，，
因为，所以,
在中，，所以.
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
又因为，所以，
所以，
设与平面所成的角的正弦值为，
所以，
所以与平面所成的角的正弦值为.
21．（2022春·福建泉州·高二校考期末）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，M为线段PC的中点，，N为线段BC上的动点．
(1)证明：平面平面
(2)当点N在线段BC的何位置时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°？指出点N的位置，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)点N在线段BC的中点
【分析】（1）由底面ABCD，可得，而，可证得平面，从而得，而，所以平面，再由面面垂直的判定定理可得结论，
（2）设，以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可
【详解】（1）证明：因为底面ABCD，底面ABCD，
所以，
因为，，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为四边形为正方形，，
所以，
因为在中，，M为线段PC的中点，
所以，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面，
（2）当点N在线段BC的中点时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°，理由如下：
因为底面，平面，
所以，
因为，
所以两两垂直，
所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，
设，则，
设为平面的法向量，则
，令，则，
设为平面的法向量，则
，令，则，
因为平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°，
所以，
化简得，得，
所以当点N在线段BC的中点时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°
22．（2022秋·福建厦门·高三厦门一中校考期中）如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，为线段上一点.
(1)若，求证：平面；
(2)若，，异面直线与成角，二面角的余弦值为，在线段上是否存在点，使得点到直线的距离为，若存在请指出点的位置，若不存在请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)线段上存在点，为靠近或靠近的三等分点
【分析】（1）过点作，交于点，连接，通过证明四边形为平行四边形得出，然后利用线面平行的判定定理即可得出结论；
（2）证明出平面，过点作交于点，并以点为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法结合二面角的余弦值为，求出的值，再利用空间中点到直线的距离公式即可得出结论.
【详解】（1）（1）过点作，交于点，连接，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，
所以四边形为平行四边形，则，
∵平面，平面，
∴平面；
（2）由异面直线与成角，即，
∵，，∴平面，
∵，过点作交于点，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为，、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，则，，
则，
设平面的法向量为，
则，取，则，，
可得平面的一个法向量为，
由于二面角的余弦值为，
则，解得，
则，
假设线段上存在点，使得点到直线的距离为，
设，
∴，
则，
∴，，
∴点到直线的距离为，
解得或，
所以线段上存在点，为靠近或靠近的三等分点时，使得点到直线的距离为.
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（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023秋·福建厦门·高二福建省厦门第二中学校考阶段练习）下列条件中，一定使空间四点P A B C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021秋·福建厦门·高二厦门双十中学校考期中）已知直线的斜率为，倾斜角为，若，则的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
3．（2022秋·福建莆田·高二莆田第四中学校考期中）如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022春·福建厦门·高二厦门外国语学校校考期末）已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022春·福建厦门·高二厦门外国语学校校考期末）已知，，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2021春·福建泉州·高二泉州五中校考开学考试）已知，，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）已知，，，则点C到直线的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
8．（2022春·福建厦门·高二厦门外国语学校校考期末）已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·福建福州·高二福建省福州第二中学统考阶段练习）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为钝角 D．在方向上的投影向量为
10．（2022秋·福建厦门·高二厦门双十中学校考期中）已知直线l：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角是
B．点到直线l上的点的最短距离是2
C．直线l关于x轴对称的直线方程是
D．直线l在x轴上的截距是
11．（2023秋·福建厦门·高二福建省厦门第二中学校考阶段练习）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（ ）
A．
B．
C．四边形的面积为
D．平行六面体的体积为
12．（2022秋·福建厦门·高二厦门一中校考期中）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为 B．若圆C关于直线l对称，则
C．若，则或 D．若A，B，C，O四点共圆，则
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·福建漳州·高二漳州三中校考期中）已知一直线的倾斜角为，且，则该直线的斜率的取值范围是 ．
14．（2022秋·福建福州·高二福建省福州第一中学校考阶段练习）直线的倾斜角为 ．
15．（2022秋·福建龙岩·高二上杭县第二中学校考阶段练习）已知直线l经过点P（0，1）且一个方向向量为（2，1），则直线l的方程为 ．
16．（2022秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=1，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P，如图所示，若光线QR经过△ABC的重心G，则AP= ．
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2022秋·福建泉州·高二校考阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，．求：
(1)
(2)的长．
18．（2022秋·福建福州·高二福建省福州第一中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，分别为，，的中点，分别记，，为，，.
(1)用，，表示，；
(2)若，，求.
19．（2021秋·福建厦门·高二厦门大学附属科技中学校考期中）已知的三个顶点分别为，求：
(1)边中线所在的直线方程
(2)的外接圆的方程
20．（2023·福建厦门·厦门一中校考二模）如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
21．（2022春·福建泉州·高二校考期末）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，M为线段PC的中点，，N为线段BC上的动点．
(1)证明：平面平面
(2)当点N在线段BC的何位置时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°？指出点N的位置，并说明理由．
22．（2022秋·福建厦门·高三厦门一中校考期中）如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，为线段上一点.
(1)若，求证：平面；
(2)若，，异面直线与成角，二面角的余弦值为，在线段上是否存在点，使得点到直线的距离为，若存在请指出点的位置，若不存在请说明理由.
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