(共26张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标 准 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.
2.能利用椭圆的简单性质求标准方程.
3.能运用椭圆的简单几何性质分析和解 决问题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点 椭圆的简单几何性质
焦点的位置
图形
标准方程 _ _____________________
范围
顶点
焦点 _ ________________
焦距 对称性 对称轴:________,对称中心:_ _________ 离心率 ,
,
坐标轴
原点
续表
名师点睛
1.椭圆的范围给出了椭圆上的点的横坐标、纵坐标的取值范围,在求解 一些存在性、判断性问题中有着重要的应用,也可用于求最大（小）值、求轨迹等问题时的检验等.
2.利用方程研究曲线对称性的方法如下:
（1）若把曲线方程中的 换成 ,方程不变,则曲线关于 轴对称;
（2）若把曲线方程中的 换成 ,方程不变,则曲线关于 轴对称;
（3）若同时把曲线方程中的 换成 , 换成 ,方程不变,则曲线关于原点对称.
过关自诊
1.[2023山东临沂月考] 已知椭圆 的离心率为 ,则 的值可以为
( )
B
A. B. C.2 D.3
[解析] 当椭圆的焦点在 轴上时, , ,故 ；当椭圆的焦点在 轴
上时, , , .故选B.
2.［人教B版教材习题］根据下列条件,求椭圆的标准方程:
（1）长轴长和短轴长分别为8和6,且焦点在 轴上;
解 , ,
, .
又焦点在 轴上,
椭圆的标准方程为 .
（2）一个焦点坐标为 ,一个顶点坐标为 .
由题意知,焦点在 轴上, , .
,
椭圆的标准方程为 .
3.［北师大版教材习题］根据下列条件,求椭圆的离心率:
（1）长轴长与短轴长之比为 ;
解 由题意知 ,即 ,所以离心率
.
（2）以短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形.
由题意知 , ,所以离心率 .
4.观察右图,我们发现,不同椭圆的扁平程度不同.扁平程度是椭圆的重要形状特征,你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？
如图所示,在 中, ,记 ,则 ,
越大, 越小,椭圆越扁； 越小, 越大,椭圆越接近于圆.
提示 利用离心率 来刻画椭圆的扁平程度.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 根据椭圆的标准方程研究其几何性质
【例1】 求椭圆 的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.
解 已知方程化成标准方程为 ，
于是 ， ， ，
椭圆的长轴长和短轴长分别是 和 ，离心率 .
又知焦点在 轴上， 两个焦点坐标分别是 和 ，四个顶点坐标
分别是 ， ， 和 .
变式探究 本例中若把椭圆方程改为“ ”，求其长轴长、短轴长、离心率、
焦点坐标和顶点坐标.
解 由已知得椭圆标准方程为 ，
于是 ， ，
.
长轴长 ，短轴长 ，离心率 .
焦点坐标 ， 和 ， ，
顶点坐标 ， ， ， .
规律方法 确定椭圆几何性质的基本步骤
______________________________________________________________________________________________________
变式训练1 已知椭圆 ，设椭圆 与椭圆 的长轴长、短轴长分别相
等，且椭圆 的焦点在 轴上.
（1）求椭圆 的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
解 由椭圆 可得其长半轴长为 ，短半轴长为 ，焦点坐
标为 ， ，离心率 .
（2）写出椭圆 的方程，并研究其范围、对称性、顶点、离心率.
椭圆 .
①范围： ， ；
②对称性：关于 轴、 轴、原点对称；
③顶点：长轴端点 ， ，短轴端点 ， ；
④离心率： .
探究点二 根据椭圆的几何性质求其标准方程
【例2】 根据下列条件求椭圆的标准方程:
（1）椭圆过点 ,离心率 ;
解 若焦点在 轴上,则 ,
, .
.
椭圆的标准方程为 .
若焦点在 轴上,则 ,
,解 得 .
椭圆的标准方程为 .
综上可知,椭圆的标准方程为 或 .
（2）在 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8.
设椭圆的标准方程为 .
如图所示, 为等腰直角三角形, 为斜边 的中
线（高）,且 , ,
, .故所求椭圆的标准方程为
.
思路分析（1）焦点位置不确定,应分类讨论;（2）结合图形求出 , , 的值代入.
解 若椭圆的焦点在 轴上,设椭圆的标准方程为 .
因为椭圆过点 ,所以 .
因为 ,所以 .所以方程为 .
若椭圆的焦点在 轴上,设椭圆的标准方程为 .
因为椭圆过点 ,所以 .因为 ,所以 .所以方程为
.
综上所述,椭圆的标准方程为 或 .
变式训练2 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且经过点 ,求椭圆的标准方程.
探究点三 求椭圆的离心率的值（或取值范围）
【例3】 ［人教B版教材例题］航天器的轨道有很多种,其中的“地球同步转移轨道”是
一个椭圆轨道,而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点.若地球同步转移轨道的远地点
（即椭圆上离地球表面最远的点）与地球表面的距离为 ,近地点与地球表面的距离为
,设地球的半径为 ,试用 , , 表示出地球同步转移轨道的离心率.
解 设椭圆的半长轴长为 ,半焦距为 ,依照题意可知 解 得
, ,因此离心率 .
变式训练3（1） 已知椭圆的焦距不小于短轴长,求椭圆的离心率的取值范围.
解 依题意可得 ,即 ,
所以 ,从而 ,即 , .
又因为 ,
所以椭圆离心率的取值范围是 .
（2）椭圆 的半焦距为 ,若直线 与椭圆一个交点的横坐
标恰为 ,求椭圆的离心率.
如图所示,设直线 与椭圆的一个交点为 ,
设点 横坐标为 ,连接 , ,
则 .
因为 为直角三角形, ,
所以 .
根据椭圆定义,得 ,
即 ,
所以 ,故 .
本节要点归纳(共28张PPT)
1
重难探究·能力素养全提升
01
重难探究·能力素养全提升
探究点一 椭圆的中点弦问题
【例1】 已知椭圆 的弦 的中点 的坐标为 ,求直线 的方程.
解 （方法1）易知直线 的斜率 存在.
设所求直线的方程为 ,
由
得 .
,解 得
.
设 , ,则 , 是上述方程的两根,
.又 为 的中点,
,解 得 ,且满足 .
故所求直线的方程为 .
（方法2）设 , , .
为 的中点, , .
又 , 两点在椭圆上, , ,
两式相减,得 ,
,
,即 .
故所求直线的方程为 .
（方法3）设所求直线与椭圆的一个交点为 ,由于 的中点为 ,则另一个
交点为 .
, 两点都在椭圆上,
,得 .
显然点 的坐标满足这个方程.代入验证可知点 的坐标也满足这个方程,而过 , 的
直线只有一条,故所求直线的方程为 .
规律方法 处理椭圆的中点弦问题的三种途径
（1）根与系数的关系法：联立直线方程与椭圆方程构成方程组,消掉其中的一个
未知数,得到一个一元二次方程,利用一元二次方程根与系数的关系结合中点坐标公式
求解 .
（2）点差法：设出弦的两个端点坐标,代入椭圆方程,两式相减即得弦的中点与斜
率的关系.即“设而不求”思想,这也是此类问题最常用的方法.
（3）中点转移法：先设出弦的一个端点的坐标,结合中点坐标得出弦的另一个端
点的坐标,分别代入椭圆方程作差即得.
变式训练1 已知椭圆 的右焦点为 ,过点 的直线交椭圆
于 , 两点，若线段 的中点坐标为 ，则椭圆的方程为_ __________.
[解析] 设 ， ，
由题意知 ,则 , ,两式相减，可得
.
.
线段 的中点坐标为 ， . 直线的斜率为 , .
右焦点为 ，
.
, 椭圆的方程为 .
探究点二 直线与椭圆的位置关系
【例2】 在平面直角坐标系 中,经过点 且斜率为 的直线 与椭圆
有两个不同的交点 和 ,求 的取值范围.
解 由已知条件知直线 的方程为 ,
代入椭圆方程得 ,
整理得 ,
直线 与椭圆有两个不同的交点 和 ,等价于 ,解
得 或 ,
所以 的取值范围为 .
规律方法 直线与椭圆位置关系的判断方法
____________________________________________________________________________________________________________________
变式训练2 已知椭圆 的焦点分别为 , ,长轴长为6,设直线
交椭圆 于 , 两点.
（1）求线段 的中点坐标;
解 设椭圆 的方程为 ,
由题意 , ,于是 ,
所以椭圆 的方程为 .
由 得 .
设 , ,则 ,
,
故线段 的中点坐标为 .
（2）求 的面积.
设点 到直线 的距离为 ,
则 .又由（1）知 ,
所以
,
故 .
探究点三 椭圆中的最值与范围问题
【例3】 如图,点 , 分别是椭圆 长轴的左、右端
点,点 是椭圆的右焦点,点 在椭圆上,且位于 轴上方,
.
（1）求点 的坐标;
解 由已知可得 , ,设点 的坐标是 ,则 ,
.由已知得
消去 得 ,解 得 或 .
由于 ,只能 ,于是 .
故点 的坐标是 .
（2）设 是椭圆长轴 上的一点, 到直线 的距离等于 ,求椭圆上的点到点
的距离 的最小值.
直线 的方程是 .
设点 的坐标是 ,则点 到直线 的距离是 ,于是 .
又 ,解 得 .
设椭圆上的点 到点 的距离为 ,有
.由于 ,
因此当 时, 取最小值 .
即椭圆上的点到点 的距离 的最小值为 .
规律方法 解 决与椭圆有关的最大（小）值或范围问题的方法
（1）定义法：利用椭圆定义转化为几何问题处理.
（2）数形结合法：利用数与形的结合,挖掘几何特征,寻找最大（小）值点（或临
界点）,进而求解 .
（3）函数法：选择恰当的自变量,构建目标函数,转化为求函数的最大（小）值或
范围.
变式训练3 [2023江苏宿迁月考] 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积
等于圆周率 与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆 的中心为原点 ,焦点
, 均在 轴上,离心率等于 ,面积为 .
（1）求 的标准方程；
解 由题意可得
解 得 所以 的标准方程为 .
（2）若直线 与圆 相切,且直线 与 交于 , 两点,求 面积
的最大值.
①当直线 的斜率不存在时,由题意知直线 的方程为 ,代入 的方程可得
,
可得 ,可得 ,
这时 .
②当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 , , ,
因为直线 与圆 相切,所以圆心 到直线 的距离 ,可得 ,
联立 整理可得 ,
,即 ,即
,可得 ,且 , ,
所以 ,
所以 ,
令 ,则 ,
,
令 , ,
则 恒成立,所以 ,即 .
综合①②可得, 面积的最大值为 .
探究点四 椭圆中的定点、定值问题
【例4】 已知椭圆 的离心率 ,且由椭圆上顶点、右焦点
及坐标原点构成的三角形面积为2.
（1）求椭圆 的方程.
解 由题意得 解 得 , ,所以椭圆 的方程为 .
（2）已知 ,过点 作直线 交椭圆 于 , 两点（异于点 ）,直线 ,
的斜率分别为 , .试问 是否为定值？若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.
为定值4.
①当直线 的斜率不存在时, 的方程为 ,
联立 得 或
不妨令 , ,
于是 ,
,所以 ,为定值.
②当直线 的斜率存在时,设 的方程为 ,即 ,
设 , ,
由方程组 消去 ,
得 ,
则 （*）
,
将（*）式代入上式得 ,为定值.
规律方法 定点、定值问题的求法
定点、定值是在变化过程中不变的量,解 决这类问题的基本思想是函数思想.具
体处理方法有以下两种：
（1）从特殊关系入手,求出定点（定值）,再证明 这个定点（定值）与变量无
关.
（2）直接推理、计算,并在计算过程中消去变量.
变式训练4 设 为坐标原点,椭圆 的左焦点为 ,离心率为 .
直线 与 交于 , 两点, 的中点为 , .
（1）求椭圆 的方程；
解 设椭圆的右焦点为 ,则 为 的中位线. , ,
.
, , .
椭圆 的方程为 .
（2）设点 , ,求证:直线 过定点,并求出定点的坐标.
证明 设 , ,
联立 消去 整理,得 .
, , ,
,
.
, ,
,
,
整理得 ,
解 得 或 （舍去）.
直线 过定点 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）直线与椭圆的位置关系；
（2）椭圆中的中点弦、最值与范围、定点与定值问题.
2.方法归纳:分类讨论法、点差法.
3.常见误区:容易忽略直线中斜率不存在的情况.(共31张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标 准 1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解 决实际问题中的作
用.
2.掌握椭圆的定义和标准方程.
3.会求椭圆的标准方程.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 椭圆的定义
1.定义
我们把平面内与两个定点 , 的距离的和等于______（大于 ）的点的轨
迹叫做椭圆.
这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.
常数
2.定义的集合语言表述
椭圆就是下列点的集合: .
名师点睛
在椭圆定义中,要求常数必须大于两定点 , 之间的距离,这是椭圆定义中非常重要的一个条件,可以验证:如果这个常数等于两定点 , 之间的距离,动点的轨迹将是一条线段;如果这个常数小于两定点 , 之间的距离,动点的轨迹将不存在.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ，错误的画 ）
（1）已知 , ,平面内到 , 两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆.
( )
×
（2）已知 , ,平面内到 , 两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆.
( )
×
（3）平面内到点 , 两点的距离之和等于点 到 , 的距离之和
的点的轨迹是椭圆.( )
√
（4）平面内到点 , 距离相等的点的轨迹是椭圆.( )
×
2.平面内一动点 到两定点 , 的距离之和为常数 ,则点 的轨迹为( )
C
A.椭圆 B.圆
C.椭圆或线段或不存在 D.不存在
[解析] 根据题意,得 ,
①当 时,满足椭圆的定义,可得点 的轨迹为以 , 为焦点的椭圆；
②当 时, ,点 在线段 上,点 的轨迹为线
段 ；
③当 时, ,不存在满足条件的点 .
综上所述,点 的轨迹为椭圆或线段或不存在.故选C.
知识点2 椭圆的标准方程
焦点位置
标准方程
图形
焦点坐标 _ ________________
,
名师点睛
1.两种椭圆 , 的相同点是:它们的形状、大小都
相同,都有 , ;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也
不同.
2.给出椭圆方程 ,判断该方程所表示的椭圆的焦点
位置的方法是:椭圆的焦点在 轴上 标准方程中 项的分母较大;椭圆的焦点在 轴
上 标准方程中 项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记
作：焦点位置看大小，焦点跟着大的跑.
过关自诊
1.在椭圆的标准方程中 一定成立吗？
提示 不一定，只需 ， 即可， ， 的大小关系不确定.
2.能否根据椭圆的标准方程,判定焦点位置？
提示 能.根据 与 的分母的大小来判定,哪个的分母大,焦点就在哪个轴上.
3.［北师大版教材习题］椭圆 上一点 到该椭圆的一个焦点的距离为6,则
点 到另一个焦点的距离为___.
4
[解析] 设所求距离为 .在 中, ,所以 ,所以 ,所
以 .
4.［人教B版教材习题］分别根据下列条件,求椭圆的标准方程:
（1） , ,焦点在 轴上;
解 由题意可设所求椭圆的标准方程为 ,且 , ,故椭
圆的标准方程为 .
（2） ,经过点 ,焦点在 轴上.
由题意可设所求椭圆的标准方程为 ,且 ,把点 的坐
标代入 ,可得 ,故椭圆的标准方程为 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 求椭圆的标准方程
角度1.待定系数法
【例1】 根据下列条件,求椭圆的标准方程:
（1）两个焦点的坐标分别为 和 ,且椭圆经过点 ;
解 因为椭圆的焦点在 轴上,
所以设它的标准方程为 .
因为 ,所以 .
又 ,所以 .
故所求椭圆的标准方程为 .
（2）焦点在 轴上,且经过两个点 和 ;
因为椭圆的焦点在 轴上,所以设它的标准方程为 .又椭圆经过
点 和 ,
所以 解 得
故所求椭圆的标准方程为 .
（3）经过点 和点 .
（方法1）①当焦点在 轴上时,设椭圆的标准方程为 .
依题意有 解 得
故所求椭圆的标准方程为 .
②当焦点在 轴上时,设椭圆的标准方程为 .依题意有
解 得
因为不满足 ,所以无解 .
综上可知,所求椭圆的标准方程为 .
（方法2）设所求椭圆的方程为 ,依题意有
解 得 故所求椭圆的标准方程为 .
变式训练1 ［人教B版教材例题］分别求满足下列条件的椭圆的标准方程:
（1）两个焦点分别是 , ,椭圆上的点 到两焦点的距离之和等于8;
解 由已知得 ,因此 .
又因为 ,所以 .
因为椭圆的焦点在 轴上,所以所求椭圆的标准方程为 .
（2）两个焦点分别是 , ,并且椭圆经过点 .
因为椭圆的焦点在 轴上,设它的标准方程为 .
由已知得 .又因为 ,
所以 .
因为点 在椭圆上,所以 ,即 .
从而有 ,解 得 或 （舍去）.
因此 ,从而所求椭圆的标准方程为 .
角度2.定义法
【例2】 一个动圆与圆 外切,与圆 内切,
试求这个动圆圆心的轨迹方程.
解 圆 和圆 的圆心和半径分别为 , ； , .
设动圆圆心为 ,半径为 ,由题意有 , ,
.
由椭圆的定义可知点 在以 , 为焦点的椭圆上,且 , ,
.
故动圆圆心的轨迹方程为 .
变式探究 本例题两个已知圆不变,若动圆与两个圆都内切,求动圆圆心的轨迹方程.
解 设动圆圆心为 ，半径为 .
由圆 与圆 内切，得 ;
由圆 与圆 内切，得 .
则 .
则 点轨迹是以 ， 为焦点的椭圆,且 ,即 , ,则 .
故动圆圆心的轨迹方程是 .
探究点二 对椭圆标准方程的理解
【例3】（1） 若方程 表示椭圆,则实数 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 依题意有 解 得 或 ,
即实数 的取值范围是 .
（2）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆,则实数 的取值范围是
_ ___________.
[解析] 由题意知 ,将椭圆方程化为 ,依题意有 解 得
,
即实数 的取值范围是 .
变式训练2 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆,则实数 的取值范围是
_ ______________.
[解析] 方程化为 ,
依题意应有 ,解 得 或 .
探究点三 椭圆中的焦点三角形问题
【例4】 已知 , 是椭圆 的两个焦点, 为椭圆上一点,且 ,
则 的面积为_ _.
[解析] 如图,由 ,
知 , , .
所以 , , .所以 .
设 ,
则 .
因为 ,所以 .
所以 .所以 .
___________
规律方法
（1）求 的周长.
解 由题意知 , 在椭圆 上,
故有 , , ,
的周长为 , 的周长为20.
变式训练3 如图,已知经过椭圆 的右焦点 的直
线 垂直于 轴,交椭圆于 , 两点, 是椭圆的左焦点.
（2）如果 不垂直于 轴, 的周长有变化吗？为什么？
如果 不垂直于 轴, 的周长仍为20不变.理由： ,和 与 轴是
否垂直无关.
本节要点归纳(共30张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标 准 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程.
2.体会数形结合思想在抛物线问题中的应用.
3.会解决抛物线的简单应用问题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 抛物线的定义
1.我们把平面内与一个定点 和一条定直线 不经过点 的距离______的点的轨迹叫
做抛物线.点 叫做抛物线的焦点,直线 叫做抛物线的准线.
2.数学表达式：抛物线就是下列点的集合: ,其中点 到准线 的距
离是 .
名师点睛
抛物线的定义实质可以归结为“一动二定一相等”：“一动”即一个动点,设为 ；“二定”
包括一个定点 ,即抛物线的焦点,一条定直线 ,即抛物线的准线；“一相等”即
为 到准线 的距离 .
相等
过关自诊
1.定义中为什么要求直线 不经过点
提示 当直线 经过点 时，点的轨迹是过点 且垂直于直线 的一条直线，而不是抛物线.
2.已知动点 到定点 的距离等于它到定直线 的距离,则点 的轨迹为
________.
抛物线
[解析] 动点 到点 的距离等于它到直线 的距离,
由抛物线的定义可知,点 的轨迹是抛物线.
知识点2 抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
_ _______
_ _______
_ _______
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
_ _______
续表
名师点睛
1.要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状（焦点位置、
开口方向等）.在抛物线的标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一
次项的系数为 ；若一次项的字母是 ,则焦点就在 轴上,若其系数是正的,则焦点
就在 轴的正半轴上（开口向右）,若系数是负的,焦点就在 轴的负半轴上（开口向
左）；若一次项的字母是 ,则焦点就在 轴上,若其系数是正的,则焦点就在 轴的正半
轴上（开口向上）,若系数是负的,焦点就在 轴的负半轴上（开口向下）.
2.焦点的非零坐标是标准方程下一次项系数的 .
3.准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称.
过关自诊
1.二次函数的图象也是抛物线，与本节所学抛物线相同吗
提示 不完全相同.当抛物线的开口向上或向下时可以看作是二次函数的图象，当开口向左或向右时不能看作是二次函数的图象.
2.顶点在原点,关于 轴对称,并且经过点 的抛物线方程为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 设抛物线的方程为 ,把 代入得 ,解 得 ,
所以抛物线的标准方程为 .故选B.
3.［人教B版教材习题］分别根据下列条件,写出抛物线的标准方程:
（1）焦点是 ;
解 由题意知,抛物线的焦点在 轴的正半轴上,且 , , 抛物线的标准方程
为 .
（2）准线方程是 .
由题意知,抛物线的焦点在 轴的正半轴上,且 , , 抛物线的标准方程为
.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 根据抛物线方程求焦点坐标以及准线方程
【例1】 ［北师大版教材习题］求下列抛物线的焦点坐标、准线方程和焦点到准线的距离:
（1） ;
解 抛物线 的焦点坐标为 ,准线方程为 ,焦点到准线的距离为6.
（2） .
将 化为 ,因此,抛物线的焦点坐标为 ,准线方程为 ,焦
点到准线的距离为 .
变式训练1（1） 抛物线 的准线方程为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 方程化为 ,焦点在 轴的负半轴上, ,所以准线方程是 .
（2）抛物线 的焦点坐标为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 方程化为 ,焦点在 轴的负半轴上, ,所以 ,
故焦点坐标为 .
探究点二 求抛物线的标准方程
【例2】 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
（1）准线方程为 ；
解 抛物线的准线交 轴于正半轴，且 ，则 ， 所求抛物线的标准方
程为 .
（2）焦点在 轴上，焦点到准线的距离为5；
已知抛物线的焦点在 轴上，可设方程为 ，由焦点到准线的距离为5，
知 ， ， 满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为
和 .
（3）经过点 ；
点 在第三象限， 设所求抛物线的标准方程为 或
.
若抛物线的标准方程为 ，
则由 ，解 得 ；
若抛物线的标准方程为 ，则由 ，解 得
.
所求抛物线的标准方程为 或 .
（4）焦点为直线 与坐标轴的交点.
对于直线方程 ，令 ，得 ；令 ，得 ， 抛物线的焦点为 或 .
当焦点为 时， ， ，此时抛物线的标准方程为 ；
当焦点为 时， ， ，此时抛物线的标准方程为 .
所求抛物线的标准方程为 或 .
变式探究 将本例（4）改为焦点为圆 与坐标轴的交点，求抛物线的方程.
解 由题意可知抛物线的焦点坐标分别为 ， ， ， ，故 ， ,所以抛物线的标准方程为 或 或 或 .
探究点三 利用抛物线的定义解决轨迹问题
【例3】 已知动点 满足 ,则动点 的轨迹是
( )
D
A.椭圆 B.双曲线 C.直线 D.抛物线
[解析] 方程 可化为 ,
表示点 到定点 的距离, 表示点 到定直线
的距离,因此动点 到定点 的距离等于它到定直线
的距离,且定点 不在定直线 上,故动点 的轨迹
是以 为焦点,以 为准线的抛物线.
规律方法 定义法解决轨迹问题
根据动点坐标满足的方程判断其轨迹时,要注意结合两点间的距离公式以及点到直线的距
离公式,对所给方程进行适当变形,分析其几何意义,然后结合有关曲线的定义作出判定.
变式训练2 一个动圆经过点 ,并且和直线 相切,则动圆圆心 的轨迹方
程是_ _______.
[解析] 设动圆的半径为 .因为动圆经过点 ,所以 .又因为动圆和直线
相切,所以圆心 到直线 的距离 ,即圆心 到定点 的距离与
到定直线 的距离相等,故其轨迹是抛物线,且 是焦点, 是准线,并且有 ,故动圆
圆心 的轨迹方程是 .
探究点四 与抛物线定义有关的最大（小）值问题
【例4】（1） [2023福建福州质检] 已知 是抛物线 上的动点,点 在 轴上的
射影是点 ,点 ,则 的最小值是( )
B
A.5 B. C.4 D.
[解析] 如图,依题意可知焦点 ,准线方程为 ,延长
交准线于点 ,
则 ,
,我们只要求出 的最小
值即可.
由三角形两边的和大于第三边可知,
,①
所以 的最小值为 .
则 的最小值为 .
故选B.
（2）已知直线 和直线 ,则抛物线 上一动点
到直线 和直线 的距离之和的最小值是_ ____.
[解析] 直线 为抛物线 的准线,
由抛物线的定义知,点 到 的距离等于点 到抛物线的焦点 的距离,故本题化
为在抛物线 上找一个点 使得点 到点 和直线 的距离之和最小,最
小值为点 到直线 的距离,即 .
规律方法 求圆锥曲线上到两定点的距离之和最小的点的位置时,通常有两种情况:（1）当两
定点在曲线两侧时,连接两定点的线段与曲线的交点即为所求点;（2）当两定点在曲线同侧时,
由圆锥曲线定义作线段的等量转换,转换为（1）的情形即可.
变式训练3 已知抛物线 上一点 到准线的距离为 ,到直线
的距离为 ,则 的最小值为___.
3
[解析] 抛物线上的点 到准线的距离等于到焦点 的距离,所以
过焦点 作直线 的垂线,则 到直线的距离为
的最小值,如图所示,
故 .
探究点五 抛物线的实际应用
【例5】 一辆卡车高 ,宽 ,欲通过断面为抛物线型的隧道,
已知拱口宽恰好是拱高的4倍,若拱口宽为 ,求使卡车通过的
的最小整数值.
解 以隧道顶点为原点,拱高所在直线为 轴建立平面直角坐标系,
则点 的坐标为 ,如图所示.
设隧道所在抛物线方程为 ,
则 , ,
即抛物线方程为 .
将 代入抛物线方程,得 ,即 .欲使卡车通过隧道,应有
,即 , .
故使卡车通过的 的最小整数值为13.
规律方法 抛物线应用题的解法
建立抛物线的标准方程的方法:以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立坐
标系.这样可使得抛物线的方程不仅具有对称性，而且不含常数项，形式更为简单,便于应用.
变式训练4 ［人教B版教材习题］如图是一座抛物线型拱桥示意图,
拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴,已知顶点距离水面
时,量得水面宽 ,那么当水位升高 时水面的宽为多少
解 建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的方程为
,由题意知 ,将其坐标代入,得 ,
抛物线的方程为 .
当 时, ,
,
此时水面的宽约为 .
本节要点归纳(共34张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标准 1.了解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等简单几何性质.
2.能够根据双曲线的几何性质解决有关问题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点 双曲线的几何性质
标准方程
性质 图形
焦点 _ ________________ _ ________________
焦距 _ __________ 范围
,
,
性质 对称性 对称轴:________;对称中心:______ 顶点 _ _________________
离心率 渐近线 _ ________
坐标轴
原点
,
续表
名师点睛
1.双曲线有“四点”（两个焦点、两个顶点）“四线”（两条对称轴、两条渐近线）,
椭圆是封闭性曲线,而双曲线是开放性曲线；双曲线有两支,故在应用时要注意点在哪一
支上；根据方程判断焦点的位置时,注意双曲线与椭圆的差异性.
2.如果双曲线的方程确定,那么其渐近线的方程是确定的,但如果双曲线的渐近线确
定,那么其对应的双曲线有无数条,具有共同渐近线的双曲线方程可设为
,当 时,对应的双曲线焦点在 轴上,当 时,对应的双曲线焦
点在 轴上.
3.因为 ,所以 ,所以离心率的大小决定了渐
近线斜率的大小,从而决定了双曲线张口的大小,离心率越大,张口越大,离心率越小,张口
越小.
4.等轴双曲线是指实轴长与虚轴长相等的双曲线,其渐近线方程为 ,离心率
等于 .
过关自诊
1.椭圆中要求 ,在双曲线中 ， 是否也要满足该条件？
提示 不是，在双曲线中， ， 没有大小关系，只需 ， .
2.怎么处理直线与双曲线的交点问题？
提示 把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为 的形式,
在 的情况下可得:
（1） 时,直线与双曲线有两个不同的公共点;
（2） 时,直线与双曲线只有一个公共点;
（3） 时,直线与双曲线没有公共点.
此外，当直线平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点，故直线
与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件.
3.［人教B版教材习题］写出双曲线 的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近
线方程.
解 由方程 可知,双曲线的焦点在 轴上,且 , ,
,
, , ,
双曲线的实轴长为2,虚轴长为 ,焦点坐标为 , ,渐近线方程为
4.［北师大版教材习题］已知双曲线 的离心率为2,求双曲
线 的渐近线方程.
解 由 可得 ,所以渐近线方程为 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 由双曲线的方程求几何性质
【例1】 求双曲线 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心
率和渐近线方程.
解 双曲线的方程化为标准形式是 ，
， ，
， ， .
又双曲线的焦点在 轴上， 顶点坐标为 ， ，
焦点坐标为 ， ，
实轴长 ，虚轴长 ，
离心率 ，
渐近线方程为 .
思路分析将双曲线方程化为标准方程,先求出参数 , , 的值,再写出各个结果.
变式探究 若将方程 改为 ，其结果又将如何？
解 双曲线的方程化为标准形式是 ，
， ， ， ， .
又双曲线的焦点在 轴上， 顶点坐标为 ， ，
焦点坐标为 ， ，
实轴长 ，虚轴长 ，
离心率 ，渐近线方程为 .
规律方法 由双曲线方程研究几何性质的注意点
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
变式训练1（1） 若双曲线 的一条渐近线的斜率是 ,则实数 的值为
( )
A
A.4 B. C. D.
[解析] 双曲线 的一条渐近线的斜率是 ,可得 ,解得 .故选
A.
（2）［人教B版教材习题］求证:双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长.
证明 不妨设双曲线 的一个焦点为 ,一条渐近线的方程
为 ,即 ,则点 到该渐近线的距离为 ,即为虚半轴长.
同理可证当焦点在 轴上时,也满足题意.
探究点二 根据双曲线几何性质求其标准方程
【例2】 求满足下列条件的双曲线的方程:
（1）已知双曲线的焦点在 轴上,实轴长与虚轴长之比为 ,且经过点 ;
解 设双曲线方程为 .
双曲线过点 , .
由题意得 解 得
故所求双曲线方程为 .
（2）已知双曲线的焦点在 轴上,离心率为 ,且经过点 ;
设所求双曲线方程为 .
, ,
.
由题意得 解 得
所求的双曲线方程为 .
（3）已知双曲线的渐近线方程为 ,且两顶点间的距离是6.
设双曲线方程为 ,即 ,由题意得 .
当 时, , ,双曲线方程为 ;
当 时, , ,双曲线方程为 .
故所求双曲线方程为 或 .
变式训练2 求满足下列条件的双曲线的标准方程:
（1）双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 倍,且一个顶点的坐标为 ；
解 由已知,双曲线焦点在 轴上,设其方程为 ,则
,即 .
又 ,且 ,所以 , ,因此双曲线的标准方程为 .
（2）双曲线的渐近线方程为 ,且经过点 .
由双曲线的渐近线方程为 ,可设双曲线方程为 .
因为 在双曲线上,所以 ,即 ,所求双曲线的标准方程为
.
探究点三 双曲线的渐近线与离心率问题
角度1.求双曲线的离心率或取值范围
【例3】 已知 , 是双曲线 的两个焦点, 是经过 且垂
直于 轴的双曲线的弦,如果 ,求双曲线的离心率.
解 设 , ,将 代入双曲线的方程得 ,那么 .
由 , ,
知 ,
所以 ,所以 ,所以 ,所以 ,
即 ,
所以 或 （舍去）,
所以双曲线的离心率为 .
变式训练3 实轴长为2的双曲线 上恰有4个不同的点
满足 ,其中 , 分别是双曲线 的左、右顶点,
则 的离心率的取值范围为( )
A
A. , B. , C. D.
[解析] 依题意可得 , , ,
设 ,则由 ,得 ,整理得
.
由 得 .
因为双曲线 上恰有4个不同的点 满足 ,
所以方程 有两个不相等的实数根,所以只需
,解 得 ,
则 .
角度2.双曲线的渐近线与离心率的综合
【例4】 双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则 的
离心率为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由已知可得 ,则
.
故选D.
变式训练4 已知中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线的离心率等于 ,则其渐近线方
程为_ ___________________.
或
[解析] 依题意得 ,所以 ,即 ,解得 .
若双曲线焦点在 轴上,则其渐近线方程为 ,即 ；
若双曲线焦点在 轴上,则其渐近线方程为 ,即 .
探究点四 直线与双曲线的位置关系
【例5】 已知双曲线 及直线 ，
（1）若直线 与双曲线 有两个不同的交点，求实数 的取值范围；
解 联立
消去 并整理,得 .
直线与双曲线有两个不同的交点，
则
解 得 ，且 .
若直线 与双曲线 有两个不同交点，实数 的取值范围为
.
（2）若直线 与双曲线 交于 ， 两点， 是坐标原点，且 的面积为 ，
求实数 的值.
设 ， ，
对于（1）中的方程 ，
由根与系数的关系，得 ，
，
.
又点 到直线 的距离 ，
，
即 ，解 得 或 .
实数 的值为 或0.
变式探究 本例条件不变，若直线 与双曲线 有一个交点，实数 的取值如何？
解 当 时，即 或 ,直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个交点；当 时，由 解 得 或 ，此时直线与双曲线相切，只有一个交点.
综上所述，当 或 时，直线与双曲线有一个交点.
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）双曲线的几何性质；
（2）双曲线的离心率；
（3）判断直线与双曲线交点个数；
（4）弦长问题.
2.方法归纳:定义法、待定系数法、直接法、解方程法、数形结合思想.
3.常见误区:
（1）求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错;（2）代数计算中容易运算失误.(共33张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标 准 1.了解抛物线的简单几何性质.
2.能运用抛物线的几何性质解决相关问题.
3.掌握直线与抛物线的位置关系,并会用方程思想解决此类问题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 抛物线的简单几何性质
标准方程
图形
范围
对称轴 _ ____ _ ____ _ ____
焦点 _ _________ _ _______ _ _________
顶点 _ _________ 准线 _ _____ _ _______ _ _____
轴
轴
轴
原点
离心率 _ _____ 开口方向 向右 向____ 向____ 向____
名师点睛
1.抛物线没有渐近线,在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状,因为双曲线的开口越来越开阔,而抛物线的开口越来越扁平.
2.抛物线的顶点只有一个,抛物线的焦点总在对称轴上,抛物线的准线始终与对称轴垂直.
左
上
下
续表
过关自诊
1.抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的有何不同
提示 抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的相比有较大差别,它的离心率为定值1,只有一个焦点,一个顶点、一条对称轴、一条准线,没有渐近线,没有对称中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆、双曲线为有心圆锥曲线.
2.［北师大版教材习题］在同一平面直角坐标系中画出下列抛物线：
（1） ;（2） ;（3） .
通过观察这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中 的系数有怎样的关系.
解 如图，通过观察这些图形，抛物线方程中 的系数的绝对值越大,抛物线开口越大.
3.［人教B版教材例题］已知抛物线的对称轴为 轴，顶点是坐标原点且开口向左，又
抛物线经过点 ，求这个抛物线的标准方程.
解 根据已知条件可设抛物线的标准方程为 ,因为点 在抛物线上，所以 ,因此 .
从而可知所求方程为 .
知识点2 直线与抛物线的位置关系
设直线 ,抛物线: ,将直线方程与抛物线方程联立整理
成关于 的方程 .
（1）若 ,当 时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当 时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当 时,直线与抛物线相离,没有公共点.
（2）若 ,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对
称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
过关自诊
1.已知直线 及抛物线 ,则( )
C
A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点
[解析] 直线 , 直线过点 ,又点 在抛物线 的内部, 当 时,直线与抛物线有一个公共点；当 时,直线与抛物线有两个公共点.
2.[2023上海闵行期末] 过点 作直线与抛物线 有且仅有一个交点，这样的
直线可以作出___条.
3
[解析] 当过点 的直线斜率不存在时，显然 与抛物线 有且只有一个
交点.
当过点 的直线与抛物线 的对称轴平行，即斜率为0时，显然 与抛物
线 有且只有一个交点;
当直线过点 ,斜率存在，且与抛物线相切时，直线与抛物线只有一个交点，
设直线方程为 ，代入抛物线方程 ，消去 得
，
，解 得 ,即直线方程为 .
综上可得,过点 的直线 与抛物线 有且只有一个交点的直线 共有3条.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 抛物线几何性质的应用
【例1】 已知抛物线 .
（1）求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量 的范围;
解 （1）抛物线 的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量 的范围分别为 ， ，直线 , 轴， .
（2）以坐标原点 为顶点，作抛物线的内接等腰三角形 ,其中 ,若焦
点 是 的重心，求 的周长.
思路分析（1）利用抛物线的对应性质求解；（2）利用抛物线的对称性及重心的性质求解 .
（2）如图所示.由 可知 轴，设垂足为点 .
因为焦点 是 的重心，所以 .
因为 ，所以 ,所以 .
故设 ,代入 得 ,
所以 或 （舍去）.
所以 , , ,
所以 的周长为 .
规律方法抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程
中又容易忽视这些隐含的条件.其中应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标.在解题时，应先
注意开口方向、焦点位置，选准标准方程形式，然后利用条件求解 .要注意运用数形结合思
想,根据抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化.
变式训练1 已知抛物线的焦点 在 轴上，直线 过 且垂直于 轴， 与抛物线交于 ，
两点，坐标原点 为抛物线的顶点，若 的面积等于4，求此抛物线的标准方程.
解 由题意，设抛物线的方程为 ,焦点 ,直线 .
, 两点的坐标分别为 , ,
.
的面积为4，
.
.
抛物线的方程为 .
探究点二 直线与抛物线的位置关系
【例2】 [2023江苏无锡月考] 已知抛物线 ，点 在抛物线 上.
（1）求抛物线 的方程；
解 点 在抛物线 上，
， ，故抛物线 的方程为 .
（2）不过原点的直线 与抛物线交于 ， 两点，若 ，求 的值.
设 ， ，联立
得 ， ，得 ，
， .
又 ，则 ，
，
或 ，经检验，当 时，直线过坐标原点，不符合题意，
，符合题意.
综上， 的值为 .
变式训练2 如图,设抛物线 的准线与 轴交于点 ，若过点
的直线 与抛物线有公共点，则直线 的斜率的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题知 ，若直线 的斜率不存在，显然不合题意.
故直线 的斜率存在，
设为 ，则 的方程为 .
由 消去 ，得 ,
当 时显然符合题意；当 时，需 ,
即 ,解 得 或 .
故直线 斜率的取值范围是 .
探究点三 抛物线的焦点弦问题
【例3】 设抛物线 的焦点为 ,过 且斜率为 的直线 与 交于 , 两点, .
（1）求直线 的方程；
解 由题意得 ,
的方程为 .
设 , ,由
得 .
,故 .
所以 .由题设知 ,
解 得 （舍去）或 .
因此直线 的方程为 .
（2）求过点 , 且与 的准线相切的圆的方程.
由（1）得 的中点坐标为 ,所以 的垂直平分线方程为 ,即
.
设所求圆的圆心坐标为 ,则
解 得 或
因此所求圆的方程为 或 .
变式训练3 过抛物线 的焦点 ,且斜率为 的直线交 于点 （ 在 轴
的上方）, 为 的准线,点 在 上,且 ,则 到直线 的距离为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 如图,抛物线 的焦点为 ,准线方程为 .
由直线方程的点斜式可得直线 的方程为
.
联立得方程组
解 得 或 点 在 轴的上方, . ,
. ,
. 是边长为4的等边三角形.
点 到直线 的距离为 .
探究点四 与抛物线有关的定点、定值问题
【例4】 已知抛物线 ，过点 的直线 与抛物线 相交于 ，
两点， 为坐标原点，且 .
（1）求抛物线 的方程；
解 由题意可设 的方程为 ， ， ，由 得
.
， .
,
, 抛物线 的方程为 .
（2）点 的坐标为 ，直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为
定值.
证明 点 的坐标为 ，
.由（1）可得 , , 为定值.
规律方法 定值与定点问题的求解 策略
（1）欲证某个量为定值,先将该量用某变量表示,通过变形化简若能消掉此变量,即证得结
论,所得结果即定值.
（2）寻求一条直线经过某个定点的常用方法：①通过方程判断；②对参数取几个特殊值
探求定点,再证明 此点在直线上；③利用曲线的性质（如对称性等）,令其中一个变量为定
值,再求出另一个变量为定值；④转化为三点共线的斜率相等或向量平行等.
变式 训练4已知抛物线的方程是 ,直线 交抛物线于 , 两点,设 ,
.
（1）若弦 的中点为 ,求直线 的方程;
解 易知 , , ,两式相减得 ,所以
,所以直线 的方程为 ,
即 .
（2）若 ,求证：直线 过定点.
证明 当 的斜率存在时,易知 ,设 的方程为 ,代入抛物线方程,整理,得 , , , 的方程为 ,过定点 .
当 的斜率不存在时, ,则 , 过定点 .综上, 过定点 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）抛物线的几何性质及应用;
（2）直线和抛物线的位置关系;
（3）抛物线中点弦问题,轨迹问题.
2.方法归纳:直接法、定义法、待定系数法.
3.常见误区:
（1）求抛物线方程时焦点的位置易判断失误；（2）数学运算的失误.(共32张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标准 1.了解双曲线的定义.
2.掌握双曲线的几何图形与标准方程.
3.会求双曲线的标准方程.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 双曲线的定义
1.定义：一般地,我们把平面内与两个定点 , 的距离的差的绝对值等于_______
___（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2.集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合：
, .
非零常数
名师点睛
若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点 的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于 与 的大小.
（1）若 ,则 ,点 的轨迹是靠近定点 的那一支；
（2）若 ,则 ,点 的轨迹是靠近定点 的那一支.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ，错误的画 ）
（1）平面内到两定点的距离的差等于常数（小于两定点间距离）的点的轨迹是双曲线.
( )
（2）平面内到点 , 的距离之差等于5的点的轨迹是双曲线.( )
（3）平面内到点 , 的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.
( )
（4）在双曲线标准方程中, , , 之间的关系与椭圆中 , , 之间的关系相同.( )
×
×
×
×
2.把双曲线定义中的“小于 ”改为“等于 ”或“大于 ”或将定义中的非零
常数改为零，结果如何？
提示 ①若将“小于 ”改为“等于 ”，其余条件不变，则动点轨迹是以 ， 为端点的两条方向相反的射线（包括端点）；
②若将“小于 ”改为“大于 ”，其余条件不变，则动点轨迹不存在;
③若为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段 的中垂线.
3.［人教B版教材例题］已知 , ,动点 满足 ,求动点
的轨迹方程.
解 因为 ,所以根据双曲线的定义可知, 一定在 , 且焦点在 轴
上的双曲线上.
这就是说,点 的坐标 一定满足 .另一方面,由 可
知 ,因此 的横坐标要大于零,从而可知 的轨迹方程为
.
知识点2 双曲线的标准方程
焦点位置
标准方程
几何图形
焦点坐标 _ ________________
,
m>
名师点睛
两种双曲线 , 的相同点:它们的形状、大小都
相同,都有 , , ；不同点:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐
标也不同.
过关自诊
1.如何从双曲线的标准方程判断焦点的位置？
提示 “焦点跟着正项走”，若 项的系数为正，则焦点在 轴上；若 项的系数为正，
则焦点在 轴上.
2.[2023福建泉州月考] 已知两定点 , ,曲线 上的点 到 , 的距离
之差的绝对值是8,则曲线 的方程为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 根据双曲线的定义知, 的轨迹是以 , 为焦点,以8为实轴长的
双曲线,所以 , , ,所以双曲线的方程为 .故选B.
3.［北师大版教材习题］已知双曲线的焦点与椭圆 的左、右顶点相同,且经
过椭圆的右焦点,求该双曲线的方程.
解 椭圆 的左、右顶点坐标分别为 , ,右焦点坐标为 ,因此,
双曲线的焦点坐标为 , ,且经过点 ,可设双曲线的标准方程为
, , ,
所以 ,所以所求双曲线的标准方程为 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 双曲线定义的应用
【例1】 若 ， 是双曲线 的两个焦点.
（1）若双曲线上一点 到它的一个焦点的距离等于16，求点 到另一个焦点的距离；
解 设 ，根据双曲线的定义知 ，即 .
解 得 或 .
（2）若点 是双曲线上的一点，且 ，求 的面积.
由 ，得 ， ， .
由定义和余弦定理得 ，
，所以
，
所以 ， .
思路分析（1）直接利用定义求解 .（2）在 中利用余弦定理求
.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
规律方法 求双曲线中的焦点三角形 面积 的方法
解 在双曲线的方程中, , ,则 .
设 , .
由双曲线的定义可知，
,
两边平方，得 .
又 ,
由勾股定理，得 ,
.
变式训练1 已知双曲线 的左、右焦点分别是 , ，若双曲线上一点 使
得 ,求 的面积.
探究点二 求双曲线的标准方程
【例2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程:
（1） ，经过点 ；
解 当焦点在 轴上时，设所求标准方程为 ，把点 的坐标代入，
得 ，不符合题意；当焦点在 轴上时，设所求标准方程为
，把 点的坐标代入，得 .故所求双曲线的标准方程为
.
（2）与双曲线 有相同的焦点，且经过点 ；
（方法1） 焦点相同，
设所求双曲线的标准方程为 ，
，即 .①
双曲线经过点 ，
.②
由①②得 ， ， 双曲线的标准方程为 .
（方法2）设所求双曲线的方程为 .
双曲线过点 ， ，
解 得 或 （舍去）.
双曲线的标准方程为 .
（3）过点 ， 且焦点在坐标轴上.
设双曲线的方程为 ， .
点 ， 在双曲线上，
解 得
双曲线的标准方程为 .
变式训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程:
（1） , ,焦点在 轴上；
解 , ,则 .
又焦点在 轴上,所以双曲线的标准方程为 .
（2）焦点为 , ,经过点 .
焦点为 和 ,
设方程为 ,且 ,所以 .①
因为经过点 ,所以 .②
由①②解 得 , .
所以双曲线的标准方程为 .
探究点三 双曲线标准方程的应用
【例3】 给出曲线方程 .
（1）若该方程表示双曲线,求实数 的取值范围；
解 将所给方程化为 ,若该方程表示双曲线,则有 ,解
得 或 ,故实数 的取值范围是 .
（2）若该方程表示焦点在 轴上的双曲线,求实数 的取值范围.
将所给方程化为 ,若该方程表示焦点在 轴上的双曲线,则有
解 得 ,故实数 的取值范围是 .
思路分析 根据双曲线方程的特征建立不等式（组）求解 .
变式训练3（1） 在方程 中,若 ,则该方程表示( )
D
A.焦点在 轴上的椭圆 B.焦点在 轴上的双曲线
C.焦点在 轴上的椭圆 D.焦点在 轴上的双曲线
[解析] 方程化为 .
因为 ,所以 ,故方程表示焦点在 轴上的双曲线.
（2）若方程 表示双曲线,则 的取值范围是_ _____.
[解析] 方程化为 ,
依题意有 ,
即 .
因为 ,所以 .
探究点四 双曲线的实际生活应用
【例4】 ［人教B版教材习题］相距 的 , 两个观察站都听到了一声巨响,且在 处听到的时间比在 处听到的时间早 .已知当时的声速是 ,发出巨响的点与 , 都在水平面上,求发出巨响的点所在曲线的方程.
解 以线段 的中点为坐标原点, 的方向为 轴的正方向,建立平面直角坐标系
（图略）,设发出巨响的点为 .
由题意可知 ,易知点 在以 , 为焦点的双曲线上,即
, ,解 得 , ,
所以 .
因此发出巨响的点所在曲线的方程为
.
规律方法 利用双曲线解 决实际问题的基本步骤
（1）建立适当的坐标系.
（2）求出双曲线的标准方程.
（3）根据双曲线的方程及定义解 决实际应用问题（注意实际意义）.
变式训练4 如图, 地在 地的正东方向 处, 地在
地的北偏东 方向 处,河流的沿岸 （曲线）上
任意一点 到 的距离比到 的距离远 ,则曲线 的
轨迹方程是_ _________________；现要在曲线 上选一
处 建一座码头,向 , 两地转运货物,那么这两条公路
, 的路程之和最短是_ ________ .
[解析] 如图所示,以 所在的直线为 轴, 的垂直平分线
为 轴建立直角坐标系.则 ,根据双曲线定义
知,轨迹为双曲线的右支.故 , , , ,
,故轨迹方程为 .
根据题意知 ,
,当 , , 共线时,等号成立.
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）双曲线的定义及应用；
（2）双曲线的标准方程及其推导过程；
（3）双曲线在实际生活中的应用.
2.方法归纳:待定系数法、分类讨论法、转化化归法.
3.常见误区:（1）双曲线焦点位置的判断易出错,易忽略双曲线成立的必要条件；（2）双
曲线在实际生活的应用中,建模容易出错.(共28张PPT)
1
知识网络·整合构建
2
专题突破·素养提升
01
知识网络·整合构建
02
专题突破·素养提升
专题一 圆锥曲线的定义及标准方程
1.求圆锥曲线方程的常用方法
（1）直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系,只需把这种关系
“翻译”成含 , 的等式就得到曲线的轨迹方程.
（2）定义法：动点满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量.
（3）代入法：动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程.
（4）待定系数法：根据条件能确定曲线的类型,可设出方程形式,再根据条件确定待定的系数.
2.求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养.
【例1】 动点 的坐标 在其运动过程中总满足关系式
.
（1）点 的轨迹是什么曲线？请写出它的标准方程.
解 由于点 满足 ，即点 到两个定
点 , 的距离之和等于常数6，
由椭圆的定义可知,此点的轨迹为焦点在 轴上的椭圆，且 ， ，故 ，
故椭圆的标准方程为 .
（2）已知定点 ，若 的最小值为1，求 的值.
由于 ， ，记
， .
①当 且 ,
即 时, ,
又 , ,解 得 ,而 ,故舍去.
②当 且 ,即 时，
，
又 ， ，解 得 或 ，而 , ，
故 不符合题意， 符合题意.
综上可知， .
规律方法 运用圆锥曲线定义解题的注意事项
（1）应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件.
（2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解
三角形的知识来解决.
（3）在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的
距离,结合几何图形,利用几何意义去解决.
变式训练1 是抛物线 上的任意一点, 是抛物线的焦点,点 的坐标是 ,
求 的最小值,并求出此时点 的坐标.
解 抛物线 的准线方程是 ,那么点 到焦点 的距离等于它到准线
的距离,过点 作 垂直于准线 ,垂足为 ,那么
如图所示,根据平面几何知识,当 , , 三点共线时, 的值
最小,且最小值为 ,所以 的最小值是4.
此时点 的纵坐标为3,所以其横坐标为 ,即点 的坐标是 .
专题二 圆锥曲线的几何性质
1.本类问题主要有两种考查类型：
（1）已知圆锥曲线的方程研究其几何性质,其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点.
（2）已知圆锥曲线的性质求其方程,基本方法是待定系数法,其步骤可以概括为“先定位、后定量”.
2.圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养.
【例2】 已知 ,椭圆 的方程为 ,双曲线 的方程为 ,
与 的离心率之积为 ,则 的渐近线方程为____________.
[解析] 设椭圆 和双曲线 的离心率分别为 和 ,则 , .
因为 ,所以 ,即 ,所以 .故双曲线的渐近线方程为
,即 .
变式训练2 已知椭圆 的半焦距是 , , 分别是长轴、短轴的一
个端点, 为原点,若 的面积是 ,则此椭圆的离心率是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由已知得 ,即 ,所以 ,所以 , ,故 .
专题三 直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与圆锥曲线的位置关系,可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的
实数解的个数来确定,通常消去方程组中变量 （或 ）得到关于变量 （或 ）的
一元二次方程,考虑该一元二次方程的判别式.
2.通过解 决直线与圆锥曲线的位置关系问题培养数学运算的核心素养.
【例3】 已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点
到点 的距离为 .
（1）求抛物线的方程及点 的坐标；
解 由抛物线的定义可知, ，得 ， 抛物线的方程为 ，
将点 代入抛物线方程得 ,
点 的坐标为 .
（2）设斜率为 的直线 过点 且与抛物线交于不同的两点 , ，若
且 ，求斜率 的取值范围.
直线 的方程为 ，设 , 两点的坐标分别为 ， ,
.
联立 消去 ，整理得 ，
或 ,且 ， .
又 ,即 ,
.
, ,
.
又 ,令
,
.
又 或 ， 的取值范围是 .
规律方法 1.直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断.
2.一元二次方程的判别式、弦长公式是代数法解决问题的常用工具.
变式训练3 已知椭圆 ,其焦点为 , ,离心率为 ,直线
与 轴、 轴分别交于点 , .
（1）若 是椭圆 的一个顶点,求椭圆的方程；
解 由椭圆的离心率为 ,得 ,
由 ,得 , , ,
椭圆的方程为 .
（2）若线段 上存在点 满足 ,求 的取值范围.
由 ,设椭圆方程为 ,
联立 得 ,
若线段 上存在点 满足 ,则线段 与椭圆 有公共点,等价于方
程 在 上有解 .
设 ,
即 .又 ,故 的取值范围是 .
专题四 圆锥曲线的综合问题
1.圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定点、定值、最值、探索性问题,解决的基本思路是利用代数法,通过直线与圆锥曲线的方程求解 .
2.圆锥曲线的综合问题的解 决培养逻辑推理和数学运算的核心素养.
【例4】 已知椭圆 ,离心率为 ,如图,
是圆 的一条直径,若椭圆 经过
， 两点.
（1）求椭圆 的方程；
解 因为椭圆 的离心率为 ,所以 ,即 ,
故可设椭圆 的方程为 .①
由题意可得圆心 是线段 的中点,且 ,易知 与 轴不垂直,记其
方程为 ,代入①可得
,
设 , ,
则 ,
.
由 为 的中点,可得 ,
得 ,解 得 ,
从而 ,于是 ,
解 得 ,则椭圆 的方程为 .
（2） 为椭圆 上一个动点,求 面积的最大值.
设 ,
由（1）可得 的方程为 ,点 到直线 的距离为
,
,
故 面积的最大值为 .
规律方法 1.最值问题常见的题型,可用建立目标函数的方法求解 .
2.圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手,利用直线系或曲线系方程
或函数方程思想,通过联想与类比,使问题获解 .
变式训练4 已知抛物线 的焦点为 ，倾斜角为 的直线 过点
与抛物线 交于 ， 两点，且 .
（1）求抛物线 的方程;
解 由题意，知 , ，倾斜角为 的直线 过点 ，则直线的方程为 ，
代入抛物线方程得 .
设 ， ，
则 ,
根据抛物线定义，可得 , ,
，
，
抛物线 的方程为 .
（2）设点 为直线 与抛物线 在第一象限的交点，过点 作斜率分别为 ，
的两条直线,分别交抛物线 于点 , ，如果 ，证明：直线 过定点，
并求定点坐标.
证明 抛物线方程为 ，直线 ，即 ，得 .
①当直线 的斜率存在时，设直线 ，代入 中，可
得 ，
设 , , , ,则 , .
因为 , ,
所以 ,化简得 ，此时
，过定点 .
②当直线 的斜率不存在时，设方程为 ，
则不妨令 , , ，解 得 ，
方程为 .
综上，直线 过定点 .
