(共35张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点二］[2023河北廊坊期中] 已知向量 , ,则向量
的坐标为( )
A
A. B. C. D.
[解析] , ,
.故选A.
2.［探究点一］（多选题）[2023江苏南京月考] 已知四边形 的顶点分别是
， ， ， ，那么以下说法中正确的是
( )
AD
A. B.
C.线段 的中点坐标为 D.四边形 是一个梯形
[解析] ， ， ， ，
， ，故A正确，B错误；线段 的中点坐标为
，故C错误;
，故 和 共线，即 ，
, , 与 不共线，即 与 不平行，故四边
形 为梯形.故选 .
3.［探究点四］已知点 , , ,则向量 与 的夹角为
( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由已知得 , ,
因此 ,
所以向量 与 的夹角为 .
4.［探究点四］若向量 ， ，则 ( )
D
A. B. C.3 D.
[解析] ， , ， .故选D.
5.［探究点三］如图，在正方体 中， ，
分别是 ， 的中点，则下列说法错误的是( )
D
A. 与 垂直 B. 与 垂直
C. 与 平行 D. 与 平行
[解析] 设正方体的棱长为1，如图，建立空间直角坐标系，则 ，
， ， ， ， ， ，
， ，
, ,
, , .
, ,故A正确； ， ,故B正确；
易知 ，且 ， ,
,故C正确；设 ,得 无解 ， 与 不平
行，故D错误.
故选D.
6.［探究点二］已知向量 , , ,若 ,则
实数 _ ___.
[解析] 由已知得 , ,
所以 ,解得 .
7.［探究点四］[人教B版教材习题] 已知 ， ， 为长方体的三条棱，且
， ， ， ，求长方体这三条棱的长和体对角线的长.
解 依题意得 , , ,故 ，所以棱长分别是 , , ,体对角线的长为 .
8.［探究点三］[2023广东广州检测] 已知空间向量 ， ，
.
（1）若 ，求 ；
解 空间向量 ， ， ，
因为 ，所以存在实数 ，使得 ，
所以 解 得 ，则 .
（2）若 ，求 的值.
因为 ,
则 ，解 得 ，
所以 ,
故 .
B级 关键能力提升练
9.已知空间向量 ， ， ，且 ，则实数
的值为( )
C
A.5 B. C.5或 D. 或10
[解析] 因为 ，所以存在 ，
使得 ，
又 ，而 ，
则
解得 或
故选C.
10.如图，已知动点 在正方体 的体对角线
（不含端点）上.设 ，若 为钝角，则实数 的取值
范围为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题设，建立如图所示的空间直角坐标系 ，设正方体 的棱长为1，
则有 ， ， ， ,
,则 ，
，
.
为钝角，则 ，
，
，解 得
， 的取值范围是 .故选C.
11.已知点 在正方体 的侧面 内（含边界）， 是 的中
点，若 ，则 的最小值为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由题得 是直角三角形，在 中，
，所以当 取最小值时， 最小.设
，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
则 ， ， .
设 ,
所以 ， ,
因为 ，则 ,即
.
取棱 中点 ，则 点的轨迹为线段 .
当 时， 最小，此时 ，
所以 .故选A.
12.（多选题）正方体 的棱长为2, 为 的中点，则下列说法正
确的是( )
ACD
A. 与 成 角
B.若 ，面 交 于点 ，则
C.点 在正方形 边界及内部运动，且 ，则点 的轨迹长等于
D. ， 分别在棱 ， 上，且 ，直线 与 ， 所成角分
别是 , ,则
[解析] 如图，建立空间直角坐标系，则 , ,
, , , , ,
, .
对于A， ， ，
， 与 成
角，故A正确;
对于B， ,
,设 ,则 , , ,
由已知得 ， , , 四点共面, , ,使得 ,
得 解得
, , ,故B错误;
对于C，设 ,则 , ,
由 ,得 ,
点 的轨迹长为线段 的长度，为 , 故C正确；
对于D， , 分别在 ， 上，且 ，
，
，
则 , ,则 ，则
,
故 ,
,
故 ，即 ,故D正确.故选 .
13.如图,将边长为1的正方形 （及其内部）绕 旋转一
周形成圆柱, 的长为 , 的长为 ,其中 与 在平面
的同侧.则异面直线 与 所成的角的大小为_ _.
[解析] 以 为坐标原点, , 所在直线分别为 轴、 轴
建立如图所示的空间直角坐标系 ,
则 , , , .
所以 , ,
则 ,
所以 .
因此,异面直线 与 所成的角为 .
14.已知空间三点 , , .
（1）求以 和 为邻边的平行四边形的面积;
解 由题中条件可知, , ,
所以 .
于是 .
故以 和 为邻边的平行四边形的面积为 ,
.
（2）若 ,且 分别与 , 垂直,求向量 的坐标.
设 ,由题意得
解得 或
故 或
15.［北师大版教材习题］如图，已知 ， ，
，设 , .
（1）设 , ,求 的坐标；
解 ,
所以 ,所以 ,
所以 或
（2）求 与 的夹角;
，
,
,
,
,所以 .
因为 ,
所以 .
（3）若 与 互相垂直，求实数 的值.
由 得 ,
所以 ,所以 ，
所以 ,所以 或 .
C级 学科素养创新练
16.[2023广东广州期末] 在通用技术课上，老师给同学们提供了一
个如图所示的木质正四棱锥模型 ，并要求同学们将该四
棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案：第一步，
过点 作一个平面分别交 ， ， 于点 ， ， ，得到四
棱锥 ；第二步，将剩下的几何体沿平面 切开，得到
另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四
边形 ，若 , ，则 的值为__.
[解析] 建立如图所示空间直角坐标系.
设 ， ， ， ，
, 均不为0 ，
则 , , ,
,
所以 ,
.
由题意 ， ， ， 四点共面，则 ，
其中 .
设 , ,
所以 .
由方程组 即 解得 .(共23张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］给出下列命题：
①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若
空间向量 , 满足 ,则 ;③若空间向量 , , 满足 , ,则
;④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向.其中假命题的个数是
( )
D
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] ①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点,则它们的终点将构成一个球面,而不是一个圆.②假命题.根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但②中向量 与 的方向不一定相同.③真命题.向量的相等具有传递性.④假命题.空间中任意两个单位向量的模均为1,但空间中任意两个单位向量的方向不一定相同，所以不一定相等.⑤假命题.零向量的方向是任意的.
2.［探究点三］（多选题）下列说法错误的是( )
ABC
A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共线
C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线
3.［探究点二］如图，在长方体 中，
( )
D
A. B. C. D.
[解析] 在长方体 中，
.
4.［探究点二］[2023浙江杭州月考] 如图，在三棱柱 中，
为 的中点，若 , , ，则 可表示为( )
A
B.
C. D.
[解析] 由题得， .
5.［探究点三］设 , 是空间两个不共线的向量,已知 ,
, ,且 , , 三点共线,则实数 的值是___.
1
[解析] 因为 , ,所以
又因为 , , 三点共线,所以 ,
所以
因为 , 是不共线向量,所以
故 .
6.［探究点四］[2023广东佛山期中] 已知 ， ， 三点不共线， 为平面 外一
点，若向量 ，且点 与 ， ， 共面，则实数 __.
[解析] 向量 ，且点 与 ， ， 共面， ， .
7.［探究点二］[2023江苏连云港月考] 如图所示，四棱锥
中，四边形 为正方形， 为 与 的交
点， ， ， ，点 是线段
上靠近 的三等分点.记 , , ,用 , ,
表示 .
解 因为 , , ，
由题意得
.
8.［探究点四］[2023山东济宁月考] 如图所示，在平行六面体
中， ， 分别在 和 上，且
, .证明 ， ， ， 四点共面.
证明 由题得， ,
，
，
,
,故 ， ， ， 四点共面.
B级 关键能力提升练
9.设有四边形 , 为空间任意一点,且 ,则四边形 是
( )
B
A.空间四边形 B.平行四边形 C.等腰梯形 D.矩形
[解析] 由已知得 ,即 , 是相等向量,因此 , 的模相等,方向相同,即四边形 是平行四边形.
10.（多选题）已知平行六面体 ,则下列选项中正确的有( )
ABC
A. B.
C. D.
[解析] 作出平行六面体 的图象如图,可得
,故A正确；
,故B正确；C显然正
确； ,故D不正确.综上,
正确的有 .
11.（多选题）在正方体 中, 的中点为 ,则下列说法中错误的是
( )
ABC
A. 与 是一对相等向量
B. 与 是一对相反向量
C. 与 是一对相等向量
D. 与 是一对相反向量
[解析] 选项A中是一对相反向量,B中是一对相等向量,C中是一对相反向量,D中是一对相反向量.
12.已知正方体 , , 为空间任意两点,如果有
,那么点 必( )
C
A.在平面 内 B.在平面 内 C.在平面 内 D.在平面 内
[解析] 由于 ,因此 , , , 四点共面，即点 必在平面 内.
13.[2023湖南湘潭期中] 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学
经典著作，其中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于
底面的四棱锥”.如图，在“阳马” 中， 为 的重心，
若 , , ,则 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] 为 的重心，
,
则 .
14.[2023山东烟台期中] 已知 为空间中一点， ， ， ， 四点共面且任意三点不
共线，若 ，则 的值为____.
[解析] 为空间任意一点， ,
,
.
， ， ， 满足四点共面且任意三点不共线， ，解 得 .
15.已知正方体 , ,若 ,则
___, _ _.
1
[解析] , , .
16.如图，在长方体 中， 为 的中点，点
在 上，且 ，求证： 与 ， 共面.
证明 ，
，
，
，
与 ， 共面.
17.[2023海南海口月考] 如图，在正方体 中，
在 上，且 ， 在体对角线 上，且
.若 , , .
（1）用 , , 表示 ;
解
（2）求证： ， ， 三点共线.
证明 , ，
， ，
,
,
.
又由（1）知 ,
,且有公共点 , ， ， 三点共线.
C级 学科素养创新练
18.如图，已知 为四面体 的面 的重心，连接 并延
长交 于点 ， 为 的中点， 在 上，且 ，
且 ， ， 三点共线.试求 的值.
（提示 ：若 ， ， 不共面，且
，则 ， ，
）
解 为四面体 的面 的重心，连接 并延长交 于点 ， 为
的中点，
,
. 为 的中点，
. , , 三点共线，
,即 .(共16张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］已知 , , 和 是相互垂直的单位向量，则
( )
A
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 由条件知 , ,
所以
2.［探究点三］已知 ， 为单位向量，且 ，若 ，
， ，则实数 的值为( )
B
A. B.6 C.3 D.
[解析] 由题意可得 ， ， ，
， ，
.
3.［探究点一］[2023上海黄浦期中] 正四面体 棱长为1， 为 中点，则
( )
B
A. B. C. D.
[解析] 如图, 正四面体 棱长为1， 为 中点，
,故选B.
4.［探究点二］已知 , ,且 与 垂直，则 与 的夹角为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 与 垂直， ,
.
, .
5.［探究点一］（多选题）如图，已知四边形 为矩形，
平面 ，连接 , , , , ,则下列各组向量中，数量积
为零的是( )
BCD
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
[解析] 因为 平面 ,所以 ,故 ;因为 ,
,且 ,所以 平面 ,故 ,则 ;同理可
得 ;而 与 所成角为 ,显然不垂直.
6.［探究点四］已知空间向量 , , 中每两个的夹角都是 ,且 ， ,
,则 ____.
10
[解析] , , ,且 , ,
7.［探究点二］[人教B版教材习题] 已知 , 都是空间向量，且 ,求
.
解 ,
, .
B级 关键能力提升练
8.若空间向量 与 不共线， ,且 ,则向量 与 的夹角为
( )
D
A.0 B. C. D.
[解析] ,
.故选D.
9.（多选题）如图所示,已知空间四边形每条边和对角线长都
为 ,点 , , 分别是 , , 的中点,则下列向量的数量
积等于 的是( )
BC
A. B. C. D.
[解析] ,
,
,
.
10.已知 是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点 在正方体表面上运动，则
的最大值为( )
C
A.4 B.12 C.8 D.6
[解析] 设正方体内切球的球心为 ，
则 ，
.
因为 是正方体内切球的一条直径，
所以 , ,
所以 ,
又点 在正方体表面上运动，所以当 为正方体顶点时， 最大，且最大值为
,所以 ,所以 最大值为8.故选C.
11.已知向量 , , 两两夹角都是 ,且 ,则 _ ___.
[解析] 因为 ,所以 .
12.[2023广东惠州期中] 如图，已知平行六面体
中，底面 是边长为1的正方形，
， ，设 , ,
.
（1）用 , , 表示 ,并求 ;
解 , , ,
.
底面 是边长为1的正方形， ， ，
.
（2）求 .
C级 学科素养创新练
13.如图所示,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,
是一条侧棱, 是上底面上其余的八个点,则
的不同值的个数为( )
A.8 B.4 C.2 D.1
D
[解析] ,
平面 ,
,
,
,
则 的不同值的个数为1.(共12张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］已知{ , , }是空间的一个基底，下面向量中与向量 , 一起
能构成空间的另外一个基底的是( )
B
A. B. C. D.
[解析] , , , 共面， 不能构成基底， 错误；
, , 是空间的一个基底， , , 不共面， 能构成基底， 正确；
, , , 共面， 不能构成基底，
错误；
, , , 共面， 不能构成基底，
错误.故选B.
2.［探究点二］［北师大版教材习题］在平行六面体 中，已知 ，
， 为三条不共面的线段，若 ,则 的值为
( )
B
A.1 B. C. D.
[解析] 因为 ,所以 , ,
.所以 , , ,所以 .
3.［探究点四］[2023浙江宁波期中] 在平行六面体 中，
， ，则体对角线 的长为
_ ___.
[解析] 如图， ，
,
体对角线 的长为 .
4.［探究点二］[人教B版教材习题] 任作一个平行六面体 ，设
, , ,分别作出向量 ，使它等于如下向量：
解
如图，设 是棱 的中点， 是体对角线 的中点， 是上底面 的中心，则
（1） ;
.
（2） ;
,
（3） .
.
5.［探究点三］如图，已知三棱柱 的侧棱垂直于底
面， .求证： .
证明 设 , , ,则 .
所以 .
因为 平面 , ,
所以 , ，
得 ,故 .
B级 关键能力提升练
6.［北师大版教材习题］已知 ， ， 三点不共线，对平面 外任意一点 ，有
，则 ， ， ， 四点______.（填“共面”或“不共面”）
共面
[解析] 因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ,所以 ， ， 共面.
所以 ， ， ， 四点共面.
7.在棱长为 的正四面体 中， ， 分别为棱 ， 的中点，则异面直线
与 所成角的大小是__，线段 的长度为_ ____.
[解析] 设 , , ,则{ , , 是空间的一个基底，
, ,
,
,
异面直线 与 所成的角为 .
C级 学科素养创新练
8.［人教B版教材习题］已知向量 ， ， 可以构成空间向量的一个基底，则这三
个向量中哪一个向量可以与向量 和向量 构成空间向量的另一个基底？
解 若 与 ， 共面，则由共面向量定理知，存在 , ,使
得 ,
即 .
, , }为一个基底,
, 不共线，
解得
与 ， 共面，不能构成另一个基底.
同理 与 ， 也共面，不能构成另一个基底.
若 ,
则 .
, , }是一个基底，
， ， 互不共线，
此方程组无解 ，
与 ， 可以构成空间向量的另一个基底.
