3.2.1 双曲线及其标准方程
A级 必备知识基础练
1. ［探究点二］（多选题）过点,且的双曲线的标准方程可以是( )
A. B. C. D.
2. ［探究点三］若方程表示焦点在轴上的双曲线,则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
3. ［探究点二］已知双曲线的左、右焦点分别为,,点在双曲线的右支上,若,且双曲线的焦距为,则该双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
4. ［探究点一］已知双曲线上一点到左焦点的距离为10,则的中点到坐标原点的距离为( )
A. 3或7 B. 6或14 C. 3 D. 7
5. ［探究点四］许多建筑融入了数学元素,更具神韵,数学赋予了建筑活力,数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知图1是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑,图2是其中截面最细附近处的部分图象,上、下底与地面平行.现测得下底直径米,上底直径米,与间的距离为80米,与上、下底等距离的处的直径等于,则最细部分处的直径为( )
图1
图2
A. 10米 B. 20米 C. 米 D. 米
6. ［探究点三］若方程表示双曲线,则实数的取值范围是；若表示椭圆,则实数的取值范围是.
7. ［探究点二］焦点在轴上的双曲线经过点,且与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方程为.
8. ［探究点二］已知与双曲线共焦点的双曲线过点,求该双曲线的标准方程.
B级 关键能力提升练
9. 已知定点,,是圆上任意一点,点关于点的对称点为,线段的中垂线与直线相交于点,则点的轨迹是( )
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆
10. 已知双曲线的左、右焦点分别为,,点为双曲线上一点,的内切圆圆心为,若,则( )
A. B. 6 C. 8 D. 10
11. （多选题）已知方程表示的曲线为，下列说法正确的有( )
A. 当 时，曲线 为椭圆
B. 当 或 时，曲线 为双曲线
C. 若曲线 为焦点在 轴上的椭圆，则
D. 若曲线 为焦点在 轴上的双曲线，则
12. （多选题）已知点在双曲线上,,是双曲线的左、右焦点,若的面积为20,则下列说法正确的有( )
A. 点 到 轴的距离为 B.
C. 为钝角三角形 D.
13. 数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如:与相关的代数问题可以考虑转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点,可得方程的解为.
14. 一动圆过定点，且与定圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为.
15. 已知双曲线,,是其两个焦点，点在双曲线上.
（1） 若 ,求的面积.
（2） 若 ，的面积是多少 若 ，的面积又是多少
C级 学科素养创新练
16. [2023浙江杭州模拟]如图所示,平面直角坐标系中有两点和.以为圆心,正整数为半径的圆记为.以为圆心,正整数为半径的圆记为.对于正整数,点是圆与圆的交点,且,,,,都位于第二象限.则这5个点都位于( )
A. 直线上 B. 椭圆上 C. 抛物线上 D. 双曲线上
3.2.1 双曲线及其标准方程
基础落实·必备知识全过关
知识点1 双曲线的定义
过关自诊
1. ×; ×; ×; ×
提示①若将“小于 ”改为“等于 ”，其余条件不变，则动点轨迹是以 ， 为端点的两条方向相反的射线（包括端点）；
②若将“小于 ”改为“大于 ”，其余条件不变，则动点轨迹不存在;
③若为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段 的中垂线.
3. 解 因为,所以根据双曲线的定义可知,一定在,且焦点在轴上的双曲线上.
这就是说,点的坐标一定满足.另一方面,由可知,因此的横坐标要大于零,从而可知的轨迹方程为.
知识点2 双曲线的标准方程
过关自诊
提示 “焦点跟着正项走”，若 项的系数为正，则焦点在 轴上；若 项的系数为正，则焦点在 轴上.
2. B
[解析]根据双曲线的定义知,的轨迹是以,为焦点,以8为实轴长的双曲线,所以,,,所以双曲线的方程为.故选.
3. 解椭圆的左、右顶点坐标分别为,,右焦点坐标为,因此,双曲线的焦点坐标为,,且经过点,可设双曲线的标准方程为,,,所以,所以所求双曲线的标准方程为.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 双曲线定义的应用
【例1】 （1） 解设，根据双曲线的定义知，即.
解得或.
（2） 由，得，，.
由定义和余弦定理得，
，所以，
所以，.
思路分析（1）直接利用定义求解.（2）在 中利用余弦定理求 .
变式训练1 解在双曲线的方程中,,,则.
设,.
由双曲线的定义可知，
,
两边平方，得.
又 ,
由勾股定理，得,
.
探究点二 求双曲线的标准方程
【例2】 （1） 解 当焦点在轴上时，设所求标准方程为，把点的坐标代入，得，不符合题意；当焦点在轴上时，设所求标准方程为，把点的坐标代入，得.故所求双曲线的标准方程为.
（2） （方法1） 焦点相同，
设所求双曲线的标准方程为，
，即.①
双曲线经过点，
.②
由①②得，， 双曲线的标准方程为.
（方法2）设所求双曲线的方程为.
双曲线过点，，
解得或（舍去）.
双曲线的标准方程为.
（3） 设双曲线的方程为，.
点，在双曲线上，
解得
双曲线的标准方程为.
变式训练2 （1） 解 ,,则.
又焦点在轴上,所以双曲线的标准方程为.
（2） 焦点为和,
设方程为,且,所以.①
因为经过点,所以.②
由①②解得,.
所以双曲线的标准方程为.
探究点三 双曲线标准方程的应用
【例3】 （1） 解将所给方程化为,若该方程表示双曲线,则有,解得或,故实数的取值范围是.
（2） 将所给方程化为,若该方程表示焦点在轴上的双曲线,则有解得,故实数的取值范围是.
思路分析 根据双曲线方程的特征建立不等式（组）求解.
变式训练3（1） D
[解析]方程化为.
因为,所以,故方程表示焦点在轴上的双曲线.
（2）
[解析]方程化为,
依题意有,
即.
因为 ,所以.
探究点四 双曲线的实际生活应用
【例4】 解以线段的中点为坐标原点,的方向为轴的正方向,建立平面直角坐标系（图略）,设发出巨响的点为.
由题意可知,易知点在以,为焦点的双曲线上,即,,解得,,
所以.
因此发出巨响的点所在曲线的方程为
.
变式训练4 ;
[解析]如图所示,以所在的直线为轴,的垂直平分线为轴建立直角坐标系.则,根据双曲线定义知,轨迹为双曲线的右支.故,,,,,故轨迹方程为.根据题意知,,当,,共线时,等号成立.
本节要点归纳
分层作业
A级 必备知识基础练
1. AB
[解析]由于,.
当焦点在轴上时,设双曲线方程为,代入得.
此时双曲线方程为.
同理,求得焦点在轴上时,双曲线方程为.
2. A
[解析] 方程表示焦点在轴上的双曲线,解得.
实数的取值范围为.故选.
3. C
[解析]由题意得解得则该双曲线的方程为.
4. A
[解析]设双曲线的右焦点为,连接（图略）,是的中位线,
.
,,
或6,
或3.
5. B
[解析]建立如图所示的平面直角坐标系,
由题意可知,,
设双曲线的方程为,
解得.
故选.
6. ;
[解析]若方程表示双曲线,则应有,即；
若表示椭圆,则有解得且.
7.
[解析]设焦点,,
则由,得,
,.
设双曲线的方程为,
双曲线过点,.
又,,,
双曲线的标准方程为.
8. 解已知双曲线,
则,.
设所求双曲线的标准方程为.
依题意知,
故所求双曲线方程可写为.
点在所求双曲线上,
,
化简得,
解得或.
当时,,不符合题意,舍去,,,
所求双曲线的标准方程为.
B级 关键能力提升练
9. B
[解析]如图所示,连接,由题意可得,且为的中点,
.
点关于点的对称点为,线段的中垂线与直线相交于点.
由垂直平分线的性质可得.
由双曲线的定义可得点的轨迹是以,为焦点的双曲线.
10. D
[解析]由双曲线得,,可得.
设的内切圆的半径为,
由,
可得,
即.
易得,由双曲线的定义可得,
则有,解得,
则.
11. BCD
[解析]错误，当时，曲线为圆；正确，若为双曲线，则，或；正确，若曲线为焦点在轴上的椭圆，则，；正确，若曲线为焦点在轴上的双曲线，则.
12. BC
[解析]因为双曲线,所以.又因为,所以,故错误；
将代入得,即，由对称性,不妨取点的坐标为,可知,由双曲线定义可知,所以,故正确；
对于点,在中,,则,则为钝角,所以为钝角三角形,故正确；
由余弦定理得,
,故错误.
13.
[解析],
,其几何意义为动点到定点,的距离差的绝对值为4.
根据双曲线的定义,可将原方程的解转化为“以,为焦点,4为实轴长的双曲线与轴交点的横坐标”.
,.
,,
双曲线方程为.
令,得,解得.
14.
[解析]设动圆圆心为点，则，即.
点的轨迹是以，为焦点，且，的双曲线的左支.
又，.
动圆圆心的轨迹方程为.
15. （1） 解设 , （不妨设 ）, ,因为 , 已知，所以只需求 即可.
15. （1） 当 时，
由双曲线方程知,,，
由双曲线的定义，得,
两边平方,得.
又,
即,
也即，求得
（2） 若 ，则在中，
,所以，求得.
同理，可求得当 时,.
C级 学科素养创新练
16. D
[解析]由题意可知,且,,,,都位于第二象限,而,则这5个点都位于双曲线上.故选.3.3.2 抛物线的简单几何性质
A级 必备知识基础练
1. ［探究点一］若抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线的焦点的距离为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
2. ［探究点一］若抛物线上有两点,，且垂直于轴，若，则点到抛物线的准线的距离为( )
A. B. C. 2 D.
3. ［探究点一、二］设抛物线上一点到轴的距离为,到直线的距离为,则的最小值为( )
A. 2 B. C. D. 3
4. ［探究点三］已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于，两点，，为的准线上的一点，则的面积为( )
A. 18 B. 24 C. 36 D. 48
5. ［探究点一］设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则，到该抛物线准线的距离为.
6. ［探究点四］已知点到点和到直线的距离相等，记点的轨迹为.
（1） 求轨迹的方程；
（2） 过点作相互垂直的两条直线,，曲线与交于点,，与交于点,，试证明:.
B级 关键能力提升练
7. 设为坐标原点,为抛物线的焦点,是抛物线上一点,若,则点的坐标是( )
A. B. C. D.
8. 已知为抛物线的焦点,点,在该抛物线上且位于轴的两侧,（其中为坐标原点）,则与面积之和的最小值是( )
A. B. 3 C. D.
9. 已知抛物线的焦点为,为坐标原点,为抛物线上一点,且,的面积为,则抛物线方程为( )
A. B. C. D.
10. 已知点是拋物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足,当取最大值时,点恰好在以,为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
11. 为抛物线的焦点弦的中点，，，三点到抛物线准线的距离分别是，，，则有( )
A. B.
C. D.
12. （多选题）已知抛物线的焦点为,准线为,过的直线与交于,两点,,分别为过点,点向作垂线得到的垂足，且,为的中点，则下列结论正确的是( )
A. B. 为等腰直角三角形
C. 直线 的斜率为 D. 的面积为4
13. 已知抛物线的方程为,为坐标原点,,为抛物线上的点,若为等边三角形,且面积为,则的值为.
14. 直线过抛物线的焦点,且与交于,两点,则,.
15. 已知直线与抛物线交于,两点,且线段恰好被点平分.
（1） 求直线的方程.
（2） 抛物线上是否存在点和,使得,关于直线对称？若存在,求出直线的方程；若不存在,请说明理由.
16. 如图，已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别与抛物线交于点，.
（1） 求的值；
（2） 连接，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.
C级 学科素养创新练
17. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线,如图,一平行于轴的光线射向抛物线上的点,反射后又射向抛物线上的点,再反射后又沿平行于轴的方向射出,且两平行光线间的最小距离为3,则抛物线的方程为.
3.3.2 抛物线的简单几何性质
A级 必备知识基础练
1. A
[解析]由题意，知抛物线的准线方程为，
抛物线上一点到轴的距离为，则，
点到抛物线的准线的距离为，
点到抛物线的焦点的距离为4.
故选.
2. B
[解析]由抛物线得，其准线方程为，
垂直于轴，，
点到轴的距离为，假设点在轴上侧，即，
代入抛物线，求得，
点到抛物线的准线的距离.故选.
3. A
[解析]由
得,,故方程无实数解,
直线与抛物线相离.
又,而为到准线的距离,故为到焦点的距离,
从而的最小值为到直线的距离,即,故的最小值为2.
4. C
[解析]不妨设抛物线方程为，
依题意，轴，且焦点，
当时，，，
.
又点到直线的距离为，
故.
5. ;
[解析]由已知得，把点坐标代入得，，，
，故.
6. （1） 解 点到点和到直线的距离相等，由抛物线的定义可知,点的轨迹是抛物线，设方程为，，.
轨迹的方程为.
（2） 证明易知直线,的斜率均存在且不为0,设的方程为，代入抛物线方程，整理可得，
设,的横坐标分别为,，则,，
同理，可得，.
B级 关键能力提升练
7. B
[解析]由题意知,设,则,,由得, 点的坐标为.
8. D
[解析]由题意可设直线的方程为,则直线与轴的交点为,则.
设点,.
把代入,
可得,满足,
则.
,,
从而.
点,位于轴的两侧,,
故.不妨设点在轴上方,则,
又,,
,
当且仅当,即时,等号成立.与面积之和的最小值是.
9. B
[解析]设,
则由得,
即,则,
则,则,解得,即抛物线的方程为.
10. B
[解析]由,得，
焦点，准线,从而,如图所示.
过点作于点,设 .
,,
.
结合图形知，当与抛物线相切时， 最小，从而最大.
设直线的方程为,
由得,
令,解得,
不妨取,得点坐标为.
设双曲线的方程为.
在双曲线中,，
即,,即,
离心率.故选.
11. B
[解析]如图所示，根据题意，是梯形的中位线，故.
12. AC
[解析]由，得，即，
焦点，准线.
设直线的方程为，，.
由得，
，.
从而，①
.②
又，，即.③
将③代入①得，.将③代入②得，解得或（舍去）.
,，即直线的斜率为，故正确；
，，，从而 ，故正确；
，,结合图形知不是直角三角形，故错误；
,故错误.故选.
13. 2
[解析]设,.
,.
又,,
,
即.
又,与同号,.
,即.
根据抛物线对称性可知点,关于轴对称,
由为等边三角形,
不妨设直线的方程为,
由解得,
.
的面积为,
,解得,.
14. 2; 1
[解析]由题意知,从而,
所以抛物线方程为.
当直线斜率不存在时,代入,解得,,即,从而.
当直线斜率存在时，设的方程为
,显然,联立消去,整理得,设,,则
从而.
15. （1） 解 由题意可得直线的斜率存在,且不为0.
设直线，,与抛物线方程联立消去,可得.
判别式.
设,,则有,
由,得,
所以直线的方程为.
（2） 不存在.理由如下，假设,两点存在,
则可设,与抛物线方程联立,
消去，得,
其中,
则.（*）
又因为,
所以的中点为,代入直线的方程,
得,不满足（*）式.
所以满足题意的,两点不存在.
16. （1） 解依题意，设的方程为，
代入，得，从而.
（2） 证明设，，
,设直线的方程为，
代入，消去得，
所以，同理，
，
由（1）知，所以为定值.
C级 学科素养创新练
17.
[解析]由抛物线的光学性质可得,必过抛物线的焦点.
当直线的斜率不存在时,易得；
当直线的斜率存在时,
设的方程为,,,
联立得,整理得,
所以,.
所以.
综上,当直线与轴垂直时,弦长最短,
又因为两平行光线间的最小距离为3,故,
所以抛物线的方程为.(共25张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］直线 被椭圆 所截得的弦的中点坐标是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由 消去 得 ,即 ,
弦的中点的横坐标是 ,
代入直线方程 中,得 ,
弦的中点坐标是 .
2.［探究点三］已知 , 是椭圆 的两个焦点, 为椭圆上一动点,则使
取最大值的点 为( )
D
A. B. C. D. 或
[解析] 由椭圆的定义得 ,
所以 ,
当且仅当 ,即点 坐标为 或 时,等号成立.故选D.
3.［探究点四］若 是过椭圆 中心的一条弦, 是椭圆上任意
一点,且 , 与两坐标轴均不平行, , 分别表示直线 , 的斜率,则
等于( )
B
A. B. C. D.
[解析] （方法1）设 , , ,则 ,
.
（方法2）因为四个选项为定值,取 , , ,可得 .
4.［探究点二］过椭圆 的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于 ,
两点,则 ___.
1
[解析] 因为在 中, , ,
所以 ,所以右焦点的坐标为 ,
将 代入 得 ,
故 .
5.［探究点二］若直线 与圆 没有交点,则过点 的直线
与椭圆 的交点个数为___.
2
[解析] 因为直线 与圆 没有交点,所以 ,所以
,
即点 在以原点为圆心,以2为半径的圆内（不包含边界）,所以点 在椭
圆 的内部,故过点 的直线与椭圆 有两个交点.
6.［探究点四］已知 为椭圆 的左焦点,直线 与椭圆 交于
, 两点,那么 的值为_ ___.
[解析] 设 , ,
由 消去 得 ,得 或 ,
不妨令 , .
又 , .
7.［探究点一］[2023山东滨州月考] 已知椭圆的中心在坐标原点,一个焦点为 ,该
椭圆被直线 所截得的弦的中点的横坐标为1,则该椭圆的标准方程为
_ __________.
[解析] 设椭圆的标准方程为 ,
由题意,椭圆被直线 所截得的弦 的中点的坐标为 ,
设 , ,则 , ,
由 得 ,即
,
则 , ,即 .又 , , ,
故椭圆的标准方程为 .
8.［探究点三］已知椭圆 的离心率为 ， 是 上一点，
， 是 的两个焦点，且 .
（1）求椭圆 的方程；
解 ， ，即 .
， ， ，
即椭圆 的方程为 .
（2）设直线 交椭圆 于 , 两点， 为坐标原点，求 面积的最大值.
设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
将 代入椭圆 的方程，
整理得 ，
， ，
， ，
，点 到直线 的距离
，
，
当且仅当 ，即 时,等号成立， 面积的最大值为 .
B级 关键能力提升练
9.已知椭圆 的短轴长为2,上顶点为 ,左顶点为 , , 分别是
椭圆的左、右焦点,且 的面积为 ,点 为椭圆上的任意一点,则 的
取值范围为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由椭圆 的短轴长为 ,得 .又
,解 得 ,
, , .
设 ,则 , ,即 ,
.
10.直线 与椭圆 且 有两个公共点,则 的取值范围
是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由 消去 可得 ,
,解 得 或 .
又 且 , 且 .
11. 为椭圆 的右顶点， 为椭圆 上一点（不与 重合），
若 是坐标原点 ，则 为半焦距 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.以上说法都不对
[解析] 设 ， 是坐标原点 ，则点 在以 为
直径的圆上，
即 ，即 ，
，或 ， ，故 ， . ，
即 ， ， 的取值范围是 .故选B.
12.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，以 为圆心的
圆过椭圆 的中心，且与 在第一象限交于点 .若直线 恰好与圆 相切于点 ，
则 的离心率为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 如图所示，依题意得 ，
，
.
又 ，
，即 ，
，解 得 或
（舍）.故选A.
13.（多选题）设 , 是椭圆 长轴的两个顶点,若 上存在点 满足
,则 的取值可以是( )
AD
A. B.2 C.6 D.12
[解析] 若 上存在点 满足 ,则只需当点 在短轴顶点时
.
故分析长半轴与短半轴的关系即可.
当焦点在 轴时,若 ，
则 ，
当焦点在 轴时,若 ,
则 .故 ,
由选项可知,A,D符合题意.
14.椭圆 的左、右焦点分别为 , ,弦 过点 ,若 的内切圆周长
为 , , 两点的坐标分别为 , ,则 的值为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 易知 的内切圆的半径 ,可得 的面积 ,其中 为 的周长,且 ,代入数据解 得 .
15.已知 是椭圆 上的一点， ， 分别为椭圆的左、右焦
点， ，且 ，则椭圆的离心率为_ ___.
[解析] 设 ，则 .
由 得， ，即
，因此， .
又 ， .
.
16.已知椭圆 过点 ,离心率是 .
（1）求椭圆 的标准方程；
解 由已知可得 , ,
,解 得 , .
椭圆的方程为 .
（2）若直线 与椭圆 交于 , 两点,线段 的中点为 ,求直线 与坐标轴围
成三角形的面积.
设 ， ，易知 ,代入椭圆方程得 , ,
两式相减得 ,
由中点坐标公式得 , .
直线 的斜率 ，可得直线 的方程为 ,
令 ,可得 ,令 ,可得 ,则直线 与坐标轴围成的三角形面积为
.
C级 学科素养创新练
17.有一椭圆形溜冰场,长轴长是 ,短轴长是 .现要在这个溜冰场上划定一个各
顶点都在溜冰场边界上的矩形,且使这个矩形的面积最大,试确定这个矩形的顶点的位置.
这时矩形的周长是多少？
解 分别以椭圆的长轴、短轴所在的直线为 轴、 轴,以长轴的中点为坐标原点
,建立如图所示的平面直角坐标系.
设矩形 的各顶点都在椭圆上.
易知矩形 关于原点 及 轴、 轴对称.
已知椭圆的长轴长 ,短轴长 ,则 , ,所以椭圆的
方程为 .
设点 的坐标为 , , ,
则 ,即 .
根据矩形 的对称性,可知它的面积 .
,
当 时, 取得最大值,此时 也取得最大值.
这时 , .
矩形 的周长为 .
因此,在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距 的直线,这两
条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形的顶点,这个矩形的周长为 .3.1.2 椭圆的简单几何性质
A级 必备知识基础练
1. ［探究点一］（多选题）已知椭圆,则关于椭圆,下列叙述正确的是( )
A. 椭圆 的长轴长为10
B. 椭圆 的两个焦点分别为 和
C. 椭圆 的离心率等于
D. 若过椭圆 的焦点且与长轴垂直的直线 与椭圆 交于 , ,则
2. ［探究点一］已知椭圆与椭圆有相同的长轴,椭圆的短轴长与椭圆的短轴长相等,则( )
A. , B. ,
C. , 或 , D. ,
3. ［探究点三］若椭圆满足,则该椭圆的离心率( )
A. B. C. D.
4. ［探究点三］设,为椭圆的左、右焦点,椭圆上存在点, , ,使得离心率,则的取值范围为.
5. ［探究点二］已知椭圆的两焦点与短轴的一个顶点恰好是一个正三角形的三个顶点,且椭圆上的点到椭圆的焦点的最短距离为,则椭圆的方程为.
B级 关键能力提升练
6. [2023新高考Ⅰ]设椭圆,的离心率分别为,.若,则( )
A. B. C. D.
7. 已知椭圆的离心率，右焦点为，方程的两个实根为，，则点( )
A. 必在圆 内 B. 必在圆 上
C. 必在圆 外 D. 以上三种情况都有可能
8. 以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2，则椭圆长轴长的最小值为.
9. 如图,已知椭圆,,分别为椭圆的左、右焦点,为椭圆的上顶点,直线交椭圆于另一点.
（1） 若 ,求椭圆的离心率；
（2） 若椭圆的焦距为2,且,求椭圆的方程.
C级 学科素养创新练
10. （多选题）阿基米德是古希腊数学家,他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.据此得某椭圆面积为 ,且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程可以为( )
A. B. C. D.
3.1.2 椭圆的简单几何性质
基础落实·必备知识全过关
知识点 椭圆的简单几何性质
过关自诊
1. B
[解析]当椭圆的焦点在轴上时,,,故；当椭圆的焦点在轴上时,,,.故选.
2. （1） 解,,
,.
又焦点在轴上,
椭圆的标准方程为.
（2） 由题意知,焦点在轴上,,.
,
椭圆的标准方程为.
3. （1） 解由题意知,即,所以离心率.
（2） 由题意知,,所以离心率.
提示利用离心率 来刻画椭圆的扁平程度.
4. 如图所示,在中,,记,则,越大,越小,椭圆越扁；越小,越大,椭圆越接近于圆.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 根据椭圆的标准方程研究其几何性质
【例1】 解已知方程化成标准方程为，
于是，，，
椭圆的长轴长和短轴长分别是和，离心率.
又知焦点在轴上， 两个焦点坐标分别是和，四个顶点坐标分别是，，和.
变式探究 解由已知得椭圆标准方程为，
于是，，
.
长轴长，短轴长，离心率.
焦点坐标，和，，
顶点坐标，，，.
变式训练1 （1） 解由椭圆可得其长半轴长为，短半轴长为，焦点坐标为，，离心率.
（2） 椭圆.
①范围：，；
②对称性：关于轴、轴、原点对称；
③顶点：长轴端点，，短轴端点，；
④离心率：.
探究点二 根据椭圆的几何性质求其标准方程
【例2】 （1） 解若焦点在轴上,则,
,.
.
椭圆的标准方程为.
若焦点在轴上,则,
,解得.
椭圆的标准方程为.
综上可知,椭圆的标准方程为或.
（2） 设椭圆的标准方程为.
如图所示,为等腰直角三角形,为斜边的中线（高）,且,,
,.故所求椭圆的标准方程为.
思路分析（1）焦点位置不确定,应分类讨论;（2）结合图形求出 , , 的值代入.
变式训练2 解若椭圆的焦点在轴上,设椭圆的标准方程为.
因为椭圆过点,所以.
因为,所以.所以方程为.
若椭圆的焦点在轴上,设椭圆的标准方程为.
因为椭圆过点,所以.因为,所以.所以方程为.
综上所述,椭圆的标准方程为或.
探究点三 求椭圆的离心率的值（或取值范围）
【例3】 解设椭圆的半长轴长为,半焦距为,依照题意可知解得,,因此离心率.
变式训练3（1） 解依题意可得,即,
所以,从而,即,.
又因为,
所以椭圆离心率的取值范围是.
（2） 如图所示,设直线与椭圆的一个交点为,
设点横坐标为,连接,,
则.
因为为直角三角形,,
所以.
根据椭圆定义,得,
即,
所以,故.
本节要点归纳
分层作业
A级 必备知识基础练
1. ACD
[解析]由题意知椭圆的标准方程为,则,,.
长轴长为,故正确；
两焦点为,,故错误；
离心率为,故正确；
将代入椭圆方程得,
解得,,故正确.
2. D
[解析]椭圆的长轴长为10,
椭圆的短轴长为6,
由题意可知椭圆的焦点在轴上,
则,.故选.
3. B
[解析]因为,所以.故选.
4.
[解析]设,,
在中,由正弦定理有,
即,则,解得.由于,即,又成立,则有,.
5.
[解析]因为椭圆的两焦点与短轴的一个顶点恰好是一个正三角形的三个顶点,
所以有,即.又因为椭圆上的点到椭圆的焦点的最短距离为,
所以有,而,三个等式联立得解得
所以椭圆的标准方程为.
B级 关键能力提升练
6. A
[解析]由,得,因此,而,所以.故选.
7. A
[解析]由已知，，
从而,故点在圆内.
8. 4
[解析]由题意知，当椭圆上的点为短轴端点时，三角形面积取得最大值，即.
，
当且仅当时,等号成立.
，，即椭圆长轴长的最小值为4.
9. （1） 解由 及椭圆的对称性知,
则.
（2） 由已知,,设,
则,,
由,得,
解得,,则,得,因此,所以椭圆的方程为.
C级 学科素养创新练
10. AD
[解析]由题意可知,又,解得,,,所以椭圆的标准方程为或.培优课 椭圆的综合问题及应用
A级 必备知识基础练
1. ［探究点一］直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是( )
A. B. C. D.
2. ［探究点三］已知,是椭圆的两个焦点,为椭圆上一动点,则使取最大值的点为( )
A. B. C. D. 或
3. ［探究点四］若是过椭圆中心的一条弦,是椭圆上任意一点,且,与两坐标轴均不平行,,分别表示直线,的斜率,则等于( )
A. B. C. D.
4. ［探究点二］过椭圆的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于,两点,则.
5. ［探究点二］若直线与圆没有交点,则过点的直线与椭圆的交点个数为.
6. ［探究点四］已知为椭圆的左焦点,直线与椭圆交于,两点,那么的值为.
7. [2023山东滨州月考]［探究点一］已知椭圆的中心在坐标原点,一个焦点为,该椭圆被直线所截得的弦的中点的横坐标为1,则该椭圆的标准方程为.
8. ［探究点三］已知椭圆的离心率为，是上一点，，是的两个焦点，且.
（1） 求椭圆的方程；
（2） 设直线交椭圆于,两点，为坐标原点，求面积的最大值.
B级 关键能力提升练
9. 已知椭圆的短轴长为2,上顶点为,左顶点为,,分别是椭圆的左、右焦点,且的面积为,点为椭圆上的任意一点,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
10. 直线与椭圆且有两个公共点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
11. 为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若是坐标原点，则为半焦距的取值范围是( )
A. B. C. D. 以上说法都不对
12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与在第一象限交于点.若直线恰好与圆相切于点，则的离心率为( )
A. B. C. D.
13. （多选题）设,是椭圆长轴的两个顶点,若上存在点满足 ,则的取值可以是( )
A. B. 2 C. 6 D. 12
14. 椭圆的左、右焦点分别为,,弦过点,若的内切圆周长为 ,,两点的坐标分别为,,则的值为( )
A. B. C. D.
15. 已知是椭圆上的一点，，分别为椭圆的左、右焦点， ，且，则椭圆的离心率为.
16. 已知椭圆过点,离心率是.
（1） 求椭圆的标准方程；
（2） 若直线与椭圆交于,两点,线段的中点为,求直线与坐标轴围成三角形的面积.
C级 学科素养创新练
17. 有一椭圆形溜冰场,长轴长是,短轴长是.现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形,且使这个矩形的面积最大,试确定这个矩形的顶点的位置.这时矩形的周长是多少？
培优课 椭圆的综合问题及应用
重难探究·能力素养全提升
探究点一 椭圆的中点弦问题
【例1】 解（方法1）易知直线的斜率存在.
设所求直线的方程为,
由
得.
,解得.
设,,则,是上述方程的两根,
.又为的中点,
,解得,且满足.
故所求直线的方程为.
（方法2）设,,.
为的中点,,.
又,两点在椭圆上,,,
两式相减,得,
,
,即.
故所求直线的方程为.
（方法3）设所求直线与椭圆的一个交点为,由于的中点为,则另一个交点为.
,两点都在椭圆上,
,得.
显然点的坐标满足这个方程.代入验证可知点的坐标也满足这个方程,而过,的直线只有一条,故所求直线的方程为.
变式训练1
[解析]设，，
由题意知,则,,两式相减，可得.
.
线段的中点坐标为，. 直线的斜率为,.
右焦点为，
.
, 椭圆的方程为.
探究点二 直线与椭圆的位置关系
【例2】 解由已知条件知直线的方程为,
代入椭圆方程得,
整理得,
直线与椭圆有两个不同的交点和,等价于,解得或,
所以的取值范围为.
变式训练2 （1） 解设椭圆的方程为,
由题意,,于是,
所以椭圆的方程为.
由得.
设,,则,
,
故线段的中点坐标为.
（2） 设点到直线的距离为,
则.又由（1）知,
所以
,
故.
探究点三 椭圆中的最值与范围问题
【例3】 （1） 解由已知可得,,设点的坐标是,则,.由已知得
消去得,解得或.
由于,只能,于是.
故点的坐标是.
（2） 直线的方程是.
设点的坐标是,则点到直线的距离是,于是.
又,解得.
设椭圆上的点到点的距离为,有.由于,
因此当时,取最小值.
即椭圆上的点到点的距离的最小值为.
变式训练3 （1） 解由题意可得
解得所以 的标准方程为.
（2） ①当直线的斜率不存在时,由题意知直线的方程为,代入 的方程可得,
可得,可得,
这时.
②当直线的斜率存在时,设直线的方程为,,,
因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离,可得,
联立整理可得,
,即,即,可得,且,,
所以,
所以,
令,则,
,
令,,
则恒成立,所以,即.
综合①②可得,面积的最大值为.
探究点四 椭圆中的定点、定值问题
【例4】 （1） 解由题意得解得,,所以椭圆的方程为.
（2） 为定值4.
①当直线的斜率不存在时,的方程为,
联立得或
不妨令,,
于是,
,所以,为定值.
②当直线的斜率存在时,设的方程为,即,
设,,
由方程组消去,
得,
则（*）
,
将（*）式代入上式得,为定值.
变式训练4 （1） 解设椭圆的右焦点为,则为的中位线.,,
.
,,.
椭圆的方程为.
（2） 证明设,,
联立消去整理,得.
,,,
,
.
,,
,
,
整理得,
解得或（舍去）.
直线过定点.
本节要点归纳
分层作业
A级 必备知识基础练
1. A
[解析]由消去得,即,
弦的中点的横坐标是,
代入直线方程中,得,
弦的中点坐标是.
2. D
[解析]由椭圆的定义得,
所以,
当且仅当,即点坐标为或时,等号成立.故选.
3. B
[解析]（方法1）设,,,则,
.
（方法2）因为四个选项为定值,取,,,可得.
4. 1
[解析]因为在中,,,
所以,所以右焦点的坐标为,
将代入得,
故.
5. 2
[解析]因为直线与圆没有交点,所以,所以,
即点在以原点为圆心,以2为半径的圆内（不包含边界）,所以点在椭圆的内部,故过点的直线与椭圆有两个交点.
6.
[解析]设,,
由消去得,得或,
不妨令,.
又,.
7.
[解析]设椭圆的标准方程为,
由题意,椭圆被直线所截得的弦的中点的坐标为,
设,,则,,
由得,即,
则,,即.又,,,
故椭圆的标准方程为.
8. （1） 解，，即.
，，，
即椭圆的方程为.
（2） 设点的坐标为，点的坐标为，
将代入椭圆的方程，
整理得，
，，
，，
，点到直线的距离，
，
当且仅当，即时,等号成立，面积的最大值为.
B级 关键能力提升练
9. D
[解析]由椭圆的短轴长为,得.又,解得,
,,.
设,则,,即,
.
10. B
[解析]由消去可得,,解得或.
又且,且.
11. B
[解析] 设，是坐标原点，则点在以为直径的圆上，
即，
即，，或，
，故，.
，即，，
的取值范围是.故选.
12. A
[解析]如图所示，依题意得 ，，
.
又，
，即，
，解得或（舍）.故选.
13. AD
[解析]若上存在点满足 ,则只需当点在短轴顶点时 .
故分析长半轴与短半轴的关系即可.
当焦点在轴时,若 ，
则，
当焦点在轴时,若 ,
则.故,
由选项可知,,符合题意.
14. A
[解析]易知的内切圆的半径,可得的面积,其中为的周长,且,代入数据解得.
15.
[解析]设，则.
由 得，，即，因此，.
又，.
.
16. （1） 解由已知可得,,
,解得,.
椭圆的方程为.
（2） 设，，易知,代入椭圆方程得,,
两式相减得,
由中点坐标公式得,.
直线的斜率，可得直线的方程为,
令,可得,令,可得,则直线与坐标轴围成的三角形面积为.
C级 学科素养创新练
17. 解分别以椭圆的长轴、短轴所在的直线为轴、轴,以长轴的中点为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.
设矩形的各顶点都在椭圆上.
易知矩形关于原点及轴、轴对称.
已知椭圆的长轴长,短轴长,则,,所以椭圆的方程为.
设点的坐标为,,,
则,即.
根据矩形的对称性,可知它的面积.
,
当时,取得最大值,此时也取得最大值.
这时,.
矩形的周长为.
因此,在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距的直线,这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形的顶点,这个矩形的周长为.3.1.1 椭圆及其标准方程
A级 必备知识基础练
1. ［探究点二］（多选题）已知在平面直角坐标系中,点,,为一动点,且,下列说法正确的是( )
A. 当 时,点 的轨迹不存在
B. 当 时,点 的轨迹是椭圆,且焦距为3
C. 当 时,点 的轨迹是椭圆,且焦距为6
D. 当 时,点 的轨迹是以 为直径的圆
2. ［探究点一］方程化简的结果是( )
A. B. C. D.
3. ［探究点二］如果方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. ［探究点一］（多选题）已知为椭圆上一点,,为椭圆的焦点,且,若,则椭圆的标准方程可以是( )
A. B. C. D.
5. ［探究点三］已知是椭圆上一点,，是椭圆的左、右焦点,若的内切圆半径的最大值为,,则的面积的最大值为( )
A. 2 B. C. D.
6. ［探究点一］中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆满足下列两个条件:①椭圆一个焦点坐标为；②椭圆经过点,则椭圆的标准方程为.
7. ［探究点一］过点,且与椭圆有相同的焦点的椭圆的标准方程为.
8. ［探究点二］已知椭圆,点与的焦点不重合.若点关于的焦点,的对称点分别为,,线段的中点在上,则.
9. ［探究点一］求适合下列条件的椭圆的标准方程:
（1） 两个焦点分别为,,经过点;
（2） 经过两点,.
B级 关键能力提升练
10. （多选题）过已知圆内一个定点作圆与已知圆相切,则圆心的轨迹可以是( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 射线
11. 已知的两个顶点分别为，，的周长为18，则点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
12. 如图,已知为椭圆的左焦点,为椭圆上一点,满足且,则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
13. 已知为椭圆上的一点,,分别为圆和圆上的点,则的最小值为( )
A. 5 B. 7 C. 13 D. 15
14. 已知椭圆的焦点为，，点在椭圆上.若,则,的大小为.
15. 已知,是椭圆的两个焦点,为椭圆上一点,且.若的面积为9,则.
16. 动圆与定圆内切，与定圆外切，点的坐标为.
（1） 求动圆的圆心的轨迹方程；
（2） 若轨迹上的两点，满足，求的值.
C级 学科素养创新练
17. 在平面直角坐标系中,已知的顶点和,顶点在椭圆上,则.
3.1.1 椭圆及其标准方程
基础落实·必备知识全过关
知识点1 椭圆的定义
过关自诊
1. （1） ×
（2） ×
（3） √
（4） ×
2. C
[解析]根据题意,得,
①当时,满足椭圆的定义,可得点的轨迹为以,为焦点的椭圆；
②当时,,点在线段上,点的轨迹为线段；
③当时,,不存在满足条件的点.
综上所述,点的轨迹为椭圆或线段或不存在.故选.
知识点2 椭圆的标准方程
过关自诊
提示不一定，只需 ， 即可， ， 的大小关系不确定.
提示能.根据 与 的分母的大小来判定,哪个的分母大,焦点就在哪个轴上.
3. 4
[解析]设所求距离为.在中,,所以,所以,所以.
4. （1） 解由题意可设所求椭圆的标准方程为,且,,故椭圆的标准方程为.
（2） 由题意可设所求椭圆的标准方程为,且,把点的坐标代入,可得,故椭圆的标准方程为.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 求椭圆的标准方程
角度1.待定系数法
【例1】 （1） 解因为椭圆的焦点在轴上,
所以设它的标准方程为.
因为,所以.
又,所以.
故所求椭圆的标准方程为.
（2） 因为椭圆的焦点在轴上,所以设它的标准方程为.又椭圆经过点和,
所以解得
故所求椭圆的标准方程为.
（3） （方法1）①当焦点在轴上时,设椭圆的标准方程为.
依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为.
②当焦点在轴上时,设椭圆的标准方程为.依题意有解得
因为不满足,所以无解.
综上可知,所求椭圆的标准方程为.
（方法2）设所求椭圆的方程为,依题意有解得故所求椭圆的标准方程为.
变式训练1 （1） 解由已知得,因此.
又因为,所以.
因为椭圆的焦点在轴上,所以所求椭圆的标准方程为.
（2） 因为椭圆的焦点在轴上,设它的标准方程为.
由已知得.又因为,
所以.
因为点在椭圆上,所以,即.
从而有,解得或（舍去）.
因此,从而所求椭圆的标准方程为.
角度2.定义法
【例2】 解圆和圆的圆心和半径分别为,；,.
设动圆圆心为,半径为,由题意有,,
.
由椭圆的定义可知点在以,为焦点的椭圆上,且,,.
故动圆圆心的轨迹方程为.
变式探究 解设动圆圆心为，半径为.
由圆与圆内切，得;
由圆与圆内切，得.
则.
则点轨迹是以，为焦点的椭圆,且,即,,则.
故动圆圆心的轨迹方程是.
探究点二 对椭圆标准方程的理解
【例3】（1） B
[解析]依题意有解得或,
即实数的取值范围是.
（2）
[解析]由题意知,将椭圆方程化为,依题意有解得,
即实数的取值范围是.
变式训练2
[解析]方程化为,
依题意应有,解得或.
探究点三 椭圆中的焦点三角形问题
【例4】
[解析]如图,由,
知,,.
所以,,.所以.
设,
则.
因为 ,所以.
所以.所以.
变式训练3 （1） 解由题意知,在椭圆上,
故有,,,
的周长为,的周长为20.
（2） 如果不垂直于轴,的周长仍为20不变.理由：,和与轴是否垂直无关.
本节要点归纳
分层作业
A级 必备知识基础练
1. AC
[解析]当时,,故点的轨迹不存在,故正确；
当时,,故点的轨迹是椭圆,且焦距为,故错误,正确；
当时,,故点的轨迹为线段,故错误.
2. D
[解析] 方程表示平面内到定点,的距离的和是常数的点的轨迹, 它的轨迹是以,为焦点,长轴,焦点的椭圆,,,, 椭圆的方程是,即为化简的结果.
3. D
[解析]由题意可得,方程表示焦点在轴上的椭圆,所以,,并且,解得.故选.
4. BC
[解析]由已知,所以.
因为,所以.
所以.
故椭圆的标准方程是或.
故选.
5. A
[解析]如图,由题意可得,
,,
设的内切圆半径为,
所以.
因为的内切圆半径的最大值为,
所以.
因为,所以,可得.
又因为,由,求得,
所以的面积.
故选.
6.
[解析]由条件①可得椭圆的焦点在轴上,且,所以,①
则可设椭圆方程为,
代入点,
得,②
由①②可得,,所以椭圆的方程为.
7.
[解析]椭圆的焦点为,
设椭圆方程为,
则有,①
再代入点,得,②
由①②解得,.
则所求椭圆方程为.
8. 12
[解析]如图,取的中点,在椭圆上,
因为点关于的焦点,的对称点分别为,,
故有,,
所以.
9. （1） 解（方法1）因为椭圆的焦点在轴上,所以可设它的标准方程为.
由椭圆的定义知,所以.
又,所以.
所以椭圆的标准方程为.
（方法2）因为椭圆的焦点在轴上,
所以可设其标准方程为.
由题意得解得
所以椭圆的标准方程为.
（2） （方法1）若椭圆的焦点在轴上,
设椭圆的标准方程为.
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为.
同理可得,焦点在轴上的椭圆不存在.
综上,所求椭圆的标准方程为.
（方法2）设椭圆的一般方程为.
将两点,代入,得解得所以所求椭圆的标准方程为.
B级 关键能力提升练
10. AB
[解析]如图,设已知圆的圆心为,半径为,圆内的定点为,动圆的半径为.若点与点不重合,由于两圆相内切,则,由于,,即.
动点到两个定点,的距离和为常数.
为圆内的定点,.
动点的轨迹为椭圆.
若,重合为一点,则此时动点的轨迹为以为直径的圆.
11. A
[解析]依题意得， 点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设其标准方程为,则，，从而.
又，，三点不共线， 点不在轴上， 点的轨迹方程为.故选.
12. C
[解析]由题意可得,设右焦点为,连接,如图,由知,,,
,
,即,
在中,由勾股定理,
得,
由椭圆的定义,得,
从而,,于是,
椭圆的方程为.
13. B
[解析]由题意知椭圆的两个焦点,分别是两圆的圆心,且,从而的最小值为.
14. 2;
[解析]由,且，知.
在中，.
故 .
15. 3
[解析]由题意得，,,,
,,.
16. （1） 解如图，设动圆的半径为.
由题意得，定圆的半径为，定圆的半径为，则，①
，②
，得.
解得,
由椭圆的定义知点的轨迹是以，为焦点，为的椭圆的一部分（在的内部,的外部），其轨迹方程为.
（2） 设，，则,.由可得，,所以，,由，是轨迹上的两点，得
解得
所以，.
所以，，.
C级 学科素养创新练
17.
[解析]由椭圆的方程得,,.
的顶点和,顶点在椭圆上,,
由正弦定理可知
.3.3.1 抛物线及其标准方程
A级 必备知识基础练
1. ［探究点一］对抛物线,下列描述正确的是( )
A. 开口向上,焦点坐标为 B. 开口向上,焦点坐标为
C. 开口向右,焦点坐标为 D. 开口向右,焦点坐标为
2. ［探究点三］若点到点的距离比它到直线的距离大1,则点的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
3. ［探究点五］为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面（抛物线绕对称轴旋转得到）型的反光镜构成，已知镜口圆的直径为，镜深，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点( )
A. B. C. D.
4. ［探究点四］已知点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，则的最小值为.
5. ［探究点二］根据下列条件分别求抛物线的标准方程:
（1） 抛物线的焦点是双曲线的左顶点；
（2） 抛物线的焦点在轴上，直线与抛物线交于点，.
B级 关键能力提升练
6. 如图,在正方体中,是平面内一动点,若点到直线与直线的距离相等,则动点的轨迹是( )
A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线
7. 如图,过抛物线的焦点的直线交抛物线于点,,交其准线于点,若,且,则此抛物线的方程为( )
A. B. C. D.
8. 已知抛物线的焦点为,准线为,是上一点,是直线与的一个交点,若,则等于( )
A. B. C. 3 D. 2
9. （多选题）已知抛物线的焦点为，为上一动点，点，则( )
A. 当 时，
B. 当 时，抛物线 在点 处的切线方程为
C. 的最小值为3
D. 的最大值为
10. 在平面直角坐标系中,圆,点,为抛物线上任意一点（异于原点）,过点作圆的切线,为切点,则的最小值是.
C级 学科素养创新练
11. 如图，正方体的棱长为3，点在上，且，点在平面上，且动点到直线的距离与到点的距离相等，在平面直角坐标系中，动点的轨迹方程是.
3.3.1 抛物线及其标准方程
A级 必备知识基础练
1. A
[解析] 抛物线的标准方程为,,,解得,因此抛物线的焦点坐标为,准线方程为,可得该抛物线的开口向上.故选.
2. D
[解析] 点到点的距离比它到直线的距离大1,
点到点的距离等于它到直线的距离,
由抛物线的定义可知,点的轨迹为以为焦点,直线为准线的抛物线, 点的轨迹方程为.
故选.
3. B
[解析]若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处.
如图，画出抛物面对应轴截面的抛物线，并建立坐标系，
设抛物线方程为，集光板端点，
代入抛物线方程可得，，
所以抛物线方程为，
故焦点坐标是.
所以容器灶圈应距离集光板顶点.
4. 6
[解析]抛物线的焦点为，准线方程为，
过点作直线的垂线，垂足为点，如图.
由抛物线的定义，得，，当,,三点共线，即与直线垂直时，
取得最小值，且最小值为.
5. （1） 解双曲线方程可化为，左顶点为，
由题意设抛物线方程为且，
，
抛物线的方程为.
（2） 设所求焦点在轴上的抛物线的方程为，，
由抛物线定义得.
又，或，
故所求抛物线方程为或.
B级 关键能力提升练
6. D
[解析]由题意知,直线 平面,则,即就是点到直线的距离,那么点到直线的距离等于它到点的距离,所以点的轨迹是抛物线.
7. C
[解析]如图,分别过,作于,
于,由抛物线的定义知,
,.
,
,
,
.
连接,则为等边三角形,过作于,则为的中点.
设交轴于点,
则,即, 抛物线方程为.
8. C
[解析]过点作于点,如图.
,
.
又焦点到准线的距离为4,
9. ACD
[解析]因为抛物线，所以准线的方程是,.
对于，当时，由抛物线的定义可得，故正确；
对于，当时，，切线斜率一定存在,令切线方程为，与联立，得，，解得,即切线方程为，即，故错误；
对于，过点，分别作准线的垂线，垂足为，，如图,
由抛物线定义可知，
，
则，所以的最小值为3，故正确;
对于，因为焦点，所以,
当且仅当,,三点共线,且点位于第四象限时,等号成立，所以的最大值为，故正确.
故选.
10. 3
[解析]设,可得,圆的圆心,半径为1,连接,如图所示,,
即为点到轴的距离.抛物线的焦点为,准线方程为,可得.
过点作准线的垂线,垂足为,可得,,三点共线时,取得最小值,即的最小值为3.
C级 学科素养创新练
11.
[解析]作，图略，则 平面，作，图略，，为垂足，由线面垂直的判定可得出.
以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
设，由题意可得，，，
,
即,
故轨迹方程为.(共14张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］（多选题）已知椭圆 ,则关于椭圆 ,下列叙述正
确的是( )
ACD
A.椭圆 的长轴长为10
B.椭圆 的两个焦点分别为 和
C.椭圆 的离心率等于
D.若过椭圆 的焦点且与长轴垂直的直线 与椭圆 交于 , ,则
[解析] 由题意知椭圆的标准方程为 ,则 , , .
长轴长为 ,故A正确；
两焦点为 , ,故B错误；
离心率为 ,故C正确；
将 代入椭圆方程得 ,
解 得 , ,故D正确.
2.［探究点一］已知椭圆 与椭圆 有相同的长轴,椭圆
的短轴长与椭圆 的短轴长相等,则( )
D
A. , B. ,
C. , 或 , D. ,
[解析] 椭圆 的长轴长为10,
椭圆 的短轴长为6,
由题意可知椭圆 的焦点在 轴上,
则 , .故选D.
3.［探究点三］若椭圆 满足 ,则该椭圆的离心率
( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为 ,所以 .故选B.
4.［探究点三］设 , 为椭圆 的左、右焦点,椭圆上存在点 ,
, ,使得离心率 ,则 的取值范围为___________.
[解析] 设 , ,
在 中,由正弦定理有 ,
即 ,则 ,解 得 .由于 ,即
,又 成立,则有 ,
.
5.［探究点二］已知椭圆 的两焦点与短轴的一个顶点恰好是
一个正三角形的三个顶点,且椭圆 上的点到椭圆的焦点的最短距离为 ,则椭圆 的
方程为_ __________.
[解析] 因为椭圆的两焦点与短轴的一个顶点恰好是一个正三角形的三个顶点,
所以有 ,即 .又因为椭圆 上的点到椭圆的焦点的最短距离为
,
所以有 ,而 ,三个等式联立得 解 得
所以椭圆的标准方程为 .
B级 关键能力提升练
6.[2023新高考Ⅰ] 设椭圆 , 的离心率分别为 , .
若 ,则 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由 ,得 ,因此 ,而 ,所以 .故选A.
7.已知椭圆 的离心率 ，右焦点为 ，方程
的两个实根为 ， ，则点 ( )
A
A.必在圆 内 B.必在圆 上
C.必在圆 外 D.以上三种情况都有可能
[解析] 由已知 ， ，
从而
,故点 在圆 内.
8.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2，则椭圆长轴长的最小
值为___.
4
[解析] 由题意知，当椭圆上的点为短轴端点时，三角形面积取得最大值，即 .
，
当且仅当 时,等号成立.
， ，即椭圆长轴长的最小值为4.
9.如图,已知椭圆 , , 分别为椭圆的
左、右焦点, 为椭圆的上顶点,直线 交椭圆于另一点 .
（1）若 ,求椭圆的离心率；
解 由 及椭圆的对称性知 ,
则 .
（2）若椭圆的焦距为2,且 ,求椭圆的方程.
由已知 , ,设 ,
则 , ,
由 ,得 ,
解 得 , ,则 ,得 ,因此 ,所以椭圆的方程为
.
C级 学科素养创新练
10.（多选题）阿基米德是古希腊数学家,他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭
圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.据此得某椭圆面积为 ,且两焦点恰好将长
轴三等分,则此椭圆的标准方程可以为( )
AD
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知, 又 ,解 得 , , ,所
以椭圆的标准方程为 或 .(共25张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点二］（多选题）过点 ,且 的双曲线的标准方程可以是( )
AB
A. B. C. D.
[解析] 由于 , .
当焦点在 轴上时,设双曲线方程为 ,代入 得 .
此时双曲线方程为 .
同理,求得焦点在 轴上时,双曲线方程为 .
2.［探究点三］若方程 表示焦点在 轴上的双曲线,则实数 的取值
范围为( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 方程 表示焦点在 轴上的双曲线, 解 得
.
实数 的取值范围为 .故选A.
3.［探究点二］已知双曲线 的左、右焦点分别为 , ,点
在双曲线的右支上,若 ,且双曲线的焦距为 ,则该双曲线的方程为
( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题意得 解 得 则该双曲线的方程为
.
4.［探究点一］已知双曲线 上一点 到左焦点 的距离为10,则 的中点
到坐标原点 的距离为( )
A
A.3或7 B.6或14 C.3 D.7
[解析] 设双曲线的右焦点为 ,连接 （图略）, 是 的中位线,
.
, ,
或6,
或3.
5.［探究点四］许多建筑融入了数学元素,更具神韵,数学赋予了建筑活力,数学的美也被
建筑表现得淋漓尽致.已知图1是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型
建筑,图2是其中截面最细附近处的部分图象,上、下底与地面平行.现测得下底直径
米,上底直径 米, 与 间的距离为80米,与上、下底等距离
的 处的直径等于 ,则最细部分处的直径为( )
图1
图2
B
A.10米 B.20米 C. 米 D. 米
[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系,
由题意可知 , ,
设双曲线的方程为 ,
解 得 .
故选B.
6.［探究点三］若方程 表示双曲线,则实数 的取值范围是__________；
若表示椭圆,则实数 的取值范围是_ ___________________.
[解析] 若方程表示双曲线,则应有 ,即 ；
若表示椭圆,则有 解 得 且 .
7.［探究点二］焦点在 轴上的双曲线经过点 ,且 与两焦点的连线互
相垂直,则此双曲线的标准方程为_ __________.
[解析] 设焦点 , ,
则由 ,得 ,
, .
设双曲线的方程为 ,
双曲线过点 , .
又 , , ,
双曲线的标准方程为 .
8.［探究点二］已知与双曲线 共焦点的双曲线过点 ,求该双曲
线的标准方程.
解 已知双曲线 ,
则 , .
设所求双曲线的标准方程为 .
依题意知 ,
故所求双曲线方程可写为 .
点 在所求双曲线上,
,
化简得 ,
解 得 或 .
当 时, ,不符合题意,舍去, ,
,
所求双曲线的标准方程为 .
B级 关键能力提升练
9.已知定点 , , 是圆 上任意一点,点 关于点 的对
称点为 ,线段 的中垂线与直线 相交于点 ,则点 的轨迹是( )
B
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
[解析] 如图所示,连接 ,由题意可得 ,且 为 的中
点,
.
点 关于点 的对称点为 ,线段 的中垂线与直线
相交于点 .
由垂直平分线的性质可得 .
由双曲线的定义可得点 的轨迹是以 , 为焦点的双曲线.
10.已知双曲线 的左、右焦点分别为 , ,点 为双曲线上一点, 的
内切圆圆心为 ,若 ,则 ( )
D
A. B.6 C.8 D.10
[解析] 由双曲线 得 , ,可得 .
设 的内切圆的半径为 ,
由 ,
可得 ,
即 .
易得 ,由双曲线的定义可得 ,
则有 ,解 得 ,
则 .
11.（多选题）已知方程 表示的曲线为 ，下列说法正确的有( )
BCD
A.当 时，曲线 为椭圆
B.当 或 时，曲线 为双曲线
C.若曲线 为焦点在 轴上的椭圆，则
D.若曲线 为焦点在 轴上的双曲线，则
[解析] A错误，当 时，曲线 为圆；B正确，若 为双曲线，则
， 或 ；C正确，若曲线 为焦点在 轴上的椭圆，则
， ；D正确，若曲线 为焦点在 轴上的双曲线，则
.
12.（多选题）已知点 在双曲线 上, , 是双曲线 的左、右焦点,若
的面积为20,则下列说法正确的有( )
BC
A.点 到 轴的距离为 B.
C. 为钝角三角形 D.
[解析] 因为双曲线 ,所以 .又因为
,所以 ,故A错误；
将 代入 得 ,即 ，由对称性,不妨取点 的
坐标为 ,可知 ,由双曲线定义可知
,所以 ,故B正确；
对于点 ,在 中, ,则 ,
则 为钝角,所以 为钝角三角形,故C正确；
由余弦定理得 ,
,故D错误.
13.数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微.”事实上,有很多代数问题可
以转化为几何问题加以解决.如:与 相关的代数问题可以考虑转化
为点 与点 之间距离的几何问题.结合上述观点,可得方程
的解为 _ _____.
[解析] ,
,其几何意义为动点 到定
点 , 的距离差的绝对值为4.根据双曲线的定义,可将原方程的解转化为
“以 , 为焦点,4为实轴长的双曲线与 轴交点的横坐标”.
, . , ,
双曲线方程为 .
令 ,得 ,解 得 .
14.一动圆过定点 ，且与定圆 相外切，则动圆圆心的轨
迹方程为_ __________________.
[解析] 设动圆圆心为点 ，则 ，即 .
点 的轨迹是以 ， 为焦点，且 ， 的双曲线的左支.
又 ， .
动圆圆心的轨迹方程为 .
15.已知双曲线 , , 是其两个焦点，点 在双曲线上.
（1）若 ,求 的面积.
（2）若 ， 的面积是多少 若 ， 的
面积又是多少
（1）当 时，
由双曲线方程知 , , ，
由双曲线的定义，得 ,
两边平方,得 .
又 ,
即 ,
也即 ，求得
解 设 , （不妨设 ）, ,因为 , 已知，所以只需求 即可.
（2）若 ，则在 中，
,所以 ，求得 .
同理，可求得当 时, .
C级 学科素养创新练
16.[2023浙江杭州模拟] 如图所示,平面直角坐标系中
有两点 和 .以 为圆心,正整数 为
半径的圆记为 .以 为圆心,正整数 为半径的圆
记为 .对于正整数 ,点 是圆 与圆
的交点,且 , , , , 都位于第二象限.则
这5个点都位于( )
A.直线上 B.椭圆上
C.抛物线上 D.双曲线上
D
[解析] 由题意可知 ,且 , , , , 都位于第二象限,而 ,则这5个点都位于双曲线上.故选D.(共25张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点三］（多选题）设双曲线的渐近线方程为 ,则该双曲线的离心率
可以为( )
AC
A. B. C. D.
[解析] 当焦点在 轴上时, ,所以 ,所以 ；当焦点在
轴上时, ,所以 ,所以 .
2.［探究点二］已知双曲线 的离心率为 ,则双曲线 的渐
近线方程为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 已知双曲线 的离心率为 ,故有 ,所以
,解 得 .故双曲线 的渐近线方程为 .故选C.
3.［探究点一］如图,双曲线 的左焦点为 ,
双曲线上的点 与 关于 轴对称,则 的
值是( )
C
A.3 B.4 C.6 D.8
[解析] 设 为右焦点,连接 （图略）,
由双曲线的对称性,知 ,
所以 .
4.［探究点一］已知双曲线 的离心率为 , , 是 的两个焦点, 为 上一点,
,若 的面积为 ,则双曲线 的实轴长为( )
C
A.1 B.2 C.4 D.6
[解析] 由题意知,点 在双曲线 的右支上,
则 .
又 , , .又 , .
则在 中,
,
,故 ,解 得 （负值舍去）,
实轴长为 .故选C.
5.［探究点三］两个正数 , 的和为5,积为6,且 ,则双曲线 的离心率
_ ___,渐近线方程为_________.
[解析] 由 解 得 或
又 , , , , .渐近线方程为 .
6.［探究点一］已知 为双曲线 的左焦点, , 为 上的点.若 的长等
于虚轴长的2倍,点 在线段 上,则 的周长为____.
44
[解析] 由双曲线 的方程,知 , , ,
点 是双曲线 的右焦点,且 ,点 , 在双曲线
的右支上,
由双曲线的定义,得 ,
,
的周长为 .
7.［探究点三］双曲线 的左、右焦点分别为 , ,以坐标
原点 为圆心,以 为半径作圆 ,圆 与双曲线 的一个交点为 ,若三角形 的面
积为 ,则双曲线 的离心率为_ ___.
[解析] 不妨设 为右支上一点,
设 , ,
由双曲线的定义可得 ,
由题意可得 为直角三角形,
且 ,
可得 ,且 ,
由 ,即 ,可得 .
8.［探究点二］求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在 轴上，虚轴长为8，离心率为 ；
解 设所求双曲线的标准方程为 ，则 , ,从
而 ，代入 ，得 ，故方程为 .
（2）经过点 ,且与双曲线 有共同的渐近线.
由题意可设所求双曲线方程为 ，将点 的坐标代入，得
，
解 得 ，所以所求双曲线的标准方程为 .
9.［探究点四］双曲线 的右顶点为 ，右焦点为 ，过点 且平行于双曲
线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 ，求 的面积.
解 由题意得，双曲线 的右顶点 ，右焦点 ，渐近线方程为
.
不妨设直线 的方程为 ，代入双曲线方程并整理，得 ，
解 得 , ,所以 , .
所以 .
B级 关键能力提升练
10.过双曲线的一个焦点 作垂直于实轴的弦 , 是另一焦点,若 ,则双曲
线的离心率等于( )
C
A. B. C. D.
[解析] 不妨设双曲线标准方程为 ,依题意知直线 所在直线
方程为 ,代入双曲线方程得 .
因为 ,所以 ,即 ,于是 ,所以
,解 得 或 （舍去）.故选C.
11.已知双曲线 ，过原点作一条倾斜角为 的直线分别交双曲
线左、右两支于 ， 两点，以线段 为直径的圆过双曲线的右焦点 ，则双曲线
的离心率为( )
B
A. B. C.2 D.
[解析] 设 , ，依题意，直线 的方程为 ，代入双曲线方
程并化简，得 , ，故 , ,
.设右焦点坐标为 ， ,由于以线段 为直径的
圆经过点 ，故 ，即 ，即 ，
即 ，两边除以 ，得 ，解 得
.故 ，故选B.
12.[2023江苏镇江期末] 已知椭圆 和双曲线 具有相同的焦点,离心率分别为 , ,椭
圆的长轴恰好被双曲线的焦点、顶点、中心平分为若干条等长线段,则( )
B
A. B. C. D.
[解析] 不妨设椭圆 和双曲线 的焦点在 轴上,
由于椭圆的长轴恰好被双曲线的焦点、顶点、中心平分为若干条等长线段,设双曲线的
实轴长为 ,则椭圆的长轴长为 ,
则椭圆的左、右顶点分别为 , ,双曲线左、右顶点分别为 , ,
椭圆以及双曲线的左、右焦点均分别为 , ,所以 ,
,所以 ,故A错误,B正确；
,故C错误； ,故D错误.
故选B.
13.已知双曲线的方程为 ,则以点 为中点的双曲线的弦所在的直线
方程为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 设弦的两端点分别为 ， ，则 ， ，
两式相减得， .
又 ， ，
，即 .
因此直线 的方程为 ，
即 .
经验证，直线 与双曲线相交.
因此适合题意的直线方程为 ，
故选A.
14.（多选题）已知双曲线 的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线 的方程可能为
( )
ABD
A. B. C. D.
[解析] 依题意,知渐近线与 轴的夹角为 或 ,所以双曲线 的渐近线方程为
或 ,根据选项检验可知A,B,D均可能.
15.（多选题）已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点， 是双曲线
上异于双曲线顶点的一点，且 ，则下列结论正确的是( )
ACD
A.双曲线 的渐近线方程为
B.以 为直径的圆的方程为
C.点 到双曲线的一条渐近线的距离为1
D. 的面积为1
[解析] 易得双曲线 的渐近线方程为 ，故A正确；由 得 ，
因此以 为直径的圆的方程为 ，故B错误；易知 ，则
到双曲线的一条渐近线的距离 ,故C正确；
由 得， ，因此点 在圆 上，由
得 ,故 ，因此， ,故D正确.故
选 .
16.已知 为双曲线 的一条渐近线,其倾斜角为 ,且 的右焦点为 ,则
的右顶点为________； 的方程为_ __________.
[解析] 由题意可得 ,即 ,一条渐近线的斜率为 ,解
得 ,则双曲线的右顶点为 , 的方程为 .
17.已知 为双曲线 的右焦点，过点 向双曲线 的一条
渐近线引垂线，垂足为 ，且交另一条渐近线于点 ，若 ，则双曲线 的
离心率是_ ___.
[解析] 如图所示，过 向另一条渐近线引垂线，垂足为
.
由题意得，双曲线的渐近线方程为 ,
则 到渐近线的距离 ,
即 .
又 ,
， .
为等腰三角形，
为 的中点， .
， ，
即 ，
整理得 ，
.则 , .
18.已知点 和 ，动点 到 , 两点的距离之差的绝对值为2.
（1）求点 的轨迹方程；
解 点 和 ，
动点 到 , 两点的距离之差的绝对值为 ，
点 的轨迹方程是以 和 为焦点的双曲线，且 ， ，
点 的轨迹方程是 .
（2）点 的轨迹与经过点 且斜率为1的直线交于 ， 两点，求线段 的长.
点 的轨迹方程是 ，经过点 且斜率为1的直线方程为 .
联立 得 ，
设 , ，则 ， ，
.故线段 的长为 .
C级 学科素养创新练
19.[2023山东日照期末] 已知 , 分别为双曲线 的两个焦点,
双曲线上的点 到原点的距离为 ,且 ,则该双曲线的渐近线方
程为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由双曲线的方程可知,双曲线的焦点在 轴上,
设 为双曲线的下焦点, 为双曲线的上焦点,
过点 作 于点 （图略）.
因为 ,
所以 , .
由双曲线的定义可知, ,所以 .
因为双曲线上的点 到原点 的距离为 ,即 ,且 ,所以
, ,故
, .
因为 ,所以 .所以 ,将 代入双
曲线 中,即 ,
化简得 .
又 ,所以 ,
, , ,
解 得 或 （舍去）,则 , ,
则该双曲线的渐近线方程为 故选A.(共20张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］对抛物线 ,下列描述正确的是( )
A
A.开口向上,焦点坐标为 B.开口向上,焦点坐标为
C.开口向右,焦点坐标为 D.开口向右,焦点坐标为
[解析] 抛物线的标准方程为 , , ,解 得 ,因此抛物线的
焦点坐标为 ,准线方程为 ,可得该抛物线的开口向上.故选A.
2.［探究点三］若点 到点 的距离比它到直线 的距离大1,则点 的轨迹方
程为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 点 到点 的距离比它到直线 的距离大1,
点 到点 的距离等于它到直线 的距离,
由抛物线的定义可知,点 的轨迹为以 为焦点,直线 为准线的抛物线,
点 的轨迹方程为 .
故选D.
3.［探究点五］为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小
华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面（抛物线绕对称
轴旋转得到）型的反光镜构成，已知镜口圆的直径为 ，镜深
，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶
点( )
B
A. B. C. D.
[解析] 若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处.
如图，画出抛物面对应轴截面的抛物线，并建立坐标系，
设抛物线方程为 ，集光板端点
，
代入抛物线方程可得 ， ，
所以抛物线方程为 ，
故焦点坐标是 .
所以容器灶圈应距离集光板顶点 .
4.［探究点四］已知点 ，点 为抛物线 的焦点，点 在抛物线上移动，
则 的最小值为___.
6
[解析] 抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
过点 作直线 的垂线，垂足为点 ，如图.
由抛物线的定义，得 ， ，当 , , 三点共线，即 与直线 垂直时，
取得最小值，且最小值为 .
5.［探究点二］根据下列条件分别求抛物线的标准方程:
（1）抛物线的焦点是双曲线 的左顶点；
解 双曲线方程可化为 ，左顶点为 ，
由题意设抛物线方程为 且 ，
，
抛物线的方程为 .
（2）抛物线的焦点 在 轴上，直线 与抛物线交于点 ， .
设所求焦点在 轴上的抛物线的方程为 ， ，
由抛物线定义得 .
又 ， 或 ，
故所求抛物线方程为 或 .
B级 关键能力提升练
6.如图,在正方体 中, 是平面 内一动点,若
点 到直线 与直线 的距离相等,则动点 的轨迹是( )
D
A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线
[解析] 由题意知,直线 平面 ,则 ,即 就是点 到直线
的距离,那么点 到直线 的距离等于它到点 的距离,所以点 的轨迹是抛物线.
7.如图,过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于点
, ,交其准线 于点 ,若 ,且 ,则此抛物线
的方程为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 如图,分别过 , 作 于 ,
于 ,由抛物线的定义知,
, .
,
,
,
.
连接 ,则 为等边三角形,过 作 于 ,则 为 的中点.
设 交 轴于点 ,
则 ,即 , 抛物线方程为 .
8.已知抛物线 的焦点为 ,准线为 , 是 上一点, 是直线 与 的一个
交点,若 ,则 等于( )
C
A. B. C.3 D.2
[解析] 过点 作 于点 ,如图.
,
.
又焦点 到准线 的距离为4,
9.（多选题）已知抛物线 的焦点为 ， 为 上一动点，点 ，
则( )
ACD
A.当 时，
B.当 时，抛物线 在点 处的切线方程为
C. 的最小值为3
D. 的最大值为
[解析] 因为抛物线 ，所以准线 的方程是 ,
.
对于A，当 时，由抛物线的定义可得
，故A正确；
对于B，当 时， ，切线斜率一定存在,令切线方程
为 ，与 联立，得 ，
，解 得 ,即切线方程为 ，即
，故B错误；
对于C，过点 ， 分别作准线 的垂线，垂足为 ， ，如图,
由抛物线定义可知，
，
则 ，所以 的最小值为3，故C正确;
对于D，因为焦点 ，所以 ,
当且仅当 , , 三点共线,且点 位于第四象限时,等号成立，所以 的最大
值为 ，故D正确.
故选 .
10.在平面直角坐标系中,圆 ,点 , 为抛物线 上任意
一点（异于原点）,过点 作圆 的切线 , 为切点,则 的最小值是___.
3
[解析] 设 ,可得 ,圆 的圆
心 ,半径为1,连接 ,如图所示, ,
即 为点 到 轴的距离.抛物线的焦点为 ,准线方
程为 ,可得 .
过点 作准线的垂线,垂足为 ,可得 , , 三点共线时,
取得最小值 ,即 的最小值为3.
C级 学科素养创新练
11.如图，正方体 的棱长为3，点 在 上，
且 ，点 在平面 上，且动点 到直线 的距
离与到点 的距离相等，在平面直角坐标系 中，动点 的轨
迹方程是_ ___________.
[解析] 作 ，图略，则 平面 ，作 ，图略， ，
为垂足，由线面垂直的判定可得出 .
以 ， ， 为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，
设 ，由题意可得 ， ， ，
,
即 ,
故轨迹方程为 .(共28张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］若抛物线 上一点 到 轴的距离为 ，则点 到抛物线的焦
点 的距离为( )
A
A.4 B.5 C.6 D.7
[解析] 由题意，知抛物线 的准线方程为 ，
抛物线 上一点 到 轴的距离为 ，则 ，
点 到抛物线的准线的距离为 ，
点 到抛物线的焦点 的距离为4.
故选A.
2.［探究点一］若抛物线 上有两点 , ，且 垂直于 轴，若 ，
则点 到抛物线的准线的距离为( )
B
A. B. C.2 D.
[解析] 由抛物线 得，其准线方程为 ，
垂直于 轴， ，
点 到 轴的距离为 ，假设点 在 轴上侧，即 ，
代入抛物线 ，求得 ，
点 到抛物线的准线的距离 .故选B.
3.［探究点一、二］设抛物线 上一点 到 轴的距离为 ,到直线
的距离为 ,则 的最小值为( )
A
A.2 B. C. D.3
[解析] 由
得 , ,故方程无实数解 ,
直线 与抛物线相离.
又 ,而 为 到准线 的距离,故 为 到
焦点 的距离,
从而 的最小值为 到直线 的距离,即 ,
故 的最小值为2.
4.［探究点三］已知直线 过抛物线 的焦点，且与 的对称轴垂直， 与 交于 ，
两点， ， 为 的准线上的一点，则 的面积为( )
C
A.18 B.24 C.36 D.48
[解析] 不妨设抛物线方程为 ，
依题意， 轴，且焦点 ，
当 时， ， ，
.
又点 到直线 的距离为 ，
故 .
5.［探究点一］设抛物线 的焦点为 ，点 .若线段 的中点
在抛物线上，则 _ ___， 到该抛物线准线的距离为____.
[解析] 由已知得 ，把点 坐标代入 得 ， ，
，
，故 .
6.［探究点四］已知点 到点 和到直线 的距离相等，记点 的轨迹为
.
（1）求轨迹 的方程；
解 点 到点 和到直线 的距离相等，由抛物线的定义可知,点 的轨迹 是抛物线，设方程为 ， ， .
轨迹 的方程为 .
（2）过点 作相互垂直的两条直线 , ，曲线 与 交于点 , ，与 交于点
, ，试证明 : .
证明 易知直线 , 的斜率均存在且不为0,设 的方程为 ，代入抛物线
方程，整理可得 ，
设 , 的横坐标分别为 , ，则 , ，
同理，可得 ， .
B级 关键能力提升练
7.设 为坐标原点, 为抛物线 的焦点, 是抛物线上一点,若 ,则
点 的坐标是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由题意知 ,设 ,则 , ,由
得 , 点 的坐标为 .
8.已知 为抛物线 的焦点,点 , 在该抛物线上且位于 轴的两侧,
（其中 为坐标原点）,则 与 面积之和的最小值是( )
D
A. B.3 C. D.
[解析] 由题意可设直线 的方程为 ,则直线 与 轴的交点为 ,
则 .
设点 , .
把 代入 ,
可得 ,满足 ,
则 .
, ,
从而 .
点 , 位于 轴的两侧, ,
故 .不妨设点 在 轴上方,则 ,
又 , ,
,
当且仅当 ,即 时,等号成立. 与 面积之和的最小值
是 .
9.已知抛物线 的焦点为 , 为坐标原点, 为抛物线上一点,且
, 的面积为 ,则抛物线方程为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 设 ,
则由 得 ,
即 ,则 ,
则 ,则 ,解 得 ,即抛物线的方程为
.
10.已知点 是拋物线 的对称轴与准线的交点，点 为抛物线的焦点，点 在
抛物线上且满足 ,当 取最大值时,点 恰好在以 , 为焦点的双曲线上，
则双曲线的离心率为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由 ,得 ，
焦点 ，准线 ,从而 ,如图所示.
过点 作 于点 ,设 .
, ,
.
结合图形知，当 与抛物线相切时， 最小，从而
最大.设直线 的方程为 ,
由 得 ,
令 ,解 得 ,
不妨取 ,得点 坐标为 .
设双曲线的方程为 .
在双曲线 中, ，
即 , ,即 ,
离心率 .故选B.
11. 为抛物线 的焦点弦 的中点， ， ， 三点到抛物线准线的距离分
别是 ， ， ，则有( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 如图所示，根据题意， 是梯形 的中位线，
故 .
12.（多选题）已知抛物线 的焦点为 ,准线为 ,过 的直线与 交于 , 两
点, , 分别为过点 ,点 向 作垂线得到的垂足，且 , 为 的中点，
则下列结论正确的是( )
AC
A. B. 为等腰直角三角形
C.直线 的斜率为 D. 的面积为4
[解析] 由 ，得 ，即 ，
焦点 ，准线 .
设直线 的方程为 ， ， .
由 得 ，
， .从而 ，①
.②
又 ， ，即 .③
将③代入①得， .将③代入②得 ，解 得 或
（舍去）.
, ，即直线 的斜率为 ，故C正确；
， ， ，从而 ，
故A正确； ，
,结合图
形知 不是直角三角形，故B错误；
,故D错误.故选 .
13.已知抛物线的方程为 , 为坐标原点, , 为抛物线上的点,若
为等边三角形,且面积为 ,则 的值为___.
2
[解析] 设 , .
, .
又 , ,
,
即 .
又 , 与 同号, .
,即 .
根据抛物线对称性可知点 , 关于 轴对称,
由 为等边三角形,
不妨设直线 的方程为 ,
由 解 得 ,
.
的面积为 ,
,解 得 , .
14.直线 过抛物线 的焦点 ,且与 交于 , 两点,则 ___,
___.
2
1
[解析] 由题意知 ,从而 ,
所以抛物线方程为 .
当直线 斜率不存在时, 代入 ,解 得 , ,即
,从而 .
当直线 斜率存在时，设 的方程为
,显然 ,联立 消去 ,整理得
,设 , ,则
从而 .
15.已知直线 与抛物线 交于 , 两点,且线段 恰好被点 平分.
（1）求直线 的方程.
解 由题意可得直线 的斜率存在,且不为0.
设直线 ， ,与抛物线方程联立消去 ,可得
.
判别式 .
设 , ,则有 ,
由 ,得 ,
所以直线 的方程为 .
（2）抛物线上是否存在点 和 ,使得 , 关于直线 对称？若存在,求出直线 的
方程；若不存在,请说明理由.
不存在.理由如下，假设 , 两点存在,
则可设 ,与抛物线方程 联立,
消去 ，得 ,
其中 ,
则 .（*）
又因为 ,
所以 的中点为 ,代入直线 的方程,
得 ,不满足（*）式.
所以满足题意的 , 两点不存在.
16.如图，已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直
线交抛物线于 ， 两点，直线 ， 分
别与抛物线交于点 ， .
（1）求 的值；
解 依题意，设 的方程为 ，
代入 ，得 ，从而 .
（2）连接 ，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，证明 ： 为定值.
证明 设 ， ，
,设直线 的方程为 ，
代入 ，消去 得 ，
所以 ，同理 ，
，
由（1）知 ，所以 为定值.
C级 学科素养创新练
17.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后,
沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线 ,
如图,一平行于 轴的光线射向抛物线上的点 ,反射后又射向抛物
线上的点 ,再反射后又沿平行于 轴的方向射出,且两平行光线间
的最小距离为3,则抛物线的方程为_ _______.
[解析] 由抛物线的光学性质可得, 必过抛物线的焦点 .
当直线 的斜率不存在时,易得 ；
当直线 的斜率存在时,
设 的方程为 , , ,
联立 得 ,整理得
,
所以 , .
所以 .
综上,当直线 与 轴垂直时,弦长最短,
又因为两平行光线间的最小距离为3,故 ,
所以抛物线的方程为 .(共26张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点二］（多选题）已知在平面直角坐标系中,点 , , 为一动点,
且 ,下列说法正确的是( )
AC
A.当 时,点 的轨迹不存在
B.当 时,点 的轨迹是椭圆,且焦距为3
C.当 时,点 的轨迹是椭圆,且焦距为6
D.当 时,点 的轨迹是以 为直径的圆
[解析] 当 时, ,故点 的轨迹不存在,故A正确；
当 时, ,故点 的轨迹是椭圆,且焦距为 ,故B错误,C正确；
当 时, ,故点 的轨迹为线段 ,故D错误.
2.［探究点一］方程 化简的结果是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 方程 表示平面内到定点 ,
的距离的和是常数 的点的轨迹, 它的轨迹是以 , 为焦点,长
轴 ,焦点 的椭圆, , , , 椭圆的方程
是 ,即为化简的结果.
3.［探究点二］如果方程 表示焦点在 轴上的椭圆,则 的取值范围是
( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得,方程 表示焦点在 轴上的椭圆,所以 ,
,并且 ,解得 .故选D.
4.［探究点一］（多选题）已知 为椭圆 上一点, , 为椭圆的焦点,且
,若 ,则椭圆 的标准方程可以是( )
BC
A. B. C. D.
[解析] 由已知 ,所以 .
因为 ,所以 .
所以 .
故椭圆 的标准方程是 或 .
故选 .
5.［探究点三］已知 是椭圆 上一点, ， 是椭圆 的左、
右焦点,若 的内切圆半径的最大值为 , ,则 的面积的最大值
为( )
A
A.2 B. C. D.
[解析] 如图,由题意可得,
, ,
设 的内切圆半径为 ,
所
.
因为 的内切圆半径的最大值为 ,
所以 .
因为 ,所以 ,可得 .
又因为 ,由 ,求得 ,
所以 的面积 .
故选A.
6.［探究点一］中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆满足下列两个条件:①椭圆一个焦点
坐标为 ；②椭圆经过点 ,则椭圆的标准方程为_ __________.
[解析] 由条件①可得椭圆的焦点在 轴上,且 ,所以 ,①
则可设椭圆方程为 ,
代入点 ,
得 ,②
由①②可得 , ,所以椭圆的方程为 .
7.［探究点一］过点 ,且与椭圆 有相同的焦点的椭圆的标准方程
为_ __________.
[解析] 椭圆 的焦点为 ,
设椭圆方程为 ,
则有 ,①
再代入点 ,得 ,②
由①②解得 , .
则所求椭圆方程为 .
8.［探究点二］已知椭圆 ,点 与 的焦点不重合.若点 关于 的焦
点 , 的对称点分别为 , ,线段 的中点在 上,则 ____.
12
[解析] 如图,取 的中点 , 在椭圆 上,
因为点 关于 的焦点 , 的对称点分别为 , ,
故有 , ,
所以 .
9.［探究点一］求适合下列条件的椭圆的标准方程:
（1）两个焦点分别为 , ,经过点 ;
解 （方法1）因为椭圆的焦点在 轴上,所以可设它的标准方程为
.
由椭圆的定义知 ,所以
.
又 ,所以 .
所以椭圆的标准方程为 .
（方法2）因为椭圆的焦点在 轴上,
所以可设其标准方程为 .
由题意得 解得
所以椭圆的标准方程为 .
（2）经过两点 , .
（方法1）若椭圆的焦点在 轴上,
设椭圆的标准方程为 .
由已知条件得 解得
所以所求椭圆的标准方程为 .
同理可得,焦点在 轴上的椭圆不存在.
综上,所求椭圆的标准方程为 .
（方法2）设椭圆的一般方程为 .
将两点 , 代入,得 解得 所以所求椭圆的标准
方程为 .
B级 关键能力提升练
10.（多选题）过已知圆内一个定点作圆 与已知圆相切,则圆心 的轨迹可以是
( )
AB
A.圆 B.椭圆 C.线段 D.射线
[解析] 如图,设已知圆的圆心为 ,半径为 ,圆内的定点为 ,动圆的
半径为 .若点 与点 不重合,由于两圆相内切,则 ,由
于 , ,即 .
动点 到两个定点 , 的距离和为常数 .
为圆内的定点, .
动点 的轨迹为椭圆.
若 , 重合为一点,则此时动点 的轨迹为以 为直径的圆.
11.已知 的两个顶点分别为 ， ， 的周长为18，则点 的轨
迹方程为( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 依题意得 ， 点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，设
其标准方程为 ,则 ， ，从而 .
又 ， ， 三点不共线， 点 不在 轴上， 点 的轨迹方程为
.故选A.
12.如图,已知 为椭圆 的左焦点, 为椭圆 上一点,满
足 且 ,则椭圆 的方程为( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 由题意可得 ,设右焦点为 ,连接 ,如图,由
知, , ,
,
,即 ,
在 中,由勾股定理,
得 ,
由椭圆的定义,得 ,
从而 , ,于是 ,
椭圆 的方程为 .
13.已知 为椭圆 上的一点, , 分别为圆 和圆
上的点,则 的最小值为( )
B
A.5 B.7 C.13 D.15
[解析] 由题意知椭圆的两个焦点 , 分别是两圆的圆心,且 ,从而 的最小值为 .
14.已知椭圆 的焦点为 ， ，点 在椭圆上.若 ,则 ___,
的大小为_ _____.
2
[解析] 由 ,且 ，知 .
在 中， .
故 .
15.已知 , 是椭圆 的两个焦点, 为椭圆 上一点,且
.若 的面积为9,则 ___.
3
[解析] 由题意得， , , ,
, , .
16.动圆 与定圆 内切，与定圆 外切，
点 的坐标为 .
（1）求动圆 的圆心 的轨迹方程 ；
解 如图，设动圆 的半径为 .
由题意得，定圆 的半径为 ，定圆 的半径为 ，则 ，①
，②
，得 .
解得 ,
由椭圆的定义知点 的轨迹是以 ， 为焦点， 为 的椭圆的一部分（在 的
内部, 的外部），其轨迹方程为 .
（2）若轨迹 上的两点 ， 满足 ，求 的值.
设 ， ，则 , .由 可得，
,所以 ， ,由 ，
是轨迹 上的两点，得
解得
所以 ， .
所以 ， ， .
C级 学科素养创新练
17.在平面直角坐标系 中,已知 的顶点 和 ,顶点 在椭圆
上,则 __.
[解析] 由椭圆的方程得 , , .
的顶点 和 ,顶点 在椭圆 上,
,
由正弦定理可知
.3.2.2 双曲线的简单几何性质
A级 必备知识基础练
1. ［探究点三］（多选题）设双曲线的渐近线方程为,则该双曲线的离心率可以为( )
A. B. C. D.
2. ［探究点二］已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3. ［探究点一］如图,双曲线的左焦点为,双曲线上的点与关于轴对称,则的值是( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
4. ［探究点一］已知双曲线的离心率为,,是的两个焦点,为上一点,,若的面积为,则双曲线的实轴长为( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
5. ［探究点三］两个正数,的和为5,积为6,且,则双曲线的离心率,渐近线方程为.
6. ［探究点一］已知为双曲线的左焦点,,为上的点.若的长等于虚轴长的2倍,点在线段上,则的周长为.
7. ［探究点三］双曲线的左、右焦点分别为,,以坐标原点为圆心,以为半径作圆,圆与双曲线的一个交点为,若三角形的面积为,则双曲线的离心率为.
8. ［探究点二］求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1） 焦点在轴上，虚轴长为8，离心率为；
（2） 经过点,且与双曲线有共同的渐近线.
9. ［探究点四］双曲线的右顶点为，右焦点为，过点且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点，求的面积.
B级 关键能力提升练
10. 过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦,是另一焦点,若,则双曲线的离心率等于( )
A. B. C. D.
11. 已知双曲线，过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于，两点，以线段为直径的圆过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. 2 D.
12. [2023江苏镇江期末]已知椭圆和双曲线具有相同的焦点,离心率分别为,,椭圆的长轴恰好被双曲线的焦点、顶点、中心平分为若干条等长线段,则( )
A. B. C. D.
13. 已知双曲线的方程为,则以点为中点的双曲线的弦所在的直线方程为( )
A. B. C. D.
14. （多选题）已知双曲线的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的方程可能为( )
A. B. C. D.
15. （多选题）已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且，则下列结论正确的是( )
A. 双曲线 的渐近线方程为
B. 以 为直径的圆的方程为
C. 点 到双曲线的一条渐近线的距离为1
D. 的面积为1
16. 已知为双曲线的一条渐近线,其倾斜角为,且的右焦点为,则的右顶点为；的方程为.
17. 已知为双曲线的右焦点，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，且交另一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率是.
18. 已知点和，动点到,两点的距离之差的绝对值为2.
（1） 求点的轨迹方程；
（2） 点的轨迹与经过点且斜率为1的直线交于，两点，求线段的长.
C级 学科素养创新练
19. [2023山东日照期末]已知,分别为双曲线的两个焦点,双曲线上的点到原点的距离为,且,则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.2.2 双曲线的简单几何性质
基础落实·必备知识全过关
知识点 双曲线的几何性质
过关自诊
提示不是，在双曲线中， ， 没有大小关系，只需 ， .
提示把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为 的形式,
在 的情况下可得:
（1） 时,直线与双曲线有两个不同的公共点;
（2） 时,直线与双曲线只有一个公共点;
（3） 时,直线与双曲线没有公共点.
此外，当直线平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点，故直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件.
3. 解由方程可知,双曲线的焦点在轴上,且,,,
,,,
双曲线的实轴长为2,虚轴长为,焦点坐标为,,渐近线方程为
4. 解由可得,所以渐近线方程为.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 由双曲线的方程求几何性质
思路分析将双曲线方程化为标准方程,先求出参数 , , 的值,再写出各个结果.
【例1】 解双曲线的方程化为标准形式是，
，，
，，.
又双曲线的焦点在轴上， 顶点坐标为，，
焦点坐标为，，
实轴长，虚轴长，
离心率，
渐近线方程为.
变式探究 解双曲线的方程化为标准形式是，
，，，，.
又双曲线的焦点在轴上， 顶点坐标为，，
焦点坐标为，，
实轴长，虚轴长，
离心率，渐近线方程为.
变式训练1（1） A
[解析]双曲线的一条渐近线的斜率是,可得,解得.故选.
（2） 证明不妨设双曲线的一个焦点为,一条渐近线的方程为,即,则点到该渐近线的距离为,即为虚半轴长.
同理可证当焦点在轴上时,也满足题意.
探究点二 根据双曲线几何性质求其标准方程
【例2】 （1） 解 设双曲线方程为.
双曲线过点,.
由题意得解得
故所求双曲线方程为.
（2） 设所求双曲线方程为.
,,
.
由题意得解得
所求的双曲线方程为.
（3） 设双曲线方程为,即,由题意得.
当时,,,双曲线方程为;
当时,,,双曲线方程为.
故所求双曲线方程为或.
变式训练2 （1） 解 由已知,双曲线焦点在轴上,设其方程为,则,即.
又,且,所以,,因此双曲线的标准方程为.
（2） 由双曲线的渐近线方程为,可设双曲线方程为.
因为在双曲线上,所以 ,即,所求双曲线的标准方程为.
探究点三 双曲线的渐近线与离心率问题
角度1.求双曲线的离心率或取值范围
【例3】 解设,,将代入双曲线的方程得,那么.
由, ,
知,
所以,所以,所以,所以,
即,
所以或（舍去）,
所以双曲线的离心率为.
变式训练3 A
[解析]依题意可得,,,
设,则由,得,整理得.
由得.
因为双曲线上恰有4个不同的点满足,
所以方程有两个不相等的实数根,所以只需,解得,
则.
角度2.双曲线的渐近线与离心率的综合
【例4】 D
[解析]由已知可得 ,则.
故选.
变式训练4 或
[解析]依题意得,所以,即,解得.
若双曲线焦点在轴上,则其渐近线方程为,即；
若双曲线焦点在轴上,则其渐近线方程为,即.
探究点四 直线与双曲线的位置关系
【例5】 （1） 解 联立
消去并整理,得.
直线与双曲线有两个不同的交点，
则
解得，且.
若直线与双曲线有两个不同交点，实数的取值范围为.
（2） 设，，
对于（1）中的方程，
由根与系数的关系，得，
，.
又点到直线的距离，
，
即，解得或.
实数的值为或0.
变式探究 解当时，即或,直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个交点；当时，由解得或，此时直线与双曲线相切，只有一个交点.
综上所述，当或时，直线与双曲线有一个交点.
本节要点归纳
分层作业
A级 必备知识基础练
1. AC
[解析]当焦点在轴上时,,所以,所以；当焦点在轴上时,,所以,所以.
2. C
[解析]已知双曲线的离心率为,故有,所以,解得.故双曲线的渐近线方程为.故选.
3. C
[解析]设为右焦点,连接（图略）,
由双曲线的对称性,知,
所以.
4. C
[解析]由题意知,点在双曲线的右支上,
则.
又,,.又,.
则在中,
,
,故,解得（负值舍去）,
实轴长为.故选.
5. ;
[解析]由解得或
又,,,,.渐近线方程为.
6. 44
[解析]由双曲线的方程,知,,,
点是双曲线的右焦点,且,点,在双曲线的右支上,
由双曲线的定义,得,
,
的周长为.
7.
[解析]不妨设为右支上一点,
设,,
由双曲线的定义可得,
由题意可得为直角三角形,
且 ,
可得,且,
由,即,可得.
8. （1） 解 设所求双曲线的标准方程为，则,,从而，代入，得，故方程为.
（2） 由题意可设所求双曲线方程为，将点的坐标代入，得 ，
解得，所以所求双曲线的标准方程为.
9. 解由题意得，双曲线的右顶点，右焦点，渐近线方程为.
不妨设直线的方程为，代入双曲线方程并整理，得，
解得,,所以,.
所以.
B级 关键能力提升练
10. C
[解析]不妨设双曲线标准方程为,依题意知直线所在直线方程为,代入双曲线方程得.
因为,所以,即,于是,所以,解得或（舍去）.故选.
11. B
[解析]设,，依题意，直线的方程为，代入双曲线方程并化简，得,，故,,.设右焦点坐标为，,由于以线段为直径的圆经过点，故，即，即，
即，两边除以，得，解得.
故，故选.
12. B
[解析]不妨设椭圆和双曲线的焦点在轴上,
由于椭圆的长轴恰好被双曲线的焦点、顶点、中心平分为若干条等长线段,设双曲线的实轴长为,则椭圆的长轴长为,
则椭圆的左、右顶点分别为,,双曲线左、右顶点分别为,,椭圆以及双曲线的左、右焦点均分别为,,所以,,所以,故错误,正确；
,故错误；,故错误.
故选.
13. A
[解析]设弦的两端点分别为，，则，，两式相减得，.
又，，
，即.
因此直线的方程为，
即.
经验证，直线与双曲线相交.
因此适合题意的直线方程为，
故选.
14. ABD
[解析]依题意,知渐近线与轴的夹角为 或 ,所以双曲线的渐近线方程为或,根据选项检验可知,,均可能.
15. ACD
[解析]易得双曲线的渐近线方程为，故正确；由得，因此以为直径的圆的方程为，故错误；易知，则到双曲线的一条渐近线的距离,故正确；
由得，，因此点在圆上，由得,故，因此，,故正确.故选.
16. ;
[解析]由题意可得,即,一条渐近线的斜率为,解得,则双曲线的右顶点为,的方程为.
17.
[解析]如图所示，过向另一条渐近线引垂线，垂足为.
由题意得，双曲线的渐近线方程为,
则到渐近线的距离,
即.
又,
，.
为等腰三角形，
为的中点，.
，，
即，
整理得，
.则,.
18. （1） 解 点和，
动点到,两点的距离之差的绝对值为，
点的轨迹方程是以和为焦点的双曲线，且，，
点的轨迹方程是.
（2） 点的轨迹方程是，经过点且斜率为1的直线方程为.
联立得，
设,，则，，
.故线段的长为.
C级 学科素养创新练
19. A
[解析]由双曲线的方程可知,双曲线的焦点在轴上,
设为双曲线的下焦点,为双曲线的上焦点,
过点作于点（图略）.
因为,
所以,.
由双曲线的定义可知,,所以.
因为双曲线上的点到原点的距离为,即,且,所以, ,故,.
因为,所以.所以,将代入双曲线中,即,
化简得.
又,所以,
,,,
解得或（舍去）,则,,
则该双曲线的渐近线方程为故选.
