陕西省汉中市西乡县2023-2024学年高二上册数学开学考试试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．（2023高二上·西乡县开学考）下列与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高一上·吐鲁番期末）的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二上·西乡县开学考）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023高二上·西乡县开学考）若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·长春模拟）如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高二上·西乡县开学考）已知角是第一象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高二上·西乡县开学考）已知向量、满足，，，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
8．（2023高二上·西乡县开学考）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．如图所示，其分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得得0分.
9．（2023高二上·西乡县开学考）已知，，是平面内三个非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
10．（2023高二上·西乡县开学考）在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，则下列说法正确的有（ ）
A．A：B：C=a：b：c B．
C．若A>B，则a>b D．
11．（2023高二上·西乡县开学考）设函数，则下列结论正确的有（ ）
A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减
C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称
12．（2023高二上·西乡县开学考）如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，则下列四个结论中正确的是（ ）
A． B．是等边三角形
C．平面平面 D．二面角的正切值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．（2023高二上·西乡县开学考）已知平面向量，，与的夹角为，则 ．
14．（2023高二上·西乡县开学考）已知，则 ．
15．（2023高二上·西乡县开学考）如图，四边形是梯形的直观图，四边形是等腰梯形，且，则梯形的周长为 .
16．（2023高二上·西乡县开学考）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积为，那么这个三棱柱的侧面积为 ，二面角的正弦值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023高二上·西乡县开学考）已知i是虚数单位，.
（1）求；
（2）若复数的虚部为-1，且是纯虚数，求.
18．（2020高一上·成都期末）已知函数 (其中 ， )的图象如图所示.
（1）求函数 的解析式；
（2）若将函数 的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，得到函数 的图象，求当 时，函数 的单调递增区间.
19．（2023高二上·西乡县开学考）已知平面向量，，函数.
（1）求函数相邻两对称轴的距离；
（2）求函数在区间上的值域.
20．（2023高二上·西乡县开学考）如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，，，，分别是，，的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面
21．（2023高二上·西乡县开学考）在锐角中，的对边分别为，且
（1）确定角的大小；
（2）若，且，求边.
22．（2021高三上·大庆开学考）如图，在三棱柱 中， 底面 ，且 为等边三角形， ，D为 的中点．
（1）求证：直线 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）求三棱锥 的体积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】终边相同的角；弧度制、角度制及其之间的换算
【解析】【解答】解：因为，所以与角的终边相同的角的表达式为.
故答案为：A.
【分析】利用角度制与弧度制的互化公式，结合终边相同的角的特征可得答案.
2．【答案】D
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】
故答案为：D．
【分析】 直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解出答案.
3．【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质；函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意，，截得，
所以函数的定义域是.
故答案为：A.
【分析】利用正切函数的定义域为可得答案.
4．【答案】D
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又，
所以，.
故答案为：D.
【分析】首先利用与的关系以及得到的值，再由计算即可得到答案.
5．【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】正方体中，，所以与所成的角即异面直线与所成的角，
因为为正三角形，所以与所成的角为，
所以异面直线与所成的角为.
故答案为：C.
【分析】由，得与所成的角即异面直线与所成的角，由为正三角形，即可求出异面直线与所成的角.
6．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：因为角是第一象限角，，
所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】先利用平方关系得到，再利用两角和的余弦公式展开计算可得答案.
7．【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：因为 ，
所以与共线，又与有公共点B，所以A，B，D三点共线.
故答案为：A.
【分析】直接利用向量共线定理可得答案.
8．【答案】B
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：设正八面体的棱长为a，因为正八面体的表面积为，所以，
解得，又，所以，
故正八面体外接球的半径，其体积为.
故答案为：B.
【分析】先由正八面体的表面积为求得其棱长，再结合勾股定理得到其外接球的半径，从而得到其外接球的体积.
9．【答案】B,C
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：对于A：向量数量积不满足消去律，故A错误；
对于B：若，则，展开化简得：，故B正确；
对于C：当时，若，，则，故C正确；
对于D： 若，则， ，故D错误.
故答案为：B，C.
【分析】利用数量积的运算律可判断B，C，由共线向量的性质可判断C，由数量积的定义可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：对于A：由正弦定理可得，，，所以，所以A错误；
对于B：，所以B正确；
对于C：根据大角对大边知C正确；
对于D：由三角形内角和为知D正确.
故答案为：B，C，D.
【分析】由正弦定理可判断A，B，根据大角对大边可判断C，由三角形内角和为可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：对于A： 的最小正周期为，故A正确；
对于B：当，，所以在上单调递减，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：，取得最小值，所以的图象关于直线对称，故D正确.
故答案为：A，B，D.
【分析】利用最小正周期公式可判断A，利用整体法结合余弦函数的单调性可判断B，计算的值可判断C，D.
12．【答案】A,B,D
【知识点】平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于A：由题意平面平面，平面平面，又，平面ABD，所以平面ADC，又平面ADC，所以，故A正确；
对于B：设，则，，所以，所以是等边三角形，故B正确；
对于C，如图，取AC的中点E，连接AE，则，假设平面平面，平面平面，平面ABC，所以平面，又平面ADC，所以，显然矛盾，故C错误；
对于D：由题意，，，，所以平面，过D作于F，连接AF，则平面AFD，所以，为二面角的平面角，又，所以，故D正确.
故答案为：A，B，D.
【分析】利用面面垂直的性质定理可判断A，设，算出可判断B，利用反证法可判断C，利用二面角的定义作出二面角的平面角，解三角形即可判断D.
13．【答案】2
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，，与的夹角为，所以，
所以， .
故答案为：2.
【分析】遇模平方，先利用数量积的运算律计算，再开方得到答案.
14．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：.
【分析】先将改写成，再结合二倍角的余弦公式计算即可得到答案.
15．【答案】
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】解：直观图中，易得，
将直观图还原，则，，，
，
所以 梯形的周长为.
故答案为：.
【分析】先计算出，将直观图还原，结合原图与直观图长度间的关系计算即可得到答案.
16．【答案】；
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：设球的半径为R，则，解得，所以正三棱柱的高为4，又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，设底面正三角形的边长为a，则，所以，正三棱柱的侧面积为；
如图，取的中点D，连接，因为，，，
所以平面，所以，所以为二面角的平面角，
又，所以，
故二面角的正弦值为.
故答案为：；.
【分析】第一空，先由球的体积计算得到球的半径，从而得到正三棱柱的高以及底面等边三角形的边长，从而求得侧面积；第二空，先作出二面角的平面角，再解三角形即可.
17．【答案】（1）解：根据复数的运算法则，
可得，
所以.
（2）解：设，则，
因为是纯虚数，所以且，
解得，所以.
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【分析】（1）先利用复数的除法运算化简复数，再利用模长公式计算即可；
（2）设，利用复数的乘法运算以及纯虚数的定义得到m，从而求得.
18．【答案】（1）解：根据函数 ( ， ， )的部分图象，
可得 ， ，∴ .
再根据五点法作图， ，∴ ，
∴ .
（2）解：若将函数 的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，
得到函数 的图象，
对于函数 ，令 ，求得 ，
可得 的增区间为 ， .
结合 ，可得增区间为
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】(1)首先由图象即可得出A与周期的值，再由周期公式代入数值计算出由此即可得出函数的解析式。
(2)根据题意由函数平移的性质即可得到平移之后的函数的解析式g(x)，再由正弦函数的单调性结合整体思想即可求出函数g(x)的单调区间。
19．【答案】（1）解：，
故函数的周期是，则函数相邻的两条对称轴的距离是.
（2）解：∵，∴，
∴函数的值域是.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】(1)利用向量数量积的坐标运算以及倍角公式得到的表达式，得到的周期即可解得答案；
（2）利用整体法结合正弦函数的性质可得答案.
20．【答案】（1）证明：如图，
因为N，P分别是AB，的中点，
所以，
又 平面， 平面，
所以 平面，
又M是的中点，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又 平面， 平面，
所以 平面，
因为，
所以平面平面；
（2）解：连接，交于T，连接MT，
因为 ，底面是等边三角形，
所以四边形是正方形，
所以，且T为的中点，
又，
所以，
因为，平面，所以 平面 .
【知识点】平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）分别证明平面，平面，利用面面平行的判定定理证明即可；
（2）连接，交于T，连接MT，分别证明，，结合线面垂直的判定定理可得证明.
21．【答案】（1）解：因为，由正弦定理得，又，
所以，即，因为，所以.
（2）解：由余弦定理，得，
又，由解得或
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化为角得到，结合C的范围可得答案；
（2）由余弦定理得到，再结合解方程组即可.
22．【答案】（1）连接 交 于 ，连接 ，在 中， 为 中点， 为 中点，所以 ，又 面 ，∴直线 面 ；
（2）∵ 面 ， 面 ，∴ ．又 ，
，∴ ， 面 ，∴ 面 ．
又 面 ，∴面 面 ；
（3）∵ 为正三角形， 为 中点，∴ ，由 ，可知 ，
．∴ ，又∵ 面 ，且 ，
∴ 面 ，且 ，∴ ．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）根据直线与平面平行的判定定理求解即可；
（2）根据直线与平面垂直性质定理及判定定理，结合平面与平面垂直的判定定理求解即可；
（3）运用等体积法，结合棱锥的体积公式求解即可.
1 / 1陕西省汉中市西乡县2023-2024学年高二上册数学开学考试试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．（2023高二上·西乡县开学考）下列与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】终边相同的角；弧度制、角度制及其之间的换算
【解析】【解答】解：因为，所以与角的终边相同的角的表达式为.
故答案为：A.
【分析】利用角度制与弧度制的互化公式，结合终边相同的角的特征可得答案.
2．（2022高一上·吐鲁番期末）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】
故答案为：D．
【分析】 直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解出答案.
3．（2023高二上·西乡县开学考）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质；函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意，，截得，
所以函数的定义域是.
故答案为：A.
【分析】利用正切函数的定义域为可得答案.
4．（2023高二上·西乡县开学考）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又，
所以，.
故答案为：D.
【分析】首先利用与的关系以及得到的值，再由计算即可得到答案.
5．（2023·长春模拟）如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】正方体中，，所以与所成的角即异面直线与所成的角，
因为为正三角形，所以与所成的角为，
所以异面直线与所成的角为.
故答案为：C.
【分析】由，得与所成的角即异面直线与所成的角，由为正三角形，即可求出异面直线与所成的角.
6．（2023高二上·西乡县开学考）已知角是第一象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：因为角是第一象限角，，
所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】先利用平方关系得到，再利用两角和的余弦公式展开计算可得答案.
7．（2023高二上·西乡县开学考）已知向量、满足，，，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：因为 ，
所以与共线，又与有公共点B，所以A，B，D三点共线.
故答案为：A.
【分析】直接利用向量共线定理可得答案.
8．（2023高二上·西乡县开学考）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．如图所示，其分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：设正八面体的棱长为a，因为正八面体的表面积为，所以，
解得，又，所以，
故正八面体外接球的半径，其体积为.
故答案为：B.
【分析】先由正八面体的表面积为求得其棱长，再结合勾股定理得到其外接球的半径，从而得到其外接球的体积.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得得0分.
9．（2023高二上·西乡县开学考）已知，，是平面内三个非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
【答案】B,C
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：对于A：向量数量积不满足消去律，故A错误；
对于B：若，则，展开化简得：，故B正确；
对于C：当时，若，，则，故C正确；
对于D： 若，则， ，故D错误.
故答案为：B，C.
【分析】利用数量积的运算律可判断B，C，由共线向量的性质可判断C，由数量积的定义可判断D.
10．（2023高二上·西乡县开学考）在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，则下列说法正确的有（ ）
A．A：B：C=a：b：c B．
C．若A>B，则a>b D．
【答案】B,C,D
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：对于A：由正弦定理可得，，，所以，所以A错误；
对于B：，所以B正确；
对于C：根据大角对大边知C正确；
对于D：由三角形内角和为知D正确.
故答案为：B，C，D.
【分析】由正弦定理可判断A，B，根据大角对大边可判断C，由三角形内角和为可判断D.
11．（2023高二上·西乡县开学考）设函数，则下列结论正确的有（ ）
A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减
C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称
【答案】A,B,D
【知识点】函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：对于A： 的最小正周期为，故A正确；
对于B：当，，所以在上单调递减，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：，取得最小值，所以的图象关于直线对称，故D正确.
故答案为：A，B，D.
【分析】利用最小正周期公式可判断A，利用整体法结合余弦函数的单调性可判断B，计算的值可判断C，D.
12．（2023高二上·西乡县开学考）如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，则下列四个结论中正确的是（ ）
A． B．是等边三角形
C．平面平面 D．二面角的正切值为
【答案】A,B,D
【知识点】平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于A：由题意平面平面，平面平面，又，平面ABD，所以平面ADC，又平面ADC，所以，故A正确；
对于B：设，则，，所以，所以是等边三角形，故B正确；
对于C，如图，取AC的中点E，连接AE，则，假设平面平面，平面平面，平面ABC，所以平面，又平面ADC，所以，显然矛盾，故C错误；
对于D：由题意，，，，所以平面，过D作于F，连接AF，则平面AFD，所以，为二面角的平面角，又，所以，故D正确.
故答案为：A，B，D.
【分析】利用面面垂直的性质定理可判断A，设，算出可判断B，利用反证法可判断C，利用二面角的定义作出二面角的平面角，解三角形即可判断D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．（2023高二上·西乡县开学考）已知平面向量，，与的夹角为，则 ．
【答案】2
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，，与的夹角为，所以，
所以， .
故答案为：2.
【分析】遇模平方，先利用数量积的运算律计算，再开方得到答案.
14．（2023高二上·西乡县开学考）已知，则 ．
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：.
【分析】先将改写成，再结合二倍角的余弦公式计算即可得到答案.
15．（2023高二上·西乡县开学考）如图，四边形是梯形的直观图，四边形是等腰梯形，且，则梯形的周长为 .
【答案】
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】解：直观图中，易得，
将直观图还原，则，，，
，
所以 梯形的周长为.
故答案为：.
【分析】先计算出，将直观图还原，结合原图与直观图长度间的关系计算即可得到答案.
16．（2023高二上·西乡县开学考）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积为，那么这个三棱柱的侧面积为 ，二面角的正弦值为 ．
【答案】；
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：设球的半径为R，则，解得，所以正三棱柱的高为4，又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，设底面正三角形的边长为a，则，所以，正三棱柱的侧面积为；
如图，取的中点D，连接，因为，，，
所以平面，所以，所以为二面角的平面角，
又，所以，
故二面角的正弦值为.
故答案为：；.
【分析】第一空，先由球的体积计算得到球的半径，从而得到正三棱柱的高以及底面等边三角形的边长，从而求得侧面积；第二空，先作出二面角的平面角，再解三角形即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023高二上·西乡县开学考）已知i是虚数单位，.
（1）求；
（2）若复数的虚部为-1，且是纯虚数，求.
【答案】（1）解：根据复数的运算法则，
可得，
所以.
（2）解：设，则，
因为是纯虚数，所以且，
解得，所以.
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【分析】（1）先利用复数的除法运算化简复数，再利用模长公式计算即可；
（2）设，利用复数的乘法运算以及纯虚数的定义得到m，从而求得.
18．（2020高一上·成都期末）已知函数 (其中 ， )的图象如图所示.
（1）求函数 的解析式；
（2）若将函数 的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，得到函数 的图象，求当 时，函数 的单调递增区间.
【答案】（1）解：根据函数 ( ， ， )的部分图象，
可得 ， ，∴ .
再根据五点法作图， ，∴ ，
∴ .
（2）解：若将函数 的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，
得到函数 的图象，
对于函数 ，令 ，求得 ，
可得 的增区间为 ， .
结合 ，可得增区间为
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】(1)首先由图象即可得出A与周期的值，再由周期公式代入数值计算出由此即可得出函数的解析式。
(2)根据题意由函数平移的性质即可得到平移之后的函数的解析式g(x)，再由正弦函数的单调性结合整体思想即可求出函数g(x)的单调区间。
19．（2023高二上·西乡县开学考）已知平面向量，，函数.
（1）求函数相邻两对称轴的距离；
（2）求函数在区间上的值域.
【答案】（1）解：，
故函数的周期是，则函数相邻的两条对称轴的距离是.
（2）解：∵，∴，
∴函数的值域是.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】(1)利用向量数量积的坐标运算以及倍角公式得到的表达式，得到的周期即可解得答案；
（2）利用整体法结合正弦函数的性质可得答案.
20．（2023高二上·西乡县开学考）如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，，，，分别是，，的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面
【答案】（1）证明：如图，
因为N，P分别是AB，的中点，
所以，
又 平面， 平面，
所以 平面，
又M是的中点，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又 平面， 平面，
所以 平面，
因为，
所以平面平面；
（2）解：连接，交于T，连接MT，
因为 ，底面是等边三角形，
所以四边形是正方形，
所以，且T为的中点，
又，
所以，
因为，平面，所以 平面 .
【知识点】平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）分别证明平面，平面，利用面面平行的判定定理证明即可；
（2）连接，交于T，连接MT，分别证明，，结合线面垂直的判定定理可得证明.
21．（2023高二上·西乡县开学考）在锐角中，的对边分别为，且
（1）确定角的大小；
（2）若，且，求边.
【答案】（1）解：因为，由正弦定理得，又，
所以，即，因为，所以.
（2）解：由余弦定理，得，
又，由解得或
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化为角得到，结合C的范围可得答案；
（2）由余弦定理得到，再结合解方程组即可.
22．（2021高三上·大庆开学考）如图，在三棱柱 中， 底面 ，且 为等边三角形， ，D为 的中点．
（1）求证：直线 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）求三棱锥 的体积．
【答案】（1）连接 交 于 ，连接 ，在 中， 为 中点， 为 中点，所以 ，又 面 ，∴直线 面 ；
（2）∵ 面 ， 面 ，∴ ．又 ，
，∴ ， 面 ，∴ 面 ．
又 面 ，∴面 面 ；
（3）∵ 为正三角形， 为 中点，∴ ，由 ，可知 ，
．∴ ，又∵ 面 ，且 ，
∴ 面 ，且 ，∴ ．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）根据直线与平面平行的判定定理求解即可；
（2）根据直线与平面垂直性质定理及判定定理，结合平面与平面垂直的判定定理求解即可；
（3）运用等体积法，结合棱锥的体积公式求解即可.
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