(共40张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程 标准 1.了解空间向量的概念.
2.理解由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.
3.掌握空间向量线性运算的法则和运算律.
4.掌握共线向量和共面向量的定义,会证明空间三点共线、四点共面.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 空间向量的定义及相关概念
1.定义
在空间,我们把具有______和______的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向
量的__________.
2.空间向量及其模的表示方法
空间向量用字母 , , ,…表示.若向量 的起点是 ,终点是 ,则向量 也可以记
作____，其模记为 或 .
大小
方向
长度或模
3.空间向量的相关概念
名称 概念 记法
零向量 长度为0的向量
单位向量 模为1的向量 —
相反向量
相等向量 方向相同且模相等的向量 —
过关自诊
涉及空间两个向量的问题，平面向量中的有关结论是否仍然适用？
提示 适用.
知识点2 空间向量的线性运算
空间向量的加法、减法
空间向量的数乘
续表
运算律
续表
过关自诊
1.空间两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法有没有区别？
提示 没有区别.
2.［人教B版教材习题］化简： .
解
3.［北师大版教材习题］结合图形说明下列等式的正确性：
（1） ;
解 如图所示， ，则 .
分别将线段 和 三等分,则 .又 ,所以
.
（2） .
解 如图所示， 的对角线交于点 , , 分别为 ， 的中点，则四边形
为平行四边形.
设 , ,则 ,所以 .
又因为 ， ，所以 .所以
.
知识点3 共线向量与共面向量
1.共线向量与共面向量的重要知识
类型 共线（平行）向量 共面向量
定义 如果表示若干空间向量的有向线段所在的 直线________________,那么这些向量叫做 共线向量或平行向量 平行于____________的向量叫做共面向量
充要 条件
互相平行或重合
同一个平面
推论
续表
2.如图， 是直线 上一点，在直线 上取非零向量 ,则对于直线 上任意一点 ，
由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数 ,使得 .
我们把与向量 平行的非零向量称为直线 的__________.这样，直线 上任意一点
都可以由直线 上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它
的方向向量确定.
方向向量
共线向量的特点及三点共线的充要条件
（1）共线向量不具有传递性
因为零向量 ,所以零向量和空间任一向量 是共线（平行）向量,这一性质
使共线向量不具有传递性,即若 , ,则 不一定成立.因为当 时, ,
,但 与 不一定共线.
（2）空间三点共线的充要条件
若在直线 上取 ,则
.因此空间三点 , ,
共线的充要条件为 .此结论非常重要,经常用于解 题过
程中.
名师点睛
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ，错误的画 ）
（1）对于空间的任意三个向量 , , ,它们一定是共面向量.( )
√
（2）若 ，则存在唯一的实数 ，使 .( )
×
2.空间中的任意两个向量是否共面？为什么？
提示 共面,任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内成为同一个平面内的两个向量.
3.任意两个空间向量是共面向量,则任意三个空间向量是否共面？
提示 不一定,如图所示,空间中的三个向量 , , 不共面.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 空间向量及相关概念的理解
【例1】 给出下列说法:①在同一条直线上的单位向量都相等;②只有零向量的模等于0;
③在正方体 中, 与 是相等向量;④在空间四边形 中,
与 是相反向量;⑤在三棱柱 中,与 的模一定相等的向量一共有4个.
其中说法正确的所有序号为______.
②③
[解析] ①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,也可能相反,故它们不一定相等;
②正确,零向量的模为0,模为0的向量只有零向量;
③正确, 与 的模相等,方向相同;
④错误,空间四边形 中, 与 的模不一定相等,方向也不确定;
⑤错误,在三棱柱 中,与 的模一定相等的向量是 , , , , ,一共有5个.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
规律方法 空间向量概念的辨析
变式训练1 下列说法正确的是( )
B
A.若 ,则向量 , 的长度相同,方向相同或相反
B.若向量 是向量 的相反向量,则
C.两个向量相等,若它们的起点相同,则其终点不一定相同
D.若 , ,则
[解析] 两个向量是相反向量时,它们的模必相等,故选项B正确.
探究点二 空间向量的线性运算
【例2】 如图所示，在平行六面体 中，设
， ， ， ， ， 分别是 ， ，
的中点，试用 ， ， 表示以下各向量：
（2） ；
.
（3） .
.
思路分析 根据数乘向量及三角形法则、平行四边形法则求解.
（1） ；
解
变式探究 本例条件不变，试用 ， ， 表示向量 .
解 .
规律方法
空间向量线性运算的技巧和思路
（1）空间向量加法、减法运算的两个技巧
①巧用相反向量:向量加减法的三角形法则是解 决空间向量加法、减法运算的关键,灵
活运用相反向量可使有关向量首尾相接,从而便于运算.
②巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时,务必要注
意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.
（2）化简空间向量的常用思路
①分组:合理分组,以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简.
②多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和,还可利用多边形法则,若干个
向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和.
③走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量走边路（即沿几何体的边选择途
径）.
变式训练2（1） ［北师大版教材习题］在空间四边形 中，点 ， 分别是
和 的中点，则 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] .
（2）［人教B版教材习题］如图，四面体 中， ,
, , 为 的中点， 为 的中点，将 用向量 ,
, 表示出来.
解 为 的中点， 为 的中点，
, , .
探究点三 空间共线向量定理及其应用
【例3】（1） ［北师大版教材习题］写出 ， ， 三点共线的一个充分条件.
解 答案不唯一，如 .
（2）如图所示,在正方体 中,点 在 上,且
,点 在体对角线 上,且 .求证: , , 三
点共线.
思路分析 本例（2）可通过证明 与 共线来证明 , , 三点共线.
证明 设 , , .
因为 , ,
所以 , ,
所以 , .
所以 .
又 ,所以
.
因为 与 有公共点 ,所以 , , 三点共线.
变式训练3 如图所示,已知四边形 , 都是平行四边形且
不共面, , 分别是 , 的中点,判断 与 是否共线.
解 共线.证明 如下： , 分别是 , 的中点,且四边形
, 都是平行四边形,
.
又 ,
,即
.
与 共线.
探究点 四空间共面向量定理及其应用
【例4】 已知 , , 三点不共线,点 是平面 外的任意一点，点 满足 .
（1）判断 , , 三个向量是否共面;
（2）判断点 是否在平面 内.
思路分析 要证明三个向量 , , 共面,只需证明存在实数 , ,使
,证明了三个向量共面,即可说明点 就在平面内.
（2）在.证明 如下：由（1）知向量 , , 共面,三个向量又有公共点 ,
故 , , , 共面,即点 在平面 内.
解 （1）共面.证明如下：
因为 ,
所以 ,
所以 ,
因此 .
故向量 , , 共面.
变式训练4 ［人教B版教材习题］如图所示，已知斜三棱柱
中， , , ,在 上和 上
分别有一点 和 ，且 , ,其中 .
求证： , , 共面.
证明 因为 ,
,所以 .由空间共面向量定理可知， ， , 共面.
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）向量的相关概念;
（2）向量的线性运算及运算律;
（3）空间向量共线的充要条件,直线的方向向量;
（4）空间向量共面的充要条件,三点共线、四点共面的证明方法.
2.方法归纳:类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合和转化思想.
3.常见误区:（1）容易忽视向量的“大小”和“方向”两个要素,要注意向量不是一个数;（2）
容易混淆向量共线与线段共线、点共线之间的关系.(共35张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课 程 标 准 1.了解空间直角坐标系,理解空间向量的坐标表示.
2.掌握空间向量运算的坐标表示.
3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用.
4.掌握空间向量的模、夹角以及两点间的距离公式,能运用公式解决问题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 空间直角坐标系与坐标表示
1.空间直角坐标系
在空间选定一点 和一个单位正交基底 ,以点 为原点,分别以 , , 的方
向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：_________________,它们都叫做
坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系 叫做原点, , , 都叫做坐标向
量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为 平面, 平面, 平面.
轴、 轴、 轴
2.点的坐标
在空间直角坐标系 中, , , 为坐标向量,对空间任意一点 ,对应一个向量
,且点 的位置由向量 唯一确定，由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组
,使 .在单位正交基底 下与向量 对应的有序实数组
,叫做点 在空间直角坐标系中的坐标,记作 .其中 叫做点 的横坐标,
叫做点 的纵坐标, 叫做点 的竖坐标.
3.向量的坐标
在空间直角坐标系 中,给定向量 ,作 .由空间向量基本定理,存在唯一
的有序实数组 ,使 .有序实数组 叫做 在空间直角坐标
系 中的坐标,上式可简记作 .
名师点睛
1.画空间直角坐标系 时,一般使 （或 ）, .三个坐标平面把空间分成八个部分.
2.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 轴的正方向,食指指向 轴的正方向,如果中指指向 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.本书建立的都是右手直角坐标系.
过关自诊
1.在空间直角坐标系中，向量 的坐标与终点 的坐标有何关系？
提示 向量 的坐标恰好是终点 的坐标，这就实现了空间基底到空间坐标系的转换.
2.在给定的空间直角坐标系下，空间任意一点是否与有序实数组 之间存在唯一
的对应关系？为什么？
提示 是.在给定空间直角坐标系下，空间给定一点,其坐标是唯一的有序实数组 ；
反之，给定一个有序实数组 ，空间也有唯一的点与之对应.
3.［人教B版教材例题］已知 , , 是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标：
（1） ;
解 .
（2） ;
.
（3） ;
.
（4） .
因为 ,所以
4.［苏教版教材例题］已知 , ,求 , , .
解 ,
,
.
知识点2 空间向量运算的坐标表示
1.空间向量的坐标运算法则
设向量 , , ,那么
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 ————————————————————————————
减法 ————————————————————————————
数乘 ————————————————————————
数量积 ——————————————————————————
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系
设 , ,则 .
3.空间向量平行与垂直条件的坐标表示
若向量 , ,则
（1）当 时, _ __________________________ ;
（2） _ ________ ______________________.
4.空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示
若向量 , ,则
（1） ;
（2） ;
（3）设 , 是空间中任意两点,则 , 两点间的距离为
_ _________________________________.
, ,
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ，错误的画 ）
（1）四边形 是平行四边形,则向量 与 的坐标相同.( )
√
（2）设 , 为坐标原点,则 .( )
√
2.若 , , ,则一定有 成立吗
提示 不一定.只有当 , , 均不为0时， 成立.
3.［北师大版教材习题］已知 ， .
（1）写出一个向量 的坐标，使得 ;
（2）写出一个向量 的坐标，使得 .
解 由题知 .
（1）答案不唯一，如 ;
（2）答案不唯一，如
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 空间向量的坐标表示
【例1】 在直三棱柱 中, , , , , 为
的中点,建立适当的空间直角坐标系,求 , 的坐标.
解 由已知得 , , ,从而建立以 , , 方向上的单位
向量 , , 为单位正交基底的空间直角坐标系 ,如图,则 , ,
,
,故 的坐标为 .
,
故 的坐标为 .
规律方法 用坐标表示空间向量的步骤如下
________________________________________________________________________________________
变式训练1 如图,在长方体 中, , 分别
为 , 的中点,若以 为基底,则向量
的坐标为_ _______,向量 的坐标为________,向量 的
坐标为_ ______.
[解析] 因为 ,
所以向量 的坐标为 .
因为 ,
所以向量 的坐标为 .
因为 ,所以向量 的坐标为
.
探究点二 空间向量的坐标运算
【例2】 已知在空间直角坐标系中, , , .
（1）求 , , ;
解 因为 , , ,所以 , .
所以 .
又 , ,
所以 .
又 , ,
所以 .
（2）若点 满足 ,求点 的坐标;
由（1）知, ,
若设点 ,则 ,于是 解 得
故 .
（3）若 , ,求 .
由（1）知, ,
（方法1）
（方法2） , ,
所以
规律方法 关于空间向量坐标运算的两类问题
_____________________________________________________________________________________________________
变式训练2 在 中, , , .
（1）求顶点 , 的坐标;
解 设 , ,
所以 , .
因为 ,
所以
解 得
所以点 的坐标为 .
因为 ,
所以
解 得
所以点 的坐标为 .
（2）求 ;
因为 , ,
所以 .
（3）若点 在边 上,且 ,求点 的坐标.
设 ,则 , ,于是
有 ,所以 解
得
故点 的坐标为 .
探究点三 空间向量的平行与垂直
【例3】 如图,已知正方形 和矩形 所在的平面互相垂
直, , , 是线段 的中点.求证：
（1） 平面 ；
证明 如图,建立空间直角坐标系,
设 ,连接 ,
则点 , 的坐标分别为 , .
.
又点 , 的坐标分别是 ， , .
.
又 与 不共线, 平面 , 平面 , 平面
.
（2） 平面 .
由（1）知 .
, , ，
, , ，即 .
同理, ， ， ,即 .
又 ,且 平面 , 平面 ,
平面 .
变式训练3 ［北师大版教材习题］已知向量 , .
（1）若 ,求实数 , 的值；
解 因为 ,所以 ，所以 , .
（2）若 ,且 ,求实数 , 的值.
由 得 ,即 .①
又 ,即 ,
所以 .②
联立 ,得 或
探究点四 空间向量夹角与模的计算
【例4】 ［北师大版教材例题］如图所示，三棱柱 中，
侧棱与底面垂直， ， ,棱 ,点 ， 分
别是 和 的中点.
（1）求 ；
解 如图所示，以点 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立
空间直角坐标系.
由题意，得 , .
则 ,
.
（2）求 , 的值；
解 由题意，得 , , , .
因为 , ,
所以 ,
,
,
.
故 的值为 .
（3）求证： .
证明 由题意，得 , , , .因为 ,
,所以 ,即 .
规律方法 向量夹角与模的计算方法
利用坐标运算解 决空间向量夹角与长度的计算问题,关键是建立恰当的空间直
角坐标系,写出有关点的坐标,然后利用夹角与模的计算公式进行求解 .
变式训练4 如图，在正方体 中, , 分别为
, 的中点,则 _ _, ___.
[解析] 以 为原点, , , 所在直线分别为 轴 , 轴 , 轴
建立直角坐标系（图略）,设正方体棱长为1,则 ，
, ,
, , ,
,
, .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）空间直角坐标系的概念；
（2）空间点的坐标；
（3）空间向量的坐标及坐标运算；
（4）向量的坐标表示的应用.
2.方法归纳:数形结合、类比、转化.
3.常见误区:
（1）混淆空间点的坐标和向量坐标的概念,只有起点在原点的向量的坐标才和终点的
坐标相同;（2）求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角易忽略向量共线的
情况.(共27张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标准 1.掌握空间向量基本定理.
2.了解空间向量正交分解 的含义.
3.会用空间向量基本定理解 决有关问题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点 空间向量基本定理
1.定理：如果三个向量 , , 不共面,那么对任意一个空间向量 ,存在________有序实
数组 ,使得 _____________.
2.基底：我们把{ , , }叫做空间的一个______, , , 都叫做________.
3.单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量__________,且长度都为1,那么
这个基底叫做______________,常用{ , , }表示.
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 ,均可以分解 为三个向量 ,
, ,使 ____________,像这样,把一个空间向量分解 为三个__________的向量,
叫做把空间向量进行正交分解 .
唯一的
基底
基向量
两两垂直
单位正交基底
两两垂直
名师点睛
1.基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.
2.一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.
3.由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量.
过关自诊
1.零向量能不能作为一个基向量？为什么？
提示 不能.因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面.
2.［北师大版教材习题］已知空间的一个基底 , , , ,
.
试写出一个向量 ,使之与向量 , 构成空间的另一个基底.
提示 答案不唯一，如
3.［北师大版教材习题］如图，在四面体 中，
, , ,点 在 上，且 ,点
为 的中点，则 ( )
B
A. B.
C. D.
[解析] .
4.［人教B版教材习题］如果空间向量 , , 不共面，且 ,
求 , , 的值.
解 , , 不共面， 由 可得 即
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 基底的判断
【例1】（1） 设 ， ， ，且{ ， ， }是空间的一个
基底，给出下列向量组：①{ ， ， ，②{ ， ， ，③{ ， ， ，④{ ，
， }.其中可以作为空间基底的有( )
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[解析] 如图所示，
令 ， ， ，则 ， ，
， .
由于 ， ， ， 四点不共面，可知向量 ， ， 也不共面，
同理 ， ， 和 ， ， 也不共面，故选C.
（2）已知{ ， ， 是空间的一个基底，且 ，
， ，试判断 ， ， }能否作为空间
的一个基底.
解 设 ，则 ，
即 , 此方程组无
解 .
即不存在实数 ， ,使得 ，
所以 ， ， 不共面.
所以 ， ， }能作为空间的一个基底.
变式训练1 若{ ， ， }是空间的一个基底，试判断{ ， ， }能否
作为空间的一个基底.
解 假设 ， ， 共面，则存在实数 ， ，使得
，即 .
， ， 是空间的一个基底，
， ， 不共面.
此方程组无解 .
即不存在实数 ， ，使得 ， ， ，
不共面.
故{ ， ， }能作为空间的一个基底.
探究点二 用基底表示空间向量
【例2】 如图,在三棱柱 中,已知 ,
, ,点 , 分别是 , 的中点,试用基
底{ , , }表示向量 , .
解 连接 （图略）.
.
.
变式探究 若把本例中“ ”改为“ ”,其他条件不变,则结果是什么？
解 因为 为 的中点, 为 的中点,所以 ,
.
规律方法 用基底表示向量的注意事项
（1）空间中,任一向量都可以用一个基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的.
（2）用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法
则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示.
（3）在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向
量作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出
发的三条棱所对应的向量作为基底.
变式训练2 [北师大版教材习题］如图，在平行六面体
中，点 ， 分别是棱 和 的中点，用
向量 , , 表示 .
解 .
探究点三 应用空间向量基本定理判定（或证明）线线位置关系
【例3】 如图，在棱长为2的正方体 中, ,
分别是 , 的中点,点 在棱 上,且 .
解 设 , , ,
则{ , , }构成空间的一个正交基底.
（1）证明 ： ；
证明 : ,
,
, ,即
.
（2）求 与 所成角的余弦值.
,
,
.
, ,
.
变式探究 设这个正方体中线段 的中点为 ,证明 ： .
证明 设 , , ,则 ,
,所以
.
规律方法 应用空间向量基本定理可以证明 空间的线线垂直、线线平行,可求两条异
面直线所成的角等.
一般是根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向
量表示.
（1）若证明线线垂直,只需证明 两向量数量积为0；
（2）若证明线线平行,只需证明 两向量共线；
（3）若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角（或其补角）.
探究点四 应用空间向量基本定理求距离、夹角
【例4】 如图，在平行六面体 中，以顶
点 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为 .
（1）求 的长；
解 设 ， , ,则 ,
,
所以 .因为 ,所以 ,即 的长为 .
（2）求 与 所成角的余弦值.
因为 , ,所以 ,
.
又因为 ，所以 ,
.所以 与 所成角的余弦值为 .
规律方法 利用数量积求夹角或其余弦值的基本步骤
______________________________________________________________________________________________________
变式训练3 已知空间四边形 ， ,且 , ,则
与 所成的角是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由 ,得 ,所以
.
所以 ,
所以 与 所成的角是 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）空间向量的基底；
（2）空间向量基本定理及其应用；
（3）空间向量共线、共面的充要条件.
2.方法归纳:转化化归.
3.常见误区:
（1）基向量理解错误,没有注意到基向量的条件;（2）运算错误,利用基底表示向量时
计算要细心;（3）向量夹角和直线间夹角的范围不同,不要混淆;（4）转化目标不清：
表示向量时没有转化目标,不理解 空间向量基本定理的意义.(共31张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标准 1.理解空间两个向量夹角的定义.
2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律,会求空间向量的数量积.
3.能够运用空间向量的数量积解决夹角与距离问题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 空间向量的夹角
已知两个非零向量 , ,在空间任取一点 ,作 , ,则 叫做向量
, 的夹角,记作______,向量夹角的取值范围是______.如果 ,那么向量 , 互
相垂直,记作______.
名师点睛
1.由定义知,只有两个非零空间向量才有夹角,当两个非零空间向量共线同向时,夹角
为0；共线反向时,夹角为 .
2.对空间任意两个非零向量 , 有:
① ② ③
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ，错误的画 ）
（1）向量 与 的夹角等于向量 与 的夹角.( )
×
（2）两个共线向量的夹角是0.( )
×
2.向量的夹角与直线夹角范围有何区别？
提示 两向量夹角的范围为 ,两直线夹角的范围为 .
3.［人教B版教材习题］已知 是一个正方体，写出下列向量夹角的大小:
（1） ;
解 ;
（2） .
.
知识点2 空间向量的数量积
1.定义：已知两个非零向量 , ,则______________叫做 , 的数量积,记作_____.
即 .
特别地，零向量与任意向量的数量积为___.
0
2.数量积的运算性质
（ ）为单位向量）.
若向量 , 是非零向量，则 ;
若向量 与 同向，则 ;
若向量 与 反向，则 .
特别地， 或 .
若 为向量 , 的夹角，则 .
（当且仅当向量 , 共线时,等号成立）
3.向量 在向量 上的投影向量
在空间，向量 向向量 投影，将它们平移到同一个平面 内，利用平面上向量
的投影，得到与向量 共线的向量 , ，向量 称为向量 在向量
上的投影向量.
4.向量 在平面 上的投影向量
向量 向平面 投影，分别由向量 的起点 和终点 作平面 的垂线，垂足
分别为 , ,得到向量 ,向量 称为向量 在平面 上的投影向量.
这时，向量 , 的夹角就是向量 所在直线与平面 所成的角.
5.数量积的运算律
________, ；
_____（交换律）;
___________（分配律）.
名师点睛
1.对空间向量数量积的理解
（1）两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;
（2）若 ,不能得出 ,即空间向量不能进行除法运
算.
2.空间向量数量积的应用
（1）利用公式 可以解 决空间中有关距离或长度的问题;
（2）利用公式 可以解 决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的
问题;
（3）利用关系 （ , 为非零向量）可以证明 空间两直线的
垂直.
过关自诊
1.若 ，则 一定是锐角吗？
提示 当 时，也有 ，故当 时， 不一定是锐角.
2.数量积运算满足结合律、消去律吗？
提示 数量积运算不满足结合律，也不满足消去律，即 ，
3.[人教B版教材习题] 已知 , 均为空间向量，分别判断下列各式是否恒成立：
（1） ;
解 恒成立；
（2） ;
恒成立；
（3） .
恒成立.
提示 ：类比平面向量知，三式均恒成立.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 求空间向量的数量积
【例1】 如图，已知三棱锥 的各个侧面都是
等边三角形,且边长为2,点 , , 分别为 , ,
的中点.试求:
（1） ;
解 .
（2） ;
,
（3） ;
.
（4） .
.
思路分析求出每个向量的模及它们的夹角,然后按照数量积的定义求解,必要时,对向量进行分解.
变式探究 若本例条件不变，试求 .
解
变式训练1 在四面体 中，棱 ， ， 两两垂直，且 ，
， ，点 为 的重心，则 ___.
[解析] 由已知 ,点 是底面 的重心，
.
.
探究点二 利用数量积求夹角
【例2】 ［北师大版教材习题］如图，已知正方体
,设 , , ,则
( )
D
A. B. C. D.
[解析] , .
令 ,则 , .
,
所以 , .
又 ,
所以 .
变式训练2（1） 若非零空间向量 , 满足 , ,则向量 与 的
夹角为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 设向量 与 的夹角为 ,则由 ,得
又因为 ,所以 ,所以 .
（2）已知四面体 的所有棱长都等于2, , 分别为 , 的中点,则向量 与
向量 所成角的余弦值为_ ___.
[解析] 由已知得 , ,因此
,
.
又因为 ,
所以向量 与向量 所成角的余弦值 .
探究点三 利用数量积证明垂直问题
【例3】 如图,在正方体 中, 是 的中点, 是底面 的中心.
求证: 平面 .
证明 取 , , ,令 ,
则有 ,
,
，
,即 .
,
, ,即 .
, ， 平面 ，
平面 .
规律方法 利用数量积证明 垂直问题的一般方法
将所证垂直问题转化为证明 线线垂直,然后把直线转化为向量,并用已知向量表示未知
向量,然后通过向量的线性运算以及数量积运算,证明 直线所在向量的数量积等于零,即可证
明 线线垂直.
变式训练3 已知在四面体 中, , , , 分别为 , , , 的中点,若
,求证: .
证明 如图,设 , , ,则 .
又 , 分别为 , 的中点,
同理,
又 ,即 ,
, ,即 .
探究点四 利用数量积求距离或长度
【例4】 如图所示，在平行四边形 中， ， ，沿着它
的对角线 将 折起，使直线 与 成 角，求此时点 ， 间的距离.
解 ，
，同理可得 .
与 成 角， ，或 .又
，
， .
当 时， ，此时点 ， 间的距离为2；当
时， ，此时点 ， 间的距离为 .
规律方法 求两点间的距离或线段长度的方法
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变式训练4 北师大版教材习题］如图，已知 平面 ，
垂足为点 ， , ,则
( )
C
A. B.6 C.12 D.144
[解析] 因为
,所以
.
本节要点归纳
