(共28张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标 准 1.掌握平面上两点间的距离公式.
2.掌握点到直线的距离公式.
3.会求两条平行直线间的距离.
4.会运用坐标法证明简单的平面几何问题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 两点间的距离公式
1.已知平面内两点 ， ,那么这两点间的距离为 .
2.特别地,原点 与任一点 间的距离 .
过关自诊
1.两点 , 间的距离公式能否表示为
？为什么？
提示 能，因为 .
2.已知 , , 三点,且 ,则实数 的值为( )
A
A. B. C.1 D.2
[解析] 由题意 ,
解得 .故选A.
知识点2 点到直线的距离
1.点 ,直线 ，点 到直线 的距离，就是从点 到直
线 的__________的长度，其中 是垂足.
2.公式:点 到直线 ， 不同时为0 的距离
_ __________.
名师点睛
1.运用公式前首先应把直线方程化为一般式.
2.注意公式特征，分子绝对值符号里面是把坐标 代入直线方程的左边得到
的.当 或 时，上述公式仍然成立.
垂线段
过关自诊
1.点 到 轴， 轴，直线 , 的距离分别是什么？
提示 到 轴的距离 ，到 轴的距离 ，到 的距离 ，
到 的距离
2.已知点 到直线 的距离为1,则 的值为( )
D
A. 或 B. 或15 C.5或 D.5或15
[解析] 点 到直线 的距离为1, ,
解得 或 .
3.[人教B版教材习题] 如果点 到直线 的距离为0,写出 , 满足的
关系式.
解
知识点3 两条平行直线间的距离
1.概念:两条平行直线间的距离是夹在两条平行直线间的__________的长.
2.求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离.
3.公式:两条平行直线 与 之间的距离
公垂线段
过关自诊
1.直线 上有 , , 三点,直线 与
直线 平行,那么点 , , 到直线 的距离分别为多少？有什么规律吗？
提示 点 , , 到直线 的距离分别为 , , .规律是当两直线平行时,一条直线
上任一点到另一条直线的距离都相等.
2.[2023上海长宁期末] 两条平行直线 和 的距离为___.
2
[解析] 两条平行直线 和 的距离为 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 两点间距离公式的应用
【例1】 如图,已知 三个顶点的坐标分别为 ,
, ,试判断 的形状.
思路分析可求出三条边的长,根据所求长度判断三角形的形状.
解 （方法1） ,
,
,
,且 .
是等腰直角三角形.
（方法2） , ,
.
又 ,
,
.
是等腰直角三角形.
规律方法 两点间距离公式的应用
两点间的距离公式是解 析几何的重要公式之一,它主要解 决线段的长度问题,体现了
数形结合思想的应用.
变式训练1 已知点 , ,在 轴上找一点 ,使 ,并求 的值.
解 设点 ，
则有 ,
.
由 ,得 ,
解 得 .即所求点 为 ,
且 .
探究点二 坐标法及其应用
【例2】 ［北师大版教材习题］用坐标法证明 :
（1）在直角三角形中,斜边中点到三个顶点的距离相等;
（1）
证明 以 的直角顶点 为原点, , 所在直线为 轴、
轴,建立平面直角坐标系,如图（1）.
设 , ,则斜边中点 ,
则 ,
,
,
所以 .
所以在直角三角形中,斜边中点到三个顶点的距离相等.
（2）若三角形一边上的中点到三个顶点的距离相等,则该边所对的角是直角.
（2）
以 的顶点 为原点, 所在直线为 轴,建立平面直角坐标系
如图（2）.
设 , , ,则 的中点 ,由
,
得 ,
所以 .
因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以若三角形一边上的中点到三个
顶点的距离相等,则该边所对的角为直角.
规律方法 坐标法及其应用
（1）坐标法解 决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.坐标系建立
的是否合适,会直接影响问题能否方便解 决.建系的原则主要有两点:
①让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算.
②如果条件中有互相垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,
可考虑将中心作为原点;如果有轴对称性,可考虑将对称轴作为坐标轴.
（2）利用坐标法解 平面几何问题常见的步骤:
①建立坐标系,尽可能将有关元素放在坐标轴上；
②用坐标表示有关的量；
③将几何关系转化为坐标运算；
④把代数运算结果“翻译”成几何关系.
变式训练2 已知正三角形 的边长为 ,在平面 上求一点 ,使
最小,并求此最小值.
解 以 所在直线为 轴,以线段 的中点为原点,建立直角坐标系,如图所示.
正三角形 的边长为 ,
, , .
设 ,由两点间的距离公式,得 ,
当且仅当 , 时,等号成立.故所求最小值为 ,此时点 的坐标为 .
探究点三 求点到直线的距离
【例3】（1） 点 到直线 的距离为_ ____.
（2）点 到直线 的距离为_ _.
（3）已知坐标平面内两点 和 到直线 的距离相等,则实
数 的值为_ _______.
或
[解析] 由 ,
得 ,
或 .
变式探究 已知点 到直线 的距离为1,则 的值为_______
___.
[解析] 由点到直线的距离公式可知 ,解 得 .
, .
规律方法 点到直线的距离的求解 方法
（1）求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公
式即可.
（2）若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数
的方程即可.
探究点四 两平行线间的距离
【例4】 ［北师大版教材例题］求下列各对平行直线间的距离:
（1） , ;
解 根据两条平行直线间的距离公式,得 ,即 与 间的距离为 .
（2） , ;
将所给直线方程化为一般式,得 , .
根据两条平行直线间的距离公式,得 ,
即 与 间的距离为 .
（3） , .
将直线 的方程化简,得 ,根据两条平行直线间的距离公式,得
,即 与 间的距离为 .
变式训练3 已知直线 与 平行,且 与 的距离是 ,求直线 的方程.
解 （方法1） ,
可设 的方程为 .
在直线 上取一个点,如 ,则点 到直线 的距离等于 ,从而 ,
.
或 .
的方程为 或 .
（方法2） ,
可设 的方程为 .
与 的距离为 , .
或 .
从而 的方程为 或 .
本节要点归纳(共23张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程 标准 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.
2.理解 直线的倾斜角、直线的斜率的概念.
3.掌握倾斜角与斜率之间的关系.
4.掌握过两点的直线斜率的计算公式.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 直线的倾斜角
定义 规定
记法 图示 取值范围 作用 （1）表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度；（2）确定平面直角坐标系中 一条直线位置的几何要素:直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可 正向
向上的方向
名师点睛
倾斜角还可以这样定义:在平面直角坐标系中，对于一条与 轴相交的直线,把 轴
所在的直线绕着交点按递时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直
线的倾斜角.并规定:与 轴平行或重合的直线的倾斜角为 .
过关自诊
1.倾斜角相等的直线的倾斜程度是否相同
提示 倾斜角相等的直线的倾斜程度相同.
2.［人教B版教材习题］分别写出下列直线的倾斜角:
（1）垂直于 轴的直线;
解 ；
（2）垂直于 轴的直线;
；
（3）第一、三象限的角平分线;
；
（4）第二、四象限的角平分线.
；
知识点2 直线的斜率
1.定义与表示
直线斜率不存在
记法 范围 _ __ 作用 正切值
2.斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角 _ _______
斜率 ___ 不存在 _ _____
斜率变 化规律 定值 不存在
0
过关自诊
1.为什么倾斜角为 时，直线没有斜率
提示 当 时， 不存在，由斜率的定义，可知此时直线斜率不存在.
2.直线的倾斜角越大，斜率就越大吗？
提示 不是，如 ,但斜率分别为 和 ，而 .应分区间说明，当 和 时，上述结论在这两个区间上分别成立.
3.［人教B版教材习题］根据下列直线的倾斜角 ,判断直线的斜率是否存在,如果存在,
求出斜率的值:
（1） ;
解 存在, .
（2） ;
存在, .
（3） ;
不存在.
（4） .
存在, .
知识点3 直线的斜率公式
如果直线经过两点 , ，则直线的斜率公式为 .
名师点睛
1.运用公式的前提是 ,即直线不与 轴垂直.
2.斜率公式与点 , 在直线上的位置无关，在直线上任取两点，得到的斜率是相
同的.
3.需注意公式中横、纵坐标之差的顺序,也可以写成 ,即下标的顺序一致.
过关自诊
1.利用过两点的直线的斜率公式能求任意一条直线的斜率吗？为什么？
提示 不能，当直线与 轴垂直时， 无意义.
2.［北师大版教材习题］根据图中提供的信息,按从大到小的
顺序排列图中各条直线 的斜率 ,并写出各
条直线的斜率.
解 ;
, , , , .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 直线的倾斜角
【例1】 （多选题）一条直线 与 轴相交,其向上的方向与 轴正方向所成的角为
,则其倾斜角可以为( )
BC
A. B. C. D.
[解析] 如图所示,当直线 向上的部分在 轴左侧时,倾斜角为 ；当直线 向上
的部分在 轴右侧时,倾斜角为 .
规律方法 求直线倾斜角的方法及关注点
（1）定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角.
（2）关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及
其有关推论.
变式训练1 设直线 过坐标原点，它的倾斜角为 ，如果将直线 绕坐标原点按逆时
针方向旋转 ，得到直线 ，那么直线 的倾斜角为( )
D
A. B.
C. D. 或
[解析] 根据题意，画出图形，如图所示：
由条件可知 ，通过画图（如
图所示）可知：当 时，直线
的倾斜角为 ；当
时，直线 的倾斜角为
.故选D.
探究点二 直线的斜率
【例2】 已知直线 过点 ， .
（1）当 为何值时，直线 的斜率是1
解 ，解 得 .
（2）当 为何值时，直线 的倾斜角为 ？
直线 的倾斜角为 ，即直线 平行于 轴，所以 ，得 .
思路分析 用直线的斜率公式求直线的斜率.
变式探究1 本例条件不变，试求直线 的倾斜角为锐角时,实数 的取值范围.
解 由题意知 ,
解 得 .
故实数 的取值范围为 .
变式探究2 若将本例中的“ ”改为“ ”，其他条件不变，结果如何？
解 （1）由题意知 ，解 得 .
（2）由题意知 ，解 得 .
规律方法 直线斜率的计算方法
___________________________________________________________________________________________________
探究点三 倾斜角和斜率的应用
【例3】 若经过点 和点 的直线的倾斜角为钝角,则实数 的取值
范围是_ ______.
[解析] 由题意知, .
因为直线的倾斜角为钝角,所以 ,
解 得 .
故实数 的取值范围是 .
规律方法 倾斜角和斜率的应用
（1）倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度,二者相互联系.
（2）涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解 .
变式训练2 已知 , , .
（1）求直线 和 的斜率；
解 由斜率公式可得直线 的斜率 ,直线 的斜率 ,
故直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 .
（2）若点 在线段 （包括端点）上移动时,求直线 的斜率的变化范围.
如图所示,当点 由 运动到 时,直线 的斜率由 增大到
,所以直线 的斜率的变化范围是 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）直线的倾斜角及其取值范围；
（2）直线斜率的定义和斜率公式.
2.方法归纳:数形结合思想.
3.常见误区:（1）容易忽视倾斜角取值范围,图形理解不清；（2）对于倾斜角的变化如何
反映斜率的变化理解 不到位；（3）容易忽视斜率公式的使用条件.(共26张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标 准 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解 决一些简单的数学问题与实际问题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点 直线与圆的位置关系的判断方法
直线 （ , 不同时为0）与圆 的
位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点 ____个 一个 零个
判定方法
两
名师点睛
利用直线和圆的方程，通过定量计算研究直线与圆的位置关系.
过关自诊
1.利用几何法、代数法都可以判断直线与圆的位置关系，哪种方法简单？
提示 一般几何法较为简单.
2.[2023江苏南通期末] 已知圆 与 轴相切,则 ( )
C
A. B. C.2 D.3
[解析] 由圆 的方程可得圆心的坐标为 ,再由圆与 轴相切,可得半径 .故选C.
3.［北师大版教材习题］已知直线 ,圆 ,求实数 分别为
何值时,直线 与圆 相交、相切、相离.
解 圆心 ,半径 , 的方程化为 .
圆心到直线的距离 .
当 ,即 , 时,直线 与圆 相交;当 ,即 ,
或 时,直线 与圆 相切;当 ,即 , 或 时,直线
与圆 相离.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 判断直线与圆的位置关系
【例1】 已知直线方程 ,圆的方程 .当
满足什么条件时,直线与圆:
（1）有两个公共点？
（2）只有一个公共点？
（3）没有公共点？
解 （方法1）将直线 代入圆的方程,化简\,整理,得
, 当 ,
即 或 时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;
当 ,即 或 时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;
当 ,即 时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点.
（方法2）已知圆的方程可化为 ,即圆心为 ,半径 .圆
心 到直线 的距离 .
当 ,即 或 时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;
当 ,即 或 时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;
当 ,即 时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点.
规律方法 直线与圆的位置关系的判定有两种方法
__________________________________________________________________________________________
探究点二直线与圆相切
【例2】 过点 作圆 的切线,求此切线的方程.
解 因为 ,所以点 在圆外.
（1）若所求切线的斜率存在,设切线斜率为 ,
则切线方程为 .
因为圆心 到切线的距离等于半径,半径为1,
所以 ,即 ,
所以 ,解 得 .所以切线方程为 ,
即 .
（2）若直线斜率不存在,圆心 到直线 的距离也为1,这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是 .综上,所求切线方程为 或 .
解 容易判断点 在圆外.易知切线斜率存在,设切线的方程为 ,即
.又圆的圆心为 ,半径为2,所以 ,解 得 ,所以所
求切线方程为 .
变式训练1 过点 作圆 的切线,求此切线方程.
探究点三 直线与圆相交
【例3】（1） 过圆 内的点 作直线 交圆于 , 两点.若直线 的
倾斜角为 ,则弦 的长为_ ____.
[解析] 由题意知直线 的方程为 ,即 ,
圆心 到直线 的距离为 ,
则有 .
（2）圆心为 ,截直线 的弦长为 的圆的方程为________________
____________.
[解析] 设圆的半径为 ,由条件得圆心到直线 的距离为 .
又直线 被圆截得的弦长为 ,
即半弦长为 , ,得 ,
所求圆的方程为 .
规律方法 1.求圆的弦长的两个方法
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2.与弦长相关的问题
利用弦长、弦心距、半径的关系构造方程或方程组,解 出其中的未知量.
变式训练2 ［人教B版教材习题］已知直线 与圆
交于 , 两点.
（1）求线段 的垂直平分线的方程;
解 由题意,线段 的垂直平分线经过圆的圆心 ,斜率为 , 线段 的垂直平分线的方程为 ,即 .
（2）若 ,求 的值.
圆 可化为 , , 圆心到直线 的距离为 .
又圆心到直线 的距离 ,
,
.
探究点 四直线与圆的方程的实际应用
【例4】 如图,一个湖的边界是圆心为 的圆,湖的一侧有一条直
线型公路 ,湖上有桥 （ 是圆 的直径）.规划在公路 上
选两个点 , ,并修建两段直线型道路 ， ,规划要求:线段
， 上所有点到点 的距离均不小于圆 的半径.已知点 ,
到直线 的距离分别为 和 （ , 为垂足）,测得 , ,
（单位:千米）.
（1）若道路 与桥 垂直,求道路 的长；
解 过点 作 ,垂足为 ,如图.
由已知条件得,四边形 为矩形, , .
因为 ,所以 .
所以 .
因此道路 的长为1.5千米.
（2）在规划要求下, 和 中能否有一个点选在 处？并说明理由.
①若 在 处,由（1）可得 在圆上,则线段 上的点（除 , ）到点 的距离均小
于圆 的半径,所以 选在 处不满足规划要求.
②若 在 处,连接 ,如图,由（1）知 ,
从而 ,所以 为锐角.
所以线段 上存在点到点 的距离小于圆 的半径.因此, 选在 处也不满足规划要求.
综上, 和 均不能选在 处.
规律方法 解 决直线与圆的方程的应用题的步骤
（1）审题：从题目中抽象出几何模型,明确已知和未知.
（2）建系：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示几何模型中的基本元素.
（3）求解：利用直线与圆的有关知识求出未知.
（4）还原：将运算结果还原到实际问题中去.
变式训练3 如图是某主题公园的部分景观平面示意图,圆形池塘以
为圆心,以 为半径, 为公园入口,道路 为东西方向,道
路 经过点 且向正北方向延伸, , ,现计
划从 处起修一条新路与道路 相连,且新路在池塘的外围,假设
路宽忽略不计,则新路的最小长度为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 以 为坐标原点建立平面直角坐标系（图略）,设修建的新路所在直线方程为
,则当该直线与圆 相切时,小路长度最小,此时
,解得 ,此时求得小路长度为 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）直线与圆的三种位置关系；
（2）弦长公式；
（3）圆的切线方程；
（4）直线与圆的方程的应用.
2.方法归纳:几何法、代数法、坐标法、弦长公式法、数学建模.
3.常见误区:
（1）求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况；（2）不能正确进行数学建模.(共17张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标准 1.掌握直线的两点式方程和截距式方程.
2.会选择适当的方程形式求直线方程.
3.能用直线的两点式方程与截距式方程解答有关问题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 直线的两点式方程
名称 几何要素 示意图 方程 使用范围
两点式 方程 _ _____________ 斜率存在 且不为
0
名师点睛
1.当过两点 , 的直线斜率不存在 或斜率为 时，不能
用两点式方程表示.
2.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即 , 是同一个点的坐
标， , 是另一个点的坐标.
3.对于两点式中的两个点，只要是直线上的两个点即可；另外，两点式方程与这两个
点的顺序无关，如直线过点 , ，由两点式可得 ,也可以写成
.
过关自诊
1.把由直线上已知的两点坐标得到的直线方程化为整式形式
,对两点的坐标还有限制条件吗？
提示 这个方程对两点的坐标没有限制，即它可以表示过任意两点的直线方程.
2.[2023山东聊城期末] 过点 和点 的直线在 轴上的截距为( )
C
A.3 B.1 C. D.
[解析] 由题意可得过点 和点 的直线方程为 ,即 ,
令 ,则 ,即过点 和点 的直线在 轴上的截距为 .故选C.
知识点2 直线的截距式方程
名称 几何要素 示意图 方程 使用范围
截距式方程 _ ________ _ ___________
名师点睛
直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况，由直线的截距式方程可以直接读
出直线在 轴和 轴上的截距，所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面
积和周长问题时非常方便.
,
过关自诊
1.什么样的直线的方程不能用截距式表示？
提示 与坐标轴平行或重合及过原点的直线.
2.［北师大版教材习题］回答下列问题:
（1）任意一条直线的方程都可以用直线的截距式表示吗
解 不一定,过原点的直线和与两坐标轴平行的直线不能用截距式.
（2）经过点 ,且在 轴和 轴上的截距相等的直线有几条 请写出这些直线的方程.
有两条.
当截距相等且为0时,直线的方程为 ,即 ;
当截距相等且不为0时,设为 ,则直线方程为 ,将点 的坐标代入得 ,所以直线的方程为 ,即 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 直线的两点式方程
【例1】 已知三角形的三个顶点 , , ,求:
（1） 边所在的直线方程;
解 直线 过点 , ,由两点式方程得 ,化简得
.
（2） 边上中线所在的直线方程.
由中点坐标公式,得 的中点 的坐标为 , ,即 .
又直线 过点 ,由两点式方程得 ,化简得 .
思路分析已知直线上两个点的坐标,可以利用两点式写出直线的方程.
变式探究 例1已知条件不变,求:
（1） 边所在的直线方程;
解 由两点式方程,得 ,化简得 .
（2） 边上中线所在的直线方程.
由中点坐标公式得 边的中点 , ,中线 所在直线的方程为 ,化
简得 .
探究点二 直线的截距式方程
【例2】 直线 过点 ，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线 的方程.
解 因为直线 过点 且直线在两坐标轴上的截距之和为12，因此直线 在两坐标
轴上的截距都存在且不过原点，故可设为截距式直线方程.
设直线 的方程为 ，则 .①
又直线 过点 ，所以 .②
由①②解得 或
故所求的直线方程为 或 ，
即 或 .
变式探究 将例2中的条件“在两坐标轴上的截距之和为12”改为“在两坐标轴上的截距的
绝对值相等”，求直线 的方程.
解 设直线 在 轴、 轴上的截距分别为 ， .
（1）当 ， 时，设 的方程为 ，
因为点 在直线上，所以 .
若 ，则 ，直线方程为 ；
若 ，则 ， ，直线方程为 .
（2）当 时，直线过原点，且过 ，所以直线方程为 .
综上所述，所求直线方程为 或 或 .
规律方法 直线的截距式方程在解 题中的应用
在解 决直线与坐标轴围成的三角形面积,周长的问题中,常设直线的截距式方程.
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）直线的两点式方程;
（2）直线的截距式方程.
2.方法归纳:分类讨论法、数形结合法.
3.常见误区:
（1）容易疏忽两点式和截距式方程的使用条件；（2）利用截距式求直线方程时忽略过原点
的情况导致漏解.(共19张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标准 1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解 直线的一般式方程与二元一次方程的关系.
2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化.
3.能运用直线的一般式方程解 决有关问题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 直线的一般式方程
定义：关于 , 的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于 , 的二元一次方程 （其中 ， 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.
名师点睛
1.解题时，如无特殊说明，应把最终结果化为一般式.
2.直线的一般式方程与其他形式的互化.
过关自诊
1.方程 是二元一次方程吗
提示 是，是 为0的二元一次方程.
2.直线与二元一次方程的关系是什么
提示 二元一次方程都表示直线.
3.［北师大版教材习题］求经过点 ,且倾斜角为 的直线的方程,并化成一般式.
解 直线的斜率 ,直线的方程为 ,化成一般式为
.
4.［人教B版教材例题］已知直线 的一般式方程为 ,求直线 的斜率以
及在 轴和 轴上的截距.
解 直线 的一般式方程可以化为 ,所以直线 的斜率为 ,在 轴上的截距为2.在方程中令 可得 ,因此 在 轴上的截距为 .
知识点2 两条直线的位置关系
方程形式 斜截式
方程
相交
垂直
平行
重合
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ，错误的画 ）
（1）直线 的方程为 ，则直线 的斜率 .( )
×
（2）直线 的方程为 ,则直线在 轴、 轴上的截距分
别为 , .( )
×
2.过点 且垂直于直线 的直线方程为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 过点 且垂直于直线 的直线的斜率为 ,由点斜式求得直
线的方程为 ,化简可得 ,故选A.
3.已知直线 与 平行,则实数 的值为
( )
D
A. 或2 B.0或2 C.2 D.
[解析] 由 知, ,即 , 或 .
当 时, 与 重合,不符合题意,舍去；
当 时, .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 直线的一般式方程
【例1】 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.
（1）斜率是 ,且经过点 ;
解 由点斜式方程可知,所求直线方程为 ,化为一般式方程为
.
（2）斜率为4,在 轴上的截距为 ;
由斜截式方程可知,所求直线方程为 ,
化为一般式方程为 .
（3）经过 , 两点;
由两点式方程可知,
所求直线方程为 ,
化为一般式方程为 .
（4）在 轴 、 轴上的截距分别是 , .
由截距式方程可得,所求直线方程为 ,化为一般式方程为 .
思路分析先选择合适的形式将直线方程写出来,再化为一般式.
变式训练 [2023浙江杭州模拟] 数学家欧拉提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次
位于同一直线上,这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知 的顶点 ,
, ,则其欧拉线的一般式方程为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题意,可得 为直角三角形,且 为斜边,所以其欧拉线方程为斜边上的
中线,设线段 的中点为 ,由 , ,所以 .由 ,
所以 的方程为 ,所以欧拉线的一般式方程为 .故选C.
探究点二 由一般式方程判断两直线平行或垂直
【例2】（1） 已知直线 与直线 平行,求
实数 的值.
解 由 ,得 或 .
当 时, , ,显然 与 不重合, .
同理，当 时, , , 与 不重合, ,故
的值为2或 .
（2）已知直线 与直线
垂直，求实数 的值.
由直线 ,得 ,解 得 .
故当 或 时,直线 .
思路分析 利用在一般式方程下,两直线平行或垂直的条件求解 .
变式探究 已知点 和直线 .求：
（1）过点 和直线 平行的直线方程；
解 将与直线 平行的直线方程设为 ,又过点 ,所以
,所以 .
所求直线方程为 .
（2）过点 和直线 垂直的直线方程.
将与 垂直的直线方程设为
,
又过点 ,所以 ,所以 ,
所以直线方程为 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）直线的一般式方程;
（2）直线五种形式方程的互化;
（3）利用直线方程判定直线的平行与垂直位置关系.
2.方法归纳:分类讨论法、转化化归.
3.常见误区:
（1）容易忽视直线斜率不存在的情况；（2）容易忽视两直线重合的情况；（3）容易对
于直线的一般式方程形式化简不彻底.(共24张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标准 1.掌握直线的点斜式方程和斜截式方程,并会用它们求直线的方程.
2.了解直线的斜截式方程与一次函数的关系.
3.会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 直线的点斜式方程
名称 几何要素 示意图 方程 使用范围
点斜式方程 _ _________________ 斜率存在 的直线
名师点睛
1.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以.
2.当直线与 轴平行或重合时,方程可简写为 .特别地, 轴的方程是 ；
当直线与 轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成 .特别地,
轴的方程是 .
过关自诊
1.方程 与 一样吗？
提示 不一样.后者表示过点 且斜率为 的一条直线，前者是这条直线上挖去了
一个点 .
2.[2023湖北武汉检测] 已知直线 过点 ,且倾斜角为 ,则直线 的方程为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为直线 的倾斜角为 ,所以该直线斜率不存在,与 轴垂直.又因为直线
过点 ,所以直线 的方程为 .故选D.
3.［北师大版教材习题］写出下列直线的方程,并在同一平面直角坐标系中画出这些直
线,通过观察,指出方程 表示的直线具有的与 取值无关的特征:
（1）经过点 ,斜率为1;
解 ,即 .
（2）经过点 ,斜率为 ;
,即 .
（3）经过点 ,斜率为0.
,即 .
在同一平面直角坐标系中画出这些直线如图.
方程 表示的直线都过定点 .
知识点2 直线的斜截式方程
名称 几何要素 示意图 方程 使用范围
斜截式方程 _ __________ 斜率存在 的直线
名师点睛
1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.
2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和
0.当直线过原点时，它在 轴上的截距和在 轴上的截距都为0.
3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在 轴上的截距，如直线
的斜率 ,在 轴上的截距为 .
过关自诊
1.一次函数的解 析式 与直线的斜截式方程 有什么不同
提示 一次函数的 的系数 ,否则就不是一次函数了；直线的斜截式方程
中的 可以为0.
2.［人教B版教材习题］根据下列条件求直线的斜截式方程：
（1）斜率是 ,截距是 ;
解 .
（2）倾斜角是 ,截距是3.
.
知识点3 根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直
对于直线 , ,
,且 ;
.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ，错误的画 ）
（1）斜率不相等的直线一定不平行.( )
√
（2）斜率相等,截距相等的两直线平行.( )
×
（3）互相垂直的直线截距一定不相等.( )
×
2.与直线 垂直,且在 轴上的截距为4的直线的斜截式方程为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由题意可设所求直线方程为 ,又由 ,得 , 所求直线
方程为 .
3.将直线 绕原点逆时针旋转 ,再向右平移1个单位长度,所得到的直线为
( )
A
A. B. C. D.
[解析] 将直线 绕原点逆时针旋转 ,得到直线 ,再向右平移1个单位
长度,所得到的直线为 ,即 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 直线的点斜式方程
【例1】 ［北师大版教材例题］求出经过点 且满足下列条件的直线的方程,并
画出直线:
（1）倾斜角为 ;
图①
（2）与 轴垂直;
（3）与 轴平行.
思路分析先求出直线的斜率,然后由点斜式写出方程.
图①
解 （1）因为直线的倾斜角为 ,所以该直线的斜率为 .
因为直线经过点 且斜率为 ,所以该直线方程的点斜式为
,化简,得 ,如图①.
（2）因为直线经过点 且与 轴垂直,所以该直线的方程为 ,如图②.
图②
（3）因为直线经过点 且与 轴平行,即斜率 ,所以该直线的方程为 ,
如图③.
图③
变式训练1 直线 的倾斜角为 ,直线 经过点 .求满足下列条件的直线
的方程:
（1）直线 ；
解 由已知直线 的斜率 .
因为 ,所以直线 的斜率 .
又直线 经过点 ,
代入点斜式方程得 ,
即 .
（2）直线 .
由已知直线 的斜率 .
因为 ,所以直线 的斜率 .
又直线 经过点 ,代入点斜式方程得 ,即 .
探究点二 直线的斜截式方程
【例2】 求满足下列条件的直线方程:
（1）经过点 ,且与直线 垂直；
（2）与直线 平行,与直线 在 轴上的截距相同.
思路分析 写出直线的斜率及在 轴上的截距,用斜截式写出直线方程.
（2）直线 的斜率为 ,直线 在 轴上的截距为 .
由题意知,所求直线的斜率为 ,在 轴上的截距也为 .由直线方程的斜截式,得
.
解 （1）因为直线 的斜率为3,且所求直线与该直线垂直,所以所求直线斜率为 .
又直线过点 ,由直线方程的斜截式,得 .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
规律方法 求直线的斜截式方程的三种策略
变式训练2 已知斜率为 的直线 与两坐标轴围成的三角形面积为6,求直线 的方程.
解 设直线 ,令 ,得 ；令 ,得 .
由题意,得 ,
, .
故直线 的方程为 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）直线的点斜式方程；
（2）直线的斜截式方程.
2.方法归纳:待定系数法、数形结合思想.
3.常见误区:（1）求直线方程时忽视斜率不存在的情况；（2）混淆截距与距离.(共21张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标准 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点 两条直线的交点
1.已知两条直线 , 相交,设这两条直线的交
点为 ,则点 既在直线 上,也在直线 上.所以点 的坐标既满足直线 的方程
,也满足直线 的方程 ，即点 的坐标是方程
组 的解.
2.
一组 无数组 无解
1 无数 0
______ ______ ______
相交
重合
平行
名师点睛
如果两条直线相交,则交点坐标分别适合两条直线的方程,即交点坐标是两条直线的方程所组成的方程组的解.
过关自诊
1.观察下面的图象,发现直线都经过点 ,怎么表示出经
过 点的直线方程？
提示 当斜率存在时, ；当斜率不
存在时, .
2.一次函数 与 的图象交点组成的集合是( )
C
A. B. , C. D.
[解析] 联立 与 ,解 得 , ,故一次函数 与
的图象交点组成的集合是 ,故选C.
3.［人教B版教材习题］判断下列各对直线是否相交,如果相交,求出交点坐标:
（1） , ;
解 不相交;
（2） , .
相交,交点为 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 求相交直线的交点坐标
【例1】（1） 求经过点 且经过直线 与
的交点的直线方程；
解 联立 解得
所以直线 与 的交点为 .
由两点式方程可得所求直线的方程为 ,即 .
（2）求经过两条直线 和 的交点且与直线
垂直的直线方程.
由方程组 得
因为所求直线和直线 垂直,所以所求直线的斜率 ,所以有
,即所求的直线方程为 .
规律方法 求两相交直线的交点坐标,关键是解方程组,解 二元一次方程组的常用方法有代入
消元法和加减消元法.
________________________________________________________________________________________________
变式训练1 [北师大版教材习题］若直线 与直线 的交点在直
线 上,求实数 的值.
解 由 得
因为点 在直线 上,所以 ,所以 .
探究点二 过两直线交点的直线系方程
【例2】（1） 求经过点 和两直线 , 交点的
直线方程.
解 设所求直线方程为 .
点 在直线上, . 所求方程为 ,即 .
（2）无论实数 取何值,方程 表示的直线恒过定点,试求该定点.
由 ,得
所以,已知直线恒过直线 与直线 的交点.
解 方程组 得
所以方程 表示的直线恒过定点 .
变式训练2 已知直线 经过原点,且经过另两条直线 , 的
交点,则直线 的方程为( )
B
A. B. C. D.
[解析] （方法1）解 方程组 得交点为 .又直线 经过原点,
由两点式得其方程为 ,即 .
（方法2）设直线 的方程为 ,因其过原点,所以
, ,直线 的方程为
探究点三 对称问题
【例3】 光线通过点 在直线 上反射,反射光线经过点 ,试
求入射光线和反射光线所在直线的方程.
解 设点 关于直线 的对称点为 ,则 解得
.
由于反射光线经过点 和 ,
所以反射光线所在直线的方程为 ,
即 .
解方程组
得反射点 .
所以入射光线所在直线的方程为 ,
即 .
是角 平分线所在直线的方程, 在直线 上,
直线 的方程为 ,即 ,由
解得 .
变式训练3 直线 是 的一个内角平分线所在的直线,若 ， 两点的坐标
分别为 , ,求点 的坐标.
解 把 ， 两点坐标代入 知, ， 不在直线 上,因此 为角
的平分线,设点 关于 的对称点为 ,则直线 的斜率
, 线段 的中点坐标为 ,
则 解得 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）两条直线的交点;
（2）直线系过定点问题.
2.方法归纳:消元法、直线系法.
3.常见误区:（1）对两直线相交条件理解不清；（2）容易混淆直线交点与对应方程组解的
关系.(共21张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标 准 1.会用定义推导圆的标准方程,并掌握圆的标准方程的特征.
2.能根据所给条件求圆的标准方程.
3.掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 圆的标准方程
名师点睛
1.当圆心在原点时，圆的标准方程为 .
2.当圆心在原点，半径 时，圆的标准方程为 ，这样的圆称为单位圆.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ，错误的画 ）
（1） 一定是圆的方程.( )
×
（2）函数 的图象是以 为圆心,半径为 的位于直
线 下方的半圆.( )
√
2.［人教B版教材习题］分别写出满足下列条件的圆的标准方程:
（1）圆心为坐标原点,半径为2;
解 .
（2）圆心为点 ,半径为2;
.
（3）圆心为点 ,半径为 .
.
知识点2 点与圆的位置关系
圆 ,其圆心为 ,半径为 ,点 ,设
.
位置关系 图示
点在圆外
点在圆上
点在圆内
续表
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ，错误的画 ）
（1）点 在圆 上.( )
×
（2）点 一定在圆 内部.( )
√
2.点 与圆 的位置关系是( )
B
A.点 在圆外 B.点 在圆内 C.点 在圆上 D.不确定
3.若点 在圆 上,则实数 ____.
[解析] 点 在圆 上,
,
.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 求圆的标准方程
【例1】 ［北师大版教材例题］求经过 , 两点,且圆心 在直线
上的圆的标准方程.
解 （方法1）设该圆的标准方程为 .
由圆经过 , 两点且圆心 在直线 上,可得方程组
,得 ,④
化简、整理,得 .⑤
联立③⑤解得
代入①,得 .
故所求圆的标准方程为 （如图1）.
图1
（方法2）如图2,连接 ,作 的垂直平分线交 于点 ,则圆心 是线段 的垂直
平分线与直线 的交点.线段 的垂直平分线的方程为 .
图2
联立线段 的垂直平分线方程和直线 的方程得方程组
解得 即圆心 的坐标为 .
又该圆经过点 ,则 ,
故所求圆的方程为 .
变式训练1 已知圆过点 , ，求：
（1）周长最小的圆的方程；
解 当 为直径时，过点 ， 的圆的半径最小，从而周长最小，即 中点 为圆心，半径 .
则圆的方程为 .
（2）圆心在直线 上的圆的方程.
（方法1）直线 的斜率为 ，则 的垂直平分线的方程是 ,即
.
由 得
即圆心坐标是 ，
.
故圆的方程是 .
（方法2）设圆的方程为 ,
则
故圆的方程为 .
探究点二 点与圆的位置关系
【例2】（1） 点 与圆 的位置关系是( )
B
A.点 在圆内 B.点 在圆外 C.点 在圆上 D.不确定
[解析] 因为 ,所以点 在圆外.
（2）已知点 在圆 的内部,则 的取值范围是_ _____.
[解析] 由题意知
解得 .
变式训练2 若点 在圆 的内部,则 满足的条件是( )
B
A. 或 B. C. D.
[解析] 由题意可知 ,化简得 ,故 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）圆的标准方程；
（2）点和圆的位置关系.
2.方法归纳:直接法、几何法、代数法、待定系数法.
3.常见误区:几何法求圆的方程容易出现漏解情况.(共27张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标 准 1.理解圆的一般方程及其特点.
2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化.
3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 圆的一般方程
当 时,方程 表示以 为圆心,
为半径的圆,这个方程叫做圆的一般方程.
名师点睛
1.对于方程 ,当 时,方程表示一个点
, ；当 时,方程不表示任何图形.
2.几个常见圆的一般方程
（1）过原点的圆的方程： （ ， 不全为0）；
（2）圆心在 轴上的圆的方程： ；
（3）圆心在 轴上的圆的方程： ；
（4）圆心在 轴上且过原点的圆的方程： ；
（5）圆心在 轴上且过原点的圆的方程： .
过关自诊
1.二元二次方程 表示圆需要满足哪些条件？
提示 （1） ,且均不为0；
（2） ；（3） .
2.［北师大版教材习题改编］根据下列条件,求圆的一般方程:
（1）圆经过 , 两点,且圆心在直线 上;
解 设圆心 ,则由 ,得 ,
所以 .
又圆心 在直线 上,所以 .
所以 , ,
所以半径 ,
所以圆的方程为 .
化为一般方程为 .
（2）圆经过 , , 三点.
设圆的方程为 ,由圆经过 点,得 .
把 , 两点坐标代入上述方程,得 所以
所以圆的一般方程为 .
知识点2 由圆的一般方程判断点与圆的位置关系及与圆有关的轨迹问题
1.已知点 和圆的方程 .
点 在圆外 ;
点 在圆上 ；
点 在圆内 .
2.点 的坐标 满足的关系式称为点 的轨迹方程.求符合某种条件的动点
的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标化”将其转化为关于 ，
之间的方程.
过关自诊
轨迹和轨迹方程有什么区别？
提示 轨迹是指点在运动变化中形成的图形,比如直线、圆等.轨迹方程是点的坐标满足的关系式.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 圆的一般方程初步理解
【例1】 若方程 表示圆，求：
（1）实数 的取值范围；
解 根据题意知 ，
即 ，解 得 ，
故 的取值范围为 ， .
（2）圆心坐标和半径.
将方程 化成标准方程为
，故圆心坐标为 ，半径 .
变式训练1 [北师大版教材例题]讨论方程 表示的是怎样的图形.
解 将原方程整理为 .①
当 时,方程①是一元一次方程 ,表示与 轴垂直的直线.
当 时,方程①可进一步整理为 .②
当 时,方程②无解 ,故原方程不表示任何图形;
当 时,方程②只有一组解 故原方程表示一个点 ;
当 且 时,原方程表示一个圆心在点 ,半径为 的圆.
探究点二 求圆的一般方程
【例2】 已知点 ， ， .
（1）求 的外接圆的一般方程；
解 设 外接圆的一般方程为 ，
由题意，得 解得
即 的外接圆的一般方程为 .
（2）若点 在 的外接圆上，求 的值.
由（1）知， 的外接圆的方程为 ， 点 在 的外接圆上，
，
即 ，解得 或 .
变式 探究1若本例中将“点 ”改为“圆 过 ， 两点且圆 关于直线
对称”，其他条件不变，如何求圆 的方程？
解 ， 的中点坐标为 ， ， 的垂直平分线的方程为
.
联立 得
即圆心 的坐标为 ， .
圆 的半径 ，
圆 的方程为 .
变式探究2 将本例改为“已知圆 过 ， ， 三点，点 , 在圆
上，试求 面积的最大值”.
解 由例 的结论，可知圆 的方程为 ，即
.
的面积 .故 面积的最大值
为 .
变式训练2 [2023广东广州检测] 已知圆 过点 , ,且圆心 在直线
上.求圆 的方程.
解 设圆 的方程为 ,则有
解得
圆 的方程为 .
探究点三 求动点的轨迹方程
【例3】 已知等腰三角形的顶点是 ,底边一个端点是 ,求另一个端点 的
轨迹方程,并说明它的轨迹是什么图形.
思路分析设出点 的坐标,根据 列出方程并化简.
解 设另一端点 的坐标为 .依题意,
得 .
由两点间距离公式,
得
,
整理,得 .
这是以点 为圆心,以 为半径的圆,如图所示.
又因为 , , 为三角形的三个顶点,所以 , , 三点不共线, 即点 , 不能重合,
且点 , 不能为一直径的两端点,故端点 的轨迹方程是 （除
去 和 ）,即另一个端点 的轨迹是以 为圆心, 为半径的圆,但除
去 和 两点.
变式 探究求本例中线段 的中点 的轨迹方程.
解 设点 ,又点 , 为线段 的中点， 点
点 在圆 上， ,
,
又由 ,得 ，由 ，得 ;由 ,得 ,由
，得 ,
中点 的轨迹方程为 除去 , 和 , .
规律方法 求动点的轨迹方程的常用方法
______________________________________________________________________________________________________
变式训练3 如图，已知线段 的中点 的坐标是 ，端点
在圆 上运动，求线段 的端点 的轨
迹方程.
解 设点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，因为点 的坐标是 ,且
点 是线段 的中点，
所以 ， ，
于是有 ， .①
因为点 在圆 上运动，
所以点 的坐标满足方程 ，
即 ，②
把①代入②，得 ，
整理，得 .
所以点 的轨迹方程为 .
本节要点归纳(共22张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标准 1.理解两条直线平行与垂直的条件.
2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
3.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 两条直线平行与斜率之间的关系
设两条不重合的直线 , ,倾斜角分别为 , ,斜率存在时斜率分别为 , .则对应
关系如下:
前提条件
对应关系
图示
不存在
过关自诊
1.对于两条不重合的直线 , ,“ ”是“两条直线斜率相等”的什么条件？
提示 必要不充分条件，如果两不重合直线斜率相等，则两直线一定平行；反过来，两直线平行，有可能两直线斜率均不存在.
2.已知直线 的斜率为3,直线 经过点 , ,若直线 ,则 ___.
5
[解析] 直线 的斜率 .
若直线 ,则 ,即 ,
解 得 .
知识点2 两条直线垂直与斜率之间的关系
对应 关系
图示
名师点睛
“两条直线的斜率之积等于 ”是“这两条直线垂直”的充分不必要条件.因为两条直线垂直时，除了斜率之积等于 ，还有可能一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在.
过关自诊
1.平面中,两条直线 , 的斜率分别为 , ,则两条直线的方向向量分别为 ,
,当两条直线互相垂直时,可以得出什么结论？
提示
2.若直线 , 的斜率是方程 的两根，则 与 的位置关系是_ ______.
[解析] 由根与系数的关系，知 ,所以 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 两直线平行
【例1】 判断下列各小题中的直线 与 是否平行:
（1） 经过点 , , 经过点 , ;
（2） 的斜率为1, 经过点 , ;
（3） 经过点 , , 经过点 , ;
（4） 经过点 , , 经过点 , .
, ,则有 .
又 ,则 , , 不共线.故 .
由已知点的坐标,得 与 均与 轴垂直且不重合,故有 .
解 设 为 的斜率， 为 的斜率.
, , , 与 不平行.
, , ,故 或 与 重合.
变式探究 已知 , , , ,若 ,则 的值为______.
0或1
[解析] 当 时,直线 的斜率不存在,而直线 的斜率存在, 与 不平行,
不合题意;
当 时,直线 的斜率不存在,而直线 的斜率存在, 与 不平行,不合题意;
当 ,且 时, ,
.
因为 ,所以 ,
即 ,解 得 或 .
当 或1时,易知两直线不重合.
综上, 的值为0或1.
探究点二 两直线垂直
【例2】（1） 直线 经过点 , ,直线 经过点 , ,判断
与 是否垂直.
解 直线 的斜率不存在,直线 的斜率为0,所以 .
（2）已知直线 经过点 , ,直线 经过点 , ,若
,求 的值.
由题意,知直线 的斜率 一定存在,直线 的斜率可能不存在.
当直线 的斜率不存在时, ,即 ,此时 ,则 ,满足题意.
当直线 的斜率 存在时, ,由斜率公式,得 ,
.
由 ,知 ,即 ,解 得 .
综上所述, 的值为0或5.
规律方法 使用斜率公式判定两直线垂直的步骤
______________________________________________________________________________________________________
提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存
在的情况.
变式训练1 [2023辽宁沈阳月考] 已知点 , ,点 在 轴上,且
,则 的坐标为( )
D
A. B. C. D. 或
[解析] 点 在 轴上, .
, ,且 ,
,解 得 或 ,即 或 .故选D.
探究点三 两直线平行与垂直的综合应用
【例3】 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 的顶点坐
标按逆时针顺序依次为 ， ， ，
，其中 .试判断四边形 的形状.
思路分析利用直线方程的系数关系，或两直线间的斜率关系，判断两直线的位置关系.
解 由斜率公式得 ，
，
，
.
所以 ， ，
从而 ， .
所以四边形 为平行四边形.
又 ，
所以 ，故四边形 为矩形.
变式训练2 [2023江苏连云港月考] 顺次连接 , , , ,所组成
的图形是( )
B
A.平行四边形 B.直角梯形 C.等腰梯形 D.以上都不对
[解析] 直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,
故 .
直线 的斜率为 ,
,直线 的斜率为 ,故直线 与 不平行,故四边形为直角梯形.
故选B.
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）两直线平行的判定；
（2）两直线垂直的判定.
2.方法归纳:分类讨论、数形结合思想.
3.常见误区:研究两直线平行、垂直关系时容易忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况.(共24张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标 准 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.
2.能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系.
3.能综合应用圆与圆的位置关系解 决问题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点 圆与圆的位置关系的判定方法
1.几何法:圆 ,圆
,两圆的圆心距
,则有
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
2.代数法:圆 ,圆
,两圆的方程联立得方程组,则有
方程组解 的情况 2组 1组 0组
两圆的公共点 2个 1个 0个
两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含
过关自诊
1.当两圆外离、外切、相交、内切、内含时，公切线的条数分别是多少？
提示 公切线的条数分别是4，3，2，1，0.
2.当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？
提示 当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦;当两圆外切时，连心线垂直于过两圆公共点的公切线;当两圆内切时,连心线垂直于两圆的公切线.
3.［北师大版教材习题］若圆 与圆
相交,求实数 的取值范围.
解 的圆心为 ,半径为 , .
将 化为 ,圆心为 ,半径为3.
所以圆心距为 .
又两圆相交,则 ,
所以 ,所以实数 的取值范围为 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 判断两圆的位置关系
【例1】 已知圆 ,圆
.试求 为何值时,两圆 , 的位置关系满足
下列条件:
思路分析求出圆心距,与两半径的和或差比较求出 的值.
（1）相切;
（2）相交;
（3）外离;
（4）内含.
（1）当 ,即 时,两圆外切;
当 ,即 时,两圆内切.
（2）当 ,即 时,两圆相交.
（3）当 ,即 时,两圆外离.
（4）当 ,即 时,两圆内含.
解 圆 , 的方程,经配方后可得
,
,
圆心 , ,半径 , .
.
规律方法 判断两圆的位置关系的两种方法
（1）几何法：利用两圆半径的和或差与圆心距作比较,得到两圆的位置关系;
（2）代数法：把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题,转化为方程组的解 的组数
问题.
变式训练1 若两圆 与 内切,则 的值为________.
121或1
[解析] 表示一个圆,
.
两圆的圆心\,半径长分别为 , 与 ,6.
由于两圆内切,则 ,
解 得 或 .
探究点二 两圆相交问题
【例2】 [人教B版教材习题] 已知圆 与圆 相交于
, 两点,求 的中点的坐标.
解 因为圆 的圆心为 ,圆 的圆心为 ,所以 的中点在 ,即
轴上.
由
得 的方程为 ,即 .
所以 的中点的坐标为 .
规律方法 公共弦问题的解 决方法
（1）求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,
但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解 ,否则应先调整系数.
（2）求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用距离公式求解；二是先求
出两圆公共弦所在的直线方程,再利用半径长\,弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解 .
变式训练2 两圆相交于两点 和 ,两圆圆心都在直线 上,则
的值为___.
3
[解析] 由题意知直线 与直线 垂直, ,
即 ,得 , 的中点坐标为 .
的中点在直线 上,
,
,
.
探究点三 两圆相切问题
【例3】 求与圆 外切且与直线 相切于点 的圆
的方程.
思路分析设圆的方程，利用两圆外切和直线与圆相切建立方程组求得.
解 设所求圆的方程为 ，
由题知所求圆与圆 外切，
则 .①
又所求圆过点 的切线为直线 ，
故 ,②
.③
解 由①②③组成的方程组得 ， ， 或 ， ，
.
故所求圆的方程为 或 .
变式探究1 将本例变为“求与圆 外切，圆心在 轴上，且过点
的圆的方程”，如何求？
解 因为圆心在 轴上，
所以可设圆心坐标为 ，设半径为 ，
则所求圆的方程为 ，又因为与圆 外切，且过
点 ，所以 解 得
所以圆的方程为 .
变式探究2 将本例改为“若圆 与圆 相外
切”，试求实数 的值.
解 圆 的圆心为 ，半径为 ，圆
的圆心为 ，半径为 .因为两圆相外切，
所以 ，解 得 .
规律方法 处理两圆相切问题的两个步骤
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
探究点四 圆系方程及其应用
【例4】 求圆心在直线 上,且过两圆 和
的交点的圆的方程.
解 （方法1）设经过两圆交点的圆系方程为
,
即 ,
所以圆心坐标为 .
又圆心在直线 上,
所以 ,
即 .
又圆 的圆心不过直线 ,
所以所求圆的方程为 .
（方法2）由
得两圆公共弦所在直线的方程为 .
由 解 得 或
所以两圆 和 的交点坐标分别为
, ,线段 的垂直平分线所在的直线方程为
由 得
即所求圆的圆心坐标为 ,
半径为 .
所以所求圆的方程为 .
（1）求两圆公共弦所在直线的方程；
解 将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程
,即 .
（2）求经过两圆交点且圆心在直线 上的圆的方程.
设所求圆的方程为 ,其圆心坐标
为 ,代入直线 ,解 得 .又圆
的圆心不在直线 上,所以所求方程为 .
变式训练3 已知圆 与圆 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）两圆的位置关系;
（2）两圆的公共弦;
（3）圆系方程;
（4）圆与圆的综合性问题.
2.方法归纳:几何法、代数法.
3.常见误区:（1）容易将两圆内切和外切相混；（2）对各种圆系方程表示的含义不清晰.(共28张PPT)
1
知识网络·整合构建
2
专题突破·素养提升
01
知识网络·整合构建
02
专题突破·素养提升
专题一 两直线的平行与垂直
判断两直线平行、垂直的方法
（1）若不重合的直线 与 的斜率都存在,且分别为 , ,则 .
（2）若直线 与 的斜率都存在,且分别为 , ,则 .
（讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况）
【例1】 [2023湖南长沙月考] 已知直线 ,直线
.
（1）若 ,求 ；
解 若 ,则 ,即 ,解 得 或 .
当 时,直线 ,直线 ,两直线重合,不符合 ,故舍去;
当 时, ,故 .
（2）若 ,求 与 的交点 的坐标.
若 ,则 ,得 ,
所以两直线方程为 , ,
联立 解 得
所以 与 的交点 的坐标为 .
变式训练1 已知两直线 , ,若 ,则
_ ___.
[解析] 因为直线 与 平行,所以
解 得 .
专题二 两直线的交点与距离问题
两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础,通过交点与距离涵盖直线的所有问题.
【例2】 过点 作直线 使它被直线 和 截
得的线段被点 平分,求直线 的方程.
解 设 与 的交点为 ,则由题意知,点 关于点 的对称点
在 上,
代入 的方程得 ,
解 得 ,即点 在直线 上,
所以直线 的方程为 .
规律方法
______________________________________________________________________________________________________
变式训练2 已知直线 过直线 与直线 的交点,且
点 到直线 的距离为2,则这样的直线 的条数为( )
C
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 由 得
即直线 过点 .设点 ,因为 ,所以满足条件的直线 有2条.故选C.
专题三 直线与圆的位置关系
1.直线与圆位置关系的判断方法
（1）几何法：设圆心到直线的距离为 ,圆的半径长为 .若 ,则直线和圆相
交；若 ,则直线和圆相切；若 ,则直线和圆相离.
（2）代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方
程,其判别式为 直线与圆相切； 直线与圆相交； 直线
与圆相离.
2.研究直线与圆的位置关系,集中体现了直观想象和数学运算的核心素养.
【例3】 如图,在平面直角坐标系 中,点 ,直线
.设圆 的半径为1,圆心在 上.
（1）若圆心 也在直线 上,过点 作圆 的切线,求切线
的方程；
解 由题设点 ,又点 也在直线 上, , ,
圆 .
由题意得,过点 的切线方程可设为 ,即 ,则 ,解 得
或 ,
所求切线为 或 .
（2）若圆 上存在点 ,使 ,求圆心 的横坐标 的取值范围.
设点 ,由 ,知 ,化简得
, 点 的轨迹为以 为圆心，2为半径的圆，可记为圆 .
又点 在圆 上， ，
圆 与圆 的关系为相交或相切，
,其中 ，
，解 得 .
的取值范围为 .
规律方法 与直线与圆的位置关系有关的问题的类型
（1）求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得.
（2）弦长问题：常用几何法（垂径定理）,也可用代数法结合弦长公式求解 .
变式训练3 已知圆 关于直线 对称,且过点 和原点 .
（1）求圆 的方程；
解 由题意知,直线 过圆 的圆心,设圆心 .
由题意,得 ,解 得 ，且半径为2.
因为圆心 ,半径 ,
所以圆 的方程为 .
（2）相互垂直的两条直线 , 都过点 ,若 , 被圆 所截得的弦长相等,求
此时直线 的方程.
由题意知,直线 , 的斜率存在且不为0,
设 的斜率为 ,则 的斜率为 ,
所以 ,即 ,
,即 .
由题意,得圆心 到直线 , 的距离相等,
所以 ,解 得 ,所以直线 的方程为 或
.
专题四 圆与圆的位置关系
1.圆与圆的位置关系：一般利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系.
2.圆与圆的位置关系的转化,体现直观想象、逻辑推理的数学核心素养.
【例4】 已知圆 与圆 .
（1）证明 圆 与圆 相切,并求过切点的两圆公切线的方程；
解 把圆 与圆 都化为标准方程形式,得圆 为 ,圆 为
圆心与半径长分别为 , ；
, .
因为 ,所以圆 与圆 相切.
由 得 ,
即 ,就是过切点的两圆公切线的方程.
（2）求过点 且与两圆相切于（1）中切点的圆的方程.
由圆系方程,可设所求圆的方程为
点 在此圆上,将点坐标代入方程解 得 .
所以所求圆的方程为 ,即
.
变式训练4 已知圆 与圆 .
（1）求证：两圆相交；
证明 圆 的方程可化为 ,圆 的方程可化为
,
, ,两圆的半径均为 ,
, 两圆相交.
（2）求两圆公共弦所在直线的方程.
解 将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程,
,即 .
专题五 圆中的最值问题
与圆有关的最值问题包括：
（1）求圆 上一点到圆外一点 的最大距离、最小距离： ,
.
（2）求圆上的点到某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为 ,则
, .
（3）已知点的运动轨迹是 ,求 ； ；
等式子的最值,一般是运用几何法求解 .
【例5】 [2023广东深圳期末] 已知圆 ,圆
.
（1）若圆 , 相交,求 的取值范围；
解 圆 的圆心为 ,半径 ,圆 的圆心为 ,半径 .因为圆
, 相交,所以 ,即 ,解 得
或 ,故 的取值范围为 或 .
（2）已知点 ,圆 上一点 ,圆 上一点 ,求 的最小值的取值范围.
由向量加减运算得 ,由 联想到作出圆 关
于定点 的对称圆 ,延长 与圆 交于点 ,则
.所以 ,
即 就是圆 上任意一点 与圆 上任一点 的距离.所以 ,所以 的最小值的取值范围是 .
规律方法解 决此类问题要多借助图形分析,并且有时需要将所求问题进行转化化归,
尽量减少代数运算.
变式训练5 已知 是直线 上的动点, , 是圆
的两条切线, , 是切点, 是圆心,那么四边形 的面积
的最小值为_ ____.
[解析] 圆 的圆心为 ,半径为 ,
由题意知,当圆心 到点 的距离最小时（即为圆心到直线的距离）,切线长 ,
最小，此时四边形的面积最小,
又圆心到直线的距离 ,
,
此时 .
