(共39张PPT)
01
第二章综合训练
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列直线在 轴上的截距为2的是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 分别令 ，选项A中得 ，选项B中得 ，选项C中得 ，只有选项D中， ，故选D.
2.已知直线 ,若 ,则 倾斜角的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为 的斜率 ,当 ,
即 时, 不存在,此时 倾斜角为 ,由 , 时,可知直线 的斜率
,此时倾斜角的取值范围为 ,综上可得 倾斜角的取值范围为 .
故选C.
3.已知圆 ,圆 ,圆 与圆 的公切线的条
数的可能取值共有( )
D
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
[解析] 根据圆 与圆 的方程可知圆 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆心为 ，半径 ,所以 ， ，两圆心的距离为2，
①若两圆外离，则有 ,即 ，此时圆 与圆 公切线的条数为4；
②若两圆外切，则有 ，即 ，此时圆 与圆 公切线的条数为3；
③若两圆相交，则有 且 ,即 ,此时圆 与圆 公切线的条数为2；
④若两圆内切，则有 ,即 ，此时圆 与圆 公切线的条数为1；
⑤若两圆内含，则有 ,即 ，此时圆 与圆 公切线的条数为0.
即圆 与圆 的公切线的条数的可能取值有5种.故选D.
4.光线自点 射到 后被 轴反射,则反射光线所在的直线方程为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 如图所示,
点 关于 轴的对称点 的坐标为 .则反射光线所在的直线方程为 ,化为 .故选B.
5.[2023山东临沂期末] “圆”是中国文化的一
个重要元素，在中式建筑中有着广泛的运用，
最具代表性的便是园林中的洞门.如图，某园
林中的圆弧形洞门高为 ，地面宽为 ，
则该洞门的半径为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 如图,设圆的半径为 ，
由题意可知， ， ，在 中，
， ，
所以 ，解得 .
故选C.
6.若直线 截得圆 的弦长为2,则
的最小值为( )
A
A.4 B.6 C.8 D.10
[解析] 由题意圆心坐标为 ,半径 ,所以圆心到直线的距离为
,
所以 ,整理可得 , , ,所以
,当且仅当
且 ,即 , 时,等号成立,所以最小值为4.故选A.
7.过原点 作直线 的垂线,垂足为 ,则点 到
直线 的距离的最大值为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 整理得
,
联立 解得
所以直线 过定点 .
因为 ,所以点 的轨迹是以 为直径的圆,圆心为 ,半径为1,
因为圆心 到直线 的距离为 ,所以 到直线
的距离的最大值为 .故选A.
8.在平面直角坐标系中,设 , ,点 在单位圆上,则使得
为直角三角形的点 的个数是( )
D
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 根据题意,若 为直角三角形,分3种情况讨论：
,则点 在过点 与 垂直的直线上,设该直线为 ,
又由 , ,
则 ,
则 ,直线 的方程为 ,即 ,
此时原点 到直线 的距离 ,
直线 与单位圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点 .
,则点 在过点 与 垂直的直线上,设该直线为 ,
同理可得,直线 的方程为 ,即 ,
此时原点 到直线 的距离 ,
直线 与单位圆相离,没有公共点,即没有符合题意的点 .
,此时点 在以 为直径的圆上,
又由 , ,设 的中点为 ,则 的坐标为 ,
,
则以 为直径的圆的圆心 为 ,半径 ,
此时 ,
则有 ,两圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点 .
综上可得,有4个符合条件的点 .
故选D.
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9.已知 , , ,则( )
BD
A.直线 与线段 有公共点
B.直线 的倾斜角大于
C. 的边 上的中垂线所在直线的方程为
D. 的边 上的高所在直线的方程为
[解析] 由于点 , 均在直线 的同侧,则直线 与线段
没有公共点,故A错误；
由于直线 的斜率 ,故直线 的倾斜角大于 ,故B正确；
由于直线 的斜率为 ,则边 上的中垂线的斜率为 , 的中点为
,故中垂线所在直线的方程为 ,故C错误；
由于边 上的高线的斜率为 ,则其所在直线的方程为 ,即
,故D正确.
10.已知圆 与圆 交于不同的两点
, ,下列结论正确的有( )
ABC
A. B.
C. D.
[解析] 两圆方程相减可得直线 的方程为 ,即
,
分别把 , 两点代入 得
, ,故B正确；
两式相减得 ,即 ,故A正确；
由圆的性质可知,线段 与线段 互相平分,
, ,故C正确,D错误.
故选 .
11.若 是圆 上任一点,则点 到直线 距离的值可
以为( )
ABC
A.4 B.6 C. D.8
[解析] 直线 恒过定点 ,当直线与 垂直时,点 到直线
距离最大,等于 ,圆心坐标为 ,
所以距离为 ,
当直线与圆有交点时距离最小为0,
所以点 到直线 距离的范围为 .故选 .
12.已知点 为圆 为圆心 上的动点，点 为直线
上的动点，则下列说法正确的是( )
AD
A.若直线 平分圆 的周长，则
B.点 到直线 的最大距离为5
C.若圆 上至少有三个点到直线 的距离为 ,则
D.若 ，过点 作圆 的两条切线，切点为 ， ，当 最小时，点
的坐标为
[解析] 由圆 ，知圆心 ，半径 ，
对于A,直线 平分圆 的周长，则直线过圆心 ，
，解得 ，故A正确；
对于B, 直线 恒过定点 ，
点 到直线 的最大距离为 ，故B错误；
对于C,若圆 上至少有三个点到直线 的距离为 ，则圆心到直线的距离 ，
，解得 ，故C错误；
对于D, 四边形 的面积 ，
要使 最小，则需 最小，此时 与直线 垂直，则 ,直线
的方程为 ,联立 求得 ，故D正确.
故选 .
三、填空题：本题共4小题.
13.已知向量 , , ,且 ， ， 三点共线,当
时,以 为斜率,且过点 的直线方程为_ _____________.
[解析] 由题意可得 , ,由于 和 共线,
故有 ,解得 或 .
当 时, 为直线的斜率, 过点 的直线方程为 ,即
.
14.过点 可作圆 的两条切线，则实数 的取值范围
是_ _____.
[解析] 把圆的方程化为标准方程得 ，
圆心坐标为 ，半径 ，
则点 到圆心的距离 .
由题意，可知点 在圆外，
，即 ，且 ，
解得 ，则实数 的取值范围是 .
15.已知直线 与圆
交于 , 两点, , 分别为 , 的中点,则
的最小值为_ ____.
[解析] 如图,直线 的方程可化为 ,由
得 ,即直线 恒过定点 .
, 分别为 , 的中点,
,当 时, 最小,此时
,
.
16.已知点 , , .若从点 射出的光线经直线 反射后过点
,则反射光线所在直线的方程为______________；若从点 , 射
出的光线经直线 反射,再经直线 反射后回到点 ,则光线所经过的路程是
___________（结果用 表示）.
[解析] 根据题意,设点 与点 关于直线 对称,则 在反射光线所在直
线上.
又由 , ,则直线 的方程为 ,
则有 解得 即 ,
反射光线所在直线的斜率 ,则其方程为 ,即
.
设点 与点 关于直线 对称,点 与 关于 轴对称,易得 .
线段 的长度就是光线所经过的路程,
则有 解得
即 .
又由 ,
则 .
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.求满足下列条件的直线的方程:
（1）直线过点 ,且与直线 平行；
解 设所求直线的方程为 ,
点 在直线上, , ,
故所求直线的方程为 .
（2）直线过 点且与直线 垂直.
设所求直线的方程为 ,
点 在直线 上,
,解得 .
故所求直线的方程为 .
18.如图,已知 三个顶点的坐标分别为 , ,
,线段 的垂直平分线为 .
（1）求直线 的方程；
解 直线 的斜率为 ,所以直线 的斜率为 ,直线 的中点为 ,所以直线 的方程为 ,即 .
（2）点 在直线 上运动,当 最小时,求此时点 的坐标.
由（1）得点 关于直线 的对称点为点 ,所以直线 与直线 的交点即为使
最小的点.
由 , 得直线 的方程为 ,即 ,
联立 解得
所以点 的坐标为 .
19.已知直线 恒过定点 ,过点 引圆 的两
条切线,设切点分别为 , .
（1）求直线 的一般式方程；
解 直线 ,
直线 恒过定点 .
由题意可知直线 是其中一条切线,且切点为 .
由圆的性质可知 ,
, ,所以直线 的方程为 ,即 .
（2）求四边形 的外接圆的标准方程.
由题意知 . , ,
四边形 的外接圆是以 为直径的圆, 的中点坐标为 ,所以四边形
的外接圆为 .
20.已知圆 与圆 .
（1）若圆 与圆 外切,求实数 的值；
解 圆 ,则圆心 ,半径 ,
由圆 ,得 ,则圆心 ,半径
.
圆 与圆 外切, ,
,解得 .
（2）在（1）的条件下,若直线 与圆 的相交弦长为 且过点 ,求直线 的方程.
由（1）得 ,圆 的方程为 ,则 , ,
由题意可得圆心 到直线 的距离 ,
当直线 斜率不存在时,直线方程为 ,符合题意；
当直线 斜率为 时,则直线方程为 ,
化为一般形式为 ,
则圆心 到直线 的距离 ,解得 ,得直线方程为 .
综上,直线 的方程为 或 .
21.[2023湖北荆州月考] 在平面直角坐标系 中, 为坐标原点,已知圆 的圆心坐标
为 ,其中 且 , 轴、 轴被圆 截得的弦分别为 , .
（1）求证： 的面积为定值,并求出这个定值；
证明 因为 , 轴、 轴被圆 截得的弦分别为 ， ,
所以 经过 ,且 为 中点,所以 , ,所以
,所以 的面积为定值,定值为4.
（2）设直线 与圆 交于 , 两点,若 ,求圆 的标准方程.
解 因为直线 与圆 交于 , 两点, ,所以 的中垂线
经过 ,且过 ,所以 的方程 ,所以 ,所以当 时,有圆心 ,半
径 ,所以圆心 到直线 的距离为 ,所以直线
与圆 交于 , 两点,故成立；
当 时,有圆心 ,半径 ,所以圆心 到直线 的距离为
,所以直线 与圆 不相交,故 ,
综上所述,圆 的标准方程为 .
22.[2023河北保定期末] 如图，在平面直角坐标系 中，点 ，直线
.设圆 的半径为1，圆心在 上.
（1）若圆心 也在直线 上，过点 作圆 的切线，求切线的方程;
解 由题设点 ，又圆心 也在直线 上， ，
，
圆 .
由题，过点 的切线方程的斜率存在,切线方程可设为 ,即 ，
则 ,解得 或 ,
所求切线为 或 .
（2）若圆 上存在点 ，使 ，求圆心 的横坐标 的取值范围.
根据圆心在直线 上，可设圆的方程为 .
设 , ,
,化简可得 ,故点 在以 为圆
心、2为半径的圆上.
根据题意，点 也在圆 上，故圆 和圆 有交点， ,即
,
求得 ,且 ,解得 .
故 的取值范围为 .(共38张PPT)
01
第二章测评
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.过点 且与直线 垂直的直线方程为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 设该直线方程为 ，
由于点 在该直线上，
则 ，
即 ，
即该直线方程为 .
2.圆心为 且过 的圆的方程是( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 由题意，设圆的方程为 ， 过点 ,
.
所求圆的方程为 .
故选C.
3.[2023江苏连云港期中] 已知圆 关于直线
对称，则 ( )
C
A.0 B.1 C.2 D.4
[解析] 由于圆 关于直线 对称，
故圆心 在直线 上， ， .
4.若动点 ， 分别在直线 和 上移
动，则线段 的中点 到原点的距离的最小值为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题意，知点 的轨迹为平行于直线 ， ,且到 ， 距离相等的直线 ，
故其方程为 ，所以点 到原点的距离的最小值为 .
5.已知圆 ，圆 ，当 时，圆
与圆 的公切线的条数为( )
D
A.0 B.4 C.3 D.2
[解析] 圆 的圆心为 ，半径为1，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
，半径之和为 ，半径之差为 ，
当 时， ，两圆相交，此时公切线有2条.故选D.
6.已知圆 和圆 ，动圆 同时与圆 及圆
相外切，则动圆圆心 的轨迹方程是( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 设动圆圆心 的坐标为 ，半径为 ，
则由题意可得 ， ，相减可得
，
故点 的轨迹是以 , 为焦点的双曲线的左支.
由题意可得 ， ， ,
故点 的轨迹方程为 .
故选A.
7.两圆 与 有且只有一条公切线,那么
的最小值为( )
B
A.1 B. C.5 D.
[解析] 根据题意,圆 ,其圆心为 ,半径 ,
圆 ,即 ,其圆心为
,半径为2,若两圆有且只有一条公切线,则两圆内切,则有 ,
变形可得 ,则 ,
又 , ,则 ,当且仅当 时，等号成立,故
,即 的最小值为 .
8.已知圆 与圆 相交于 , 两点,
且 ,则下列结论错误的是( )
C
A. 是定值 B.四边形 的面积是定值
C. 的最小值为 D. 的最大值为2
[解析] 圆 的圆心 ,半径 ,则 为边长为 的等边三角形.
对于A, , 正确；
对于B, , ,易得 的边 上的高 ,
,
,
, 正确；
对于C,由B知 ,
,即 ,
,
,
,
,当且仅当 时，等号成立, 的最小值为 ,
错误;
对于D,由C得, , ,
当且仅当 时，等号成立, 的最大值为2,
正确.故选C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.等腰直角三角形 的直角顶点为 ，若点 ，则点 的坐标可能是
( )
AC
A. B. C. D.
[解析] 设点 的坐标为 ，
根据题意知
则
解得 或
10.已知点 ，圆 上存在点 ，满足
（ 为坐标原点），则 的取值可能是( )
ABC
A.1 B. C. D.0
[解析] 设 ，
由 ，得 ，
整理得 .
圆 上存在点 ，满足 ，
即两圆 与 有交点，
则 ，解得 .
的取值可能是1， ， .故选 .
11.已知实数 , 满足方程 ,则下列说法正确的是( )
BCD
A. 的最大值为
B. 的最大值为
C. 的最大值为
D. 的最大值为8
[解析] 由 ,知 ,
表示圆心为 ,半径为 的圆.
对于A, 的几何意义为圆上的点与原点距离的平方,其最大值为
,故A错误；
对于B, 的几何意义为圆上的点与点 距离的平方,其最
大值为 ,故B正确；
对于C,设 ，则直线 与圆有公共点，所以 ，解
得 ，
所以 的最大值为 ，故C正确；
对于D，设 ，则直线 与圆有公共点，
所以 ，
解得 .
所以 的最大值为8，故D正确.
故选 .
12.已知圆 ，点 是直线 上一动点，过点 作圆
的切线 ， ，切点分别是 和 ，下列说法正确的为( )
BD
A.圆 上恰有一个点到直线 的距离为 B.切线长 的最小值为1
C.四边形 面积的最小值为2 D.直线 恒过定点
[解析] 对于A, 圆 ，
圆心 ，半径 ， 圆心 到直线 的距离为 ，而
,故A错误；
对于B，由圆的性质，切线长 ，当 最小
时， 有最小值，
又 ，则 ,故B正确;
对于C,四边形 的面积为 ,故四边形 的面积最小值为1，
故C错误；
对于D,设 ，
由题意知 ， 在以 为直径的圆上，
又 ，
以 为直径的圆的方程为 ,
即 ,
又圆 ,即 ,故直线 的方程为
,即 ,
由 解得
即直线 恒过定点 ，故D正确.
故选 .
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知 ，点 在直线 上，若直线 平行于直线
，则点 的坐标为_ ______.
[解析] 因为直线 平行于直线 ，
所以设直线 的方程为 .
又点 在直线 上，
所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，
联立两直线方程
解得 故点 的坐标为 .
14.圆 与圆 的公共弦所在直线的方程为
______________，公共弦长为_ ____.
[解析] 圆 与圆 的方程相减得
.
由圆 的圆心为 ，半径 为2，
且圆心 到直线 的距离 ，
得公共弦长为 .
15.过点 可作圆 的两条切线，则实数 的取值范围
是_ _____.
[解析] 把圆的方程化为标准方程得 ，
圆心坐标为 ，半径 ，
则点 到圆心的距离 .
由题意可知点 在圆外，
，即 ，且 ，解得 ，则实数 的取值范围是
.
16.已知直线 与圆
交于 ， 两点， ， 分别为 ， 的中
点，则 的最小值为_ ____.
[解析] 如图，直线 的方程可化为 ，由
得 ，即直线 恒过定点 .
， 分别为 ， 的中点，
.
当 时， 最小，
此时 ,
.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知直线 经过点 ，且斜率为 .
（1）求直线 的方程；
解 由直线的点斜式方程，得 ，整理得所求直线方程为 .
（2）若直线 与 平行，且点 到直线 的距离为3，求直线 的方程.
由直线 与直线 平行，可设直线 的方程为 ，
由点到直线的距离公式得
，
即 ，解得 或 ，
故所求直线方程为 或 .
18.（12分）根据下列条件求圆的方程：
（1）圆心在点 ，半径 ；
解 圆心在点 ，半径 ，
所求圆的方程为 .
（2）以点 ， 为直径.
要求圆的圆心为 的中点，
圆心坐标为 ，
半径
.
所求圆的方程为 .
19.（12分）已知直线 恒过定点 ，过点 引圆
的两条切线，设切点分别为 ， .
（1）求直线 的一般式方程；
解 直线 ，
直线 恒过定点 .
由题意可知直线 是其中一条切线，不妨令切点为 .
由圆的性质可知 ，
,
，
直线 的方程为 ，即 .
（2）求四边形 的外接圆的标准方程.
由题意知 .
， ，
四边形 的外接圆是以 为直径的圆， 的中点坐标为
四边形 的外接圆的标准方程为 .
20.（12分）已知圆 ,圆
,且圆 上任意一点关于直线 的对称点都
在圆 上.
（1）求圆 的方程；
解 圆 的圆心 ，因为圆 上任意一点关于直线 的对称点都在圆 上，
所以直线 经过点 ，可得 ，解得 ，则圆 的方程为 .
（2）证明 圆 和圆 相交，并求两圆公共弦的长度 .
因为圆 的圆心 ,半径 ,圆 的圆心 ,半径 ,
所以 .
因为 ,
所以圆 和圆 相交.
由 两式相减可得公共弦所在的直线方程为
，
点 到该直线的距离为 ，
所以 ，解得 ，则两圆公共弦的长度
.
21.（12分）已知两个条件：①圆心 在直线 上，直线 与圆
相交所得的弦长为4；②圆 过圆 和圆
的公共点.在这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，
并解 答.
问题：是否存在唯一的圆 过点 且____，并说明理由.
解 选择①，不存在唯一的圆 .理由如下,
设圆 的方程为 ，
因为圆心 在直线 上，所以 ，①
圆心到直线 的距离 ,
则 .②
又因为圆 过点 ，
则 ，③
由①②③解得 ， ， 或 ， ， ，
所以圆 的方程为 或 .故不存在
唯一的圆 .
选择②，存在唯一的圆C.理由如下,
易知圆 不过点 ,则可设圆 的方程为
，
又因为圆 过点 ，则 ，即 .
所以圆的方程为 ,即 .
故存在唯一的圆C.
22.（12分）已知圆 ,线段 的端点 的坐标是 ,端点
在圆 上运动,且点 满足 ,记 点的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程.
（2）过点 且斜率为 的直线 与曲线 交于 , 两点,试探究：
①设 为坐标原点,是否存在满足 的直线 若存在,求出 ；若不存
在,说明理由.
②求线段 的中点 的轨迹方程.
解 （1）设 ,则 ,
设 ,因为 ,所以
则 ,
即曲线 的方程为 .
（2）易知直线 的方程为 ，设 , ,
联立 可得 ,则
,解得 ,且有 , ,
所以 .
① 不存在.理由如下，
,解 得 ,与
不符,
故不存在这样的直线 ,使得 .
② 的中点坐标为 ,
则 , ,
即点 的坐标为 .
又因为 ,
所以 ,
整理可得 ,即点 的轨迹方程为 .第二章综合训练
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列直线在轴上的截距为2的是( )
A. B. C. D.
2. 已知直线,若,则倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
3. 已知圆,圆,圆与圆的公切线的条数的可能取值共有( )
A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种
4. 光线自点射到后被轴反射,则反射光线所在的直线方程为( )
A. B. C. D.
5. [2023山东临沂期末]“圆”是中国文化的一个重要元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的洞门.如图，某园林中的圆弧形洞门高为，地面宽为，则该洞门的半径为( )
A. B. C. D.
6. 若直线截得圆的弦长为2,则的最小值为( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
7. 过原点作直线的垂线,垂足为,则点到直线的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系中,设,,点在单位圆上,则使得为直角三角形的点的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知,,,则( )
A. 直线 与线段 有公共点
B. 直线 的倾斜角大于
C. 的边 上的中垂线所在直线的方程为
D. 的边 上的高所在直线的方程为
10. 已知圆与圆交于不同的两点,,下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
11. 若是圆上任一点,则点到直线距离的值可以为( )
A. 4 B. 6 C. D. 8
12. 已知点为圆为圆心上的动点，点为直线上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 若直线 平分圆 的周长，则
B. 点 到直线 的最大距离为5
C. 若圆 上至少有三个点到直线 的距离为 ,则
D. 若 ，过点 作圆 的两条切线，切点为 ， ，当 最小时，点 的坐标为
三、填空题：本题共4小题.
13. 已知向量,,,且，，三点共线,当时,以为斜率,且过点的直线方程为.
14. 过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围是.
15. 已知直线与圆交于,两点,,分别为,的中点,则的最小值为.
16. 已知点,,.若从点射出的光线经直线反射后过点,则反射光线所在直线的方程为；若从点,射出的光线经直线反射,再经直线反射后回到点,则光线所经过的路程是（结果用表示）.
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 求满足下列条件的直线的方程:
（1） 直线过点,且与直线平行；
（2） 直线过点且与直线垂直.
18. 如图,已知三个顶点的坐标分别为,,,线段的垂直平分线为.
（1） 求直线的方程；
（2） 点在直线上运动,当最小时,求此时点的坐标.
19. 已知直线恒过定点,过点引圆的两条切线,设切点分别为,.
（1） 求直线的一般式方程；
（2） 求四边形的外接圆的标准方程.
20. 已知圆与圆.
（1） 若圆与圆外切,求实数的值；
（2） 在（1）的条件下,若直线与圆的相交弦长为且过点,求直线的方程.
21. [2023湖北荆州月考]在平面直角坐标系中,为坐标原点,已知圆的圆心坐标为,其中且,轴、轴被圆截得的弦分别为,.
（1） 求证：的面积为定值,并求出这个定值；
（2） 设直线与圆交于,两点,若,求圆的标准方程.
22. [2023河北保定期末]如图，在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为1，圆心在上.
（1） 若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程;
（2） 若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.
第二章综合训练
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. D
[解析]分别令，选项中得，选项中得，选项中得，只有选项中，，故选.
2. C
[解析]因为的斜率,当,即时,不存在,此时倾斜角为,由,时,可知直线的斜率,此时倾斜角的取值范围为,综上可得倾斜角的取值范围为.故选.
3. D
[解析]根据圆与圆的方程可知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径,所以，，两圆心的距离为2，
①若两圆外离，则有,即，此时圆与圆公切线的条数为4；
②若两圆外切，则有，即，此时圆与圆公切线的条数为3；
③若两圆相交，则有且,即,此时圆与圆公切线的条数为2；
④若两圆内切，则有,即，此时圆与圆公切线的条数为1；
⑤若两圆内含，则有,即，此时圆与圆公切线的条数为0.
即圆与圆的公切线的条数的可能取值有5种.故选.
4. B
[解析]如图所示,
点关于轴的对称点的坐标为.则反射光线所在的直线方程为,化为.故选.
5. C
[解析]如图,设圆的半径为，
由题意可知，，，在中，，，
所以，解得.
故选.
6. A
[解析]由题意圆心坐标为,半径,所以圆心到直线的距离为,
所以,整理可得,,,所以,当且仅当且,即,时,等号成立,所以最小值为4.故选.
7. A
[解析]整理得,
联立解得
所以直线过定点.
因为,所以点的轨迹是以为直径的圆,圆心为,半径为1,
因为圆心到直线的距离为,所以到直线的距离的最大值为.故选.
8. D
[解析]根据题意,若为直角三角形,分3种情况讨论：
,则点在过点与垂直的直线上,设该直线为,
又由,,
则,
则,直线的方程为,即,
此时原点到直线的距离,
直线与单位圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点.
,则点在过点与垂直的直线上,设该直线为,
同理可得,直线的方程为,即,
此时原点到直线的距离,
直线与单位圆相离,没有公共点,即没有符合题意的点.
,此时点在以为直径的圆上,
又由,,设的中点为,则的坐标为,,
则以为直径的圆的圆心为,半径,
此时,
则有,两圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点.
综上可得,有4个符合条件的点.
故选.
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. BD
[解析]由于点,均在直线的同侧,则直线与线段没有公共点,故错误；
由于直线的斜率,故直线的倾斜角大于 ,故正确；
由于直线的斜率为,则边上的中垂线的斜率为,的中点为,故中垂线所在直线的方程为,故错误；
由于边上的高线的斜率为,则其所在直线的方程为,即,故正确.
10. ABC
[解析]两圆方程相减可得直线的方程为,即,
分别把,两点代入得,,故正确；
两式相减得,即,故正确；
由圆的性质可知,线段与线段互相平分,
,,故正确,错误.
故选.
11. ABC
[解析]直线恒过定点,当直线与垂直时,点到直线距离最大,等于,圆心坐标为,
所以距离为,
当直线与圆有交点时距离最小为0,
所以点到直线距离的范围为.故选.
12. AD
[解析]由圆，知圆心，半径，
对于,直线平分圆的周长，则直线过圆心，
，解得，故正确；
对于, 直线恒过定点，
点到直线的最大距离为，故错误；
对于,若圆上至少有三个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离，
，解得，故错误；
对于, 四边形的面积，
要使最小，则需最小，此时与直线垂直，则,直线的方程为,联立求得，故正确.
故选.
三、填空题：本题共4小题.
13.
[解析]由题意可得,,由于和共线,
故有,解得或.
当时,为直线的斜率, 过点的直线方程为,即.
14.
[解析]把圆的方程化为标准方程得，
圆心坐标为，半径，
则点到圆心的距离.
由题意，可知点在圆外，
，即，且，
解得，则实数的取值范围是.
15.
[解析]如图,直线的方程可化为,由得,即直线恒过定点.
,分别为,的中点,
,当时,最小,此时,.
16. ;
[解析]根据题意,设点与点关于直线对称,则在反射光线所在直线上.
又由,,则直线的方程为,
则有解得即,
反射光线所在直线的斜率,则其方程为,即.
设点与点关于直线对称,点与关于轴对称,易得.
线段的长度就是光线所经过的路程,
则有解得
即.
又由,
则.
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1） 解设所求直线的方程为,
点在直线上,,,
故所求直线的方程为.
（2） 设所求直线的方程为,
点在直线上,
,解得.
故所求直线的方程为.
18. （1） 解直线的斜率为,所以直线的斜率为,直线的中点为,所以直线的方程为,即.
（2） 由（1）得点关于直线的对称点为点,所以直线与直线的交点即为使最小的点.
由,得直线的方程为,即,
联立解得
所以点的坐标为.
19. （1） 解 直线,
直线恒过定点.
由题意可知直线是其中一条切线,且切点为.
由圆的性质可知,
,,所以直线的方程为,即.
（2） 由题意知.,,
四边形的外接圆是以为直径的圆,的中点坐标为,所以四边形的外接圆为.
20. （1） 解圆,则圆心,半径,
由圆,得,则圆心,半径.
圆与圆外切,,
,解得.
（2） 由（1）得,圆的方程为,则,,
由题意可得圆心到直线的距离,
当直线斜率不存在时,直线方程为,符合题意；
当直线斜率为时,则直线方程为,
化为一般形式为,
则圆心到直线的距离,解得,得直线方程为.
综上,直线的方程为或.
21. （1） 证明因为,轴、轴被圆截得的弦分别为，,
所以经过,且为中点,所以,,所以,所以的面积为定值,定值为4.
（2） 解因为直线与圆交于,两点,,所以的中垂线经过,且过,所以的方程,所以,所以当时,有圆心,半径,所以圆心到直线的距离为,所以直线与圆交于,两点,故成立；
当时,有圆心,半径,所以圆心到直线的距离为,所以直线与圆不相交,故,
综上所述,圆的标准方程为.
22. （1） 解由题设点，又圆心也在直线上，，，
圆.
由题，过点的切线方程的斜率存在,切线方程可设为,即，
则,解得或,
所求切线为或.
（2） 根据圆心在直线上，可设圆的方程为.
设,,
,化简可得,故点在以为圆心、2为半径的圆上.
根据题意，点也在圆上，故圆和圆有交点，,即,
求得,且,解得.
故的取值范围为.第二章测评
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 过点且与直线垂直的直线方程为( )
A. B. C. D.
2. 圆心为且过的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
3. [2023江苏连云港期中]已知圆关于直线对称，则( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
4. 若动点，分别在直线和上移动，则线段的中点到原点的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
5. 已知圆，圆，当时，圆与圆的公切线的条数为( )
A. 0 B. 4 C. 3 D. 2
6. 已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
7. 两圆与有且只有一条公切线,那么的最小值为( )
A. 1 B. C. 5 D.
8. 已知圆与圆相交于,两点,且,则下列结论错误的是( )
A. 是定值 B. 四边形 的面积是定值
C. 的最小值为 D. 的最大值为2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 等腰直角三角形的直角顶点为，若点，则点的坐标可能是( )
A. B. C. D.
10. 已知点，圆上存在点，满足（为坐标原点），则的取值可能是( )
A. 1 B. C. D. 0
11. 已知实数,满足方程,则下列说法正确的是( )
A. 的最大值为
B. 的最大值为
C. 的最大值为
D. 的最大值为8
12. 已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，下列说法正确的为( )
A. 圆 上恰有一个点到直线 的距离为 B. 切线长 的最小值为1
C. 四边形 面积的最小值为2 D. 直线 恒过定点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，点在直线上，若直线平行于直线，则点的坐标为.
14. 圆与圆的公共弦所在直线的方程为，公共弦长为.
15. 过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围是.
16. 已知直线与圆交于，两点，，分别为，的中点，则的最小值为.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10分）已知直线经过点，且斜率为.
（1） 求直线的方程；
（2） 若直线与平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程.
18. （12分）根据下列条件求圆的方程：
（1） 圆心在点，半径；
（2） 以点，为直径.
19. （12分）已知直线恒过定点，过点引圆的两条切线，设切点分别为，.
（1） 求直线的一般式方程；
（2） 求四边形的外接圆的标准方程.
20. （12分）已知圆,圆,且圆上任意一点关于直线的对称点都在圆上.
（1） 求圆的方程；
（2） 证明圆和圆相交，并求两圆公共弦的长度.
21. （12分）已知两个条件：①圆心在直线上，直线与圆相交所得的弦长为4；②圆过圆和圆的公共点.在这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
问题：是否存在唯一的圆过点且，并说明理由.
22. （12分）已知圆,线段的端点的坐标是,端点在圆上运动,且点满足,记点的轨迹为曲线 .
（1） 求曲线 的方程.
（2） 过点且斜率为的直线与曲线 交于,两点,试探究：
① 设为坐标原点,是否存在满足的直线 若存在,求出；若不存在,说明理由.
② 求线段的中点的轨迹方程.
第二章测评
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. C
[解析]设该直线方程为，
由于点在该直线上，
则，
即，
即该直线方程为.
2. C
[解析]由题意，设圆的方程为， 过点,
.
所求圆的方程为.
故选.
3. C
[解析]由于圆关于直线对称，
故圆心在直线上，，.
4. C
[解析]由题意，知点的轨迹为平行于直线，,且到，距离相等的直线，
故其方程为，所以点到原点的距离的最小值为.
5. D
[解析]圆的圆心为，半径为1，
圆的圆心为，半径为，
，半径之和为，半径之差为，
当时，，两圆相交，此时公切线有2条.故选.
6. A
[解析]设动圆圆心的坐标为，半径为，
则由题意可得，，相减可得，
故点的轨迹是以,为焦点的双曲线的左支.
由题意可得，，,
故点的轨迹方程为.
故选.
7. B
[解析]根据题意,圆,其圆心为,半径,
圆,即,其圆心为,半径为2,若两圆有且只有一条公切线,则两圆内切,则有,变形可得,则,
又,,则,当且仅当时，等号成立,故,即的最小值为.
8. C
[解析]圆的圆心,半径,则为边长为的等边三角形.
对于,,正确；
对于,,,易得的边上的高,
,
,
,正确；
对于,由知,
,即,
,
,
,
,当且仅当时，等号成立,的最小值为,错误;
对于,由得,,,
当且仅当时，等号成立,的最大值为2,
正确.故选.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. AC
[解析]设点的坐标为，
根据题意知
则
解得或
10. ABC
[解析]设，
由，得，
整理得.
圆上存在点，满足，
即两圆与有交点，
则，解得.
的取值可能是1，，.故选.
11. BCD
[解析]由,知,
表示圆心为,半径为的圆.
对于,的几何意义为圆上的点与原点距离的平方,其最大值为,故错误；
对于,的几何意义为圆上的点与点距离的平方,其最大值为,故正确；
对于,设，则直线与圆有公共点，所以，解得，
所以的最大值为，故正确；
对于，设，则直线与圆有公共点，
所以，
解得.
所以的最大值为8，故正确.
故选.
12. BD
[解析]对于, 圆，
圆心，半径， 圆心到直线的距离为，而,故错误；
对于，由圆的性质，切线长，当最小时，有最小值，
又，则,故正确;
对于,四边形的面积为,故四边形的面积最小值为1，故错误；
对于,设，
由题意知，在以为直径的圆上，
又，
以为直径的圆的方程为,
即,
又圆,即,故直线的方程为,即,
由解得
即直线恒过定点，故正确.
故选.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
[解析]因为直线平行于直线，
所以设直线的方程为.
又点在直线上，
所以，解得，
所以直线的方程为，
联立两直线方程
解得故点的坐标为.
14. ;
[解析]圆与圆的方程相减得.
由圆的圆心为，半径为2，
且圆心到直线的距离，
得公共弦长为.
15.
[解析]把圆的方程化为标准方程得，
圆心坐标为，半径，
则点到圆心的距离.
由题意可知点在圆外，
，即，且，解得，则实数的取值范围是.
16.
[解析]如图，直线的方程可化为，由得，即直线恒过定点.
，分别为，的中点，
.
当时，最小，
此时,
.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1） 解由直线的点斜式方程，得，整理得所求直线方程为.
（2） 由直线与直线平行，可设直线的方程为，
由点到直线的距离公式得
，
即，解得或，
故所求直线方程为或.
18. （1） 解 圆心在点，半径，
所求圆的方程为.
（2） 要求圆的圆心为的中点，
圆心坐标为，
半径
.
所求圆的方程为.
19. （1） 解 直线，
直线恒过定点.
由题意可知直线是其中一条切线，不妨令切点为.
由圆的性质可知，
,
，
直线的方程为，即.
（2） 由题意知.
，，
四边形的外接圆是以为直径的圆，的中点坐标为
四边形的外接圆的标准方程为.
20. （1） 解圆的圆心，因为圆上任意一点关于直线的对称点都在圆上，
所以直线经过点，可得，解得，则圆的方程为.
（2） 因为圆的圆心,半径,圆的圆心,半径,
所以.
因为,
所以圆和圆相交.
由两式相减可得公共弦所在的直线方程为，
点到该直线的距离为，
所以，解得，则两圆公共弦的长度.
21. 解选择①，不存在唯一的圆.理由如下,
设圆的方程为，
因为圆心在直线上，所以，①
圆心到直线的距离,
则.②
又因为圆过点，
则，③
由①②③解得，，或，，，
所以圆的方程为或.故不存在唯一的圆.
选择②，存在唯一的圆C.理由如下,
易知圆不过点,则可设圆的方程为，
又因为圆过点，则，即.
所以圆的方程为,即.
故存在唯一的圆C.
22. （1） 解设,则,
设,
因为,所以
则,
即曲线 的方程为.
（2） ① 易知直线 的方程为 ,
设 , ,
联立 可得 ,则 ,解得 ,且有 , ,
所以 .
（2） ① 不存在.理由如下，
,解得,与不符,
故不存在这样的直线,使得.
② 的中点坐标为,
则,,
即点的坐标为.
又因为,
所以,
整理可得,即点的轨迹方程为.
