第五章测评
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数,则( )
A. B. 2 C. D. 4
2. [2023江西赣州期末]已知,,,,则( )
A. B.
C. D.
3. 如图为函数的导函数的图象,那么函数的图象可能为( )
A.
B.
C.
D.
4. 曲线在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5. 在气象学中,通常把某时段内降雨量的平均变化率称为该时段内的降雨强度.下表为一次降雨过程中记录的降雨量数据.
时间 0 10 20 30 40 50 60
降雨量 0 6 14 18 20 23 24
则下列四个时段降雨强度最小的是( )
A. 到 B. 到 C. 到 D. 到
6. 若函数在区间,上单调递减,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 已知函数（,,为常数）,当时,只有一个实数根,当时,有3个不同的实数根,现给出下列4个结论:
①函数有2个极值点;
②函数有3个极值点;
和有一个相同的实根;
和有一个相同的实根.
其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 定义在上的偶函数的导函数为,若对任意的实数,都有恒成立,则使成立的实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 下列导数运算不正确的是( )
A. （ 为常数） B.
C. （ 为自然对数的底数） D.
10. [2023江苏镇江京口期中]如图是函数的导函数的图象,则以下说法正确的为( )
A. 是函数 的极值点
B. 函数 在 处取得最小值
C. 函数 在 处切线的斜率小于零
D. 函数 在区间 上单调递增
11. [2023北京朝阳期末]已知函数,下列结论正确的是( )
A. 若 是函数 的极值点,则
B. 若 是函数 的极值点,则 在 上的最小值为
C. 若 在 上单调递减,则
D. 若 在 上恒成立,则
12. [2023江苏常熟月考]对于三次函数,给出定义：设是函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是函数图象的对称中心.设函数,则以下说法正确的是( )
A.
B. 当 时, 有三个零点
C.
D. 当 有两个极值点 , 时,过 , 的直线必过点 ,
三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 函数的单调递减区间为.
14. 已知是的极值点,则.
15. [2023陕西咸阳期末]已知是定义在上的函数,且函数的图象关于直线对称,当时,,则,曲线在处的切线方程是.
16. [2023辽宁大连月考]设函数在上存在导数,,有,在上,若,则实数的取值范围是.
四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. [2023湖北荆州月考]（10分）已知曲线.
（1） 求曲线在点处的切线方程;
（2） 求过点并与曲线相切的直线方程.
18. （12分）设函数,.
（1） 求的极值点;
（2） 若关于的方程有3个不相等的实数根,求实数的取值范围;
（3） 已知当时,恒成立,求实数的取值范围.
19. （12分）已知函数有两个极值点,,且.
（1） 求实数的取值范围;
（2） 求的取值范围.
20. [2023江西宜春期末]（12分）已知函数.
（1） 求函数在区间上的最小值;
（2） 不等式对于恒成立,求实数的取值范围.
21. （12分）某广场一雕塑造型结构如图所示,最上层是呈水平状态的圆环且圆心为,其半径为,通过金属杆,,,,支撑在地面处（垂直于水平面）,,,,是圆环上的等分点,圆环所在的水平面距地面,设金属杆,,,所在直线与圆环所在水平面所成的角都为 （圆环及金属杆均不计粗细）.
（1） 当 为 且时,求金属杆,,,的总长.
（2） 当 变化,一定时,为美观与安全起见,要求金属杆,,,,的总长最短,此时 的正弦值是多少？并由此说明越大,点的位置将会上移还是下移
22. （12分）已知函数.
（1） 若,讨论的单调性;
（2） 已知,若方程在,上有且只有两个不相等的实数根,求实数的取值范围.
第五章测评
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. D
[解析]由已知得,
所以,解得.
故,.故选.
2. D
[解析],故是减函数,
又,,,故,
所以.故选.
3. A
[解析]由导函数的图象可知,当时,;当时,.所以在,上单调递增,在上单调递减.故选.
4. A
[解析]由,
得,
所以,,
所以曲线在处的切线方程为,
即.
故选.
5. D
[解析]到的降雨强度为;
到的降雨强度为;
到的降雨强度为;
到的降雨强度为.
因为,所以四个时段中到的降雨强度最小.
故选.
6. A
[解析]由函数,求导可得.
因为函数在区间,上单调递减,
所以在区间,上,
因为在区间,上小于零,且,
所以只需即可.
故选.
7. C
[解析]因为函数,所以.
由题意,当时,只有一个实数根,当时,有3个不同的实数根,故函数既有极大值,又有极小值,且极大值为4,极小值为0,故①正确,②错误;
与有一个相同的实根,即极大值点,故③正确;
与有一个相同的实根,即极小值点,故④正确.
故正确结论的个数是3.
故选.
8. B
[解析]当时,由可知.
设,,
则恒成立,
所以在上单调递减.
当时，由,
得,所以;
因为函数是偶函数,
所以也是偶函数,
所以当时,
解得.
综上可知,实数的取值范围为.
故选.
二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. ABD
[解析]对于,,错误;
对于,,错误;
对于,,正确;
对于,,错误.
故选.
10. AD
[解析]根据导函数的图象,可知当时,,时,,当且仅当时,.
故在上函数单调递减;在上函数单调递增,
所以是函数的极小值点,所以正确;其中两侧函数的单调性不变,则在处的函数值不是函数的最小值,所以不正确;
由图象可知,所以函数在处的切线的斜率大于零,所以不正确;
由图象可知,当时,,当且仅当时,等号成立,所以函数在区间上单调递增,
所以正确.
故选.
11. ABC
[解析]由,得.
对于,因为是函数的极值点,所以,得,经检验是函数的极小值点,所以正确;
对于,由选项可知,则,由,得或,由,得,所以在 ,和上单调递增,在,上单调递减,所以当时,取得最小值,所以正确;
对于,因为在上单调递减,所以当时,即,则在上恒成立,令,则,所以在上单调递增,所以,即,所以,所以正确;
对于,由在上恒成立,得在上恒成立,即在上恒成立,令,,则,所以在上单调递增,所以,所以,所以错误.
故选.
12. AB
[解析]对于选项,,
,
令,得,
的拐点为,
,
的图象的对称中心为,,
即成立,故选项正确;
对于选项,当时,,
不是的零点,
令,
即有三个实数根,
令,,
当时,,单调递增,当时,单调递减,时,单调递减,且,
的大致图象如图所示,
由图可知,当时,与有三个交点,即有三个零点,故选项正确;
对于选项,由选项可知,
,,两式相加可得,故选项错误;
对于选项,由于有两个极值点,,
有两个不相等的实数根,,
由于直线过,,则直线一定过线段的中点,由选项知,且有,
,
线段的中点坐标为,,,则直线一定过点,,故选项错误.
故选.
三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. ,
[解析]函数的定义域为,,令,得或（舍去）,所以在,上,,单调递减,在,上,,单调递增.
14. 1
[解析]因为,
所以,
因为是函数的极值点,
则,即,解得.
当时,,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以是函数的极值点,
故.
15. 0;
[解析] 函数的图象关于直线对称,
,
即,
,
故的图象关于直线对称,
.
当,
即时,,
当时,,
则,
,,
故曲线在处的切线方程为,
即.
16.
[解析]令,,,
函数为奇函数.
当时,,
故函数在上单调递减,
故函数在上也单调递减,
由,得,
在上是减函数,
,,
,
解得.
四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1） 解,
,当时,,
点处的切线方程为,即.
（2） 设切点坐标为,易知,
则切线斜率,
而,
则,
整理得,
即,
解得,,.
当时,,
所求直线方程为;
当时,,
所求直线方程为;
当时,,
所求直线方程为.
18. （1） 解,令,
得,.
当时,,
当时,,
因此,分别为的极大值点、极小值点.
（2） ,,由（1）的分析可知图象的大致形状及走向如图所示.
要使直线与的图象有3个不同的交点,则需.
则方程有3个不相等的实数根时,
所求实数的取值范围为.
（3） ,,
即,,
因为,所以在上恒成立,
令,由二次函数的性质得在上单调递增,
所以,
所以所求的取值范围为.
19. （1） 解根据题意,函数,
则,
函数有两个极值点等价于关于的方程有两个不相等的正实数根.
令,
因为图象的对称轴为直线,
所以
解得,
所以实数的取值范围为,.
（2） 由（1）知,是的两个不相等的正实数根,且,
所以,,故,
其中,.
令,,,
因为当,时,,
所以在,上单调递增,
所以,,即的取值范围是,.
20. （1） 解,
当时,,,
故当时,且不恒为0,
故在上单调递增,
故在处取得最小值.
（2） 由已知,有对于恒成立,
故,
令,则,故.
构造,则,
令,解得,
令,解得,
故在上单调递增,在上单调递减,
故在时取最大值,
故.
故实数的取值范围是,.
21. （1） 解当 且时（如图）,,,
所以.
（2） 因为金属杆,,,所在直线与圆环所在水平面所成的角都为 ,
所以 ,
, .
设金属杆总长为,则
,
.
当时,;
当时,.
所以当时,函数有极小值,极小值也是最小值.
此时,越大, 越小.
因为 是锐角,所以 也越小,因此点上移了.
22. （1） 解依题可得,定义域为,所以.
当时,由,得,由,得,
则的单调递减区间为,单调递增区间为.
当时,由,得,由,得或,
则的单调递减区间为,单调递增区间为和.
当时,且不恒为0,则的单调递增区间为.
当时,由,得,由,得或,
则的单调递减区间为,单调递增区间为和.
（2） .
方程在,上有且只有两个不相等的实数根,
即关于的方程在,上有且只有两个不相等的实数根.
令,,,
则.
令,,,
则,
因为在,上恒成立,且仅有,故在,上单调递增.
因为,
所以当,时,有,
即,单调递减;
当时,有,
即,单调递增.
因为,,,
所以的取值范围是,.第五章综合训练
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. [2023北京东城期末]函数在点处的切线方程为,则等于( )
A. B. C. 2 D. 4
2. 若函数在时取得极值,则等于( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 若函数有最大值,则实数的值是( )
A. 1 B. C. 4 D.
4. 已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5. 函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
6. 方程的根的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. [2023江苏南京联考]吹气球时,记气球的半径与体积之间的函数关系为,为的导函数.已知在上的图象如图所示,若,则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D. 存在 ,使得
8. [2023黑龙江牡丹江期末]设,,,则( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. [2023重庆沙坪坝期末]如图是函数的导函数的图象,对于下列四个判断,其中正确的是( )
A. 在 上单调递减 B. 在 上单调递减
C. 当 时, 取得极小值 D. 当 时, 取得极大值
10. [2023湖南怀化期末]已知函数在处取得极值10,则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 一定有两个极值点 D. 一定存在单调递减区间
11. [2023福建德化一中模拟]设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是( )
A. ， B. 是 的极大值点
C. 是 的极小值点 D. 是 的极小值点
12. 已知函数及其导函数的定义域均为,记.若,均为偶函数,则( )
A. B. C. D.
三、填空题:本题共4小题.
13. 如图,直线是曲线在点处的切线,则的值等于.
14. 某公司租地建仓库,每月土地占用费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位:千米）成反比,而每月库存货物的运费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位:千米）成正比.如果在距离车站处建仓库,和分别为2万元和8万元,那么当仓库建在离车站处时,两项费用之和最小,最小费用为万元.
15. 已知函数的定义域为,部分对应值如表所示,的导函数的图象如图所示.下列关于的结论：
0 4 5
1 2 2 1
①函数的极大值点为0,4;
②函数在上单调递减;
③如果当时,的最大值是2,那么的最大值为4;
④当时,函数有4个零点;
⑤函数的零点个数可能为0,1,2,3,4.其中正确结论的序号是.
16. [2023吉林抚松月考]已知偶函数的导函数为,且满足,当时,,则使得成立的的取值范围是.
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数,是函数的一个极值点.
（1） 求函数的增区间;
（2） 当时,求函数的最小值.
18. 设函数.
（1） 若对定义域内的任意,都有成立,求实数的值;
（2） 若函数在定义域上是单调函数,求实数的取值范围.
19. [2023江苏苏州月考]已知函数.
（1） 求函数的单调区间;
（2） 设为函数的极小值点,证明：.
20. 如图,假设酒杯杯身的形状为倒立的圆锥,杯深,上口宽,水以的流量倒入杯中,当水深为时,求水面升高的瞬时变化率.
21. 某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为30元,并且每件产品需向总公司缴纳元为常数,的管理费,根据多年的管理经验,预计当每件产品的售价为元时,产品一年的销售量为（为自然对数的底数）万件.已知当每件产品的售价为40元时,该产品一年的销售量为500万件,经物价部门核定,每件产品的售价最低不低于35元,最高不超过41元.
（1） 求分公司经营该产品一年的利润（单位:万元）与每件产品的售价（单位:元）的函数关系式;
（2） 当每件产品的售价为多少元时,该产品一年的利润最大？并求出的最大值.
22. 已知函数.
（1） 若在,处取得极值.
① 求,的值;
② 若存在,,使得不等式成立,求的最小值.
（2） 当时,若在上是单调函数,求的取值范围.
第五章综合训练
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. D
[解析],
,
.
故选.
2. D
[解析].由在时取得极值,得,即,所以.
经检验,当时,有两个不相等的实根,符合题意.故.
3. B
[解析]由函数,则.要使得函数有最大值,则.当时,,函数在上单调递增,当时,,函数在上单调递减,所以当时,函数取得最大值,即,解得,满足,故选.
4. D
[解析]由题意知,
由于在上单调递增,
则在上恒成立,
即在上恒成立.
当时,,则有,
解得或.
故选.
5. C
[解析]的定义域为,,则,为奇函数,图象关于原点对称,排除;,排除;当时,,当时,,单调递增,排除.故选.
6. C
[解析]令,
则.
当时,,单调递减;
当时,,单调递增,且,,,结合函数零点存在定理可知函数在区间上有一个零点,在区间上也有一个零点,故方程的根的个数为2.故选.
7. D
[解析]对于,设,,由题图得,所以 ,所以,所以错误;对于,易知图象上点的切线的斜率越来越小,根据导数的几何意义得,所以错误;对于,设,,
,,由题图得,所以错误;对于,表示,两点连线的斜率,表示处切线的斜率,由于,所以可以平移直线使之与曲线相切,切点就是点,所以正确.故选.
8. B
[解析]（方法1）若,则,,
令,
所以.
令,得,
所以在上,,单调递增,
所以,
即,
所以,即.
令,
则,
在,上,,单调递减,
所以,
所以,
所以,
即,
所以.所以.
故选.
（方法2）,所以;当时,,所以.故选.
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. BC
[解析]由的导函数的图象知,导函数在,上小于0,单调递减,在,上大于0,单调递增,选项错误,正确;函数在处取得极小值,选项正确;时导函数取得极大值,原函数没有取得极大值,原函数在处取得极大值,选项错误.故选.
10. BCD
[解析]由,得,
函数在处取得极值10,
,,
解得或
当,时,,
在处不存在极值,舍去;
当,时,,
当 ,时,,
当,时,,
当时,,
符合在处取得极值10,则,,,故错误,正确;
此时一定有两个极值点且存在单调递减区间,故,正确.
故选.
11. BD
[解析]是的极大值点，并不一定是最小值点，故不正确；的图象相当于的图象关于轴的对称图象，故是的极大值点，故正确；的图象相当于的图象关于轴的对称图象，故应是的极小值点，不能确定的情况，故不正确；的图象相当于的图象先关于轴作对称，再关于轴作对称得到的图象，是的极小值点,故正确.故选.
12. BC
[解析]是偶函数,
,
函数的图象关于直线对称,
.故正确;
为偶函数,
,
的图象关于直线对称.
,的图象关于直线对称,
的图象关于点对称.
的图象关于直线对称,
的图象关于点对称.
与均是周期为2的函数.
（不恒等于0）,故错误;
,正确;
构造函数符合题目要求,,而 , ,故错误.故选.
三、填空题:本题共4小题.
13.
[解析]由题图可得,直线过点和,则直线的斜率,又由直线是曲线在点处的切线,则,所以.
14. 5; 8
[解析]依题意,可设每月土地占用费,每月库存货物的运费,,是比例系数,且均不为0,于是由,得;由,得.因此,两项费用之和为,.令,得或（舍去）.当时,;当时,,因此,当时,取得极小值,也是最小值,其值为8.
15. ①②⑤
[解析]由的导函数的图象知,函数的极大值点为0,4,故①正确;因为在上,且不恒为0,故函数在上单调递减,故②正确;由表和图象知,所以③不正确;因为极小值未知,所以函数的零点个数可能为0,1,2,3,4,当时,函数的零点个数可能为2,3,4,所以④不正确,⑤正确.
16.
[解析]根据题意,令,
又由为偶函数,
则,
故为偶函数,
且.
又由当时,,
即当时,,
所以函数在上单调递减,
所以在上单调递增,
又,
所以,
则由,可得,
即在上的函数值大于零,
则在上的函数值大于零.
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1） 解由题意,得,,则.
所以,,
当时,;
当时,;
当时,.
所以函数的增区间为和.
（2） 当时,,的变化情况如表所示：
0 1 2
0 - 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调 递增 8
当时,,当时,,
所以当时,函数的最小值为.
18. （1） 解由,得,
的定义域为.
对任意的,都有,
是函数的最小值,故有.
,
,
解得.
经检验,当时,在内单调递减,在内单调递增.为最小值.
故.
（2） ,
又函数在定义域上是单调函数,
或在内恒成立.
若,则在内恒成立,
即在内恒成立,由此得;
当时,仅在处,故.
若,则在内恒成立,即在内恒成立.
在内没有最小值,
不存在实数使恒成立.
综上所述,实数的取值范围是.
19. （1） 解函数的定义域为,
因为,
所以,
当时,恒成立,在上单调递减;
当时,令,得.
当时,,当时,.
综上,当时,函数的单调递减区间为,无单调递增区间;当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
（2） 证明 由（1）知当时,在时取得极小值,且极小值为.
设函数,,,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
故,即,所以.
20. 解由题意,如图,设时刻水面高为,水面圆半径是,
由图知,得,此时水的体积为,又由题设条件知,此时的水量为,故有,
故有,
所以,
又当时,有,
故当时,,
所以当水深为时,
则水面升高的瞬时变化率是.
21. （1） 解设该产品一年的销售量为,
则,
所以,
则该产品一年的销售量,
则该产品一年的利润.
（2） ,.
①若,则,
当时,且不恒为0,单调递减,
所以当时,取得最大值为;
②若,则,
令,
得,
易知当时,取得最大值为.
综上所述,当,且每件产品的售价为35元时,该产品一年的利润最大,最大利润为万元;
当,且每件产品的售价为元时,该产品一年的利润最大,最大利润为万元.
22. （1） ① 解函数的定义域为,.
在,处取得极值,
,,
即解得
② 若存在,,使得不等式成立,
则只需.
由①知,
,
当,时,,函数单调递减;当,时,,当或时,等号成立,函数单调递增;
当时,,函数单调递减,
在处取得极小值,
即.
又,
,
,
,,
故.
（2） 当时,.
当时,,则在上是增函数;
当时,,
,
,则在上是增函数;当时,设,
,故只需,即,
此时在上是减函数.
综上可得, ,.(共44张PPT)
01
第五章综合训练
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2023北京东城期末] 函数 在点 处的切线方程为 ,则
等于( )
D
A. B. C.2 D.4
[解析] ,
,
.
故选D.
2.若函数 在 时取得极值,则 等于( )
D
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] .由 在 时取得极值,得 ,即 ,所以 .
经检验,当 时, 有两个不相等的实根,符合题意.故 .
3.若函数 有最大值 ,则实数 的值是( )
B
A.1 B. C.4 D.
[解析] 由函数 ,则 .要使得函数
有最大值 ,则 .当 时, ,函数 在 上单调递增,当
时, ,函数 在 上单调递减,所以当 时,函数
取得最大值,即 ,解得 ,满足 ,故选B.
4.已知函数 在 上单调递增,则实数 的取值范围是( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 由题意知 ,
由于 在 上单调递增,
则 在 上恒成立,
即 在 上恒成立.
当 时, ,则有 ,
解得 或 .
故选D.
5.函数 的部分图象大致为( )
C
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 的定义域为 , ,则 ,
为奇函数,图象关于原点对称,排除B; ,排除A;当 时,
,当 时, , 单调递增,排除D.故选C.
6.方程 的根的个数为( )
C
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 令 ,
则 .
当 时, , 单调递减;
当 时, , 单调递增,且 ,
, ,结合函数零
点存在定理可知函数在区间 上有一个零点,在区间 上也有一个零点,故方
程 的根的个数为2.故选C.
7.[2023江苏南京联考] 吹气球时,记气球的半径 与体积 之间的函数关系为 ,
为 的导函数.已知 在 上的图象如图所示,若 ,
则下列结论正确的是( )
D
A.
B.
C.
D.存在 ,使得
[解析] 对于A,设 , ,由题图得 ,所以
,所以 ,所以A错误;对于B,易知图象上点的切线的斜
率越来越小,根据导数的几何意义得 ,所以B错误;对于C,设 ,
,
, ,由题图得 ,所以C错误;对于D,
表示 , 两点连线的斜率, 表示
处切线的斜率,由于 ,所以可以平移直线 使之与曲线相切,切点就是点
, 所以D正确.故选D.
8.[2023黑龙江牡丹江期末] 设 , , ,则( )
B
A. B. C. D.
[解析] （方法1）若 ,则 , ,
令 ,
所以 .
令 ,得 ,
所以在 上, , 单调递增,
所以 ,
即 ,
所以 ,即 .
令 ,
则 ,
在 , 上, , 单调递减,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
即 ,
所以 .所以 .
故选B.
（方法2） ,所以 ;当
时, ,所以 .
故选B.
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9.[2023重庆沙坪坝期末] 如图是函数 的
导函数的图象,对于下列四个判断,其中正确的是
( )
BC
A. 在 上单调递减
B. 在 上单调递减
C.当 时, 取得极小值
D.当 时, 取得极大值
[解析] 由 的导函数 的图象知,导函数 在 , 上小于0, 单调递减,在 , 上大于0, 单调递增,选项A错误,B正确;函数 在 处取得极小值,选项C正确; 时导函数取得极大值,原函数没有取得极大值,原函数在 处取得极大值,选项D错误.故选 .
10.[2023湖南怀化期末] 已知函数 在 处取得极值10,则
下列说法正确的是( )
BCD
A. B.
C. 一定有两个极值点 D. 一定存在单调递减区间
[解析] 由 ,得 ,
函数 在 处取得极值10,
, ,
解得 或
当 , 时, ,
在 处不存在极值,舍去;
当 , 时, ,
当 , 时, ,
当 , 时, ,
当 时, ,
符合 在 处取得极值10,则 , , ,故A错误,B正确;
此时 一定有两个极值点且存在单调递减区间,故C,D正确.
故选 .
11.[2023福建德化一中模拟] 设函数 的定义域为 ， 是 的极大值
点，以下结论一定正确的是( )
BD
A. ， B. 是 的极大值点
C. 是 的极小值点 D. 是 的极小值点
[解析] 是 的极大值点，并不一定是最小值点，故A不正确； 的
图象相当于 的图象关于 轴的对称图象，故 是 的极大值点，故B正
确； 的图象相当于 的图象关于 轴的对称图象，故 应是 的极小
值点，不能确定 的情况，故C不正确； 的图象相当于 的图象先关于
轴作对称，再关于 轴作对称得到的图象， 是 的极小值点,故D正确.故
选 .
12.已知函数 及其导函数 的定义域均为 ,记 .若 ,
均为偶函数,则( )
BC
A. B. C. D.
[解析] 是偶函数,
,
函数 的图象关于直线 对称,
.故C正确;
为偶函数,
,
的图象关于直线 对称.
, 的图象关于直线 对称,
的图象关于点 对称.
的图象关于直线 对称,
的图象关于点 对称.
与 均是周期为2的函数.
（不恒等于0）,故A错误;
, 正确;
构造函数 符合题目要求, ,而
, ,故D错误.故选 .
三、填空题:本题共4小题.
13.如图,直线 是曲线 在点 处的切线,则
的值等于_ __.
[解析] 由题图可得 ,直线 过点 和 ,则直
线 的斜率 ,又由直线 是曲线 在点
处的切线,则 ,所以
.
14.某公司租地建仓库,每月土地占用费 （单位：万元）与仓库到车站的距离 （单
位:千米）成反比,而每月库存货物的运费 （单位：万元）与仓库到车站的距离
（单位:千米）成正比.如果在距离车站 处建仓库, 和 分别为2万元和8万元,
那么当仓库建在离车站___ 处时,两项费用之和最小,最小费用为___万元.
5
8
[解析] 依题意,可设每月土地占用费 ,每月库存货物的运费 , , 是
比例系数,且均不为0,于是由 ,得 ;由 ,得 .因此,两项费用
之和为 , .令 ,得 或 （舍去）.当
时, ;当 时, ,因此,当 时, 取得极小值,也是最小值,其
值为8.
15.已知函数 的定义域为 ,部分对应值如表所示, 的导函数
的图象如图所示.下列关于 的结论：
0 4 5
1 2 2 1
①函数 的极大值点为0,4;
②函数 在 上单调递减;
③如果当 时, 的最大值是2,那么 的最大值为4;
④当 时,函数 有4个零点;
⑤函数 的零点个数可能为0,1,2,3,4.其中正确结论的序号是________.
①②⑤
[解析] 由 的导函数 的图象知,函数 的极大值点为0,4,故①正确;因为
在 上 ,且不恒为0,故函数 在 上单调递减,故②正确;由表和图
象知 ,所以③不正确;因为极小值 未知,所以函数 的零点个
数可能为0,1,2,3,4,当 时,函数 的零点个数可能为2,3,4,所以④不
正确,⑤正确.
16.[2023吉林抚松月考] 已知偶函数 的导函数为 ,且满足 ,
当 时, ,则使得 成立的 的取值范围是_ _____________.
[解析] 根据题意,令 ,
又由 为偶函数,
则 ,
故 为偶函数,
且 .
又由当 时, ,
即当 时, ,
所以函数 在 上单调递减,
所以 在 上单调递增,
又 ,
所以 ,
则由 ,可得 ,
即 在 上的函数值大于零,
则 在 上的函数值大于零.
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知函数 , 是函数 的一个极值点.
（1）求函数 的增区间;
解 由题意,得 , ,则 .
所以 , ,
当 时, ;
当 时, ;
当 时, .
所以函数 的增区间为 和 .
（2）当 时,求函数 的最小值.
解 当 时, , 的变化情况如表所示：
0 1 2
0 - 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调 递增 8
当 时, ,当 时, ,
所以当 时,函数 的最小值为 .
18.设函数 .
（1）若对定义域内的任意 ,都有 成立,求实数 的值;
解 由 ,得 ,
的定义域为 .
对任意的 ,都有 ,
是函数 的最小值,故有 .
,
,
解得 .
经检验,当 时, 在 内单调递减,在 内单调递增. 为最小值.
故 .
（2）若函数 在定义域上是单调函数,求实数 的取值范围.
解 ,
又函数 在定义域上是单调函数,
或 在 内恒成立.
若 ,则 在 内恒成立,
即 在 内恒成立,由此得 ;
当 时,仅在 处 ,故 .
若 ,则 在 内恒成立,即
在 内恒成立.
在 内没有最小值,
不存在实数 使 恒成立.
综上所述,实数 的取值范围是 .
19.[2023江苏苏州月考] 已知函数 .
（1）求函数 的单调区间;
解 函数 的定义域为 ,
因为 ,
所以 ,
当 时, 恒成立, 在 上单调递减;
当 时,令 ,得 .
当 时, ,当 时, .
综上,当 时,函数 的单调递减区间为 ,无单调递增区间;当 时,
函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
（2）设 为函数的极小值点,证明： .
证明 由（1）知当 时, 在 时取得极小值,且极小值为
.
设函数 , , ,
当 时, , 单调递减;
当 时, , 单调递增.
故 ,即 ,所以 .
20.如图,假设酒杯杯身的形状为倒立的圆锥,杯深 ,上口宽 ,水以
的流量倒入杯中,当水深为 时,求水面升高的瞬时变化率.
解 由题意,如图,设 时刻水面高为 ,水面圆半径是 ,
由图知 ,得 ,此时水的体积为 ,又由题设条件知,此时的
水量为 ,故有 ,
故有 ,
所以 ,
又当 时,有 ,
故当 时, ,
所以当水深为 时,
则水面升高的瞬时变化率是 .
21.某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为30元,并且每件产品需向总公司缴纳 元 为常数, 的管理费,根据多年的管理经验,预计当每件产品的售价为 元时,产品一年的销售量为 （ 为自然对数的底数）万件.已知当每件产品的售价为40元时,该产品一年的销售量为500万件,经物价部门核定,每件产品的售价 最低不低于35元,最高不超过41元.
（1）求分公司经营该产品一年的利润 （单位:万元）与每件产品的售价 （单位:
元）的函数关系式;
解 设该产品一年的销售量为 ,
则 ,
所以 ,
则该产品一年的销售量 ,
则该产品一年的利润 .
（2）当每件产品的售价为多少元时,该产品一年的利润 最大？并求出 的最大值.
解 , .
①若 ,则 ,
当 时, 且不恒为0, 单调递减,
所以当 时, 取得最大值为 ;
②若 ,则 ,
令 ,
得 ,
易知当 时, 取得最大值为 .
综上所述,当 ,且每件产品的售价为35元时,该产品一年的利润最大,最大利润
为 万元;
当 ,且每件产品的售价为 元时,该产品一年的利润最大,最大利润为
万元.
22.已知函数 .
（1）若 在 , 处取得极值.
①求 , 的值;
解 函数 的定义域为 , .
在 , 处取得极值,
, ,
即 解得
②若存在 , ,使得不等式 成立,求 的最小值.
解 若存在 , ,使得不等式 成立,
则只需 .
由①知 ,
,
当 , 时, ,函数 单调递减;当 , 时, ,当 或
时,等号成立,函数 单调递增;
当 时, ,函数 单调递减,
在 处取得极小值,
即 .
又 ,
,
,
, ,
故 .
（2）当 时,若 在 上是单调函数,求 的取值范围.
解 当 时, .
当 时, ,则 在 上是增函数;
当 时, ,
,
,则 在 上是增函数;当 时,设
,
,故只需 ,即 ,
此时 在 上是减函数.
综上可得, , .(共49张PPT)
01
第五章测评
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数 ,则 ( )
D
A. B.2 C. D.4
[解析] 由已知得 ,
所以 ,解得 .
故 , .故选D.
2.[2023江西赣州期末] 已知 , , , ,则( )
D
A. B.
C. D.
[解析] ,故 是减函数,
又 , , ,故 ,
所以 .故选D.
3.如图为函数 的导函数 的图象,那么函数 的图象可能为( )
A
A.&1& B.&2&
C.&3& D.&4&
[解析] 由导函数 的图象可知,当 时, ;当
时, .所以 在 , 上单调递增,在 上单调
递减.故选A.
4.曲线 在 处的切线方程为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由 ,
得 ,
所以 , ,
所以曲线 在 处的切线方程为 ,
即 .
故选A.
5.在气象学中,通常把某时段内降雨量的平均变化率称为该时段内的降雨强度.下表为一次降雨过程中记录的降雨量数据.
0 10 20 30 40 50 60
0 6 14 18 20 23 24
则下列四个时段降雨强度最小的是( )
D
A. 到 B. 到 C. 到 D. 到
[解析] 到 的降雨强度为 ;
到 的降雨强度为 ;
到 的降雨强度为 ;
到 的降雨强度为 .
因为 ,所以四个时段中 到 的降雨强度最小.
故选D.
6.若函数 在区间 , 上单调递减,则 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由函数 ,求导可得 .
因为函数在区间 , 上单调递减,
所以在区间 , 上 ,
因为 在区间 , 上小于零,且 ,
所以只需 即可.
故选A.
7.已知函数 （ , , 为常数）,当 时,
只有一个实数根,当 时, 有3个不同的实数根,现给出
下列4个结论:
①函数 有2个极值点;
②函数 有3个极值点;
和 有一个相同的实根;
和 有一个相同的实根.
其中正确结论的个数是( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 因为函数 ,所以 .
由题意,当 时, 只有一个实数根,当 时,
有3个不同的实数根,故函数既有极大值,又有极小值,且极大值为4,极小值
为0,故①正确,②错误;
与 有一个相同的实根,即极大值点,故③正确;
与 有一个相同的实根,即极小值点,故④正确.
故正确结论的个数是3.
故选C.
8.定义在 上的偶函数 的导函数为 ,若对任意的实数 ,都有
恒成立,则使 成立的实数 的取值范围为
( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 当 时,由 可知 .
设 , ,
则 恒成立,
所以 在 上单调递减.
当 时，由 ,
得 ,所以 ;
因为函数 是偶函数,
所以 也是偶函数,
所以当 时,
解得 .
综上可知,实数 的取值范围为 .
故选B.
二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.下列导数运算不正确的是( )
ABD
A. （ 为常数） B.
C. （ 为自然对数的底数） D.
[解析] 对于A, ,A错误;
对于B, ,B错误;
对于C, ,C正确;
对于D, ,D错误.
故选 .
10.[2023江苏镇江京口期中] 如图是函数 的导函
数 的图象,则以下说法正确的为( )
AD
A. 是函数 的极值点
B.函数 在 处取得最小值
C.函数 在 处切线的斜率小于零
D.函数 在区间 上单调递增
[解析] 根据导函数 的图象,可知当 时, ,
时, ,当且仅当 时, .
故在 上函数 单调递减;在 上函数 单调递增,
所以 是函数 的极小值点,所以A正确;其中 两侧函数的单调性不变,则
在 处的函数值不是函数 的最小值,所以B不正确;
由图象可知 ,所以函数 在 处的切线的斜率大于零,所以C不正确;
由 图象可知,当 时, ,当且仅当 时,等号成立,所以函
数 在区间 上单调递增,
所以D正确.
故选 .
11.[2023北京朝阳期末] 已知函数 ,下列结论正确的是( )
ABC
A.若 是函数 的极值点,则
B.若 是函数 的极值点,则 在 上的最小值为
C.若 在 上单调递减,则
D.若 在 上恒成立,则
[解析] 由 ,得 .
对于A,因为 是函数 的极值点,所以 ,得 ,经检验
是函数 的极小值点,所以A正确;
对于B,由选项A可知 ,则 ,由 ,得
或 ,由 ,得 ,所以 在 , 和 上单
调递增,在 , 上单调递减,所以当 时, 取得最小值
,所以B正确;
对于C,因为 在 上单调递减,所以当 时 ,即
,则 在 上恒成立,令
,则 ,所以 在 上单调递增,所以
,即 ,所以 ,所以C正确;
对于D,由 在 上恒成立,得 在
上恒成立,即 在 上恒成立,令 , ,
则 ,所以 在 上单调递增,所以
,所以 ,所以D错误.
故选 .
12.[2023江苏常熟月考] 对于三次函数 ,给出定义：
设 是函数 的导数, 是 的导数,若方程 有实数解 ,则
称点 为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”,任何一
个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是函数图象的对称中心.设函数
,则以下说法正确的是( )
AB
A.
B.当 时, 有三个零点
C.
D.当 有两个极值点 , 时,过 , 的直线必过点 ,
[解析] 对于选项A, ,
,
令 ,得 ,
的拐点为 ,
,
的图象的对称中心为 , ,
即 成立,故选项A正确;
对于选项B,当 时, ,
不是 的零点,
令 ,
即 有三个实数根,
令 , ,
当 时, , 单调递增,当 时, 单调递减,
时, 单调递减,且 ,
的大致图象如图所示,
由图可知,当 时, 与 有三
个交点,即 有三
个零点,故选项B正确;
对于选项C,由选项A可知 ,
,
,两式相加可得 ,
故选项C错误;对于选项D,由于 有两个极值点 , ,
有两个不相等的实数根 , ,
由于直线过 , ,则直线 一定过线段 的中点,由选项A知
,且有 ,
,
线段 的中点坐标为 , , ,则直线 一定过点 , ,
故选项D错误.
故选 .
三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.函数 的单调递减区间为_______.
,
[解析] 函数 的定义域为 , ,令 ,得
或 （舍去）,所以在 , 上, , 单调递减,在 , 上,
, 单调递增.
14.已知 是 的极值点,则 ___.
1
[解析] 因为 ,
所以 ,
因为 是函数 的极值点,
则 ,即 ,解得 .
当 时, ,
当 时, , 单调递减,
当 时, , 单调递增,
所以 是函数 的极值点,
故 .
15.[2023陕西咸阳期末] 已知 是定义在 上的函数,且函数 的图象关
于直线 对称,当 时, ,则 ___,曲线 在
处的切线方程是_ ___________.
0
[解析] 函数 的图象关于直线 对称,
,
即 ,
,
故 的图象关于直线 对称,
.
当 ,
即 时, ,
当 时, ,
则 ,
, ,
故曲线 在 处的切线方程为 ,
即 .
16.[2023辽宁大连月考] 设函数 在 上存在导数 , ,有
,在 上 ,若 ,则实数
的取值范围是_ _________.
[解析] 令 , ,
,
函数 为奇函数.
当 时, ,
故函数 在 上单调递减,
故函数 在 上也单调递减,
由 ,得 ,
在 上是减函数,
, ,
,
解得 .
四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）[2023湖北荆州月考] 已知曲线 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程;
解 ,
,当 时, ,
点 处的切线方程为 ,即 .
（2）求过点 并与曲线 相切的直线方程.
解 设切点坐标为 ,易知 ,
则切线斜率 ,
而 ,
则 ,
整理得 ,
即 ,
解得 , , .
当 时, ,
所求直线方程为 ;
当 时, ,
所求直线方程为 ;
当 时, ,
所求直线方程为 .
18.（12分）设函数 , .
（1）求 的极值点;
解 ,令 ,
得 , .
当 时, ,
当 时, ,
因此 , 分别为 的极大值点、极小值点.
（2）若关于 的方程 有3个不相等的实数根,求实数 的取值范围;
解 , ,由（1）的分析可知
图象的大致形状及走向如图所示.
要使直线 与 的图象有3个不同的交点,则需
.
则方程 有3个不相等的实数根时,
所求实数 的取值范围为 .
（3）已知当 时, 恒成立,求实数 的取值范围.
解 , ,
即 , ,
因为 ,所以 在 上恒成立,
令 ,由二次函数的性质得 在 上单调递增,
所以 ,
所以所求 的取值范围为 .
19.（12分）已知函数 有两个极值点 , ,且 .
（1）求实数 的取值范围;
解 根据题意,函数 ,
则 ,
函数 有两个极值点等价于关于 的方程 有两个不
相等的正实数根.
令 ,
因为 图象的对称轴为直线 ,
所以
解得 ,
所以实数 的取值范围为 , .
（2）求 的取值范围.
解 由（1）知 , 是 的两个不相等的正实数根,且 ,
所以 , ,故 ,
其中 , .
令 , , ,
因为当 , 时, ,
所以 在 , 上单调递增,
所以 , ,即 的取值范围是 , .
20.（12分）[2023江西宜春期末] 已知函数 .
（1）求函数 在区间 上的最小值;
解 ,
当 时, , ,
故当 时, 且不恒为0,
故 在 上单调递增,
故 在 处取得最小值 .
（2）不等式 对于 恒成立,求实数 的取值范围.
解 由已知,有 对于 恒成立,
故 ,
令 ,则 ,故 .
构造 ,则 ,
令 ,解得 ,
令 ,解得 ,
故 在 上单调递增,在 上单调递减,
故 在 时取最大值 ,
故 .
故实数 的取值范围是 , .
21.（12分）某广场一雕塑造型结构如图所示,最上层是呈水平状态的圆环
且圆心为 ,其半径为 ,通过金属杆 , , , , 支撑在地
面 处（ 垂直于水平面） , , , , 是圆环上的 等分点,圆
环所在的水平面距地面 ,设金属杆 , , , 所在直线与圆
环所在水平面所成的角都为 （圆环及金属杆均不计粗细）.
（1）当 为 且 时,求金属杆 , , , 的总长.
解 当 且 时（如图）, , ,
所以 .
（2）当 变化, 一定时,为美观与安全起见,要求金属杆 , , , , 的总
长最短,此时 的正弦值是多少？并由此说明 越大, 点的位置将会上移还是下移
解 因为金属杆 , , , 所在直线与圆环所在水平面所成的角都为 ,
所以 ,
, .
设金属杆总长为 ,则
,
.
当 时, ;
当 时, .
所以当 时,函数有极小值,极小值也是最小值.
此时 , 越大, 越小.
因为 是锐角,所以 也越小,因此 点上移了.
22.（12分）已知函数 .
（1）若 ,讨论 的单调性;
解 依题可得 ,定义域为 ,所以
.
当 时,由 ,得 ,由 ,得 ,
则 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 .
当 时,由 ,得 ,由 ,得 或 ,
则 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 和 .
当 时, 且不恒为0,则 的单调递增区间为 .
当 时,由 ,得 ,由 ,得 或 ,
则 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 和 .
（2）已知 ,若方程 在 , 上有且只有两个
不相等的实数根,求实数 的取值范围.
解 .
方程 在 , 上有且只有两个不相等的实数根,
即关于 的方程 在 , 上有且只有两个不相等的实数根.
令 , , ,
则 .
令 , , ,
则 ,
因为 在 , 上恒成立,且仅有 ,故 在 , 上单调递增.
因为 ,
所以当 , 时,有 ,
即 , 单调递减;
当 时,有 ,
即 , 单调递增.
因为 , , ,
所以 的取值范围是 , .
