2.2基本不等式 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
2.2基本不等式
教学目标
1. 结合实例,从情境中抽象、归纳出算术平均数和几何平均数的概念,从特殊到一般猜想、发现基本不等式.
2. 通过对基本不等式几何意义的探究,感受数学文化之美,体会数形结合的魅力.
3. 探索基本不等式的证明过程,学会用作差法、综合法、分析法证明基本不等式.
学习目标
课程目标 学科核心素养
理解、掌握基本不等式的内容和结构 通过由完全平方公式到基本不等式的过程，培养逻辑推理素养
能够利用不等式的性质证明基本不等式，初步理解分析法的证明方法 借助基本不等式的证明过程，培养逻辑推理、数学运算素养
复习回顾
问题1 什么是不等式的最基本性质？
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作差法：要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小
复习回顾
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 ac>bc a>b，c<0 ac5 同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向可加
6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 正值同向可乘
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 正值同向可乘方
问题2 什么是不等式的基本性质？
我们再次回忆一下重要不等式：
设a,b是任意实数，则a2+b2≥2ab
当且仅当a＝b时，等号成立.
请大家猜想一下，我们会得到怎样的式子？
如果我们用分别代替上式中的，
得当且仅当时，等号成立。
如果我们用分别代替上式中的，可得
当且仅当时，等号成立。这样的式子为基本不等式
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
叫做正数的算术平均数
叫做正数 的几何平均数
新课讲授
上面通过考察的特殊情形获得了基本不等式。能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下。
新课讲授
要证：①
只要证：②
要证②，只要证： ③
要证③，只要证：④
要证④，只要证：
显然，⑤成立，当且仅当a=b时，⑤中的等号成立。
只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了。
如图，可证 因而由于小于或等于圆的半径，用不等式表示为.
显然，当且仅当点与圆心重合，即当时，上述不等式的等号成立.
基本不等式的几何意义
例1.已知x，y都是正数，求证：
（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值
探究一 对基本不等式的理解
例1.已知x，y都是正数，求证：
（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值
探究一 对基本不等式的理解
总结：和定积最大，积定和最小
探究二 和定积最大，积定和最小
例2 求函数 的最小值，并求出y取得最小值时x的值。
一正：符合基本不等式 成立的前提条件，a＞0，b＞0
二定：化不等式的一边为定值（a+b为定值或ab为定值）
三相等：必须存在“=”成立的条件
小结--基本不等式求最值问题
一正、二定、三相等！！！！！！
和定积最大，积定和最小
【例】已知都是正数，求证：
（1）如果等于定值P，那么当时，有最小值
【证明】所以
（1）等于定值P时， ，所以
当且仅当时，上式等号成立，此时有最小值
（2）如果等于定值S，那么当时，有最大值
（2）时， ，两边平方，所以
，当且仅当时，上式等号成立，此时有最大值
最值定理及其应用
①当时，，，
当且仅当时，等号成立.
②当时，，
当且仅当时，等号成立.
最值定理及其应用
基本不等式
利用基本不等式求最值的条件：
一正、二定、三相等。
基本不等式
基本不等式
3.已知都是正数，求证：
（1）如果等于定值P，那么当时，有最小值
证明：所以
（1）等于定值P时， ，∴
当且仅当时，上式等号成立，此时有最小值
（2）如果等于定值S，那么当时，有最大值
（2）时， ，两边平方，
当且仅当时，上式等号成立，此时有最大值
课堂小结
通常称不等式(1)为基本不等式，其中，叫做正数a，b的算术平均数，正数a，b的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
即：
谢谢学习
Thank you for learning