(共14张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］[2023北京顺义期末] 若直线 与直线 的交点
为 ,则实数 的值为( )
A
A. B. C.1 D.2
[解析] 直线 与直线 的交点为 ,
解 得 .故选A.
2.［探究点三］在平面直角坐标系中,点 与点 关于直线 对称,则直线 的方程
为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 根据点 与点 关于直线 对称,可得直线 的斜率为 ,且直线
经过点 与点 构成的线段的中点 ,故直线 的方程为 ,
即 .
3.［探究点三］方程 所表示的直线( )
A
A.恒过定点 B.恒过定点
C.恒过点 和点 D.都是平行直线
[解析] 可化为 ,由
得
故该直线恒过定点 .
4.［探究点一］当 时,直线 与直线 的交点在
第____象限.
二
[解析] 由方程组
得两直线的交点坐标为 .
因为 ,所以 , ,
所以交点在第二象限.
5.［探究点一］三条直线 , , 相交于一点,则实
数 的值为_ ___.
[解析] 由 解得
把 代入直线 ,可得 ,解得 .
6.［探究点二］直线 经过直线 和直线 的交点，且与直
线 垂直，求直线 的方程.
解 （方法1）由 得
交点坐标为 .又直线 与直线 垂直，
直线 的斜率为3， 直线 的方程为 ，即 .
（方法2）设直线 方程为 ,
即 ,
因为 与 垂直，
所以 ，
解得 ，
代回方程并化简，得直线 的方程为 .
B级 关键能力提升练
7.若直线 , 和 相交于一点,则 ( )
C
A. B. C. D.2
[解析] 由 得 即交点为 ，代入直线方程
,解得 .
8.若直线 与直线 关于点 对称，则直线 一定过定点( )
C
A. B. C. D.
[解析] ,
直线 过定点 .
设定点 关于点 对称的点的坐标为 ，则 解得
即直线 恒过定点 .故选C.
9.若三条直线 , , 能构成三角形,则
应满足的条件是( )
D
A. ，或 B.
C. ，且 D. ，且
[解析] 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点.
①若 ，则由 ,得 .
②若 ,则由 ,得 .
③若 ,则由 ,得 .
当 时, , 与 三线重合,当 时, , 平行.
④若三条直线交于一点,由 解得
将 , 的交点 的坐标代入 的方程，
解得 （舍去）或 .
所以要使三条直线能构成三角形,需 ，且 .
10.已知直线 恒过一个定点,则过这一定点和原点的直线方程是
_ ___________.
[解析] 由直线 ,
得 ,
令
解得 , ,
直线 恒过定点 , 过这一定点和原点的直线方程是
,即 ,即 .
11.设直线 经过 和 的交点,且与两坐标轴围成等腰直
角三角形,则直线 的方程为_ ____________________________.
或
[解析] （方法1）由 得 所以两直线的交点坐标为 .
由题意可得所求直线的斜率为1或 ,
所以所求直线的方程为 或 ,即
或 .
（方法2）设所求的直线方程为 ,
整理得 ,
由题意,得 ,解得 或 ,
所以所求的直线方程为 或 .
C级 学科素养创新练
12.已知 ,直线 和直线 与
两坐标轴围成一个四边形,求使得这个四边形面积最小的 值.
解 由题意知直线 , 恒过定点 ,直线 的纵截距为 ,直线 的横截距为
,如图,所以四边形的面积
,故四边形面
积最小时, .(共20张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］圆 和圆 的位置关系是
( )
B
A.外离 B.相交 C.内切 D.外切
[解析] 圆 的圆心为 ,半径 ；圆
化为 ,圆心为 ,半径
,圆心距 .
因为 ,所以两圆相交.
2.［探究点二］过两圆 及 的交点的
直线的方程是( )
A
A. B. C. D.不存在
[解析] 由 得 .
3.［探究点三］（多选题）半径为6的圆与 轴相切,且与圆 内切,则
此圆的方程可以是( )
CD
A. B.
C. D.
[解析] 由题意可设圆的方程为 ,又由两圆内切,得 ,所以 ,所以 .
4.［探究点二］已知圆 与圆 相交于
, 两点,则线段 的中垂线的方程为_ ____________.
[解析] 圆 的圆心为 ,圆 的圆心为 , 直线 的方程为 .由圆的性质知 的中垂线即直线 ,故其方程为 .
5.［探究点四］已知圆: 与直线 的两个交点为
, ,求以 为直径的圆的方程.
解 设所求圆的方程为 ,
整理,得 ,
此圆的圆心坐标是 ,
由圆心在直线 上,得 ,解得 .
故所求圆的方程为 .
B级 关键能力提升练
6.圆 与圆 外离，过原点 分
别作两个圆的切线 ， ，若 ， 的斜率之积为 ，则实数 的值为( )
C
A. B. C. D.6
[解析] 两圆外离，则 ，
即 ，
设与圆 相切的直线 的方程为 ，
则 ，解得 ，
则与圆 相切的直线 的斜率 ，
直线 的方程为 ，即 ，
所以 ，解得 或 ，
结合 可知 .故选C.
7.已知点 , ,点 是圆 上的动点，点 是圆
上的动点，则 的最大值为( )
D
A.2 B. C.3 D.4
[解析] 如图, , 点 在直线
上，
作 关于直线 的对称点 ,且圆
关于直线 对称的圆 方
程为 ,
在圆 上， .
设圆 的圆心为 ,
,
,
,
当 , , , , 五点共线， 在线段 上， 在线段 上时,等号成立.
因此， 的最大值为4.
8.（多选题）圆 和圆 的交点为 , ,
则有( )
ABD
A.公共弦 所在直线的方程为
B.线段 中垂线的方程为
C.公共弦 的长为
D. 为圆 上一动点,则 到直线 距离的最大值为
[解析] 对于A,由圆 与圆 的交点为
, ,两式作差可得 ,即公共弦 所在直线的方程为 ,故A正确；
对于B,圆 的圆心为 ,又 ,则线段 中垂线的
斜率为 ,即线段 中垂线的方程为 ,整理可得 ,
故B正确；
对于C,圆 ,圆心 到直线 的距离
,半径 ,所以 ,故C不正确；
对于D, 为圆 上一动点,圆心 到直线 的距离为 ,半径
,即 到直线 距离的最大值为 ,故D正确.
9.（多选题）若圆 和圆 没有公共点,则实
数 的取值可能是( )
AD
A. B. C.11 D.12
[解析] 化圆 为 ,则
,圆心坐标为 ,半径为 ；
圆 的圆心坐标为 ,半径为1.
要使圆 和圆 没有公共点,则 或 ,
即 或 ,
解 得 或 .
实数 的取值范围是 .
满足这一范围的有A和D.
10.已知圆 ,过点 向圆 引两条切线 , ,切点为 , ,若点 的坐标
为 ,则直线 的方程为______________；若 为直线 上一动点,则
直线 经过定点_ _____.
,
[解析] 圆 的圆心坐标为 ,则以 和 为直径的圆的圆
心为 , ,半径为 .
可得以 为直径的圆的方程为 ,
即 ,
两圆的方程相减可得直线 的方程 .
因为点 为直线 上一动点,所以设 .
因为 , 是圆 的切线,所以 , ,所以 是圆 与以 为直
径的两圆的公共弦,以 为直径的圆的方程为
,
又由圆 的方程为 ,两圆的方程相减,则 的方程为
,所以直线 过定点 .
11.已知关于 , 的方程 .
（1）若方程 表示圆,求实数 的取值范围；
解 把方程 配方得 ,若方程
表示圆,则 ,解得 ,所以 的取值范围为 .
（2）若圆 与圆 外切,求实数 的值；
把圆 化为标准方程得 ,圆心坐标
为 ,半径为4,则两圆心间的距离 .
因为两圆的位置关系是外切,所以 ,解得 .
（3）若圆 与直线 相交于 , 两点,且 ,求实数 的值.
因为圆心 的坐标为 ,则圆心 到直线 的距离 ,所以
,即 ,解得 .
C级 学科素养创新练
12.已知圆 的圆心在直线 上,且与直线 相切.
（1）若圆 与圆 外切,试求圆 的半径.
解 设圆 的圆心坐标为 ,则半径 ,
两圆的圆心距为 ,
因为两圆外切,所以 ,得 .
（2）满足已知条件的圆显然不止一个,但它们都与直线 相切,我们称 是这些圆的公
切线.这些圆是否还有其他公切线？若有,求出公切线的方程;若没有,说明理由.
有.如果存在另一条切线,则它必过 与 的交点 ,
①若斜率不存在,则直线方程为 ,圆心 到它的距离为 ,由于方
程需要对任意的 都成立,因此无解 ,所以它不是公切线,
②若斜率存在,设公切线方程为 ,
则圆心 到它的距离为 对任意的 都成立,
, ,
两边平方并化简得 ,解得 或 ,
当 时,直线与 重合,
当 时,直线方程为 ,
故还存在一条公切线,其方程为 .(共12张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］经过点 ,斜率为 的直线的点斜式方程为( )
B
A. B.
C. D.
2.［探究点一］[2023上海浦东新区期末] 过点 ,倾斜角为 的直线方程为
( )
B
A. B. C. D.
[解析] 直线的斜率为 ,故直线方程为 ,即 .
故选B.
3.［探究点二］已知直线 的斜率是直线 的斜率的相反数,在 轴上的截距
为2,则直线 的方程为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 直线 的斜率是直线 的斜率的相反数, .
在 轴上的截距为2,
直线 的方程为 ,故选C.
4.［探究点一］[2023福建宁德期中] 已知直线 的一个法向量为 ,且经过点
,则直线 的方程为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 直线 的一个法向量为 ,且经过点 ,则直线 的斜率为2,故直线 的方程为 ,即 ,故选A.
5.［探究点二］直线 与直线 垂直，且它在 轴上的截距为4，则直线 的
方程为_ _________.
[解析] 设直线 的方程为 .又 在 轴上的截距为4， ， 直线 的方程为 .
6.［探究点二］已知直线 的斜率为 ,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,则直线 的
斜截式方程为_ ______________________.
或
[解析] 设直线 的方程为 .当 时, ;当 时, .由题意可得 ,即 ,解 得 .故直线 的方程为 或 .
7.［探究点二］求满足下列条件的 的值.
（1）直线 与直线 平行；
解 , 两直线的斜率相等.
且 , .
（2）直线 与直线 垂直.
, , .
B级 关键能力提升练
8.（多选题）直线 的图象可能是( )
AB
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 由直线 可得 .
若 时,直线 的斜率与在 轴上的截距都大于0,可能为A；若 时,
直线 的斜率与在 轴上的截距都小于0,可能为B.故选 .
9.若 与 的图象有两个交点,则 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 表示斜率为1,在 轴上的截距为
的直线, 表示关于 轴对称的两条射线.根据题
意画出大致图象，如图.若 与 的图象有两个交
点,且 ,则根据图象可知 .故选A.
10.（多选题）在同一直角坐标系中,能正确表示直线 与 大致图象的是
( )
BC
A.&5& B.&6& C.&7& D.&8&
C级 学科素养创新练
11.已知直线 .
（1）若直线 不经过第四象限,求 的取值范围;
解 直线 的方程可化为 ,则直线在 轴上的截距为 ,要使直线
不经过第四象限,需满足 解 得 ,故 的取值范围是 .
（2）若直线 交 轴的负半轴于点 ,交 轴的正半轴于点 , 为坐标原点,设
的面积为 ,求 的最小值及此时直线 的方程.
依题意,直线 在 轴上的截距为 ,在 轴上的截距为 ,且 ,所以
, ,故
,当且仅当 ,即
时,等号成立.故 的最小值为16,此时直线 的方程为 .(共16张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］[2023江苏扬州期中] 经过两点 , 的直线的方程为
( )
D
A. B. C. D.
[解析] 经过点 , 的直线的方程为 ,整理得 .故
选D.
2.［探究点二］直线 在 轴上的截距为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 直线 ,令 ,解 得 .故选D.
3.［探究点一］[2023福建福州检测] 过两点 和 的直线在 轴上的截距为
( )
C
A. B. C. D.
[解析] 过两点 和 的直线的方程为 ,即 , 直
线在 轴上的截距为 .故选C.
4.［探究点一、二］（多选题）[2023海南琼海月考] 下列四个结论,其中正确的有
( )
BC
A.方程 与方程 可表示同一条直线
B.直线 在 轴上的截距为
C.直线 过点 ,斜率为0,则其方程为
D.过点 ,且与两坐标轴截距相等的直线 方程仅有
[解析] 对于A,因为方程 中, ,
而方程 中 ,故两个方程不可以表示同一条直线,故A错误；
对于B,令 ,则 ,所以直线 在 轴上的截距为 ,故B正确；
对于C,直线 过点 ,斜率为0,则其方程为 ,故C正确；
对于D,当直线在坐标轴上的截距都为0时,直线方程为 ,
当直线在坐标轴上的截距都不为0时,可设其方程为 ,则 ,
解得 ,所以直线方程为 .
综上,过点 ,且与两坐标轴截距相等的直线 方程为 或 ,故D
错误.故选 .
5.［探究点二］[2023江苏南京联考] 若直线 过点 ,且在两坐标轴上截距互为相
反数,则直线 的方程为_ _____________________.
或
[解析] 直线 在两坐标轴上截距为0时,直线 过点 ,则直线 的方程为 ;直线 在两坐标轴上截距不为0时,可设直线 的方程为 ,直线 过点 ,则 ,解 得 ,直线方程为 .
综上所述,直线 的方程为 或 .
6.［探究点一、二］已知三角形的三个顶点 , , ,求:
（1） 边所在直线的方程;
解 , , 直线 的截距式方程为 ,化简得
,即 边所在直线的方程为 .
（2） 边上中线所在直线的方程.
, ,设 中点坐标为 , 中点为 ,
直线 的斜率为 ,
因此,直线 的方程为 ,化简得 ,即为 边上中线所
在直线的方程.
B级 关键能力提升练
7.若直线 过第一、三、四象限,则( )
B
A. , B. , C. , D. ,
[解析] 因为直线过第一、三、四象限,所以它在 轴上的截距为正,在 轴上的截距为负,所以 , .
8.已知两点 , ,动点 在线段 上运动,则 ( )
D
A.无最小值,且无最大值 B.无最小值,但有最大值
C.有最小值,但无最大值 D.有最小值,且有最大值
[解析] 线段 的方程为 ,于是 ,从而
,显然当 时, 取最大值为3;当
或3时, 取最小值0.
9.（多选题）过点 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( )
AC
A. B. C. D.
[解析] 当直线过点 时,直线方程为 ,
即 ；
当直线不过点 时,可设直线方程为 ,
把 代入,解 得 ,所以直线方程为 .
综上可知,直线方程为 或 .
10.已知直线 过点 ,且与 轴、 轴的正半轴分别交于 ， 两点, 为坐标原点,
则三角形 面积的最小值为___.
4
[解析] 设直线 的截距式方程为 ,依题意, , ,又因为点 在直
线 上,所以 ,
即 .
又因为 面积 ,所以
,
当且仅当 时，等号成立,所以 ,解这个不等式,得 .
从而 ,当且仅当 时,等号成立,此时 取最小值4.
11.过点 作直线 分别交 轴、 轴正半轴于 , 两点， 为坐标原点.当
取最小值时,直线 的方程为_ _____________.
[解析] 设直线 的方程为 .由点 在直线 上,得 ,
,
当且仅当 ,即 , 时,等号成立. 直线 的方程为 ,
即 .
C级 学科素养创新练
12.直线过点 , 且与 轴、 轴的正半轴分别交于 ， 两点， 为坐标原点，是
否存在这样的直线同时满足下列条件：
（1） 的周长为12；
（2） 的面积为6
若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
解
存在.设直线方程为 ，
若满足条件（1），则 .①
又直线过点 , ，
.②
由①②可得 ，解得 或
所求直线的方程为 或 ，
即 或 .
若满足条件（2），则 ，③
由题意得 ，④
由③④整理得 ，解得 或
所求直线的方程为 或 ，
即 或 .
综上所述，存在同时满足（1）（2）两个条件的直线方程，为 .(共14张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］过点 ,斜率 的直线的一般式方程为( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 由题可得, ,即直线的一般式方程为 .
2.［探究点二］已知直线 与 平行,则实数
的值为( )
D
A. 或2 B.0或2 C.2 D.
[解析] 由 知, ,即 ,
或 .
当 时, 与 重合,不符合题意,舍去；
当 时, .
3.［探究点二］若直线 与直线 垂直,垂足为 ,则实
数 的值为( )
A
A. B. C.10 D.8
[解析] 由已知得 解得 .
4.［探究点一］已知直线 在 轴上的截距为3,则该
直线在 轴上的截距为_ ____.
[解析] 把 代入已知方程,得 , , 直线方程为 .
令 ,得 .
5.［探究点一］设直线 的方程为 .
（1）若 在两坐标轴上的截距相等,求 的方程；
解 当直线 过原点时,直线 在 轴和 轴上的截距均为0, ,此时直线 的方程
为 ；
当直线 不过原点时, ,直线 在 轴和 轴上的截距分别为 , ,
,解得 或 （舍去）,
直线 的方程为 .
综上所述,直线 的方程为 或 .
（2）若 不经过第二象限,求实数 的取值范围.
将 的方程化为 ,
不经过第二象限, 解得 .
综上可知,实数 的取值范围是 .
B级 关键能力提升练
6.已知线段 的中垂线方程为 且 ，则 点坐标为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 设 的坐标为 ，
由题意可知
解得 ， ，所以 点坐标为 .故选A.
7.已知 ,直线 与直线 互相垂直,则
的最大值为( )
B
A.0 B.2 C.4 D.
[解析] 由两直线互相垂直知, ,
又 , ,
当且仅当 时,等号成立.
的最大值为2.故选B.
8.（多选题）三条直线 , , 围成一个三角形，则 的取值
可以是( )
CD
A. B.1 C.2 D.5
[解析] 直线 , 都经过原点，而无论 为何值，直线 总不能经过原点，故只需直线 与另两条直线均不平行即可，即 .
9.垂直于直线 ,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线 的方程为
_ _________________________________.
或
[解析] 由题意可设与直线 垂直的直线的方程为
,
令 ,得 ,令 ,得 ,
则 ,得 , ,
直线 的方程为 或 .
10.直线 过原点,且与 平行.若角 的终边落在直线 上,则
____.
[解析] 因为直线 过原点,且与 平行,所以直线 的方程为
,
当 时,取终边上的点 ,可得 ,当 时,取终边上的点 ,可
得 ,
所以若角 的终边落在直线 上,则 , .
C级 学科素养创新练
11.如图所示,在平面直角坐标系 中,已知点 , ,
,分别以 , 为边向外作正方形 与 ,则直线
的一般式方程为_ _______________.
[解析] 过点 , 分别作 轴的垂线,垂足分别为 , （图略）.
四边形 为正方形, .
, , ,
点 的坐标为 ,同理,得 ,
直线 的方程为 ,
直线 的一般式方程为 .(共23张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］圆心是 ,半径长为5的圆的方程为( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 将 , 代入圆的标准方程可得.
2.［探究点一］[2023江苏徐州月考] 已知 为坐标原点, ,则以 为直径的圆的
方程为( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 设 的中点为 ,则由题可得 ,以 为直径的圆的圆心为 ,半径为 ,故以 为直径的圆的方程为 .故选B.
3.［探究点一］已知直线 过圆 的圆心,且与直线 垂直,
则直线 的方程是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 圆 的圆心为点 .因为直线 与直线 垂直,所以直线 的斜率 .
由点斜式,得直线 的方程为 ,
化简得 .
4.［探究点二］点 在圆 的内部,则实数 的取值范围是
( )
D
A. B. C. D.
[解析] 依题意有 ,得 ,所以 ,即 .故选D.
5.［探究点一］与圆 有公共圆心,且过点 的圆的标准
方程是_ ______________________.
[解析] 所求圆的圆心为 ,设所求圆的半径为 ,则 .
所以所求圆的标准方程为 .
6.［探究点一、二］已知圆心在第二象限,半径为2的圆 与两坐标轴都相切,则圆 的
标准方程为_ _____________________；圆 关于直线 对称的圆的方程为
_ ___________.
[解析] 由题意可得所求的圆在第二象限,圆心为 ,半径为2,所以圆 的标准方程
为 .
设 关于直线 的对称点为 ,
则有 解得
故所求圆的圆心为 ,半径为2.
所以所求圆的标准方程为 .
7.［探究点一］求圆心在直线 上,且过点 , 的圆的标
准方程.
解 （方法1）设点 为圆心,
点 在直线 上,
可设点 的坐标为 .
又该圆经过 , 两点, .
,解得 .
圆心坐标为 ,半径 .
故所求圆的标准方程为 .
（方法2）设所求圆的标准方程为 ,
由条件知 解得 故所求圆的标准方程为
.
B级 关键能力提升练
8.若直线 与圆 的两个交点关于直线 对称，则
, 的值分别为( )
A
A. , B. ,4 C. ,4 D. ,
[解析] 因为直线 与圆 的两个交点关于直线
对称，直线 的斜率为 ，所以 ，并且直线 经过
已知圆的圆心，所以圆心 在直线 上，所以 ，所以
.故选A.
9.已知圆 ,点 及点 ,从点 观察点 ,要使视线不被圆 挡
住,则实数 的取值范围是( )
C
A. B.
C. D.
[解析] （方法1 直接法）写出直线方程,将直线与圆相切转化为
点到直线的距离来解决.过 , 两点的直线方程为 ,
即 ,令 , 化简后,得 ,
解得 .再进一步判断便可得到正确答案为C.
（方法2 数形结合法）
如图,设直线 切圆 于点 ,在 中,由 , ,可求出
.
在 中,由 , ,可求得 ,
再由图直观判断,选C.
10.已知直线 恒过定点 ,则与圆
有公共的圆心且过点 的圆的标准方程为( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 由 ,
得 ,
则 解得 即 圆
的圆心坐标是 ,
,
所求圆的标准方程为 .故选B.
11.（多选题）以直线 与两坐标轴的一个交点为圆心,过另一个交点的圆
的方程可能为( )
AD
A. B.
C. D.
[解析] 令 ,则 ；令 ,则 .
所以直线 与两坐标轴的交点分别为 , .
所以 .
所以以 为圆心,过 点的圆的方程为 .以 为圆心,过 点的
圆的方程为 .
12.（多选题）设有一组圆 ，下列说法正确的是
( )
ABD
A.不论 如何变化，圆心 始终在一条直线上
B.所有圆 均不经过点
C.经过点 的圆 有且只有一个
D.所有圆的面积均为
[解析] 圆心坐标为 ,在直线 上，故A正确;令 ,化简
得 ,
，
无实数根,故B正确;
由 ,化简得 , ,有两
个不等实根， 经过点 的圆 有两个，故C错误;由圆的半径为2,得圆的面积
为 ,故D正确.故选 .
13.已知点 与圆 , 是圆 上任意一点,则 的最小值是___.
5
[解析] 由于 ,故点 在圆外,从而 的最小值为 .
14.已知圆 的半径为2,圆心在 轴的正半轴上，且圆心到直线 的距离
等于半径长，则圆 的标准方程为_ ________________.
[解析] 设圆心坐标为 ,且 ,则点 到直线 的距离为2,即
,所以 ,解得 或 （舍去），则圆 的标
准方程为 .
15.等腰三角形 底边上的高等于4,底边两端点的坐标分别是 和 ,求它
的外接圆的方程.
解 （1）当点 的坐标是 时（如图1）, ,线段 的中点坐标是
,线段 的垂直平分线的方程是 ,即 .令 ,
则 .
图1
所以圆心的坐标是 ,
半径长为 ,
此时所求外接圆的方程是 .
（2）当点 的坐标是 时（如图2）, ,线段 的中点坐标是
,线段 的垂直平分线的方程是 ,即 .
图2
令 ,则 .所以圆心的坐标是 ,半径长为 ,此时所求外接
圆的方程是 .
综上,所求外接圆的方程是 或 .
C级 学科素养创新练
16.设 , 为平面直角坐标系内的两点，其中 , , , .令
, ,若 ,且 ,则称点 为点 的
“相关点”，记作 .
（1）求点 的“相关点”的个数.
解 因为 , 为非零整数 ，所以 , 或 ,
,所以点 的“相关点”有8个.
（2）点 的所有“相关点”是否在同一个圆上 若在,写出圆的方程;若不在，请说明理由.
是.设点 的“相关点”的坐标为 .由（1）知 ,即
,所以所有“相关点”都在以 为圆心, 为半径的圆上，所
求圆的方程为 .(共17张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］（多选题）下列说法错误的是( )
ACD
A.若直线 ,则它们的斜率之积互为负倒数
B.若直线 ,则两直线的斜率相等或都不存在
C.若两条直线中,一条直线的斜率存在,而另一条直线的斜率不存在,则两条直线一定垂直
D.两条不重合直线的倾斜角的正弦值相等,则这两条直线平行
[解析] 若两直线垂直,则两直线的斜率之积为 或其中一条直线斜率不存在,另一条直
线斜率为0,据此知A,C错误；两直线平行,可能两直线斜率都不存在,故B正确；因为
和 的正弦值相等,但两直线不平行,所以D错误.
2.［探究点一、二］（多选题）设平面内四点 , , , ,下
面四个结论正确的是( )
ABD
A. B. C. D.
[解析] 由斜率公式知, , , ,
, ,
, , .而 ,
与 不平行,故 正确.
3.［探究点一］已知点 , , , ,且直线 与直线
平行，则实数 的值为( )
C
A.1 B.0 C.0或1 D.0或2
[解析] 方法 , ,
直线 的一个方向向量为 .
, ,
直线 的一个方向向量为
由直线 与直线 平行，得 ,解 得 或
.
经检验，当 或 时，两直线不重合.故选C.
（方法2）当 时，直线 与直线 的斜率均不存在，此时 ,满足题意.
当 时， , ,由题意得 ,即 ,
解 得 .经检验，当 或 时，两直线不重合.故选C.
4.［探究点一］在平面直角坐标系 中,四边形 的边 , .已知
点 , , ,则点 的坐标为_ _______.
[解析] 设点 ,则由 , 可得 , ,即
, ,解 得 , .
5.［探究点一］已知 的斜率是2, 过点 , ,且 ,则 ____.
[解析] 因为 ,所以 ,解得 .
所以 .
6.［探究点三］已知 , , 三点,求点 ,使直线 ,且 .
解 设 ,
则 , , , .
因为 ,且 ,
所以 ,且 ,
即 ,且 ,
所以 , ,即 .
B级 关键能力提升练
7.[2023江苏南通检测] 已知两点 , ,当 在坐标轴上,若 ,则
这样的点 的个数为( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] ,作 的外接圆,
故 ,当 为等腰直角三角形时,设 为 中点,则
为 边上的高,且 ,而原点 到 距离为
,根据外接圆定义,点 必落在圆上,根据图示,可
故选C.
以判断符合条件的 分别为 , , 三点,即 点有三个.
如图:
8.已知 的两顶点坐标为 , ,其垂心为 ,则顶点 的坐标为
( )
A
A. B. C. D.
[解析] 设 的坐标为 ，由已知得, , ,且直线 ， 的斜率
存在,
所以
即 解得 即顶点 的坐标为 .
9.已知两点 , ，直线 过点 ，且交 轴于点 ， 是坐标原点，且
， ， ， 四点共圆，则 的值是( )
B
A.19 B. C.5 D.4
[解析] 由 ， ， ， 四点共圆可以得出四边形 的对角互补，又由题意得
,所以 ,所以 ,所以 ,即
,解得 .故选B.
10.直线 , 的斜率 , 是关于 的方程 的两根，若 ,则
_ ___;若 ，则 ___.
2
[解析] 由根与系数的关系，知 ,
若 ,则 ,得 ;
若 ,则 , ,得 .
11.已知 , , 三点,点 使直线 ,且 ，则点 坐标
为_ _____.
[解析] 设 ,则 , , , ,
,
即 .
12.已知直线 ， 不重合，直线 过点 和点 ,直线 的斜率为 ，
直线 的斜率为 ，若 ， ，则实数 的值为_____.
[解析] 由题意可得，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ,且 ，所以
，解 得 .
由于直线 的斜率为 ,因为 ，所以 ，解得 ，所
以 .
C级 学科素养创新练
13.已知直线 的倾斜角为 ,点 在直线 上，直线 绕点 按逆时针方向旋转 后到达直线 的位置，此时直线 与 平行，且 是线段 的垂直平分线，其中 , ，试求实数 的值.
解 易知直线 的倾斜角为 ,
直线 的斜率 .
当 时，直线 的斜率不存在，此时 的斜率为0，不满足 .
当 时，直线 的斜率 ,
线段 的垂直平分线 的斜率 . 与 平行, ,即 ,
解得 .
综上，实数 的值为 .(共27张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］已知点 在圆 外,则直线 与圆 的位
置关系是( )
B
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
[解析] 点 在圆 外, .
圆心 到直线 的距离 ,则直线与圆的位置关系
是相交.
2.［探究点三］直线 与圆 相交于 , 两点,若弦
的中点为 ,则直线 的方程为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由圆的一般方程,可得圆心为 .由圆的性质易知,点 与
的连线与弦 垂直,故有 .又 , .故
直线 的方程为 ,整理得 .
3.［探究点三］（多选题）若直线 被圆 所截得的弦长为
,则实数 的值可以为( )
AB
A.0 B.4 C. D.
[解析] 由圆的方程,可知圆心坐标为 ,半径 .又直线被圆截得的弦长为 ,
所以圆心到直线的距离 .
又 ,所以 ,解得 或 .
4.［探究点二］（多选题）平行于直线 且与圆 相切的直线
的方程可以是( )
CD
A. B. C. D.
[解析] 依题意可设所求切线方程为 ,则圆心 到直线
的距离为 ,解得 .故所求切线方程为
或 .
5.［探究点二］若直线 与圆 相切,且切点在第四象限,则
_ ____.
[解析] 圆 ,即 ,其圆心为 ,半径等于1.
由题意可得 ,再根据圆心到直线的距离等于半径可得 ,求得 .
6.［探究点二］过原点 作圆 的两条切线,设切点分别为
, ,则线段 的长为___.
4
[解析] 圆的方程化为标准方程为 ,示意
图如图所示,则圆心为 ,半径 .切线长
.
.
7.［探究点二］已知曲线 .
（1）当 为何值时,曲线 表示圆？
解 由 ,
得 ,
由 ,得 , 当 时,曲线 表示圆.
（2）若直线 与圆 相切,求 的值.
由（1）知圆 的圆心坐标为 ,半径为 .
直线 与圆 相切,
,解得 ,满足 .
8.［探究点四］为了开发古城旅游观光,镇政府决定在护城河
上建一座圆形拱桥,河面跨度 为32米,拱桥顶点 离河面8米.
（1）如果以 所在直线为 轴,以 中垂线为 轴建立如
图所示平面直角坐标系,试求出该圆形拱桥所在圆的方程；
解 , ,设圆心 ,
圆的方程为 ,
由圆过点 , 可得 解得 所以圆形拱桥所在圆的方程是
.
（2）现有游船船宽8米,船顶离水面7米,为保证安全,要求行船顶部与拱桥顶部的竖直方向高度差至少要0.5米.问这条船能否顺利通过这座拱桥,并说出理由.
可设船右上角竖直方向0.5米处的点为 ,代入圆的方程左端得 ,所以点 在圆内,故船可以顺利通过这座拱桥.
B级 关键能力提升练
9.在圆 上且到直线 的距离为 的点共有
( )
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[解析] 由 ,得 ,故圆心为 ,
半径 ,从而圆心到直线 的距离 ,故圆上有3个
点满足题意.
10.已知直线 分别与 轴 、 轴交于 , 两点,点 在圆
上,则 面积的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 如图,圆心到直线 的距离
.
设点 到直线 的距离为 .易知 ,即
.
又 , , .
11.直线 与曲线 有且只有一个交点,则 满足( )
B
A. B. 或
C. D.非以上答案
[解析] 曲线 含有限制条件,即 ,
故曲线表示单位圆在 轴右侧（含与 轴的交点）的部分.
在同一平面直角坐标系中,画出直线 与曲线
（就是 , ）,如图所示.
相切时, ,其他位置符合条件时需 .
12.[2023新高考Ⅰ] 过点 与圆 相切的两条直线的夹角为
,则 ( )
B
A.1 B. C. D.
[解析] 因为 ,即 ，
可得圆心 ,半径 ,如图,过点 作圆 的
切线,切点为 , ,因为 ,则
,可得 ,
,
则 ,
,即
为钝角,所以 .
故选B.
13.（多选题）从点 发出的光线 射到 轴上被 轴反射后,照射到圆
上,则下列结论正确的有( )
BCD
A.若反射光线与圆 相切,则切线方程为
B.若反射光线穿过圆 的圆心,则反射光线方程为
C.若反射光线照射到圆上后被吸收,则光线经过的最短路程是
D.若反射光线反射后被圆 遮挡,则在 轴上被挡住的范围是
[解析] 点 关于 轴的对称点为 .圆的方程为
,由题意知反射光线的斜率存在,设反射光线方程为
,即 .对于A，由相切知 ,解得
或 .
反射光线方程为 或 .
即 或 ,故A错误；
经过点 , 的方程为 ,故B正确；
因为 ,所以光线经过的最短路程为 ,故C正
确；
由于两条与圆 相切的反射光线与 轴的交点为 和 ,所以在 轴上被挡
住的范围是 ,故D正确.
14.（多选题）方程 有唯一实数解 ,则实数 的取值可以是( )
AC
A. B. C. 或 D. 或
[解析] 由题意知,线段 与半圆 只有一个交点,结合图形（图略）易得 或 或 .故选 .
15.若过点 的直线 与曲线 有公共点,则直线 的斜率的取值范
围为_ ________.
[解析] 如图所示, ,
直线 的倾斜角 的取值范围为 或 .
直线 的斜率的取值范围为 .
16.如图,正方形 的边长为20米,圆 的半径为1米,圆心是正方
形的中心,点 ， 分别在线段 ， 上,若线段 与圆 有公
共点,则称点 在点 的“盲区”中,已知点 以1.5米/秒的速度从
出发向 移动,同时,点 以1米/秒的速度从 出发向 移动,则在
点 从 移动到 的过程中,点 在点 的“盲区”中的时长约____
秒.（精确到 ）
4.4
[解析] 以点 为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,可设
点 , ,可得出直线 的方程
,
圆 的方程为 .
由直线 与圆 有公共点,可得
,
化为 ,解得 ,而 , 因此,点 在点 的
“盲区”中的时长约为4.4秒.
17.已知圆 的圆心为 ,直线 .
（1）若 ,求直线 被圆 所截得弦长的最大值；
解 已知圆的标准方程是 ,则圆心 的坐标是
,半径为 .
直线 的方程化为 ，则圆心 到直线 的距离是 .
设直线 被圆 所截得弦长为 ,由弦长\,圆心距和圆的半径之间的关系，得
.
,
当 时, 的最大值为 .
（2）若直线 是圆心下方的切线,当 在 变化时,求实数 的取值范围.
直线 与圆 相切,则有 ,即 .
点 在直线 的上方, ,即 ,
, .
, , .
C级 学科素养创新练
18.在 中, , , , 是 的内切圆上的一点,求分别
以 , , 为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值.
解 如图，建立平面直角坐标系,使 , , 三点的坐标分别为
, ， .
设 的内切圆的半径为 ,点 的坐标为 .再设切点
分别为 , , ，则
即 , , 内切圆的方程为
，即 .①
又 ,②
将①代入②,得
.
是内切圆上的点， ，
的最大值为22,最小值为18.
又以 , , 为直径的三个圆的面积之和为
,
以 , , 为直径的三个圆的面积之和的最大值为 ,
最小值为 .(共29张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］已知点 关于点 的对称点为 ,则点 到原点的
距离是( )
D
A.2 B.4 C.5 D.
[解析] 根据中点坐标公式得 , ,
解得 , ,所以点 的坐标为 ,
则点 到原点的距离
.
2.［探究点三］已知点 到直线 的距离为1,则 的值为( )
D
A.1 B. C. D.
[解析] 由题意知 ,即 ,
.
3.［探究点三］点 到直线 的距离大于3,则实数 的取值范围为
( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 由题意得 ,即 .
故 或 ,即 或 .
4.［探究点三］点 到直线 的距离 最大时, 与 的值依
次为( )
C
A.3, B.5,2 C.5,1 D.7,1
[解析] 直线 恒过点 ,根据已知条件可知当直线
与 垂直时,距离最大,最大值为 ,此时 ,故
直线 的斜率不存在,所以 .故选C.
5.［探究点四］（多选题）与直线 的距离等于 的直线方程可以为
( )
AD
A. B. C. D.
[解析] 根据题意可设所求直线方程为 ,因为两直线间的距离等
于 ,所以 ,
解得 或 ,故所求直线方程为 或 .
6.［探究点二］已知 的三顶点 , , ,则 边上的高
的长度为_ ____.
[解析] 由两点间距离公式得 , , .
, 是等腰三角形,
为 的中点.
由中点坐标公式易得 .
.
7.［探究点一］已知点 , ,且过点 的直线 分别到点 , 的距
离相等,则直线 的斜率为_ _______.
或
[解析] 根据题意,分2种情况讨论:
①直线 与直线 平行时,直线 与点 , 的距离相等,所以 ;
②直线 经过 , 的中点时,直线 与点 , 的距离相等,
所以 , 的中点坐标为 ,
所以 ,故直线 的斜率为 或 .
8.［探究点三］如图,已知直线 ,现将直线 向上
平移到直线 的位置,若 , 和坐标轴围成的梯形面积为4,则
的方程为_ ____________.
[解析] 设 的方程为 ,则题图中 ,
, , .
, .
梯形的高 就是 点到直线 的距离,
故 ,
由梯形面积公式得 , , .又
, .
从而得到直线 的方程是 .
9.［探究点一］求过点 且与点 , 等距离的直线 的方程.
解 （方法1） 点 与 到 轴的距离不相等， 直线 的斜率存在，
设为 .
又直线 在 轴上的截距为2， 直线 的方程为 ,即 .
由点 与 到直线 的距离相等，
得 ,解得 或 .
直线 的方程是 或 .
（方法2）①当直线 过线段 的中点时，直线 与点 , 的距离相等.
的中点是 ,又直线 过点 , 直线 的方程是 .
②当直线 时，直线 与点 , 的距离相等.
直线 的斜率为0, 直线 的斜率为0，
直线 的方程为 .
综上所述，满足条件的直线 的方程是 或 .
10.［探究点四］直线 经过两直线 与 的交点,且与直线
平行.
（1）求直线 的方程；
解 由 解得
即两直线交点坐标为 .
直线 的斜率 ,
直线 的斜率 .
直线 的方程为 ,即 .
（2）若点 到直线 的距离与直线 和直线 的距离相等,求实数 的值.
由题意得 ,
整理得 ,解得 或 .
B级 关键能力提升练
11.过点 ,且与原点 距离最大的直线的方程是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 根据题意得，所求直线与直线 垂直，
因为直线 的斜率为2，所以所求直线的斜率为 .所以由点斜式方程得 ,即 .
12.已知直线 过定点 ,点 在直线 上，则
的最小值是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由题易得直线 ,即 ,过定点 .
点 在直线 上，
，
,故当 时， 取得最小值 .故选B.
13.著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,割裂分家万事休.”事实上,有很多代数问
题可以转化为几何问题加以解 决,如: 可以转化为点 到点
的距离,则 的最小值为( )
D
A.3 B. C. D.
[解析]
,
令 , , ,
则 的最小值转化为在 轴上,求一点 ,使得
取得最小值.
关于 轴的对称点为 ,
.故选D.
14.已知点 , 分别在直线 与直线 上，且 ,点
, ，则 的最小值为( )
B
A. B. C. D.
[解析] （方法1）如图1，由平行线间的距离公式得 .
图1
设点 ，点 , .则 .
设点 ， ， ，如图2，
图2
则 .
故 的最小值为 .
（方法2）如图3，由平行线间的距离公式得 .
图3
过点 作垂直于 的直线,并截取 .则有 .设点 ，则
因此，点 ，则 .
连接 ,则四边形 是平行四边形，
故 .因此，
.故 的最小值为 .
15.（多选题）若点 在直线 上,且 , 满足 ,则点
到坐标原点距离的取值可以是( )
ABC
A.6 B.8.5 C.10 D.12
[解析] 点 在直线 上,且 , 满足 ,
.
线段 过原点,
点 到坐标原点的最近距离为0.
又点 在线段上, 点 到坐标原点的最远距离为 .
点 到坐标原点距离的取值范围是 .对照选择项知 均可.
16.（多选题）已知平面上一点 ,若直线 上存在点 使 ,则称该直线为
点 的“相关直线”，下列直线是点 的“相关直线”的是( )
BC
A. B. C. D.
[解析] 点 到直线 的距离 ,即点 与该直线上的
点的距离的最小值大于4,所以该直线上不存在点 ，使 ,故A中的直线不是点
的“相关直线”;点 到直线 的距离 ,即点 与该直线上的
点的距离的最小值小于4,所以该直线上存在点 ,使 ,故B中的直线是点 的
“相关直线”;点 到直线 的距离 ,所以该直线上存在点
, 使 ,故C中的直线是点 的“相关直线”;点 到直线 的距离
,故D中的直线不是点 的“相关直线”.故选 .
17.若直线 与直线 平行,则 _ ___,此时直线 与
之间的距离为_ ___.
[解析] 直线 与直线 平行, , ,
故直线 ,直线 .则直线 与 之间的距离为
.
18.已知直线 , ,若直线 , 的距离等于 ,且
直线 不经过第四象限,则 ___.
3
[解析] 由直线 , 的方程可知,直线 .在直线 上选取一点 ,依题意得,
与 之间的距离为 ,整理得 ,解得 或 .因为直
线 不经过第四象限,所以 ,所以 .
19.已知直线 经过点 ，且与 轴正半轴交于点 ，与 轴正半轴交于点 ，
为坐标原点.
（1）若点 到直线 的距离为4，求直线 的方程；
解 由题意知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ,即
,则点 到直线 的距离 ,解得 .
故直线 的方程为 ,即 .
（2）求 面积的最小值.
因为直线 的方程为 ，
所以 , .
则 的面积 .
由题意可知 ,则 ,当且仅当 时，等号
成立.故 面积的最小值为 .
20.在 中, , , ,求当 为何值时, 的面积
最大.
解 , ,
,直线 的方程为 .
根据点到直线的距离公式,可得点 到直线 的距离 ,
.
,
,
,
当 时, 的面积 最大.
C级 学科素养创新练
21.已知 ,则 的最小值为____.
[解析] 设 , ,则点 在直线 上,且 .
的最小值为点 到直线 的距离 .(共13张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］圆 的面积为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 原方程可化为 ,
半径 , 圆的面积为 .
2.［探究点一］（多选题）若圆 的圆心位于第三象限,则直线
一定经过( )
ABC
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 圆 的圆心为 ,则 , .直线
化为 ,则斜率 ,在 轴上的截距 ,所以
直线一定经过第一、二、三象限,不经过第四象限.
3.［探究点二］当 为任意实数时,直线 恒过定点 ,则以 为
圆心, 为半径的圆的方程为( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 直线 可化为 ,由
得 ,故圆的方程为 ,即
.
4.［探究点一］方程 表示的图形是半径为
的圆,则该圆的圆心在( )
D
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 因为方程 表示的图形是圆,又方程可化为
,故圆心坐标为 , .
由 ,即 ,解得 ,
故该圆的圆心在第四象限.
5.［探究点一、二］[2023北京房山期末] 已知点 是圆
上一点,给出下列结论:
；②圆 的圆心为 ；③圆 的半径为25；④点 也是圆 上一点.
其中正确结论的序号是________.
①②④
[解析] 由于点 是圆 上一点,所以
, ,①正确;圆的方程为 ,即
,故圆心为 ,半径为5,②正确,③错误;
,所以点 也是圆 上一点,④正确.
6.［探究点三］已知 是圆 上的动点, , 为 的中点,求点 的
轨迹方程.
解 设 , , 为 的中点, 为圆 上的动点, ,即 .故所求轨迹方程为 .
B级 关键能力提升练
7.（多选题）下列结论正确的是( )
ABD
A.在平面直角坐标系中,任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程
B.圆的一般方程和标准方程可以互化
C.方程 表示圆
D.若点 在圆 外,则
[解析] A,B显然正确；C中方程可化为 ,所以表示点 ；
D正确.
8.若圆 与 轴、 轴均有公共点，则实数 的取值范围是
( )
A
A. B. C. D.
[解析] 圆 ，即 ，圆心 ，
半径 .
圆与 轴、 轴都有公共点，
解得 .
9.一个动点在圆 上移动时，它与定点 的连线的中点的轨迹方程是
( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 设 为圆上的动点，则有 ，设线段 的中点为 ，
则 , ,
则 , ,代入 ，得 ,即
.
10.（多选题）若圆 的圆心到直线 的距离为 ，
则实数 的值可能为( )
AB
A.2 B.0 C. D.
[解析] 圆 ，即 ，它的圆心 到直
线 的距离为 ，则 或 .
C级 学科素养创新练
11.已知圆 的方程可以表示为 ，其中 .
（1）若 ，求圆 被直线 截得的弦长；
解 ，则圆 的标准方程为 ，圆心 到直线
的距离为 ,所以圆 被直线 截得的弦长为
.
（2）若圆 与直线 相交于 ， 两点，且 （ 为坐标原
点），求 的值.
设 , ，
联立 消去 ,整理得 ，
,即 .所以 ， .
因为 ，所以 ，所以 ,此时满足 .(共14张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］[2023广东佛山期末] 如图,直线 的倾斜角为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由图可知,直线 的倾斜角为 .
故选C.
2.［探究点一］若经过 , 两点的直线的倾斜角为 ,则 ( )
C
A.6 B. C.4 D.
[解析] 由题意可得 ，即 ，解得 ，故选C.
3.［探究点三］（多选题）已知直线斜率的绝对值为 ,则直线的倾斜角可以为
( )
BC
A. B. C. D.
[解析] 由题意得直线的斜率为 或 ,故直线的倾斜角为 或 .
4.［探究点二］如图,已知直线 , , 的斜率分别为 , , ,则
( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 设直线 , , 的倾斜角分别是 , , ,由图可知 ,所以 .
5.［探究点一、二］若直线 与 轴的夹角为 ,则直线 的倾斜角为_____________,
斜率为_ _________.
或
或
[解析] 因为直线 与 轴的夹角为 ,所以直线 的倾斜角为 或 .
当倾斜角为 时,斜率为 ；
当倾斜角为 时,斜率为 .
6.［探究点三］如图所示,直线 的倾斜角 ,直线
,求直线 , 的斜率.
解 的斜率 .
的倾斜角 ,
的斜率 .
B级 关键能力提升练
7.[2023辽宁大连期末] 若直线 的方向向量是 ,则直线 的倾斜角为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由直线 的方向向量是 得直线 的斜率为 ,设直线的倾斜角是 , .故选B.
8.若 , , 三点共线,则 的值等于( )
A
A. B. C.2 D.
[解析] , , 三点共线, ,即 ,即 ,两边同除以
,得 ,即 .
9.（多选题）下列命题中,错误的是( )
ABC
A.直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大
B.直线的倾斜角为 ,则直线的斜率为
C.直线的斜率为 ,则直线的倾斜角是
D.直线的倾斜角 或 , 时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增
[解析] 直线的倾斜角 或 , 时,直线的斜率分别在这两个区间上单调
递增,故A错误，D正确；当 时，斜率不存在,故B错误；只有当 时,
直线的倾斜角才是 ，故C错误，故选 .
10.[2023福建宁德月考] 已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜率为3,则该等腰
直角三角形两腰所在直线的斜率分别为_ _____.
,
[解析] 设等腰直角三角形斜边上的高所在直线的倾斜角为 ,则 ,
由题意得该等腰直角三角形两腰所在直线的倾斜角分别为 , ,
因为 , ,所以该等腰直角
三角形两腰所在直线的斜率分别为 , .
11.已知三点 , , ,直线 过点 ,且与线段 相交.求:
（1）直线 的倾斜角 的取值范围;
解 , ,所以直线 的倾斜角为 ,直线
的倾斜角为 ,如图,
所以直线 的倾斜角 的取值范围是 .
（2）直线 的斜率 的取值范围.
直线 的斜率 的取值范围是
C级 学科素养创新练
12.直线 的方向向量为 ,直线 的倾斜角为 ,则 的值是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 直线 的方向向量为 , 直线 的斜率等于 , , .
