(共31张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一、二］（多选题）函数 的导函数 的图象如图所示,则下列
判断正确的是( )
BC
A.在 上, 单调递增
B.在 上, 单调递增
C.在 上, 单调递增
D.在 上, 单调递增
[解析] 由题图知当 , , 时, ,所以在区间 , , 上, 单调递增,当 , 时, ,所以在区间 , 上, 单调递减.
2.［探究点三（角度 ）］函数 的单调递减区间为( )
D
A. B. C. D.
[解析] ,令 ,得 ,所以 的单调递减区间为 .
3.［探究点三（角度 ）］函数 的单调递增区间为( )
A
A. , B. C. , D. ,
[解析] 的定义域是 , ,令 ,解得 .
4.［探究点二］已知函数 ，则下列选项正确的是( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 因为函数 ，所以 ，所以函数
在 上单调递增.又因为 ，所以 .故选D.
5.［探究点四］若函数 存在单调递减区间,则实数 的取值范围
为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由 ，可得 .由题意可得存在
，使得 ，即存在 ，使得 ，即
.因为 ,所以 ,当且仅当 时，等号成立，所以 .
故选B.
6.［探究点一］已知函数 的导函数 的图象如
图所示,则函数 的图象可能是( )
B
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 由 的图象知, 在 上是单调递增的,且在区间 上
增长速度越来越快,而在区间 上增长速度越来越慢,故选B.
7.［探究点三（角度 ）］函数 的单调递减区间为_ ________.
[解析] ,令 ,解得 ,所以函数 的单调递减区间为 .
8.［探究点四］已知函数 在区间 上不单调，则实数 的取值范
围是_ ______.
[解析] ，令 ，则 在 上单调递增，
故需 , ，即 ，所以 .
9.［探究点三（角度 ）］求下列函数的单调区间：
（1） ;
解 函数 的定义域为 ， ，令 ，即
，得 .
令 ，即 ，得 .
故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2） .
解 函数 的定义域为 ， ，令
，即 ，得 或 .
令 ，即 ，所以 且 .故函数
的单调递增区间为 ， ,单调递减区间为 ， .
10.[探究点三（角度2）·2023河北张家口期末] 已知函数 .讨论函数
的单调性.
解 由已知得 的定义域为 , ,当 时, ,
为减函数.
当 时,令 ,则 .
时,当 , 时, , 单调递增,当 , 时,
, 单调递减;
时,当 , 时, , 单调递减,当 , 时, , 单调递增.
综上,当 时, 为减函数;当 时, 在 , 内单调递增, 在 , 内单调递减;当 时, 在 , 内单调递减, 在 , 内单调递增.
B级 关键能力提升练
11.函数 的定义域为 , , 为 的导函数，且 ，则不等式
的解集是( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 由题意可知 在 上单调递增，又 ， ，
所以当 时，由 可知 ，即 ，因此 ；当 时，
由 可知 ，即 ,因此 .所以不等式
的解集为 ，故选A.
12.已知 ,则“ ”是“ 在 内单调递增”的( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 当 在 内单调递增时, 在
内恒成立,而 ,当且仅当 时,等号成立.所以 ,所
以“ ”是“ 在 内单调递增”的充分不必要条件,故选
A.
13.定义在 上的函数 的导函数为 ，对任意的实数 ，都有 ，
且 ，则( )
B
A. B. C. D.
[解析] 构造 ，则 .又 ，所以 ， 所以函数 在 上单调递减.所以 ，又 ，所以 ，所以 .故选B.
14.已知函数 ,若对任意两个不等的正数 , ,都有
恒成立,则 的取值范围为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 令 ,
因为 ,
所以 ,即 在 上单调递增,故 在
上恒成立,即 ,令 , ，则
, ,即 的取值范围为 .故选A.
15.若函数 ,则满足 的 的取值范围为
( )
B
A. B. ,
C. D. ,
[解析] 函数 ,定义域为 ,且满足
, 为 上的奇函
数.又 ，当且仅当 时，等号成立.当
时， , 恒成立, 为 上的增函数.又
,
,
,即 ,
解得 或 ,
的取值范围是 .
故选B.
16.（多选题）下列函数在定义域上为增函数的有( )
CD
A. B.
C. D.
[解析] 函数 的定义域为 ，其导数为 ，当 时，
，当 时， ，所以函数 在定义域 上不是增函数；函数
的定义域为 ，其导数为 ，当 时， ，
当 时， ，所以 在定义域 上不是增函数；函数
的定义域为 ，其导数为 ，因为 且不恒
为0，所以 在定义域 上是增函数；函数 的定义域为 ，
其导数为 ，因为 ，当且仅当
，即 时，等号成立，所以 在定义域 上是增函数.故选 .
17.若函数 在定义域的一个子区间 上不单调，则实数
的取值范围是_ _____.
,
[解析] 显然函数 的定义域为 ， .由 ，得
函数 的单调递增区间为 ， ；由 ，得函数 的单调递减区间
为 , .因为函数在区间 上不单调，所以 ，解得
，又因为 为定义域的一个子区间，所以 ，即
.综上可知， .
18.已知 满足 ， 为其导函数，且导函
数 的图象如图所示，则 的解集是_ ______.
[解析] 由函数 的图象可知，当 时， ，
此时函数 单调递减；当 时， ，此时函数
单调递增.因为 ，所以当 时，由
，可得 ；当 时，由
，可得 .综上所述，不等式
的解集为 .
19.[2023上海浦东期末] 已知定义在 上的函数
为偶函数,则 的单调递减区间为_________
_________.
, 和 ,
[解析] 定义在 上的函数 为偶函数,则 ,
即 ,
, , , , ,令
, ,解得 , 和 , ,故 的单调递减区
间为 , 和 , .
20.已知函数 （ 为常数, 为自然对数的底数）,曲线 在点
处的切线与 轴平行.
（1）求实数 的值；
解 由 ,可得 . 曲线 在点 处的切
线与 轴平行,
,即 ,解得 .
（2）求函数 的单调区间.
解 由（1）知, ,
设 ,
则 .
可知 在 上为减函数,
由 知,当 时, ,故 ；当 时,
,故 .
综上, 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 .
C级 学科素养创新练
21.[2023江西赣州期末] 已知 , , ,则( )
A
A. B. C. D.
[解析] 易知 .
当 时, ,故 .令 ,
, ,则 在 上单调递增,所以
,即 ,即 .所以 .故选A.
22.已知函数 .
（1）当 时,求 的单调区间；
解 当 时, ,
,
, 由 ,得 ；由 ,得 , 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 .
（2）若 ,证明:当 时, .
证明 设 ,
则 .
由 ,得 ；
由 ,得 .
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
故 ,即 ,
即 ,当且仅当 时,等号成立.
要证 ,即 ,只需证 .
, , ,
,当且仅当 , 时,等号成立.
两个不等式取得等号的条件不同,
当 , 时, .(共15张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一（角度1）］一运动物体的位移 与时间 之间的关系为 ，
则从 到 内，该物体运动的平均速度为( )
A
A.6.3 B.36.3 C.3.3 D.9.3
[解析] ， ，
则平均速度 ，故选A.
2.［探究点一（角度2）］一个物体做直线运动,位移 与时间 之间的函数关系为
,则该物体在 时的瞬时速度为( )
C
A.4 B.5 C.6 D.7
[解析] 由 ,可知该物体在 时的瞬
时速度为6.
3.［探究点一］（多选题）已知某沿直线运动的物体走过的路程 与时间 的函数关系
为 ,则下列说法正确的是( )
ABD
A.该物体在 内的平均速度是28 B.该物体在 时的瞬时速度是56
C.该物体位移的最大值为43 D.该物体在 时的瞬时速度是70
[解析] 该物体在 内的平均速度是 ,A正确;
物体在 时的瞬时速度是 ,B
正确;
物体的最大位移是 ,C错误;
物体在 时的瞬时速度是 ,故
D正确.
4.［探究点二］已知曲线 上一点 ，则曲线在点 处的切线的斜率为____.
[解析] 曲线 上一点 ，在点 处的切线的斜率为
，所以点 处的切线的斜率为 .
5.［探究点一（角度1）］一个物体做直线运动，位移 （单位： ）与时间 （单
位： ）之间的函数关系为 ，且这一物体在 这段时间内的平
均速度为 ，则实数 的值为___.
1
[解析] 由已知，得 ，所以 ，解得
.
6.［探究点一］一个做直线运动的物体，其位移 与时间 的关系是
的单位： ， 的单位： .
（1）求此物体的初速度；
解 .
,所以物体的初速度为 .
（2）求此物体在 时的瞬时速度；
解
.
,
所以在 时的瞬时速度为 .
（3）求 到 的平均速度.
解 平均速度
B级 关键能力提升练
7.设曲线 在点 处的切线与直线 平行，则 等于( )
A
A.1 B. C. D.
[解析] 因为
，
所以 ，所以 .
8.汽车行驶的位移 和时间 之间的函数图象如图所示,在
时间段 , , 内的平均速度分别为 , ,
,则三者的大小关系为( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 设直线 , , 的斜率分别为 , , ,
则 , ,
,由题中图象知 ,即
.
9.（多选题）一运动物体的位移 与时间 之间的关系为 下
列说法正确的是( )
BC
A.此物体在 到 这段时间内的平均速度 是常数
B.此物体在 到 这段时间内的平均速度 与 有关
C.此物体在 时的瞬时速度为6
D.此物体在 时的瞬时速度为28
[解析] 当 ， 时， ，所以
.
,即在 时的瞬时速度为6.故选 .
10.将半径为 的球加热,若半径从 到 时球的体积膨胀率为 ,则 的值为
___.
2
[解析] 体积的增加量 ,
所以 ,所以 ,所以 或 （舍去）.
11.曲线 上哪一点处的切线满足下列条件？
（1）平行于直线 ;
（2）垂直于直线 ;
（3）倾斜角为 .
（2） 切线与直线 垂直,
,得 , ,即 , 是满足条件的点.
（3）因为切线的倾斜角为 ,所以其斜率为 ,即 ,得 , ,
即 , 是满足条件的点.
解 设 是满足条件的点,曲线 在点 处的切线的斜
率为 .
（1） 切线与直线 平行, ,得 , ,
即 是满足条件的点.
C级 学科素养创新练
12.在曲线 的所有切线中，斜率最小的切线方程为___________.
[解析] 由题意知在曲线上一点 的切线斜率为
,
故当 时，切线斜率最小为2.
,
故斜率最小的切线方程为 ,即 .5.3.1 函数的单调性
A级 必备知识基础练
1. ［探究点一、二］（多选题）函数的导函数的图象如图所示,则下列判断正确的是( )
A. 在 上, 单调递增 B. 在 上, 单调递增
C. 在 上, 单调递增 D. 在 上, 单调递增
2. ［探究点三（角度）］函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
3. ［探究点三（角度）］函数的单调递增区间为( )
A. , B. C. , D. ,
4. ［探究点二］已知函数，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
5. ［探究点四］若函数存在单调递减区间,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6. ［探究点一］已知函数的导函数的图象如图所示,则函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
7. ［探究点三（角度）］函数的单调递减区间为.
8. ［探究点四］已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是.
9. ［探究点三（角度）］求下列函数的单调区间：
（1） ;
（2） .
10. [探究点三（角度2）·2023河北张家口期末]已知函数.讨论函数的单调性.
B级 关键能力提升练
11. 函数的定义域为,,为的导函数，且，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
12. 已知,则“”是“在内单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
13. 定义在上的函数的导函数为，对任意的实数，都有，且，则( )
A. B. C. D.
14. 已知函数,若对任意两个不等的正数,,都有恒成立,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
15. 若函数,则满足的的取值范围为( )
A. B. ,
C. D. ,
16. （多选题）下列函数在定义域上为增函数的有( )
A. B.
C. D.
17. 若函数在定义域的一个子区间上不单调，则实数的取值范围是.
18. 已知满足，为其导函数，且导函数的图象如图所示，则的解集是.
19. [2023上海浦东期末]已知定义在上的函数为偶函数,则的单调递减区间为.
20. 已知函数（为常数,为自然对数的底数）,曲线在点处的切线与轴平行.
（1） 求实数的值；
（2） 求函数的单调区间.
C级 学科素养创新练
21. [2023江西赣州期末]已知,,,则( )
A. B. C. D.
22. 已知函数.
（1） 当时,求的单调区间；
（2） 若,证明:当时,.
5.3.1 函数的单调性
A级 必备知识基础练
1. BC
[解析]由题图知当,,时,,所以在区间,,上,单调递增,当,时,,所以在区间,上,单调递减.
2. D
[解析],令,得,所以的单调递减区间为.
3. A
[解析]的定义域是,,令,解得.
4. D
[解析]因为函数，所以，所以函数在上单调递增.又因为 ，所以.故选.
5. B
[解析]由，可得.由题意可得存在，使得，即存在，使得，即.因为,所以,当且仅当时，等号成立，所以.故选.
6. B
[解析]由的图象知,在上是单调递增的,且在区间上增长速度越来越快,而在区间上增长速度越来越慢,故选.
7.
[解析],令,解得,所以函数的单调递减区间为.
8.
[解析]，令，则在上单调递增，故需,，即，所以.
9. （1） 解函数的定义域为，，令，即，得.
令，即，得.
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2） 函数的定义域为，，令，即，得或.
令，即，所以且.故函数的单调递增区间为，,单调递减区间为，.
10. 解由已知得的定义域为,,当时,,为减函数.
当时,令,则.
时,当 ,时,,单调递增,当,时,,单调递减;
时,当 ,时,,单调递减,当,时,,单调递增.
综上,当时,为减函数;当时,在 ,内单调递增,在,内单调递减;当时,在 ,内单调递减,在,内单调递增.
B级 关键能力提升练
11. A
[解析]由题意可知在上单调递增，又，，所以当时，由可知，即，因此；当时，由可知，即,因此.所以不等式的解集为，故选.
12. A
[解析]当在内单调递增时,在内恒成立,而,当且仅当时,等号成立.所以,所以“”是“在内单调递增”的充分不必要条件,故选.
13. B
[解析]构造，则.又，所以，所以函数在上单调递减.所以，又，所以，所以.故选.
14. A
[解析]令,
因为,
所以,即在上单调递增,故在上恒成立,即,令,，则,,即的取值范围为.故选.
15. B
[解析]函数,定义域为,且满足,为上的奇函数.又，当且仅当时，等号成立.当时，,恒成立,为上的增函数.又,
,
,即,
解得或,
的取值范围是.
故选.
16. CD
[解析]函数的定义域为，其导数为，当时，，当时，，所以函数在定义域上不是增函数；函数的定义域为，其导数为，当时，，当时，，所以在定义域上不是增函数；函数的定义域为，其导数为，因为且不恒为0，所以在定义域上是增函数；函数的定义域为，其导数为，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以在定义域上是增函数.故选.
17. ,
[解析]显然函数的定义域为，.由，得函数的单调递增区间为，；由，得函数的单调递减区间为,.因为函数在区间上不单调，所以，解得，又因为为定义域的一个子区间，所以，即.综上可知，.
18.
[解析]由函数的图象可知，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.因为，所以当时，由，可得；当时，由，可得.综上所述，不等式的解集为.
19. ,和,
[解析]定义在上的函数为偶函数,则,
即,
,,,,,令,,解得 ,和,,故的单调递减区间为 ,和,.
20. （1） 解由,可得. 曲线在点处的切线与轴平行,
,即,解得.
（2） 由（1）知,,
设,
则.
可知在上为减函数,
由知,当时,,故；当时,,故.
综上,的单调递增区间是,单调递减区间是.
C级 学科素养创新练
21. A
[解析]易知.
当时,,故.令,,,则在上单调递增,所以,即,即.所以.故选.
22. （1） 解 当时,,
,
, 由,得；由,得,的单调递增区间是,单调递减区间是.
（2） 证明 设,
则.
由,得；
由,得.
所以在上单调递增,在上单调递减,
故,即,
即,当且仅当时,等号成立.
要证,即,只需证.
,,,
,当且仅当,时,等号成立.
两个不等式取得等号的条件不同,
当,时,.培优课4 恒成立、能成立问题
A级 必备知识基础练
1. ［探究点一］已知函数,若恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2. ［探究点一］已知对任意都成立,则实数的取值范围是.
3. ［探究点一］已知函数,其中,是自然对数的底数.
（1） 当时,求函数在区间上的零点个数；
（2） 若对任意的实数恒成立,求的取值范围.
4. ［探究点二］已知函数在处取得极值4.
（1） 求,的值;
（2） 若存在,使成立,求实数 的取值范围.
B级 关键能力提升练
5. 若存在,,使得不等式成立,则实数的最大值为( )
A. B. C. 4 D.
6. 已知函数在,上单调递减,则实数的最小值是( )
A. B. C. D.
7. 已知函数若且,使得成立,则实数的取值范围是( )
A. B. , C. D. ,
8. 已知是奇函数,当时,,当时,的最小值为1,则的值为.
9. 已知函数,,且,,,恒成立,则实数的取值范围是.
C级 学科素养创新练
10. 已知函数,其中为常数.
（1） 若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围；
（2） 若在时恒成立,求实数的取值范围.
培优课4 恒成立、能成立问题
A级 必备知识基础练
1. A
[解析],令,解得,令,解得,故在上单调递减,在上单调递增,故.
若恒成立,则,解得,故选.
2.
[解析]设,，则,令,得或所以在区间,上,,单调递增,在区间,上,,单调递减,在区间上,,单调递增,因此在闭区间上,函数在处取得极大值,在时函数取得极小值,且,,,所以是最小值,所以实数.
3. （1） 解当时,,则,在上单调递增,又,,故,使得,函数在区间上有1个零点.
（2） 若对任意的实数恒成立,即恒成立,令,则,令,得；令,得,在上单调递增,在上单调递减,,
的取值范围为.
4. （1） 解，
则.
因为函数在处取得极值4，所以,，解得此时.
易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则是函数的极大值点，符合题意.故，.
（2） 若存在，使成立，则.
由（1）得，，
且在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，即，
解得，
所以实数 的取值范围是.
B级 关键能力提升练
5. A
[解析],
.设,,则,当时,,单调递减,当时,,单调递增. 存在,,成立,.
,,
.
,的最大值是.
6. D
[解析]由在,上单调递减,得,,
即,,
令,,
则,,
当,时,,
则,
所以,
即,
所以在,上单调递减,,
所以,的最小值为.
7. D
[解析]由题意可得,存在实数,
使得成立,
假设,则,
所以有,
则,
令,
则,
令,即,解得,
令,即,解得,
则在上单调递减,在上单调递增,
所以,
所以.
8. 1
[解析]由题意知,当时,的最大值为.
令,得,
,.
当时,；
当时,.
.
解得.
9. ,
[解析]设,可化为,可得函数在内单调递减,在上恒成立,即在内恒成立,令,,则在内恒成立, 函数在内单调递减,.则实数的取值范围是 ,.
C级 学科素养创新练
10. （1） 解由,得, 函数在区间上单调递增,
在区间上恒成立,
即在区间上恒成立.
当时,,
,
即实数的取值范围是.
（2） 在时恒成立,等价于在时恒成立,
令,则,
,
在上是减函数,
在区间上的最大值,,
即实数的取值范围是.培优课3 函数的单调性与导数关系的应用
A级 必备知识基础练
1. ［探究点二］已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2. ［探究点三］已知在上可导的函数的图象如图所示,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
3. ［探究点二］若函数在区间内单调递减,则( )
A. B. C. D.
4. ［探究点三］（多选题）已知函数的导函数为,且对任意的恒成立,则( )
A. B. C. D.
5. ［探究点二］若函数有三个单调区间,则的取值范围是.
6. ［探究点二］若函数的单调递减区间是,,则实数的值为.
7. ［探究点一、二］已知函数,.
（1） 讨论函数的增减性;
（2） 设函数在区间内单调递减,求的取值范围.
B级 关键能力提升练
8. 设,分别是定义在上的奇函数和偶函数,不为0,当时,,且,则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
9. 已知函数.若存在,,使得成立,则实数的取值范围是( )
A. , B. , C. D.
10. 设函数是奇函数的导函数,,当时,,则使得成立的的取值范围是( )
A. B.
C. D.
11. 若函数是内的单调函数,则实数的取值范围为.
12. 已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是.
13. 试讨论函数的单调区间.
C级 学科素养创新练
14. [2023重庆沙坪坝质检]已知函数,关于的不等式的解集是,则.
培优课3 函数的单调性与导数关系的应用
A级 必备知识基础练
1. B
[解析],由题意可知在上恒成立,,解得.
2. D
[解析]原不等式或即或
解得或或.
3. A
[解析].因为在区间内单调递减,所以不等式在区间内恒成立.所以,.所以.故选.
4. AB
[解析]令,因为,所以,故在上单调递减,而,,故,,即,,所以,.
5.
[解析]若函数有三个单调区间,则其导数有两个不相等的实数根,所以.
6.
[解析].因为的单调减区间是,,所以方程的两个根分别为,,
即解得.
7. （1） 解,判别式.
①若或,
则在内,,单调递增;
在内,,单调递减;
在内,,单调递增.
②若,则对所有都有,故此时在上单调递增.
③若,则,且对所有的都有,故当时,在上单调递增.
（2） 由（1）知,只有当或时,在,内单调递减,
因此,①
且.②
当时,由①②解得.
因此的取值范围是.
B级 关键能力提升练
8. D
[解析]令恒不为0）,则为奇函数,,由题得当时,,在内是单调递增的.又,
当时,;当时,.
又为奇函数, 当时,;当时,.而不等式和为同解不等式, 不等式的解集为.
9. C
[解析]设,则,存在,,使得成立等价于存在,,使得成立.,.由得,
,,,又,当且仅当,时,等号成立,.故选.
10. A
[解析]当时,令,
则,
当时,为减函数.
为奇函数,且由,得,故.在区间内,;在内,,即当时,;当时,.又为奇函数, 当时,;当时,.综上可知,的解集为.故选.
11.
[解析],因为是内的单调函数,所以恒成立或恒成立.因为导函数的二次项系数,所以只能有恒成立.所以,故.经检验,当时,只有一个点使,符合题意,故实数的取值范围是.
12.
[解析]由题意在上恒成立,即在上恒成立,令,,则,易知 ,时,；,时,,故在 ,上单调递减,在,上单调递增,故,故即为所求.
13. 解函数的定义域为,
.
当时,,,
则在上单调递减.
当时,由,即,解得；由,即,解得.
当时,的单调递减区间为,,单调递增区间为,.
综上所述,当时,的单调递减区间为,无单调递增区间；当时,的单调递减区间为,,单调递增区间为,.
C级 学科素养创新练
14.
[解析]函数的定义域为,
因为,
所以函数为偶函数.
因为,所以,当时,,函数为增函数,所以,函数在上单调递减,在上单调递增,因为,所以.
当时,,令,,则,令,则,易知函数在上单调递减,在上单调递增,所以,即在时恒成立.
当时,,令,,则,所以,函数在上单调递增,因为,,所以存在,使得,且时,.
综上,当的解集是时,,且,所以,.(共17张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］已知函数 ,若 恒成立,则实数 的取值范围是
( )
A
A. B. C. D.
[解析] ,令 ,解得 ,令 ,解得 ,故 在
上单调递减,在 上单调递增,故 .
若 恒成立,则 ,解得 ,故选A.
2.［探究点一］已知 对任意 都成立,则实数 的取值范围
是_ __________.
[解析] 设 , ，则 ,令 ,得
或 所以在区间 , 上, , 单调递增,在区间 ,
上, , 单调递减,在区间 上, , 单调递增,因此在闭区间
上,函数 在 处取得极大值 ,在 时函数取得极小值 ,
且 , , ,所以 是最小值,所以实数 .
3.［探究点一］已知函数 ,其中 , 是自然对数的底数.
（1）当 时,求函数 在区间 上的零点个数；
解 当 时, ,则 , 在 上单调递增,又 , ,故 ,使得 , 函数 在区间 上有1个零点.
（2）若 对任意的实数 恒成立,求 的取值范围.
解 若 对任意的实数 恒成立,即 恒成立,令 ,则 ,令 ,得 ；令 ,得 , 在 上单调递增,在 上单调递减, ,
的取值范围为 .
4.［探究点二］已知函数 在 处取得极值4.
（1）求 , 的值;
解 ，
则 .
因为函数 在 处取得极值4，所以 ,
，解得 此时 .
易知 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
则 是函数 的极大值点，符合题意.故 ， .
（2）若存在 ,使 成立,求实数 的取值范围.
解 若存在 ，使 成立，则 .
由（1）得， ，
且 在 上单调递减，在 上单调递增，所以
，
所以 ，即 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
B级 关键能力提升练
5.若存在 , ,使得不等式 成立,则实数 的最大值为
( )
A
A. B. C.4 D.
[解析] ,
.设 , ,则
, 当 时, , 单调递减,当
时, , 单调递增. 存在 , , 成立,
.
, ,
.
, 的最大值是 .
6.已知函数 在 , 上单调递减,则实数 的最小值是
( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由 在 , 上单调递减,得
, ,
即 , ,
令 , ,
则 , ,
当 , 时, ,
则 ,
所以 ,
即 ,
所以 在 , 上单调递减, ,
所以 , 的最小值为 .
7.已知函数 若 且 ,使得 成立,则实数
的取值范围是( )
D
A. B. , C. D. ,
[解析] 由题意可得,存在实数 ,
使得 成立,
假设 ,则 ,
所以有 ,
则 ,
令 ,
则 ,
令 ,即 ,解得 ,
令 ,即 ,解得 ,
则 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 ,
所以 .
8.已知 是奇函数,当 时, ,当 时,
的最小值为1,则 的值为___.
1
[解析] 由题意知,当 时, 的最大值为 .
令 ,得 ,
, .
当 时, ；
当 时, .
.
解得 .
9.已知函数 , ,且 , , , 恒成立,则
实数 的取值范围是_ _________.
,
[解析] 设 , 可化为 ,可得函数
在 内单调递减, 在
上恒成立,即 在 内恒成立,令 , ,
则 在 内恒成立, 函数 在 内单调递
减, .则实数 的取值范围是 , .
C级 学科素养创新练
10.已知函数 ,其中 为常数.
（1）若函数 在区间 上单调递增,求实数 的取值范围；
解 由 ,得 , 函数 在区间 上单
调递增,
在区间 上恒成立,
即 在区间 上恒成立.
当 时, ,
,
即实数 的取值范围是 .
（2）若 在 时恒成立,求实数 的取值范围.
解 在 时恒成立,等价于 在 时恒成立,
令 ,则 ,
,
在 上是减函数,
在区间 上的最大值 , ,
即实数 的取值范围是 .(共19张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点二］已知函数 的定义域为 , 为 的导函数,且
,则下列式子正确的是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 令 ,
则 ,
所以 在 上是增函数.
又 ,
所以当 时, ；
当 时, .
所以当 时, .
又 ,所以C正确.
2.［探究点一］（多选题）已知 为 上的可导函数,且
,则下列不等式一定成立的是( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 由 ,得 ,令 ,
则 ,
在 上是增函数,
,
则 ,
即 , ,故选 .
3.［探究点一］（多选题）已知定义在 , 上的函数 的导函数为 ,且
, ,则下列判断中正确的是( )
CD
A. B.
C. D.
[解析] 令 , , ,
则 ,
因为 ,
所以 在 , 上恒成立,
因此函数 在 , 上单调递减,
又 ,
所以 ,
即 ,
即 ,故A错误;
又 ,所以 ,
所以 在 , 上恒成立,
因为 , ,
所以 ,故B错误;
又 ,
所以 ,
所以 ,
即 ,故C正确;
又 ,
所以 ,
所以 ,
即 ,故D正确.故选 .
4.［探究点三］已知 是定义在 , 上的函数,其导函数为 , ,且
当 , 时, ,则不等式 的解集为________
______.
[解析] 因为当 , 时, ,所以 , ,
,令 ,则当 , 时, , 在 , 上是增函数,因为
,所以 ,不等式 ,即 .因为
在 , 上是增函数,所以原不等式的解集为 .
5.［探究点一］设函数 是定义在 上的函数 的导函数,有
,若 , , ,则 , , 的大小关系
是_ _________.
[解析] 设函数 ,则 ,因为
,所以 ,所以 在 上是增函数,
, ,
,所以 .
6.[探究点三·2023安徽合肥期末] 已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性;
解 函数 , , ,
①当 时, , 在 上单调递减,
②当 , , 时, ;当 , , 时, ,
所以 在 , 上单调递减,在 , 上单调递增.
（2）函数 ,若 在 上恒成立,求实数 的取值范围.
解 由 ,得 , ,所以 ,令
, ,当 时, , 时,
,所以 在 上单调递增,在 上单调递减,所以
,故 ,
即 的取值范围是 , .
B级 关键能力提升练
7.设 , 是定义域为 的恒大于0的可导函数,且 ,则
当 时,下列式子一定正确的是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 设 ,则 ,由 ,得
,所以 在 上是减函数,因为 ,所以 ,又 ,
是定义域为 的恒大于0的可导函数,故 .
8.已知函数 的定义域为 ,其导函数为 ,且 在 上恒成立,则
下列不等式一定成立的是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 令 ,则 ,
因为 在 上恒成立,
所以 在 上恒成立,
故 在 上是减函数,
所以 ,
即 ,即 .
9.设函数 的定义域为 , 是其导函数,若 , ,则不等
式 的解集是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 令 ,
则 ,
因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以函数 在 上是增函数,
又 可化为 ,且 ,
所以 ,解得 ,
所以不等式 的解集是 .
10.已知函数 是定义在 上的奇函数, ,当 时,有 ,则不
等式 的解集是_ _______________.
[解析] 令 ,
则 .
当 时, ,
即 ,
在 上单调递增.
又 , ,
在 上, 的解集为 , 的解集为 .
为奇函数, 为偶函数, 在 上, 的解集为 , 的解集为 .
由 ,得 .
又 的解集为 ,
不等式 的解集为 .
C级 学科素养创新练
11.[2023河南南阳期末] 已知函数 .
（1）当 时,求证： ;
证明 当 时, ,
,
当 时, , 单调递增,当 时, , 单调递减,所
以 ,即 .
（2）若函数 有且只有一个零点,求实数 的取值范围.
解 当 时, , 只有1个零点;
当 时,由 ,得 , .
令 ,
则 ,
令 ,
则 在 上单调递减,
又 ，
所以 在 上大于0, 单调递增, 在 上小于0, 单调递减.
而 , ,且当 时, ,
则要使函数 有且只有一个零点,
则需 或 ,
即 或 .
综上所述,若函数 有且只有一个零点,则实数 的取值范围是 .(共25张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点四（角度1）］若曲线 在点 处的切线方程为
，则( )
A
A. B. C. D. 不存在
[解析] 由切线方程可以看出其斜率是5，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，所以A正确.
2.［探究点三］（多选题）若函数 在 处存在导数,则
的值( )
AD
A.与 有关 B.与 有关 C.与 无关 D.与 无关
[解析] 由导数的定义与函数 知, 在 处的导数与 有关,与 无关,故选 .
3.［探究点二］已知 ,若 ,则 的值等于( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由导数的定义得
,
因此 ,则 .
4.［探究点二］若 ,则 的导函数 等于( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由导函数的定义可知,
.
5.［探究点四（角度2）］（多选题）曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ,则点
的坐标可能为( )
AB
A. B. C. D.
[解析] 由导数定义得 ,设 ,则由导数
的几何意义可得 ,解得 ,从而 ,即点 的坐标为
或 .
6.［探究点二］设函数 在点 附近有定义，且有
（ ， 为常数），则 _ __.
[解析] .
7.［探究点四（角度2）］已知函数 的图象如图所示，
则 在 ， 两点处的导数 与 的大小关系为
_ __ .（填“ ”或“ ”）
[解析] 与 分别表示函数图象在点 ， 处的切线斜率，由图象可得 .
8.［探究点四（角度1）］曲线 在点 处的切线方程是________
_________.
[解析] 因为 ，切点为 ，
所以斜率
,
所以切线方程为 ,
即 .
9.［探究点二］利用导数的定义求函数 在 处的导数.
解 ,
,
.
10.［探究点四（角度1）］已知函数 图象上两点 ，
.
（1）若割线 的斜率不大于 ，求 的取值范围；
解 由题意得，割线 的斜率为
，
由 ，得 .又因为 ，所以 的取值范围是 .
（2）求函数 的图象在点 处的切线的方程.
解 由（1）知函数 的图象在点 处切线的斜率为
.
又 ,所以所求切线方程为 ,即 .
B级 关键能力提升练
11.若曲线 上任意一点 处的切线斜率为 ,则 的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 设 ,曲线 上任意一点 处的切线斜率为
.即
.
12.已知函数 在 上有导函数, 的图象如图所示,则下
列不等式正确的是( )
A
A. B.
C. D.
&1& .
[解析] 如图,分别作曲线在 , , 三处
的切线 , , ,设切线的斜率分别为 , , ,
易知 ,又 , ,
,所以 .故选A.
13.（多选题）已知函数 和 在区间 上的图象如图所示，则下列说法正确
的是( )
AD
A. 在 上的平均变化率等于 在 上的平均变化率
B. 在 上的平均变化率小于 在 上的平均变化率
C.对于任意 ，函数 在 处的瞬时变化率总大
于函数 在 处的瞬时变化率
D.存在 ，使得函数 在 处的瞬时变化率小于
函数 在 处的瞬时变化率
[解析] 在 上的平均变化率是 ， 在 上的平均变化率是
，又 ， ，
，故A正确，B错误；易知函数 在 处的瞬时变化率
是函数 在 处的导数，即函数 的图象在该点处的切线的斜率，同理可
得，函数 在 处的瞬时变化率是函数 在 处的导数，即函数
的图象在该点处的切线的斜率，由题中图象可知，当 时，函数
的图象在 处切线的斜率有可能大于 的图象在 处切线的斜率，也有
可能小于 在 处切线的斜率，故C错误，D正确.故选 .
14.（多选题）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、
限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，
其中之一就是在规定的时间 内完成房产供应量任务 .已知房产供应量 与时间 的
函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，在时间 内供应率（单位时间
的供应量）不逐步提高的是( )
ACD
A.&2& B.&3& C.&4& D.&5&
15.曲线 在 处的导数为____，在点 处的切线方程为_________
______.
[解析] , 切线方程
为 ,即 .
16.如图，函数 的图象在点 处的切线方程为 ,则
_ ___.
[解析] 函数 的图象在点 处的切线方程是
，
，又 为切点，
，
.
17.若抛物线 上一点 的横坐标是 ，在点 处的切线恰好过坐标原点，
则实数 的值为___.
4
[解析] ，抛物线在点 处切线的斜率为 .因为点 的横坐标是 ，所以点 的纵坐标是 ，根据题意有 ，解得 .
18.已知直线 和曲线 相切，求切点坐标及实数 的值.
解 设直线与曲线相切于点 ，
则
.
由导数的几何意义，得 ，解得 或 ，
切点坐标为 , 或 .
当切点为 , 时，有 ， .
当切点为 时，有 ，
，因此切点坐标为 , 或 ， 的值为 或 .
C级 学科素养创新练
19.已知曲线 ，
（1）求曲线在点 处的切线方程；
解 设切点为 ，
,
.
曲线在点 处的切线方程为 ,即 .
（2）求曲线过点 的切线方程.
解 点 不在曲线 上，设切点为 ,
由（1）知， ,
切线方程为 ，由 在所求直线上,得
，①
再由 在曲线 上,得 ，②
联立①②得 或 .
从而当切点为 时，切线的斜率为 ，此时切线方程为
，即 .
当切点为 时，切线的斜率为 ，此时切线方程为
，即 .
综上所述，过点 且与曲线 相切的直线方程为 或
.5.2.1 基本初等函数的导数 5.2.2 导数的四则运算法则
A级 必备知识基础练
1. ［探究点一］（多选题）下列结论中,正确的是( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
2. ［探究点三（角度）］若,则的解集为( )
A. B.
C. D.
3. [探究点四·2023宁夏银川兴庆月考]若函数的图象在点处的切线的斜率为1,则的最小值为( )
A. B. C. D.
4. ［探究点三（角度）］已知函数的图象经过点,且,请写出一个符合条件的函数解析式:.
5. ［探究点三（角度）］已知函数,则的值为.
6. ［探究点二］求下列函数的导数：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
B级 关键能力提升练
7. 已知曲线在点处切线的倾斜角为,则实数等于( )
A. 1 B. C. 7 D.
8. 已知曲线在点处的切线与直线垂直,则实数等于( )
A. B. 1 C. D.
9. （多选题）已知函数的导函数为，则( )
A. 为偶函数 B. 为奇函数
C. D.
10. （多选题）已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.给出下列四个函数,存在“巧值点”的是( )
A. B. C. D.
11. 已知函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为,其中,若,则的值是.
12. 已知函数,则过点可以作出条图象的切线.
13. 已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则,.
C级 学科素养创新练
14. 法国数学家拉格朗日在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数满足如下两个条件：（1）其图象在闭区间上是连续不断的；（2）在区间上都有导数.则在区间上至少存在一个数 ，使得，其中 称为拉格朗日中值.函数在区间上的拉格朗日中值.
5.2.1 基本初等函数的导数 5.2.2 导数的四则运算法则
A级 必备知识基础练
1. ACD
[解析]由知,,则,选项正确.,则,选项错误.,则,选项正确.由知,则,选项正确.故选.
2. B
[解析],
，等价于,
即,
解得.
3. A
[解析]因为,所以,又,当且仅当时，等号成立.故选.
4. （答案不唯一）
[解析]可设,则,又函数的图象经过点,则,所以.所以.
5. 1
[解析],
,得.
,
.
6. （1） 解
（2） ,
.
（3） （方法1）.
（方法2）
.
（4） ,
.
B级 关键能力提升练
7. C
[解析],,
又,
.
8. C
[解析]因为,,所以,所以.又因为曲线在点处的切线与直线垂直,所以,所以.
9. AC
[解析]因为函数的导函数为,所以是偶函数，故正确，错误；，故正确；，故错误.故选.
10. AC
[解析]若，则，由，得或，这个方程显然有解，故符合要求；若，则，即，此方程无解，不符合要求；若，则，若，在同一平面直角坐标系内作出函数与的图象可知两函数的图象有一个交点，可知方程有解，符合要求；若，则，所以,即，变形可得到，此方程无解，不符合要求.故选.
11. 21
[解析],的图象在点处的切线方程为.又该切线与轴的交点为,,即数列是首项,公比的等比数列,
,,.
12. 2
[解析]设切点坐标为,由,得.所以,因此切线方程为,把的坐标代入切线方程中，化简得,解得或,所以过点可以作出两条图象的切线.
13. ;
[解析]由，得.因为直线是曲线的切线,所以令,解得,此时,即切点为,所以,解得，即.由,得,因为直线是曲线的切线，所以令,解得,此时,即切点为,,所以有,即,解得.
C级 学科素养创新练
14.
[解析]函数的导数为，则.由拉格朗日中值的定义可知函数在区间上的拉格朗日中值 满足，所以.
所以，
即，则.培优课5 构造函数法解决导数问题
A级 必备知识基础练
1. ［探究点二］已知函数的定义域为,为的导函数,且,则下列式子正确的是( )
A. B. C. D.
2. ［探究点一］（多选题）已知为上的可导函数,且,则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
3. ［探究点一］（多选题）已知定义在,上的函数的导函数为,且,,则下列判断中正确的是( )
A. B.
C. D.
4. ［探究点三］已知是定义在,上的函数,其导函数为,,且当,时,,则不等式的解集为.
5. ［探究点一］设函数是定义在上的函数的导函数,有,若,,,则,,的大小关系是.
6. [探究点三·2023安徽合肥期末]已知函数.
（1） 讨论函数的单调性;
（2） 函数,若在上恒成立,求实数的取值范围.
B级 关键能力提升练
7. 设,是定义域为的恒大于0的可导函数,且,则当时,下列式子一定正确的是( )
A. B.
C. D.
8. 已知函数的定义域为,其导函数为,且在上恒成立,则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
9. 设函数的定义域为,是其导函数,若,,则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
10. 已知函数是定义在上的奇函数,,当时,有,则不等式的解集是.
C级 学科素养创新练
11. [2023河南南阳期末]已知函数.
（1） 当时,求证：;
（2） 若函数有且只有一个零点,求实数的取值范围.
培优课5 构造函数法解决导数问题
A级 必备知识基础练
1. C
[解析]令,
则,
所以在上是增函数.
又,
所以当时,；
当时,.
所以当时,.
又,所以正确.
2. BD
[解析]由,得,令,
则,
在上是增函数,
,
则,
即,,故选.
3. CD
[解析]令,,,
则,
因为,
所以在,上恒成立,
因此函数在,上单调递减,
又,
所以,
即,
即,故错误;
又,所以,
所以在,上恒成立,
因为,,
所以,故错误;
又,
所以,
所以,
即,故正确;
又,
所以,
所以,
即,故正确.故选.
4.
[解析]因为当,时,,所以,,,令,则当,时,,在,上是增函数,因为,所以,不等式,即.因为在,上是增函数,所以原不等式的解集为.
5.
[解析]设函数,则,因为,所以,所以在上是增函数,,,,所以.
6. （1） 解函数,,,
①当时,,在上单调递减,
②当,,时,;当,,时,,
所以在,上单调递减,在,上单调递增.
（2） 由,得,,所以,令,,当时,,时,,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,故,
即的取值范围是,.
B级 关键能力提升练
7. B
[解析]设,则,由,得,所以在上是减函数,因为,所以,又,是定义域为的恒大于0的可导函数,故.
8. A
[解析]令,则,
因为在上恒成立,
所以在上恒成立,
故在上是减函数,
所以,
即,即.
9. A
[解析]令,
则,
因为,
所以,
所以,
所以函数在上是增函数,
又可化为,且,
所以,解得,
所以不等式的解集是.
10.
[解析]令,
则.
当时,,
即,
在上单调递增.
又,,
在上,的解集为,的解集为.
为奇函数,为偶函数, 在上,的解集为,的解集为.
由,得.
又的解集为,
不等式的解集为.
C级 学科素养创新练
11. （1） 证明
当时,,
,
当时,,单调递增,当时,,单调递减,所以,即.
（2） 解
当时,,只有1个零点;
当时,由,得,.
令,
则,
令,
则在上单调递减,
又，
所以在上大于0,单调递增,在上小于0,单调递减.
而,,且当时,,
则要使函数有且只有一个零点,
则需或,
即或.
综上所述,若函数有且只有一个零点,则实数的取值范围是.第2课时 函数的最大（小）值
A级 必备知识基础练
1. ［探究点一角度］函数在区间上的最大值和最小值分别是( )
A. 1, B. 1, C. 3, D. 9,
2. ［探究点三］某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家的关注,据有关统计数据显示,从上午到,车辆通过该市某一路段的用时单位：与车辆进入该路段的时刻之间的关系可近似地用如下函数表示:.则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是( )
A. B. C. D.
3. ［探究点一角度］函数在区间上的值域为( )
A. B. C. D.
4. ［探究点四］当时,,则下列大小关系正确的是( )
A. B.
C. D.
5. ［探究点一角度］函数的最小值是.
6. [探究点二（角度2）·2023山东东营期末]若函数在区间上有最大值,则实数的取值范围是.
7. ［探究点三］对于企业来说,生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题.对一家药品生产企业的研究表明,该企业的生产成本（单位:万元）和生产收入（单位:万元）都是产量单位:的函数,分别为,.
（1） 试写出该企业获得的生产利润（单位:万元）与产量之间的函数关系式;
（2） 当产量为多少时,该企业可获得最大利润 最大利润为多少
B级 关键能力提升练
8. 某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为元，销售量为件，则销售量与零售价有如下关系：.则最大毛利润为（毛利润销售收入-进货支出）( )
A. 30元 B. 60元 C. 28 000元 D. 23 000元
9. 函数在上的最大值与最小值之和为( )
A. B. C. 6 D. 5
10. 已知函数在处取得极值，若，均属于，则的最小值是( )
A. B. C. 10 D. 15
11. 若函数在上的最大值为1，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
12. 已知在区间上的最大值就是函数的极大值,则的取值范围是.
13. 已知存在使不等式成立，则实数的取值范围是.
14. 已知函数,,,且曲线在处与直线相切.
（1） 求,的值；
（2） 求在,上的最大值.
15. [2023江苏淮安期末]已知函数,.
（1） 当时,求函数的极值;
（2） 当时,若函数在上的最小值为,求实数的值.
16. 已知函数,.若恒成立,求实数的取值范围.
C级 学科素养创新练
17. [2023重庆沙坪坝期末]定义：设函数在上的导函数为,若在上也存在导函数,则称函数在上存在二阶导函数,简记为.若在区间上,则称函数在区间上为“凹函数”.已知在区间上为“凹函数”,则实数的取值范围为.
第2课时 函数的最大（小）值
A级 必备知识基础练
1. C
[解析],
令,得.
又,,,.
所以函数的最大值为3,最小值为.
2. C
[解析]由题意,得.令得（舍去）或.当时,;当时,,所以当时,有最大值,即此时刻通过该路段用时最多.
3. A
[解析],当时,,且只有在时,,所以是,上的增函数.即的最大值为,的最小值为.故在,上的值域为,.故选.
4. D
[解析]根据得到,而,所以根据对数函数的单调性可知,当时,,从而可得,函数单调递增,所以,而,所以有.
5.
[解析]函数的导数为，当时，,单调递增，当时，,单调递减，因此当时，函数有最小值，最小值为.
6.
[解析]由题意,得.
由,得或,则在区间和上单调递增,由,得,则在区间上单调递减,所以解得,即实数的取值范围是.
7. （1） 解因为总利润总收入-总成本,
即,
所以,即.
（2） 根据导数公式表及导数的运算法则,可得.
解方程,得,.
比较,和的函数值,,可知,函数在处取得最大值,此时最大值为1 340.
即该企业的产量为时,可获得最大利润,最大利润为1 340万元.
B级 关键能力提升练
8. D
[解析]设毛利润为，由题意知，
所以.
令，解得或（舍去）.
此时，.
因为在附近的左侧，右侧，所以是极大值，根据实际问题的意义知，是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元.
9. B
[解析]由得，由可得.当时，，当时，，所以的极大值为，又，，所以的最大值为11，最小值为，所以最大值与最小值之和为.故选.
10. A
[解析]对函数求导得，由函数在处取得极值知，即，.
由此可得，，
易知在上单调递减，在上单调递增，
当时，.
又的图象开口向下，
且对称轴为，
当时，，
故的最小值为.
11. D
[解析]，
，令，解得或，当变化时，，的变化情况如下表：
0
- 0 0 -
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调 递减
由，得，解得或.
当时，，当时，.
又在上的最大值为1，的取值范围为.故选.
12.
[解析],令,得.
由题意得,故.
13.
[解析]成立，则成立.设，则.当时，，单调递减，当时，，单调递增.
.
14. （1） 解.
由曲线在处与直线相切,得
即解得
（2） 由（1）,得,定义域为.
.
令,得,令,得,所以在,上单调递增,在上单调递减,所以在,上的最大值为.
15. （1） 解当时,函数,,,
当或时,,当时,,即函数在,上单调递减,在上单调递增,因此当时,取得极小值,当时,取得极大值,所以的极小值为,极大值为11.
（2） 函数,其中,求导得,因为,由得,显然,当时,,当时,,因此函数在上单调递增,在上单调递减,而,,则函数在上的最小值,解得,所以实数的值为1.
16. 解,恒成立,故原式可化为,恒成立,
令,
则,,令,,故在上是增函数,且,,故存在,使得,即,①
且时,,即,当时,,即,故是的极小值点,也是最小值点,,②
由①式得,即,代入②式中得,故即为所求,所以的取值范围是.
C级 学科素养创新练
17.
[解析],,
.
在区间上为“凹函数”,
在上大于0恒成立,
.
令,
则,令,得,令,得,
在上单调递减,在上单调递增,
,
实数的取值范围为.(共19张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点二］已知函数 在 上是单调函数,则实数 的取值
范围是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] ,由题意可知 在 上恒成
立, ,解得 .
2.［探究点三］已知在 上可导的函数 的图象如图所示,
则不等式 的解集为( )
D
A.
B.
C.
D.
[解析] 原不等式 或 即 或
解得 或 或 .
3.［探究点二］若函数 在区间 内单调递减,则( )
A
A. B. C. D.
[解析] .因为 在区间 内单调递减,所以不等式 在区间 内恒成立.所以 , .所以 .故选A.
4.［探究点三］（多选题）已知函数 的导函数为 ,且 对任意的
恒成立,则( )
AB
A. B. C. D.
[解析] 令 ,因为 ,所以 ,故 在
上单调递减,而 , ,故 , ,即 ,
,所以 , .
5.［探究点二］若函数 有三个单调区间,则 的取值范围是________.
[解析] 若函数 有三个单调区间,则其导数 有两个不相等的实数根,所以 .
6.［探究点二］若函数 的单调递减区间是 , ,则实数 的值
为_ ___.
[解析] .因为 的单调减区间是 , ,所以方程
的两个根分别为 , ,
即 解得 .
7.［探究点一、二］已知函数 , .
（1）讨论函数 的增减性;
解 ,判别式 .
①若 或 ,
则在 内, , 单调递增;
在 内, , 单调递减;
在 内, , 单调递增.
②若 ,则对所有 都有 ,故此时 在 上单调递增.
③若 ,则 ,且对所有的 都有 ,故当 时,
在 上单调递增.
（2）设函数 在区间 内单调递减,求 的取值范围.
解 由（1）知,只有当 或 时, 在 , 内单调递
减,
因此 ,①
且 .②
当 时,由①②解得 .
因此 的取值范围是 .
B级 关键能力提升练
8.设 , 分别是定义在 上的奇函数和偶函数, 不为0,当 时,
,且 ,则不等式 的解集是( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 令 恒不为0）,则 为奇函数, ,由
题得当 时, , 在 内是单调递增的.又 ,
当 时, ;当 时, .
又 为奇函数, 当 时, ;当 时, .而不等式
和 为同解不等式, 不等式 的解集为
.
9.已知函数 .若存在 , ,使得 成立,
则实数 的取值范围是( )
C
A. , B. , C. D.
[解析] 设 ,则 ,存在 , ,使得 成立等
价于存在 , ,使得 成立. ,
.由 得 ,
, , ,又 ,当且仅当 , 时,等
号成立, .故选C.
10.设函数 是奇函数 的导函数, ,当 时,
,则使得 成立的 的取值范围是( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 当 时,令 ,
则 ,
当 时, 为减函数.
为奇函数,且由 ,得 ,故 .在区间 内, ;
在 内, ,即当 时, ;当 时, .又 为
奇函数, 当 时, ;当 时, .综上可知,
的解集为 .故选A.
11.若函数 是 内的单调函数,则实数 的取值范围为
_ ________.
[解析] ,因为 是 内的单调函数,所以 恒成立或
恒成立.因为导函数的二次项系数 ,所以只能有 恒成立.所以
,故 .经检验,当 时,只有一个点使 ,符合题意,故
实数 的取值范围是 .
12.已知函数 在 上单调递增,则实数 的取值范围是
_ _____________.
[解析] 由题意 在 上恒成立,即
在 上恒成立,令 , ,
则 ,易知 , 时, ； , 时, ,故
在 , 上单调递减,在 , 上单调递增,故 ,
故 即为所求.
13.试讨论函数 的单调区间.
解 函数 的定义域为 ,
.
当 时, , ,
则 在 上单调递减.
当 时,由 ,即 ,解得 ；由 ,即 ,解得
.
当 时, 的单调递减区间为 , ,单调递增区间为 , .
综上所述,当 时, 的单调递减区间为 ,无单调递增区间；当 时,
的单调递减区间为 , ,单调递增区间为 , .
C级 学科素养创新练
14.[2023重庆沙坪坝质检] 已知函数 ,关于 的不等式
的解集是 ,则 _ ___.
[解析] 函数 的定义域为 ,
因为 ,
所以函数 为偶函数.
因为 ,所以,当 时, ,函数 为增函数,所以,函数
在 上单调递减,在 上单调递增,因为 ,所以 .
当 时, ,令 , ,则 ,令 ,则
,易知函数 在 上单调递减,在 上单调递增,所以
,即 在 时恒成立.
当 时, ,令 , ,则 ,所以,函
数 在 上单调递增,因为 ,
,所以存在 ,使得 ,且 时,
.
综上,当 的解集是 时, ,且 ,所以,
.(共16张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一 角度 ］下列函数中存在极值的是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 对于 , ,令 ,得 .在区间 上, ;在区间 上, .故当 时,函数 取得极大值.易知A,C,D不存在极值.
2.［探究点三］设函数 在 上可导,其导函数为 ,且函数
的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
D
A.函数 有极大值 和极小值
B.函数 有极大值 和极小值
C.函数 有极大值 和极小值
D.函数 有极大值 和极小值
[解析] 由题图可知,当 时, ；
当 时, ；当 时, ；当 时, .
由此可以得到函数 在 处取得极大值,在 处取得极小值.
3.［探究点二 角度 ］若函数 在 内无极值，则实数 的取
值范围是( )
D
A. B.
C. D.
[解析] ，
函数 在 内无极值，
在 内无实数根.
或 ，
或 ，故选D.
4.［探究点二 角度 ］已知曲线 在点 处的切线斜
率为3，且 是 的极值点，则 ____.
[解析] ，
即
解得 .
5.[探究点四·2023福建泉州期末] 设函数 的导函数为 ,
若函数 的图象的顶点的横坐标为 ,且 ,则 的值为____.
[解析] 由 ,得 ,则其对称轴为直线 ,由题意得函数 的图象关于直线 对称,所以 ,所以 ,则 ,又由 ,得 ,所以 .
6.［探究点四］设函数 ,其中 ,曲线 在点
处的切线垂直于 轴.
（1）求 的值；
解 .
由题意知,曲线 在 处的切线斜率为0,即 ,从而 ,解
得 .
（2）求函数 的极值.
解 由（1）知 ,
.
令 ,解得 , （舍去）.
当 时, ,故 在 上是单调递减的；
当 时, ,
故 在 上是单调递增的.
故 在 处取得极小值,极小值为 ,无极大值.
B级 关键能力提升练
7.[2023浙江杭州模拟] 已知定义域为 的函数 的导函数为 ,且函数
的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )
D
A. 有极小值 ,极大值
B. 有极小值 ,极大值
C. 有极小值 ,极大值 和
D. 有极小值 ,极大值
[解析] 由题图知,当 时, 或 且 ,当 时, 或 ,而当 时, ,当 时, ,因此当 或 时, ,当 时, ,当 或 时取等号,则 在 , 上单调递减,在 上单调递增,所以 有极小值 ,极大值 ,D正确.故选D.
8.若函数 既有极大值又有极小值，则实数 的取值范围是
( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 因为 既有极大值又有极小值，且
，所以 有两个不
等实根，所以 ，且 ，解得 ，且 .故选B.
9.已知函数 .
（1）当 时，求 的极值；
解 因为当 时， ，
所以 .
由 得 或 .
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
1 2
0 - 0
单调递增 单调递减 单调 递增
所以当 时， 取极大值 ；当 时， 取极小值 .
（2）若 ，讨论 的极值.
解 ， ,
①当 时， ， 且不恒为0， 单调递增，函数不存在极值.
②当 时， ， ， 或 ， ，
因此函数在 处取得极大值 ，函数在 处取得极小
值 .
综上，当 时， 不存在极值；当 时，极大值为
,极小值为 .
C级 学科素养创新练
10.[2023辽宁沈阳月考] 关于函数 有如下四个结论：
①若 是 的极大值点,则 在 内单调递增;
② , ;
③若函数 存在极值点,则 ;
④函数 的图象关于点 , 中心对称.
其中所有正确结论的序号是________.
②③④
[解析] 对于①, ,所以 是二次函数且图象开口向上,
又 是 的极大值点,所以 有两个根 , 且 ,所以在
内, , 单调递增,在 内, , 单调递减,在 内,
, 单调递增,故①错误;对于②,函数 的值域为 ,所以 的图象与
轴有交点,所以存在 ,使得 ,故②正确;对于③,若函数 存在极值
点,则 有两个不相等的实数根,所以 ,所
以 ,故③正确;对于④,不妨设 的图象的对称中心为 ,所以
,所以 ,所以 ,
所以 ,所以
则 ,所以 ,所以 的对称中心为 ,
,故④正确.第1课时 函数的极值
A级 必备知识基础练
1. ［探究点一角度］下列函数中存在极值的是( )
A. B. C. D.
2. ［探究点三］设函数在上可导,其导函数为,且函数的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A. 函数 有极大值 和极小值
B. 函数 有极大值 和极小值
C. 函数 有极大值 和极小值
D. 函数 有极大值 和极小值
3. ［探究点二角度］若函数在内无极值，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4. ［探究点二角度］已知曲线在点处的切线斜率为3，且是的极值点，则.
5. [探究点四·2023福建泉州期末]设函数的导函数为,若函数的图象的顶点的横坐标为,且,则的值为.
6. ［探究点四］设函数,其中,曲线在点处的切线垂直于轴.
（1） 求的值；
（2） 求函数的极值.
B级 关键能力提升练
7. [2023浙江杭州模拟]已知定义域为的函数的导函数为,且函数的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A. 有极小值 ,极大值
B. 有极小值 ,极大值
C. 有极小值 ,极大值 和
D. 有极小值 ,极大值
8. 若函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
9. 已知函数.
（1） 当时，求的极值；
（2） 若，讨论的极值.
C级 学科素养创新练
10. [2023辽宁沈阳月考]关于函数有如下四个结论：
①若是的极大值点,则在内单调递增;
②,;
③若函数存在极值点,则;
④函数的图象关于点,中心对称.
其中所有正确结论的序号是.
第1课时 函数的极值
A级 必备知识基础练
1. B
[解析]对于,,令,得.在区间上,;在区间上,.故当时,函数取得极大值.易知,,不存在极值.
2. D
[解析]由题图可知,当时,；
当时,；当时,；当时,.
由此可以得到函数在处取得极大值,在处取得极小值.
3. D
[解析]，
函数在内无极值，在内无实数根.
或，
或，故选.
4.
[解析]，
即
解得.
5.
[解析]由,得,则其对称轴为直线,由题意得函数的图象关于直线对称,所以,所以,则,又由,得,所以.
6. （1） 解.
由题意知,曲线在处的切线斜率为0,即,从而,解得.
（2） 由（1）知,
.
令,解得,（舍去）.
当时,,故在上是单调递减的；
当时,,
故在上是单调递增的.
故在处取得极小值,极小值为,无极大值.
B级 关键能力提升练
7. D
[解析]由题图知,当时,或且,当时,或,而当时,,当时,,因此当或时,,当时,,当或时取等号,则在,上单调递减,在上单调递增,所以有极小值,极大值,正确.故选.
8. B
[解析]因为既有极大值又有极小值，且，所以有两个不等实根，所以，且，解得，且.故选.
9. （1） 解因为当时，，
所以.
由得或.
当变化时，，的变化情况如下表：
1 2
0 - 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调 递增
所以当时，取极大值；当时，取极小值.
（2） ，,
①当时，，且不恒为0，单调递增，函数不存在极值.
②当时，，，或，，因此函数在处取得极大值，函数在处取得极小值.
综上，当时，不存在极值；当时，极大值为,极小值为.
C级 学科素养创新练
10. ②③④
[解析]对于①,,所以是二次函数且图象开口向上,又是的极大值点,所以有两个根,且,所以在内,,单调递增,在内,,单调递减,在内,,单调递增,故①错误;对于②,函数的值域为,所以的图象与轴有交点,所以存在,使得,故②正确;对于③,若函数存在极值点,则有两个不相等的实数根,所以,所以,故③正确;对于④,不妨设的图象的对称中心为,所以,所以,所以,所以,所以则,所以,所以的对称中心为,,故④正确.5.2.3 简单复合函数的导数
A级 必备知识基础练
1. ［探究点一］（多选题）下列函数是复合函数的是( )
A. B. C. D.
2. ［探究点二］函数,且,则等于( )
A. 1 B. C. 2 D.
3. ［探究点二］函数的导数为( )
A. B.
C. D.
4. ［探究点二］已知函数,则( )
A. B.
C. D.
5. ［探究点三］已知直线与曲线相切，则的值为( )
A. 1 B. 2 C. D.
6. ［探究点三］函数的图象在点处的切线的斜率为.
7. ［探究点一、二］求下列函数的导数:
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
B级 关键能力提升练
8. 曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D. 1
9. 曲线上的点到直线的最短距离是( )
A. B. C. D. 0
10. （多选题）已知点在曲线上, 为曲线在点处的切线的倾斜角,则 的取值可以是( )
A. B. C. D.
11. 设函数在内可导,其导函数为,且,则.
12. 设函数,若函数是奇函数,则.
13. 已知为偶函数,当时,,则曲线在点处的切线方程是.
C级 学科素养创新练
14. （多选题）若直线与曲线在点处的切线平行,且两直线间的距离为,则直线的方程可能为( )
A. B. C. D.
15. 用导数的方法求和:,且.
5.2.3 简单复合函数的导数
A级 必备知识基础练
1. BCD
[解析]不是复合函数,,,均是复合函数,其中由,复合而成；由,复合而成；由,复合而成.
2. A
[解析],则,解得或,又,.
3. B
[解析]
.
4. C
[解析]因为,所以,故选.
5. B
[解析]设切点坐标是，依题意有由此得，，.
6. 81
[解析]因为,所以,故.
7. （1） 解令,则.
.
（2） 令,则,
（3） 设,,则.
（4） ,.
B级 关键能力提升练
8. A
[解析]依题意得，曲线在点处的切线方程是，即.
在坐标系中作出直线，与的图象，因为直线与的交点坐标是，，直线与轴的交点坐标是，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于.
9. A
[解析]设曲线在点处的切线与直线平行., 切线的斜率,解得,,即切点坐标为.切点到直线的距离为,即曲线上的点到直线的最短距离是.
10. CD
[解析]因为,所以.因为,所以（当且仅当时取等号）,所以,所以.又因为,所以,.故选.
11.
[解析]因为,令,则,所以,所以,因此.
12.
[解析],
,
为定义在上的奇函数,
,即,
.又 ,
.经检验，符合题意.
13.
[解析]设,则,.又为偶函数,所以.所以当时,.因此,当时,,.则曲线在点处的切线的斜率为,所以切线方程为,即.
C级 学科素养创新练
14. AB
[解析],
,则所求的切线方程为.设直线的方程为,则,解得或 直线的方程为或.
15. 解设,,则有.而由等比数列求和公式可得,于是
,即
.(共18张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］（多选题）下列结论中,正确的是( )
ACD
A.若 ,则 B.若 ,则
C.若 ,则 D.若 ,则
[解析] 由 知, ,则 ,选项A正确.
,则 ,选项B错误. ,则 ,选项C正确.
由 知 ,则 ,选项D正确.故选 .
2.［探究点三（角度 ）］若 ,则 的解集为( )
B
A. B. C. D.
[解析] ,
， 等价于
,
即 ,
解得 .
3.[探究点四·2023宁夏银川兴庆月考] 若函数 的图象在点 处
的切线的斜率为1,则 的最小值为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为 ,所以 ,又 ,当且仅当
时，等号成立.故选A.
4.［探究点三（角度 ）］已知函数 的图象经过点 ,且 ,请写
出一个符合条件的函数解析式: _ _____________________.
（答案不唯一）
[解析] 可设 ,则 ,又函数 的图象经过点 ,则 ,所以 .所以 .
5.［探究点三（角度 ）］已知函数 ,则 的值为___.
1
[解析] ,
,得 .
,
.
6.［探究点二］求下列函数的导数：
（1） ；
解
（2） ；
解 ,
.
（3） ；
解 （方法1） .
（方法2）
.
（4） .
解 ,
.
B级 关键能力提升练
7.已知曲线 在点 处切线的倾斜角为 ,则实数 等于( )
C
A.1 B. C.7 D.
[解析] , ,
又 ,
.
8.已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直,则实数
等于( )
C
A. B.1 C. D.
[解析] 因为 , ,所以 ,所以
.又因为曲线在点 处的切线与直线 垂直,所以
,所以 .
9.（多选题）已知函数 的导函数为 ，则( )
AC
A. 为偶函数 B. 为奇函数
C. D.
[解析] 因为函数 的导函数为 ,所以 是偶函
数，故A正确，B错误； ，故C正确；
，故D错误.故选 .
10.（多选题）已知函数 及其导数 ，若存在 使得 ，则称
是 的一个“巧值点”.给出下列四个函数,存在“巧值点”的是( )
AC
A. B. C. D.
[解析] 若 ，则 ，由 ，得 或 ，这个方程显然
有解，故A符合要求；若 ，则 ，即 ，此方程无解，
B不符合要求；若 ，则 ，若 ，在同一平面直角坐标系内
作出函数 与 的图象可知两函数的图象有一个交点，可知方程有解，C符
合要求；若 ，则 ，所以 ,即
，变形可得到 ，此方程无解，D不符合要求.故选 .
11.已知函数 的图象在点 处的切线与 轴交点的横坐标为 ,
其中 ,若 ,则 的值是____.
21
[解析] , 的图象在点 处的切线方程为
.又该切线与 轴的交点为 , ,即数列
是首项 ,公比 的等比数列,
, , .
12.已知函数 ,则过点 可以作出___条 图象的切线.
2
[解析] 设切点坐标为 ,由 ,得 .所以
,因此切线方程为 ,把
的坐标代入切线方程中，化简得 ,解得 或 ,所以过点
可以作出两条 图象的切线.
13.已知直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则
_ _, ____.
[解析] 由 ，得 .因为直线 是曲线 的切线,所以令
,解得 ,此时 ,即切点为 ,所以 ,解得 ，
即 .由 ,得 ,因为直线 是曲线
的切线，所以令 ,解得 ,此时 ,即切点为 ,
,所以有 ,即 ,解得 .
C级 学科素养创新练
14.法国数学家拉格朗日在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数
满足如下两个条件：（1）其图象在闭区间 上是连续不断的；（2）在区间
上都有导数.则在区间 上至少存在一个数 ，使得 ，
其中 称为拉格朗日中值.函数 在区间 上的拉格朗日中值
_ ___.
[解析] 函数 的导数为 ，则 .由拉格朗日中
值的定义可知函数 在区间 上的拉格朗日中值 满足
，所以 .
所以 ，
即 ，则 .5.1.1 变化率问题
A级 必备知识基础练
1. ［探究点一（角度1）］一运动物体的位移与时间之间的关系为，则从到内，该物体运动的平均速度为( )
A. 6.3 B. 36.3 C. 3.3 D. 9.3
2. ［探究点一（角度2）］一个物体做直线运动,位移与时间之间的函数关系为,则该物体在时的瞬时速度为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3. ［探究点一］（多选题）已知某沿直线运动的物体走过的路程与时间的函数关系为,则下列说法正确的是( )
A. 该物体在 内的平均速度是28 B. 该物体在 时的瞬时速度是56
C. 该物体位移的最大值为43 D. 该物体在 时的瞬时速度是70
4. ［探究点二］已知曲线上一点，则曲线在点处的切线的斜率为.
5. ［探究点一（角度1）］一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为.
6. ［探究点一］一个做直线运动的物体，其位移与时间的关系是的单位：，的单位：.
（1） 求此物体的初速度；
（2） 求此物体在时的瞬时速度；
（3） 求到的平均速度.
B级 关键能力提升练
7. 设曲线在点处的切线与直线平行，则等于( )
A. 1 B. C. D.
8. 汽车行驶的位移和时间之间的函数图象如图所示,在时间段,,内的平均速度分别为,,,则三者的大小关系为( )
A. B. C. D.
9. （多选题）一运动物体的位移与时间之间的关系为下列说法正确的是( )
A. 此物体在 到 这段时间内的平均速度 是常数
B. 此物体在 到 这段时间内的平均速度 与 有关
C. 此物体在 时的瞬时速度为6
D. 此物体在 时的瞬时速度为28
10. 将半径为的球加热,若半径从到时球的体积膨胀率为,则的值为.
11. 曲线上哪一点处的切线满足下列条件？
（1） 平行于直线;
（2） 垂直于直线;
（3） 倾斜角为 .
C级 学科素养创新练
12. 在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为.
5.1.1 变化率问题
A级 必备知识基础练
1. A
[解析]，，
则平均速度，故选.
2. C
[解析]由,可知该物体在时的瞬时速度为6.
3. ABD
[解析]该物体在内的平均速度是,正确;
物体在时的瞬时速度是,正确;
物体的最大位移是,错误;
物体在时的瞬时速度是,故正确.
4.
[解析]曲线上一点，在点处的切线的斜率为，所以点处的切线的斜率为.
5. 1
[解析]由已知，得，所以，解得.
6. （1） 解 .
,所以物体的初速度为.
（2）
.
,
所以在时的瞬时速度为.
（3） 平均速度
B级 关键能力提升练
7. A
[解析]因为
，
所以，所以.
8. B
[解析]设直线,,的斜率分别为,,,则,,,由题中图象知,即.
9. BC
[解析]当，时，，所以.
,即在时的瞬时速度为6.故选.
10. 2
[解析]体积的增加量,
所以,所以,所以或（舍去）.
11. （1） 解 设 是满足条件的点,曲线 在点 处的切线的斜率为 .
11. （1） 切线与直线平行,
,得,,
即是满足条件的点.
（2） 切线与直线垂直,
,得,,
即,是满足条件的点.
（3） 因为切线的倾斜角为 ,所以其斜率为,即,得,,
即,是满足条件的点.
C级 学科素养创新练
12.
[解析]由题意知在曲线上一点的切线斜率为
,
故当时，切线斜率最小为2.
,
故斜率最小的切线方程为,即.(共18张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］（多选题）下列函数是复合函数的是( )
BCD
A. B. C. D.
[解析] A不是复合函数,B,C,D均是复合函数,其中B由 , 复合而成；C由 , 复合而成；D由 , 复合而成.
2.［探究点二］函数 ,且 ,则 等于( )
A
A.1 B. C.2 D.
[解析] ,则 ,解得 或 ,又 , .
3.［探究点二］函数 的导数为( )
B
A. B.
C. D.
[解析]
.
4.［探究点二］已知函数 ,则 ( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 因为 ,所以 ,故选C.
5.［探究点三］已知直线 与曲线 相切，则 的值为( )
B
A.1 B.2 C. D.
[解析] 设切点坐标是 ，依题意有 由此得
， ， .
6.［探究点三］函数 的图象在点 处的切线的斜率为____.
81
[解析] 因为 ,所以 ,故 .
7.［探究点一、二］求下列函数的导数:
（1） ；
解 令 ,则 .
.
（2） ；
解 令 ,则 ,
（3） ；
解 设 , ,则
.
（4） .
解 , .
B级 关键能力提升练
8.曲线 在点 处的切线与直线 和 围成的三角形的面积为
( )
A
A. B. C. D.1
[解析] 依题意得 ，
曲线 在点 处
的切线方程是 ，即 .
在坐标系中作出直线 ， 与 的图象，
因为直线 与 的交点坐标是 ， ，直
线 与 轴的交点坐标是 ，结合图象可得，这三条直线所围成的三
角形的面积等于 .
9.曲线 上的点到直线 的最短距离是( )
A
A. B. C. D.0
[解析] 设曲线 在点 处的切线与直线 平行.
, 切线的斜率 ,解得 , ,即切点
坐标为 .切点 到直线 的距离为 ,即曲线
上的点到直线 的最短距离是 .
10.（多选题）已知点 在曲线 上, 为曲线在点 处的切线的倾斜角,则 的
取值可以是( )
CD
A. B. C. D.
[解析] 因为 ,所以 .因为 ,所以
（当且仅当 时取等号）,所以 ,所以 .又因
为 ,所以 , .故选 .
11.设函数 在 内可导,其导函数为 ,且 ,则
_ ______.
[解析] 因为 ,令 ,则 ,所以 ,所以 ,因此 .
12.设函数 ,若函数 是奇函数,则
_ _.
[解析] ,
,
为定义在 上的奇函数,
,即 ,
.又 ,
.经检验， 符合题意.
13.已知 为偶函数,当 时, ,则曲线 在点 处的切
线方程是_ __________.
[解析] 设 ,则 , .又 为偶函数,所以 .所以当 时, .因此,当 时, , .则曲线 在点 处的切线的斜率为 ,所以切线方程为 ,即 .
C级 学科素养创新练
14.（多选题）若直线 与曲线 在点 处的切线平行,且两直线间的
距离为 ,则直线 的方程可能为( )
AB
A. B. C. D.
[解析] ,
,则所求的切线方程为 .设直线 的方程为 ,则
,解得 或 直线 的方程为 或 .
15.用导数的方法求和: ,且 .
解 设 ,
,则有 .而由等比数列求和公式可得
,于是
,即
.(共23张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一 角度 ］函数 在区间 上的最大值和最小值分
别是( )
C
A.1, B.1, C.3, D.9,
[解析] ,
令 ,得 .
又 , , , .
所以函数 的最大值为3,最小值为 .
2.［探究点三］某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家的关注,据有关统计数据显
示,从上午 到 ,车辆通过该市某一路段的用时 单位： 与车辆进入该路段
的时刻 之间的关系可近似地用如下函数表示: .则在这段
时间内,通过该路段用时最多的时刻是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题意,得 .令 得
（舍去）或 .当 时, ;当 时, ,所以当 时, 有
最大值,即此时刻通过该路段用时最多.
3.［探究点一 角度 ］函数 在区间 上的值域为( )
A
A. B. C. D.
[解析] ,当 时, ,且只有在 时, ,所以 是 , 上的增函数.即 的最大值为 , 的最小值为 .故 在 , 上的值域为 , .故选A.
4.［探究点四］当 时, ,则下列大小关系正确的是( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 根据 得到 ,而 ,所以根据对数函数的单
调性可知,当 时, ,从而可得 ,函数 单调递增,所以
,而 ,所以有 .
5.［探究点一 角度 ］函数 的最小值是_ ____.
[解析] 函数 的导数为 ，当 时， , 单调递增，当 时， , 单调递减，因此当 时，函数有最小值，最小值为 .
6.[探究点二（角度2）·2023山东东营期末] 若函数 在区间 上
有最大值,则实数 的取值范围是_ ______.
[解析] 由题意,得 .
由 ,得 或 ,则 在区间 和 上单调递增,由
,得 ,则 在区间 上单调递减,所以 解
得 ,即实数 的取值范围是 .
7.［探究点三］对于企业来说,生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题.
对一家药品生产企业的研究表明,该企业的生产成本 （单位:万元）和生产收入 （单
位:万元）都是产量 单位: 的函数,分别为 , .
（1）试写出该企业获得的生产利润 （单位:万元）与产量 之间的函数关系式;
解 因为总利润 总收入-总成本,
即 ,
所以 ,即
.
（2）当产量为多少时,该企业可获得最大利润 最大利润为多少
解 根据导数公式表及导数的运算法则,可得 .
解方程 ,得 , .
比较 , 和 的函数值 , , 可知,函数 在 处取得最大值,此时最大值为1 340.
即该企业的产量为 时,可获得最大利润,最大利润为1 340万元.
B级 关键能力提升练
8.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为 元，销售量为
件，则销售量 与零售价 有如下关系： .则最大毛利润为（毛
利润 销售收入-进货支出）( )
D
A.30元 B.60元 C.28 000元 D.23 000元
[解析] 设毛利润为 ，由题意知 ，
所以 .
令 ，解得 或 （舍去）.
此时， .
因为在 附近的左侧 ，右侧 ，所以 是极大值，根据实
际问题的意义知， 是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000
元.
9.函数 在 上的最大值与最小值之和为( )
B
A. B. C.6 D.5
[解析] 由 得 ，由 可得
.当 时， ，当 时， ，所以 的极大
值为 ，又 ， ，所以 的最大值为11，最小值为
，所以最大值与最小值之和为 .故选B.
10.已知函数 在 处取得极值，若 ， 均属于 ，则
的最小值是( )
A
A. B. C.10 D.15
[解析] 对函数 求导得 ，由函数 在 处取得极值知
，即 ， .
由此可得 ， ，
易知 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， .
又 的图象开口向下，
且对称轴为 ，
当 时， ，
故 的最小值为 .
11.若函数 在 上的最大值为1，则实数 的取值范围是
( )
D
A. B. C. D.
[解析] ，
，令 ，解得 或 ，当 变化
时， ， 的变化情况如下表：
0
- 0 0 -
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调 递减
由 ，得 ，解得 或 .
当 时， ，当 时， .
又 在 上的最大值为1， 的取值范围为 .故选D.
12.已知 在区间 上的最大值就是函数 的极大值,则
的取值范围是_ ________.
[解析] ,令 ,得 .
由题意得 ,故 .
13.已知存在 使不等式 成立，则实数 的取值范围
是_ _______.
[解析] 成立，则 成立.设
，则 .当 时， ，
单调递减，当 时， ， 单调递增.
.
14.已知函数 , , ,且曲线 在 处与直线 相切.
（1）求 , 的值；
解 .
由曲线 在 处与直线 相切,得
即 解得
（2）求 在 , 上的最大值.
解 由（1）,得 ,定义域为 .
.
令 ,得 ,令 ,得 ,所以 在 , 上单调递增,在 上单调递减,所以 在 , 上的最大值为 .
15.[2023江苏淮安期末] 已知函数 , .
（1）当 时,求函数 的极值;
解 当 时,函数 , ,
,
当 或 时, ,当 时, ,即函数 在 ,
上单调递减,在 上单调递增,因此当 时, 取得极小值
,当 时, 取得极大值 ,所以 的极小值为 ,极大值为11.
（2）当 时,若函数 在 上的最小值为 ,求实数 的值.
解 函数 ,其中 ,求导得 ,
因为 ,由 得 ,显然 ,当
时, ,当 时, ,因此函数
在 上单调递增,在 上单调递减,而 ,
,则函数 在 上的最小值 ,解得 ,所
以实数 的值为1.
16.已知函数 , .若 恒成立,求实数 的取值范围.
解 , 恒成立,故原式可化为 ,
恒成立,
令 ,
则 , ,令 ,
,故 在 上是增函数,且 ,
,故存在 ,使得 ,即 ,①
且 时, ,即 ,当 时, ,即 ,故
是 的极小值点,也是最小值点, ,②
由①式得 ,即 ,代入②式中得 ,故 即为所求,所以
的取值范围是 .
C级 学科素养创新练
17.[2023重庆沙坪坝期末] 定义：设函数 在 上的导函数为 ,若
在 上也存在导函数,则称函数 在 上存在二阶导函数,简记为
.若在区间 上 ,则称函数 在区间 上为“凹函数”.
已知 在区间 上为“凹函数”,则实数 的取值范围为
_ _______.
[解析] , ,
.
在区间 上为“凹函数”,
在 上大于0恒成立,
.
令 ,
则 ,令
,得 ,令 ,得 ,
在 上单调递减,在 上单调递增,
,
实数 的取值范围为 .5.1.2 导数的概念及其几何意义
A级 必备知识基础练
1. ［探究点四（角度1）］若曲线在点处的切线方程为，则( )
A. B. C. D. 不存在
2. ［探究点三］（多选题）若函数在处存在导数,则的值( )
A. 与 有关 B. 与 有关 C. 与 无关 D. 与 无关
3. ［探究点二］已知,若,则的值等于( )
A. B. C. D.
4. ［探究点二］若,则的导函数等于( )
A. B. C. D.
5. ［探究点四（角度2）］（多选题）曲线在点处的切线的倾斜角为,则点的坐标可能为( )
A. B. C. D.
6. ［探究点二］设函数在点附近有定义，且有 （，为常数），则.
7. ［探究点四（角度2）］已知函数的图象如图所示，则在，两点处的导数与的大小关系为.（填“ ”或“ ”）
8. ［探究点四（角度1）］曲线在点处的切线方程是.
9. ［探究点二］利用导数的定义求函数在处的导数.
10. ［探究点四（角度1）］已知函数图象上两点，.
（1） 若割线的斜率不大于，求的取值范围；
（2） 求函数的图象在点处的切线的方程.
B级 关键能力提升练
11. 若曲线上任意一点处的切线斜率为,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12. 已知函数在上有导函数,的图象如图所示,则下列不等式正确的是( )
A. B.
C. D.
13. （多选题）已知函数和在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 在 上的平均变化率等于 在 上的平均变化率
B. 在 上的平均变化率小于 在 上的平均变化率
C. 对于任意 ，函数 在 处的瞬时变化率总大于函数 在 处的瞬时变化率
D. 存在 ，使得函数 在 处的瞬时变化率小于函数 在 处的瞬时变化率
14. （多选题）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间内完成房产供应量任务.已知房产供应量与时间的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，在时间内供应率（单位时间的供应量）不逐步提高的是( )
A. B. C. D.
15. 曲线在处的导数为，在点处的切线方程为.
16. 如图，函数的图象在点处的切线方程为,则.
17. 若抛物线上一点的横坐标是，在点处的切线恰好过坐标原点，则实数的值为.
18. 已知直线和曲线相切，求切点坐标及实数的值.
C级 学科素养创新练
19. 已知曲线，
（1） 求曲线在点处的切线方程；
（2） 求曲线过点的切线方程.
5.1.2 导数的概念及其几何意义
A级 必备知识基础练
1. A
[解析]由切线方程可以看出其斜率是5，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，所以正确.
2. AD
[解析]由导数的定义与函数知,在处的导数与有关,与无关,故选.
3. A
[解析]由导数的定义得
,
因此,则.
4. C
[解析]由导函数的定义可知,
.
5. AB
[解析]由导数定义得,设,则由导数的几何意义可得,解得,从而,即点的坐标为或.
6.
[解析].
7.
[解析]与分别表示函数图象在点，处的切线斜率，由图象可得.
8.
[解析]因为，切点为，
所以斜率
,
所以切线方程为,
即.
9. 解,,
.
10. （1） 解由题意得，割线的斜率为，
由，得.又因为，所以的取值范围是.
（2） 由（1）知函数的图象在点处切线的斜率为.
又,所以所求切线方程为,即.
B级 关键能力提升练
11. C
[解析]设,曲线上任意一点处的切线斜率为
.即.
12. A
[解析]
如图,分别作曲线在,,三处的切线,,,设切线的斜率分别为,,,易知,又,,,所以.故选.
13. AD
[解析]在上的平均变化率是，在上的平均变化率是，又，，
，故正确，错误；易知函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数，即函数的图象在该点处的切线的斜率，同理可得，函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数，即函数的图象在该点处的切线的斜率，由题中图象可知，当时，函数的图象在处切线的斜率有可能大于的图象在处切线的斜率，也有可能小于在处切线的斜率，故错误，正确.故选.
14. ACD
15. ;
[解析], 切线方程为,即.
16.
[解析] 函数的图象在点处的切线方程是，
，又为切点，
，
.
17. 4
[解析]，抛物线在点处切线的斜率为.因为点的横坐标是，所以点的纵坐标是，根据题意有，解得.
18. 解设直线与曲线相切于点，
则
.
由导数的几何意义，得，解得或，
切点坐标为,或.
当切点为,时，有，.
当切点为时，有，
，因此切点坐标为,或，的值为或.
C级 学科素养创新练
19. （1） 解设切点为，
,
.
曲线在点处的切线方程为,即.
（2） 点不在曲线上，设切点为,
由（1）知，,
切线方程为，由在所求直线上,得，①
再由在曲线上,得，②
联立①②得或.
从而当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为，即.
当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为，即.
综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为或.
