(共14张PPT)
1
重难探究·能力素养全提升
课程标 准 1.了解利用导数研究存在性问题和恒成立问题的方法.
2.初步运用导数解决存在性问题和恒成立问题.
01
重难探究·能力素养全提升
探究点一 由不等式恒成立求参数的值（取值范围）
【例1】 已知函数 .
（1）判断函数 在区间 , 上的单调性；
解 ,
令 , , ,
则 ,
显然,当 , 时, ,
故函数 在区间 , 上单调递减.
又 ,从而 在区间 , 上恒小于零,所以 在区间 , 上恒小于零,所
以函数 在区间 , 上单调递减.
（2）若 在区间 , 上恒成立,求实数 的最小值.=
解 不等式 , , 恒成立,
即 , , 恒成立.
令 , , ,
则 ,且 .
当 时,在区间 , 上 ,
即函数 单调递减,
此时 ,故 恒成立.
当 时, 在区间 , 上存在唯一解 ,当 时,
,故 在区间 上单调递增,且 ,从而 在区间 上大
于零恒成立,这与 恒成立相矛盾.
当 时,在区间 , 上 ,即函数 单调递增,又 ,故
恒成立,这与 恒成立相矛盾.
故实数 的最小值为1.
变式训练1 已知函数 .若 在定义域内恒成立,
求实数 的取值范围.
解 的定义域为 ,
令 ,
得 （舍去）, .
所以 , , 的变化情况如下表:
0 -
单调递增 极大值 单调递减
所以 ,令 ,
所以 .
则 的取值范围是 .
探究点二 不等式能成立求参数的值（取值范围）
【例2】 已知函数 .
（1）若 在区间 上是单调函数,求实数 的取值范围；
解 ,当导函数 的零点 落在区间 内时,函数 在
区间 上不是单调函数,即 ,所以实数 的取值范围是 .
（2）函数 ,若 使得 成立,求实数 的取值范围.
解 由题意知,不等式 在区间 上有解,
即 在区间 上有解.
因为当 时, （不同时取等号）, ,
所以 在区间 上有解.
令 , ,
则 , .
因为 ,
所以 ,
所以 , 在 上单调递增,
所以 时, ,
所以 ,
所以实数 的取值范围是 , .
变式训练2 [2023上海青浦期末] 设 , ,若存在唯一的 使得关于 的不等式
组 有解,则 的取值范围是____________.
[解析] ,由不等式 有解知, ,而 ,因此 .
因为存在唯一的 使得关于 的不等式组 有解,则当且仅当
时,不等式组 有解,且当 时不等式组
无解.由 有解,得 有解,于是得
,解得 ,由 无解,得 无解,于是得
,解得 ,因此 ,所以 的取值范围是
.
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）函数中的存在性问题.
（2）函数中的恒成立问题.
（3）函数的最值或范围问题.
2.方法归纳:转化法、分离参数法、分类讨论.
3.常见误区:分离参数后检验等号是否能成立.(共31张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标 准 1.能应用导数的定义求几个常见函数的导数.
2.掌握基本初等函数的导数公式,并会求函数的导数.
3.掌握导数的四则运算法则,能进行导数的运算.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 几个常用函数的导数
函数 导数
过关自诊
1.判断正误.（正确的打 ,错误的打 ）
（1）若 ,则 .( )
×
（2）导函数是常数函数的函数一定是正比例函数.( )
×
（3）若 ,则 .( )
√
2.常数函数的导数为0说明什么？
提示 说明常数函数 图象上每一点处的切线的斜率都为0,即每一点处的切线都
平行（或重合）于 轴.
知识点2 基本初等函数的导数公式
函数 导数
0
名师点睛
由于根式函数可以转化为幂函数的形式,因此可以利用幂函数的导数公式解决根式
函数的求导问题.一般地,对于函数 ,有 ,从而
.
过关自诊
1.判断正误.（正确的打 ,错误的打 ）
（1）若 ,则 .( )
×
（2） 是 ,且 的特例.( )
√
2.若 是偶函数,则 是奇函数还是偶函数
提示 奇函数.
3.［人教B版教材例题］求曲线 在 处的切线方程.
解 因为 ,所以所求切线的斜率为 ,又因为 ,所以所求
切线方程为 ,即 .
知识点3 导数的四则运算法则
和的导数
差的导数
积的导数
商的导数
名师点睛
两个函数和与差的导数运算法则可以推广到若干个函数和与差的情形:
.
过关自诊
1.函数 怎样求导数？
提示 函数 的导数可以看作是商的导数，其结果为 .
2.设函数 ,则 等于( )
D
A. B.
C. D.
[解析] ,
.故选D.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 导数公式与运算法则的简单应用
【例1】 ［北师大版教材习题］求下列函数的导数:
（1） ;
解 .
（2） ;
解 .
（3） ;
解 .
（4） ;
解 因为 ,
所以 .
（5） ;
解 因为 ,
所以 .
（6） .
解 .
分析 根据每个函数的解析式的构成特点,利用求导公式和运算法则进行求解.
变式训练1 求下列函数的导数:
（1） ；
解 .
（2） ；
解 .
（3） ；
解 .
（4）
解 ,
故 .
探究点二 利用导数公式与运算法则求复杂函数的导数
【例2】 求下列函数的导数:
（1） ；
解 .
（2） ；
解 .
（3） ；
解 .
（4） .
解 ，
.
变式探究 求曲线 在点 处的切线方程.
解 ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
规律方法 求复杂函数的导数的策略
（1）分析待求导的式子符合哪种求导法则,式子的每一部分是由哪种基本初等函数组合
成的,确定求导法则、基本公式.
（2）若求导的式子比较复杂,则需要对式子先变形再求导,常用的变形有乘积式展开变为
和式求导,商式变乘积式求导,三角函数恒等变换后求导等.
（3）利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差,能利用和、差的求导法则求导
的,尽量少用积、商的求导法则求导.
探究点三 导数公式与运算法则的综合应用
角度1.解析式中含 的导数问题
【例3】 已知函数 的导函数是 ,且 ,则 ( )
B
A. B.2 C. D.
[解析] 因为 ，所以 .
所以 ，解得 .
所以 ， .
故选B.
变式训练2 [2023江苏南通期末] 已知函数 的导函数为 ,且
,则 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] , , ， ,
.故选D.
角度2.利用导数公式及函数性质解题
【例4】 已知 , 是 的导函数,即 ,
, , , ,则 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，所以 ，
, ,
, 因为 ，
所以 ，故选A.
规律方法 涉及与三角函数有关的导数问题,应明确三角函数的导数仍然是周期函数.
角度3.用待定系数法处理求导问题
【例5】 设 是二次函数,方程 有两个相等的实根,且 .
求 的函数解析式.
解 是二次函数, ,
（ 为常数）.
又方程 有两个相等的实根,
即 有两个相等的实根,
,
即 ,
.
规律方法 待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题,然后利用已知条件解出所
设未知数,进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式,特别是已知具有某些特征的函数.
变式训练3 已知 是一次函数,关于 的方程 对一切
恒成立,求 的解析式.
解 由 为一次函数可知 为二次函数,设 ,则
,则原方程可化为 ,即
,
又该方程对一切 恒成立,
所以 解得
所以 .
探究点四 导数几何意义的综合问题
【例6】 已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线的方程；
解 , 曲线在点 处的切线的斜率 ,故切线的方程为 ,即 .
（2）直线 为曲线 的切线,且经过原点,求直线 的方程及切点的坐标.
解 设切点为 ,
则直线 的斜率为 ,
直线 的方程为 .
又直线 过点 , ,解得 .
因此 , .
故直线 的方程为 ,切点坐标为 .
分析 利用导数的几何意义求解,但要注意（2）中切线经过原点,而原点不在曲线上,故应另设切点.
变式训练4 ［人教B版教材例题］已知 ,求 以及曲线 在点
处的切线的方程.
解 因为 ,
所以 .
又因为 ,所以所求切线方程为 ,即
.
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）常用函数的导数.
（2）基本初等函数的导数公式.
（3）导数的四则运算法则.
（4）综合运用导数公式和导数四则运算法则求函数的导数.
2.方法归纳:公式法、转化法、待定系数法.
3.常见误区:
对于复杂函数求导,要遵循先化简、再求导的基本原则.(共39张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程 标准 1.会求函数在某一点附近的平均变化率,会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
2.理解导数的几何意义,会求导函数,并能根据导数的几何意义求曲线上某点处的切线方
程.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 函数的平均变化率
对于函数 ,设自变量 从 变化到 ,相应地,函数值 就从 变
化到 .这时, 的变化量为 , 的变化量为 __________________.我们
把比值 ,即 叫做函数 从 到 的____________.
平均变化率
名师点睛
1. 是自变量的变化量,它可以为正,也可以为负,但不能等于零,而 是相应函数值的变化量,它可以为正,可以为负,也可以等于零.
2.函数平均变化率的物理意义:如果物体的运动规律是 ,那么函数 在 到 这段时间内的平均变化率就是物体在这段时间内的平均速度,即 .
3. 的实质是函数在某一区间内函数值变化量与自变量变化量之比.
过关自诊
1.函数 从 到 的平均变化率中对 , 有什么要求？
提示 函数 应在 ， 处有定义且 .
2.若函数 在某区间 上的平均变化率为0,能不能说明函数值在区间
上的函数值都相等？
提示 不能.因为函数在某区间 上的平均变化率为0只能说明
.
3.函数 在区间 上的平均变化率的几何意义是什么？
提示 已知 ， 是函数 的图象上两点，则
平均变化率 表示割线 的斜率.
4.如图,函数 在 , 两点间的平均变化率是( )
B
A.1 B. C.2 D.
[解析] 平均变化率是 .
知识点2 导数的概念
如果当 时,平均变化率 无限趋近于一个确定的值,即 有极限,则称
在 处可导,并把这个确定的值叫做 在 处的______（也
称为瞬时变化率）,记作 或 ,即 _ ________________.
名师点睛
对于导数的概念,注意以下几点:
（1）函数应在点 的附近有定义,否则导数不存在；
（2）导数是一个局部概念,它只与函数 在 及其附近的函数值有关,
与 无关.
导数
过关自诊
1.若极限 不存在,这说明什么？
提示 函数 在 处不可导或无导数.
2.函数 在点 处的导数的定义形式唯一吗？
提示 不唯一.函数 在点 处的导数的定义可变形为
或 .
3.［北师大版教材习题］已知函数 ,求自变量 在以下的变化过程中,该函数的平
均变化率:
（1）自变量 从1变到1.1;
（2）自变量 从1变到1.01;
（3）自变量 从1变到1.001.
估算当 时,该函数的瞬时变化率.
解 自变量 从1变到1.1时,函数的平均变化率为 ;自变量 从1变到1.01
时,函数的平均变化率为 ;自变量 从1变到1.001时,函数的平均变化率为
.估计当 时,函数的瞬时变化率是 .
知识点3 导数的几何意义
如图,在曲线 上任取一点 ,如果当点 沿着曲线
无限趋近于点 时,割线 无限趋近于一个确定的位置,这个确定
位置的直线 称为曲线 在点 处的______.则割线 的斜率
.
切线
记 ,当点 沿着曲线 无限趋近于点 时,即当 时, 无
限趋近于函数 在 处的导数.因此,函数 在 处的导数
就是切线 的斜率 ,即 .这就是导数的几何
意义.
过关自诊
1.如何求曲线 在点 处的切线方程？
提示 根据导数的几何意义，求出函数 在点 处的导数，即曲线在
该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程.
2.曲线 在点 处的切线与曲线过点 的切线有什么不同？
提示 曲线 在点 处的切线，点 一定是切点，只要求出
，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线 过某点 的切线，给出
的点 不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点.
3.曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？
提示 不一定.曲线 在点 处的切线 与曲线 的交点不一定
只有一个，如图所示.
4.［人教B版教材例题］已知函数 ,求曲线 在 处切线的方程.
解 ,所以所求切
线方程为 ,即 .
知识点4 导函数
对于函数 ,当 时, 是一个唯一确定的数.当 变化时,
就是 的函数,我们称它为 的________（简称______） 的导函数有
时也记作 ,即 _ _______________.
名师点睛
导数与导函数之间既有区别又有联系,导数是对一个点而言的,它是一个确定的值,
与给定的函数及 （或 ）的位置有关,而与 无关；导函数是对一个区间而言的,它
是一个确定的函数,依赖于函数本身,也与 无关.
导函数
导数
过关自诊
1.判断正误.（正确的打 ,错误的打 ）
（1）函数 没有导函数.( )
×
（2）一个可导函数的导函数与 有关.( )
×
（3） .( )
×
2.求函数 的导数.
解 函数的导数为 ,而
,
于是
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 求函数的平均变化率
【例1】 已知函数 ,求它在下列区间上的平均变化率:
（1） ；
解 函数 在区间 上的平均变化率为 .
（2） ；
解 函数 在区间 上的平均变化率为 .
（3） .
解 函数 在 上的平均变化率为
.
分析 根据平均变化率的定义求解.
变式训练1 函数 在 到 之间的平均变化率为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 根据定义,平均变化率为 .
探究点二 利用导数的定义求函数的导数
【例2】（1） 求函数 在 处的导数.
解 （方法1）因为 ,
所以 ,
故函数在 处的导数 .
（方法2）先利用导数的定义求得 ,所以函数在 处的导数
.
（2）求函数 的导数.
解 因为 ,所以 .故函数的导数
.
分析 （1）可以直接利用函数在某一点处的导数的定义求解,也可先求出函数的导函数,再计算导函数在 处的函数值；（2）可按照函数导数的定义分步求解.
变式训练2（1） 已知 ,则 ( )
C
A. B. C. D.0
[解析]
.
（2）已知函数 ,且 ,则实数 的值为( )
D
A. B.2 C. D.
[解析] 因为 ，所以 ，
所以 ， ，解得 .
探究点三 导数定义式的理解与应用
【例3】 [2023北京东城期末] 曲线 在点 处的切线方程为 ,
则 等于( )
D
A. B. C.2 D.4
[解析] ,
.
故选D.
变式训练3 若 ,则 等于( )
C
A.3 B.4 C.12 D.
[解析]
.
探究点四 导数几何意义的应用
角度1.求切线方程
【例4】 已知曲线 .
（1）求曲线 在横坐标为 的点处的切线方程;
解 将 代入曲线 的方程得 ,
切点坐标为 .
.
曲线在点 处的切线方程为 ,即
.
（2）求曲线 过点 的切线方程.
解 设切点坐标为 ,由导数的定义可知 ,由题意可知
,
又 ,所以 ,即 ,
解得 或 .
①当 时,切点坐标为 ,相应的切线方程为 .
②当 时,切点坐标为 ,相应的切线方程为 ,即
.
分析（1）&1&
（2）&2& &3&
变式探究 本例（1）中的切线与曲线 是否还有其他的公共点？
解 由 解得 或
从而求得公共点为 或 ,
即切线与曲线 的公共点除了切点外,还有另一个公共点 .
角度2.根据切线斜率求切点坐标
【例5】 在曲线 上某点 处的切线满足下列条件,分别求出点 .
（1）平行于直线 ；
（2）垂直于直线 ；
（3）与 轴成 的倾斜角.
切线与直线 垂直, ,得 , ,即
, 是满足条件的点.
切线与 轴成 的倾斜角,
其斜率为 .即 ,得 , ,即 , 是满足条件的点.
解 ,
设 是满足条件的点.
（1） 切线与直线 平行, ,得 , ,此时切线方程是
,即 ,与直线 平行, 是满足条件的点.
解 设切点 ，切线斜率为 ，
由 ,得 .
由题意可知 ,则 ,代入 ，得 .故所求切点 的坐标为
.
变式训练4 已知曲线 在点 处的切线方程为 ,求切点 的坐标.
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）函数的平均变化率.
（2）导数的概念及其几何意义.
（3）导函数的概念.
（4）曲线在某点（或过某点）的切线问题.
2.方法归纳:定义法,极限思想、数形结合思想.
3.常见误区:
（1）利用定义求函数在某点处的导数时易忽视分子、分母的对应关系；
（2）求切线时容易忽视先检验点是否在曲线上.(共24张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标 准 1.理解平均速度和瞬时速度的关系,并会求解平均速度和瞬时速度.
2.体会抛物线上割线与切线的关系,会求解抛物线上某点处的切线斜率.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 平均速度与瞬时速度
1.平均速度：物体的位移与所用时间的比值,通常指物体在某一时间段的速度.
若物体运动的位移与时间的关系式是 ,函数 在 与 之间的平
均速度是 .
2.瞬时速度：在物理中,做变速运动的物体在不同的时刻,速度是不同的,我们把物体
在某一时刻的速度称为__________.
若物体运动的位移与时间的关系式是 ,当 趋近于0时,平均速度
趋近于常数,我们把这个常数叫做物体在 时刻的瞬时速度,记为
.
瞬时速度
名师点睛
从物理的角度看,瞬时速度就是将平均速度的时间段改为时间点,即让时间段 或者 中的时间间隔 无限趋近于0,此时时间段 或者 内的平均速度就无限趋近于 时刻的瞬时速度.
过关自诊
1.已知抛物线 在 处的增量为 ,则 的值为( )
B
A. B. C.3.89 D.0.29
[解析] 令 .
,
.
2.［北师大版教材习题］某物体走过的路程 （单位: ）与时间 （单位: ）的函数
关系为 ,通过平均速度估计物体在下列各时刻的瞬时速度:
（1） ;
（2） ;
（3） .
（2）当 , 无限趋近于0时, 无限趋近于4,估计当 时,瞬时速度为 ;
（3）当 , 无限趋近于0时, 无限趋近于8,估计当 时,瞬时速度为 .
解 物体的平均速度为
.
（1） 当 , 无限趋近于0时, 无限趋近于0,估计当 时,瞬时速度为 ;
知识点2 割线斜率与切线斜率
1.割线与切线的关系
如图所示,当点 沿着曲线无限趋近于点 时,割线 无
限趋近于一个确定的位置.这个确定位置的直线 称为曲线在点 处的______.
切线
2.割线斜率与切线斜率的关系
割线 的斜率是 ,当点 沿着曲线无限趋近于点 时, 无限
趋近于切线 的斜率 ,即 .
过关自诊
1.如图,我们把一条曲线上的任意一点 附
近的图象不断放大,观察有何现象出现
提示 当不断放大时,曲线在点 附近的图
象逼近一条确定的直线,即在很小的范围内,
曲线可以看作直线,这就是以直代曲的思想.
2.已知曲线 上一点 ,则在点 处的切线斜率为( )
C
A.4 B.16 C.8 D.2
[解析] 曲线在点 处的切线斜率为
.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 求物体运动的平均速度及瞬时速度
角度1.平均速度
【例1】 某质点运动的位移 与时间 之间的关系为 ,则该质点从
到 的平均速度为( )
D
A. B. C.6 D.
[解析] 由题得该质点从 到 的平均速度为 .故选
D.
变式训练1 ［人教B版教材例题］已知某物体运动的位移 是时间 的函数,而且
时, ; 时, .求这个物体在时间段 内的平均速度.
解 所求平均速度为 .
角度2.瞬时速度
【例2】 某物体的运动位移 （单位： ）与时间 （单位： ）的关系可用函数
表示,求物体在 时的瞬时速度.
分析&1&
解 物体在 时的瞬时速度为
.
物体在 时的瞬时速度为 .
变式探究1 在本例条件不变的前提下,试求物体的初速度.
解 求物体的初速度，即求物体在 时的瞬时速度.
，
.
物体的初速度为 .
变式探究2 在本例条件不变的前提下,试问物体在哪一时刻的瞬时速度为 .
解 设物体在 时刻的瞬时速度为 .
又 ,
.
则 ，
.
则物体在 时的瞬时速度为 .
探究点二 求解曲线在某点处的割线、切线斜率
【例3】 设函数 ,则此函数图象在 处的切线斜率为( )
D
A.0 B. C.3 D.
[解析] ,则切线斜率
变式训练2 曲线 在点 处切线的斜率为( )
A
A. B.0 C.1 D.2
[解析] 切线斜率为 ,故选A.
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）平均速度与瞬时速度的概念和计算.
（2）曲线的割线与切线及其求解.
2.方法归纳:局部以直代曲法,极限的无限逼近思想,数形结合思想.
3.常见误区:
（1）不会用极限的思想理解瞬时速度；（2）容易忽视函数平均变化率的符号.(共21张PPT)
1
重难探究·能力素养全提升
课程标 准 1.了解导数中几种常见的构造函数的形式.
2.会根据具体要求通过构造函数解决一些简单的问题.
01
重难探究·能力素养全提升
探究点一 构造函数比较大小
【例1】 （多选题）已知函数 的导函数为 ,且 对任意的
恒成立,则( )
AB
A. B. C. D.
[解析] 令 ,
则 ,
所以 在 上单调递减,
又 , ,
所以 , ,
即 , ,
所以 , .
故选 .
规律方法 解决此类问题的关键是弄清代数式的结构特点,根据代数式的共性特点构造
函数,利用导数和单调性比较大小.
变式训练1 已知 , , , ,则( )
D
A. B. C. D.
[解析] 令 , ,
则 ,
函数 在 上单调递增,
,可得 .
令 , ,
则 ,
函数 在 上单调递增,
,可得 .
综上可得 .
探究点二 构造函数证明不等式
【例2】 已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
解 的定义域为 , ,
当 时,则当 时, ,
故 的单调递增区间是 ；
当 时,则当 , 时, ；
当 , 时, .
故 在 , 上单调递增,在 , 上单调递减.
（2）当 时,证明: .
证明 由（1）知,当 时, 在 取得最大值,最大值为
,
所以 等价于 ,
即证 .
设 ,则 ,
当 时, ；当 时, .
所以 在 上单调递增,在 上单调递减.
故当 时, .
从而当 时, ,
即 得证.
变式训练2 已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性;
解 由 可得 的定义域为 ,
当 时, ,
则函数 在 上单调递增.
当 时,由 可得 ,由 可得 ,所以函数
在 , 上单调递增,在 ,
上单调递减.
综上,当 时, 在 上单调递增；
当 时, 在 , 上单调递增,
在 , 上单调递减.
（2）当 , 时,证明: .
证明 设 .
设 ,则 .
因为 ,所以 ,
又 ,所以 .
所以 在 上单调递增,
则 ,
即 .
由 可得 ,
所以 .
探究点三 构造函数解不等式
【例3】 若函数 的定义域为 ,对于 , ,且 为偶函
数, ,则不等式 的解集为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 设函数 ,
则 ,
由 ,可得 ,
所以 ,函数 在 上是减函数.
由 为偶函数,可得函数 关于直线 对称,又 ,所以 ,
所以 ,不等式 ,可化为 ,即 ,所以 ,即
不等式 的解集为 .
续表
变式训练3 已知函数 的定义域为 ，其导函数是 .若
恒成立，则关于 的不等式 的解集为
______.
,
[解析] 令 ， ,
则 ，
所以 在定义域内单调递增.
又因为 ，所以关于 的不等式 ，可化为 ，
即 .
因为 ，所以 ，
即不等式 的解集为 , .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）几种常见的构造形式.
（2）掌握由导函数的结构形式构造原函数.
2.方法归纳:构造法.
3.常见误区:（1）不能正确构造出符合题意的函数；（2）代数式变形时容易出现
不等价现象.(共46张PPT)
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基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标准 1.了解函数的极值、极值点的概念.
2.理解函数在某点取得极值的条件.
3.会利用导数求函数的极值.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 函数极值的概念
1.若函数 在点 处的函数值 比它在点 附近其他点处的函
数值都小, ,而且在点 附近的左侧__________,右侧__________,就把 叫
做函数 的极小值点, 叫做函数 的极小值.
2.若函数 在点 处的函数值 比它在点 附近其他点处的函
数值都大, ,而且在点 附近的左侧__________,右侧__________,就把 叫
做函数 的极大值点, 叫做函数 的极大值.
3.极大值点和极小值点统称为________,极大值和极小值统称为______.
极值点
极值
名师点睛
1.极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比
较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.
2.函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.
3.若函数在极值点处存在导数,则这点的导数为0,但导数为0的点可能不是函数的极
值点.也就是说,若 存在,则“ ”是“ 在 处取到极值”的必要条件,但
不是充分条件.
4.若 在区间 内有极值,则 在区间 内一定不是单调函数,即在某
区间上单调的函数没有极值.
5.如果函数 在区间 上有极值,那么它的极值点的分布是有规律的.相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数 在区间 上连续且有有限个极值点时,函数 在区间 上的极大值点\,极小值点是交替出现的.
过关自诊
1.函数的极大值一定大于极小值吗
提示 不一定.如图所示,
极大值 小于极小值 .
2.函数 的定义域为 ,它的导函数 的部分图
象如图所示,则下面结论错误的是( )
D
A.在区间 上函数 单调递增
B.在区间 上函数 单调递减
C.在区间 上函数 有极大值
D. 是函数 在区间 上的极小值点
[解析] 根据导函数图象知,
当 时, ;
当 时, ,
当 时, .
在区间 , 上单调递增,在区间 上单调递减, 是 在区间 上的极大值点, 是极小值点.
知识点2 函数极值的求法
一般地,可按如下方法求函数 的极值:
解方程__________,当 时:
（1）如果在 附近的左侧 ,右侧 ,那么 是________；
（2）如果在 附近的左侧 ,右侧 ,那么 是________.
名师点睛
导数等于0的点不一定是极值点；反之,若函数可导,则极值点一定是导数等于0的点,
故需对 的解进行检验.
极大值
极小值
过关自诊
1.［人教B版教材例题］已知 ,求所有使得 的
,并判断所求得的数是否为函数的极值点.
解 因为 ,令 ,可知 ,
由此可解得 .
但0不是 的极值点,
因为 ,而0左侧的点的函数值总是小于0,且0右侧的点的函
数值总是大于0.这也可以从图中函数 的图象看出来.
2.［北师大版教材习题］求下列函数的极值，并画出其大致图象.
（1） ;
解 .
令 ,得 , .列表如下:
1
- 0 0 -
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
,
的大致图象如图①所示.
（2） .
解 .
令 ,得 ,
所以 .
列表如下:
0
- 0
单调递减 极小值 单调递增
,无极大值.
的大致图象如图②所示.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 利用导数求函数的极值
角度1.不含参数的函数求极值
【例1】 求下列函数的极值:
（1） ；
解 函数的定义域为 ,
令 ,得 或 .
当 变化时, , 的变化情况如下表:
3
0 - 0
单调递增 单调递减 单调递增
是 的极大值点, 是 的极小值点.
, .
（2） ；
解 函数定义域为 , ,令 ,
得 ,
当 时, ,当 时, , 在 处取得极大值
,无极小值.
（3） .
解 函数的定义域为 ， ，令 ，得
， .当 变化时， ， 的变化情况如下表：
2
0 - 0
单调递增 极大值 单调递减 单调递增 非极值 单调递增
故 是函数的极大值点，且极大值 ，没有极小值.
分析 求出函数的导数,在函数定义域限制之下研究函数的单调性后,确定极值.
规律方法 利用导数求函数极值的方法与步骤
_____________________________________________________________________________________________________________________
变式训练1 求下列函数的极值：
（1） ;
解 函数 的定义域为 ,
令 ,得 ,解得 或 .
当 变化时, , 的变化情况如下表:
0 2
- 0 0 -
单调递减 极小值0 单调递增 单调递减
因此,当 时, 有极小值,并且极小值为 ；当 时, 有极大值,并
且极大值为 .
（2） .
解 的定义域为 ,
.
令 ，得 .
当 变化时， ， 的变化情况如下表所示：
- 0
单调递减 极小值 单调递增
所以 是 的极小值点，
故 的极小值为 ，没有极大值.
角度2.含参数的函数求极值
【例2】 已知函数 为实数 ,求函数 的极值.
分析对函数 求导,得到 ,根据导函数
的零点2和 的大小,分类讨论函数的单调性,根据函数的单调性确定函数的极值.
解 ，
.
令 ，解得 或 .
①当 时, ，因此 ，故 在 上单调递增，函数不
存在极值.
②当 时, ，当 变化时， , 随 的变化情况如下表：
2
0 - 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调 递增
由上表可知 在区间 和 上单调递增，在区间 上单调递减，
因此函数 在 处取得极大值 .函数 在 处
取得极小值 .
③当 时, ，因此函数 在区间 和 上单调递增，在区
间 上单调递减，函数 在 处取得极大值 ，函数 在
处取得极小值 .
综上，当 时，函数 不存在极值；当 时，函数 的极大值为
，极小值为 ；当 时，函数 的极大值为 ，极小
值为 .
规律方法 解析式中含参数的函数极值的求法
由于求函数的极值首先需要确定函数的单调区间,因此解析式中含参数的函数极值的求法
类似于解析式中含参数的函数的单调区间的求法,求解的方法是：先根据参数对导函数的零点
的影响确定分类讨论的标准（导函数是否存在零点以及导函数存在零点时零点的大小）,再根
据函数的单调区间确定函数的极值.
变式训练2 若函数 ,求函数 的极值.
解 函数 的定义域为 ， .
①当 时， ，函数 在区间 上单调递增，函数 无极值.
②当 时，令 ，解得 .
当 时， ；当 时， .
则 在 处取得极小值，且 ，无极大值.综上可知，当 时，
函数 无极值；当 时，函数 在 处取得极小值 ，无极大值.
探究点二 由极值求参数的值或取值范围
角度1.根据极值求参数值
【例3】 已知函数 在 处取得极值 .
分析（1）可利用 , 建立关于 , 的方程组求解；（2）按照求极值
的步骤求解.
（1）求 , 的值；
解 因为 ,
所以 ,依题意可得 即
解得 经检验满足题意.
（2）求函数的另一个极值.
解 由（1）知 , .
令 得 或 .
当 变化时, , 的变化情况如下表:
1
0 - 0
单调递增 单调递减 单调递增
所以函数的另一个极值在 处取得,是极大值,极大值为 .
规律方法 已知函数极值,确定函数解析式中的参数时,注意两点:
（1）根据可导函数极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解；
（2）因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须
验证.
变式训练3（1） [2023甘肃天水期末] 若函数 在 处有极大值,则
常数 为( )
B
A.2 B.6 C.2或6 D. 或
[解析] 函数 ,则 ,由题意
知, 在 处的导数值为 ,所以 或 .
又函数 在 处有极大值,故导数值在 附近的左侧为正数,右
侧为负数.
当 时, ,不满足导数值在 附近的左
侧为正数,右侧为负数.
当 时, ,满足导数
值在 附近的左侧为正数,右侧为负数.故 .故选B.
（2）[2023陕西咸阳期末] 已知 的图象与 轴切于非原点的一
点, ,则 , 的值分别为( )
A
A.6,9 B.9,6 C.4,2 D.8,6
[解析] 设切点坐标为 , ,由题意得方程
有两个相等实根 ,故可得 ,
,
令 ,则 或 .
, ,
即 , ,
,
经检验,此时 ,
, .故选A.
角度2.根据极值点个数求参数取值范围
【例4】 已知函数 , 为常数 ,在区间
内有两个极值点,求实数 的取值范围.
分析 在区间 内有两个极值点,等价于 在区间 内有两个不等实根.
解 .
因为函数 在区间 内有两个极值点，所以
的图象在区间 内与 轴有
两个不同的交点，如图所示.
所以
解得 .故实数 的取值范围是 .
变式训练4（1） [2023四川泸县校级质检] 对任意的 ,函数
不存在极值点的充要条件是( )
A
A. B. 或 C. 或 D. 或
[解析] 函数 ,
,
函数 不存在极值点,且 的图象开口向上,
对 恒成立,
,解得 .故选A.
（2）已知函数 ,若函数在区间 其中 上存在极值,则实数
的取值范围是_ _____.
[解析] ， ， .当 时， ，当
时， .
在区间 上单调递增，在区间 上单调递减， 函数 在
处取得极大值.
函数 在区间 其中 上存在极值， 解得
，即实数 的取值范围为 .
探究点三 由函数图象分析函数的极值
【例5】 已知函数 的图象如图所示 其中 是函
数 的导函数 ,给出以下说法:①函数 在区间 内
单调递增；②函数 在 处取得极大值；③函数
在 处取得极大值；④函数 在 处取得极小值,其
中正确的说法有________.（填序号）
①②④
分析 通过图象考查 在相关区间上的符号,以及在相关各点的左右两侧的导数值是
否异号,结合极值的定义进行判断.
[解析] 从图象上可以发现,当 时, ,于是 ,故 在区间 内单调递增,①正确；当 时, ,所以 ,当 时, ,所以 ,故函数 在 处取得极大值,②正确；当 时, ,于是 ,故 在区间 内单调递减,而 在区间 内单调递增,所以函数 在 处取得极小值,④正确；当 时, ,所以函数 在区间 内单调递减,③错误.
规律方法 根据导函数的图象确定函数的极值的方法
根据导函数的图象确定函数的极值的方法主要是根据导函数的符号确定函数的单调性及
单调区间,然后结合函数单调性确定函数的极值.
变式训练5 已知函数 的导函数 的图象如图所示,给出以
下结论:
①函数 在区间 和 内单调递增；
②函数 在区间 内单调递增,在 内单调递减；
③函数 在 处取得极大值,在 处取得极小值；
④函数 在 处取得极大值. 其中正确结论的序号是______.
②④
[解析] 因为 在区间 内大于0,
所以函数 在区间 内单调递增,
同理 在区间 内单调递减,
故函数 在 处取得极大值,故②④正确.
探究点四 极值的综合应用
【例6】 已知函数 ,若方程 有三个不同实根,求实
数 的取值范围.
解 令 ,
解得 , .
当 时, ；当 时, ；当 时, .
所以当 时, 有极大值 ；当 时, 有极小值
.
因为方程 有三个不同实根,所以 的图象与 轴有三个交点,则应有
解得 ,故实数 的取值范围是 .
变式探究1 本例中,若方程 恰有两个不同实根,则实数 的值如何求解
解 由例6知函数的极大值 ,极小值 ,若 恰有两个
不同实根,则有 或 ,所以 或 .
变式探究2 本例中,若方程 有且只有一个实根,求实数 的取值范围.
解 由例6知要使方程 有且只有一个实根,只需 或 ,即
或 .故 的取值范围为 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）函数极值的概念.
（2）函数极值的判定及求解.
（3）函数极值的应用.
2.方法归纳:方程思想、分类讨论思想、数形结合思想.
3.常见误区:容易误认为使导数等于零的点是极值点.(共42张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课 程 标 准 1.了解函数的最大值、最小值的含义.
2.理解导数与函数最大（小）值的关系.
3.会利用导数求函数的最大（小）值.
4.了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的应用.
5.掌握利用导数解决最优化问题的方法.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 函数在闭区间上的最大（小）值
一般地,如果在区间 上函数 的图象是一条__________的曲线,那么它
必有最大值和最小值.
名师点睛
1.给定的区间必须是闭区间,如果是开区间,尽管函数图象是连续的,那么它也不一定有最
大值和最小值.例如函数 在区间 上的图象是连续不断的曲线,但在该区间
上,函数 既没有最大值,也没有最小值.
连续不断
2.所给函数的图象必须是连续曲线,否则不一定有最大值和最小值,例如函数
在区间 上只有最大值,没有最小值.
3.函数的最大（小）值是一个整体性概念,最大值（最小值）必须是整个区间内所有函
数值中的最大值（最小值）.
4.极值只能在函数区间的内部取得,而最大（小）值可以在区间的端点取得,有极值的不
一定有最大（小）值,有最大（小）值的不一定有极值,极值有可能是最大（小）值,最
大（小）值只要不在端点处则一定是极值.
过关自诊
1.极值与最值有何区别和联系
提示 （1）函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质,是在局部对函数值的比较；
函数的最值是表示函数在一个区间上的情况,是对函数在整个区间上的函数值的比较.
（2）函数在闭区间上的极值不一定是最值,需要将极值和区间端点的函数值进行比较.
（3）如果连续函数在区间 内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是
最小值.
2.下列结论正确的是( )
D
A.若 在区间 上有极大值,则极大值一定是区间 上的最大值
B.若 在区间 上有极小值,则极小值一定是区间 上的最小值
C.若 在区间 上有极大值,则极大值一定是在 和 处取得
D.若 在区间 上连续,则 在区间 上存在最大值和最小值
[解析] 函数 在区间 上的极值不一定是最值,最值也不一定是极值,极值一定
不会在端点处取得,而若 在区间 上连续,则 在区间 上一定存在最大
值和最小值.
知识点2 函数在闭区间 上最大（小）值的求法
一般地,求函数 在区间 上的最大值与最小值的步骤如下:
1.求函数 在区间 内的______；
2.将函数 的各极值与________的函数值 , 比较,其中最大的一个是
________,最小的一个是________.
名师点睛
如果函数 在闭区间 上恰好是单调函数,那么函数的最大（小）值恰好在两个
端点处取到.当 在闭区间 上单调递增时, 是最小值, 是最大值；当
在闭区间 上单调递减时, 是最大值, 是最小值.
极值
端点处
最大值
最小值
过关自诊
［北师大版教材例题］求函数 在区间 上的最值.
解 .解方程 ,得 , .计算函数 在导数零点
和 、区间端点 和 处的值: , ,
, .比较这4个数的大小,可知:函数 在区间
上的最大值是5,最小值是 .
知识点3 生活中的优化问题
在实际生产生活中,求利润最大、用料最省、效率最高等问题,通常称为优化问题.
名师点睛
用导数解决实际生活问题的基本思路
过关自诊
1.在实际问题中,若在定义域内函数只有一个极值点,则函数在该点处取最大（小）值吗？你能列举几个关于利润的等量关系吗？
提示 根据函数的极值与单调性的关系可以判断,函数在该点处取最大（小）值,并且极小值点对应最小值,极大值点对应最大值.举例：利润 收入-成本，利润 每件产品的利润×销售件数.
2.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 ,要使其体积最大,则高应为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 设圆锥的高为 , ,
,
,
令 ,得 ,当 , 时, ,当 , 时, ,故当
时,体积最大.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 求函数的最大（小）值
角度1.求函数在闭区间上的最大（小）值
【例1】 求下列函数在相应区间上的最大值与最小值:
（1） , ；
解 ,令 ,得 （ 舍去）.当 变化时,
, 的变化情况如下表:
0 1
0 -
单调递增 单调递减
所以当 时,函数取最小值 ,当 时,函数取最大值 .
（2） , , .
解 .
由 ，得 .所以在区间 , 上，当 变化时， ， 的变化情况
如下表:
1 2
- 0
单调递减 极小值0 单调递增
因为 ，而 ，
所以 .所以 在区间 , 上的最大值为 ，最小值
为0.
分析求函数的导数,得到函数的极值点,先求出极值,再结合定义域,将所有极值与区间端点的函数值进行比较求得最大（小）值.
规律方法 求解函数在闭区间上的最值,需注意以下三点:
1
2 研究函数的单调性,确定极值和端点函数值
3 比较极值与端点函数值的大小,确定最值
变式训练1 求下列函数在所给区间上的最大值与最小值：
（1） , ;
解 ,令 ,又 ,解得 或 ,计算得
, , ,
.所以当 时, 有最小值 ；当 时, 有最大
值 .
（2） .
解 .令 得 .当 变化时， ， 的变化情况如下表：
- 0
45 单调递减 极小值 单调递增 55
所以当 时， 取得极小值，也就是最小值，故 的最小值为 ，
当 时， 取得最大值 .
角度2.求函数在开区间或无穷区间上的最大（小）值
【例2】 求下列函数的最大值与最小值:
（1） ；
解 ,令 ,得 或 ,容
易验证函数在 处取得极小值,在 处取得极大值,
又当 时， ；当 时， ；当
时， .
据此可以画出函数的大致图象,如图所示.由图象可知,函数的最大值等于
,最小值为 .
（2） .
解 函数 的定义域是 ,且
,令
,得 或 ；令 ,得
.所以函数 在区间 和 内
单调递增,在区间 内单调递减,因此函数 在
处取得极大值,极大值 ； 在 处
从函数图象可得函数 的最小值就是函数的极小值 ,而函数 无最大
值.
取得极小值,极小值 .又由 ,得
或 ;由 得, .所以函数的大
致图象如图所示.
分析没有给定相应的闭区间,因此应分析函数在其定义域上的单调性与极值情况,根据单调性与极值画出函数的大致图象,结合图象求出最大值与最小值.
规律方法 求函数在开区间或无穷区间上最大（小）值的方法
求函数在无穷区间或开区间上的最大（小）值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并
通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最大（小）值.
变式训练2 函数 的最大值为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 令 ,可得 .当 时, ；当 时,
.所以 ,因为函数 在定义域内只有一个极大值,所以 .
探究点二 含参数的最大（小）值问题
角度1.求含参数的函数的最大（小）值
【例3】 已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
解 的定义域是 .
, , .
①当 时,令 ,解得 ,令 ,解得 ,故 在区间
上单调递增,在区间 上单调递减.②当 时, , 在区间
上单调递减.综上,当 时, 在区间 上单调递增,在区间 上
单调递减;当 时, 在区间 上单调递减.
（2）求 在区间 , 上的最大值 .
解 由（1）知当 时, 在区间 , 上单调递减,
,当 时, 在区间 , 上单调递增,在区
间 上单调递减, ,当 时, 在区间 , 上
单调递增, .综上,当 时, ;当
时, ;当 时, .
变式训练3 已知 是实数,函数 ,求 在区间 上的最大值.
解 令 ，解得 ， .①当 ，即
时， 在区间 上满足 ,所以 在区间 上单调递增，从而
.②当 ，即 时， 在区间 上满足
,所以 在区间 上单调递减，从而 .③当
，即 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递
增，从而 综上所述，
角度2.与函数最大（小）值和参数有关的综合问题
【例4】 设函数 .
（1）求 的最小值 ;
解 ,
当 时, 取最小值，即 ,即 .
（2）若 对 恒成立,求实数 的取值范围.
解 , ,由 ,
得 或 （不合题意,舍去）.当 变化时, , 的变化情况如下表:
1
0 -
单调递增 单调递减
在区间 内有极大值也是最大值 在区间
内恒成立等价于 在区间 内恒成立,即等价于 ,即 的
取值范围为 .
分析（1）利用配方法,即可求出二次函数 的最小值 ;（2）构造函数
,只需使 在区间 内的最大值小于零即可求得 的取
值范围.
变式探究 若将本例（2）的条件改为“存在 ,使 成立”,则实数
的取值范围如何求解？
解 令 ,由 ,得
或 （不合题意,舍去）.当 变化时, , 的变化情况如下表:
1 2
0 -
单调递增 单调递减
易知 在 上有最小值 ,存在 ,使 成立,等
价于 的最小值 , ,故实数 的取值范围为
.
规律方法 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
______________________________________________________________________________________________________
探究点三 生活中的优化问题
【例5】 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 （单位：千克）与销
售价格 （单位：元/千克）满足关系式 ,其中 , 为常
数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.
（1）求 的值；
解 因为 时， ,所以 , .
（2）若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格 的值,使商场每日销售该商品所获
得的利润最大.
解 由（1）知，该商品每日的销售量 , ,所以商场每日
销售该商品所获得的利润
,从而
,于是当 变化时, ,
的变化情况如下表：
4
0 -
单调递增 极大值42 单调递减
由上表可得, 是函数 在区间 内的极大值点，也是最大值点，所以，当
时，函数 取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场
每日销售该商品所获得的利润最大.
分析（1）根据 时, 求 的值；（2）把每日的利润表示为销售价格 的函
数,用导数求最大值.
变式训练4 [北师大版教材例题］如图①,一边长为 的正方形铁皮,四角各截去一
个大小相同的小正方形,然后折起,可以做成一个无盖长方体容器,如图②.所得容器的容
积 （单位: 是关于截去的小正方形的边长 （单位: 的函数.
图①
图②
（1）随着 的变化,容积 是如何变化的
解 根据题意,可得 .由实际情况可知函数 的定义域为
.所以
.解
方程 ,得 , .根据 , 列出下表,分析 的符号、 的单
调性和极值点.
8
0 -
单调递增 极大值 单调递减
根据表可知, 是函数 的极大值点,相应的极大值为
的大致图象如图.
根据对函数变化规律的讨论可知:当 时,函数 单调递增;当
时,函数 单调递减.
（2）截去的小正方形的边长为多少时,容器的容积最大 最大容积是多少
解 区间 上任意点的函数值都不超过 ,因此, 是函数的最大值点.此时 是函数 在区间 上的最大值.即当截去的小正方形的边长为 时,得到的容器容积最大,最大容积为 .
探究点四 构造函数证明函数不等式
【例6】 求证：当 时,恒有 .
证明 设 , ,则 .当 时,
,即 在 上单调递增；
当 时, ,即 在 上单调递减.
于是函数 在 上的最大值为 ,因此,当 时,
,即 ,即 （右边不等式得证）.
现证左边不等式,令 , ,
则 .
当 时, ;当 时, .
即 在 上单调递减,在 上单调递增,
故函数 在 上的最小值为 ,
所以当 时, ,
即 ,
所以 .
综上可知,当 时,恒有 .
变式训练5 已知函数 .求证：在区间 上,函数 的图象在函
数 的图象的下方.
证明 设 ，即 ， ,则
， ,当 时， ，
从而 在 上单调递增，
， 当 时， ，即 ，故在区
间 上，函数 的图象在函数 的图象的下方.
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）函数最值的定义.
（2）求函数最值.
（3）函数最值在实际中的应用.
（4）构造函数证明函数不等式.
2.方法归纳:转化化归、分类讨论.
3.常见误区:忽视函数的最值与极值的区别与联系.(共28张PPT)
1
知识网络·整合构建
2
专题突破·素养提升
01
知识网络·整合构建
02
专题突破·素养提升
专题一 导数的计算及几何意义
本部分内容有导数的几何意义,基本初等函数求导法则、运算法则、复合函数求导,主要考查切线方程及切点,与切线平行、垂直问题,处理此类问题一般结合函数的切线转化为点到直线的距离,平行线间的距离问题,然后再研究最值问题.通过求切线方程的有关问题,培养数学运算、数学抽象等核心素养和转化化归数学思想.
【例1】（1） 设 是函数 的导函数,若 ,则 ___.
2
[解析] 因为 ,
所以 ,则 .
（2）函数 在 处的切线与直线 垂直,则实
数 的值为_ ___.
[解析] , ,
在 处的切线斜率为3,
在 处的切线与直线 垂直,
,解得 .
规律方法 导数的运算是解决一切导数问题的基础,要熟练掌握基本初等函数的求导法
则,掌握函数的和、差、积、商的运算法则.复合函数求导的关键是分清层次,逐层求导,
求导时不要忘了对内层函数求导.
变式训练1（1） 已知曲线 在点 处的切线与直线 平行,
则实数 的值为( )
A
A. B.1 C.2 D.3
[解析] 由 ,得 ,则曲线在点 处的切线斜率为
,由切线与直线 平行,可得 ,即 ,解得 .
（2）设函数 ,其中 ,若 ,则 的最小值为_ ____.
[解析] , ,
, ,
,当且仅当 时取等号,
的最小值为 .
专题二 函数的单调性与导数
利用导数研究函数的性质,主要以指数函数、对数函数、三次函数为载体,研究函数的单调性、极值、最值,并能解决有关的问题；通过求函数的单调性、极值、最值问题,培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养.
【例2】 已知函数 .
（1）当 时,讨论 的单调性；
解 当 时, , ,令 ,
由于 ,
故 是增函数,注意到 ,
故当 时, , 单调递减,
当 时, , 单调递增.
（2）当 时, ,求 的取值范围.
解 由 ,得 ,其中 ,
①当 时,不等式为 ,显然成立,符合题意；
②当 时,分离参数 ,得 ,
记 ,
,
令 ,
则 ,
令 , ,
则 ,且不恒为0,
故 是增函数, ,且不恒为0,
故函数 是增函数, ,
由 可得 且不恒为0,
故当 时, , 单调递增；
当 时, , 单调递减.
因此, .
综上可得, 的取值范围是 , .
规律方法 利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础,一般按照求导、通
分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性,从而掌握函数图象的变化趋势,达
到解决问题的目的.
（1）求函数 的最大值;
解 由函数 ,
则其定义域为 , ,
令 ,则 .
当 时, ;当 时, ,
所以函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,
所以函数 的最大值为 .
变式训练2 [2023江苏如东期末] 已知函数 .
（2）记 , .若函数 既有极大值,
又有极小值,求 的取值范围.
解 由 ,
,则 ,
因为 既有极大值,又有极小值,
所以方程 在区间 上有两个不相等的实数根,
即
解得 ,
所以实数 的取值范围是 .
专题三 与导数有关的综合性问题
1.导数是研究函数性质以及解决实际问题的强有力的工具,从近几年高考题看,利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到,一般出现在解答题中.其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象,解决该类问题通常是构造一个函数,然后考查这个函数的单调性,结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解.
2.通过利用导数解决实际问题,培养数学建模,解决函数方程问题,提升逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养.
【例3】 已知函数 .
（1）求 的最小值；
解 的定义域是 , ,
令 ,
解得 ;
令 ,
解得 ,
故 在 , 上单调递减,在 , 上单调递增,故 的最小值
.
（2）若对所有 都有 ,求实数 的取值范围；
解 当 时, 恒成立,等价于 恒成立,等价于
恒成立.
令 ,则 当 时恒成立.
,
当 时, ,且不恒为0,
在 上单调递增,
,
,即实数 的取值范围为 .
（3）若关于 的方程 恰有两个不相等的实数根,求实数 的取值范围.
解 若关于 的方程 恰有两个不相等的实数根,则 的图象和 的
图象在 上有两个不同的交点.
由（1）知 在 , 上单调递减,在 , 上单调递增,
,又当 时, ,当 时, ,故当
时,满足 的图象和 的图象在 上有两个不同的交点,即
若关于 的方程 恰有两个不相等的实数根,则 ,即 , .
规律方法 综合性问题一般伴随着分类讨论、数形结合、构造函数等数学思想方法,关
键是分类讨论时,是否做到了不重不漏；数形结合时是否掌握了函数图象的变化趋
势；构造函数时是否合理等问题.
变式训练3 已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
解 函数 的定义域为 , ,当 时, 在 上恒成立,所以
在 上单调递增；当 时,由 ,得 ,所以当 时,
, 单调递减；
当 时, , 单调递增.
综上,当 时, 在 上单调递增；
当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减.
（2）若 在 上有两个零点,求 的取值范围.
解 由（1）知当 时, 在 上单调递增,至多有一个零点,不符合题意；
当 时,当 ,即 时, 在 上单调递增,不符合题意；
当 ,即 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,且
, ,要使 在 上有两个零点,
只需
即
即 ,当 ,即 时, 在 上单调递减,不符合题意.
所以当 时, 在 上有两个零点.
专题四 导数在实际问题中的应用
利用导数解决实际问题中的最优问题的基本思路
（1）设出变量,找出函数关系式,确定定义域;
（2）在实际应用问题中,若函数 在定义域内只有一个极值点,则它就是最值点.
【例4】 某市在创建全国旅游城市的活动中,对一块以 为圆
心, （ 为常数,单位：米）为半径的半圆形荒地进行治理改
造,其中弓形 区域（阴影部分）种植草坪, 区域用于
儿童乐园出租,其余区域用于种植观赏植物.已知种植草坪和观
赏植物的成本分别是每平方米5元和55元,儿童乐园出租的利润是每平方米95元.
（1）设 （单位：弧度）,用 表示弓形 的面积 ;
解 , , , .
（2）如果该市规划办邀请你规划这块土地,如何设计 的大小才能使总利润最大？
并求出该最大值.
解 设总利润为 元,儿童乐园利润为 元,种植草坪成本为 元,种植观赏植物成本为
元,则 , , ,
所以 , .
设 , ,
所以 ,
令 ,则 .
当 , 时, , 单调递增;当 , 时, , 单调递减.
所以当 时, 取到最大值,此时总利润 最大,
最大利润 元.
规律方法 解决优化问题的步骤
（1）分析问题中各个数量之间的关系,建立适当的函数模型,并确定函数的定义
域.
（2）通过研究相应函数的性质,如单调性、极值与最大（小）值,提出优化方案,
使问题得以解决.在这个过程中,导数是一个有力的工具.
（3）验证数学问题的解是否满足实际意义.
变式训练4 某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两个桥墩相距 ,余下工程只需要建
两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为 的相邻
两墩之间的桥面工程费用为 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且
不考虑其他因素,记余下工程的费用为 万元.
（1）试写出 关于 的函数关系式；
解 设需要新建 个桥墩,则 ,
即 .
因此, ,且 为大于1的整数 .
（2）当 时,需新建多少个桥墩才能使 最小？
解 由（1）知,
令 ,得 ,
所以 .当 时, , 在区间 内单调递减；当
时, , 在区间 内单调递增.
所以 在 处取得最小值.
此时, .
即需新建9个桥墩才能使 最小.(共19张PPT)
1
重难探究·能力素养全提升
课程标 准 1.熟练掌握函数的单调性与导数的关系.
2.会利用分类讨论的思想解决含参数的函数的单调性问题.
01
重难探究·能力素养全提升
探究点一 含参数函数的单调性
【例1】 已知函数 .试讨论 的单调区间.
解 函数 的定义域为 ,由 ,
得 ,
若 ,则 ,函数 在 上单调递增.
若 ,则 时 , 时 ,即函数
的单调递增区间为 , ,单调递减区间为 .
若 ,则 时 , 时 ,即
函数 的单调递增区间为 , ,单调递减区间为 .
规律方法 1.研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨
论.
2.划分函数的单调区间时,要在函数的定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间
断点.
变式训练1 [2023北京石景山期末] 已知函数 , .
（1）若 ,求曲线 在点 处的切线方程;
解 若 , , ,故 , ,故 在点
处的切线方程为 .
（2）求 的单调区间.
解 ,
当 时, , 单调递增;
当 时,令 ,得 ,当 时, ,当 时, ,故
的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
综上,当 时, 在 上单调递增.当 时, 在 上单调递减,在
上单调递增.
探究点二 根据函数的单调性求参数值（范围）
【例2】（1） 若函数 在区间 , 上单调递增,则实数 的取值
范围是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 易得 .
函数 在区间 , 上单调递增,等价于 对任意 , 恒成立,
对任意 , 恒成立.
, , ,当且仅当 时等号成立, .
经检验当 时, 且不恒为0.
（2）已知函数 在 , 上存在单调递增区间,则实数 的取值范围是
( )
A
A. , B. C. , D.
[解析] 易得 , .
根据题意,得 在 , 上有解.
令 ,则只需 或 ,解得 ,故选A.
变式训练2 若函数 在区间 上不单调,则实数 的取值范
围是( )
B
A. B.
C. D.不存在这样的实数
[解析] 由题意得, 在区间 上至少有一个实数根.又
的根为 ,且 在 或 两侧异号,故只需2或
在区间 内,即 或 , 或
,故选B.
探究点三 函数单调性的应用
【例3】（1） [2023河北张家口期末] 设 , , ,则( )
D
A. B. C. D.
[解析] ,因为 ,故 ,故
,即 ;
令 , ,易知当 时, , 在 上单调递减,
又 , ,结合①式可知 ,故 ,即
.
综上, .故选D.
（2）已知 的定义域为 , 为 的导函数,且满足 ,则
不等式 的解集是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 构造函数 , ,则 ,又 ,
所以函数 在 上单调递减.
因为 ,
所以 ,
所以 解得 .所以不等式 的解集是
.故选B.
变式探究 把例 中的条件“ ”换为“ ”,其他条件不变,解
不等式 .
解 设 ,则 ,
,
,故 在 内单调递增,
由 ,得 ,即
,所以 解得 ,故不等式
的解集为 .
变式训练3 [2023河南安阳月考] 设 , , ,则( )
D
A. B. C. D.
[解析] 设 , ,
则 ,
所以 在 上单调递增,
所以 , ,
又 ,
所以 ,
所以 .
设 , ,
则 ,
所以 在 上单调递减,
所以 , ,
所以 ,即 ,所以 .
综上, .
故选D.
本节要点归纳(共22张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标准
01
基础落实·必备知识全过关
知识点 复合函数及其求导法则
1.复合函数的概念
一般地,对于两个函数 和 ,如果通过中间变量 , 可以表示成 ___的
函数,那么称这个函数为函数 和 的复合函数,记作_ ___________.
2.复合函数的求导法则
一般地,对于由函数 和 复合而成的函数 ,它的导数与函
数 , 的导数间的关系为 ,即 对 的导数等于 对 的
导数与 对 的导数的乘积.
名师点睛
求复合函数的导数需注意以下几点：
（1）中间变量的选择应是基本函数结构；
（2）关键是正确分析函数的复合层次；
（3）要善于把一部分表达式作为一个整体；
（4）最后要把中间变量换成关于自变量的函数.
过关自诊
1.函数 的导数 等于( )
C
A. B. C. D.
[解析]
2.函数 是复合函数吗？是由哪些函数复合而成的？
提示 是，函数 是由 及 这两个函数复合而成的.
3.［北师大版教材习题］写出下列函数的中间变量,并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数:
（1） ;
解 函数的中间变量为 ,则函数 是由函数 与 复
合而成的.
由复合函数的求导法则,可得 .
（2） ;
解 函数的中间变量为 ,则函数 是由函数 与
复合而成的.
由复合函数的求导法则,可得 .
（3） ;
解 函数的中间变量为 ,则函数 是由函数 与
复合而成的.
由复合函数的求导法则,可得 .
（4） .
解 函数的中间变量为 ,则函数 是由函数 与 复合而成的.
由复合函数的求导法则,可得 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 求复合函数的导数
【例1】 ［人教B版教材例题］求下列函数的导数.
（1） ;
解 可以看成 与 的复合函数,因此
.
（2） ;
解 可以看成 与 的复合函数,因此
.
（3） ;
解 可以看成函数 与 的复合函数,因此
.
（4） .
解 可以看成函数 与 的复合函数,因此
.
分析先分析每个复合函数的构成,再按照复合函数的求导法则进行求导.
规律方法 复合函数求导的步骤
______________________________________________________________________________________________________
变式训练1 求下列函数的导数：
（1） ；
解 令 ，则 ，
所以 .
（2） ；
解 令 ，则 ，所以
.
（3） ；
解 设 ， ，
则 .
（4） .
解 设 ， ，则
.
探究点二 复合函数求导与导数的运算法则的综合应用
【例2】 求下列函数的导数：
（1） ；
解 ，
.
（2） .
解 .
规律方法 此类问题出错的主要因素一般有两个：一是基本初等函数的导数公式记忆有误；
二是求导法则掌握不到位,尤其是对于积与商的求导法则中的符号问题出现混淆,导致运算结
果出现错误.对于复杂函数求导,一般遵循先化简再求导的原则,但要注意化简过程中变换的等
价性.
变式训练2 求下列函数的导数:
（1） ；
解 .
（2） .
解 ，
.
探究点三 与复合函数有关的切线问题
【例3】 求曲线 在点 处的切线方程.
解 ,当
时, , 切线的斜率 ,
在点 处的切线方程为 ,即 .
规律方法 解此类问题的关键点:
（1）求复合函数的导数,这是正确解答的前提条件,要注意把复合函数逐层分解,求导时不要有
遗漏.
（2）求切线方程,注意切线所过的点是否为切点.
变式训练3 [北师大版教材习题］求曲线 在 处的切线的方程.
解 因为 ,所以曲线在 处的切线的斜率 .又当 时, ,所以切线方程为 ,即 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）复合函数的概念.
（2）复合函数的求导法则.
（3）复合函数的导数的应用.
2.方法归纳:公式法、转化法.
3.常见误区:（1）求复合函数的导数时不能正确分解函数；（2）求导时不能分清是对哪个变
量求导；（3）计算结果复杂化.(共34张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程 标准 1.理解导数与函数单调性的关系.
2.会利用导数判断或证明函数单调性,会利用导数求函数单调区间.
3.理解函数图象与其导函数图象之间的关系.
4.掌握已知函数单调性求参数取值范围的方法.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 函数的单调性与其导数的关系
在某个区间 内,如果__________,那么函数 在区间 内单调递增；
在某个区间 内,如果__________,那么函数 在区间 内单调递减.
名师点睛
“在某区间内 ”是“函数 在此区间内单调递增（减）”的充
分条件,而不是必要条件.如果出现个别点使 ,不会影响函数 在包含该点的
某个区间内的单调性.例如函数 ,在定义域 内是增函数,但因为
,所以 ,即并不是在定义域内的任意一点处都满足 .
过关自诊
1.如果函数 在某个区间内恒有 ,那么函数 有什么特性？
提示 在该区间内是常数函数.
2.在区间 内,若 ,则 在此区间内单调递增,反之也成立吗
提示 不一定成立.比如 在 上为增函数,但其在 处的导数等于零.也就是说
是 在某个区间上单调递增的充分不必要条件.
3.[2023广西北海月考] 函数 的单调递增区间为_ _______.
[解析] 令 ,可得 .故函数的单调递增区间为 .
4.［北师大版教材习题］讨论下列函数的单调性:
（1） ;
解 ,由 得 ;由 得 .因此,函数 在区
间 , 内单调递减,在区间 , 内单调递增.
（2） .
解 .由 得 ;由 得
或 .因此,函数 在区间 和 内单调递减,在区
间 内单调递增.
知识点2 函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系
一般地,设函数 ,在区间 内:
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
较大 ______ 比较“______”（向上或向下）
较小 ______ 比较“______”（向上或向下）
名师点睛
1.原函数的图象通常只看增减变化,而导函数的图象通常对应只看正负变化.
2.导数的绝对值大（小）对应着原函数图象的陡峭（平缓）.弄清楚两个对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系.
较快
陡峭
较慢
平缓
过关自诊
（1）函数在某一点处的导数越大,函数的图象在该点处的切线越“陡峭”.( )
×
（2）函数在某个区间上变化得越快,函数在这个区间上导数的绝对值越大.( )
√
2.导数值与函数图象的变化趋势有何关系
提示 （1）在某一个区间内导数值为正,函数单调递增；导数值为负,函数单调递减.（2）函数图象越陡峭,导数的绝对值越大；函数图象越平缓,导数的绝对值越小.反之,亦成立.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 函数图象与导函数图象间的关系
【例1】（1） 设函数 在定义域内可导, 的图象如图所示,则导函数
的图象可能为( )
D
A.&1& B.&2&
C.&3& D.&4&
[解析] 由函数的图象可知：当 时，函数单调递增，导数始终为正；当 时，
函数先增后减再增，即导数先正再为0，再负，再为0，再正，对照选项，应选D.
（2）函数 的导函数 的图象如图所示,则函数 的图象可能是
( )
D
A.&5& B.&6&
C.&7& D.&8&
[解析] 原函数先减再增，再减再增，且单调递增区间与单调递减区间的分界点情形只有选项D符合，故选D.
变式训练1 已知函数 的图象如图所示（其中 是函数
的导函数）,下面四个图象中, 的图象大致是( )
C
A.&9& B.&10&
C.&11& D.&12&
[解析] 当 时， , .故 在区间 内单调递增；当 时， , ,故 在区间 内单调递减；当 时， , ,故 在区间 内单调递减；当 时， , ,故 在区间 内单调递增.故选C.
探究点二 利用导数判断或证明函数的单调性
【例2】 下列函数中,在区间 内单调递增的是( )
B
A. B. C. D.
[解析] A中, ,当 时, 的符号不确定;B中, ,当 时, ,故在区间 内单调递增;C中, ,当 时, ;D中, ,当 时, .故选B.
规律方法 运用导数研究函数单调性的方法
利用导数判断或证明函数的单调性时,一般是先确定函数的定义域,再求导数,最后判断导
数在所给区间上的符号,从而确定函数的单调性.
变式训练2 若函数 在某区间内单调递增,则该区间可能为( )
C
A. B. C. D.
[解析] ，
.当 时， ， ，函
数单调递减，故A错误;当 时， ， ，函数单调递减，故B
错误；当 时， ， ，函数单调递增，故C正确；当
时， ， ，函数单调递减，故D错误.故选C.
探究点三 利用导数求函数的单调区间
角度1.求不含参数的函数的单调区间
【例3】 [北师大版教材习题] 讨论下列函数的单调性,并画出大致图象.
（1） ;
图①
解 .
由 得 ,由 得 ,因此,函数 在区
间 内单调递增;在区间 内单调递减.
大致图象如图①.
（2） .
图②
解 , ,因此,函数 在区间
内单调递增.
大致图象如图②.
分析根据函数解析式求出函数的导函数,根据导函数的符号确定函数单调区间.
变式训练3 求下列函数的单调区间:
（1） ；
解 函数定义域为 ,
令 ,即 ,解得 ；令 ,即 ,解得 或 .
故函数的单调递增区间是 ,单调递减区间是 和 .
（2） .
解 函数定义域为 ,
令 ,即 ,解得 ；
令 ,即 ,解得 .
故函数的单调递增区间是 ,单调递减区间是 .
角度2.求含参数的函数的单调区间
【例4】 讨论函数 的单调性.
分析 根据函数的定义域,结合导函数零点的大小,确定原函数的单调区间.
解 函数 的定义域为 ， .
①当 时， ，由 ，得 ，由 ，得 .
在区间 内单调递减，在区间 内单调递增.
②当 时， ，
， .
由 ，得 ，由 ，得 .
在区间 内单调递减，在区间 内单调递增.
综上所述，当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
变式探究 本例条件不变,将 改为 ,讨论函数的单调区间.
解 的定义域为 ，且
.
①当 时， ,故当 时， ，当
时， ,故 在区间 ， 内单调递减，在区间
， 内单调递增.
②当 时， ,故当 时， ，
当 ， 时， ,故 在区间 ， ， 内单调递减，
在区间 内单调递增.
③当 时， ，故 在区间 内单调递减.
④当 时， ，故当 时， ，当 时，
，故 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减.
综上所述，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；当
时， 在 , 上单调递减，在 , 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 , ,
上单调递减，在 上单调递增.
探究点四 已知函数的单调性求参数的值或取值范围
【例5】 已知函数 为增函数,求实数 的取值范围.
分析&13& &14&
解 由已知得 ,因为 在 内是增函数,所以
在 内恒成立,即 对 恒成立.
因为 ,所以只需 .
又因为 时, , 在 上是增函数.
所以实数 的取值范围为 .
变式探究1 若函数 的单调递减区间为 ,求实数 的值.
解 由 ,
①当 时, , 在 上为增函数.不符合题意.
②当 时,令 ,
得 ,
当 时, .
在区间 内单调递减,即 的单调递减区间为 ,则
, 即 .
变式探究2 若函数 在区间 内单调递减,求实数 的取值范围.
解 由题意可知 在区间 内恒成立,
即 .
即 的取值范围是 .
变式探究3 若函数 在区间 内不单调,求实数 的取值范围.
解 ,
.
由 不单调可知 .
由 ,得 ,
在区间 内不单调,
,即 .
故 的取值范围为 .
变式探究4 若函数 在区间 内存在单调递减区间,求实数 的
取值范围.
解 ，
.
由题意可知 在区间 内有解，即 在区间
内有解，因此 .
由于 在区间 内的最小值为0，因此 .
故实数 的取值范围是 .
规律方法 利用函数的单调性求参数,常用方法如下：
1
2
3
4
5
6
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）函数的单调性与其导数的关系.
（2）利用导数判断或证明函数的单调性.
（3）利用导数求函数的单调区间.
（4）由导数的信息画函数的大致图象.
2.方法归纳:转化法,数形结合、分类讨论.
3.常见误区:
（1）容易忽略定义域的限制；（2）当单调区间不止一个时,连接符号易出错；（3）易疏忽
求单调区间问题中区间的开闭情况.
