(共24张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.[探究点一·2023福建福州检测] 用数学归纳法证明“ ”
时,假设 时命题成立,则当 时,不等式的左边比当 时增加的项为
( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 当 时,不等式的左边等于 ,且 ,当
时,不等式的左边等于 ,当
时,不等式的左边比当 时增加的项为
.
故选D.
2.［探究点一］用数学归纳法证明：
.从 到
，若设 ，则 ( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 由数学归纳法证明
时，从“ ”到“
”的证明，左边需增添的一个因式是 ，
则 .
3.［探究点一］（多选题）已知一个命题 , .若当 ,2, ,
时, 成立,且当 时也成立,则下列判断中正确的是( )
AD
A. 对 成立 B. 对每一个自然数 都成立
C. 对每一个正偶数 都成立 D. 对某些偶数可能不成立
[解析] 由题意知 对 ,4,6, , 成立,当 取其他值时不能确定 是否成立,故选 .
4.［探究点一］（多选题）对于不等式 ，某学生的证明过程
如下：
①当 时， ，不等式成立.
②假设 时，不等式成立，即 ，则 时， ，所以当 时，不等式成立.
关于上述证明过程的说法正确的是( )
BCD
A.证明过程全都正确 B.当 时的验证正确
C.归纳假设正确 D.从 到 的推理不正确
[解析] 的验证及归纳假设都正确，但从 到 的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求.故选 .
5.[探究点五·2023江西新余月考] 用数学归纳法证明 能被14整除
时,当 时,对于 应变形为_ ___________________________.
[解析]
6.［探究点四］在数列 中， , .
（1）求出 ， 并猜想 的通项公式；
解 由 , ，得 ， .
猜想 .
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
证明 ①当 时， ，结论成立.
②假设当 时，结论成立,即 ，那么，当 时，
，结论成立.由①和②可知对任意 ，都有
成立.
7.[探究点三·人教B版教材例题] 求证：当 是大于或等于5的正整数时， .
证明 当 时， ， ，显然 ,所以此时命题成立.
②假设 （其中 ）时命题成立，即 .因为 ,所以 ,因此 .可知不等式当 时也成立.
综上可知，不等式对任何大于或等于5的正整数 都成立.
8.［探究点二·北师大版教材习题］平面内有 条直线，其中任何两条都
不平行，任何三条都不经过同一点，用数学归纳法证明：交点的个数 .
证明 当 时，两条直线只有一个交点.
而 ,命题成立.
②假设当 时，命题成立，即 .那么，当 时，第
条直线与前 条直线均有一个交点，即新增 个交点.
即 ,即当 时，命题成
立.由①②知，对于 原命题成立.
B级 关键能力提升练
9.用数学归纳法证明不等式 的过程中，由 递
推到 时，不等式左边( )
D
A.增加了 B.增加了
C.增加了 D.增加了
[解析] 当 时, ，当 时，
，左边增加了 .
10.利用数学归纳法证明等式:
,当 时,左
边的和 ,记作 ,则当 时左边的和,
记作 ,则 ( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 依题意, ,则
,
.
11.（多选题）设 是定义在正整数集上的函数,且 满足：当 成立
时,总有 成立.则下列命题总成立的是( )
AD
A.若 成立,则 成立
B.若 成立,则当 时,均有 成立
C.若 成立,则 成立
D.若 成立,则当 时,均有 成立
[解析] 选项A中，若 不成立,则 ,由题意知 ,与 成立矛盾,所以 成立,故A正确;选项D中，若 成立,则 ,即 ,结合 ,所以当 时,均有 成立,故D正确;选项C中,同选项A,应有 成立,故C错误;B不一定成立.所以选 .
12.用数学归纳法证明“当 时, 能被8整除”时,第二步“假
设当 时, 能被8整除,证明当 时
也能被8整除”的过程中,得到 ,
则 的表达式为_ ________________.
[解析] 因为 , .故
.
13.是否存在 ， ， 使等式 对一切
都成立？若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论.
解 取 ,2,3可得
解得 ， ， .
下面用数学归纳法证明 .
即证 ，
①当 时，左边 ，右边 ，
等式成立；
②假设当 时等式成立，即 成立，
则当 时，等式左边 ，故当 时等式成立.
由数学归纳法，综合①②当 等式成立，故存在 ， ， 使已知等
式成立.
14.［北师大版教材例题］用数学归纳法证明： （其中 ,
）.
证明 当 时，左边 ,右边 ,命题成立.
②假设当 时，命题成立，即 .那么，当 时，
因为 ，所以 .根据假设知， ,所以
.因为 ，
所以 .从而 .这表明，
当 时命题也成立.根据①和②,该命题对于任意正整数 都成立.
15.已知数列 满足 ，
（1）求 ， ，并猜想 的通项公式；
解 , .
猜想：
（2）用数学归纳法证明猜想.
解 下面用数学归纳法证明 ，
①当 时， ，显然成立.
②假设当 时，猜想成立，即 ，则当 时，
,即对 时，猜想也成立.结合①②
可知，猜想 对一切 都成立.
C级 学科素养创新练
16.观察下列不等式： , , , , .
（1）根据这些不等式,归纳出一个关于正整数 的命题;
解 不等式可写为 , , , ,所以归纳得到命题：
（2）用数学归纳法证明（1）中得到的命题.
证明 ①当 时,易知命题成立;
②假设当 , 时,命题成立,即 ,则当 时, ,即 时,命题也成立,由①②可知,
.第2课时 数列的递推公式
A级 必备知识基础练
1. ［探究点一］已知在数列中,,,则的值为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2. ［探究点三］已知数列的前项和，则的值等于( )
A. B. C. D.
3. ［探究点三］已知数列的前项和，则( )
A. 52 B. 68 C. 96 D. 108
4. ［探究点二］已知,,则数列的通项公式是( )
A. B. C. D.
5. ［探究点一］（多选题）已知数列满足,,,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
6. ［探究点一］若数列满足,且,则.
7. ［探究点二］根据下列条件,写出数列的前四项,并归纳猜想它的通项公式.
（1） ,;
（2） ,;
（3） ,.
B级 关键能力提升练
8. 已知数列，,，则( )
A. B. 3 C. D.
9. 在数列中，，对所有的，都有，则等于( )
A. B. C. D.
10. 设是首项为1的正项数列,且,则它的通项公式.
11. 已知数列满足,且,则数列的最大项是.
12. 已知数列满足
若,试求.
C级 学科素养创新练
13. 在数列中，，
则( )
A. B. C. D.
14. 已知数列,,,,的法则如下:若为自然数,则,否则,则.
第2课时 数列的递推公式
A级 必备知识基础练
1. D
[解析]因为,,所以,,.
2. D
[解析].故选.
3. B
[解析]由题意，可得当时，，所以.
4. D
[解析]（方法1 构造法）
由已知整理，得,, 数列是常数列，且,.
（方法2 累乘法）
当时,,,,,,这个式子两边分别相乘，得,.
当时,也成立,
所以.
5. BCD
[解析],,,
,,,
,,
是周期数列,周期为6,
,不正确;,正确;,正确;,正确.
6.
[解析],
,解得,
又,解得.
7. （1） 解,,,.
猜想
（2） ,,,.
猜想
（3） ,,,.
猜想
B级 关键能力提升练
8. A
[解析]由题意，可知:，
,
,
,
,
…
数列是一个以3为最小正周期的周期数列.，.
9. C
[解析]由题意，，，，
则，.故.
10.
[解析]把分解因式,得.
,
,,
,,.
又,.
又也适合上式,,
11.
[解析]因为,且,所以,所以,所以,所以此数列为递减数列,故最大项为.
12. 解,
,
,.
数列是周期数列,且周期为3.
.
C级 学科素养创新练
13. A
[解析]由题意可得，，，，，，，则数列是以4为周期的数列，故.
14. 1
[解析]是自然数,
.
不是自然数,
.
是自然数,.
是自然数,
.
不是自然数,
.第1课时 数列的概念与简单表示
A级 必备知识基础练
1. ［探究点三］数列中，若，则( )
A. B. C. D. 8
2. ［探究点三］已知数列,,,,,,它的第5项的值为( )
A. B. C. D.
3. ［探究点三］已知数列的通项公式则等于( )
A. 70 B. 28 C. 20 D. 8
4. ［探究点三］数列2，，8，，，，的第项为( )
A. B. C. D.
5. [探究点二·2023陕西西安检测]数列,4,,8,的通项公式可能为( )
A. B. C. D.
6. ［探究点二、三］（多选题）已知数列,2,,,,则下列说法正确的是( )
A. 此数列的通项公式是 B. 8是它的第32项
C. 此数列的通项公式是 D. 8是它的第4项
7. ［探究点一］（多选题）下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( )
A. 1, , , , , ,… B. , , , , ,…
C. , , , , , ,… D. 1, , , , ,…
8. ［探究点四（角度）］已知数列的通项公式为,则使成立的正整数的最大值为.
9. ［探究点三］已知数列的通项公式,写出这个数列的前5项,并作出它的图象：
（1）;
（2）
10. ［探究点二］写出以下各数列的一个通项公式.
（1） 1,,,,….
（2） 10,9,8,7,6,.
（3） 2,5,10,17,26,.
（4） ,,,,,….
（5） 3,33,333,,.
11. ［探究点三］已知数列,,且,.
（1） 求.
（2） 150是不是该数列中的项？若是,是第几项？
B级 关键能力提升练
12. 设,则等于( )
A. B. C. D.
13. 若数列的通项公式为，则数列的各项中最大项是( )
A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项
14. （多选题）已知数列的前4项依次为2，0，2，0，则数列的通项公式可以是( )
A. B.
C. D.
15. [2023湖南长沙月考]数列的通项公式若是递增数列,则实数的取值范围是( )
A. B. , C. , D.
16. 已知数列的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围为.
17. 函数的最小值记为，设，则数列，的通项公式分别是，.
18. 已知数列的通项公式为.
（1） 0和1是不是数列中的项？如果是，那么是第几项？
（2） 数列中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？
C级 学科素养创新练
19. 1766年,德国有一位名叫提丢斯的数学老师,把数列0,3,6,12,24,48,96,,经过一定的规律变化,得到新数列：,,1,,,,10,,科学家发现,新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离,并据此发现了“天王星”“谷神星”等天体,这个新数列就是著名的“提丢斯—波得定则”.根据规律,新数列的第8项为( )
A. 14.8 B. 19.2 C. 19.6 D. 20.4
20. 若数列的通项公式为，则这个数列中的最大项是( )
A. 第43项 B. 第44项 C. 第45项 D. 第46项
21. 在数列中,.
（1） 求数列的第7项.
（2） 求证:此数列的各项都在区间内.
（3） 区间内有没有数列中的项？若有,有几项？
第1课时 数列的概念与简单表示
A级 必备知识基础练
1. B
[解析]由可知，即，所以.
2. D
[解析]第5项为.
3. C
[解析]由得.
4. B
[解析]由数列可知奇数项为正数，偶数项为负数，即可表示为，又首项为2，故数列的通项公式为，所以第项为.
5. B
[解析]数列,4,,8,的奇数项为负,偶数项为正,且均为2的倍数,故.故选.
6. AB
[解析]数列,2,,,,即,,,,,则此数列的通项公式为,故正确,错误;令,解得,故8是它的第32项,故正确,错误.故选.
7. CD
[解析]选项,既是无穷数列又是递增数列.
8. 673
[解析]由,得,
又因为,所以正整数的最大值为673.
9. 解列表法给出这两个数列的前5项：
1 2 3 4 5
2 2 2 2 2
1 3 5
它们的图象分别为
10. （1） 解;
（2） ;
（3） ;
（4） ;
（5） .
11. （1） 解由已知,
得解得所以,所以.
（2） 令,解得（舍去）,所以150是该数列中的项,并且是第16项.
B级 关键能力提升练
12. C
[解析],.
13. C
[解析]因为，且，所以当时，的值最大，即最大项是第6项.
14. ABC
[解析]
，，，，故正确；
，，，，，故正确；
，，，，，故正确；
，故错误.故选.
15. A
[解析]因为数列的通项公式若是递增数列,
则解得.故选.
16.
[解析]由数列为递减数列可知对恒成立，即，因此，即，因为，所以（时等号成立），即的最大值为0，所以.
17. ;
[解析]当时，，即；将代入得，.
18. （1） 解令，得，或（舍去），是数列中的第21项.令，得，而该方程无正整数解，不是数列中的项.
（2） 假设存在连续且相等的两项是，，则有，即.
解得， 存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项.
C级 学科素养创新练
19. C
[解析],3,6,12,24,48,96的规律是从第三项起,每一项是前一项的两倍,故该数列的第8项是192.新数列,,1,,,,10,的规律是原数列的每一项加4,再除以10,计算即可.
20. C
[解析]设，则，又由，当且仅当时，等号成立，则当时，取得最小值，此时取得最大值，而，，则数列中的最大项是第45项.
21. （1） 解.
（2） 证明,
,
故数列的各项都在区间内.
（3） 解令,则,,故,即在区间内有且只有1项.(共34张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］数列1, , , , , 的第100项为
( )
B
A. B. C. D.
[解析] 设数列为 ， ，
.
2.［探究点四］若数列 的通项公式是 ，则它的前100项和
( )
A
A.150 B.120 C. D.
[解析]
3.［探究点二］已知数列 的前 项和为 ,若 ,则 等于( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为 ,所以
.
4.［探究点五］设函数 ,则
的值为( )
B
A.9 B.11 C. D.
[解析] ,
,
设 ,
则 ,两式相加得 ,
因此 .
5.[探究点一·2023江苏徐州检测] （多选题）已知数列 是等比数列,则下列结论正
确的是( )
AC
A.若公比 , ,则数列 的前10项和为
B.若 ,则
C.若公比 , ,则
D.若数列 的前 项和 ,则
[解析] 选项A,由 , ,知 ,所以数列 的前10项和
,即A正确;
选项B,若 ,则 ,即 ,所以 ,所以
,即B错误;
选项C,因为数列 是公比为2的等比数列,所以数列 , , , , 是公比为4的
等比数列,设 ,则 ,所以
,即C正确;
选项D,设数列 的公比为 ,显然 ,
,所以 , ,即D错误.
故选 .
6.［探究点二］（多选题）设等差数列 满足 , ,公差为 ,则下
列说法正确的是( )
ABD
A. B.
C. D. 的前 项和为
[解析] 是等差数列,
,解得 .又 , ,
.故A,B正确.
,故C错误.
的前 项和为 .故
D正确.
7.［探究点四］ _ _______.
[解析]
8.［探究点六］已知在数列 中， ，前 项和为 ，则
_ ___________.
[解析] ,
，
两式相减得 ， .
9.［探究点三］已知 表示不超过 的最大整数，例如： ， .在
数列 中， ， .记 为数列 的前 项和，则 _______.
4 962
[解析] 当 时， ；当 时， ，此区间所有项的和为90;
当 时， ，此区间所有项的和为 ;
当 时， ，此区间所有项的和为 ; 所以 .
10.［探究点一］已知等差数列 满足 ， .
（1）求 的通项公式；
解 设数列 的公差为 ，
则由 ， ,
得 解得
所以 的通项公式为 .
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
解 由（1）可知 .
当 且 时，
；当
时， ，则 .
所以
11.［探究点二］已知等差数列 的前 项和 满足 ,
（1）求 的通项公式;
解 设 的公差为 ,则 .
由已知可得 解得
故 的通项公式为 .
（2）求数列 的前 项和 .
解 由（1）知 ,
从而数列 的前 项和为 .
B级 关键能力提升练
12.已知数列 的前 项和为 , ,当 时, ,则 的值为
( )
D
A.1 008 B.1 009 C.1 010 D.1 011
[解析] 由题意,当 时,可得 ,因为 ,所以
,即 ,当 时, ,式子
与 左、右两边分别相减,可得
,即 ,所以 , , , … ,所以 .
13.数列 满足 ，数列 的前 项和
为 ，则 等于( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为数列 满足 ，
，两式相减得 ，
则 ，又 满足 ，
所以 ，
因此 .
14.如图,正方形 的边长为 ,取正方形 各边的
中点 , , , 作第二个正方形 ,然后再取正方形
的各边的中点 , , , 作第三个正方形 ,依此方
法一直继续下去,记第一个正方形 的面积为 ,第二个
正方形 的面积为 , ,第 个正方形的面积为 ,则
前6个正方形的面积之和为( )
B
A.31 B. C.32 D.
[解析] 数列 是首项 ,公比 的等比数列.设前6个正方形的面积之和为
,则 .故选B.
15.（多选题）已知数列 为等差数列， ，且 ， ， 是一个等比数列
中的相邻三项，记 ,且 ，则 的前 项和可以是( )
BD
A. B.
C. D.
[解析] 设等差数列 的公差为 ,又 ,且 , , 是一个等比数列中的相邻
三项,所以 ,即 ,化简得 ,所以
或 ,故 或 ,所以 或 .设 的前 项和为
,
（1）当 时, ；
（2）当 时,
,①
,②
,得 ,所以
.故选 .
16.（多选题）已知数列 是等差数列， 是等比数列， ， ，
， .记 数列 的前 项和为 ，则
( )
ABD
A. B.
C. D.
[解析] 设数列 的公差为 ，数列 的公比为 ，依题意有
得 故 ， ，故A，B正确；则
， ，所以数列 的前 项和 ， ，故C错误，D正确.
17.（多选题）在数列 中，若 ，则称 为“和等比数列”.设 为
数列 的前 项和，且 ，则下列对“和等比数列”的判断中正确的有( )
AC
A. B.
C. D.
[解析] , ,因为 ，所以 ，两式
相减得 ，所以 ，故A正确，B错误；
，故C正确，D错误.故选 .
18.设 是数列 的前 项和,且 , , ,则
_ _.
[解析] 因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 .又 ,
所以数列 是以3为首项,2为公差的等差数列,所以 ,
所以 ,所以 ,所以
.
19.已知函数 ，则当 时， ___,
的值为_______.
2
2 020
[解析] 函数 ，由 ，得 ，所以
，所以当 时，
，令 ，
所以 ，
故 .
20.已知数列 的前 项和为 ，而 , 是数列 的前
项和，则使得 对所有 都成立的最小正整数 等于____.
10
[解析] 由 ,得
,
.
,
要使 对 成立，需有 ,即 ,
故符合条件的最小正整数为10.
21.已知递增数列 的前 项和为 ，且满足 .
（1）求 及数列 的通项公式；
解 当 时， ,解得 .当 时， , ,解得 或 .因为 为递增数列，所以 , 是首项为1，公差为1的等差数列，所以 .
（2）设 求数列 的前20项和 .
解 由题意，
知
所以 .
C级 学科素养创新练
22.已知数列 满足 , 其
中 , .
（1）当 , 时,
①求 , ;
解 由题意可得 ,
②求 .
解 由题意可得,当 时, ;当 时,
,且当 时, ,当 时,
, .
（2）设集合 , , , , ，是否存在实数
, ,使1,6, 都属于 ？若存在,请求出实数 和 ;若不存在,请说明理由.
解 , , ,
,令 ,则
, , , , }.
,6, 都属于集合 , 存在三个不同的整数 ,使得
, ,其中 , , .
取 ， , ，
, , ,
解得(共26张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］已知数列 的通项公式是 , 是数列 的前 项和，则
等于( )
D
A.10 B.210 C. D.
[解析] , 数列 是公比为2的等比数列，且 .
.
2.[探究点一·2023江苏南京鼓楼月考] 已知 为等比数列 的前 项和,若
, ,则 ( )
C
A.15 B. C. D.
[解析] 设数列 的公比为 ,显然 且 ,由已知,得 .所
以 .故选C.
3.［探究点二］已知等比数列 中, ,则由此数列的奇数项所组成的新数列
的前 项和为( )
B
A. B. C. D.
[解析] , 数列 是以1为首项,2为公比的等比数列. 由数列 的奇数项构成的新数列是以1为首项，4为公比的等比数列， 新数列的前 项和为 .故选B.
4.［探究点一］在各项均为正数的等比数列 中， ， ，前 项和
，则 ( )
C
A.6 B.7 C.8 D.9
[解析] 由题意知 且 ，则 ， ， ，
解得 .
5.［探究点一］已知等比数列 满足： , ,则数列 的公比 ____;
_ _________.
[解析] , , ,解得 ,则数列 的公比 或
.
6.［探究点三］数列 的通项公式为 ，则数列 的前 项和为
_ _________________.
[解析] 由 ,得
,
.两式作差,得 .
.
7.［探究点一］已知等比数列 是递减数列， 是 的前 项和，若 ， 是
方程 的两个根，则公比 _ _, ___.
[解析] ， 是方程 的两根，且等比数列 是递减数列，
， ，则公比 ， .
8.[探究点一·2023湖北武汉月考] 在等比数列 中,
（1）已知 ,公比 ,求前8项和 ;
解 ,公比 ,
前8项和 .
（2）已知 , ,求前4项和 ;
解 设等比数列 的公比为 ,
, ,
,解得 ,
前4项和 .
（3）已知公比 ,前5项和 ,求 , .
解 公比 ,前5项和 ,
,解得 ,
.
9.［探究点二］已知数列 满足 ,且 .
（1）求数列 的通项公式;
解 数列 满足 ,且 ,
所以数列 是等差数列,且首项为1,公差为2,因此 .
（2）已知数列 满足 , ,设 ,若数列 为等比数列,
求数列 的前 项和 .
解 由已知可得 , ,所以等比数列
的公比为 ,
所以 ,
所以 ,
因此 .
B级 关键能力提升练
10.等比数列 的公比为 ,则数列 , , , , , 的前 项和为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 依题意得等比数列 的通项 ,
所以 ,因为 ,所以数列 是首项为 ,公比
为 的等比数列,因为 ,所以 ,所以数列 的前 项和为
.
11.已知数列 满足 ,记数列 的前 项和
为 ,则 等于( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 因为 ,①
所以有 ,当 , 时,有 ,②
由 得, ,即 ,显然当 时, 也适合式子 ,
所以
令 ,所以 ,因此有 .
12.设 ,则 等于( )
D
A. B. C. D.
[解析] ,
是以2为首项,4为公比的等比数列的前 项的和,
.
13.在等比数列 中， , ,则 ( )
C
A. B.9 C. D.3
[解析] 设等比数列的公比为 ，则由已知可得
两式相除，得 ，
即 ，所以 .
14.已知等比数列 中, ,其前 项和为 ,前 项积为 ,且 , ,
则使得 成立的正整数 的最小值为( )
D
A.9 B.10 C.11 D.12
[解析] 等比数列 中, , , ,则 ,
,
, , ,
, , 正整数 的最小值为12.故选D.
15.（多选题）已知数列 的前 项和为 ， ，若存在两项 ， ，
使得 ，则( )
BD
A.数列 为等差数列 B.数列 为等比数列
C. D. 为定值
[解析] 由题意，当 时， ，解得 ，当 时，
，所以 ，
所以 ，所以数列 是以首项 ，公比 的等比数列， ，
故选项A错误，选项B正确；数列 是以首项 ，公比 的等比数列，所
以 ，故选项C错误；
，所以 为定值，故选项D正确.故选 .
16.[2023黑龙江齐齐哈尔月考] 已知等比数列 的前 项和 ,
则 ___.
9
[解析] 当 时, ,
故 ,等比数列的公比为3.
,
,解得 , ,
数列 是首项为2,公比为3的等比数列,
.
17.若等比数列 的前 项和为 ,且 ，则公比 等于_ ____.
[解析] 若 , .
, ,即 ,
, ,
,
或 （舍）， .
18.条件①：设数列 的前 项和为 ，且 , .
条件②：对 ，有 （ 为常数）， ，并且 , ,
成等差数列.
在以上两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并作答.
在数列 中，____.
（1）求数列 的通项公式；
解 选条件①，由 ，得 ， .
当 时， ， 符合上式， 数列 的通项公式为
.
选条件②，由 知数列 是公比为 的等比数列，则 ,
，由 ，得 ，解得 或
（舍去） , .
（2）记 ，求 的值.
解 ,
,两式相减，得
.
.
C级 学科素养创新练
19.已知等比数列 的前 项和为 ，公比 ， ， ，要使数
列 为等比数列，则实数 的值为( )
B
A. B. C.2 D.不存在
[解析] 由公比 ， 可得 ，而 ， .
若数列 为等比数列，则有 ，即
，解得 ，于是 ，而
，故当 时，数列 为等比数列.
20.已知数列 , , , , , , , , , , , , ,…的前 项和为 ,则
____.
60
[解析] 将此数列分组,再分别求和.第一组： ,共 项;第二组：
,共 项的和;第三组：
,共 项的和;…;第 组：
,共 项的和.由
, 解得 ,
因此前120项之和正好等于前6组之和,
.第1课时 等比数列的概念及通项公式
A级 必备知识基础练
1. ［探究点一］在等比数列中,,,则的值为( )
A. 9 B. 27 C. 81 D. 243
2. [探究点一·2023福建福州月考]在数列中,,且,则( )
A. B. C. D.
3. [探究点三·2023广东佛山月考]（多选题）已知函数,则下列说法正确的是( )
A. , , 成等差数列 B. , , 成等差数列
C. , , 成等比数列 D. , , 成等比数列
4. ［探究点三］（多选题）设为等比数列，给出四个数列：；；；④{.其中一定为等比数列的是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
5. ［探究点二］在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为.
6. ［探究点一］在数列中，已知，且对任意正整数都有，则.
7. ［探究点二］在等比数列中，若,公比,则与的等比中项是.
8. ［探究点四］已知数列满足,且,且.求使数列是等比数列的 的值.
9. ［探究点四］已知在数列中，且.
（1） 求证：数列为等比数列；
（2） 求数列的通项公式.
B级 关键能力提升练
10. 已知数列是等比数列,则方程组的解的情况为( )
A. 唯一解 B. 无解 C. 无数多组解 D. 不能确定
11. 数列中，，，则( )
A. B. C. D.
12. 在数列中，对任意，都有，则( )
A. B. C. D. 1
13. （多选题）已知为等比数列，下列结论正确的是( )
A. 若 ，则 B.
C. 若 ，则 D. 若 ，则
14. 已知一个等比数列的各项均为正数，且它的任何一项都等于它后两项的和，则它的公比.
15. 若数列,,,,,…是首项为1,公比为的等比数列,则.
16. 已知数列满足，，若，则数列的通项公式为.
17. 已知数列的前项和,
（1） 求证：是等比数列,并求出其通项公式;
（2） 设,求证:数列是等比数列.
18. 已知数列和满足： ，，，其中 为实数，为正整数.
（1） 对任意实数 ，证明数列不是等比数列；
（2） 试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论.
C级 学科素养创新练
19. （多选题）在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，称为公差比.下列说法正确的是( )
A. 等差数列一定是等差比数列
B. 等差比数列的公差比一定不为0
C. 若 ，则数列 是等差比数列
D. 若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比
20. 在数列中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列,记为,再在数列中插入适当的项,使它们一起能构成一个首项为1,公比为3的等比数列.若,则数列中第项前（不含）插入的项的和最小为( )
A. 30 B. 91 C. 273 D. 820
第1课时 等比数列的概念及通项公式
A级 必备知识基础练
1. B
[解析]设等比数列的公比为,由,得,所以.故选.
2. B
[解析],,
, 数列是首项为,公比为的等比数列,
.
故选.
3. ABC
[解析]根据题意,依次分析选项.
对于,,,,则有,正确;
对于,,,,则有,正确;
对于,,,,则,,成等比数列,正确;
对于,,,,,,不成等比数列,错误.
故选.
4. AB
[解析]设等比数列的公比为，则，故是等比数列；，故是等比数列；取等比数列，则的前三项为，2，，不成等比数列；此时，不成等比数列.故选.
5. 80,40,20,10
[解析]解析设这6个数所成等比数列的公比为，
则，，.
这4个数依次为80,40,20,10.
6.
[解析]由,得,所以数列是等比数列，公比为.
因为，所以.
7.
[解析]依题意，得,而与的等比中项是，故与的等比中项是.
8. 解若数列是等比数列，
则（ 为非零常数）,即,对于任意恒成立，则解得.故当时，数列是等比数列.
9. （1） 证明
,
,
,为等比数列，首项为，公比为3.
（2） 解
由（1）得，,
.
B级 关键能力提升练
10. C
[解析]由题意,数列是等比数列,可得,所以直线与重合,所以方程组有无数组解.
11. C
[解析]由于,，有，且.令，则，即数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
故.
12. A
[解析]由得，即数列是以2为公比的等比数列，则.
13. ABD
[解析]若,则，当时，等号成立，故正确；因为，当时，等号成立，故正确；设等比数列的公比为，因为，所以，所以，当时，，故错误；设等比数列的公比为，则，因为，所以，即，故正确.故选.
14.
[解析]依题意，得，所以.因为，所以，解得.
15. 32
[解析]由题意,得,所以,,,,将上面的四个式子两边分别相乘,得.又,所以.
16.
[解析]因为，所以，所以，而，且.
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以.
17. （1） 证明,
,,
.由已知及上式可知.
由知是等比数列.
由,得,
.
（2） 证明由（1）知,,
.
.
数列是等比数列.
18. （1） 证明
假设存在一个实数 ，使是等比数列，则有，
即，矛盾.所以不是等比数列.
（2） 解
是等比数列，证明如下：
因为,
又，所以当时，，此时不是等比数列；
当时，，由上可知，所以.故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列.
C级 学科素养创新练
19. BCD
[解析]对于等差数列，考虑,,，无意义，所以选项错误；若等差比数列的公差比为0，,，则,与题目矛盾，所以选项正确；若，则，数列是等差比数列，所以选项正确；若等比数列是等差比数列，则,，，所以选项正确.
20. C
[解析] 等比数列首项为1,公比为3,故其通项公式为.令,可得,可得.数列的前6项为1,3,9,27,81,243,其中1,9,81为数列中的项,而3,27,243不是数列的项,所以插入的项的和最小为.故选.(共18张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点三］（多选题）下列数列中,是等差数列的有( )
ACD
A.4,5,6,7,8, B.3,0, ,0, ,
C.0,0,0,0, D. , , , ,…
[解析] 选项A是以4为首项,1为公差的等差数列；选项B中后一项减前一项的差不是同
一个常数,所以不是等差数列；选项C是常数列,所以是等差数列；选项D是以 为首
项, 为公差的等差数列.
2.［探究点一］在等差数列 中， ， ，则 ( )
B
A.25 B.28 C.31 D.34
[解析] 设公差为 ，因为在等差数列 中， ， ，所以 ， ，
解得 , ，
所以 .
3.［探究点一］在等差数列 中,已知 , , ,则 ( )
A
A.50 B.49 C.48 D.47
[解析] 设等差数列 的公差为 ,
, , ,解得 ，则 ,则 ，解得 .
4.［探究点二］在等差数列 中, , ,若在相邻两项之间各插入一个数,使
之成等差数列,则新等差数列的公差为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 设原等差数列的公差为 ,则 ,解得 ,因此新等差数列的公差为 .
5.［探究点一］在数列 中, , ,则 是这个数列的
( )
A
A.第100项 B.第101项 C.第102项 D.第103项
[解析] 易知 ,由 ,两边取倒数可得 ,即
.
数列 是等差数列.
又 , .
.令 ,解得 .
是这个数列的第100项.
故选A.
6.［探究点一］已知 为等差数列，若 ， ，则 _ ___.
[解析] 设等差数列 的公差为 ,由题意 ， ，解得 ， ， .
7.［探究点二］已知 ， ， ，且 ， ， 成等差数列，则
_ ___.
[解析] ， ， ， , . , , 成等
差数列， ，
.
.
.
B级 关键能力提升练
8.已知等差数列 满足 ，则 中一定为零的项是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 设等差数列 的公差为 .
， ，可得 ， ，则 中一定为零的项是 .
9.首项为 的等差数列 ,从第10项开始为正数,则公差 的取值范围是( )
C
A. , B. , C. , D. ,
[解析] 由题意可知 , ,
由 解得 .
10.在数列 中， , ，则 ( )
C
A.121 B.144 C.169 D.196
[解析] 由 得 ，
因此数列{ }为等差数列，
所以 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，所以 ， .
11.（多选题）数列 满足 , ，则下列说法正确的是( )
AD
A.数列 是等差数列 B.数列 有最小项
C.数列 的通项公式为 D.数列 为递减数列
[解析] 因为 ， ，
所以 ，即 ，所以 是首项为1，公差为2的等差数
列，故A正确.
，则 ，所以
，所以数列 为递减数列，故D正确，
错误.故选 .
12.[2023贵州毕节月考] 已知数列 是公差为1的等差数列,且 ,则
_ _____________.
[解析] 因为数列 是公差为1的等差数列,且 ,所以 ,所以
,则 .
13.一个直角三角形的三条边的长度成等差数列,则该直角三角形的内角中最小角的余弦
值是_ _.
[解析] 设直角三角形的三边长为 , , ,不妨设 ,
根据题意可得 ,且 ,
,
即 ,则 ,
又 , .
14.已知数列 满足 ， .
（1）求 , ；
解 因为数列 满足 ，所以将 代入得 .又 ，所以 .将 代入得 ，所以 .
（2）证明数列 是等差数列，并求数列 的通项公式.
证明 将 两边同时除以 ,可
得 ，
化简得 .
又 ,
所以数列 是以1为首项，2为公差的等差数列.
所以 ，
从而 .
C级 学科素养创新练
15.数列 满足 , , 是常数.
（1）当 时，求 及 的值.
解 因为 ,且 ，所以当 时，得 ,故 .从而 .
（2）是否存在实数 使数列 为等差数列？若存在，求出 及数列 的通项公
式；若不存在，请说明理由.
解 不存在.
理由如下：
由 , ,得 , ,
.若存在 ,使 为等差数列，则 ,即
,解得 .于是 ,
.这与 为等差数列矛盾，所以不存在 ,
使 是等差数列.4.4数学归纳法
A级 必备知识基础练
1. [探究点一·2023福建福州检测]用数学归纳法证明“”时,假设时命题成立,则当时,不等式的左边比当时增加的项为( )
A. B.
C. D.
2. ［探究点一］用数学归纳法证明：.从到，若设，则( )
A. B.
C. D.
3. ［探究点一］（多选题）已知一个命题,.若当,2,,时,成立,且当时也成立,则下列判断中正确的是( )
A. 对 成立 B. 对每一个自然数 都成立
C. 对每一个正偶数 都成立 D. 对某些偶数可能不成立
4. ［探究点一］（多选题）对于不等式，某学生的证明过程如下：
①当时，，不等式成立.
②假设时，不等式成立，即，则时，，所以当时，不等式成立.
关于上述证明过程的说法正确的是( )
A. 证明过程全都正确 B. 当 时的验证正确
C. 归纳假设正确 D. 从 到 的推理不正确
5. [探究点五·2023江西新余月考]用数学归纳法证明能被14整除时,当时,对于应变形为.
6. ［探究点四］在数列中，,.
（1） 求出，并猜想的通项公式；
（2） 用数学归纳法证明你的猜想.
7. [探究点三·人教B版教材例题]求证：当是大于或等于5的正整数时，.
8. ［探究点二·北师大版教材习题］平面内有条直线，其中任何两条都不平行，任何三条都不经过同一点，用数学归纳法证明：交点的个数.
B级 关键能力提升练
9. 用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边( )
A. 增加了 B. 增加了
C. 增加了 D. 增加了
10. 利用数学归纳法证明等式:,当时,左边的和,记作,则当时左边的和,记作,则( )
A. B.
C. D.
11. （多选题）设是定义在正整数集上的函数,且满足：当成立时,总有成立.则下列命题总成立的是( )
A. 若 成立,则 成立
B. 若 成立,则当 时,均有 成立
C. 若 成立,则 成立
D. 若 成立,则当 时,均有 成立
12. 用数学归纳法证明“当时,能被8整除”时,第二步“假设当时,能被8整除,证明当时也能被8整除”的过程中,得到,则的表达式为.
13. 是否存在，，使等式对一切都成立？若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论.
14. ［北师大版教材例题］用数学归纳法证明： （其中,）.
15. 已知数列满足，
（1） 求，，并猜想的通项公式；
（2） 用数学归纳法证明猜想.
C级 学科素养创新练
16. 观察下列不等式：,,,,.
（1） 根据这些不等式,归纳出一个关于正整数的命题;
（2） 用数学归纳法证明（1）中得到的命题.
4.4 数学归纳法
A级 必备知识基础练
1. D
[解析]当时,不等式的左边等于,且,当时,不等式的左边等于,当时,不等式的左边比当时增加的项为.
故选.
2. B
[解析]由数学归纳法证明时，从“”到“”的证明，左边需增添的一个因式是，
则.
3. AD
[解析]由题意知对,4,6,,成立,当取其他值时不能确定是否成立,故选.
4. BCD
[解析]的验证及归纳假设都正确，但从到的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求.故选.
5.
[解析]
6. （1） 解
由,，得，.
猜想.
（2） 证明
①当时，，结论成立.
②假设当时，结论成立,即，那么，当时，，结论成立.由①和②可知对任意，都有成立.
7. 证明当时，，，显然,所以此时命题成立.
②假设（其中）时命题成立，即.因为,所以,因此.可知不等式当时也成立.
综上可知，不等式对任何大于或等于5的正整数都成立.
8. 证明当时，两条直线只有一个交点.
而,命题成立.
②假设当时，命题成立，即.那么，当时，第条直线与前条直线均有一个交点，即新增个交点.
即,即当时，命题成立.由①②知，对于原命题成立.
B级 关键能力提升练
9. D
[解析]当时,，当时，，左边增加了.
10. C
[解析]依题意,,则,
.
11. AD
[解析]选项中，若不成立,则,由题意知,与成立矛盾,所以成立,故正确;选项中，若成立,则,即,结合,所以当时,均有成立,故正确;选项中,同选项,应有成立,故错误;不一定成立.所以选.
12.
[解析]因为,.故.
13. 解取,2,3可得
解得，，.
下面用数学归纳法证明.
即证，
①当时，左边，右边，
等式成立；
②假设当时等式成立，即成立，则当时，等式左边，故当时等式成立.
由数学归纳法，综合①②当等式成立，故存在，，使已知等式成立.
14. 证明当时，左边 ,右边 ,命题成立.
②假设当时，命题成立，即 .那么，当时，因为，所以.根据假设知， ,所以.因为，所以 .从而 .这表明，当时命题也成立.根据①和②,该命题对于任意正整数都成立.
15. （1） 解,.猜想：
（2） 下面用数学归纳法证明，
①当时，，显然成立.
②假设当时，猜想成立，即，则当时，,即对时，猜想也成立.结合①②可知，猜想对一切都成立.
C级 学科素养创新练
16. （1） 解
不等式可写为,,,,所以归纳得到命题：
（2） 证明
①当时,易知命题成立;
②假设当,时,命题成立,即,则当时,,即时,命题也成立,由①②可知,.第1课时 等差数列的前项和
A级 必备知识基础练
1. ［探究点一］等差数列的前项和为，且，，则( )
A. 21 B. 15 C. 10 D. 6
2. ［探究点二］已知数列的前项和，则等于( )
A. B. C. D.
3. ［探究点一］在等差数列中,已知,,则使得的最小正整数为( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
4. ［探究点一］已知数列的通项公式为，令,则数列的前10项和( )
A. 70 B. 75 C. 80 D. 85
5. ［探究点一］（多选题）在等差数列中,公差,,,则等于( )
A. B. 3 C. 5 D. 7
6. ［探究点一］记为等差数列的前项和.若,,则.
7. ［探究点二］已知数列的前项和为,求数列的通项公式.
（1） ,;
（2） ,.
B级 关键能力提升练
8. 若公差不为0的等差数列的前21项的和等于前8项的和，且，则正整数的值为( )
A. 20 B. 21 C. 22 D. 23
9. （多选题）已知是等差数列的前项和,则下列选项中可能是所对应的函数的图象的是( )
A.
B.
C.
D.
10. 将数列与的公共项从小到大排列得到数列,则的前项和为.
11. 在,,这三个条件中任选一个,补充在下面问题的题设条件中.
问题：已知等差数列的公差为,满足,.
（1） 求数列的通项公式;
（2） 若数列的前项和,求的值.
C级 学科素养创新练
12. [2023山东烟台检测]已知等差数列的前项和为,公差为,且满足,,则的取值范围是,的取值范围是.
第1课时 等差数列的前 项和
A级 必备知识基础练
1. C
[解析]设等差数列的公差为，
，，，，解得，，则.
2. D
[解析]当时，；当时，,且适合上式，故
3. B
[解析]由,得,则,得, 数列的通项公式为,由,得,即使得的最小正整数为8.故选.
4. B
[解析],
数列是等差数列，首项，其前项和,
, 数列也是等差数列，首项，公差为 其前10项和,故选.
5. AB
[解析]由题意知,①
,②
由①②解得或.
6. 4
[解析]设等差数列的公差为.
,,,即.
.
7. （1） 解由,①
则,②
,得,
又时,满足,
即,
（2） 由,③
则,④
,得,
又时,,不满足,
所以
B级 关键能力提升练
8. C
[解析]设等差数列的前项和为，由题意，得，即.根据等差数列的性质，得,即.故，即.故选.
9. ABC
[解析]因为是等差数列的前项和,所以,为常数,,则其对应函数为.当时,该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点,如选项;当时,该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点,如选项,;选项中的曲线不过原点,不符合题意.
10.
[解析]数列的项均为奇数，数列的所有奇数项均为奇数，所有偶数项均为偶数.并且显然中的所有奇数均能在中找到，所以与的所有公共项就是的所有奇数项，这些项从小到大排列式的新数列为以1为首项，以6为公差的等差数列.所以的前项和为
11. （1） 解因为等差数列的公差为,
又,所以,
选①,则,得,
故,所以;
选②,则由,得,即.
又,
所以,得,
故,所以;
选③,则由,得,又,整理，得.
又,
所以,得,
故,.
（2） 由（1）得,则,解得或（舍去）,所以的值为5.
C级 学科素养创新练
12. ,;,
[解析]因为等差数列满足,,
所以所以,
则的取值范围是,.
,
因为,所以,所以,
所以的取值范围是,.第1课时 等比数列的前项和
A级 必备知识基础练
1. ［探究点一］已知数列的通项公式是,是数列的前项和，则等于( )
A. 10 B. 210 C. D.
2. [探究点一·2023江苏南京鼓楼月考]已知为等比数列的前项和,若,,则( )
A. 15 B. C. D.
3. ［探究点二］已知等比数列中,,则由此数列的奇数项所组成的新数列的前项和为( )
A. B. C. D.
4. ［探究点一］在各项均为正数的等比数列中，，，前项和，则( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
5. ［探究点一］已知等比数列满足：,,则数列的公比;.
6. ［探究点三］数列的通项公式为，则数列的前项和为.
7. ［探究点一］已知等比数列是递减数列，是的前项和，若，是方程的两个根，则公比,.
8. [探究点一·2023湖北武汉月考]在等比数列中,
（1） 已知,公比,求前8项和;
（2） 已知,,求前4项和;
（3） 已知公比,前5项和,求,.
9. ［探究点二］已知数列满足,且.
（1） 求数列的通项公式;
（2） 已知数列满足,,设,若数列为等比数列,求数列的前项和.
B级 关键能力提升练
10. 等比数列的公比为,则数列,,,,,的前项和为( )
A. B. C. D.
11. 已知数列满足,记数列的前项和为,则等于( )
A. B.
C. D.
12. 设,则等于( )
A. B. C. D.
13. 在等比数列中，,,则( )
A. B. 9 C. D. 3
14. 已知等比数列中,,其前项和为,前项积为,且,,则使得成立的正整数的最小值为( )
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
15. （多选题）已知数列的前项和为，，若存在两项，，使得，则( )
A. 数列 为等差数列 B. 数列 为等比数列
C. D. 为定值
16. [2023黑龙江齐齐哈尔月考]已知等比数列的前项和,则.
17. 若等比数列的前项和为,且，则公比等于.
18. 条件①：设数列的前项和为，且,.
条件②：对，有（为常数），，并且,,成等差数列.
在以上两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并作答.
在数列中，.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 记，求的值.
C级 学科素养创新练
19. 已知等比数列的前项和为，公比，，，要使数列为等比数列，则实数 的值为( )
A. B. C. 2 D. 不存在
20. 已知数列,,,,,,,,,,,,,…的前项和为,则.
第1课时 等比数列的前 项和
A级 必备知识基础练
1. D
[解析], 数列是公比为2的等比数列，且.
.
2. C
[解析]设数列的公比为,显然且,由已知,得.所以.故选.
3. B
[解析], 数列是以1为首项,2为公比的等比数列. 由数列的奇数项构成的新数列是以1为首项，4为公比的等比数列， 新数列的前项和为.故选.
4. C
[解析]由题意知且，则，，，解得.
5. ;
[解析],,,解得,则数列的公比或.
6.
[解析]由,得,.两式作差,得.
.
7. ;
[解析]，是方程的两根，且等比数列是递减数列，，，则公比，.
8. （1） 解,公比,
前8项和.
（2） 设等比数列的公比为,
,,
,解得,
前4项和.
（3） 公比,前5项和,
,解得,
.
9. （1） 解数列满足,且,
所以数列是等差数列,且首项为1,公差为2,因此.
（2） 由已知可得,,所以等比数列的公比为,
所以,
所以,
因此.
B级 关键能力提升练
10. C
[解析]依题意得等比数列的通项,
所以,因为,所以数列是首项为,公比为的等比数列,因为,所以,所以数列的前项和为.
11. C
[解析]因为,①
所以有,当,时,有,②
由得,,即,显然当时,也适合式子,
所以
令,所以,因此有.
12. D
[解析],
是以2为首项,4为公比的等比数列的前项的和,
.
13. C
[解析]设等比数列的公比为，则由已知可得
两式相除，得，
即，所以.
14. D
[解析] 等比数列中,,,,则,,
,,,
,, 正整数的最小值为12.故选.
15. BD
[解析]由题意，当时，，解得，当时，，所以，所以，所以数列是以首项，公比的等比数列，，故选项错误，选项正确；数列是以首项，公比的等比数列，所以，故选项错误；
，所以为定值，故选项正确.故选.
16. 9
[解析]当时,,
故 ,等比数列的公比为3.
,
,解得,,
数列是首项为2,公比为3的等比数列,
.
17.
[解析]若,.
,,即,,,
,
或（舍），.
18. （1） 解选条件①，由，得，.
当时，，符合上式， 数列的通项公式为.
选条件②，由知数列是公比为的等比数列，则,，由，得，解得或（舍去）,.
（2） ,,两式相减，得.
.
C级 学科素养创新练
19. B
[解析]由公比，可得，而，.
若数列为等比数列，则有，即，解得，于是，而，故当时，数列为等比数列.
20. 60
[解析]将此数列分组,再分别求和.第一组：,共项;第二组：,共项的和;第三组：,共项的和;…;第组：,共项的和.由,解得,因此前120项之和正好等于前6组之和,.第2课时 等差数列的性质及应用
A级 必备知识基础练
1. [·2023江苏扬州检测]［探究点一］在等差数列中,,则( )
A. 180 B. 45 C. 75 D. 300
2. ［探究点一］已知等差数列的公差为,且,若,则为( )
A. 12 B. 8 C. 6 D. 4
3. ［探究点二］已知数列是等差数列，且，，则等于( )
A. 12 B. 24 C. 16 D. 32
4. ［探究点二］已知等差数列满足,且,则( )
A. 10 B. 9 C. 3 D. 2
5. ［探究点二］（多选题）已知等差数列中,,公差为,若2 021是该数列的一项,则公差不可能是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. ［探究点一］已知数列是等差数列.若,,且,则.
7. ［探究点一］在等差数列中，已知，，，，则的值为.
8. ［探究点三·北师大版教材习题］有一个阶梯教室，共有座位25排，第一排离教室地面高度为,前16排前后两排高度差,从第17排起，前后两排高度差是（含16，17排之间高度差）.求最后一排离教室地面的高度.
B级 关键能力提升练
9. 在公差不为0的等差数列中,,则的值不可能是( )
A. 10 B. 18 C. 22 D. 28
10. 在等差数列中,若,则的值为( )
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
11. 设等差数列的公差为.若数列}为递减数列,则( )
A. B. C. D.
12. 等差数列,满足对任意都有,则.
13. 已知数列是递增的等差数列，且，，则的通项公式为,满足的正整数.
14. 已知中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为，则该数列的首项为.
15. [2023甘肃金昌月考]某商店出售一种儿童玩具，若每天售出件数成递增的等差数列,其中第1天售出10 000件,第21天售出15 000件;价格每天成递减的等差数列,第1天每件100元,第21天每件60元.试求该店第几天收入达到最高？
C级 学科素养创新练
16. 已知是等差数列,且,.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 若从数列中,依次取出第2项、第4项、第6项……第项,按原来的顺序组成一个新数列,试求出的通项公式.
第2课时 等差数列的性质及应用
A级 必备知识基础练
1. A
[解析]是等差数列,,,
.故选.
2. B
[解析]由等差数列性质得,,
,又,,.
3. A
[解析]令，由题意可知，，则等差数列的公差，则，所以，故选.
4. D
[解析]由等差数列的性质知,,则，即，解得.所以,故选.
5. BCD
[解析]由2 021是该数列的一项,即,所以.因为,所以是2 018的约数,故不可能是3,4和5.
6. 18
[解析]设数列的公差为,
,.
,
,.
,即,
解得.
7. 0
[解析]设等差数列的公差为，则，从而.
8. 解前16排离地高度成等差数列，记为,则,公差，，由得;后10排（包括第16排）也成等差数列，记为,则,,得.
所以最后一排离教室地面的高度为.
B级 关键能力提升练
9. C
[解析] 公差不为0的等差数列中,,,,,或,或,或,或,或,或,或,或,或,,或18或24或28或30.故选.
10. C
[解析]设公差为,
,
,,
.
11. D
[解析]设,则,由于}是递减数列,因此,即.是增函数,,,,即,
.
12. 1
[解析]由等差数列的性质可得,,所以.
13. ; 5
[解析]设的公差为.
由条件可得，
解得或（舍去），
因此.
，解得.
14. 3
[解析]设等差数列为,若这组数有个，则,.又,即,所以;若这组数有个,则,.
又,
即,
所以.
综上，该数列的首项为3.
15. 解记每天售出件数构成递增的等差数列,其公差为.记每天每件的价格构成递减的等差数列,其公差为.则,,,,
故,.
故,
.
故,当且仅当,即时,等号成立.故该店第6天收入达到最高.
C级 学科素养创新练
16. （1） 解,
.设公差为,则,
,,
.
（2） ,,,,,.
当时,.
是以4为首项,4为公差的等差数列.
.(共18张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一[·2023江苏扬州检测] ］在等差数列 中,
,则 ( )
A
A.180 B.45 C.75 D.300
[解析] 是等差数列, , ,
.故选A.
2.［探究点一］已知等差数列 的公差为 ,且 ,若
,则 为( )
B
A.12 B.8 C.6 D.4
[解析] 由等差数列性质得, ,
,又 , , .
3.［探究点二］已知数列 是等差数列，且 ， ，则 等于( )
A
A.12 B.24 C.16 D.32
[解析] 令 ，由题意可知 ， ，则等差数列 的公差 ，则 ，所以 ，故选A.
4.［探究点二］已知等差数列 满足 ,且 ,则
( )
D
A.10 B.9 C.3 D.2
[解析] 由等差数列的性质知, ,则 ，即
，解得 .所以 ,故选D.
5.［探究点二］（多选题）已知等差数列 中, ,公差为 ,若2 021是
该数列的一项,则公差 不可能是( )
BCD
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] 由2 021是该数列的一项,即 ,所以 .因为 ,所以 是2 018的约数,故 不可能是3,4和5.
6.［探究点一］已知数列 是等差数列.若 ,
,且 ,则 ____.
18
[解析] 设数列 的公差为 ,
, .
,
, .
,即 ,
解得 .
7.［探究点一］在等差数列 中，已知 ， ， ， ，则
的值为___.
0
[解析] 设等差数列的公差为 ，则 ，从而
.
8.［探究点三·北师大版教材习题］有一个阶梯教室，共有座位25排，第一排离教室地
面高度为 ,前16排前后两排高度差 ,从第17排起，前后两排高度差是
（含16，17排之间高度差）.求最后一排离教室地面的高度.
解 前16排离地高度成等差数列，记为 ,则 ,公差 ， ，由 得 ;后10排（包括第16排）也成等差数列，记为 ,则 , ,得 .
所以最后一排离教室地面的高度为 .
B级 关键能力提升练
9.在公差不为0的等差数列 中, ,则 的值不可能是( )
C
A.10 B.18 C.22 D.28
[解析] 公差不为0的等差数列 中, ,
, , , 或 , 或 , 或
, 或 , 或 , 或 , 或 , 或 ,
或 , , 或18或24或28或30.故选C.
10.在等差数列 中,若 ,则 的值为( )
C
A.14 B.15 C.16 D.17
[解析] 设公差为 ,
,
, ,
.
11.设等差数列 的公差为 .若数列 }为递减数列,则( )
D
A. B. C. D.
[解析] 设 ,则 ,由于 }是递减数列,因此 ,即 . 是增函数, , , ,即 ,
.
12.等差数列 , 满足对任意 都有 ,则 ___.
1
[解析] 由等差数列的性质可得 , ,所以
.
13.已知数列 是递增的等差数列，且 ， ，则 的通项公式为
_ ___________,满足 的正整数 ___.
5
[解析] 设 的公差为 .
由条件可得 ，
解得 或 （舍去），
因此 .
，解得 .
14.已知中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为 ，则该数列的首项为___.
3
[解析] 设等差数列为 ,若这组数有 个，则 ,
.又 ,即 ,所以 ;若
这组数有 个,则 , .
又 ,
即 ,
所以 .
综上，该数列的首项为3.
15.[2023甘肃金昌月考] 某商店出售一种儿童玩具，若每天售出件数成递增的等差数列,其中第1天售出10 000件,第21天售出15 000件;价格每天成递减的等差数列,第1天每件100元,第21天每件60元.试求该店第几天收入达到最高？
解 记每天售出件数构成递增的等差数列 ,其公差为 .记每天每件的价格构成递
减的等差数列 ,其公差为 .则 , , , ,
故 , .
故 ,
.
故 ,当且仅当 ,即 时,等号成立.故该店第6天收入达到最高.
C级 学科素养创新练
16.已知 是等差数列,且 , .
（1）求数列 的通项公式；
解 ,
.设公差为 ,则 ,
, ,
.
（2）若从数列 中,依次取出第2项、第4项、第6项……第 项,按原来的顺序组成
一个新数列 ,试求出 的通项公式.
解 , , , , , .
当 时, .
是以4为首项,4为公差的等差数列.
.(共23张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］在各项都为正数的等比数列 中， ，前3项和 ，则
等于( )
C
A.33 B.72 C.84 D.189
[解析] 设公比为 ,则 ,且 ，得 .因为 ，所以 .故 .
2.［探究点二］已知数列 是等比数列，且公比 不为1， 为数列 的前 项
和，则下列结论一定正确的为( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 若 ，且 为偶数，则有 ， ，此时，A，B，C不成立；根据等比数列的性质也可以得到选项D正确.故选D.
3.［探究点一］已知 是等比数列， 的前 项和，前 项和，前 项和分别
是 ， ， ，则( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 若公比 或虽 但 为奇数时， ， ， 成等比数列，故 ，整理得 ，即 ，若公比 ，且 为偶数时， ,满足此式.故选D.
4.［探究点一］已知一个项数为偶数的等比数列 ，所有项之和为所有偶数项之和
的4倍，前3项之积为64，则 ( )
B
A.11 B.12 C.13 D.14
[解析] 由题意可得所有项之和 是所有偶数项之和的4倍，可知
.设等比数列 的公比为 ，由等比数列的性质可得 ，
, .
又前3项之积 ，解得 ，
.故选B.
5.［探究点一］已知等比数列的首项为 ，前 项和为 ，若 ，则公比
( )
D
A.2 B. C. D.
[解析] 当公比 时， ，不满足题意，当 时， ，
，所以 ，解得 .
6.［探究点一］（多选题）记数列 的前 项和为 ， ，下列四个命题中不
正确的有( )
AC
A.对于 , ，则数列 为等比数列
B.若 （非零常数 ， ， 满足 ， ），则数列 为
等比数列
C.若数列 为等比数列，则 , , , 仍为等比数列
D.设数列 是等比数列，若 ，则 为递增数列
[解析] 若 ，满足对于 , ，但数列 不是等比数列，
故A错误；
对于B，当 时， 且
，当 时，因为 ，则 符合上式，
故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，故B正确；
若数列 为等比数列，当公比 ，且 为偶数时，此时 , ,
, 均为0，不是等比数列，故C错误；
设数列 是等比数列，且公比为 ，若 ，即 ，若
，可得 ，即 ，则 为递增数列；若 ，可得
，即 ，则 为递增数列，故D正确.
7.［探究点一］已知数列 满足 , ,则
_ ___________.
[解析] , ,
, .
又 , ,
数列 的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为2,首项分别为1,2.
.
8.［探究点一］已知等比数列 的各项均为正实数, 为数列 的前 项和,若
, ,则 ____.
15
[解析] 等比数列 的各项均为正实数, 为数列 的前 项和， 由等比数列前 项和的性质,可得 , , 也成等比数列,
,
或 （舍去）.
9.［探究点一］在等比数列 中,若 , ,求 的值.
解 根据题意,若 , ,则 ,则 .
B级 关键能力提升练
10.已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，
，则 ( )
D
A.81 B.24 C. D.
[解析] 由等比数列的性质可得 ，解得 .设等比数列
的公比为 ，则 ，所
以 ，所以 .
11.若数列 满足 ,且 ,则
的值等于( )
D
A.200 B.120 C.110 D.102
[解析] 因为 ,
所以 ,
所以 ,所以数列 是等比数列,公比为10,所以 .
12.等比数列 的首项为2,项数为奇数,其奇数项之和为 ,偶数项之和为 ,这个等比
数列前 项的积为 ,则 的最大值为( )
D
A. B. C.1 D.2
[解析] 设数列 共有 项,由题意得 ,
,因为项数为奇数时, ,即 ,
所以 .所以 ,
故当 或2时, 取最大值2.
13.（多选题）在公比 为整数的等比数列 中， 是数列 的前 项和，若
， ，则下列说法正确的是( )
ABC
A. B.数列 是等比数列
C. D.数列{ 是公差为2的等差数列
[解析] 因为数列 为等比数列，
又 ，所以 .
又 ，所以 或 又公比 为整数，则 选项A
正确；由上可知 ， ， ，
，则数列 是等比数列，即选项B正确；
，即选项C正确；
，即数列{ 是公差为1的等差数列，即
选项D错误.
故选 .
14.已知等比数列 的前 项和为 ，且 ,则 ____.
16
[解析] 当 时， .
因为 ，所以 ，
解得 ，因此 ，于是 .
15.如图,作边长为3的正三角形 的内切圆,在这个圆内作内接
正三角形,然后作新三角形的内切圆……如此下去,前 个内切圆
的面积和为_ _________.
[解析] 根据题意知第一个内切圆的半径为 ,面积为
,第二个内切圆的半径为 ,面积为 这些内切圆的面
积组成一个等比数列,首项为 ,公比为 ,故前 个内切圆的面
积之和为 .
16.已知正项等差数列 的公差不为0， , , 恰好是等比数列 的前三项，
.
（1）求数列 , 的通项公式；
解 设公差为 ，根据题意知 , , , .
, ,
, （ 舍去）.
又 , ,
, .
, , ,
.
（2）记数列 的前 项和为 ，若对任意的 , 恒成立，
求实数 的取值范围.
解 由（1）知 ,公比 .
,
对 恒成立.
,
对 恒成立.
令 , ,当 时， ,当
时， , ,故 .
17.被称为“世界屋脊”的喜马拉雅山的主峰——珠穆朗玛峰，海拔 ，是世界
第一高峰.但一张报纸却不服气，它说：“别看我薄，只有 厚，但假如把我连续
对折30次后，我的厚度就会远远超过珠穆朗玛峰的高度.”你认为这张报纸是不是在吹
牛？你不妨算算看.
解 每次纸对折后的厚度成等比数列，设为 ,公比 .
.
，理论上对折30次后，
.
所以，理论上对折30次后其厚度会远远超过珠穆朗玛峰的高度.
C级 学科素养创新练
18.（多选题）如果有穷数列 , , , , （ 为正整数）满足 ,
, ,即 ,我们称其为“对称数列”.例如,数列1,2,5,2,1
与数列8,4,2,2,4,8都是“对称数列”.设 是项数为 的“对称数列”,且
1,2, , , , 依次为该数列中连续的前 项,则数列 的前100项和 可能
的取值为( )
ABD
A. B.
C. D.
[解析] 由题意知数列 为1,2, , , , , , , , ,2,1.
若 ,则 ,B正确;
若 ,则 ,D正
确;
若 ,则 ,A正确.
故选 .第1课时 等差数列的概念及通项公式
A级 必备知识基础练
1. ［探究点三］（多选题）下列数列中,是等差数列的有( )
A. 4,5,6,7,8, B. 3,0, ,0, , C. 0,0,0,0, D. , , , ,…
2. ［探究点一］在等差数列中，，，则( )
A. 25 B. 28 C. 31 D. 34
3. ［探究点一］在等差数列中,已知,,,则( )
A. 50 B. 49 C. 48 D. 47
4. ［探究点二］在等差数列中,,,若在相邻两项之间各插入一个数,使之成等差数列,则新等差数列的公差为( )
A. B. C. D.
5. ［探究点一］在数列中,,,则是这个数列的( )
A. 第100项 B. 第101项 C. 第102项 D. 第103项
6. ［探究点一］已知为等差数列，若，，则.
7. ［探究点二］已知，，，且，，成等差数列，则.
B级 关键能力提升练
8. 已知等差数列满足，则中一定为零的项是( )
A. B. C. D.
9. 首项为的等差数列,从第10项开始为正数,则公差的取值范围是( )
A. , B. , C. , D. ,
10. 在数列中，,，则( )
A. 121 B. 144 C. 169 D. 196
11. （多选题）数列满足,，则下列说法正确的是( )
A. 数列 是等差数列 B. 数列 有最小项
C. 数列 的通项公式为 D. 数列 为递减数列
12. [2023贵州毕节月考]已知数列是公差为1的等差数列,且,则.
13. 一个直角三角形的三条边的长度成等差数列,则该直角三角形的内角中最小角的余弦值是.
14. 已知数列满足，.
（1） 求,；
（2） 证明数列是等差数列，并求数列的通项公式.
C级 学科素养创新练
15. 数列满足,, 是常数.
（1） 当时，求 及的值.
（2） 是否存在实数 使数列为等差数列？若存在，求出 及数列的通项公式；若不存在，请说明理由.
第1课时 等差数列的概念及通项公式
A级 必备知识基础练
1. ACD
[解析]选项是以4为首项,1为公差的等差数列；选项中后一项减前一项的差不是同一个常数,所以不是等差数列；选项是常数列,所以是等差数列；选项是以为首项,为公差的等差数列.
2. B
[解析]设公差为，因为在等差数列中，，，所以，，
解得,，
所以.
3. A
[解析]设等差数列的公差为,
,,,解得，则,则，解得.
4. B
[解析]设原等差数列的公差为,则,解得,因此新等差数列的公差为.
5. A
[解析]易知,由,两边取倒数可得,即.
数列是等差数列.
又,.
.令,解得.
是这个数列的第100项.
故选.
6.
[解析]设等差数列的公差为,由题意，，解得，，.
7.
[解析]，，，,.,,成等差数列，，
.
.
.
B级 关键能力提升练
8. A
[解析]设等差数列的公差为.
，，可得，，则中一定为零的项是.
9. C
[解析]由题意可知,,
由解得.
10. C
[解析]由得，
因此数列{}为等差数列，
所以，
因为，所以，
解得，所以，.
11. AD
[解析]因为，，
所以，即，所以是首项为1，公差为2的等差数列，故正确.
，则，所以，所以数列为递减数列，故正确，错误.故选.
12.
[解析]因为数列是公差为1的等差数列,且,所以,所以,则.
13.
[解析]设直角三角形的三边长为,,,不妨设,
根据题意可得,且,
,
即,则,
又,.
14. （1） 解
因为数列满足，所以将代入得.又，所以.将代入得，所以.
（2） 证明
将两边同时除以,可得，
化简得.
又,
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.
所以，
从而.
C级 学科素养创新练
15. （1） 解因为,且，所以当时，得,故.从而.
（2） 不存在.
理由如下：
由,,得 ,,.若存在 ,使为等差数列，则,即 ,解得.于是,.这与为等差数列矛盾，所以不存在 ,使是等差数列.(共17张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点二］将一些数排成倒三角形如图所示,其
中第一行各数依次为1,2,3, , ,从第二行起,每
一个数都等于他“肩上”的两个数之和,最后一行只有
一个数 ,则 等于( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 记第 行的第一个数为 ,则 , , ,
, , ,
,即 是以 为首项,1为公差的等差数列.
,
.
又每行比上一行的数字少1个,
最后一行为第2 021行,
.
2.［探究点三］（多选题）设首项为1的数列 的前 项和为 ,已知
,则下列结论正确的是( )
AD
A.数列 为等比数列 B.数列 的通项公式为
C.数列 为等比数列 D.数列 为等比数列
[解析] 因为 ,
所以 .
又 ,所以数列 是首项为2,公比为2的等比数列,故A正确;所以
,则 .
当 时, ,但 ,故B错误;
由 , , 可得 , , ,即 ,故
C错误;由 ,所以 ,故D
正确.
3.［探究点一］已知在数列 中, , ,则数列
的通项公式为_ _______________.
[解析] 由 ,可得 ,
所以 , , , , , .上述各式左右两边分别相乘
得 ,故 .
又 满足上式,所以数列 的通项公式为
4.［探究点二］已知各项均为正数的数列 的首项为1,且前 项和 满足
.试求数列 的通项公式.
解 ,
又 , .
又 , 数列{ }是首项为1,公差为1的等差数列,
,故 .
当 时, .
当 时, 符合上式.
.
5.［探究点四］已知 是数列 的前 项和,且 .
（1）求 的值;
解 因为 ,所以当 时, ,解得 .
（2）若 ,试求数列 的通项公式.
证明 因为 ,
所以当 时, ,
,即 ,所以
,又 ,所以 ,且 ,所以数
列 是以2为首项,2为公比的等比数列,则 .
B级 关键能力提升练
6.在数列 中, ,且满足 ,则数列 的通项公式为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为 ,所以 ,又 ,所以数列 是以
为首项,公差为2的等差数列,所以 ,所以
.
7.已知数列 满足 , .若 ,则数列
的通项公式 等于( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由 ,得 ,所以 ,又 ,所以
数列 是首项为2,公比为2的等比数列,所以 ,所以
.
8.已知在数列 中, ,且 ,则数列 的通项公式为_____
____________.
[解析] , ,即 数列 是公差为3的等差数列.
又 , ,
.
9.在数列 中, , ,求数列 的
通项公式 .
解 由 ,得当 时,
,两式作差得 ,得
,即数列 从第二项起是公比为3的等比数列,且
, ,于是 ,故当 时, .
于是 .
10.设关于 的二次方程 有两根 和 ,且满足
.
（1）试用 表示 ；
解 根据根与系数的关系,得 代入题设条件 ,
得 .
所以 .
（2）求证: 是等比数列；
证明 因为 ,
所以 .
若 ,则方程 ,可化为 ,即 .
此时 ,所以 ,即 .所以数列 是以 为
公比的等比数列.
（3）当 时,求数列 的通项公式.
解 当 时, ,所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列.
所以 ,
所以 , ,
即数列 的通项公式为 ,
C级 学科素养创新练
11.已知有穷数列 的各项均不相等,将 的项由大到小重新排列后相应的项数构
成新数列 ,称 为 的“序数列”,例如：数列 , , 满足 ,则
其“序数列” 为1,3,2.
（1）若数列 的通项公式为 ,写出 的“序数列”;
解 由 ,可得 , , , ,于是
,故 的“序数列”为4,2,1,3.
（2）若项数不少于5项的有穷数列 , 的通项公式分别为 ,
,且 的“序数列”与 的“序数列”相同,求实数 的取值范围;
解 由于 ,则 ,当 时, ,即
, , , , ,于是
,由于 ,且 的“序数列”与
的“序数列”相同,则 ,
由于 , , , ，则
,得 ,当 时，由二次函数的知识可
知 成立,即实数 的取值范围是 .
（3）已知有穷数列 的“序数列”为 ,求证：“ 为等差数列”的充要条件是“
为单调数列”.
证明 必要性：若有穷数列 的“序数列” 为等差数列,
①若 为1,2,3, , , , ,则有穷数列 为递减数列;
②若 为 , , , ,3,2,1,则有穷数列 为递增数列,
所以由①②知,有穷数列 为单调数列.
充分性：由于有穷数列 为单调数列,则①若有穷数列 为递减数列， 为1,2,
3, , , , ,是等差数列;
②若有穷数列 为递增数列,则 为 , , , ,3,2,1,是等差数列,
所以由①②知,“序数列” 为等差数列.
综上,有穷数列 的“序数列” 为等差数列的充要条件是有穷数列 为单调数列.培优课1 求数列的通项
A级 必备知识基础练
1. ［探究点二］将一些数排成倒三角形如图所示,其中第一行各数依次为1,2,3,,,从第二行起,每一个数都等于他“肩上”的两个数之和,最后一行只有一个数,则等于( )
A. B. C. D.
2. ［探究点三］（多选题）设首项为1的数列的前项和为,已知,则下列结论正确的是( )
A. 数列 为等比数列 B. 数列 的通项公式为
C. 数列 为等比数列 D. 数列 为等比数列
3. ［探究点一］已知在数列中,,,则数列的通项公式为.
4. ［探究点二］已知各项均为正数的数列的首项为1,且前项和满足.试求数列的通项公式.
5. ［探究点四］已知是数列的前项和,且.
（1） 求的值;
（2） 若,试求数列的通项公式.
B级 关键能力提升练
6. 在数列中,,且满足,则数列的通项公式为( )
A. B. C. D.
7. 已知数列满足,.若,则数列的通项公式等于( )
A. B. C. D.
8. 已知在数列中,,且,则数列的通项公式为.
9. 在数列中,,,求数列的通项公式.
10. 设关于的二次方程有两根 和 ,且满足.
（1） 试用表示；
（2） 求证:是等比数列；
（3） 当时,求数列的通项公式.
C级 学科素养创新练
11. 已知有穷数列的各项均不相等,将的项由大到小重新排列后相应的项数构成新数列,称为的“序数列”,例如：数列,,满足,则其“序数列”为1,3,2.
（1） 若数列的通项公式为,写出的“序数列”;
（2） 若项数不少于5项的有穷数列,的通项公式分别为,,且的“序数列”与的“序数列”相同,求实数的取值范围;
（3） 已知有穷数列的“序数列”为,求证：“为等差数列”的充要条件是“为单调数列”.
培优课1 求数列的通项
A级 必备知识基础练
1. B
[解析]记第行的第一个数为,则,,,,,,
,即是以为首项,1为公差的等差数列.
,
.
又每行比上一行的数字少1个,
最后一行为第2 021行,
.
2. AD
[解析]因为,
所以.
又,所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,故正确;所以,则.
当时,,但,故错误;
由,,可得,,,即,故错误;由,所以,故正确.
3.
[解析]由,可得,
所以,,,,,.上述各式左右两边分别相乘得,故.
又满足上式,所以数列的通项公式为
4. 解,
又,.
又, 数列{}是首项为1,公差为1的等差数列,
,故.
当时,.
当时,符合上式.
.
5. （1） 解 因为,所以当时,,解得.
（2） 证明 因为,
所以当时,,,即,所以,又,所以,且,所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列,则.
B级 关键能力提升练
6. C
[解析]因为,所以,又,所以数列是以为首项,公差为2的等差数列,所以,所以.
7. C
[解析]由,得,所以,又,所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,所以,所以.
8.
[解析],,即 数列是公差为3的等差数列.
又,,
.
9. 解 由,得当时,,两式作差得,得,即数列从第二项起是公比为3的等比数列,且,,于是,故当时,.
于是.
10. （1） 解 根据根与系数的关系,得代入题设条件,得.
所以.
（2） 证明 因为,
所以.
若,则方程,可化为,即.此时,所以,即.所以数列是以为公比的等比数列.
（3） 解 当时,,所以数列是首项为,公比为的等比数列.
所以,
所以,,
即数列的通项公式为,
C级 学科素养创新练
11. （1） 解 由,可得,,,,于是,故的“序数列”为4,2,1,3.
（2） 解 由于,则,当时,,即,,,,,于是,由于,且的“序数列”与的“序数列”相同,则,
由于,,,，则,得,当时，由二次函数的知识可知成立,即实数的取值范围是.
（3） 证明 必要性：若有穷数列的“序数列”为等差数列,
①若为1,2,3,,,,,则有穷数列为递减数列;
②若为,,,,3,2,1,则有穷数列为递增数列,
所以由①②知,有穷数列为单调数列.
充分性：由于有穷数列为单调数列,则①若有穷数列为递减数列，为1,2,3,,,,,是等差数列;
②若有穷数列为递增数列,则为,,,,3,2,1,是等差数列,
所以由①②知,“序数列”为等差数列.
综上,有穷数列的“序数列”为等差数列的充要条件是有穷数列为单调数列.第2课时 等比数列的性质及应用
A级 必备知识基础练
1. ［探究点一］在等比数列中，，公比，则( )
A. B. 3 C. D. 1
2. ［探究点一］已知等比数列,,则( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
3. ［探究点一］在等比数列中，，，则( )
A. B. C. D. 7
4. ［探究点三］将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都相等,且最后一个单音是第一个单音频率的2倍.已知第十个单音的频率,则与第四个单音的频率最接近的是( )
A. B. C. D.
5. ［探究点一］（多选题）已知数列是等比数列，且,，则的值可能为( )
A. B. 36 C. D.
6. ［探究点一］已知等比数列的各项均为正数，若，则.
7. ［探究点二］等比数列同时满足下列三个条件：；；③三个数,,依次成等差数列.试求数列的通项公式.
8. ［探究点一］设是各项均为正数的等比数列，,,,求.
B级 关键能力提升练
9. 已知数列满足,且,则的值为( )
A. B. C. 5 D.
10. 某工厂去年产值为,计划从今年起10年内每年比上一年产值增长，那么从今年起第( )年这个工厂的产值将超过.
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
11. 在正项等比数列中，，，则数列的前项积中最大的值是( )
A. B. C. D.
12. 已知数列是等比数列，满足，数列是等差数列，且，则( )
A. 24 B. 16 C. 8 D. 4
13. 两个公比均不为1的等比数列，，其前项的乘积分别为，，若,则( )
A. 512 B. 32 C. 8 D. 2
14. [2023江苏扬州检测]（多选题）已知等比数列,则下面式子对任意正整数都成立的是( )
A. B.
C. D.
15. （多选题）已知数列为等比数列,则下列说法正确的是( )
A. 数列 , , 成等比数列
B. 数列 , , 成等比数列
C. 数列 , , 成等比数列
D. 数列 , , 成等比数列
16. 在各项均为正数的等比数列中,已知,,若,则.
17. 已知各项都为正数的等比数列中，，，则满足的最大正整数的值为.
18. 在等比数列中，公比，且满足，.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 设，数列的前项和为，当取最大值时，求的值.
C级 学科素养创新练
19. 某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药片预防，规定每人每天上午8时和晚上8时各服一片．现知该药片每片含药量为220毫克，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的,该药物在人体内的残留量超过380毫克，就将产生副作用.
（1） 某人上午8时第一次服药，问到第二天上午8时服完药后，这种药在他体内还残留多少？
（2） 若人长期服用这种药，这种药会不会对人体产生副作用？说明理由.
第2课时 等比数列的性质及应用
A级 必备知识基础练
1. C
[解析]在等比数列中，，，则.
2. B
[解析]由题意可得,则.故选.
3. B
[解析]在等比数列中，，由，得或（舍去）.由,得.
4. C
[解析]由题意,设十三个单音的频率构成的等比数列的公比为,则,即.
,故与最接近的是.故选.
5. CD
[解析]设的公比为，则，于是，因此，所以.故选.
6. 34
[解析]由得，即.
则.
7. 解 由等比数列的性质知，
所以解得或当时，,所以,这时,,所以,,成等差数列，故.
当时，,,，不符合题意.故通项公式.
8. 解 设数列的公比为,则,,
,
,
,,
.
,
,
,
,
即,
即，
解得.
当时，,,
;
当时，，,
.
B级 关键能力提升练
9. A
[解析],
,
数列是等比数列,公比,
10. C
[解析]设从今年起第年这个工厂的产值为，则,,,.依题意，得，即，解得.
11. A
[解析]依题意，数列是等比数列，
所以，所以.
又因为数列为正项等比数列，所以，所以，令，即，得，因为，所以，数列的前项积中最大，故选.
12. C
[解析] 数列是等比数列，
，又，
.又是等差数列，,
.
13. A
[解析]因为，，所以.
14. BD
[解析]设数列的公比是.
对于,当时,,不符合题意;对于,,符合题意;对于,不一定成立,不符合题意;对于,一定成立,符合题意.故选.
15. BD
[解析]由等比数列知,数列,,不成等比数列,故错误;由于数列,,的每一项都不为0,故由等比数列可得,数列,,成等比数列,故正确;当数列的公比等于时,,故错误;数列,,的每一项都不为零,且,,所以数列,,成等比数列,故正确.故选.
16. 14
[解析]设数列的公比为,由与，可得,.又,因此,所以.
17. 4
[解析]，且，
.
设公比为，则，（舍去）或，即，，
，即，
的最大值为4.
18. （1） 解 ，由等比数列的性质可得，.
，，则对任意的，可得出，.
解得因此，.
（2） ，
则数列为等差数列，可得，
，则，
数列为等差数列，则，由，可得或时，取得最大值.
C级 学科素养创新练
19. （1） 解 设人第次服药后，药在体内的残留量为毫克，则,,,即到第二天上午8时服完药后，这种药在他体内还残留343.2毫克.
（2） 由题意，得,
,
是以为首项，为公比的等比数列，
,
,
,
.
故若人长期服用这种药，这种药不会对人体产生副作用.第2课时 等差数列前项和的性质及应用
A级 必备知识基础练
1. ［探究点一］在等差数列中,是其前项和,,,则( )
A. B. 11 C. 10 D.
2. ［探究点二］已知等差数列的前项和为，,公差,则取得最大值时的值为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. ［探究点一］在等差数列中，前项（为偶数）和为77，其中偶数项之和为44，且，则数列的公差为( )
A. B. 4 C. 6 D.
4. ［探究点一］若表示等差数列的前项和，,则( )
A. B. C. D.
5. ［探究点一、二］（多选题）已知数列是公差不为0的等差数列，前项和为，满足，下列选项正确的有( )
A. B. C. 最小 D.
6. ［探究点一］已知等差数列的前项和为,若,,则.
7. ［探究点二］已知等差数列，若，公差，则使得其前项和取得最小值的正整数的值是.
8. ［探究点三］等差数列满足,,其前项和为.
（1） 求数列的通项公式;
（2） 求的值.
9. ［探究点一、二］设是等差数列的前项和，，.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 求数列的前项和的最值.
从；；中任选一个，补充在上面的问题中并作答.
B级 关键能力提升练
10. 等差数列的前项和为，若，则( )
A. 2 020 B. 1 525 C. 1 515 D. 2 015
11. 在等差数列中，,,是数列的前项和，则满足数列的前项和最大的的值为( )
A. 20 B. 21 C. 20或21 D. 21或22
12. 在等差数列中，其前项和为，,且,则在中( )
A. 最小值是 B. 最小值是 C. 最大值是 D. 最大值是
13. （多选题）设是等差数列，公差为，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是( )
A. B. 与 是 的最大值
C. D.
14. （多选题）已知两个等差数列和的前项和分别为和,且,则使得为整数的正整数可以是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
15. 已知数列的奇数项依次构成公差为的等差数列,偶数项依次构成公差为的等差数列（其中,为整数）,且对任意,都有,若,,且数列的前10项和,则,.
16. 设数列的各项都为正数，其前项和为，已知对任意,是和的等差中项.
（1） 证明：数列为等差数列，并求;
（2） 若,求数列的最大项，并求出取最大值时的值.
17. 在等差数列中,,,求数列的前项和.
C级 学科素养创新练
18. 设数列的前项和为，写出一个同时满足条件①②的等差数列的通项公式.
存在最小值且最小值不等于；
②不存在正整数，使得且.
第2课时 等差数列前 项和的性质及应用
A级 必备知识基础练
1. A
[解析]为等差数列,
为等差数列,首项,设的公差为,则,,
,.
2. A
[解析],，
，抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
当时，取得最大值为.故选.
3. B
[解析]设数列公差为，由题意得等差数列前项中，奇数项之和为33，偶数项之和与奇数项之和的差为11，
所以，即.
又，
所以.
4. C
[解析]由题意，得,,,成等差数列.,,,,.
5. AB
[解析]因为是等差数列，设公差为，由，可得，即，即选项正确，又，即选项正确，当时，则或最小，当时，则或最大，即选项错误，又因为，，所以，即选项错误.故选.
6. 12
[解析]等差数列的前项和为,则,,也成等差数列,即.
,,
,解得.
7. 6或7
[解析]由,且，得，，且，所以,故,且为最小值.
8. （1） 解设等差数列的公差为,
则由题意可知解得
所以.
（2） 当时,.当时,.
故
所以.
9. （1） 解选①：
9. （1） 设等差数列的公差为，
由题设知
解得，，
.
（2） 由（1）知，数列是递增数列，且, 当时，有最小值,无最大值.
选②：（1）设等差数列的公差为，由题设知，
，，
.
（2）由（1）知，数列是递减数列，令，得，故当时，有最大值，无最小值.
选③：（1）设等差数列的公差为，由得，.
（2）由（1）知，数列是递减数列，令，得.故当或时，有最大值,无最小值.
B级 关键能力提升练
10. C
[解析]，
，
11. C
[解析]设等差数列的公差为，因为是等差数列，所以也是等差数列，公差为，由,，可得，则，所以,,所以.
可得当,时，；当时，；当,时，，所以当或时，数列的前项和取得最大值.故选.
12. A
[解析]由，得,
即.而,所以.
因为，所以,即.由于，因此数列是递增数列，所以,，所以,,所以在中最小值是.
13. ABD
[解析]由,得，由，得，由，得，，故，正确；而选项，即，可得，由结论，，显然错误；，，与均为的最大值，故正确.故选.
14. ABC
[解析].
当,2,3,5,11时,为整数,即当,2,3,5,11时,为整数.故选.
15. 3; 11
[解析]由题意知,,故.
对任意,都有,
,
即,取时,可得,结合可解得,.
又,为整数，.
.
16. （1） 证明
由已知，得，且.当时，，解得.当时，.所以,即,即.因为,所以.故数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以.
（2） 解由（1）可知.设,则.因为,所以当或时，的最大项为6.故的最大项为6，此时或.
17. 解等差数列的公差为,故通项公式为.令,即,解得,即数列的前21项是非负数,从第22项开始都是负数.设,分别表示数列与数列的前项和,则.当时,；当时,.
由,得.故
C级 学科素养创新练
18. 解因为等差数列的前项和为，其对应函数的图象为一抛物线，对称轴为，若存在最小值且最小值不等于，则，且，整理得.又因为不存在正整数，使得且，则连续两项取得最小值，令，所以，所以.令，，则有，令，则为一个符合题意的通项公式.故答案为（不唯一）.(共16张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］已知在数列 中, , ,则 的值为( )
D
A.5 B.6 C.7 D.8
[解析] 因为 , ,所以 , , .
2.［探究点三］已知数列 的前 项和 ，则 的值等于( )
D
A. B. C. D.
[解析] .故选D.
3.［探究点三］已知数列 的前 项和 ，则 ( )
B
A.52 B.68 C.96 D.108
[解析] 由题意，可得当 时，
，所以
.
4.［探究点二］已知 , ,则数列 的通项公式是
( )
D
A. B. C. D.
[解析] （方法1 构造法）
由已知整理，得 , , 数列 是常数列，且
, .
（方法2 累乘法）
当 时, , , , , ,这 个式子两边分别相乘，
得 , .
当 时, 也成立,
所以 .
5.［探究点一］（多选题）已知数列 满足 , ,
,则下列结论正确的是( )
BCD
A. B.
C. D.
[解析] , , ,
, , ,
, ,
是周期数列,周期为6,
,A不正确; ,B正确; ,C正确;
,D正确.
6.［探究点一］若数列 满足 ,且 ,则 _ __.
[解析] ,
,解得 ,
又 ,解得 .
7.［探究点二］根据下列条件,写出数列的前四项,并归纳猜想它的通项公式.
（1） , ;
解 , , , .
猜想
（2） , ;
解 , , , .
猜想
（3） , .
解 , , , .
猜想
B级 关键能力提升练
8.已知数列 ， , ，则 ( )
A
A. B.3 C. D.
[解析] 由题意，可知: ，
,
,
,
, …
数列 是一个以3为最小正周期的周期数列. ，
.
9.在数列 中， ，对所有的 ，都有 ，则 等于
( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题意 ， ， ， ，
则 ， .故 .
10.设 是首项为1的正项数列,且 ,则它的
通项公式 _ _.
[解析] 把 分解因式,得
.
,
, ,
, , .
又 , .
又 也适合上式, ,
11.已知数列 满足 ,且 ,则数列 的最大项是____.
[解析] 因为 ,且 ,所以 ,所以 ,所以
,所以此数列为递减数列,故最大项为 .
12.已知数列 满足
若 ,试求 .
解 ,
,
, .
数列 是周期数列,且周期为3.
.
C级 学科素养创新练
13.在数列 中， ，
则 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得 ， ， ，
， ， ， ，则数列 是以4为周期的数
列，故 .
14.已知数列 , , , , 的法则如下:若 为自然数,则
,否则 ,则 ___.
1
[解析] 是自然数,
.
不是自然数,
.
是自然数, .
是自然数,
.
不是自然数,
.(共18张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则
( )
C
A.21 B.15 C.10 D.6
[解析] 设等差数列 的公差为 ，
， ， ， ，解得 ， ，
则 .
2.［探究点二］已知数列 的前 项和 ，则 等于( )
D
A. B. C. D.
[解析] 当 时， ；当 时， ,且 适合上式，故
3.［探究点一］在等差数列 中,已知 , ,则使得 的最小正整
数 为( )
B
A.7 B.8 C.9 D.10
[解析] 由 ,得 ,则 ,得 , 数列
的通项公式为 ,由 ,得 ,即使得
的最小正整数 为8.故选B.
4.［探究点一］已知数列 的通项公式为 ，令
,则数列 的前10项和 ( )
B
A.70 B.75 C.80 D.85
[解析] ,
数列 是等差数列，首项 ，其前 项和
,
, 数列 也是等差数列，首项 ，公差为 其前10
项和 ,故选B.
5.［探究点一］（多选题）在等差数列 中,公差 , , ,则 等于
( )
AB
A. B.3 C.5 D.7
[解析] 由题意知 ,①
,②
由①②解得 或 .
6.［探究点一］记 为等差数列 的前 项和.若 , ,则 ___.
4
[解析] 设等差数列 的公差为 .
, , ,即 .
.
7.［探究点二］已知数列 的前 项和为 ,求数列 的通项公式.
（1） , ;
解 由 ,①
则 ,②
,得 ,
又 时, 满足 ,
即 ,
（2） , .
解 由 ,③
则 ,④
,得 ,
又 时, ,不满足 ,
所以
B级 关键能力提升练
8.若公差不为0的等差数列 的前21项的和等于前8项的和，且 ，则正整
数 的值为( )
C
A.20 B.21 C.22 D.23
[解析] 设等差数列 的前 项和为 ，由题意，得 ，即 .根据等差数列的性质，得 ,即 .故 ，即 .故选C.
9.（多选题）已知 是等差数列 的前 项和,则下列选项中可能是 所对应的函
数的图象的是( )
ABC
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 因为 是等差数列 的前 项和,所以 , 为常数, ,则其对应函数为 .当 时,该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点,如选项C;当 时,该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点,如选项A,B;选项D中的曲线不过原点,不符合题意.
10.将数列 与 的公共项从小到大排列得到数列 ,则 的前 项
和为_ ________.
[解析] 数列 的项均为奇数，数列 的所有奇数项均为奇数，所有偶数
项均为偶数.并且显然 中的所有奇数均能在 中找到，所以
与 的所有公共项就是 的所有奇数项，这些项从小到大排列式的新数
列 为以1为首项，以6为公差的等差数列.所以 的前 项和为
11.在 , , 这三个条件中任选一个,补充在
下面问题的题设条件中.
问题：已知等差数列 的公差为 ,满足 ,____.
（1）求数列 的通项公式;
解 因为等差数列 的公差为 ,
又 ,所以 ,
选①,则 ,得 ,
故 ,所以 ;
选②,则由 ,得 ,即 .
又 ,
所以 ,得 ,
故 ,所以 ;
选③,则由 ,得 ,又 ,整理，得
.
又 ,
所以 ,得 ,
故 , .
（2）若数列 的前 项和 ,求 的值.
解 由（1）得 ,则 ,解得 或 （舍
去）,所以 的值为5.
C级 学科素养创新练
12.[2023山东烟台检测] 已知等差数列 的前 项和为 ,公差为 ,且满足 ,
,则 的取值范围是__________, 的取值范围是______.
,
,
[解析] 因为等差数列 满足 , ,
所以 所以 ,
则 的取值范围是 , .
,
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 的取值范围是 , .培优课2 数列的求和
A级 必备知识基础练
1. ［探究点一］数列1,,,,,的第100项为( )
A. B. C. D.
2. ［探究点四］若数列的通项公式是，则它的前100项和( )
A. 150 B. 120 C. D.
3. ［探究点二］已知数列的前项和为,若,则等于( )
A. B. C. D.
4. ［探究点五］设函数,则的值为( )
A. 9 B. 11 C. D.
5. [探究点一·2023江苏徐州检测]（多选题）已知数列是等比数列,则下列结论正确的是( )
A. 若公比 , ,则数列 的前10项和为
B. 若 ,则
C. 若公比 , ,则
D. 若数列 的前 项和 ,则
6. ［探究点二］（多选题）设等差数列满足,,公差为,则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 的前 项和为
7. ［探究点四］.
8. ［探究点六］已知在数列中，，前项和为，则.
9. ［探究点三］已知表示不超过的最大整数，例如：，.在数列中，，.记为数列的前项和，则.
10. ［探究点一］已知等差数列满足，.
（1） 求的通项公式；
（2） 若，求数列的前项和.
11. ［探究点二］已知等差数列的前项和满足,
（1） 求的通项公式;
（2） 求数列的前项和.
B级 关键能力提升练
12. 已知数列的前项和为,,当时,,则的值为( )
A. 1 008 B. 1 009 C. 1 010 D. 1 011
13. 数列满足，数列的前项和为，则等于( )
A. B. C. D.
14. 如图,正方形的边长为,取正方形各边的中点,,,作第二个正方形,然后再取正方形的各边的中点,,,作第三个正方形,依此方法一直继续下去,记第一个正方形的面积为,第二个正方形的面积为,,第个正方形的面积为,则前6个正方形的面积之和为( )
A. 31 B. C. 32 D.
15. （多选题）已知数列为等差数列，，且，，是一个等比数列中的相邻三项，记,且，则的前项和可以是( )
A. B.
C. D.
16. （多选题）已知数列是等差数列，是等比数列，，，，.记数列的前项和为，则( )
A. B.
C. D.
17. （多选题）在数列中，若，则称为“和等比数列”.设为数列的前项和，且，则下列对“和等比数列”的判断中正确的有( )
A. B.
C. D.
18. 设是数列的前项和,且,,,则.
19. 已知函数，则当时，,的值为.
20. 已知数列的前项和为，而,是数列的前项和，则使得对所有都成立的最小正整数等于.
21. 已知递增数列的前项和为，且满足.
（1） 求及数列的通项公式；
（2） 设求数列的前20项和.
C级 学科素养创新练
22. 已知数列满足,其中,.
（1） 当,时,
① 求,;
② 求.
（2） 设集合,,,,，是否存在实数,,使1,6,都属于？若存在,请求出实数和;若不存在,请说明理由.
培优课2 数列的求和
A级 必备知识基础练
1. B
[解析]设数列为，，.
2. A
[解析]
3. D
[解析]因为,所以.
4. B
[解析],,
设,
则,两式相加得,因此.
5. AC
[解析]选项,由,,知,所以数列的前10项和,即正确;
选项,若,则,即,所以,所以,即错误;
选项,因为数列是公比为2的等比数列,所以数列,,,,是公比为4的等比数列,设,则,所以,即正确;
选项,设数列的公比为,显然,,所以,,即错误.
故选.
6. ABD
[解析]是等差数列,
,解得.又,,.故,正确.
,故错误.
的前项和为.故正确.
7.
[解析]
8.
[解析],，
两式相减得，.
9. 4 962
[解析]当时，；当时，，此区间所有项的和为90;
当时，，此区间所有项的和为;
当时，，此区间所有项的和为;所以.
10. （1） 解设数列的公差为，
则由，,
得解得
所以的通项公式为.
（2） 由（1）可知.
当且时，；当时，，则.
所以
11. （1） 解设的公差为,则.
由已知可得解得
故的通项公式为.
（2） 由（1）知,
从而数列的前项和为.
B级 关键能力提升练
12. D
[解析]由题意,当时,可得,因为,所以,即,当时,,式子与左、右两边分别相减,可得,即,所以,,,,所以.
13. B
[解析]因为数列满足，，两式相减得，
则，又满足，
所以，
因此.
14. B
[解析]数列是首项,公比的等比数列.设前6个正方形的面积之和为,则.故选.
15. BD
[解析]设等差数列的公差为,又,且,,是一个等比数列中的相邻三项,所以,即,化简得,所以或,故或,所以或.设的前项和为,
（1）当时,；
（2）当时,
,①
,②
,得,所以.故选.
16. ABD
[解析]设数列的公差为，数列的公比为，依题意有得故，，故，正确；则，，所以数列的前项和，，故错误，正确.
17. AC
[解析],,因为，所以，两式相减得，所以，故正确，错误；
，故正确，错误.故选.
18.
[解析]因为,
所以,
所以,
所以.又,
所以数列是以3为首项,2为公差的等差数列,所以,
所以,所以,所以.
19. 2; 2 020
[解析]函数，由，得，所以，所以当时，，令，
所以，
故.
20. 10
[解析]由,得,
.
,
要使对成立，需有,即,
故符合条件的最小正整数为10.
21. （1） 解当时，,解得.当时，,,解得或.因为为递增数列，所以,是首项为1，公差为1的等差数列，所以.
（2） 由题意，
知
所以.
C级 学科素养创新练
22. （1） ① 解由题意可得,
② 由题意可得,当时,;当时,,且当时,,当时,,.
（2） ,,,,令,则,,,,}.
,6,都属于集合, 存在三个不同的整数,使得
,,其中,,.
取，,，
,,,
解得(共26张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］在等比数列 中, , ,则 的值为( )
B
A.9 B.27 C.81 D.243
[解析] 设等比数列 的公比为 ,由 ,得 ,所以 .故选B.
2.[探究点一·2023福建福州月考] 在数列 中, ,且 ,则
( )
B
A. B. C. D.
[解析] , ,
, 数列 是首项为 ,公比为 的等比数列,
.
故选B.
3.[探究点三·2023广东佛山月考] （多选题）已知函数 ,则下列说法正确的
是( )
ABC
A. , , 成等差数列 B. , , 成等差数列
C. , , 成等比数列 D. , , 成等比数列
[解析] 根据题意,依次分析选项.
对于A, , , ,则有 ,A
正确;
对于B, , , ,则有
,B正确;
对于C, , , ,则 , ,
成等比数列,C正确;
对于D, , ,
, , , 不成等比数列,D错误.
故选 .
4.［探究点三］（多选题）设 为等比数列，给出四个数列： ； ；
；④{ .其中一定为等比数列的是( )
AB
A.① B.② C.③ D.④
[解析] 设等比数列 的公比为 ，则 ，故 是等比数列；
，故 是等比数列；取等比数列 ，则 的前三
项为 ，2， ，不成等比数列；此时 ， 不成等比数列.故选
.
5.［探究点二］在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数
依次为___________.
80,40,20,10
[解析] 解析设这6个数所成等比数列的公比为 ，
则 ， ， .
这4个数依次为80,40,20,10.
6.［探究点一］在数列 中，已知 ，且对任意正整数 都有 ，
则 _ _________.
[解析] 由 ,得 ,所以数列 是等比数列，公比为 .
因为 ，所以 .
7.［探究点二］在等比数列 中，若 ,公比 ,则 与 的等比中项是_____.
[解析] 依题意，得 ,而 与 的等比中项是 ，故 与
的等比中项是 .
8.［探究点四］已知数列 满足 ,且 , 且 .
求使数列 是等比数列的 的值.
解 若数列 是等比数列，
则 （ 为非零常数）,即 ,对于任意 恒
成立，则 解得 .故当 时，数列 是等比数列.
9.［探究点四］已知在数列 中， 且 .
（1）求证：数列 为等比数列；
证明 ,
,
, 为等比数列，
首项为 ，公比为3.
（2）求数列 的通项公式.
解 由（1）得， ,
.
B级 关键能力提升练
10.已知数列 是等比数列,则方程组 的解的情况为( )
C
A.唯一解 B.无解 C.无数多组解 D.不能确定
[解析] 由题意,数列 是等比数列,可得 ,所以直线 与
重合,所以方程组 有无数组解.
11.数列 中， ， ，则 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由于 , ，有 ，且 .令 ，则
，即数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，
故 .
12.在数列 中，对任意 ，都有 ，则 ( )
A
A. B. C. D.1
[解析] 由 得 ，即数列 是以2为公比的等比数列，则
.
13.（多选题）已知 为等比数列，下列结论正确的是( )
ABD
A.若 ，则 B.
C.若 ，则 D.若 ，则
[解析] 若 ,则 ，当 时，等号成立，
故A正确；因为 ，当 时，等号成立，故B正确；设等
比数列的公比为 ，因为 ，所以 ，所以 ，当
时， ，故C错误；设等比数列的公比为 ，则 ，因为 ，所
以 ，即 ，故D正确.故选 .
14.已知一个等比数列的各项均为正数，且它的任何一项都等于它后两项的和，则它的
公比 _ _____.
[解析] 依题意，得 ，所以 .因为 ，所以
，解得 .
15.若数列 , , , , ,…是首项为1,公比为 的等比数列,则 ____.
32
[解析] 由题意,得 ,所以 , ,
, ,将上面的四个式子两边分别相乘,得
.又 ,所以 .
16.已知数列 满足 ， ，若 ，则数列 的通项公式
为 _ _____.
[解析] 因为 ，所以 ，所以 ，
而 ，且 .
所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 .
17.已知数列 的前 项和 ,
（1）求证： 是等比数列,并求出其通项公式;
证明 ,
, ,
.由已知及上式可知 .
由 知 是等比数列.
由 ,得 ,
.
（2）设 ,求证:数列 是等比数列.
证明 由（1）知, ,
.
.
数列 是等比数列.
18.已知数列 和 满足： ， ，
，其中 为实数， 为正整数.
（1）对任意实数 ，证明数列 不是等比数列；
证明 假设存在一个实数 ，使 是等比数列，则有 ，
即 ，矛盾.所以
不是等比数列.
（2）试判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论.
解 是等比数列，证明如下：
因为 ,
又 ，所以当 时， ，此时 不是等比数列；
当 时， ，由上可知 ，所以 .故
当 时，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
C级 学科素养创新练
19.（多选题）在数列 中，如果对任意 都有 （ 为常数），
则称 为等差比数列， 称为公差比.下列说法正确的是( )
BCD
A.等差数列一定是等差比数列
B.等差比数列的公差比一定不为0
C.若 ，则数列 是等差比数列
D.若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比
[解析] 对于等差数列 ，考虑 , , ， 无意义，所
以A选项错误；若等差比数列的公差比为0， , ，则
,与题目矛盾，所以B选项正确；若 ，则 ，
数列 是等差比数列，所以C选项正确；若等比数列是等差比数列，则
, ， ，所以D选项正确.
20.在数列 中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列,记为 ,再在数
列 中插入适当的项,使它们一起能构成一个首项为1,公比为3的等比数列 .若
,则数列 中第 项前（不含 ）插入的项的和最小为( )
C
A.30 B.91 C.273 D.820
[解析] 等比数列 首项为1,公比为3,故其通项公式为 .令 ,
可得 ,可得 .数列 的前6项为1,3,9,27,81,243,其中1,9,81为数列
中的项,而3,27,243不是数列 的项,所以插入的项的和最小为
.故选C.(共26张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点三］数列 中，若 ，则 ( )
B
A. B. C. D.8
[解析] 由 可知 ，即 ，所以 .
2.［探究点三］已知数列 , , , , , ,它的第5项的值为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 第5项为 .
3.［探究点三］已知数列的通项公式 则 等于( )
C
A.70 B.28 C.20 D.8
[解析] 由 得 .
4.［探究点三］数列2， ，8， ， ， ， 的第 项为
( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由数列可知奇数项为正数，偶数项为负数，即可表示为 ，又首项为2，
故数列的通项公式为 ，所以第 项为
.
5.[探究点二·2023陕西西安检测] 数列 ,4, ,8, 的通项公式可能为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 数列 ,4, ,8, 的奇数项为负,偶数项为正,且均为2的倍数,故 . 故选B.
6.［探究点二、三］（多选题）已知数列 ,2, , , ,则下列说法正确的是
( )
AB
A.此数列的通项公式是 B.8是它的第32项
C.此数列的通项公式是 D.8是它的第4项
[解析] 数列 ,2, , , ,即 , , , , ,则此数列的通项公式为 ,故A正确,C错误;令 ,解得 ,故8是它的第32项,故B正确,D错误.故选 .
7.［探究点一］（多选题）下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( )
CD
A.1, , , , , ,… B. , , , , ,…
C. , , , , , ,… D.1, , , , ,…
[解析] 选项C,D既是无穷数列又是递增数列.
8.［探究点四（角度 ）］已知数列 的通项公式为 ,则使
成立的正整数 的最大值为_____.
673
[解析] 由 ,得 ,
又因为 ,所以正整数 的最大值为673.
9.［探究点三］已知数列 的通项公式,写出这个数列的前5项,并作出它的图象：
（1） ;
（2）
解 列表法给出这两个数列的前5项：
1 2 3 4 5
2 2 2 2 2
1 3 5
它们的图象分别为
10.［探究点二］写出以下各数列的一个通项公式.
（1）1, , , ,….
解 ;
（2）10,9,8,7,6, .
解 ;
（3）2,5,10,17,26, .
解 ;
（4） , , , , ,….
解 ;
（5）3,33,333, , .
解 .
11.［探究点三］已知数列 , ,且 , .
（1）求 .
解 由已知,
得 解得 所以 ,所以
.
（2）150是不是该数列中的项？若是,是第几项？
解 令 ,解得 （ 舍去）,所以150是该数列中的
项,并且是第16项.
B级 关键能力提升练
12.设 ,则 等于( )
C
A. B. C. D.
[解析] , .
13.若数列 的通项公式为 ，则数列 的各项中最大项是( )
C
A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项
[解析] 因为 ，且 ，所以当
时， 的值最大，即最大项是第6项.
14.（多选题）已知数列 的前4项依次为2，0，2，0，则数列 的通项公式可以
是( )
ABC
A. B.
C. D.
[解析]
， ， ， ，故A正确；
， ， ，
， ，故B正确；
， ， ，
， ，故C正确；
，故D错误.故选 .
15.[2023湖南长沙月考] 数列 的通项公式 若 是递增
数列,则实数 的取值范围是( )
A
A. B. , C. , D.
[解析] 因为数列 的通项公式 若 是递增数列,
则 解得 .故选A.
16.已知数列 的通项公式为 ，若数列 为递减数列，则实数 的取值
范围为_ _______.
[解析] 由数列 为递减数列可知 对 恒成立，即 ，
因此 ，即 ，因为 ，
所以 （ 时等号成立），即 的最大值为0，所以 .
17.函数 的最小值记为 ，设 ，则数列
， 的通项公式分别是 _ _____， ____________.
[解析] 当 时， ，即 ；将 代入 得， .
18.已知数列 的通项公式为 .
（1）0和1是不是数列 中的项？如果是，那么是第几项？
解 令 ，得 ， 或 （舍去）， 是数列 中的
第21项.令 ，得 ，而该方程无正整数解， 不是数列 中的项.
（2）数列 中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？
解 假设存在连续且相等的两项是 ， ，则有 ，即
.
解得 ， 存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项.
C级 学科素养创新练
19.1766年,德国有一位名叫提丢斯的数学老师,把数列0,3,6,12,24,48,96, ,经过一定的规
律变化,得到新数列： , ,1, , , ,10, ,科学家发现,新数列的各项恰好为太
阳系行星与太阳的平均距离,并据此发现了“天王星”“谷神星”等天体,这个新数列就是著
名的“提丢斯—波得定则”.根据规律,新数列的第8项为( )
C
A.14.8 B.19.2 C.19.6 D.20.4
[解析] ,3,6,12,24,48,96的规律是从第三项起,每一项是前一项的两倍,故该数列的第8
项是192.新数列 , ,1, , , ,10, 的规律是原数列的每一项加4,再除以10,
计算即可.
20.若数列 的通项公式为 ，则这个数列中的最大项是( )
C
A.第43项 B.第44项 C.第45项 D.第46项
[解析] 设 ，则 ，又由 ，当
且仅当 时，等号成立，则当 时， 取得最小值，此时
取得最大值，而 ， ，则数
列中的最大项是第45项.
21.在数列 中, .
（1）求数列的第7项.
解 .
（2）求证:此数列的各项都在区间 内.
证明 ,
,
故数列的各项都在区间 内.
（3）区间 内有没有数列中的项？若有,有几项？
解 令 ,则 , ,故 ,即在区间 内有且只有1项 .(共25张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］在等差数列 中, 是其前 项和, , ,则
( )
A
A. B.11 C.10 D.
[解析] 为等差数列,
为等差数列,首项 ,设 的公差为 ,则 ,
,
, .
2.［探究点二］已知等差数列 的前 项和为 ， ,公差 ,则 取得
最大值时 的值为( )
A
A.3 B.4 C.5 D.6
[解析] , ，
，抛物线 的对称轴为直线 ，且开口向下，
当 时， 取得最大值为 .故选A.
3.［探究点一］在等差数列 中，前 项（ 为偶数）和为77，其中偶数项之和为
44，且 ，则数列 的公差为( )
B
A. B.4 C.6 D.
[解析] 设数列 公差为 ，由题意得等差数列 前 项中，奇数项之和为33，
偶数项之和与奇数项之和的差为11，
所以 ，即 .
又 ，
所以 .
4.［探究点一］若 表示等差数列 的前 项和， ,则 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题意，得 , , , 成等差数列. ,
, , , .
5.［探究点一、二］（多选题）已知数列 是公差不为0的等差数列，前 项和为
，满足 ，下列选项正确的有( )
AB
A. B. C. 最小 D.
[解析] 因为 是等差数列，设公差为 ，由 ，可得 ，
即 ，即选项A正确，又 ，
即选项B正确，当 时，则 或 最小，当 时，则 或 最大，即选
项C错误，又因为 ， ，所以 ，即选项D错误.故选
.
6.［探究点一］已知等差数列 的前 项和为 ,若 , ,则 ____.
12
[解析] 等差数列 的前 项和为 ,则 , , 也成等差数列,即 .
, ,
,解得 .
7.［探究点二］已知等差数列 ，若 ，公差 ，则使得其前 项和
取得最小值的正整数 的值是______.
6或7
[解析] 由 ,且 ，得 ， ，且 ，所以 ,故 ,且为最小值.
8.［探究点三］等差数列 满足 , ,其前 项和为 .
（1）求数列 的通项公式;
解 设等差数列 的公差为 ,
则由题意可知 解得
所以 .
（2）求 的值.
解 当 时,
.当
时, .
故
所以 .
9.［探究点一、二］设 是等差数列 的前 项和， ，____.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 的最值.
从 ； ； 中任选一个，补充在上面的问题中并作答.
（2） 由（1）知 ，数列 是递增数列，且 , 当 时，
有最小值 , 无最大值.
选②：（1）设等差数列 的公差为 ，由题设知 ，
， ，
.
解 选①：
（1） 设等差数列 的公差为 ，
由题设知
解得 ， ， .
选③：（1）设等差数列 的公差为 ，由 得 ，
.
（2）由（1）知 ，数列 是递减数列，令 ，得 .故当
或 时， 有最大值 , 无最小值.
（2）由（1）知 ，数列 是递减数列，令 ，得 ，故当
时， 有最大值 ， 无最小值.
B级 关键能力提升练
10.等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ( )
C
A.2 020 B.1 525 C.1 515 D.2 015
[解析] ，
，
11.在等差数列 中， , , 是数列 的前 项和，则满足数列
的前 项和最大的 的值为( )
C
A.20 B.21 C.20或21 D.21或22
[解析] 设等差数列 的公差为 ，因为 是等差数列，所以 也是等差数列，
公差为 ，由 , ，可得 ，则 ，
所以 , ,所以 .
可得当 , 时， ；当 时， ；当 ,
时， ，所以当 或 时，数列 的前 项和取得最大值.故选C.
12.在等差数列 中，其前 项和为 ， ,且 ,则
在 中( )
A
A.最小值是 B.最小值是 C.最大值是 D.最大值是
[解析] 由 ，得 ,
即 .而 ,所以 .
因为 ，所以 ,即 .由于 ，因此数列 是递增
数列，所以 , ，所以 , ,所以在 中最小值是 .
13.（多选题）设 是等差数列，公差为 ， 是其前 项的和，且 ，
，则下列结论正确的是( )
ABD
A. B. 与 是 的最大值
C. D.
[解析] 由 ,得 ，由 ，得 ，由
，得 ， ，故A，D正确；而C选项 ，即
，可得 ，由结论 ， ，显然C错
误； ， ， 与 均为 的最大值，故B正确.故选 .
14.（多选题）已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ,且 ,
则使得 为整数的正整数 可以是( )
ABC
A.1 B.2 C.3 D.6
[解析] .
当 ,2,3,5,11时, 为整数,即当 ,2,3,5,11时, 为整数.故选 .
15.已知数列 的奇数项依次构成公差为 的等差数列,偶数项依次构成公差为 的
等差数列（其中 , 为整数）,且对任意 ,都有 ,若 , ,且
数列 的前10项和 ,则 ___, ____.
3
11
[解析] 由题意知, ,故 .
对任意 ,都有 ,
,
即 ,取 时,可得
,结合 可解得 , .
又 , 为整数， .
.
16.设数列 的各项都为正数，其前 项和为 ，已知对任意 , 是 和
的等差中项.
（1）证明：数列 为等差数列，并求 ;
证明 由已知，得 ，且 .当 时， ，解得
.当 时， .所以 ,
即 ,即 .因为
,所以 .故数列 是首项为1，公差为1的等差数
列，所以 .
（2）若 ,求数列 的最大项，并求出取最大值时 的值.
解 由（1）可知 .设 ,则
.因为 ,所以当 或
时， 的最大项为6.故 的最大项为6，此时 或 .
17.在等差数列 中, , ,求数列 的前 项和.
解 等差数列 的公差为 ,故通项公式为
.令 ,即 ,解得
,即数列的前21项是非负数,从第22项开始都是负数.设 , 分别表示数列
与数列 的前 项和,则 .当 时,
；当 时, .
由 ,得
.故
C级 学科素养创新练
18.设数列 的前 项和为 ，写出一个同时满足条件①②的等差数列 的通项公式.
存在最小值且最小值不等于 ；
②不存在正整数 ，使得 且 .
解 因为等差数列 的前 项和为 ，其对应
函数的图象为一抛物线，对称轴为 ，若 存在最小值且最小值不等于 ，则
，且 ，整理得 .又因为不存在正整数 ，使得 且
，则连续两项取得最小值，令 ，所以 ，所
以 .令 ， ，则有 ，令 ，则
为一个符合题意的通项公式.故答案为 （不唯一）.第2课时 等比数列前项和的性质及应用
A级 必备知识基础练
1. ［探究点一］在各项都为正数的等比数列中，，前3项和，则等于( )
A. 33 B. 72 C. 84 D. 189
2. ［探究点二］已知数列是等比数列，且公比不为1，为数列的前项和，则下列结论一定正确的为( )
A.
B.
C.
D.
3. ［探究点一］已知是等比数列，的前项和，前项和，前项和分别是，，，则( )
A. B.
C. D.
4. ［探究点一］已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则( )
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
5. ［探究点一］已知等比数列的首项为，前项和为，若，则公比( )
A. 2 B. C. D.
6. ［探究点一］（多选题）记数列的前项和为，，下列四个命题中不正确的有( )
A. 对于 , ，则数列 为等比数列
B. 若 （非零常数 ， ， 满足 ， ），则数列 为等比数列
C. 若数列 为等比数列，则 , , , 仍为等比数列
D. 设数列 是等比数列，若 ，则 为递增数列
7. ［探究点一］已知数列满足,,则.
8. ［探究点一］已知等比数列的各项均为正实数,为数列的前项和,若,,则.
9. ［探究点一］在等比数列中,若,,求的值.
B级 关键能力提升练
10. 已知等比数列的前项和为，若，，则( )
A. 81 B. 24 C. D.
11. 若数列满足,且,则的值等于( )
A. 200 B. 120 C. 110 D. 102
12. 等比数列的首项为2,项数为奇数,其奇数项之和为,偶数项之和为,这个等比数列前项的积为,则的最大值为( )
A. B. C. 1 D. 2
13. （多选题）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是( )
A. B. 数列 是等比数列
C. D. 数列{ 是公差为2的等差数列
14. 已知等比数列的前项和为，且,则.
15. 如图,作边长为3的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后作新三角形的内切圆……如此下去,前个内切圆的面积和为.
16. 已知正项等差数列的公差不为0，,,恰好是等比数列的前三项，.
（1） 求数列,的通项公式；
（2） 记数列的前项和为，若对任意的,恒成立，求实数的取值范围.
17. 被称为“世界屋脊”的喜马拉雅山的主峰——珠穆朗玛峰，海拔，是世界第一高峰.但一张报纸却不服气，它说：“别看我薄，只有厚，但假如把我连续对折30次后，我的厚度就会远远超过珠穆朗玛峰的高度.”你认为这张报纸是不是在吹牛？你不妨算算看.
C级 学科素养创新练
18. （多选题）如果有穷数列,,,,（为正整数）满足,,,即,我们称其为“对称数列”.例如,数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,2,4,8都是“对称数列”.设是项数为的“对称数列”,且1,2,,,,依次为该数列中连续的前项,则数列的前100项和可能的取值为( )
A. B.
C. D.
第2课时 等比数列前 项和的性质及应用
A级 必备知识基础练
1. C
[解析]设公比为,则,且，得.因为，所以.故.
2. D
[解析]若，且为偶数，则有，，此时，，，不成立；根据等比数列的性质也可以得到选项正确.故选.
3. D
[解析]若公比或虽但为奇数时，，，成等比数列，故，整理得，即，若公比，且为偶数时，,满足此式.故选.
4. B
[解析]由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的4倍，可知.设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得，,.
又前3项之积，解得，
.故选.
5. D
[解析]当公比时，，不满足题意，当时，，，所以，解得.
6. AC
[解析]若，满足对于,，但数列不是等比数列，故错误；
对于，当时，且，当时，因为，则符合上式，故数列是首项为，公比为的等比数列，故正确；
若数列为等比数列，当公比，且为偶数时，此时,,,均为0，不是等比数列，故错误；
设数列是等比数列，且公比为，若，即，若，可得，即，则为递增数列；若，可得，即，则为递增数列，故正确.
7.
[解析],,
,.
又,,
数列的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为2,首项分别为1,2.
.
8. 15
[解析] 等比数列的各项均为正实数,为数列的前项和， 由等比数列前项和的性质,可得,,也成等比数列,
,
或（舍去）.
9. 解根据题意,若,,则,则.
B级 关键能力提升练
10. D
[解析]由等比数列的性质可得，解得.设等比数列的公比为，则，所以，所以.
11. D
[解析]因为,
所以,
所以,所以数列是等比数列,公比为10,所以.
12. D
[解析]设数列共有项,由题意得,,因为项数为奇数时,,即,所以.所以,
故当或2时,取最大值2.
13. ABC
[解析]因为数列为等比数列，
又，所以.
又，所以或又公比为整数，则选项正确；由上可知，，，，则数列是等比数列，即选项正确；
，即选项正确；
，即数列{是公差为1的等差数列，即选项错误.
故选.
14. 16
[解析]当时，.
因为，所以，
解得，因此，于是.
15.
[解析]根据题意知第一个内切圆的半径为,面积为 ,第二个内切圆的半径为,面积为这些内切圆的面积组成一个等比数列,首项为 ,公比为,故前个内切圆的面积之和为 .
16. （1） 解设公差为，根据题意知,,,.
,,
,（舍去）.
又,,
,.
,,,
.
（2） 由（1）知,公比.
,
对恒成立.
,
对恒成立.
令,,当时，,当时，,,故.
17. 解每次纸对折后的厚度成等比数列，设为,公比.
.
，理论上对折30次后，
.
所以，理论上对折30次后其厚度会远远超过珠穆朗玛峰的高度.
C级 学科素养创新练
18. ABD
[解析]由题意知数列为1,2,,,,,,,,,2,1.
若,则,正确;
若,则,正确;
若,则,正确.
故选.(共25张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］在等比数列 中， ，公比 ，则 ( )
C
A. B.3 C. D.1
[解析] 在等比数列 中， ， ，则 .
2.［探究点一］已知等比数列 , ,则 ( )
B
A.1 B.2 C.4 D.8
[解析] 由题意可得 ,则 .故选B.
3.［探究点一］在等比数列 中， ， ，则 ( )
B
A. B. C. D.7
[解析] 在等比数列 中， ，由 ，得 或 （舍去）.由 ,得 .
4.［探究点三］将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每
一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都相等,且最后一个单音是第一个单音频率
的2倍.已知第十个单音的频率 ,则与第四个单音的频率 最接近的是
( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题意,设十三个单音的频率构成的等比数列 的公比为 ,则 ,
即 .
,故与 最接近的是 .故选C.
5.［探究点一］（多选题）已知数列 是等比数列，且 ,
，则 的值可能为( )
CD
A. B.36 C. D.
[解析] 设 的公比为 ，则 ，于是 ，
因此 ，所以 .故选 .
6.［探究点一］已知等比数列 的各项均为正数，若 ，则
____.
34
[解析] 由 得 ，即 .
则 .
7.［探究点二］等比数列 同时满足下列三个条件： ； ；
③三个数 , , 依次成等差数列.试求数列 的通项公式.
解 由等比数列的性质知 ，
所以 解得 或 当 时， ,所以
,这时 , ,所以 , , 成等差数列，故
.
当 时， , , ，不符合题意.故通项公式
.
8.［探究点一］设 是各项均为正数的等比数列， , ,
,求 .
解 设数列 的公比为 ,则 , ,
,
,
, ,
.
,
,
,
,
即 ,
即 ，
解得 .
当 时， , ,
;
当 时， ， ,
.
B级 关键能力提升练
9.已知数列 满足 ,且 ,则
的值为( )
A
A. B. C.5 D.
[解析] ,
,
数列 是等比数列,公比 ,
10.某工厂去年产值为 ,计划从今年起10年内每年比上一年产值增长 ，那么从今
年起第( ) 年这个工厂的产值将超过 .
C
A.6 B.7 C.8 D.9
[解析] 设从今年起第 年这个工厂的产值为 ，则 , , , .依题意，得 ，即 ，解得 .
11.在正项等比数列 中， ， ，则数列 的前 项积 中最
大的值是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 依题意，数列 是等比数列，
所以 ，所以 .
又因为数列 为正项等比数列，所以 ，所以 ，
令 ，即 ，得 ，因为 ，所以 ，数列 的前 项
积 中 最大，故选A.
12.已知数列 是等比数列，满足 ，数列 是等差数列，且 ，
则 ( )
C
A.24 B.16 C.8 D.4
[解析] 数列 是等比数列，
，又 ，
.又 是等差数列， ,
.
13.两个公比均不为1的等比数列 ， ，其前 项的乘积分别为 ， ，若
,则 ( )
A
A.512 B.32 C.8 D.2
[解析] 因为 ， ，所以
.
14.[2023江苏扬州检测] （多选题）已知等比数列 ,则下面式子对任意正整数 都
成立的是( )
BD
A. B.
C. D.
[解析] 设数列 的公比是 .
对于A,当 时, ,A不符合题意;对于B, ,B符合
题意;对于C, 不一定成立,C不符合题意;对于D,
一定成立,D符合题意.故选 .
15.（多选题）已知数列 为等比数列,则下列说法正确的是( )
BD
A.数列 , , 成等比数列
B.数列 , , 成等比数列
C.数列 , , 成等比数列
D.数列 , , 成等比数列
[解析] 由等比数列 知,数列 , , 不成等比数列,故A错误;由于数列 ,
, 的每一项都不为0,故由等比数列 可得,数列 , ,
成等比数列,故B正确;当数列 的公比等于 时, ,
故C错误;数列 , , 的每一项都不为零,且
, ,所以数列 , , 成等
比数列,故D正确.故选 .
16.在各项均为正数的等比数列 中,已知 , ,若
,则 ____.
14
[解析] 设数列 的公比为 ,由 与 ，可得
, .又 ,因此
,所以 .
17.已知各项都为正数的等比数列 中， ， ，则满足
的最大正整数 的值为___.
4
[解析] ，且 ，
.
设公比为 ，则 ， （舍去）或 ，即
， ，
，即 ，
的最大值为4.
18.在等比数列 中，公比 ，且满足 ， .
（1）求数列 的通项公式；
解 ，由等比数列的性质可得 ，
.
， ，则对任意的 ，可得出 ， .
解得 因此，
.
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，当 取最大值时，
求 的值.
解 ，
则数列 为等差数列，可得 ，
，则 ，
数列 为等差数列，则
，由 ，可
得 或 时， 取得最大值.
C级 学科素养创新练
19.某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药片预防，规定每人
每天上午8时和晚上8时各服一片．现知该药片每片含药量为220毫克，若人的肾脏每12小
时从体内滤出这种药的 ,该药物在人体内的残留量超过380毫克，就将产生副作用.
（1）某人上午8时第一次服药，问到第二天上午8时服完药后，这种药在他体内还残留多少？
解 设人第 次服药后，药在体内的残留量为 毫克，则 ,
, ,
即到第二天上午8时服完药后，这种药在他体内还残留343.2毫克.
（2）若人长期服用这种药，这种药会不会对人体产生副作用？说明理由.
解 由题意，得 ,
,
是以 为首项， 为公比的等比数列，
,
,
,
.
故若人长期服用这种药，这种药不会对人体产生副作用.
