(共13张PPT)
01
午练2 等差数列的概念
1.（多选题）下列数列中,是等差数列的是( )
ABD
A.1,4,7,10 B. , , ,
C. , , , D.10,8,6,4,2
[解析] 选项A,B,D满足等差数列的定义,是等差数列;选项C中,因为 ,不满足等差数列的定义,所以不是等差数列.
2.在等差数列 中，若 ， ，则 ( )
B
A.6 B.8 C.16 D.32
[解析] 因为等差数列 中， ， ，所以公差 ，则 .
3.［北师大版教材习题］已知数列1, , , ,3, , , ， ，则 是这
个数列的( )
B
A.第10项 B.第11项 C.第12项 D.第21项
[解析] 由 ，得 .故选B.
4.已知在等差数列 中, , ,则 的值为( )
B
A.20 B.18 C.15 D.17
[解析] 在等差数列 中,因为 ,所以 ,解得 .
5.［北师大版教材习题］设数列 , 是项数相同的等差数列，若 ,
， ,则数列 的第37项为( )
C
A.1 B.0 C.100 D.3 700
[解析] 由题意知 是等差数列，首项 ，公差 ,所以 .故选C.
6.在等差数列 中， ， 是方程 的两根，则 ( )
D
A.2 B.3 C. D.
[解析] 因为 ， 是方程 的两根，所以 .又 是等差数列，所以 ，所以 .
7.由公差 的等差数列 中的项组成一个新的数列 ， ，
， ，下列说法正确的是( )
C
A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为 的等差数列
C.新数列是公差为 的等差数列 D.新数列是公差为 的等差数列
[解析] ， 数列 ， ， ， 是公差为 的等差数列.
8.在等差数列 中, ,公差 为整数,若 , ,则公差 的值为____;
的通项公式为_ ______________.
[解析] 因为 是等差数列, , , ,所以 解得
.
又公差 为整数,所以 .
因为等差数列 的首项为23,公差为 ,
所以 .
9.已知在数列 中, , ,且 ,则 ____.
[解析] , 数列 是等差数列,公差 .
. .
10.已知直角三角形的三条边的长度成等差数列,则它们长度（由小到大）的比等于____
___.
[解析] 设这个直角三角形的三边长分别为 , , ,根据勾股定理,得
，解得 ,于是这个直角三角形的三边长分别是 ,
, ,即这个直角三角形的三边长度（由小到大）的比是 .
11.设数列 满足当 时, ,且 .求证:数列 为等差数列.
证明 根据题意 及递推关系知 .因为 取倒数得 ,
即 ,所以数列 是首项为5,公差为4的等差数列.
12.［北师大版教材习题］在通常情况下，从海平面到 高空，海拔每增加 ，
气温就下降一固定数值.如果海拔 高空的气温是 ,海拔 高空的气温是
,那么海拔 ， 和 高空的气温各是多少？
解 由题意可设，从海平面到 高空，海拔每增加 ,依次得到的气温构成等差数列 ,则 , .由 可求得 ,故 , , ,即海拔 , 和 高空的气温分别是 , , .午练5 等比数列的前项和公式
1. 在等比数列中，,,,则( )
A. 8 B. 15 C. D. 31
2. 在等比数列中，其前项和为，,,则公比等于( )
A. 4 B. 2 C. D. 或4
3. 设为数列的前项和,,则的值为( )
A. B. C. D.
4. 设等比数列的前项和为,若,则等于( )
A. B. C. D.
5. 已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为( )
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
6. 有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有1个这种细菌和200个这种病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要( )
A. 6秒钟 B. 7秒钟 C. 8秒钟 D. 9秒钟
7. 已知数列是公比为2的等比数列，其前项和为，则.
8. 若等比数列的公比为,且,则的前100项和为.
9. 求和：.
10. ［北师大版教材习题］求下列等比数列的前项和：
（1） ,,;
（2） ,,;
（3） ,,;
（4） ,,.
11. 已知数列的首项,前项和为，且满足.
（1） 求及；
（2） 若满足,求的值.
午练5 等比数列的前 项和公式
1. C
[解析]由等比数列的前项和公式可得.
2. C
[解析]依题意可得,将选项代入上式验证得.
3. D
[解析],
.
4. A
[解析]在等比数列中,,,,成等比数列,因为,所以,又,易得,即,故选.
5. A
[解析]根据题意，数列为等比数列，设公比为，则，又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则，故，即，.
6. C
[解析]根据题意,每秒钟细菌杀死的病毒数成等比数列,此数列的首项是1，公比是2.设需要秒细菌可将病毒全部杀死,则,,,结合,解得,即细菌将病毒全部杀死至少需要8秒.
7. 7
[解析]由题意，数列是公比为2的等比数列，则.
8. 80
[解析]令,,则,由等比数列前项和的性质知,所以,即.
9. 解 当时,;当时,,①
,②
得,
.
综上可得,
10. （1） 解 .
（2） .
（3） .
（4） .
11. （1） 解 由,得.
因为,所以.
由,,得.又,所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
故
（2） 由（1）可得,所以.因此.令,得,即.
故的值可以为1,2,3,4,5.午练3 等差数列的前项和公式
1. 设为等差数列的前项和，公差，若，则( )
A. 18 B. 20 C. 22 D. 24
2. 若等差数列的前项和为,且,,则其公差( )
A. 1 B. C. 2 D. 3
3. 已知是等差数列的前项和，且,，则( )
A. 130 B. 180 C. 210 D. 260
4. 已知数列满足,则使其前项和取最大值的的值为( )
A. 11或12 B. 12 C. 13 D. 12或13
5. ［北师大版教材习题］一凸边形,且,各内角的度数成等差数列，公差是 ，最小内角是 ,则边数.
6. 某电影院中，从第2排开始，每一排的座位数比前一排多2，第1排有18个座位，最后一排有36个座位，则该电影院共有个座位.
7. 已知等差数列和的前项和分别是,,且,则.
8. 已知数列为等差数列，它的前项和为，若 ，则实数 的值是.
9. 已知是等差数列的前项和,若,,则.
10. 已知等差数列的前项和为,且,.
（1） 求;
（2） 若,求.
11. 已知数列的前项和为,求数列的通项公式,并判断数列是不是等差数列.
12. 已知为等差数列的前项和，，.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 求的最小值.
午练3 等差数列的前 项和公式
1. B
[解析]依题意，得，解得.
2. C
[解析]由解得
3. B
[解析]因为,，仍然构成等差数列，所以20,60,成等差数列，所以，解得
4. D
[解析],, 数列为等差数列.又,公差,.
, 当或时,取最大值.
5. 8
[解析]由题知各内角的度数成等差数列，记为,则 ,公差 .内角和为 ,所以或.
因为 ,
所以,所以.
6. 270
[解析]从第1排开始每排座位数形成等差数列，其中，.公差，则，解得.
该电影院共有（个）座位.
7.
[解析]由等差数列前项和的性质得.
8.
[解析] ，为等差数列,，即.
9. 2 020
[解析]是等差数列的前项和,
是等差数列,设其公差为.
,,.
,.
.
.
10. （1） 解由题意知
解得,,
所以.
（2） ,
因为,所以,
解得或（舍去）.故.
11. 解当时,;当时,.又不满足,
数列的通项公式是
,不是等差数列.
12. （1） 解设的公差为，
则解得
.
（2） 当时，取得最小值.午练2 等差数列的概念
1. （多选题）下列数列中,是等差数列的是( )
A. 1,4,7,10 B. , , , C. , , , D. 10,8,6,4,2
2. 在等差数列中，若，，则( )
A. 6 B. 8 C. 16 D. 32
3. ［北师大版教材习题］已知数列1,,,,3,,,，，则是这个数列的( )
A. 第10项 B. 第11项 C. 第12项 D. 第21项
4. 已知在等差数列中,,,则的值为( )
A. 20 B. 18 C. 15 D. 17
5. ［北师大版教材习题］设数列,是项数相同的等差数列，若,，,则数列的第37项为( )
A. 1 B. 0 C. 100 D. 3 700
6. 在等差数列中，，是方程的两根，则( )
A. 2 B. 3 C. D.
7. 由公差的等差数列中的项组成一个新的数列，，，，下列说法正确的是( )
A. 新数列不是等差数列 B. 新数列是公差为 的等差数列
C. 新数列是公差为 的等差数列 D. 新数列是公差为 的等差数列
8. 在等差数列中,,公差为整数,若,,则公差的值为;的通项公式为.
9. 已知在数列中,,,且,则.
10. 已知直角三角形的三条边的长度成等差数列,则它们长度（由小到大）的比等于.
11. 设数列满足当时,,且.求证:数列为等差数列.
12. ［北师大版教材习题］在通常情况下，从海平面到高空，海拔每增加，气温就下降一固定数值.如果海拔高空的气温是,海拔高空的气温是,那么海拔，和高空的气温各是多少？
午练2 等差数列的概念
1. ABD
[解析]选项,,满足等差数列的定义,是等差数列;选项中,因为,不满足等差数列的定义,所以不是等差数列.
2. B
[解析]因为等差数列中，，，所以公差，则.
3. B
[解析]由，得.故选.
4. B
[解析]在等差数列中,因为,所以,解得.
5. C
[解析]由题意知是等差数列，首项，公差,所以.故选.
6. D
[解析]因为，是方程的两根，所以.又是等差数列，所以，所以.
7. C
[解析]， 数列，，，是公差为的等差数列.
8. ;
[解析]因为是等差数列,,,,所以解得.
又公差为整数,所以.
因为等差数列的首项为23,公差为,
所以.
9.
[解析], 数列是等差数列,公差...
10.
[解析]设这个直角三角形的三边长分别为,,,根据勾股定理,得，解得,于是这个直角三角形的三边长分别是,,,即这个直角三角形的三边长度（由小到大）的比是.
11. 证明根据题意及递推关系知.因为取倒数得,即,所以数列是首项为5,公差为4的等差数列.
12. 解由题意可设，从海平面到高空，海拔每增加,依次得到的气温构成等差数列,则,.由可求得,故,,,即海拔,和高空的气温分别是,,.午练4 等比数列的概念
1. 下列数列为等比数列的是( )
A. 0,1,2,4, B. , , , ,
C. , , , , D. , , , ,…
2. ［北师大版教材习题］等比数列，,，的第4项为( )
A. B. C. D. 27
3. 若等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 若数列为等比数列,且,,则( )
A. 32 B. 64 C. 128 D. 256
5. 已知各项均为正数的等比数列，，，则公比为( )
A. B. 2 C. D. 4
6. 在等比数列中，，，则( )
A. 12 B. C. D. 15
7. 在等比数列中，若，，则公比为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
8. 对任意等比数列,下列说法一定正确的是( )
A. , , 成等比数列 B. , , 成等比数列
C. , , 成等比数列 D. , , 成等比数列
9. 已知数列是递增数列,且满足,则的取值范围是.
10. 试写出一个无穷等比数列,同时满足：（1）;（2）数列单调递减;（3）数列不具有单调性,则当时,.
11. 若等比数列的各项均为正数，且前3项依次为1,,.
（1） 求该数列的通项公式；
（2） 判断728是不是该数列中的项.
12. 已知数列为等比数列.
（1） 若，，求；
（2） 若，,求公比.
午练4 等比数列的概念
1. D
[解析]选项中，因为等比数列的各项都不为0，所以该数列不是等比数列；选项中，因为，所以该数列不是等比数列；选项中，当时，数列为0,0,0,，不是等比数列；选项中的数列是首项为，公比为的等比数列，故选.
2. A
[解析]由,得或（舍去）.所以第1项为，第2项为.所以公比为.所以第4项为.
3. B
[解析]设项数为,由已知得，得，所以.
4. C
[解析]设公比为.因为数列为等比数列,且,,所以,则.
5. B
[解析]由已知得，而，所以，所以公比.
6. C
[解析]由等比数列，可知，解得.
7. A
[解析]由，得，所以.
8. D
[解析]根据等比数列的性质,若,则,,成等比数列.故,,成等比数列.
9.
[解析]由,得.
又是递增数列,所以也是递增数列,所以,解得,所以的取值范围是.
10. （答案不唯一）
[解析]由题意可设,因为数列不具有单调性,数列单调递减,所以,,所以,不妨取,则.
11. （1） 解依题意，得,解得舍去.于是公比，故通项公式为.
（2） 令,
解得,
所以728不是该数列中的项.
12. （1） 解由已知得，
,.
又,,是方程的两根3和12.当时，,;
当时，,.
（2） ,
,.午练8 导数的运算
1. 下列求导运算:;;;;.运算正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. （多选题）下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 已知函数,为的导数,则( )
A. B. 1 C. D.
4. 函数的复合过程正确的是( )
A. , B. ,
C. , D. ,
5. 广东广州海珠期末］已知函数,则等于( )
A. B. 2 C. D. 1
6. 函数的导函数为( )
A. B. C. D.
7. [2023天津河东质检]设,若在处的导数,则的值为( )
A. B. C. 1 D.
8. 某物体做直线运动,其位移与时间之间的关系是（的单位：,的单位：）则它在第末的瞬时速度应该为.
9. 设曲线在点处的切线与直线垂直,则.易知,曲线在点处的切线的斜率,又切线与直线垂直,故,则.
10. [2023四川成都月考]求下列函数的导数：
（1） ;
（2） ;
（3） .
11. 设（,,,为常数）,曲线与直线在点处相切.求,的值.
午练8 导数的运算
1. B
[解析],故①错误；，故②正确；，故③正确;,故④错误;,故⑤错误.故选.
2. BC
[解析]中，,不正确；中,,不正确；,正确.
3. B
[解析]由题意，所以.
4. A
5. A
[解析]由,得,所以.故选.
6. A
[解析]因为，所以，故选.
7. B
[解析]由,得.由,解得.故选.
8.
[解析]由,可得瞬时速度,故它在第末的瞬时速度应该为.
9. 2
10. （1） 解.
（2） .
（3） .
11. 解由曲线过点，可得，故.由，得，则，此即曲线在点处的切线的斜率.由题意，得，故.午练1 数列的概念
1. 下列各项表示数列的是( )
2. 若数列的通项公式为，其中，则( )
A. 8 B. 15 C. 24 D. 35
3. 已知数列,,,则该数列的第3项等于( )
A. 1 B. C. D.
4. 数列2，4，6，8，10，的递推公式是( )
A. B.
C. ， D. ，
5. ［北师大版教材习题］若数列的前4项依次是20,11,2,,则数列的一个通项公式是( )
A. B.
C. D.
6. 已知数列中,,,且,则的值为( )
A. 2 B. 1 C. D.
7. 已知数列,，,,,则是该数列的第项.
8. 已知数列的首项,,则,猜想其通项公式是.
9. 在数列中,已知.
（1） 写出,.
（2） 是不是该数列中的项？如果是,是第几项？
10. ［人教B版教材习题］已知数列的前项和为,求的通项公式.
11. 已知数列满足，，求数列的通项公式.
午练1 数列的概念
1. B
[解析]数列是指按照一定次序排列的一列数,而不能是图形、文字、向量等,只有项符合.
2. C
[解析]由通项公式可得.
3. C
[解析],.
4. C
[解析]，中没有说明第一项，无法递推；中，，，不合题意.
5. B
[解析]因为,,,,所以,即.故选.
6. C
[解析],由,,得,由,,得,由,,得,由,,得,由,,得,由,,得,由此推理可得数列是一个周期为6的周期数列,所以.
7. 19
[解析]观察可得数列的一个通项公式是,而,所以是该数列的第19项.
8. ;
[解析] 数列的首项,,,同理可得,.猜想其通项公式是.
9. （1） 解;
.
（2） 令,解得（舍去）,所以是该数列中的项,并且是第15项.
10. 解由，得.则.当时，,满足,所以的通项公式是.
11. 解由题意显然,,
,
,,,,以上各式相乘得,
又,.(共14张PPT)
01
午练6 数列的综合应用及数学归纳法
1.已知数列 满足 , ,则数列 的通项公式 等于
( )
A
A. B. C. D.
[解析] 设 ,①
将 代入①式,得 ,等式两边
消去 ,得 ,两边除以 ,得 ,则 ,
代入①式得 ,②
由 及②式得 ,则 ,则数列
是以 为首项,以2为公比的等比数列,所以 ,所以
.
2.数列 的前 项和 ，则 ( )
C
A. B.13 C.14 D.
[解析]
3.若数列 的通项公式是 其前 项和为 ，则 ( )
C
A.120 B.180 C.240 D.360
[解析] 由题意得 .
4.[2023江苏苏州月考] 已知等差数列 各项均为正数,首项与公差相等,
,则 的值为( )
D
A.9 069 B.9 079 C.9 089 D.9 099
[解析] 设等差数列 的公差为 ,因为首项 与公差 相等,所以
.因为 ,
,
所以 ,所以 ,所以
.
故选D.
5.用数学归纳法证明“ 能被3整除”的过程中, 时,为了使用假设,
应将 变形为( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 假设当 时,命题成立,即 能被3整除,则当 时, .
6.数列 中, , ,则 的通项公式为_ _______.
[解析] 因为 , ,所以 , ,
, … , , ,以上各式累加得,
,故
,当 时, 也符合上式,所以 .
7.设函数 ,则 __.
[解析] 若 , ,且 ,则 ,故
.
8.计算 _____.
[解析] 令 ,①
则 ,②
由 ,得 ,所以 .
9.[2023浙江宁波月考] 已知数列 的前 项和 满足
, .求证：数列 为等比数列,并求数列
的通项公式.
证明 当 时, ,即 ,当 时, , ,所以 ,整理得 ,所以 ,又 ,故 ,所以 为首项是2,公比是2的等比数列,所以 ,即 .
10.已知等比数列 的前 项和为 , , .
（1）求数列 的通项公式；
解 设等比数列 的公比为 ,由 可知 ,由
, ,解得 , ,
所以数列 的通项公式为 .
（2）已知数列 中,满足 ,求数列 的前 项和 .
解 , .
11.设正项数列 的首项为4,满足 .
（1）求 , ,并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式;
解 ,
.
正项数列 的首项为4,
, ,
, ,猜想 .
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
证明 ①当 时,猜想显然成立;
②假设当 ,
时猜想成立,即 ,
当 时,
,所以当
时，猜想成立.
由①②可得,对于任意 ,猜想成立.故 .午练9 函数的单调性
1. 设定义在上的函数的图象如图所示,则其导函数的图象可能为( )
A.
B.
C.
D.
2. 函数的单调递增区间是( )
A. , B. C. , D. ,
3. 若函数在内单调递增,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. 已知定义域为的函数的导函数的图象如图,则关于以下函数值的大小关系,一定正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 若函数在上为减函数,则( )
A. B. C. D.
6. 若函数恰好有三个单调区间,则( )
A. B. C. 或 D. 或
7. 若函数在,上是单调递增的,则的取值范围是.
8. 已知函数.
（1） 求函数的导数；
（2） 求函数的单调区间.
9. 求函数的单调区间.
午练9 函数的单调性
1. C
[解析]在,内单调递减,在内单调递增, 当或时,;当时,.故选.
2. C
[解析],令,
即,得.
故函数的单调递增区间为,.
3. A
[解析]（方法1）由函数在上单调递增得恒成立，则，所以，即.
（方法2）由函数在上单调递增得恒成立，则，所以在上恒成立.令，则.故，故选.
4. D
[解析]由的导函数图象可知,在,上单调递增,在上单调递减,,错误;又,,,错误;,,正确.
5. A
[解析]若函数在上为减函数,则在上恒成立,所以.
6. D
[解析]若函数有三个单调区间,则有两个不相等的实根,故,解得或.
7.
[解析]因为在,上是单调递增的,所以在,上恒成立,即在,上恒成立.令,则,当,时,,则是单调递减的,所以,所以.
8. （1） 解函数的定义域为，.
（2） 当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减.故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
9. 解易得函数的定义域是,.
①当时,在上恒成立,故在上单调递减.
②当时,令,即,
又,所以.
令,即,
又,所以.
所以在,上单调递减,在,上单调递增.
综上可知,当时,的单调递减区间为,无单调递增区间；当时,的单调递减区间为,,单调递增区间为,.(共12张PPT)
01
午练10 函数的极值与最值
1.已知函数 的导函数 的图象如图所示,则关于 的结论正确的是
( )
B
A.在区间 上单调递减
B.在 处取得极小值
C.在区间 , 上单调递增
D.在 处取得极大值
[解析] 由图象知 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，在区
间 上单调递减，故 在 处取极小值，在 处取极大值，故选B.
2.设函数 ,则( )
D
A. 为 的极大值点 B. 为 的极小值点
C. 为 的极大值点 D. 为 的极小值点
[解析] 令 ,得 .当 时, ;当 时, .故 为 的极小值点.
3.函数 的极大值为( )
D
A.18 B.21 C.26 D.28
[解析] 函数的定义域为 ，其导数为 ，令 ，解得 ，
.当 变化时， , 的变化情况如下表所示：
2
0 - 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以当 时，函数有极大值 .故选D.
4.（多选题）已知函数 在 处有极值,则下列区间是
该函数的一个单调递增区间的是( )
AB
A. B. C. D.
[解析] ,且 在 处有极值,
,即 ,解得 ,易验证 时, 在 处
有极值.
,
由 得 或 .
5.函数 在 , 上取最大值时, 的值为( )
B
A.0 B. C. D.
[解析] , , ,当 时, ,当 时, ,所以 在 , 上单调递增,在 , 上单调递减,故 在 时取得最大值.
6.函数 的最小值是_ ____.
[解析] 由 ,得 ,当 时, , 单调递增,当 时, , 单调递减,因此当 时,函数有最小值,最小值为 .
7.设函数 ,若对任意 ,有 恒成立,则实数
的取值范围是_ ________.
,
[解析] 令 ，解得 或 . ，
， ， ， 在 上的最小值是 .
在 上恒成立， .
8.函数 在区间 上的最小值为 ,则 的取值范围为
_ ___________.
,
[解析] , 在 上的最小值为 ,易知 在 上单调递减,所以当 时, 恒成立,即 恒成立.所以 恒成立.令 ,当 时， ,故 .
9.做一个容积为 的长方体水箱,它的底面是正方形,该水箱无盖,当所用材料最省
时（即所用材料的面积最小）,它的高为___ .
4
[解析] 设底面边长为 ,高为 ,则有 ,所以 .设所用材料的面积
为 ,则有 ,
, .令 ,得 ,当
时, ,当 时, ,所以当 时, 有最小值,此时
.
10.已知 在 时有极值0,求常数 , 的值.
解 因为 在 时有极值0,且 ,
所以 即
解得 或
当 , 时, ,所以 在 上为增函数,无
极值,故舍去.
当 , 时, .
当 时, 单调递减；当 和 时, 单调递增,
所以 在 时取得极小值,因此 , .
11.求函数 为自然对数的底数 在区间 上的最大值.
解 因为 ,所以 .
令 ,得 .
且当 时, ,当 时, ,即函数 在
处取得极小值.
又 , ,综合比较得函数 在区间 上的最大
值是 .(共13张PPT)
01
午练3 等差数列的前 项和公式
1.设 为等差数列 的前 项和，公差 ，若 ，则 ( )
B
A.18 B.20 C.22 D.24
[解析] 依题意，得 ，解得 .
2.若等差数列 的前 项和为 ,且 , ,则其公差 ( )
C
A.1 B. C.2 D.3
[解析] 由 解得
3.已知 是等差数列 的前 项和，且 , ，则 ( )
B
A.130 B.180 C.210 D.260
[解析] 因为 , ， 仍然构成等差数列，所以20,60, 成等差数列，所以 ，解得
4.已知数列 满足 ,则使其前 项和 取最大值的 的值为( )
D
A.11或12 B.12 C.13 D.12或13
[解析] , , 数列 为等差数列.
又 ,公差 ,
.
, 当 或 时, 取最大值.
5.［北师大版教材习题］一凸 边形 ,且 ,各内角的度数成等差数列，公
差是 ，最小内角是 ,则边数 ___.
8
[解析] 由题知各内角的度数成等差数列，记为 ,则 ,公差 .内
角和为 ,所以 或 .
因为 ,
所以 ,所以 .
6.某电影院中，从第2排开始，每一排的座位数比前一排多2，第1排有18个座位，最后
一排有36个座位，则该电影院共有_____个座位.
270
[解析] 从第1排开始每排座位数形成等差数列 ，其中 ， .公差 ，则 ，解得 .
该电影院共有 （个）座位.
7.已知等差数列 和 的前 项和分别是 , ,且 ,则 __.
[解析] 由等差数列前 项和的性质得 .
8.已知数列 为等差数列，它的前 项和为 ，若 ，则实数
的值是_ ___.
[解析] ， 为等差数列, ，即 .
9.已知 是等差数列 的前 项和,若 , ,则 _______.
2 020
[解析] 是等差数列 的前 项和,
是等差数列,设其公差为 .
, , .
, .
.
.
10.已知等差数列 的前 项和为 ,且 , .
（1）求 ;
解 由题意知
解得 , ,
所以 .
（2）若 ,求 .
解 ,
因为 ,所以 ,
解得 或 （舍去）.故 .
11.已知数列 的前 项和为 ,求数列 的通项公式,并判断数列
是不是等差数列.
解 当 时, ;当 时, .又 不满足 ,
数列 的通项公式是
, 不是等差数列.
12.已知 为等差数列 的前 项和， ， .
（1）求数列 的通项公式；
解 设 的公差为 ，
则 解得
.
（2）求 的最小值.
解 当 时， 取得最小
值 .(共12张PPT)
01
午练7 导数的概念及其意义
1.若一质点的运动位移 与时间 的关系可用 表示,则该质点在时间段
中的平均速度是( )
B
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析]
2.一质点做直线运动,若它所经过的路程 （单位: ）与时间 （单位: ）的关系为
,则该质点在 时的瞬时速度为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 当 时,该质点的瞬时速度为 .故选D.
3.物体自由落体的位移 （单位: ）与时间 （单位: ）之间的关系为 ,
取 .若 ,那么下列说法正确的是( )
C
A. 是物体从 到 这段时间内的平均速度
B. 是物体从 变到 时物体的速度
C. 是物体在 这一时刻的瞬时速度
D. 是物体从 到 这段时间内的平均速度
[解析] 当 无限趋近于0时,平均速度无限趋近于该时刻的瞬时速度.
4.若函数 ,则 的值等于( )
C
A. B.1 C. D.
[解析]
.
5.[2023山东烟台月考] 曲线 在点 处的切线的倾斜角 等于( )
C
A. B. C. D.
[解析] ,
所以 .
又切线的倾斜角 的取值范围为 ,
所以所求倾斜角 .
6.过曲线 上两点 和 作曲线的割线,当
时,割线的斜率 ____;当 时,割线的斜率 ______.
2.1
2.001
[解析] 若 ，则 ，
则 ，
则 .
若 ，则 ，
则 ，
则 .
7.曲线 在点 处切线的斜率为___.
6
[解析] 因为 ，
所以曲线在点 处切线的斜率为
.
8.函数 在 处的导数是___.
2
[解析] ,
在 处的导数是
.
9.已知曲线 在点 处的切线斜率为16,则点 的坐标为_ ______.
[解析] 令 ,设点 ,
则
,令 ,得 ,所以点 的坐标
为 .
10.已知函数 .
（1）求函数 在区间 上的平均变化率；
解 函数 在区间 上的平均变化率为 .
（2）求函数 的图象在点 , 处的切线方程.
解 设函数 的图象在点 , 处的切线斜率为 ,则
又因为 ,
所以切线方程为 ,
即 .(共11张PPT)
01
午练9 函数的单调性
1.设定义在 上的函数 的图象如图所示,则其导函数 的图象可能为( )
C
A.&1& B.&2&
C.&3& D.&4&
[解析] 在 , 内单调递减,在 内单调递增, 当 或
时, ;当 时, .故选C.
2.函数 的单调递增区间是( )
C
A. , B. C. , D. ,
[解析] ,令 ,
即 ,得 .
故函数 的单调递增区间为 , .
3.若函数 在 内单调递增,则实数 的取值范围是
( )
A
A. B. C. D.
[解析] （方法1）由函数 在 上单调递增得 恒成立，则
，所以 ，即 .
（方法2）由函数 在 上单调递增得 恒成立，则
，所以 在 上恒成立.令
，则 .故 ，故选A.
4.已知定义域为 的函数 的导函数的图象如图,则关于以
下函数值的大小关系,一定正确的是( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 由 的导函数图象可知, 在 , 上单
调递增,在 上单调递减, ,A错误;又
, ,B,C错误; ,
,D正确.
5.若函数 在 上为减函数,则( )
A
A. B. C. D.
[解析] 若函数 在 上为减函数,则 在 上恒成立,所以 .
6.若函数 恰好有三个单调区间,则( )
D
A. B. C. 或 D. 或
[解析] 若函数 有三个单调区间,则 有两个不相等的实根,故 ,解得 或 .
7.若函数 在 , 上是单调递增的,则 的取值范围是________.
[解析] 因为 在 , 上是单调递增的,所以
在 , 上恒成立,即 在 , 上恒成立.令
,则 ,当 , 时, ,则 是单调递减的,
所以 ,所以 .
8.已知函数 .
（1）求函数 的导数；
解 函数 的定义域为 ， .
（2）求函数 的单调区间.
解 当 ，即 时，函数 单调递增；当 ，即 时，函数 单调递减.故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
9.求函数 的单调区间.
解 易得函数 的定义域是 , .
①当 时, 在 上恒成立,故 在 上单调递减.
②当 时,令 ,即 ,
又 ,所以 .
令 ,即 ,
又 ,所以 .
所以 在 , 上单调递减,在 , 上单调递增.
综上可知,当 时, 的单调递减区间为 ,无单调递增区间；当 时,
的单调递减区间为 , ,单调递增区间为 , .(共14张PPT)
01
午练5 等比数列的前 项和公式
1.在等比数列 中， , , ,则 ( )
C
A.8 B.15 C. D.31
[解析] 由等比数列的前 项和公式可得 .
2.在等比数列 中，其前 项和为 ， , ,则公比 等于( )
C
A.4 B.2 C. D. 或4
[解析] 依题意可得 ,将选项代入上式验证得 .
3.设 为数列 的前 项和, ,则 的值为( )
D
A. B. C. D.
[解析] ,
.
4.设等比数列 的前 项和为 ,若 ,则 等于( )
A
A. B. C. D.
[解析] 在等比数列 中, , , , 成等比数列,因为 ,所以 ,又 ,易得 ,即 ,故选A.
5.已知项数为奇数的等比数列 的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则
这个等比数列的项数为( )
A
A.5 B.7 C.9 D.11
[解析] 根据题意，数列 为等比数列，设公比为 ，则 ，又
由数列 的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则 ，故
，即 ， .
6.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现
在有1个这种细菌和200个这种病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要( )
C
A.6秒钟 B.7秒钟 C.8秒钟 D.9秒钟
[解析] 根据题意,每秒钟细菌杀死的病毒数成等比数列,此数列的首项是1，公比是2.设
需要 秒细菌可将病毒全部杀死,则 , ,
,结合 ,解得 ,即细菌将病毒全部杀死至少需要8秒.
7.已知数列 是公比为2的等比数列，其前 项和为 ，则 ___.
7
[解析] 由题意，数列 是公比为2的等比数列，则
.
8.若等比数列 的公比为 ,且 ,则 的前100项和为____.
80
[解析] 令 , ,则 ,由等比数列前 项和的性质知 ,所以 ,即 .
9.求和： .
解 当 时, ;当 时,
,①
,②
得 ,
.
综上可得,
10.［北师大版教材习题］求下列等比数列 的前 项和：
（1） , , ;
解 .
（2） , , ;
解 .
（3） , , ;
解 .
（4） , , .
解 .
11.已知数列 的首项 ,前 项和为 ，且满足 .
（1）求 及 ；
解 由 ,得 .
因为 ,所以 .
由 , ,得 .又 ,所以数列 是以
为首项， 为公比的等比数列.
故
（2）若 满足 ,求 的值.
解 由（1）可得 ,所以 .因此
.令 ,得 ,即 .
故 的值可以为1,2,3,4,5.午练6 数列的综合应用及数学归纳法
1. 已知数列满足,,则数列的通项公式等于( )
A. B. C. D.
2. 数列的前项和，则( )
A. B. 13 C. 14 D.
3. 若数列的通项公式是其前项和为，则( )
A. 120 B. 180 C. 240 D. 360
4. [2023江苏苏州月考]已知等差数列各项均为正数,首项与公差相等,,则的值为( )
A. 9 069 B. 9 079 C. 9 089 D. 9 099
5. 用数学归纳法证明“能被3整除”的过程中,时,为了使用假设,应将变形为( )
A. B.
C. D.
6. 数列中,,,则的通项公式为.
7. 设函数,则.
8. 计算.
9. [2023浙江宁波月考]已知数列的前项和满足,.求证：数列为等比数列,并求数列的通项公式.
10. 已知等比数列的前项和为,,.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 已知数列中,满足,求数列的前项和.
11. 设正项数列的首项为4,满足.
（1） 求,,并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式;
（2） 用数学归纳法证明你的猜想.
午练6 数列的综合应用及数学归纳法
1. A
[解析]设,①
将代入①式,得,等式两边消去,得,两边除以,得,则,
代入①式得,②
由及②式得,则,则数列是以为首项,以2为公比的等比数列,所以,所以.
2. C
[解析]
3. C
[解析]由题意得.
4. D
[解析]设等差数列的公差为,因为首项与公差相等,所以.因为,,
所以,所以,所以.
故选.
5. A
[解析]假设当时,命题成立,即能被3整除,则当时,.
6.
[解析]因为,,所以,,,,,,以上各式累加得,,故,当时,也符合上式,所以.
7.
[解析]若,,且,则,故.
8.
[解析]令,①
则,②
由,得,所以.
9. 证明 当时,,即,当时,,,所以,整理得,所以,又,故,所以为首项是2,公比是2的等比数列,所以,即.
10. （1） 解设等比数列的公比为,由可知,由,,解得,,
所以数列的通项公式为.
（2） ,.
11. （1） 解
,
.
正项数列的首项为4,
,,
,,猜想.
（2） 证明
①当时,猜想显然成立;
②假设当,
时猜想成立,即,
当时,,所以当时，猜想成立.
由①②可得,对于任意,猜想成立.故.午练10 函数的极值与最值
1. 已知函数的导函数的图象如图所示,则关于的结论正确的是( )
A. 在区间 上单调递减 B. 在 处取得极小值
C. 在区间 , 上单调递增 D. 在 处取得极大值
2. 设函数,则( )
A. 为 的极大值点 B. 为 的极小值点
C. 为 的极大值点 D. 为 的极小值点
3. 函数的极大值为( )
A. 18 B. 21 C. 26 D. 28
4. （多选题）已知函数在处有极值,则下列区间是该函数的一个单调递增区间的是( )
A. B. C. D.
5. 函数在,上取最大值时,的值为( )
A. 0 B. C. D.
6. 函数的最小值是.
7. 设函数,若对任意,有恒成立,则实数的取值范围是.
8. 函数在区间上的最小值为,则的取值范围为.
9. 做一个容积为的长方体水箱,它的底面是正方形,该水箱无盖,当所用材料最省时（即所用材料的面积最小）,它的高为.
10. 已知在时有极值0,求常数,的值.
11. 求函数为自然对数的底数在区间上的最大值.
午练10 函数的极值与最值
1. B
[解析]由图象知在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，故在处取极小值，在处取极大值，故选.
2. D
[解析]令,得.当时,;当时,.故为的极小值点.
3. D
[解析]函数的定义域为，其导数为，令，解得，.当变化时，,的变化情况如下表所示：
2
0 - 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以当时，函数有极大值.故选.
4. AB
[解析],且在处有极值,
,即,解得,易验证时,在处有极值.
,
由得或.
5. B
[解析],,,当时,,当时,,所以在,上单调递增,在,上单调递减,故在时取得最大值.
6.
[解析]由,得,当时,,单调递增,当时,,单调递减,因此当时,函数有最小值,最小值为.
7. ,
[解析]令，解得或.，，，，在上的最小值是.在上恒成立，.
8. ,
[解析],在上的最小值为,易知在上单调递减,所以当时,恒成立,即恒成立.所以恒成立.令,当时，,故.
9. 4
[解析]设底面边长为,高为,则有,所以.设所用材料的面积为,则有,,.令,得,当时,,当时,,所以当时,有最小值,此时.
10. 解因为在时有极值0,且,
所以即
解得或
当,时,,所以在上为增函数,无极值,故舍去.
当,时,.
当时,单调递减；当和时,单调递增,所以在时取得极小值,因此,.
11. 解因为,所以.
令,得.
且当时,,当时,,即函数在处取得极小值.
又,,综合比较得函数在区间上的最大值是.(共14张PPT)
01
午练4 等比数列的概念等差数列的概念
1.下列数列为等比数列的是( )
D
A.0,1,2,4, B. , , , ,
C. , , , , D. , , , ,…
[解析] A选项中，因为等比数列的各项都不为0，所以该数列不是等比数列；B选项中，
因为 ，所以该数列不是等比数列；C选项中，当 时，数列为0,0,0, ，不
是等比数列；D选项中的数列是首项为 ，公比为 的等比数列，故选D.
2.［北师大版教材习题］等比数列 ， , ， 的第4项为( )
A
A. B. C. D.27
[解析] 由 ,得 或 （舍去）.所以第1项为 ，第
2项为 .所以公比为 .所以第4项为 .
3.若等比数列的首项为 ，末项为 ，公比为 ，则这个数列的项数为( )
B
A.3 B.4 C.5 D.6
[解析] 设项数为 ,由已知得 ，得 ，所以 .
4.若数列 为等比数列,且 , ,则 ( )
C
A.32 B.64 C.128 D.256
[解析] 设公比为 .因为数列 为等比数列,且 , ,所以 ,则 .
5.已知各项均为正数的等比数列 ， ， ，则公比 为( )
B
A. B.2 C. D.4
[解析] 由已知得 ，而 ，所以 ，所以公比 .
6.在等比数列 中， ， ，则 ( )
C
A.12 B. C. D.15
[解析] 由等比数列 ，可知 ，解得 .
7.在等比数列 中，若 ， ，则公比 为( )
A
A.2 B.3 C.4 D.8
[解析] 由 ，得 ，所以 .
8.对任意等比数列 ,下列说法一定正确的是( )
D
A. , , 成等比数列 B. , , 成等比数列
C. , , 成等比数列 D. , , 成等比数列
[解析] 根据等比数列的性质,若 ,则 , , 成等比数列.故 , , 成等比数列.
9.已知数列 是递增数列,且满足 ,则 的取值范围是_ _________.
[解析] 由 ,得 .
又 是递增数列,所以 也是递增数列,所以 ,解得 ,所以 的取值范围是 .
10.试写出一个无穷等比数列 ,同时满足：（1） ;（2）数列 单调递减;
（3）数列 不具有单调性,则当 时, _ _______________________.
（答案不唯一）
[解析] 由题意可设 ,因为数列 不具有单调性,数列 单
调递减,所以 , ,所以 ,不妨取 ,则 .
11.若等比数列 的各项均为正数，且前3项依次为1, , .
（1）求该数列的通项公式；
解 依题意，得 ,解得 舍去 .于是公比 ，
故通项公式为 .
（2）判断728是不是该数列中的项.
解 令 ,
解得 ,
所以728不是该数列中的项.
12.已知数列 为等比数列.
（1）若 ， ，求 ；
解 由已知得 ，
, .
又 , , 是方程 的两根3和12.当
时， , ;
当 时， , .
（2）若 ， ,求公比 .
解 ,
, .(共11张PPT)
01
午练8 导数的运算
1.下列求导运算: ; ; ; ;
.运算正确的个数为( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] ,故①错误； ，故②正确； ，故③正确; ,故④错误; ,故⑤错误.故选B.
2.（多选题）下列求导运算正确的是( )
BC
A. B.
C. D.
[解析] A中， ,A不正确；中, ,D不正
确；B,C正确.
3.已知函数 , 为 的导数,则 ( )
B
A. B.1 C. D.
[解析] 由题意 ，所以 .
4.函数 的复合过程正确的是( )
A
A. , B. ,
C. , D. ,
5. 广东广州海珠期末］已知函数 ,则 等于( )
A
A. B.2 C. D.1
[解析] 由 ,得 ,所以
.故选A.
6.函数 的导函数为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，所以 ，故选A.
7.[2023天津河东质检] 设 ,若 在 处的导数 ,则
的值为( )
B
A. B. C.1 D.
[解析] 由 ,得 .由 ,解得 .故选B.
8.某物体做直线运动,其位移 与时间 之间的关系是 （ 的单位： , 的
单位： ）则它在第 末的瞬时速度应该为_ ___ .
[解析] 由 ,可得瞬时速度 ,故它在第 末的瞬时速度应该为 .
9.设曲线 在点 处的切线与直线 垂直,则 ___.易知
,曲线在点 处的切线的斜率 ,又切线与直线
垂直,故 ,则 .
2
10.[2023四川成都月考] 求下列函数的导数：
（1） ;
解 .
（2） ;
解 .
（3） .
解 .
11.设 （ , , , 为常数）,曲线 与直
线 在点 处相切.求 , 的值.
解 由曲线 过点 ，可得 ，故 .由
，得 ，则
，此即曲线 在点 处的切线的斜率.由题意，得
，故 .午练7 导数的概念及其意义
1. 若一质点的运动位移与时间的关系可用表示,则该质点在时间段中的平均速度是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 一质点做直线运动,若它所经过的路程（单位:）与时间（单位:）的关系为,则该质点在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
3. 物体自由落体的位移（单位:）与时间（单位:）之间的关系为,取.若,那么下列说法正确的是( )
A. 是物体从 到 这段时间内的平均速度
B. 是物体从 变到 时物体的速度
C. 是物体在 这一时刻的瞬时速度
D. 是物体从 到 这段时间内的平均速度
4. 若函数,则的值等于( )
A. B. 1 C. D.
5. [2023山东烟台月考]曲线在点处的切线的倾斜角 等于( )
A. B. C. D.
6. 过曲线上两点和作曲线的割线,当时,割线的斜率;当时,割线的斜率.
7. 曲线在点处切线的斜率为.
8. 函数在处的导数是.
9. 已知曲线在点处的切线斜率为16,则点的坐标为.
10. 已知函数.
（1） 求函数在区间上的平均变化率；
（2） 求函数的图象在点,处的切线方程.
午练7 导数的概念及其意义
1. B
[解析]
2. D
[解析]当时,该质点的瞬时速度为.故选.
3. C
[解析]当无限趋近于0时,平均速度无限趋近于该时刻的瞬时速度.
4. C
[解析]
.
5. C
[解析],
所以.
又切线的倾斜角 的取值范围为 ,
所以所求倾斜角 .
6. 2.1; 2.001
[解析]若，则，
则，
则.
若，则，
则，
则.
7. 6
[解析]因为，
所以曲线在点处切线的斜率为
.
8. 2
[解析],
在处的导数是.
9.
[解析]令,设点,
则
,令,得,所以点的坐标为.
10. （1） 解 函数在区间上的平均变化率为.
（2） 设函数的图象在点,处的切线斜率为,则
又因为,
所以切线方程为,
即.(共16张PPT)
01
午练11 导数的综合应用
1.若不等式 在 上恒成立,则实数 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由题意知,不等式 在 上恒成立,即 ,令 ,则 在 上恒成立,即 在 上单调递增,因此 ,故 .
2.已知函数 ,若关于 的不等式 在 上有实数解,则
实数 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知,存在 ,使得 ,则 .
,
,
当 时, ,
函数 在区间 上单调递增,
则 ,
,
实数 的取值范围是 .
3.已知 是定义在 上的可导函数,且满足 ,对任意的正数
, ,若 ,则必有( )
A
A. B. C. D.
[解析] 设 , ,
则 ,
在区间 上是减函数.
, ,
即 ,
故选A.
4.已知函数 满足 ,且 的导函数 ,则
的解集为( )
B
A. B.
C. 或 D.
[解析] 令 ,
则 ,
所以 在 上是减函数.
又 ,所以 .
由 ,得 ,所以 .
5.已知函数 ,若 在区间 内恒成立,则实数 的取值范围
为_ _______.
[解析] 由 ,得 , , 原不等式转化为 ,设
,得 ,当 时, ,则 在 上单调
递减,则 .
在 上恒成立, .
6.函数 定义在 , 上, , 的导函数是 ,且
恒成立,则不等式 的解集为______.
,
[解析] ,
,
构造函数 ,
则 ,
当 , 时, ,
在 , 上是增函数.
不等式 ,
,
即 ,
,
故不等式的解集为 , .
7.[2023北京月考] 关于函数 ,给出下列四个结论：
① 是奇函数;
②0是 的极值点;
③ 在 , 上有且仅有1个零点;
④ 的值域是 .
其中,所有正确结论的序号为________.
①③④
[解析] ,且 ,所以
函数 是奇函数,①正确. , ,当
, 时, ,所以 在 , 上单调递增,当 , 时, ,
所以 在 , 上单调递增,所以0不是 的极值点,②不正确.由以上分析知
在 , 上单调递增,又 ,所以函数在 , 上有且仅有1个零点,③正确.函
数在 上连续,当 时, ,所
以 的值域是 ,④正确.
8.[2023重庆沙坪坝期末] 已知函数 ,其中 是自然对
数的底数.
（1）讨论函数 的单调性;
解 ,令 得 或 ,
当 ,即 时,在 上 ,当且仅当 时,等号成立,故
单调递增,
当 ,即 时,在 上 , 单调递增,
在 上 , 单调递减,
在 上 , 单调递增.
当 ,即 时,在 上 , 单调递增,
在 上 , 单调递减,
在 上 , 单调递增.
综上所述,当 时, 在 上单调递增,
当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单
调递增,
当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单
调递增.
（2）若 在区间 上有解,求实数 的取值范围.
解 若 在区间 上有解,则在 上 .
由（1）知当 时, 在 上单调递增,
,所以 ,所以 .
又 ,所以 .
当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单
调递增,
若 ,即 时, 在 上单调递减, ,所以
.
若 ,即 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,
,即 ,所以
.
又 ,所以这种情况不存在,
所以 或 .综上所述, 的取值范围为 , .
9.已知 , 为实数,且 ,其中 为自然对数的底数,求证: .
证明 ,
要证 ,
只需证 .
设 ,
则 .
,
,且 ,
.
函数 在 上单调递增.
,
,
即 ,
,即 .(共12张PPT)
01
午练1 数列的概念
1.下列各项表示数列的是( )
B
A. , ,☆, B. , , , ,
C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D. , , ,
[解析] 数列是指按照一定次序排列的一列数,而不能是图形、文字、向量等,只有B项符合.
2.若数列 的通项公式为 ，其中 ，则 ( )
C
A.8 B.15 C.24 D.35
[解析] 由通项公式可得 .
3.已知数列 , , ,则该数列的第3项等于( )
C
A.1 B. C. D.
[解析] , .
4.数列2，4，6，8，10， 的递推公式是( )
C
A. B.
C. ， D. ，
[解析] A，B中没有说明第一项，无法递推；D中 ， ， ，不合题意.
5.［北师大版教材习题］若数列 的前4项依次是20,11,2, ,则数列 的一个通
项公式是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 因为 , , , ,所以 ,即 .故选B.
6.已知数列 中, , ,且 ,则 的值为( )
C
A.2 B.1 C. D.
[解析] ,由 , ,得 ,由 , ,得
,由 , ,得 ,由 , ,得 ,由 , ,得
,由 , ,得 ,由此推理可得数列 是一个周期为6的周期数
列,所以 .
7.已知数列 , ， , , ,则 是该数列的第____项.
19
[解析] 观察可得数列的一个通项公式是 ,而 ,所以 是该数列的第19项.
8.已知数列 的首项 , ,则 __,猜想其通项公式
是_ ______.
[解析] 数列 的首项 , , ,同理
可得 , .猜想其通项公式是 .
9.在数列 中,已知 .
（1）写出 , .
解 ;
.
（2） 是不是该数列中的项？如果是,是第几项？
解 令 ,解得 （ 舍去）,所以 是该数列中的项,
并且是第15项.
10.［人教B版教材习题］已知数列 的前 项和为 ,求 的通项公式.
解 由 ，得 .则 .当 时， ,满足 ,所以 的通项公式是 .
11.已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式.
解 由题意显然 , ,
,
, , , ,以上各式相乘得 ,
又 , .午练11 导数的综合应用
1. 若不等式在上恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2. 已知函数,若关于的不等式在上有实数解,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3. 已知是定义在上的可导函数,且满足,对任意的正数,,若,则必有( )
A. B. C. D.
4. 已知函数满足,且的导函数,则的解集为( )
A. B.
C. 或 D.
5. 已知函数,若在区间内恒成立,则实数的取值范围为.
6. 函数定义在,上,,的导函数是,且恒成立,则不等式的解集为.
7. [2023北京月考]关于函数,给出下列四个结论：
①是奇函数;
②0是的极值点;
③在,上有且仅有1个零点;
④的值域是.
其中,所有正确结论的序号为.
8. [2023重庆沙坪坝期末]已知函数,其中是自然对数的底数.
（1） 讨论函数的单调性;
（2） 若在区间上有解,求实数的取值范围.
9. 已知,为实数,且,其中为自然对数的底数,求证:.
午练11 导数的综合应用
1. D
[解析]由题意知,不等式在上恒成立,即,令,则在上恒成立,即在上单调递增,因此,故.
2. B
[解析]由题意可知,存在,使得,则.
,
,
当时,,
函数在区间上单调递增,
则,
,
实数的取值范围是.
3. A
[解析]设,,
则,
在区间上是减函数.
,,
即,
故选.
4. B
[解析]令,
则,
所以在上是减函数.
又,所以.
由,得,所以.
5.
[解析]由,得,, 原不等式转化为,设,得,当时,,则在上单调递减,则.
在上恒成立,.
6. ,
[解析],
,
构造函数,
则,
当,时,,
在,上是增函数.
不等式,
,
即,
,
故不等式的解集为,.
7. ①③④
[解析],且,所以函数是奇函数,①正确.,,当,时,,所以在,上单调递增,当,时,,所以在,上单调递增,所以0不是的极值点,②不正确.由以上分析知在,上单调递增,又,所以函数在,上有且仅有1个零点,③正确.函数在上连续,当时,,所以的值域是,④正确.
8. （1） 解,令得或,
当,即时,在上,当且仅当时,等号成立,故单调递增,
当,即时,在上,单调递增,
在上,单调递减,
在上,单调递增.
当,即时,在上,单调递增,
在上,单调递减,
在上,单调递增.
综上所述,当时,在上单调递增,
当时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
当时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
（2） 若在区间上有解,则在上.
由（1）知当时,在上单调递增,,所以,所以.
又,所以.
当时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
若,即时,在上单调递减,,所以.
若,即时,在上单调递减,在上单调递增,
,即,所以.
又,所以这种情况不存在,
所以或.综上所述,的取值范围为,.
9. 证明,
要证,
只需证.
设,
则.
,
,且,
.
函数在上单调递增.
,
,
即,
,即.
