(共29张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标准 1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点 数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数 有关的命题，可按下列步骤进行：
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 开始的所有正整数 都成立.这种证
明方法叫做数学归纳法.
过关自诊
1.在应用数学归纳法证明凸 边形的对角线为 条时,第一步应验证 的值是多少？
提示
2.用数学归纳法证明等式 的过
程中,由 递推到 时,左边增加的项数为_ ___.
[解析] 左边增加的项为 ,共 项.
3.［北师大版教材习题］用数学归纳法证明： .
证明 当 时，左边 ,右边 ,左边 右边，等式成立.
②假设当 时等式成立，即 ,那么，当
时， .
即当 时，等式也成立.
由①②知，对于 等式成立.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 对数学归纳法原理的理解
【例1】（1） 用数学归纳法证明不等式 时,初始值 应等于___.
6
[解析] 由题意,得当 时, ;当 时, ；当 时,
；当 时, ；当 时, ；当
时, ,所以用数学归纳法证明不等式 时,初始值
应等于6.
（2）用数学归纳法证明 的过程如下:
①当 时,左边 ,右边 ,等式成立.
②假设当 时等式成立,即 ,则当
时, ,所以当 时等式也成立.由
此可知对于任何 ,等式都成立.上述证明,错误是______________.
未用归纳假设
[解析] 本题在由 成立证明 成立时,应用了等比数列的求和公式,而未用
上归纳假设,这与数学归纳法的要求不符.
变式训练1 对于不等式 ,某同学用数学归纳法的证明过程如下:
（1）当 时, ,不等式成立.
（2）假设当 且 时,不等式成立,即 ,则当
时, ,
当 时,不等式成立.
则上述证法( )
D
A.过程全部正确 B. 验证不正确
C.归纳假设不正确 D.从 到 的推理不正确
[解析] 在 时,没有应用 时的归纳假设,不是数学归纳法.
探究点二 用数学归纳法证明等式
【例2】（1） 用数学归纳法证明
，“从 到 ”左
端增乘的代数式为_ _________.
[解析] 令 ，则
，
，所以
.
（2）用数学归纳法证明： .
证明 当 时， 成立.
②假设当 时等式成立，即有 ，则
当 时，
，即当
时等式也成立.由①②可得对于任意的 等式都成立.
变式训练2 [北师大版教材例题］用数学归纳法证明：首项为 ,公差为 的等差数列
的前 项和公式为 .
证明 当 时，左边 ,右边 ,等式成立.
②假设当 时，等式成立，即 成立.
那么，当 时， .
这就是说，当 时等式也成立.根据①和②,可知等式对任意正整数 都成立.
探究点三 用数学归纳法证明不等式
【例3】 用数学归纳法证明 .
证明 当 时，左式 ，右式 ，
所以 ，命题成立.
②假设当 时，命题成立，
即 ，
则当 时，
.
又 ，
即当 时，命题成立.
由①和②可知，命题对所有的 都成立.
规律方法 用数学归纳法证明不等式的四个关键点
______________________________________________________________________________________________________________
变式训练3 用数学归纳法证明 .
证明 当 时， ，命题成立.
②假设当 时命题成立，即 .
当 时， .命题成立.
由①和②知原不等式在 , 时均成立.
探究点四 归纳—猜想—证明
【例4】 将正整数进行如下分组:（1）, , , , ,
, 分别计算各组包含的正整数的和,如下：
,
,
,
,
,
, ……
（1）求 的值；
解 .
（2）由 , , , 的值,试猜测 的
结果,并用数学归纳法证明.
解 ；
；
；
；
猜测 .
证明如下:
记 .
①当 时,猜想成立.
②假设当 时,猜想成立,即 .
则当 时,由题设,可知 是由 开始的
个连续自然数的和,
所以 ,
所以 ,
从而 ,
所以当 时猜想也成立.
由 ,可知对任意 ,猜想都成立.
规律方法 “归纳—猜想—证明”的基本步骤
_____________________________________________________________________________________________________________________________
变式训练4 已知数列 , , , , , , 是该数列的前 项和,计算
, , , ,根据计算结果,猜想前 项和 的表达式,并用数学归纳法进行证明.
解 ； ； ； .
可以看出上面表示四个结果的分数中,分子与项数 一致,分母可用项数 表示为 .
于是可以猜想 .
下面我们用数学归纳法证明这个猜想.
①当 时,左边 ,右边 ,猜想成立.
②假设当 时猜想成立,即 ,
当 时, ,所以当 时猜想也成立.
根据①和②,可知猜想对任何 都成立.
探究点五 数学归纳法在证明整除问题中的应用
【例5】 用数学归纳法证明： 能被7整除.
证明 （1）当 时, ,能被7整除.
（2）假设当 时, 能被7整除,那么当 时,
，因为 能被7整
除，所以 能被7整除，所以当 时,命题也成立.由（1）（2）可
知, 能被7整除.
变式训练5 ［北师大版教材习题］用数学归纳法证明: 能被 整除
.
证明 当 时， 故 能被 整除，命题成立.
②假设当 时， 能被 整除.那么，当 时，
.
把 ,代入 得 ,由假设知 能被
整除， 能被 整除，故 能被 整
除.所以当 时，命题成立.综上，对于 ,原命题成立.
本节要点归纳(共21张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程 标准
01
基础落实·必备知识全过关
知识点 等差数列的前 项和公式及其推导
推导方法 倒序相加法
名师点睛
1.两个公式均为等差数列的求和公式，一共涉及 , , , , 五个量.通常已知
其中三个，可求其余两个，而且方法就是解方程（组），这也是等差数列的基本问题
形式之一.
2.当已知首项 ,末项 ,项数 时，用公式 .用此公式时，有时要结
合等差数列的性质，如 ,从而有
3.当已知首项 ,公差 及项数 时，用公式 .
过关自诊
1.判断正误. 正确的画 ,错误的画
（1）只有在等差数列中 等于 .( )
×
（2）数列的前 项和就是指从数列的第1项 起,一直到第 项 所有项的和.( )
√
（3）不存在这样的 的值,使公差为正数的等差数列前 项和 等于0.( )
×
2.[人教B版教材例题改编] 已知等差数列 的公差为2，且 ,则这个等差数
列前20项的和为_____.
200
[解析] 由等差数列的通项公式可得 ,由此可解得 .因此前20
项和 .
3.［北师大版教材习题］某车间全年共生产2 250个零件，又已知1月生产了105个零件，每月生产零件的个数按等差数列递增.求平均每月比前一个月多生产多少个零件？12月生产多少个零件？
解 1月到12月每月生产零件的个数成等差数列，记为 ,
则 , ,
所以 ,
所以 .
所以 .
答：平均每月比前一个月多生产15个零件，12月生产270个零件.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 等差数列前 项和公式的基本运算
【例1】 ［北师大版教材习题］在等差数列 中,
（1）已知 , ,求 和 ;
解 ,即 ,①
,即 ,②
,得 ,所以 ,所以 .
（2）已知 , ,求 和 .
解 ,③
,即 ,④
联立③④得 , ，所以 , .
分析利用等差数列的通项公式和前 项和公式列方程进行计算求解.
变式训练1（1） 设等差数列 的前 项和为 ，已知 , ，则
( )
C
A.15 B.20 C.25 D.30
[解析] 设 的公差为 ，则 解得 于是
.故选C.
（2）若等差数列 的前5项和 ,且 ,则 ( )
B
A.12 B.13 C.14 D.15
[解析] ,
.
又 , , 公差 .
.
（3）已知 为等差数列 的前 项和，若 , , ,则
________.
10或11
[解析] 设 的公差为 ,则 , ,解得 ,
,所以 ,即 ,
解得 或 .
探究点二 根据数列前 项和公式判断等差数列
【例2】 若数列 的前 项和 ,求数列 的通项公式,并判断数列
是不是等差数列.若是,请证明；若不是,请说明理由.
解 当 时, ；当 时, .经检验,当 时, 满足上式,故 .数列 是等差数列,证明如下:因为 ,所以数列 是等差数列.
变式探究 若数列 的前 项和 ,求数列 的通项公式,并判断数
列 是不是等差数列.若是,请证明；若不是,请说明理由.
解 ,①
当 时, ;
当 时, ,②
得 .经检
验,当 时, 不满足上式,故
, ,
即 ,
数列 不是等差数列.
探究点三 等差数列的求和在实际生活中的应用
【例3】 ［人教B版教材例题］李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”.从8月1日开始，每个月的1日都存入1 000元，共存入3年.
（1）已知当年“教育储蓄”存款的月利率为 ,则3年后李先生一次可支取本息共多
少元？（设每月存款的利息不计入下月本金，下同.）
解 每1 000元“教育储蓄”存一个月能得到的利息是 （元）.第1个
1 000元存36个月，得利息 （元）；第2个1 000元存35个月，得利息
（元）；……
第36个1 000元存1个月，得利息 （元）.
因此，3年后李先生获得利息
（元）.所以3年后李
先生可支取的本息和为 （元）.
（2）已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是 ，则李先生办理“教育储
蓄”比“零存整取”多收益多少元？
解 每1 000元“零存整取”存一个月能得到的利息是 （元），
因此，若是“零存整取”，3年后李先生获得利息
（元）.
因此，李先生多收益 （元）.即李先生办理“教育储蓄”比
“零存整取”多收益649.35元.
规律方法 应用等差数列解决实际问题的一般思路
______________________________________________________________________________________________________________________________________
变式训练2 某渔业公司今年年初购进一艘渔船用于捕捞,第一年需要维修费12万元,从第
二年起维修费比上一年增加4万元,则前10年维修费的总和是_____万元.
300
[解析] 设第 年的维修费是 （万元）,
则 （万元）,
则每年的维修费构成以 , 的等差数列 ,
所以前10年的维修费的总和是 （万
元）.
本节要点归纳(共25张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标准
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 递推公式
如果一个数列的________________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个
式子叫做这个数列的递推公式.
名师点睛
数列递推公式与通项公式的区别和联系
公式类型 递推公式 通项公式
区别
联系 （1）都是表示数列的一种方法; （2）由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 相邻两项或多项
过关自诊
1.利用 , 可以确定数列 吗？
提示 不能,需要知道数列 的某一项才可以.
2.设数列 满足 , ,则 __.
[解析] 由已知，得 , .
3.试分别根据下列条件，写出数列 的前5项：
（1） ， , ,其中 ;
解 因为 , , ,其中 ,所以
, ,
.因此，数列 的前5项依次为1,2,4,8,16.
（2） , ，其中 .
解 因为 , ,其中 ,所以 ,
, , ,因此，数列
的前5项依次为2， , , , .
知识点2 数列的通项公式与前 项和
1.数列 从第1项起到第 项止的各项之和，称为数列 的前 项和，记作
,即 .如果数列 的前 项和 与它的序号 之间的对应关
系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前 项和公式.
2.
名师点睛
由 求得的 ,若当 时， 的值不等于 的值，则数列的通项公式
应采用分段形式表示，即
过关自诊
1. 与 是什么关系？ 呢？
提示 由于 表示数列的前1项的和，因此 与 相等，而 表示数列的前2项的和，
因此 .
2.若数列 的前 项和为 ，则关系式 的使用条件是什么？
提示 ， ，而不能只是 ，这是因为当 时 ,数列中
无意义.
3.［人教B版教材习题］已知数列 的前 项和为 ,求 的通项公式.
解 当 时， .
当 时， ,所以 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 由递推公式求前若干项
【例1】（1） （多选题）已知数列 中, , ,则能使 的
可以为( )
AD
A.22 B.24 C.26 D.28
[解析] 由 , ,得 , , .所以数列 是周期
为3的数列,故 .
（2）已知数列 , ,且满足 ,且 ,写出数列
的前5项.
解 由题意，得 ,而 ,
所以 .
同理 , , .
分析 由 的值和递推公式,分别逐一求出 , , , 的值.
规律方法 由递推公式写出数列的项的方法
根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可．另
外,解答这类问题时还需注意:若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的
形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,若项数很大,则应考
虑数列的周期性.
变式训练1 若数列 满足 , , ,则 ____.
[解析] , , ,
, 是周期为4的数列, .
探究点二 由递推公式求数列的通项公式
【例2】（1） 已知数列 满足 ， ， ，求数列
的通项公式 .
解 ， ， ，
， … ， ，
将以上 个式子相加，得
，
即
.又当 时， 也符合
上式.
.
（2）在数列 中, , ,求数列 的通项公式.
解 , , ,
.又当 时，
,符合上式， .
分析 （1）先将递推公式变形为 ,再利用累加法求通项公式;
（2）先将递推公式化为 ,再利用累乘法求通项公式.
变式探究1 将本例 中的条件“ , , ”变为“
, ”,求数列 的通项公式.
解 ,
.
.
又 时, ,满足 ,
变式探究2 将例 中的条件“ , ”变为“ ,
”,写出数列的前5项,猜想 并加以证明.
解 由 , ,得
,
,
,
, …,
猜想： .
证明如下：由 得 .
因此可得 , , , , .将上面的 个式子相乘可得
,即 ,所以 .又
,所以 .当 时， 也满足 ,所以
探究点三 由数列的前 项和求通项公式
【例3】（1） 若数列 的前 项和 ,求数列 的通项公式.
解 ,
,
.
当 时， .此时满足 ,
.
（2）若数列 的前 项和 ，求数列 的通项公式.
解 当 时, ;
当 时， ,经验证不符合上式.
规律方法
方法 解读
［提醒］应重视分类讨论的思想,分 和 两种情况讨论.当 时, 不
适合 的情况要分开写,即
变式训练2 已知数列 的前 项和为 ,求数列 的通项公式.
（1） , ;
解 由 ,①
得 ,②
,得 ,
又 时, ，满足 ,即 ,
（2） , .
解 由 ,③
则 ,④
,得 ,
又当 时, ,不满足 ,所以
本节要点归纳(共30张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标 准 1.理解等比数列的概念，理解等比中项的概念.
2.掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题.
3.掌握等比数列的判断与证明方法.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 等比数列
一般地,如果一个数列从_______起,每一项与它的前一项的比都等于____________,
那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的______,公比通常用字母 表示
（显然 ）.
第2项
同一个常数
公比
名师点睛
对等比数列定义的理解
（1）定义中强调“从第2项起”，因为第1项没有前一项.
（2）每一项与它的前一项的比必须是同一个常数
（因为同一个常数体现了等比数列的基本特征）.
（3）公比 是每一项（从第2项起）与它的前一项的比，不要把分子与分母弄颠倒.
（4）等比数列中的任何一项均不能为零.
（5）等比数列的公比可以是正数、负数，但不能为零.
过关自诊
1.常数列可以是等比数列吗
提示 各项不为0的常数列是等比数列；各项为0的常数列不是等比数列.
2.判断下列数列是否为等比数列：
（1）1,1,1,1,1;
解 所给数列是首项为1，公比为1的等比数列.
（2）0,1,2,4,8;
解 因为0不能作除数，所以这个数列不是等比数列.
（3）1, , , , .
解 所给数列是首项为1，公比为 的等比数列.
知识点2 等比中项
如果在 与 中间插入一个数 ，使 , , 成等比数列，那么 叫做 与 的等
比中项，此时 ________.
名师点睛
等比中项概念的理解
（1）只有同号的两个非零实数才有等比中项.
（2）若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数.
过关自诊
1.等比中项与等差中项有什么区别
提示 （1）任意两个数都存在等差中项,但不是任意两个数都存在等比中项,当且仅当两数同号且均不为0时,才存在等比中项.
（2）任意两个数的等差中项是唯一的,而若两个数有等比中项,则这两个数的等比中项有两个,且互为相反数.
2.［人教B版教材习题］求下列各组数的等比中项.
（1）4,9;
（2） , .
提示
（1） .（2） .
知识点3 等比数列的通项公式
首项为 ,公比为 的等比数列 的通项公式为 ______.
名师点睛
已知等比数列的首项和公比，可以求得任意一项.已知 , , , 四个量中的三个，可以求得第四个量.
过关自诊
［人教B版教材习题］已知 为等比数列，填写下表.
序号
（1） 3 5 48
（2） 4
（3） 4
（4） 3 5 48
（5） 3 2 4 24
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 等比数列通项公式的应用
【例1】 在等比数列 中，求解下列问题：
（1）若 , ,求 的通项公式；
解 设 的公比为 ，则 解得 所以 的通项公式为
.
（2）若 , , ,求 ;
解 由 , ，得 ,所以 ,解得 .
（3）若 , ，求 .
解 设 的公比为 .
（方法1）由已知，得 解得 故 .
（方法2）因为 ，所以 .又因为 ,所以
,解得 ,故 .
分析 先根据等比数列的通项公式，结合条件列出方程（组）求得 , ,再解决其他问题.
变式训练1 在等比数列 中，
（1）已知 , ,求 ;
解 由等比数列的通项公式，得 .
（2）已知 , ,求 .
解 设等比数列的公比为 ,
则由已知得 解得
所以 .
探究点二 等比中项及其应用
【例2】（1） 已知等比数列的前3项依次为 , , ,求实数 的值.
解 因为等比数列的前3项依次为 , , ，所以 ,解
得 或 .
又因为当 时， 不合题意，所以实数 的值为 .
（2）已知等比数列 ， , ,求 和 的等比中项.
解 因为 是等比数列，所以 是 和 的等比中项，即 ,所以
，解得 ,从而 .
设 的公比为 ，则
解得 所以 .
设 和 的等比中项为 ，则 ,
所以 ,故 和 的等比中项是 .
分析 （1）可由等比中项的定义建立关于 的方程求解;（2）先求出 和 的值，
再根据等比中项的定义求解.
规律方法 涉及3个数成等比数列时，常利用等比中项列式求解，使用等比中项时，要注意只
有同号的两个非零实数才有等比中项，要注意根据题意选择等比中项的符号.
变式训练2 在等差数列 中， ，公差 .若 是 和 的等比中项，
则 ( )
B
A.2 B.4 C.6 D.8
[解析] 依题意，得 ，
即 ,
整理得 ,
解得 （ 舍去）.
探究点三 等比数列的判断与证明
【例3】 已知数列 是各项均为正数的等差数列，且 , , 成等差数列，
又 , ,2,3, ,则数列 是不是等比数列？
分析 先求出数列 的通项公式，再求出数列 的通项公式，从而判断 是不是等比数列.
解 因为 , , 成等差数列，
所以 ,即 ,设 的公差为 ,所以
或 .
①当 时, 为常数列且各项均为正数，所以 也为常数列且各项均为正数.所
以 为等比数列.
②当 时, ,所以 ,所以
,
所以 为等比数列.
综合①②可知， 为等比数列.
规律方法 判断或证明一个数列是等比数列的主要方法如下：
方法一 定义法
方法二 等比中项法
变式训练3 已知数列 是首项为3，公差为2的等差数列，令 ，求证：数列
是等比数列.
证明 依题意得 ，
， .
数列 是首项为 ，公比为25的等比数列.
探究点四 构造等比数列求通项公式
【例4】（1） 在数列 中, , ,求数列 的通项公式.
解 由 ,可得 , , ,
.
是首项为2,公比为2的等比数列.
,即 .
（2）在数列 中, , ,求数列 的通项公式.
解 由 , ,可得 ,
.
是首项为 ，公比为2的等比数列. . .
分析 （1）配常数;（2）取对数.
规律方法 构造新数列的技巧
有些数列本身不是等差,等比数列,但是通过适当的变形,可以构造出等差,等比数列.常见的
构造方法有:（1）取倒数法;（2）配常数法;（3）取对数法;（4）配函数法等.
变式训练4 数列 满足 ,且 ,求此数列的通项公式.
解 由 ,可得 ,
由 可知 ,则 .
又 ,所以 ,
所以数列 是以2为首项,4为公比的等比数列,
则有 ,
即 .
本节要点归纳(共23张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程 标准 1.能够根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用性质.
2.能够运用等比数列的性质解决有关问题.
3.能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点 等比数列 的常用性质
1.若 ,则_ ____________.
特例:若 ,则 .
2. ______ 为公比， , .
3.在等比数列 中,公比为 ，每隔 项取出一项,取出的项按原来顺序组成新数
列,该数列仍然是等比数列,公比为_ _____.
4.数列 , , （ 也是等比数列）， , 也是等比
数列.
5. .
名师点睛
等比数列 的单调性
（1）当 , 或 , 时, 是递增数列.
（2）当 , 或 , 时， 是递减数列.
（3）当 时, 是常数列；当 时， 是摆动数列.
过关自诊
1.若 为等比数列，则 是 的充要条件吗？
若不是，则是什么条件？
提示 不是.在等比数列 中，若 ，则一定有 ，反之则不一定，如 是常数列.故是充分不必要条件.
2.［北师大版教材习题］将公比为 的等比数列 , , , , 依次取相邻两项的乘
积组成新的数列 ， , , .此数列是( )
B
A.公比为 的等比数列 B.公比为 的等比数列
C.公比为 的等比数列 D.不一定是等比数列
[解析] 因为 ， ,
所以新数列 是公比为 的等比数列.
3.在正项等比数列 中, ,则 ___.
2
[解析] 在正项等比数列 中, ,
.
则 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 等比数列性质的应用
【例1】 已知 为等比数列.
（1）若 , ,求 ；
解 由已知得 ,
, , .
（2）若 , ,求 的值.
解 根据等比数列的性质,得 ,
,
.
变式探究1 在例 中,添加条件 ,其他条件不变,求 .
解 由等比数列的性质得 ,
又由例 知 ,解得 , 或 , .由 知公比 ,若 , ,则 , ；
若 , ,则 , .
变式探究2 把例 的条件改为“ ,公比 为3, ”,求
的值.
解 由已知得 ,又 ,
,则 .
探究点二 等比数列的综合问题
【例2】 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数和第四个数的和是16,中间两个数的和是12.求这四个数.
分析 用两个未知数表示这四个数，结合已知条件列方程组.
解 （方法1）设四个数依次为 , , , ,
由条件，得
解得 或
所以,当 , 时,
所求四个数为0,4,8,16;当 , 时,
所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
（方法2）设这四个数依次为 , , , ,由条件，得
解得 或
当 , 时,所求四个数为0,4,8,16;
当 , 时,所求四个数为15,9,3,1.
（方法3）设四个数依次为 , , , .
由条件，得
解得 或
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
变式探究1 将本例中的条件改为“有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是
，后三个数依次成等差数列，它们的积为 ”，求这四个数.
解 由题意，设这四个数分别为 , , , ,
则 解得 或
所以这四个数分别为1, ,4,10或 , , , .
变式探究2 将本题条件改为“有四个数成等比数列，其积为 ，第二个数与第三个数的
和为 ”，求这四个数所成等比数列的公比.
解 设这四个数为 ， ， ， （其中 ），
由题意得
所以 所以 ，
整理得 或 ,
解得 或 .
探究点三 等比数列的实际应用
【例3】 ［北师大版教材习题］某工厂2016年产值为200万元，计划从2017年开始，每
年的产值比上一年增长 .问至少从哪年开始，该厂的年产值可超过1 200万元？
解 每年的产值构成等比数列 , ，公比 .由
,得 , .即至少从20
26年开始,该厂的年产值可超过1 200万元.
规律方法 等比数列实际应用的求解策略
（1）一般地，产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题，往往与等比数列有关，
可建立等比数列模型进行求解.
（2）建立等比数列模型进行运算时，往往涉及指数、对数方程或不等式的问题，要注
意运算的正确性，还要善于进行估算，对于近似计算问题，答案要符合实际问题的需要.
变式训练 一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存 ，然后每3分钟自身复
制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开始____分钟后，该病毒占据内存
.
45
[解析] 由题意,得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列，设病毒占据内存 时自身复制了 次，即 ，解得 ，从而所用时间为 （分钟）.
本节要点归纳(共32张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标 准 1.理解等差数列的概念,理解等差中项的概念.
2.掌握等差数列的通项公式,能运用公式解决相关问题.
3.掌握等差数列的判断与证明方法.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 等差数列
一般地,如果一个数列从_______起,每一项与它的前一项的差都等于____________,那
么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的______,公差通常用字母_ __表示.
第2项
同一个常数
公差
名师点睛
等差数列概念的理解
（1）定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
（2）每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（因为同一个常数体现了等差数
列的基本特征）.
（3）公差 是每一项（从第2项起）与它的前一项
的差,不要把被减数与减数弄颠倒.
（4）公差可以是正数、负数、零.
（5）等差数列的单调性与公差 的关系:当 时,是递增数列;当 时,是递
减数列;当 时,是常数列.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ,错误的画 ）
（1）常数列是等差数列.( )
√
（2）等差数列的公差不能为负数.( )
×
（3）若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( )
×
（4）若数列 满足 ,则数列 是等差数列.( )
×
2.判断下列数列是不是等差数列.如果是,写出首项 和公差 .
（1）1,3,5,7,9, ;
解 是, , ;
（2）9,6,3,0, , ;
解 是, , ;
（3）1,3,4,5,6, ;
解 不是;
（4）7,7,7,7,7, ;
解 是, , ;
（5）1, , , , ,….
解 不是.
3.[北师大版教材习题] 全国统一鞋号中，成年男鞋共有14种尺码，其中最小的尺码是
,相邻的两个尺码都相差 .把全部尺码从小到大列出.
解 全部尺码从小到大为235,240,245,250,255,260,265,270,275,280,285,290,295,300.
知识点2 等差中项
由三个数 , , 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,___叫做 与
的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，_ __________.
过关自诊
1.在数列 中，当 时， 是 和 的等差中项，那么数列 是等差
数列吗？为什么？
提示 是.当 时,因为 是 和 的等差中项，所以 ，
由等差数列的定义知数列 是等差数列.
2.试求下列各组数的等差中项：
（1） 和 ;
解 7.
（2） 和 .
解 .
知识点3 等差数列的通项公式
首项为 ,公差为 的等差数列 的通项公式为__________________.
名师点睛
1.等差数列的通项公式是关于三个基本量 , 和 的表达式，所以由首项 和公
差 可以求出数列中的任意一项.
2.等差数列的通项公式可以推广为 ,由此可知，已知等差数列
中的任意两项，就可以求出其他的任意一项.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ,错误的画 ）
（1）等差数列 的公差 .( )
×
（2）所有的等差数列都有通项公式.( )
√
（3）若数列 的通项公式为 则数列 是等差数列.( )
×
2.［人教B版教材例题］已知等差数列10,7,4, .
（1）求这个数列的第10项；
解 记数列为 ，则由题意知 ,公差 ，因此数列的通项公
式为 .当 时，有
,因此第10项为 .
（2） 是不是这个数列中的项？ 呢？如果是，求出是第几项；如果不是，说
明理由.
解 设 是数列中的第 项，则 ，解得 ，所以 是数列
的第23项.设 是数列中的第 项，则 ，解得 ,由此可
知 不是此数列中的项.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 等差数列的通项公式及其应用
【例1】（1） 已知数列 是首项为2，公差为4的等差数列，若 ，则
( )
C
A.504 B.505 C.506 D.507
[解析] 根据题意，数列 是首项 ，公差 的等差数列，则
，若 ，则有 ，解得 .
（2）在等差数列40,37,34, 中,第一个负数项是( )
C
A.第13项 B.第14项 C.第15项 D.第16项
[解析] 设数列为 ,
则由已知得首项 ,公差 ,
所以 .
令 ,解得 .
因为 ,所以 ,
即第一个负数项是第15项.
（3）在等差数列 中,若 , ,则 的通项公式为_ ___________.
[解析] 设公差为 ,则 解得
故 .
分析 （1）（2）均可先求通项公式,再利用通项公式解决相应问题;（3）可根据已知条
件建立关于首项 和公差 的方程组,求得 和 即可得到通项公式.
变式训练1 在等差数列 中,求解下列各题:
（1）已知公差 , ,则 ____;
10
[解析] 由题意,得 ,
解得 .
（2）已知 , ,则公差 _ ___;
[解析] 依题意可得
解得
（3）已知公差为 ， ， ，则 _____.
[解析] （方法1）由
得 解得
.
（方法2）由 ，
得 ，解得 . .
探究点二 等差中项及其应用
【例2】（1） 若一个三角形的三个内角的度数成等差数列,且最小内角为 ,则最大
内角的度数是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 根据题意,设最大内角为 ,则中间的内角大小为 ,则有
,解得 .故选B.
（2）若 , , 成等差数列,则 ____.
[解析] 由等差数列的定义可知 ,解得 .
变式训练2（1） 等差数列1， ， ， 的第5项等于( )
B
A. B.1 C.5 D.16
[解析] 因为1, , , 成等差数列，所以 ，解得 ，所以这个等
差数列的每一项均为1.故选B.
（2）已知 中三边 ， ， 成等差数列， ， ， 也成等差数列，则
的形状为____________.
等边三角形
[解析] 因为 ， ， 成等差数列， ， ， 也成等差数列，所以
则 ，即 ，所以
，故 .所以 为等边三角形.
探究点三 等差数列的判断与证明
角度1.等差数列的判断
【例3】 判断下列数列是不是等差数列.
（1）在数列 中, ;
解 ,故该数列为等差数列.
（2）在数列 中, .
解 ,故该数列不是等差数列.
分析 根据等差数列的定义,判断 是不是常数.
变式训练3 已知数列 中， ， .
（1）判断数列 是不是等差数列，并说明理由；
解 当 时， ，即 ，而 不满足
，
不是等差数列.
（2）求 的通项公式.
解 由（1）得，当 时， ，又 不适合上式，
的通项公式为
角度2.等差数列的证明
【例4】 已知数列 满足 , ,记 .
（1）求证:数列 是等差数列;
证明
.
, 数列 是首项为 ,公差为 的等差数列.
（2）求数列 的通项公式.
解 由（1）知 .
, .
数列 的通项公式为 .
分析 先用 表示 , ,再验证 为常数,最后可求出数列 的通项公式.
变式训练4 已知数列 满足 , ,求数列 的通项公式.
解 易知 ,由 两边取倒数,可得 ,即 ,所
以 .
又因为 ,所以 ,所以数列 是首项为 ,公差为 的等差数列,因此
,故 .
本节要点归纳(共26张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程 标准
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 等比数列的前 项和公式
若等比数列的首项为 ,公比为 ,则它的前 项和 _ ________________________
名师点睛
1.当等比数列的公比未知或是代数式时，求等比数列的前 项和公式常需分
与 两种情况进行分类讨论.
2.当 时，等比数列的前 项和 有两个求解公式：当已知 , , 时，用
较方便；当已知 , , 时，用 较方便.
过关自诊
1.若等比数列 的公比 不为1,其前 项和为 ,则 与 有什么关系
提示
2.等比数列 的前 项和公式中涉及 , , , , 五个量,已知几个量方可以求其他量
提示 三个.
3.［人教B版教材例题］已知等比数列 的公比 , ,求这个数列前8项的和
.
解 因为 ，所以 ,因此
.
知识点2 错位相减法求数列的和
推导等比数列前 项和的方法叫做____________，一般适用于求一个等差数列与
一个______数列对应项的____所构成的数列的前 项和.
错位相减法
等比
积
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ,错误的画 ）
（1）只有等比数列才能用错位相减法求前 项和.( )
×
（2）求数列 的前 项和可用错位相减法.( )
√
2.求数列 的前 项和 .
解 由 ,
得 ,
两式相减,得 ,
即 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 等比数列前 项和公式的应用
【例1】 在等比数列 中， 为其前 项和，解决下列问题：
（1）若 , ,求 ；
解 设 的公比为 ,
由题意,得 解得
从而 .
（2）若 , , ,求 和 .
解 （方法1）由 , 以及已知条件，得 所以
,所以 .于是 ，所以 .
又因为 ,故 .
（方法2）由公式 及已知条件，得 ，解得 .
又由 ，得 ，解得 .
分析 （1）根据条件，建立关于首项和公比的方程组，求出首项和公比后利用前 项和
公式求解.（2）根据已知条件和前 项和公式建立方程组求解.
变式训练1（1） 设等比数列 的公比 ，前 项和为 ，则 ( )
C
A.2 B.4 C. D.
[解析] 因为 ，
所以 .
（2）等比数列 的各项均为实数，其前 项和为 ，已知 ， ，则
____.
32
[解析] 设 的公比为 ，
则
解得
所以 .
【例2】 设等比数列 的前 项和为 ，若 ，求其公比 .
分析 根据前 项和公式建立公比 的方程求解，但必须先对 的值分 和
进行讨论.
解 若 ,则 , , ，显然满足 ，所以 符
合题意；若 ，则 ,整理得
,解得 舍去 .
综上，公比 的值等于1或 .
变式探究 本例中，若条件改为“数列 是等比数列，其前 项和为 ，且
”,求其公比 的值.
解 （方法1）当 时， ，符合题意；
当 时， ,因为 ，所以 ，解得 .
综上， 或 .
（方法2）由 可知 ,即 ，由于 ，
则 ，解得 或 .
探究点二 利用分组求和法求数列的前 项和
【例3】 已知数列 的前 项和为 , ,点 在直线 上.
（1）当实数 为何值时,数列 是等比数列
解 因为点 在直线 上,
所以 .
当 时, .
于是 ,即 , .
又当 时, ,即 ,令 ,即 ,即
,
所以当 时, ,此时数列 是等比数列.
（2）在（1）的结论下,设 , , 是数列 的前 项和,求
.
解 由（1）,可得 , ,所以 , ,那么 .
变式训练2 ［人教B版教材例题］求值： .
解 原式 .
探究点三 用错位相减法求数列的前 项和
【例4】 求数列 , , , , ,…的前 项和.
分析 该数列的通项公式 ，它是由一个等差数列和一个等比
数列的各项相乘得到的数列，可以采用错位相减法求和.
解 设 ,①
则 ,②
，得 ,即 .
所以 .
变式训练3 求数列 的前 项和.
解 设前 项和为 ，则 ,则 ,两式相减，得 ,于是 ,故 .
本节要点归纳(共40张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课 程 标 准 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.
2.掌握数列的分类.
3.理解数列的函数特征，掌握判断数列单调性的方法.
4.掌握数列通项公式的概念及其应用，能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 数列
1.定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.
2.项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数
列的第1项，常用符号 表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用 表
示……第 个位置上的数叫做这个数列的第 项，用 表示,其中第1项也叫做 _____.
3.表示：数列的一般形式是 ，简记为 .
首项
名师点睛
1.数列是按一定的“顺序”排列的一列数，有序性是数列的基本属性.数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列，例如1，2，3，…与3，2，1…就是不同的数列.
2.符号 和 是不同的概念， 表示一个数列，而 .表示数列中的第 项.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画√，错误的画×）
（1）0，0，0，6不是一个数列.( )
×
（2）数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列。( )
×
2.数列与集合之间有怎样的区别与联系
提示 （1）集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，而数列中的项具有确定性、有序性、可重复性；
（2）集合中的元素可以是数，也可以是点、方程以及其他事物等,但数列中的每一项必须是数；
（3）数列 不是集合，它是数列的一个整体符号， 表示数列 ，而 表示数列的第 项.
3.［人教B版教材习题］已知数列 为2，4，8，16，…，写出 .
解 .
知识点2 数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
定义域
对应关系
值域 自变量从小到大依次取值时对应的函数值构成
过关自诊
1.数列对应的函数的图象有什么特点
提示 是一系列孤立的点.
2.在1984年到2016年的9届夏季奥运会上，我国获得的金牌数依次排成数列：15，5，16，16，28，32，51，38，26，试画出该数列的图象.
解 该数列的图象如图所示.
知识点3 数列的分类
分类依据 类型 含义
按项的个数 有穷数列 项数______的数列
无穷数列 项数______的数列
按项的变 化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都 ______ 它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列
常数列 各项都______的数列
摆动数列 从第2项起，有些项______它的前一项，有些项______
它的 前一项的数列
有限
无限
大于
小于
相等
大于
小于
过关自诊
1.判断正误.（正确的画√，错误的画×）
（1）如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列.( )
×
（2）数列0，1，2，3，4，5是有穷数列.( )
√
（3）常数列中的项不能为0.( )
×
2.若无穷数列 满足 ，，则数列一定是递增数列吗
提示 不一定，因为只有部分项满足递增教列的大小关系，不能确定数列一定是递增数列.
知识点4 数列的通项公式
如果数列 的第 项 与它的字号 之间的对应关系可以用一个式子来表示，
那么这个式子叫做这个数列的__________.
名师点睛
1.并不是所有的数列都有通项公式.
2.同一数列的通项公式，其表达形式可以是不唯一的，例如数列-1，1，-1，1，-1，
1，…的通项公式可以写成 等.
通项公式
过关自诊
1.判断正误.（正确的画√，错误的画×）
（1）所有的数列都有通项公式.( )
×
（2）数列1，3，5，7，…的第10项是21.( )
×
（3）数列的通项公式实际上是一个以正整数集 （或它的有限子集 ）为
定义域的函数解析式.( )
√
（4）数列0，1，2，3，…的通项公式可表示为 .( )
√
2.［北师大版教材习题］已知数列 的通项公式为 ，在下列各数中，
不是数列 的项的是( )
C
A.1 B.-1 C.2 D.3
[解析] 因为 是偶数，所以 为奇数，故2不是数列 的项.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 数列的概念及分类
【例1】 给出下列说法:
①数列中的项数一定是无限的；②数列1,3,2,6,3,9, 是递增的无穷数列；③数列 , ,
, ， 是递减的无穷数列.
其中正确说法的序号是____.
③
分析 根据数列的定义、分类进行判断.
[解析] 对于①,错误,数列中的项数可以是有限的或无限的；对于②,错误,该数列是无穷数列,但不是递增数列；对于③,正确.
规律方法 数列类型的判断
在判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.是递增、递减、摆动还是常
数列要从项的变化趋势来分析；而是有穷还是无穷数列则看项的个数是有限个还是无限个.
变式训练1 下列数列既是递增数列又是无穷数列的是( )
B
A. , , , , B. , , , ,…
C. , , , , D.5,6,7,8
[解析] A,B,C中的数列都是无穷数列,A,C中的数列都是递减数列,虽然D中的数列是递增数列，但是该数列只有四项，是一个有穷数列，故只有B中的数列既是递增数列又是无穷数列.
探究点二 根据数列的前几项求通项公式
【例2】 写出下列数列的一个通项公式:
（1） ,2, ,8, ,…;
解 数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察， , , , , , … ,所以它的一个通项公式为 .
（2）1, ,5, ,9, ;
解 数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9, ，是连续的正奇数,其通项公式为 ;考
虑 具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为 .
（3）9,99,999, , ;
解 各项加1后,分别变为10,100, , , ,此数列的一个通项公式为 ,可得
原数列的一个通项公式为 .
（4） , , , ,…;
解 数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为 ;
分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为 ,分子的后一部分是
减去一个自然数,其通项公式为 ,综合得原数列的一个通项公式为
.
（5） , , , ,…；
解 这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶
数项为正,所以它的一个通项公式是 .
（6）4,0,4,0,4,0, .
解 由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数的形式表示
通项公式,
即 又因为数列可改写为 , , , , , ， ,
因此其通项公式又可表示为 .
分析 观察、分析项的特征,寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系.
变式训练2 写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
（1） , , , ;
解 .
（2）3,5,9,17;
解 .
（3） , , , ;
解 .
（4）7,77,777, .
解 .
探究点三 数列通项公式的应用
【例3】 已知数列5, ,5, 的通项公式是
（1）求 , ;
解 因为 , , ,
所以
解得
所以 .
所以 , .
（2）判断 是不是该数列中的项.
解 令 ,
解得 或 （舍去）,
因此， 是该数列中的项,并且是该数列的第9项.
分析数列的前3项已知,由此代入通项公式,可得到关于 , , 的方程组,解方程组即
得 , , 的值,从而求出数列的通项公式,再求 , ;令 ,解关于 的方程,可判
断 是不是数列中的项.
变式训练3 在数列 中, , , 是 的一次函数.
（1）求数列 的通项公式;
解 设 ,则 解得 .
（2）判断88是不是数列 中的项.
解 令 ,即 ,解得 , 不是数列 中的项.
探究点四 数列的单调性及其应用
角度1.数列单调性判断
【例4】 已知数列 的通项公式 .
（1）当 时,判断数列 的单调性;
解 当 时, ,
所以 ,所以 ,故数列 是递增
数列.
（2）若数列 是递减数列,求实数 的取值范围.
解 若数列 是递减数列,则 恒成立,即
恒成立.因为 ,所以必
有 ,故 .所以 的取值范围为 .
分析（1）由于数列的通项公式已知，因此可以通过比较数列的相邻两项 与 的大小来确定数列的单调性;（2）可根据数列是递减数列,得出 与 的大小关系,从而确定 的取值范围.
规律方法 判断数列的单调性,一般是将其转化为比较相邻两项的大小,常用的方法有作差法、
作商法.作差法判断数列单调性的步骤为先作差，再变形、定号，最后下结论.作商法适用于
各项都是同号的数列,且应比较比值与1的大小关系.
变式训练4 已知函数 ,设数列 的通项公式为 ,其中 .
（1）求证: ;
证明 由题意可知 ,又因为 ,所以 ,因此
,即 .
（2）判断 是递增数列还是递减数列，并说明理由.
解 因为 ,又因为 ,所以
,从而 ,即 .因此 是递增数列.
角度2.利用数列单调性求数列最大（小）项
【例5】（1） 已知数列 满足 ， .
①数列中有哪些项是负数？
②当 为何值时， 取得最小值？求出此最小值.
解 ， ,解得 .
， 数列中第1，2，3，4，5项为负数，
即 ， ， ， ， .
，当 或 时, 取得最小值，最小值为
.
（2）已知数列 的通项公式 ,试问数列 有没有最大
项？若有,求出最大项和最大项的项数；若没有,请说明理由.
解 （方法1） , 当
时, ,即 ；当 时, ,即 ；当
时, ,即 .故
, 数列中有最大项,最大项为第9,10项,
即 .
（方法2）设 是数列 的最大项，则 即
整理，得 得 ,所以 或 .又
,即数列 中的最大项为 .
分析（1）①根据数列的函数的特征，以及不等式的解法，即可求出；②根据二次函数的性质即可求出.
（2）&1& &2&
变式训练5 已知数列 的通项公式为 ,则数列 各项中最大项是
( )
C
A.第13项 B.第14项 C.第15项 D.第16项
[解析] 根据题意,数列 的通项公式为 ,则
,则
.当 时,
,即 ,当 时, ,即 ,又
,故数列 各项中最大项是第15项.故选C.
本节要点归纳(共17张PPT)
1
重难探究·能力素养全提升
课程标 准
01
重难探究·能力素养全提升
探究点一 利用累加、累乘法求数列的通项公式
【例1】 已知等差数列 满足 , ,数列 满足 ,
.求 , 的通项公式.
解 设等差数列 的公差为 ,
解得
故 .
数列 满足 , ,当 时, ,
, , ,
当 时, ,当 时, 满足 ,故 .
变式训练1 已知数列 满足 , ,求数列 的通项公式.
解 由条件知 ,分别令 ,2,3, , ,代入上式得 个等式,累乘,
得 .
.
又 , , .
也适合上式, ,
探究点二 利用递推公式构造等差数列求通项
【例2】 已知数列 满足 ,且 ,求数列 的通项公式.
解 因为 ,等式两边同时除以 ,得 ,即 ,所以 是以 为首项,以1为公差的等差数列,即 ,所以 .
变式探究 将本例中“ ”变为“ ”,其余不变,求数列
的通项公式.
解 等式两边同时除以 ,得 ,
即 ,
所以 是以 为首项,以2为公差的等差数列,
所以 ,
即 .
探究点三 利用递推公式构造等比数列求通项
【例3】 [2023广东广州月考] 在数列 中, , .
求证： 是等比数列,并求数列 的通项公式.
证明 依题意,数列 中, , ,
所以 ,所以数列 是首项为 ,公比
为4的等比数列.
所以 , .
变式训练2 已知数列 满足 且 ,求数列 的通项公式.
解 由题意得, ,即 ,故 ,所以 ,所以 是以5为首项,3为公比的等比数列,所以 ,即 .
探究点四 利用前 项和 与 的关系求通项公式
【例4】（1） 已知数列 的前 项和为 ,若 , ,则 等于
( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为 ,所以 时, ,两式相减可得
,即 ,整理得 ,所以 .因
为 ,即 ,所以数列 是首项为4,公比为2的等比数列,则
,故选A.
（2）已知数列 中,前 项和为 ,且 ,则 的最大值为( )
C
A. B. C.3 D.1
[解析] 由 得,当 时, ,两式作差可得
,整理得 ,由此可得,当
时, 取得最大值,其最大值为3.
变式训练3 数列 的前 项和为 ,若 , ,则 __________
_______.
[解析] 由 得 ,整理得 , .
因为 , ,所以 .
所以 .由 可得 ,所以
.又因为 ,所以 .
本节要点归纳(共29张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程 标准 1.能够根据等差数列的定义和通项公式推出等差数列的重要性质.
2.能够运用等差数列的性质解决有关问题.
3.能够运用等差数列的知识解决简单的实际问题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 等差数列与一次函数的关系
名称 等差数列 一次函数
解析式
不同点
相同点 名称 等差数列 一次函数
利用一次函数判断 等差数列的方法 续表
过关自诊
1.［人教B版教材习题］根据下列等差数列的通项公式，求数列的首项与公差.
（1） ;
解 , ,公差 .
（2） .
解 , ,公差 .
2.［北师大版教材习题］已知等差数列的通项公式为 .
（1）求首项 和公差 ；
解 , ， .
（2）画出数列 的图象；
解 的图象如图所示.
（3）判断数列 的单调性.
解 由（1）知 ,数列 是递减数列.
知识点2 等差数列的常用性质
性质 1
性质 2
性质 3
性质 4
性质 5
性质 6
性质 7
性质 8
0
续表
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ,错误的画 ）
（1）等差数列 中,必有 .( )
×
（2）若数列 , , , , 是等差数列,则数列 , , , 也是等差数列.( )
√
（3）若数列 是公差为 的等差数列,则 , ,且 .( )
√
2.［人教B版教材习题］如果 是等差数列，而且正整数 , , , 满足
,求证： .
证明 设等差数列 的首项和公差分别为 , .则 ,
, , .
, .
又 , .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 等差数列性质的应用
【例1】（1） 已知等差数列 , , ,求 的值.
解 （方法1）设 的公差为 ,
则 解得
故 .
（方法2）因为 ,所以在等差数列 中有 ,从而
.
（方法3）因为5,15,25成等差数列,所以 , , 也成等差数列,因此
,即 ,解得 .
（2）已知等差数列 , ,求 的值.
解 由等差数列的性质,得 ,所以
,于是 ,故 .
（3）已知数列 , 都是等差数列,且 , , ,求 的值.
解 令 ,因为 , 都是等差数列,所以 也是等差数列,设其公差为
,由已知,得 , ,则 ,解得 ,故
.
分析 根据各个题的特征，选择相应等差数列的性质求解.
变式训练1（1） 在等差数列 中,已知 ,则 ____.
20
[解析] 由已知得 .
（2）设等差数列 满足 .
①求 ;
解 在等差数列 中, ,所以 .
②若 , , 是公差为18的等差数列,求数列 的通
项公式.
解 设等差数列 的公差为 ,因为 , , 是公差
为18的等差数列,所以 , , 是公差为18的等差数列,所以 ,所
以 ,所以 .
探究点二 等差数列的综合问题
【例2】（1） 设 是公差为正数的等差数列,若 , ,求
的值.
解 设 的公差为 ,
, ,
.又 , 是公差为正数的等差数列,
,解得 或 （舍去）, ,
.
（2）已知四个数依次成等差数列,且是递增数列,这四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此等差数列.
解 设这四个数分别为 , , , ,则
因为该数列是递增数列,所以 ,
所以解得
故此等差数列为 ,2,5,8或 , , ,1.
分析（1）由于已知条件中含等差数列前3项的和与积，因此可考虑利用等差中项及等差数列性质求解;（2）中涉及四个数成等差数列，因此可考虑用“对称性”设出这四个数.
变式训练2 已知三个数成等差数列,且数列是递增数列,它们的和为18,平方和为116,求这三个数.
解 （方法1）由题意设这三个数分别为 , , , ,
则
解得
故这三个数分别为4,6,8.
（方法2）设这三个数分别为 , , ,由已知可得
由①得 ,代入②得 .
该数列是递增数列，
舍去， ,
这三个数分别为4,6,8.
探究点三 等差数列的实际应用
【例3】 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差
数列,最上面4节的容积之和为3升,最下面3节的容积之和为4升,则从上往下数,第5节的容
积为( )
B
A.1升 B. 升 C. 升 D. 升
分析 设出等差数列的首项与公差,运用等差数列的知识解决.
[解析] 设从上往下容积所构成的等差数列 的公差为 ,则
即 解得
则 ,故第5节的容积为 升.
规律方法 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点
（1）解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题,即仔细阅读材料,认真理解题意;②建
模,即将已知条件翻译成数学（数列）语言,将实际问题转化成数学问题;③判型,即判断该数列
是不是等差数列;④求解,即求出该问题的数学解;⑤还原,即将所求结果还原到实际问题中.
（2）在利用数列方法解决实际问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题.
变式训练3 某同学参加《二十四节气日中影长变化规律》课题的研究，并测得冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气日中同一固定时刻校内旗杆的影长.由于不慎将大部分数据丢失如下表，
表中旗杆影长为 是在下列哪个节气日中同一固定时刻测得的（注：据《周
髀算经》记载这十二节气日中同一固定时刻的影长依次构成等差数列）( )
B
A.谷雨 B.立夏 C.小满 D.芒种
[解析] 设这十二个节气日中同一固定时刻旗杆的影长构成数列 ，则 ，
，且 是等差数列，则公差 ，所以
，令 ，得 ，第10个节气是立夏.
故选B.
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）等差数列中任意两项或多项之间的关系.
（2）等差数列项的设解技巧.
（3）等差数列的实际应用.
2.方法归纳:公式法、转化法、数学建模.
3.常见误区:实际问题中的还原问题.(共20张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标 准
01
基础落实·必备知识全过关
知识点 等比数列前 项和的性质
公比为 的等比数列 的前 项和为 ，关于 的性质常考的有以下四类：
（1）数列 , ,__________,…仍是等比数列（此时 的公比
）.
（2）当 是偶数时, _ _____；
当 是奇数时， _ _____.
.
（4）数列 为公比不为1的等比数列 , , 且 .
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ,错误的画 ）
（1）等比数列 的前 项和 不可能等于 .( )
√
（2）若等比数列 的前 项和为 ,则 .( )
√
2.已知等比数列 的前3项和为1，前6项和为9，则它的公比 等于( )
C
A. B.1 C.2 D.4
[解析] ， ， ，即
， .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 等比数列前 项和的性质
【例1】（1） 在等比数列 中，若 , ,则 ____.
28
[解析] 数列 是等比数列，且易知公比 , , , 也构成
等比数列,即7, , 构成等比数列, ,解得
或 .又 ,
.
（2）已知等比数列 共有 项，其和为 ,且
,则公比 ___.
2
[解析] 由题意知 ， ，
， ，
.
（3）若数列 是等比数列，且其前 项和为 ，则实数 等于__.
[解析] ,且 为等比数列， ,即 .
分析根据所给题目特征选择运用等比数列前 项和的性质求解.
变式训练1（1） 设 是等比数列 的前 项和，若 ，则 ( )
B
A.2 B. C. D.1或2
[解析] 设 , ，由数列 为等比数列（易知数列 的公比 ） ，得 , , 为等比数列.又 , ，
, .
（2）已知等比数列 共有32项，其公比 ，且奇数项之和比偶数项之和少60，
则数列 的所有项之和是( )
D
A.30 B.60 C.90 D.120
[解析] 设等比数列 的奇数项之和为 ，偶数项之和为 ,则 ， .
又 ，则 ，解得 , ，故数列 的所有项之和是 .
探究点二 等差数列与等比数列的综合问题
【例2】 已知 是无穷等比数列 的前 项和,且公比 ,1是 和 的等差
中项,6是 和 的等比中项.
（1）求 和 ;
解 根据已知条件
整理得 解得
（2）求数列 的前 项和;
解 因为 ,所以 解得 所以
.
（3）求数列 的前 项和.
解 由（2）得 .
分析先利用等差中项与等比中项求出 与 ,进而求出 与公比 ,再写出 ,根据
的特点求 的前 项和.
变式训练2 已知等差数列 和各项均为正数的等比数列 满足 ,
, .
（1）求 的通项公式；
解 设等差数列 公差为 ，等比数列 公比为 ， ，因为 ,
, ，所以 , , , .因此
, .
（2）求数列 的前 项和.
解 数列 的前 项和 .
探究点三 数列在实际中的应用
【例3】 某企业进行技术改造，有两种方案.甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加 的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元.两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息 的复利计息，试比较两种方案，哪种方案净获利更多？
解 甲方案：十年获利中，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为 ，前
10项和为 .
所以 （万元）.
又贷款本息总数为 （万元），
甲方案净获利 （万元）.
乙方案:每年获利构成等差数列，首项为1，公差为 ，前10项和为
（万元），而贷
款本息总数为 （万
元），乙方案净获利 （万元）.
比较两方案可得甲方案净获利更多.
变式训练3 ［北师大版教材例题］一个热气球在第 上升
了 的高度，在以后的每 里，它上升的高度都是它在
前 上升高度的 .这个热气球上升的高度能达到
吗？
解 用 表示热气球在第 上升的高度.由题意，得 .因此，
数列 是首项 ，公比 的等比数列.热气球在 里上升的总高度为
.
所以这个热气球上升的高度不可能超过 .
本节要点归纳(共26张PPT)
1
重难探究·能力素养全提升
课程 标准
01
重难探究·能力素养全提升
探究点一 公式法求和
【例1】 已知数列 满足 ， .
（1）求 的通项公式；
解 由 得 ，所以 为等比数列，且首项 ,公比 .所以
的通项公式为 .
（2）求 的值.
解 , ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以
.
变式训练1 已知等差数列 的前 项和为 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
解 设等差数列 的公差为 ,
则 ,
所以 .
故数列 的通项公式为 .
（2）证明： .
证明 由（1）得， , .所以 ，
.故 .
探究点二 裂项相消法求和
【例2】 已知 为等差数列 的前 项和, , .
（1）求 ;
解 设等差数列 的公差为 , , ,
,解得 , , .
（2）记数列 的前 项和为 ,证明： .
证明 , . .
规律方法 裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消
去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项.
（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律
为止.
（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩
倒数第几项.
变式训练2 [2023陕西咸阳质检] 已知等差数列 满足 , ,数列
的前 项和为 .
（1）求 及 ;
解 设等差数列 的公差为 ,而 ,则 .于是得
解得 则有 ,
.
（2）求数列 的前 项和 .
解 由（1）知 ,则 .
,即
.
探究点三 分组求和法求和
【例3】 [2023福建厦门月考] 已知数列 满足 ,
（1）记 ,求出 的值,并证明数列 为等比数列;
解 , ,由 而
, , 数列 是首项为1,
公比为6的等比数列, .
（2）求数列 的前 项和 .
解 由（1）知, ,
,
.
变式训练3 设等差数列 的公差为2，等比数列 的公比为2，且
， .
（1）求数列 的通项公式；
解 因为 ， ，所以 ， ，依题意可得
， ，故 .
（2）求数列 的前 项和 .
解 由（1）可知 ，故 .
探究点四 并项转化法求和
【例4】 已知数列 ，4， ，10， ， ， ，求其前 项和 .
解 当 为偶数时，令 , .当 为奇数时，
令 , .
变式探究 本例中，将条件改为“已知数列 的前 项和
”,求 的值.
解 因为
即 所以 , , .故
.
探究点五 倒序相加法求和
【例5】 已知定义在 上的函数 的图象的对称中心为 .数列 的前
项和为 ,且满足 , ,则 _______.
4 038
[解析] 由条件得 ,
即 ,于是有 .又
, ,
两式相加得 .故 .
变式训练4 在推导等差数列前 项和公式的过程中,我们使用了倒序相加的方法,类比可
以求得 _ __.
[解析] 令 ,
则 ,
两式相加可得
,
故 ,
即 .
探究点 六错位相减法求和
【例6】 已知各项均为正数的等差数列 的前 项和为 , ,且 , , 成等比数列.
（1）求 的通项公式及 ;
解 设等差数列 的公差为 ,则 ,
, , 成等比数列,
,
.
则有
解得 或 （舍去）.
,
.
（2）若 ， 的前 项和为 ,求 .
解 由（1）知 ,
.①
,得 ,②
,得 .
.
变式训练5 已知数列 的通项公式是 求数列 的前 项
和 .
解 ,
当 时, ;
当 时, ,①
,②
,得 .
.
也满足上式,
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）并项转化法求和.
（2）分组求和法求和.
（3）裂项相消法求和.
（4）公式法求和.
（5）错位相减法求和.
（6）倒序相加法求和.
2.方法归纳:公式法、分组求和法、裂项求和法、倒序相加法、错位相减法.
3.常见误区:
并项求和易忽略总项数的奇偶；错位相减法中要注意相减后的项数、符号及化
简；裂项相消求和中要关注正项与负项的个数是否相同及相消后前后剩余的项数.
续表(共26张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标 准
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 等差数列前 项和的函数特征
名师点睛
（1）若 , ,则数列的前面若干项为负数（或0），所以将这些项相加即得 的最小值.
（2）若 , ,则数列的前面若干项为正数（或0），所以将这些项相加即得 的最大值.
（3）特别地，若 , ,则 是 的最小项；若 , ,则 是 的最大项.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ,错误的画 ）
（1）等差数列 的前 项和 是关于 的二次函数.( )
×
（2）等差数列的前 项和 取得最大或最小值时的 不一定唯一.( )
√
（3）若等差数列 的公差 ,则 的前 项和一定有最小值.( )
√
（4）设等差数列 的前 项和为 ,且 ,则 在 处
取得最大值或最小值.( )
×
2.［人教B版教材习题］等差数列14,11,8, 前多少项的和最大？为什么？
提示 因为前5项均是正数,从第6项开始为负数，所以前5项和最大.也可以用求二次函数的最值的方法解决.
知识点2 等差数列前 项和的性质
1.若数列 是公差为 的等差数列，则数列 也是等差数列，且公差为 .
2.设等差数列 的公差为 ， 为其前 项和，则 ， , , … 仍构成等差数列，且公差为 .
3.设两个等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，则 .
4.若等差数列 的项数为 ，则 , , .
5.若等差数列 的项数为 ,则 , , ,
.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ,错误的画 ）
（1）等差数列 的前 项和 .( )
√
（2）若等差数列的项数为偶数,则偶数项的和等于奇数项的和.( )
×
（3）设两个等差数列 , 的前 项和分别为 , ,则 .( )
×
2.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为( )
C
A.5 B.4 C.3 D.2
[解析] 设等差数列的公差为 ,由题意，得 ,解得 .
3.在等差数列 中,其前 项和为 , , ,则 ____.
15
[解析] , , 成等差数列,
,解得 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 等差数列前 项和的性质及其应用
【例1】（1） 等差数列 的前 项和为30，前 项和为100，则数列 的前
项的和 为_____.
210
[解析] （方法1）在等差数列中， ， ， 成等差数列， ,
70， 成等差数列. ，
.
（方法2）在等差数列中， ， ， 成等差数列， .即
.
（2）等差数列 与 的前 项和分别是 和 ，已知 ，则 ___.
[解析] 由等差数列前 项和的性质，得 .
变式探究1 一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项之和为_ _____.
[解析] （方法1）设 .
， ，
解得
.
.
（方法2） ，
，
.
变式探究2 本例（2）中，已知条件不变，分别求 与 的值.
解 由于 ，由例（2）可知 .由于 ，结合等差数列的性质
可设 ， ，所以 ，
，所以 .
探究点二 等差数列前 项和的最值问题
【例2】 在等差数列 中, 为前 项和,且 , ,请问数列 前多少
项和最大？
解 （方法1） , , ,解得
.
故该数列的前13项和最大,最大值是169.
（方法2） , 的图象是开口向下的抛物线上一群离散的
点,最高点的横坐标为 ,即 最大.
（方法3） ,
.
.
,
当 时, ；
当 时, .
最大.
（方法4）由方法1，得 .
由 得
故当 时, 有最大值.
变式训练 已知 为等差数列 的前 项和,其中 , .
（1）求 的通项公式;
解 由题意得
解得 , .
故 .
（2）求 ,并求 的最小值.
解 由（1）知, ,故当 时, 取得最小值
.
探究点三 求数列 的前 项和问题
【例3】 已知数列 的前 项和 ,求数列 的前 项和 .
分析先求出通项 ,再确定数列中项的正负,去掉绝对值号,利用 求解.
解 ,当 时,
也适合上式,
数列 的通项公式为 .由 ,得
.
即当 时, ;当 时, .
（1）当 时,
.
（2）当 时, .故
变式探究 在本例中，若将条件改为“等差数列 的通项公式为 ”，求
数列 的前 项和 .
解 因为 ,令 ,得 ,所以当 时， ;当
时， .
因此当 时， ；
当 时， .
所以
本节要点归纳(共18张PPT)
1
知识网络·整合构建
2
专题突破·素养提升
01
知识网络·整合构建
02
专题突破·素养提升
专题一 等差与等比数列的基本运算
1.数列的基本运算以小题居多,但也可作为解答题第一步命题,主要考查利用数列的通项
公式及求和公式来求数列中的项、公差、公比及前 项和等,一般试题难度较小.
2.通过等差、等比数列的基本运算,培养数学运算、逻辑推理等核心素养.
【例1】 设等比数列 的公比为 ,前 项和为 .
（1）若 , ,求 的值;
解 等比数列 的公比为 ,前 项和为 .
, , ,解得 ,
.
（2）若 , ,且 , ,求 的值.
解 , ,且 , , ,
,解得 或 ,由 ,得 .
, .
,
,
解得 或 ,
又 ,
变式训练1 已知等差数列 的前 项和为 , , .
（1）求数列 的通项公式；
解 设等差数列 的公差为 ,由 , ,得 解得
.
（2）求 的最大值及相应的 的值.
解 由 ,得 ,
当 或 时, 取得最大值为 .
专题二 等差、等比数列的判定
1.判断等差或等比数列是数列中的重点内容,经常在解答题中出现,对给定条件进行变形是解题的关键所在,经常利用此类方法构造等差或等比数列.
2.通过等差、等比数列的判定与证明,培养逻辑推理、数学运算等核心素养.
【例2】 已知数列 满足 , .设 .
（1）求 , , ；
解 由条件可得 .将 代入得, ,又 ,所以 .将
代入得, ,所以 .所以 , , .
（2）判断数列 是否为等比数列,并说明理由；
解 是首项为1,公比为2的等比数列.理由如下:
由条件可得 ,即 ,又 ,所以 是首项为1,公比为2的等比数列.
（3）求数列 的通项公式.
解 由（2）可得 ,
所以 ,
变式训练2 已知数列 满足 ,且当 , 时,有 .
（1）求证:数列 为等差数列；
证明 当 时,由 ,得 ,两边同除以 ,得
.所以数列 是首项 ,公差 的等差数列.
（2）试问 是否是数列 中的项 如果是,是第几项 如果不是,请说明理由.
解 由（1）得 ,所以 ,所以 ,假
设 是数列 中的第 项,则 ,解得 ,所以 是数列
中的第11项.
专题三 数列求和
1.数列求和一直是高考考查的热点,并且多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现.一般数列的求和,主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题.
2.通过数列求和,培养数学运算、逻辑推理等核心素养.
【例3】 已知数列 是 次多项式 的系数,且
.
（1）求数列 的通项公式；
解 设 ,则
, ,当 时, 满足 ,所以
（2）求 ,并说明 .
解 由（1）知 ,
所以 ,①
,②
由 得 ,所以
.
变式训练3 正项数列 满足:
（1）求数列 的通项公式 ；
解 由 ,得 .由于 是正项数列,所
以 ,
（2）令 ,求数列 的前 项和 .
解 由 , ,得 ,
.
