第三章综合训练
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知点在抛物线的准线上,则该抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2. 已知椭圆 经过点,则上一点到两焦点的距离之和为( )
A. 2 B. C. 4 D.
3. 已知双曲线的一条渐近线的方程为,则双曲线的焦距为( )
A. B. 10 C. D.
4. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且垂直于轴，，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D. 2
5. 设是双曲线上的点,,是焦点,双曲线的离心率是,且 ,的面积是7,则 ( )
A. B. C. 10 D. 16
6. 已知直线与抛物线相交于,两点,为的焦点,若,则等于( )
A. B. C. D.
7. 我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中,）,如图所示,其中点,,是相应椭圆的焦点.若是边长为1的等边三角形,则,的值分别为( )
A. ,1 B. ,1 C. 5,3 D. 5,4
8. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点,的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于,两点.若恰好将线段三等分,则( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 当时,方程表示的轨迹可以是( )
A. 两条直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线
10. 已知双曲线的左、右焦点分别为,,则能使双曲线的方程为的是( )
A. 离心率为 B. 双曲线过点
C. 渐近线方程为 D. 实轴长为4
11. [2023湖北武汉期末]已知抛物线的焦点为，直线，过焦点分别交抛物线于点，，，，其中，位于轴上方，且直线经过点，，记，的斜率分别为，，则下列结论正确的有( )
A. B. C. D.
12. [2023湖南长沙月考]如图是由半圆和半椭圆组成，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是( )
A. 椭圆的离心率是
B. 点 关于直线 的对称点在半圆上
C. 面积的最大值是
D. 线段 长度的取值范围是
三、填空题：本题共4小题.
13. 抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1,则.
14. 已知椭圆的离心率为,,分别为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点使得是钝角,则满足条件的取值范围是.
15. 如图,过抛物线的焦点作直线,与抛物线及其准线分别交于,,三点,若,则直线的方程为,.
16. 摆线是一类重要的曲线，许多机器零件的轮廓线都是摆线，摆线的实用价值与椭圆、抛物线相比毫不逊色.摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）上滚动时，动圆上点的轨迹.由于采用不同类型的曲线作为基线，产生了摆线族的大家庭，当基线是圆且动圆内切于定圆做无滑动的滚动时，切点运动的轨迹就是内摆线.已知基线圆的方程为，半径为1的动圆内切于定圆做无滑动的滚动，切点的初始位置为.若，则的最小值为；若，且已知线段的中点的轨迹为椭圆，则该椭圆的方程为.
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知,分别是双曲线两条渐近线上的动点,且,为坐标原点,动点满足,求动点的轨迹方程.
18. 已知椭圆的焦距为,且过点.
（1） 求椭圆的方程；
（2） 斜率大于0且过椭圆右焦点的直线与椭圆交于,两点,若,求直线的方程.
19. 已知,分别是双曲线的左、右焦点,是双曲线上一点,到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍,
（1） 求双曲线的渐近线方程；
（2） 当 时,的面积为,求此双曲线的方程.
20. 已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,且点的横坐标为4,.
（1） 求抛物线的方程；
（2） 设为过点的任意一条直线,若交抛物线于,两点,求证：以为直径的圆必过坐标原点.
21. 从椭圆上一点向轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点,且它的长轴的一个端点与短轴的一个端点的连线平行于.
（1） 求椭圆的离心率；
（2） 设是椭圆上任一点,是椭圆的右焦点,求的取值范围.
22. 给定椭圆,则称圆心在原点,半径为的圆是椭圆的“卫星圆”.若椭圆的离心率为,点在上.
（1） 求椭圆的方程和其“卫星圆”方程；
（2） 点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点,过点作直线,,使得,,与椭圆都只有一个交点,且,分别交其“卫星圆”于点,,证明：弦长为定值.
第三章综合训练
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. C
[解析]因为点在抛物线的准线上,所以,所以,则该抛物线的焦点坐标是.故选.
2. D
[解析]由椭圆 经过点可得,即椭圆的方程为,则,由椭圆的定义可知上一点到两焦点的距离之和为.
3. C
[解析]由题意得,,
则双曲线的焦距为.
4. A
[解析]轴，，.
由，可得,可得，，
.
又，解得.故选.
5. A
[解析]由题意,不妨设点是双曲线右支上的一点,,,则
,.
.
.故选.
6. B
[解析]设,,
易知,,,.
由
得,
所以.①
根据抛物线的定义得,
,.
因为,所以,②
由①②得（舍去）,
所以,代入得.
7. A
[解析],
,
,,得,即,.
8. C
[解析]由题意,知,
因此椭圆方程为,
双曲线的一条渐近线方程为,
联立方程消去,得,
所以直线截椭圆的弦长,解得,.
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. ACD
[解析]当时,,,
可得方程表示的曲线可以是椭圆,
也可以是双曲线,也可以是两条直线.故选.
10. ABC
[解析]由双曲线的左、右焦点分别为,,可得.
如果离心率为,可得,则,所以双曲线的方程为,故正确；如果双曲线过点,可得解得所以双曲线的方程为,故正确；
如果渐近线方程为,可得,,解得,,所以双曲线的方程为,故正确；
如果实轴长为4,可得,,双曲线的方程为,故错误.
故选.
11. ACD
[解析]由抛物线可得，抛物线的焦点,,
设直线的方程为,
联立整理可得，
所以，故正确；
同理可得，
由直线经过点,设,
则,
而,,所以,
则,
整理可得,
也即,
因为，所以,
又，，所以，故正确；
，故错误；
因为,同理,
则，故正确.故选.
12. ACD
[解析]由题意得半圆的方程为，
设椭圆的方程为，则，，,
椭圆的方程为.
对于，椭圆的离心率是，故正确；
对于，设关于直线的对称点为，,可得且,解得,，即对称点为,
又半圆的方程为，
对称点,不在半圆上，故错误；
对于，由题得的面积,
设，，
,
设，，,
,
,
当且仅当时,等号成立，故正确；
对于，当时，；当时，.
线段长度的取值范围是，故正确.
故选.
三、填空题：本题共4小题.
13. 2
[解析]依题意,设抛物线的焦点为,点的横坐标是,
则的最小值是,则.
14.
[解析]如图,当点位于短轴端点处时,最大,
因为椭圆上存在点使得是钝角,
所以在中, ,
所以直角三角形中, ,
所以,即,
所以,即,所以.
又,所以.
15. ;
[解析]抛物线的焦点坐标为,准线方程为,
设,,,
,
则,,即,此时,得,即,
则,则的斜率,则直线的方程为,
代入得,
设,,则,
即.
16. 2;
[解析]当时，又内切小圆半径，
小圆上的切点的轨迹为大圆的内摆线，如图1，
图1
的最小值为.
当时，又内切小圆半径，
小圆上的切点的轨迹为大圆的内摆线，为线段，如图2，
图2
又线段的中点的轨迹为椭圆，
由图可知,椭圆的长半轴长，椭圆的短半轴长,且椭圆的长轴在轴上，短轴在轴上，中心为原点， 该椭圆的方程为.
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 解设,,,
动点满足,
,.
,分别是双曲线的两条渐近线上的动点,
,,
,,
，
化简可得的轨迹方程为.
18. （1） 解由题意得,设左焦点为，则,,,,.
故椭圆的方程为.
（2） 设直线的方程为,代入椭圆方程得,
设,,
恒成立,由根与系数的关系可得,①
,②
由得,③
由①②③可得.
故直线的方程为.
19. （1） 解因为双曲线的渐近线方程为,
则点到渐近线距离为（其中是双曲线的半焦距）,所以由题意知.
又因为,解得,
故所求双曲线的渐近线方程是.
（2） 因为 ,
由余弦定理得,,
即.①
又由双曲线的定义得,
平方得,②
由①②式相减得.根据三角形的面积公式得,得.再由（1）得,
故所求双曲线方程是.
20. （1） 解抛物线的焦点为,,准线方程为,由抛物线的定义可得,,解得,即抛物线的方程为.
（2） 证明设直线,,,代入抛物线方程,可得,
恒成立,
,,
,
即有,则,则以为直径的圆必过坐标原点.
21. （1） 解依题意知点的坐标为,
设点的坐标为.
若点的坐标为,则点的坐标为,
则直线的斜率当点坐标为,点坐标为时,同样有.
则有,.①
又点在椭圆上,.②
由①②得,,即椭圆的离心率为.
（2） ①当点与椭圆长轴的端点重合时,.
②当点与椭圆长轴的端点不重合时,
设,, ,
则,.
在中,
，
当且仅当时,等号成立,故当点与椭圆长轴的端点不重合时,.
又,
.
综上,的取值范围是.
22. （1） 解由条件可得
解得,.
所以椭圆的方程为,
“卫星圆”的方程为.
（2） 证明①当,中有一条斜率不存在时,不妨设的斜率不存在,
因为与椭圆只有一个公共点,
则其方程为或,
当的方程为时,此时与“卫星圆”交于点和,
此时经过点,且与椭圆只有一个公共点的直线是或,即为或,所以,
同理，当的方程为时，结论相同.所以线段应为“卫星圆”的直径,
所以.
②当,斜率都存在时,设点,其中,
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为,
直线,直线,
联立
消去,整理得,
所以,所以,
满足两直线,垂直的条件.
所以线段应为“卫星圆”的直径,
所以，
综合①②知,为定值.(共44张PPT)
01
第三章综合训练
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知点 在抛物线 的准线上,则该抛物线的焦点坐标是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为点 在抛物线 的准线上,所以 ,所以 ,则该抛物线的焦点坐标是 .故选C.
2.已知椭圆 经过点 ,则 上一点到两焦点的距离之和为( )
D
A.2 B. C.4 D.
[解析] 由椭圆 经过点 可得 ,即椭圆的方程为 ,
则 ,由椭圆的定义可知 上一点到两焦点的距离之和为 .
3.已知双曲线 的一条渐近线的方程为 ,则双曲线的焦距为( )
C
A. B.10 C. D.
[解析] 由题意得 , ,
则双曲线的焦距为 .
4.已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点， 是椭圆上一点，
且 垂直于 轴， ，则椭圆的离心率为( )
A
A. B. C. D.2
[解析] 轴， ， .
由 ，可得 ,可得 ，
，
.
又 ，解得 .故选A.
5.设 是双曲线 上的点, , 是焦点,双曲线的离心率是 ,且
, 的面积是7,则 ( )
A
A. B. C.10 D.16
[解析] 由题意,不妨设点 是双曲线右支上的一点, , ,则
, .
.
.故选A.
6.已知直线 与抛物线 相交于 , 两点, 为 的焦点,
若 ,则 等于( )
B
A. B. C. D.
[解析] 设 , ,
易知 , , , .
由
得 ,
所以 .①
根据抛物线的定义得,
, .
因为 ,所以 ,②
由①②得 （ 舍去）,
所以 ,代入 得 .
7.我们把由半椭圆 与半椭圆
合成的曲线称作“果圆”（其中 , ）,如
图所示,其中点 , , 是相应椭圆的焦点.若 是边长为
1的等边三角形,则 , 的值分别为( )
A
A. ,1 B. ,1 C.5,3 D.5,4
[解析] ,
,
, ,得 ,即 , .
8.已知椭圆 与双曲线 有公共的焦点, 的
一条渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于 , 两点.若 恰好将线段 三等分,则
( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题意,知 ,
因此椭圆方程为 ,
双曲线的一条渐近线方程为 ,
联立方程消去 ,得 ,
所以直线截椭圆的弦长 ,解得 , .
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9.当 时,方程 表示的轨迹可以是( )
ACD
A.两条直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线
[解析] 当 时, , ,
可得方程 表示的曲线可以是椭圆 ,
也可以是双曲线 ,也可以是两条直线 .故
选 .
10.已知双曲线 的左、右焦点分别为 , ,则
能使双曲线 的方程为 的是( )
ABC
A.离心率为 B.双曲线过点
C.渐近线方程为 D.实轴长为4
[解析] 由双曲线 的左、右焦点分别为 ,
,可得 .
如果离心率为 ,可得 ,则 ,所以双曲线 的方程为 ,故A正确；如
果双曲线过点 ,可得 解得 所以双曲线 的方程为
,故B正确；
如果渐近线方程为 ,可得 , ,解得 , ,所以双
曲线 的方程为 ,故C正确；
如果实轴长为4,可得 , ,双曲线 的方程为 ,故D错误.
故选 .
11.[2023湖北武汉期末] 已知抛物线 的焦点为 ，直线 ， 过焦点
分别交抛物线 于点 ， ， ， ，其中 ， 位于
轴上方，且直线 经过点 ， ，记 ， 的斜率分别为 ， ，则下列结
论正确的有( )
ACD
A. B. C. D.
[解析] 由抛物线 可得，抛物线的焦点 , ,
设直线 的方程为 ,
联立 整理可得 ，
所以 ，故A正确；
同理可得 ，
由直线 经过点 ,设 ,
则 ,
而 , ,所以 ,
则 ,
整理可得 ,
也即 ,
因为 ，所以 ,
又 ， ，所以 ，故C正确；
，故B错误；
因为 ,同理 ,
则 ，故
D正确.故选 .
12.[2023湖南长沙月考] 如图是由半圆和半椭圆组成，在平面直角坐标系中，半圆的圆
心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点 ，椭圆的短轴与半圆的直径重合.
若直线 与半圆交于点 ，与半椭圆交于点 ，则下列结论正确的是
( )
ACD
A.椭圆的离心率是
B.点 关于直线 的对称点在半圆上
C. 面积的最大值是
D.线段 长度的取值范围是
[解析] 由题意得半圆的方程为 ，
设椭圆的方程为 ，则 ， ， ,
椭圆的方程为 .
对于A，椭圆的离心率是 ，故A正确；
对于B，设 关于直线 的对称点为 ， ,可得 且
,解得 , ，即对称点为 ,
又半圆的方程为 ，
对称点 , 不在半圆上，故B错误；
对于C，由题得 的面积 ,
设 ， ，
,
设 ， ， ,
,
,
当且仅当 时,等号成立，故C正确；
对于D，当 时， ；当 时， .
线段 长度的取值范围是 ，故D正确.
故选 .
三、填空题：本题共4小题.
13.抛物线 上的动点 到焦点的距离的最小值为1,则 ___.
2
[解析] 依题意,设抛物线的焦点为 ,点 的横坐标是 ,
则 的最小值是 ,则 .
14.已知椭圆 的离心率为 , , 分别为椭圆的两个焦点,若椭
圆上存在点 使得 是钝角,则满足条件 的取值范围是_ ______.
[解析] 如图,当点 位于短轴端点 处时, 最大,
因为椭圆上存在点 使得 是钝角,
所以在 中, ,
所以直角三角形 中, ,
所以 ,即 ,
所以 ,即 ,所以 .
又 ,所以 .
15.如图,过抛物线 的焦点 作直线,与抛物线及其准线分别
交于 , , 三点,若 ,则直线 的方程为_____________,
_ __.
[解析] 抛物线的焦点坐标为 ,准线方程为 ,
设 , , ,
,
则 , ,即 ,此时 ,得 ,即 ,
则 ,则 的斜率 ,则直线 的方程为 ,
代入 得 ,
设 , ,则 ,
即 .
16.摆线是一类重要的曲线，许多机器零件的轮廓线都是摆线，摆线的实用价值与椭圆、
抛物线相比毫不逊色.摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）上滚动时，动圆上点的
轨迹.由于采用不同类型的曲线作为基线，产生了摆线族的大家庭，当基线是圆且动圆
内切于定圆做无滑动的滚动时，切点 运动的轨迹就是内摆线.已知基线圆 的方程为
，半径为1的动圆 内切于定圆 做无滑动的滚动，切点 的初
始位置为 .若 ，则 的最小值为___；若 ，且已知线段 的中点
的轨迹为椭圆，则该椭圆的方程为_ __________.
2
[解析] 当 时，又内切小圆半径 ，
小圆上的切点 的轨迹为大圆的内摆线，如图1，
图1
的最小值为 .
当 时，又内切小圆半径 ，
小圆上的切点 的轨迹为大圆的内摆线，为线段 ，如图2，
图2
又线段 的中点 的轨迹为椭圆，
由图可知,椭圆的长半轴长 ，椭圆的短半轴长 ,且椭圆的长轴在
轴上，短轴在 轴上，中心为原点 ， 该椭圆的方程为 .
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知 , 分别是双曲线 两条渐近线上的动点,且 , 为坐标原
点,动点 满足 ,求动点 的轨迹方程.
解 设 , , ,
动点 满足 ,
, .
, 分别是双曲线 的两条渐近线上的动点,
, ,
, ,
，
化简可得 的轨迹方程为 .
18.已知椭圆 的焦距为 ,且过点 .
（1）求椭圆 的方程；
解 由题意得 ,设左焦点为 ，则 , ,
,
, .
故椭圆 的方程为 .
（2）斜率大于0且过椭圆右焦点 的直线 与椭圆 交于 , 两点,若 ,
求直线 的方程.
设直线 的方程为 ,代入椭圆方程得
,
设 , ,
恒成立,由根与系数的关系可得 ,①
,②
由 得 ,③
由①②③可得 .
故直线 的方程为 .
19.已知 , 分别是双曲线 的左、右焦点, 是双曲线上
一点, 到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍,
（1）求双曲线的渐近线方程；
解 因为双曲线的渐近线方程为 ,
则点 到渐近线距离为 （其中 是双曲线的半焦距）,所以由题意知
.
又因为 ,解得 ,
故所求双曲线的渐近线方程是 .
（2）当 时, 的面积为 ,求此双曲线的方程.
因为 ,
由余弦定理得, ,
即 .①
又由双曲线的定义得 ,
平方得 ,②
由①②式相减得 .根据三角形的面积公式得
,得 .再由（1）得
,
故所求双曲线方程是 .
20.已知抛物线 的焦点为 ,点 在抛物线上,且点 的横坐标为4,
.
（1）求抛物线的方程；
解 抛物线 的焦点为 , ,准线方程为 ,由抛物线的定义可得, ,解得 ,即抛物线的方程为 .
（2）设 为过点 的任意一条直线,若 交抛物线于 , 两点,求证：以 为直径
的圆必过坐标原点.
证明 设直线 , , ,代入抛物线方程 ,可得
,
恒成立,
, ,
,
即有 ,则 ,则以 为直径的圆必过坐标原点.
21.从椭圆 上一点 向 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 ,且
它的长轴的一个端点 与短轴的一个端点 的连线 平行于 .
（1）求椭圆的离心率；
解 依题意知点 的坐标为 ,
设点 的坐标为 .
若点 的坐标为 ,则点 的坐标为 ,
则直线 的斜率 当点 坐标为 ,点 坐标为 时,同样有 .
则有 , .①
又点 在椭圆 上, .②
由①②得 , ,即椭圆的离心率为 .
（2）设 是椭圆上任一点, 是椭圆的右焦点,求 的取值范围.
①当点 与椭圆长轴的端点重合时, .
②当点 与椭圆长轴的端点不重合时,
设 , , ,
则 , .
在 中,
，
当且仅当 时,等号成立,故当点 与椭圆长轴的端点不重合时, .
又 ,
.
综上, 的取值范围是 .
22.给定椭圆 ,则称圆心在原点 ,半径为 的圆是椭圆
的“卫星圆”.若椭圆 的离心率为 ,点 在 上.
（1）求椭圆 的方程和其“卫星圆”方程；
解 由条件可得
解得 , .
所以椭圆 的方程为 ,
“卫星圆”的方程为 .
（2）点 是椭圆 的“卫星圆”上的一个动点,过点 作直线 , ,使得 , , 与椭
圆 都只有一个交点,且 , 分别交其“卫星圆”于点 , ,证明 ：弦长 为定值.
证明 ①当 , 中有一条斜率不存在时,不妨设 的斜率不存在,
因为 与椭圆只有一个公共点,
则其方程为 或 ,
当 的方程为 时,此时 与“卫星圆”交于点 和 ,
此时经过点 , 且与椭圆只有一个公共点的直线是 或 ,即
为 或 ,所以 ,
同理，当 的方程为 时，结论相同.所以线段 应为“卫星圆”的直径,
所以 .
②当 , 斜率都存在时,设点 ,其中 ,
设经过点 与椭圆只有一个公共点的直线为 ,
直线 ,直线 ,
联立
消去 ,整理得 ,
所以 ,所以
,
满足两直线 , 垂直的条件.
所以线段 应为“卫星圆”的直径,
所以 ，
综合①②知, 为定值.(共43张PPT)
01
第三章测评
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知抛物线 的焦点在直线 上,则实数 的值为( )
D
A.8 B. C. D.
[解析] 因为抛物线 的焦点 在直线 上,所以 ,
即 .
2.若双曲线 的渐近线与圆 相切，则 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 双曲线 的渐近线方程为 ,即 .
因为双曲线 的渐近线与圆 相切，所以 ,
解得 .
3.[2023江苏徐州月考] 已知点 ， ，动点 满足
，则点 的轨迹为( )
C
A.椭圆 B.线段 C.椭圆或线段 D.不存在
[解析] ,当且仅当 时，等号成立,
当 时，点 的轨迹为线段；
当 时，由椭圆的定义得，点 的轨迹为椭圆.
故选C.
4.过抛物线 的焦点作一条直线与抛物线交于 , 两点，它们的横坐标之和等
于2，则这样的直线( )
B
A.有且只有一条 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有且只有四条
[解析] 设该抛物线的焦点为 , , 的横坐标分别为 , ,则 .
所以符合条件的直线有且只有两条.
5.在 中,点 , ,点 在双曲线 上,则 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由双曲线的方程 可得 , ,所以 ,
即焦点坐标恰好为点 , 的坐标,
所以 , ,
由正弦定理知 .
6.已知 是抛物线 上的一点, 是抛物线的焦点,若以 为始边（即以 为起
点， 轴正半轴为始边方向）, 为终边的角 ,则 等于( )
D
A.2 B. C. D.4
[解析] 如图所示,由题意得焦点 ,准线方程为 ,
设点 的坐标为 ,
, , ,
整理得 ,
解得 （负值舍去）.
又 ,
.
7.[2023北京朝阳期末] 在实际生活中，常
常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制
作方法如下：如图2，用一个与圆柱底面所
成角为 的平面截圆柱，将圆柱截成两
B
A. ， B. ，
C. ， D. ，
段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一
个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图3）的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成
平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象（如图4）.记该正
弦型函数的最小正周期为 ，截口椭圆的离心率为 .若圆柱的底面直径为2，则( )
[解析] 由圆柱的底面直径为2，
得圆柱的底面周长为 ，
则该正弦型函数的最小正周期 .
由已知可得截口椭圆的短轴长 ，
截口椭圆的长轴长 ,
即 ， ，
则 ，
即截口椭圆的离心率 .故选B.
8.如图,椭圆 的离心率为 , 是 的
右焦点,点 是 上第一象限内任意一点，且
, , .若 ,则
离心率 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为点 是 上第一象限内任意一点,所以 为锐角.
又 ,
所以 .
设直线 的斜率为 ,则 .
由
可得
故点 ,
所以点 .
因为 ,所以 ,
所以 ,
解得 .
因为 对任意的 恒成立,
所以 ,整理得到 对任意的 恒成立,
所以 ,
即 ,
所以 .
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.以直线 与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程可以为( )
AC
A. B. C. D.
[解析] 直线 与 轴的交点坐标是 ， ，
抛物线的焦点坐标可以是 ， ，
此时抛物线的标准方程是 .
直线 与 轴的交点坐标是 ，
抛物线的焦点坐标可以是 ，
此时抛物线的标准方程是 .
10.已知椭圆 的对称中心为坐标原点,焦点在坐标轴上,若椭圆 的长轴长为6,短轴长为
4,则椭圆 的标准方程可能为( )
AC
A. B. C. D.
[解析] 由题可得 , ,则 , ,故椭圆的标准方程可能为
或 .
11.已知 是双曲线 的右焦点, 是双曲线上任意一点,则 的
大小可能是( )
AD
A. B. C. D.
[解析] 双曲线 的渐近线方程为 ,
双曲线的渐近线与 轴的夹角为 .
是双曲线 的右焦点, 为坐标原点, 是双曲线上任意一点,
或 .
的大小可能是 , .
故选 .
12.某同学在研究一问题“设点 , ,直线 , 相交于点 ,且它们的斜率
之积为 ,求点 的轨迹方程”时,将其中已知条件“斜率之积为 ”拓展为“斜率之积
为常数 ”之后,进行了探究.
则下列结论正确的有( )
BCD
A.当 时，点 的轨迹为椭圆（不含与 轴的交点）
B.当 时，点 的轨迹为焦点在 轴上的椭圆（不含与 轴的交点）
C.当 时，点 的轨迹为焦点在 轴上的椭圆（不含与 轴的交点）
D.当 时，点 的轨迹为焦点在 轴上的双曲线（不含与 轴的交点）
[解析] 设点 , ,则 , ,由题意可得 ,
故 .
若 ,则方程化为 ,点 的轨迹为以原点为圆心,5为半径的
圆（不含与 轴的交点）；
若 ,则方程化为 ,点 的轨迹为焦点在 轴的椭圆
（不含与 轴的交点）；
若 ,则方程化为 ,点 的轨迹为焦点在 轴的椭圆（不含
与 轴的交点）；
若 ,则方程化为 ,点 的轨迹为焦点在 轴的双曲线（不含
与 轴的交点）.
综上可知,B,C,D正确.
故选 .
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在 中， ， ， ，双曲线以 ， 为焦点，且
经过点 ，则该双曲线的离心率为_ ______.
[解析] 因为在 中，
， ， ，所以
，
即 .
在双曲线中， ，
，
所以离心率 .
14.已知双曲线 的左焦点为 ，点 ， 是
双曲线 右支上的动点，则 的最小值等于___.
6
[解析] 结合题意，绘制图象如图所示.
设 为双曲线 的右焦点，根据双曲线的性质可知
，
得到 ，
所以 .
而点 ， ，
所以 ，
所以 的最小值为6.
15.设椭圆 上的一点 到椭圆两焦点的距离的乘积为 ,则当 取得最大值时,
点 的坐标是_ ______________.
或
[解析] 设椭圆 的焦点为 , ,由椭圆定义可得 ,
则 ,
当且仅当 ,即点 或 时, 取得最大值25.
16.如图所示，已知抛物线 的焦点为 ，准线 与
轴的交点为 ，点 在抛物线 上，且在 轴的上方，过点
作 于 ， ，则 的面积为___.
8
[解析] 由题意知抛物线的焦点为 ，
准线 的方程为 ，
点 .
设点 ，
过点 作 于点 ，
点 ，
， ，
，
，即点 ，
的面积为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）[2023浙江杭州检测] 求满足下列条件的曲线的标准方程：
（1）两焦点分别为 ， ，且经过点 的椭圆；
解 设所求椭圆的标准方程为 ,
两焦点分别为 , ,
.
又椭圆过点 , .
又 ，
， ， 椭圆的标准方程为 .
（2）与双曲线 有相同渐近线，且焦距为 的双曲线.
设与双曲线 有相同渐近线的双曲线方程为 ，
焦距为 ,
, ， ,
双曲线的标准方程为 或 .
18.（12分）已知双曲线 的实轴长为8，离心率 .
（1）求双曲线 的方程；
解 实轴长为8，离心率 ,
， .
又 ，
， ， ,
故双曲线 的方程为 .
（2）直线 与双曲线 相交于 ， 两点，弦 的中点为 ，求直线 的方程.
设点 ， 的坐标分别为 ， ，
线段 的中点为 ，
， .
, ,
,
整理得 ,
即直线 的斜率为 ,
直线 的方程为 ,
即 .
19.（12分）如图，已知椭圆 的一
个焦点为 ，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
解 由题意得 ，又 ，则 ，
， 椭圆 的方程为 .
（2）过点 作斜率为 的直线交椭圆 于 ， 两点， 的中点为 .设 为原点，
射线 交椭圆 于点 .当 与 的面积相等时，求 的值.
由（1）得椭圆 的方程为 ，由题意得直线 的方程为 ，即
，
由
整理得 .
设点 ， ，则 ， .
与 的面积相等， 点 和点 到直线 的距离相等.
又 的中点为 ， 为线段 的中点，即四边形 是平行四边形.
设点 ，则 ，即 ，
, .
又 ，
，
解得 .
20.（12分）如图,把半椭圆 与圆弧
合成的曲线称作“曲圆”,其中 为
的右焦点,如图所示, , , , 分别是“曲圆”与 轴、 轴的交
点,已知 ,过点 且倾斜角为 的直线交“曲圆”于 ,
两点（点 在 轴上方）.
（1）求半椭圆 和圆弧 的方程；
解 由题意可得 , ,则 ,
,
则半椭圆 的方程为 ,
圆弧 的方程为 .
（2）当点 , 分别在第一、第三象限时,求 的周长的取值范围.
由题意得,在等腰三角形 中,
,
若点 , 分别在第一、第三象限,则 的取值范围为 ,
的周长 .
,
.
21.（12分）如图,直线 与圆 相切
于点 ,与抛物线 相交于不同的两点 , ,与
轴相交于点 .
（1）若 是抛物线 的焦点,求直线 的方程；
解 是抛物线 的焦点,
.
设直线 的方程为 ,由直线 与圆 相切,得
,即 , 直线 的方程为 .
（2）若 ,求 的值.
由题意可设直线 的方程为 ,点 , , ,由
得 .则 , ,
.
由直线 与圆 相切,得 ,即 .由 ,
,得 , .
又点 在抛物线下方，
.
又 ,
解得 .
由题意知 , .
由直线 与 互相垂直,得 ,
.
当 时， .
的值为 .
22.（12分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 , ,过点 的直线 交椭
圆于 , 两点,交 轴于点 .
（1）若 ,求 的值.
解 由椭圆 可知 ,所以 ,即左焦点
,右焦点 .
若 ,则 ,
因为点 ,所以 ,
整理可得 ,所以 ,
所以 的值为 .
（2）若点 在第一象限,满足 ,求 的值.
设点 ,因为 ,所以 ,
所以 ,即 ,①
而 ,②
由①②得 ,
又点 在第一象限,
所以得 , ,
所以直线 的方程为 ,令 ,可得 ,即 的值为 .
（3）在平面内是否存在定点 ,使得 是一个确定的常数？若存在,求出点 的
坐标；若不存在,说明理由.
存在定点 满足题意.易知直线 的斜率存在,设直线 的方程为
,
设点 , ,
由
整理可得 ,
可得 , .
设点 为 ,
所以
（ 为常数）,则
恒成立,
则
解得 即存在定点 ，
使得 ，是一个确定的常数.第三章测评
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知抛物线的焦点在直线上,则实数的值为( )
A. 8 B. C. D.
2. 若双曲线的渐近线与圆相切，则( )
A. B. C. D.
3. [2023江苏徐州月考]已知点，，动点满足，则点的轨迹为( )
A. 椭圆 B. 线段 C. 椭圆或线段 D. 不存在
4. 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于,两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )
A. 有且只有一条 B. 有且只有两条 C. 有且只有三条 D. 有且只有四条
5. 在中,点,,点在双曲线上,则( )
A. B. C. D.
6. 已知是抛物线上的一点,是抛物线的焦点,若以为始边（即以为起点，轴正半轴为始边方向）,为终边的角 ,则等于( )
A. 2 B. C. D. 4
7. [2023北京朝阳期末]在实际生活中，常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图2，用一个与圆柱底面所成角为 的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图3）的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象（如图4）.记该正弦型函数的最小正周期为，截口椭圆的离心率为.若圆柱的底面直径为2，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8. 如图,椭圆的离心率为,是 的右焦点,点是 上第一象限内任意一点，且,,.若,则离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程可以为( )
A. B. C. D.
10. 已知椭圆的对称中心为坐标原点,焦点在坐标轴上,若椭圆的长轴长为6,短轴长为4,则椭圆的标准方程可能为( )
A. B. C. D.
11. 已知是双曲线的右焦点,是双曲线上任意一点,则的大小可能是( )
A. B. C. D.
12. 某同学在研究一问题“设点,,直线,相交于点,且它们的斜率之积为,求点的轨迹方程”时,将其中已知条件“斜率之积为”拓展为“斜率之积为常数”之后,进行了探究.
则下列结论正确的有( )
A. 当 时，点 的轨迹为椭圆（不含与 轴的交点）
B. 当 时，点 的轨迹为焦点在 轴上的椭圆（不含与 轴的交点）
C. 当 时，点 的轨迹为焦点在 轴上的椭圆（不含与 轴的交点）
D. 当 时，点 的轨迹为焦点在 轴上的双曲线（不含与 轴的交点）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在中，，， ，双曲线以，为焦点，且经过点，则该双曲线的离心率为.
14. 已知双曲线的左焦点为，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值等于.
15. 设椭圆上的一点到椭圆两焦点的距离的乘积为,则当取得最大值时,点的坐标是.
16. 如图所示，已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且在轴的上方，过点作于，，则的面积为.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. [2023浙江杭州检测]（10分）求满足下列条件的曲线的标准方程：
（1） 两焦点分别为，，且经过点的椭圆；
（2） 与双曲线有相同渐近线，且焦距为的双曲线.
18. （12分）已知双曲线的实轴长为8，离心率.
（1） 求双曲线的方程；
（2） 直线与双曲线相交于，两点，弦的中点为，求直线的方程.
19. （12分）如图，已知椭圆的一个焦点为，离心率为.
（1） 求椭圆的方程；
（2） 过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，的中点为.设为原点，射线交椭圆于点.当与的面积相等时，求的值.
20. （12分）如图,把半椭圆与圆弧合成的曲线称作“曲圆”,其中为的右焦点,如图所示,,,,分别是“曲圆”与轴、轴的交点,已知,过点且倾斜角为 的直线交“曲圆”于,两点（点在轴上方）.
（1） 求半椭圆和圆弧的方程；
（2） 当点,分别在第一、第三象限时,求的周长的取值范围.
21. （12分）如图,直线与圆相切于点,与抛物线相交于不同的两点,,与轴相交于点.
（1） 若是抛物线的焦点,求直线的方程；
（2） 若,求的值.
22. （12分）已知椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,两点,交轴于点.
（1） 若,求的值.
（2） 若点在第一象限,满足,求的值.
（3） 在平面内是否存在定点,使得是一个确定的常数？若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由.
第三章测评
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. D
[解析]因为抛物线的焦点在直线上,所以,即.
2. A
[解析]双曲线的渐近线方程为,即.
因为双曲线的渐近线与圆相切，所以,解得.
3. C
[解析],当且仅当时，等号成立,
当时，点的轨迹为线段；
当时，由椭圆的定义得，点的轨迹为椭圆.
故选.
4. B
[解析]设该抛物线的焦点为,,的横坐标分别为,,则.
所以符合条件的直线有且只有两条.
5. C
[解析]由双曲线的方程可得,,所以,
即焦点坐标恰好为点,的坐标,
所以,,
由正弦定理知.
6. D
[解析]如图所示,由题意得焦点,准线方程为,
设点的坐标为,
,
,
,
整理得,
解得（负值舍去）.
又 ,
.
7. B
[解析]由圆柱的底面直径为2，
得圆柱的底面周长为 ，
则该正弦型函数的最小正周期 .
由已知可得截口椭圆的短轴长，
截口椭圆的长轴长,
即，，
则，
即截口椭圆的离心率.故选.
8. B
[解析]因为点是 上第一象限内任意一点,所以为锐角.
又,
所以.
设直线的斜率为,则.
由
可得
故点,
所以点.
因为,所以,
所以,
解得.
因为对任意的恒成立,
所以,整理得到对任意的恒成立,
所以,
即,
所以.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. AC
[解析]直线与轴的交点坐标是，，
抛物线的焦点坐标可以是，，
此时抛物线的标准方程是.
直线与轴的交点坐标是，
抛物线的焦点坐标可以是，
此时抛物线的标准方程是.
10. AC
[解析]由题可得,,则,,故椭圆的标准方程可能为或.
11. AD
[解析] 双曲线的渐近线方程为,
双曲线的渐近线与轴的夹角为 .
是双曲线的右焦点,为坐标原点,是双曲线上任意一点,
或 .
的大小可能是 , .
故选.
12. BCD
[解析]设点,,则,,由题意可得,
故.
若,则方程化为,点的轨迹为以原点为圆心,5为半径的圆（不含与轴的交点）；
若,则方程化为,点的轨迹为焦点在轴的椭圆（不含与轴的交点）；
若,则方程化为,点的轨迹为焦点在轴的椭圆（不含与轴的交点）；
若,则方程化为,点的轨迹为焦点在轴的双曲线（不含与轴的交点）.
综上可知,,,正确.
故选.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
[解析]因为在中，
，， ，所以
，即.
在双曲线中，，
，
所以离心率.
14. 6
[解析]结合题意，绘制图象如图所示.
设为双曲线的右焦点，根据双曲线的性质可知
，
得到，
所以.
而点，，
所以，
所以的最小值为6.
15. 或
[解析]设椭圆的焦点为,,由椭圆定义可得,
则,
当且仅当,即点或时,取得最大值25.
16. 8
[解析]由题意知抛物线的焦点为，
准线的方程为，
点.
设点，
过点作于点，
点，
，，
，
，即点，
的面积为.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1） 解 设所求椭圆的标准方程为,
两焦点分别为,,
.
又椭圆过点,.
又，
，， 椭圆的标准方程为.
（2） 设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，
焦距为,
,，,
双曲线的标准方程为或.
18. （1） 解 实轴长为8，离心率,
，.
又，
，，,
故双曲线的方程为.
（2） 设点，的坐标分别为，，
线段的中点为，
，.
,,
,
整理得,
即直线的斜率为,
直线的方程为,
即.
19. （1） 解由题意得，又，则，
， 椭圆的方程为.
（2） 由（1）得椭圆的方程为，由题意得直线的方程为，即，
由
整理得.
设点，，则，.
与的面积相等， 点和点到直线的距离相等.
又的中点为，为线段的中点，即四边形是平行四边形.
设点，则，即，
,.
又，
，
解得.
20. （1） 解 由题意可得,,则,
,
则半椭圆的方程为,
圆弧的方程为.
（2） 由题意得,在等腰三角形中,
,
若点,分别在第一、第三象限,则 的取值范围为,
的周长.
,
.
21. （1） 解 是抛物线的焦点,
.
设直线的方程为,由直线与圆相切,得,即, 直线的方程为.
（2） 由题意可设直线的方程为,点,,,由得.则,,
.
由直线与圆相切,得,即.由,,得,.
又点在抛物线下方，
.
又,
解得.
由题意知,.
由直线与互相垂直,得,.
当时，.
的值为.
22. （1） 解 由椭圆可知,所以,即左焦点,右焦点.
若,则,
因为点,所以,
整理可得,所以,
所以的值为.
（2） 设点,因为,所以,
所以,即,①
而,②
由①②得,
又点在第一象限,
所以得,,
所以直线的方程为,令,可得,即的值为.
（3） 存在定点满足题意.易知直线的斜率存在,设直线的方程为,
设点,,
由
整理可得,
可得,.
设点为,
所以（为常数）,则恒成立,
则
解得即存在定点，
使得，是一个确定的常数.
