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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（广东1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022秋·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
【分析】化成斜截式方程得斜率为，进而根据斜率与倾斜角的关系求解即可.
【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：，
所以直线的斜率为，
所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为.
故选：C
2．（2022秋·广东江门·高二新会陈经纶中学校考期中）设，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．或
【答案】D
【分析】如图，求出可得斜率的取值范围.
【详解】
由题设可得，
因为直线与线段相交，则或，
故选：D.
3．（2022秋·广东东莞·高二东莞市东华高级中学校考阶段练习）设是正三棱锥，G是的重心，D是PG上的一点，且，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】G是等边的重心，可得，再由，可得，而，从而可以将用表示出，进而可求出
【详解】因为三棱锥是正三棱锥，G是的重心，
所以，
因为D是PG上的一点，且，所以，
因为，
所以
,
因为，所以，所以为.
故选：B
4．（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考期中）过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，设所求直线为，代入A点坐标，求得m值，即可得答案.
【详解】因为所求直线与直线l平行，
所以设所求直线方程为：，
又所求直线过点，代入可得，解得，
所以所求直线为，即.
故选：A
5．（2022秋·广东东莞·高二东莞市东华高级中学校考阶段练习）已知向量，则与共线的一个单位向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，根据求得实数的值，即可求得单位向量的坐标.
【详解】设，由已知可得，解得.
因此，或.
故选：B.
【点睛】结论点睛：与非零向量共线的单位向量为.
6．（2022秋·广东广州·高二广州市第一一三中学校考阶段练习）点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.
【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，
则，解得.
所以点的坐标为
故选：A.
7．（2022春·广东中山·高二中山纪念中学校考阶段练习）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图所示，补成直四棱柱，
则所求角为，
易得，因此，故选C．
平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．
8．（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考阶段练习）若直线 与圆 相交于 两点， 且 (其中 为原点)， 则 的值为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
【答案】A
【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由可知，圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式可得
故选：A
【点睛】
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考期中）如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律逐项分析即得.
【详解】因为，，
所以，，
所以，
故A错误；
因为，，，
所以，
所以，故B正确；
因为，，
所以，故C错误；
因为，所以，
因为，
所以，
所以，故D正确.
故选：BD.
10．（2022秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期中）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ）
A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变
B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C．当直线与平面所成的角为45°时，点的轨迹长度为
D．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
【答案】AC
【分析】A. 由四棱锥的高和底面积判断； B.根据是等边三角形判断；C.根据直线与平面所成的角为，结合正方体的特征判断； D.建立空间直角坐标系，求得的坐标进行判断.
【详解】A. 当在平面上运动时，点到面的距离不变，不变，
故四棱锥的体积不变，故A正确；
B. 建立如图所示空间直角坐标系：
设 ，，则 ，
设与所成的角为，则 ，
因为，
当时， ，
当 时， ，则 ，
综上： ，所以与所成角的取值范围是，故B错误；
C.因为直线与平面所成的角为，
若点在平面和平面内，因为最大，不成立；
在平面内，点的轨迹是，
在平面内，点的轨迹是，
在平面时，如图所示：
，
作平面，因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
则，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的四分之一圆，
所以点的轨迹长度为，
所以点的轨迹总长度为长度为，故C正确；
D.建立如图所示空间直角坐标系：
设 ，，
则 ， ，
设平面的一个法向量为，
则 ，即 ，
令 ，则 ，
因为平面，所以 ，即 ，
所以 ，
当 时，等号成立，故D错误；
故选：AC.
11．（2022秋·广东东莞·高二东莞市东华高级中学校考阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（ ）
A．存在点，使得平面
B．存在点，使得直线与直线所成的角为
C．存在点，使得三棱锥的体积为
D．不存在点，使得，其中为二面角的大小，为直线与直线所成的角
【答案】ACD
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、
、，设，即点，其中.
对于A选项，假设存在点，使得平面，
，，，则，解得，
故当点为线段的中点时，平面，A对；
对于B选项，，，
由已知可得，则，B错；
对于C选项，，点到平面的距离为，
则，解得，C对；
对于D选项，，，设平面的法向量为，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，
由图可得，
，，
，
因为，，
则，
、，且余弦函数在上单调递减，则，D对.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
12．（2023·广东广州·广州六中校考三模）如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（ ）
A．当时，EP//平面 B．当时，取得最小值，其值为
C．的最小值为 D．当平面CEP时，
【答案】BC
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用两点间距离公式计算判断BC；确定直线与平面CEP交点的位置判断D作答.
【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，则点，
对于A，，，，而，
显然，即是平面的一个法向量，
而，因此不平行于平面，即直线与平面不平行，A错误；
对于B，，则，
因此当时，取得最小值，B正确；
对于C，，
于是，当且仅当时取等号，C正确；
对于D，取的中点，连接，如图，
因为E为边AD的中点，则，当平面CEP时，平面，
连接，连接，连接，显然平面平面，
因此，平面，平面，则平面，
即有，而，所以，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考阶段练习）已知：如图，在的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面用的两个半平面内，且都垂直，已知，则 ．
【答案】
【详解】，所以
，所以，故填：.
【点睛】本题考查了利用平面向量解决立体几何的问题，也是比较容易忽视的方法，所求的向量用已知向量表示以后，转化为数量积的计算，本题的关键是利用三角形法则的推论，用表示.
14．（2022秋·广东广州·高二广州市真光中学校考阶段练习）已知直线：与：平行，则 .
【答案】
【分析】根据两直线平行列方程，验证后求得的值.
【详解】由于，所以，解得或.
当时，两直线方程为，两直线重合，不符合题意.
当时，两直线方程为，两直线平行，符合题意.
综上所述，的值为.
故答案为：
15．（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考期末）设向量，且，则的值为 ．
【答案】168
【分析】根据向量，设，列出方程组，求得，得到，再利用向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】由题意，向量，设，
又因为，
所以，
即，解得，
所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了向量的共线的坐标运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的共线条件，熟练应用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
16．（2022秋·广东佛山·高二顺德一中校考期中）若直线经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为 ．
【答案】x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.
【分析】讨论横截距、纵截距均为零、都不为零两种情况，设直线方程并将点坐标代入求参数，即可写出直线方程.
【详解】①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y＝kx，
将(－5,2)代入y＝kx中，得k＝－，
此时，直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.
②当横截距、纵截距都不为零时，设所求直线方程为，
将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，
此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.
故答案为：x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2022秋·广东汕尾·高二华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.
（1）试用向量，，表示向量；
（2）若，，，求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】(1）根据向量的运算性质求出即可；
(2）根据向量的运算性质代入计算即可.
【详解】（1），
故
∵点E为AD的中点，
故
（2）由题意得
故
故
18．（2022秋·广东肇庆·高二肇庆市第一中学校考期中）已知直线l：.
（1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
（2）为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）将直线方程整理得到，求出直线所过定点，即可证明结论成立；
（2）根据直线的特征，列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】（1）直线l为，
即，
，解得，
不论a为何值，直线l总过第一象限的点，
即直线l过第一象限；
（2）因为直线的斜率显然存在，
又直线l不经过第二象限，直线l过第一象限，
所以斜率只能为正，且直线与轴不能交于正半轴；
因此；解得，
的取值范围是.
19．（2021秋·广东佛山·高二佛山一中校考期中）已知圆过点，且与直线相切于点．
(1)求圆的方程；
(2)过点的直线与圆交于两点，若为直角三角形，求直线的方程；
(3)在直线上是否存在一点，过点向圆引两切线，切点为，使为正三角形，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在点或，使为正三角形
【分析】（1）设圆心为，根据圆心和切点连线与切线垂直、圆心到圆上两点的距离相等可构造方程组求得圆心坐标，进而得到半径，由此可得圆的方程；
（2）由等腰直角三角形性质可知圆心到直线的距离；分别在直线斜率不存在和存在的情况下，根据构造方程求得结果；
（3）由等边三角形性质可知，设，利用两点间距离公式可构造方程求得，进而得到点坐标.
【详解】（1）设圆心坐标为，则，解得：，
圆的半径，
圆的方程为：.
（2）为直角三角形，，，
则圆心到直线的距离；
当直线斜率不存在，即时，满足圆心到直线的距离；
当直线斜率存在时，可设，即，
，解得：，
，即；
综上所述：直线的方程为或.
（3）假设在直线存在点，使为正三角形，，，
设，，解得：或，
存在点或，使为正三角形.
20．（2022秋·广东揭阳·高二校考阶段练习）如图所示，圆锥的高，底面圆O的半径为R，延长直径AB到点C，使得，分别过点A，C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点．
(1)证明：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点A到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）由线面垂直、切线的性质可得、，再根据线面垂直及面面垂直的判定即可证得．
（2）作，以为原点，以、、分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用线面角公式求出R，再利用点面距的向量公式求出距离.
【详解】（1）由题设，平面，又是切线与圆的切点，
∴平面，则，且，
又，∴平面，
又平面，所以平面平面.
（2）作，以为原点，以、、为x、y、z轴正方向，建立空间直角坐标系，
且，
又，可得，
∴，，，
有，，，
设是面的一个法向量，则，
令，则，
又直线与平面所成角的正弦值为，
即，
整理得，即，解得或
当时，，，， ，
，，
设是面的一个法向量，则，
令，则，
所以点A到平面的距离
当时，，，， ，
，，
设是面的一个法向量，则，
令，则，
所以点A到平面的距离
综上，点A到平面的距离为或.
21．（2023春·广东汕头·高三汕头市潮阳实验学校校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面平面ABCD，．
(1)求点A到平面PBC的距离；
(2)E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）取AD中点O，连接OB，OP.通过证明，可得，.后由等体积法可求得点A到平面PBC的距离；
（2）由（1），如图建立以O为原点的空间直角坐标系，由直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，可得.求得平面ADE的法向量后，利用空间向量可得平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值.
【详解】（1）取AD中点O，连接OB，OP.
∵为等边三角形，∴，OA=1，.
又∵平面平面ABCD，平面平面ABCD=AD，
平面PAD，∴平面ABC.
又∵平面ABCD，∴.
∵，∴，∴.
又∵，平面POB，
平面POB，，∴平面POB.
又∵平面POB，∴.
∴，
设点A到平面PBC的距离为h，
则即，∴；
（2）由（1），分别以OA，OB，OP为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，，.
设，则，.
得，则.
又平面ABC，则取平面ABCD的法向量.
设AE与平面ABCD所成的角为，则
，解得.
则，.
设平面ADE的法向量，则.
令，则取平面ADE的法向量，又平面ABCD的法向量.
故平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为.
22．（2022秋·广东江门·高二开平市第一中学校考阶段练习）已知三棱柱中，，，，．
(1)求证：平面平面ABC；
(2)若，在线段AC上是否存在一点P，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，，理由见解析.
【分析】（1）连接，由线面垂直的判定有平面，根据线面垂直的性质，最后根据线面垂直、面面垂直的判定证结论.
（2）构建空间坐标系，假设存在使题设条件成立，进而求得面、面的法向量，根据已知二面角余弦值及空间向量夹角的坐标表示列方程求，即可判断存在性.
【详解】（1）由知：四边形为菱形．
连接，则，又且，
∴平面，平面，则；
又，即，而，
∴平面，而平面ABC，
∴平面平面ABC．
（2）以C为坐标原点，射线CA、CB为x、y轴的正向，平面上过C且垂直于AC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵，，，
∴，，，．
设在线段AC上存在一点P，满足，使二面角的余弦值为，则，
所以，．
设平面的一个法向量为，
由，取，得；
平面的一个法向量为．
由，解得或．
因为，则．
故在线段AC上存在一点P，满足，使二面角的平面角的余弦值为．
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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（广东1）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022秋·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．（2022秋·广东江门·高二新会陈经纶中学校考期中）设，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．或
3．（2022秋·广东东莞·高二东莞市东华高级中学校考阶段练习）设是正三棱锥，G是的重心，D是PG上的一点，且，若，则为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考期中）过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·广东东莞·高二东莞市东华高级中学校考阶段练习）已知向量，则与共线的一个单位向量（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·广东广州·高二广州市第一一三中学校考阶段练习）点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022春·广东中山·高二中山纪念中学校考阶段练习）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
8．（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考阶段练习）若直线 与圆 相交于 两点， 且 (其中 为原点)， 则 的值为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考期中）如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期中）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ）
A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变
B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C．当直线与平面所成的角为45°时，点的轨迹长度为
D．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
11．（2022秋·广东东莞·高二东莞市东华高级中学校考阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（ ）
A．存在点，使得平面
B．存在点，使得直线与直线所成的角为
C．存在点，使得三棱锥的体积为
D．不存在点，使得，其中为二面角的大小，为直线与直线所成的角
12．（2023·广东广州·广州六中校考三模）如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（ ）
A．当时，EP//平面 B．当时，取得最小值，其值为
C．的最小值为 D．当平面CEP时，
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考阶段练习）已知：如图，在的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面用的两个半平面内，且都垂直，已知，则 ．
14．（2022秋·广东广州·高二广州市真光中学校考阶段练习）已知直线：与：平行，则 .
15．（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考期末）设向量，且，则的值为 ．
16．（2022秋·广东佛山·高二顺德一中校考期中）若直线经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为 ．
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2022秋·广东汕尾·高二华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.
（1）试用向量，，表示向量；
（2）若，，，求的值.
18．（2022秋·广东肇庆·高二肇庆市第一中学校考期中）已知直线l：.
（1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
（2）为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围.
19．（2021秋·广东佛山·高二佛山一中校考期中）已知圆过点，且与直线相切于点．
(1)求圆的方程；
(2)过点的直线与圆交于两点，若为直角三角形，求直线的方程；
(3)在直线上是否存在一点，过点向圆引两切线，切点为，使为正三角形，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
20．（2022秋·广东揭阳·高二校考阶段练习）如图所示，圆锥的高，底面圆O的半径为R，延长直径AB到点C，使得，分别过点A，C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点．
(1)证明：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点A到平面的距离．
21．（2023春·广东汕头·高三汕头市潮阳实验学校校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面平面ABCD，．
(1)求点A到平面PBC的距离；
(2)E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值．
22．（2022秋·广东江门·高二开平市第一中学校考阶段练习）已知三棱柱中，，，，．
(1)求证：平面平面ABC；
(2)若，在线段AC上是否存在一点P，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．
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