万有引力定律 同步测试
一、单项选择题
1．下列说法符合史实的是( )
A．牛顿发现了行星的运动规律
B．开普勒发现了万有引力定律
C．卡文迪许第一次在实验室里测出了万有引力常量
D．牛顿发现了海王星和冥王星
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 第一宇宙速度是人造卫星环绕地球运动的速度
B. 第一宇宙速度是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度
C. 如果需要，地球同步通讯卫星可以定点在地球上空的任何一点
D. 地球同步通讯卫星的轨道可以是圆的也可以是椭圆的
3. 关于环绕地球运转的人造地球卫星，有如下几种说法，其中正确的是（ ）
A. 轨道半径越大，速度越小，周期越长
B. 轨道半径越大，速度越大，周期越短
C. 轨道半径越大，速度越大，周期越长
D. 轨道半径越小，速度越小，周期越长
4．同步卫星是指相对于地面不动的人造地球卫星 （ ）
A．它可以在地面上任一点的正上方，且离地心的距离可按需要选择不同值
B．它可以在地面上任一点的正上方，但离地心的距离是一定的
C．它只能在赤道的正上方，但离地心的距离可按需要选择不同值
D．它只能在赤道的正上方，且离地心的距离是一定的
5、科学家们推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息可以确定：（ ）
A.这颗行星的公转周期与地球相等 B．这颗行星的半径等于地球的半径
C.这颗行星的密度等于地球的密度 D．这颗行星上同样存在着生命
6.若已知行星绕太阳公转的半径为r，公转的周期为T，万有引力恒量为G，则由此可求出（ ）
A.某行星的质量 B.太阳的质量
C.某行星的密度 D.太阳的密度
7.2001年10月22日，欧洲航天局由卫星观测发现银河系中心存在一个超大型黑洞，命名为MCG6－30－15，由于黑洞的强大引力，周围物质大量掉入黑洞，假定银河系中心仅此一个黑洞，已知太阳系绕银河系中心匀速运转，下列哪一组数据可估算该黑洞的质量（ ）
A.地球绕太阳公转的周期和速度
B.太阳的质量和运行速度
C.太阳质量和到MCG6－30－15的距离
D.太阳运行速度和到MCG6－30－15的距离
8．两行星A、B各有一颗卫星a和b ，卫星的圆轨道接近各自行星表面，如果两行星质量之比MA：MB=p，两行星半径之比RA：RB＝q则两个卫星周期之比Ta：Tb为 ( )
A． B. C. D.
9．一宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，飞船原来的线速度是v1，周期是T1，假设在某时刻它向后喷气做加速运动后，进入新轨道做匀速圆周运动，运动的线速度是v2，周期是T2，则（ ）
A．v1＞v2，T1＞T2 B．v1＞v2，T1＜T2
C．v1＜v2，T1＞T2 D．v1＜v2，T1＜T2
二、多项选择
图1
10．如图1所示，a、b、c是地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造地球卫星，a、b质量相同，且小于c的质量，则（ ）
A．b所需向心力最小
B．b、c周期相等，且大于a的周期
C．b、c的向心加速度相等，且大于a的向心加速度
D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度
11.关于开普勒行星运动的公式＝k，以下理解正确的是（ ）
A.k是一个与行星无关的常量
B.若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R地，周期为T地；月球绕地球运转轨道的长半轴为R月，周期为T月，则
C.T表示行星运动的自转周期
D.T表示行星运动的公转周期
12．地球同步卫星到地心的距离r可由r3=求出.已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，则 （ ）
A．a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度
B．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度
C．a是赤道周长，b是地球自转的周期，c是同步卫星的加速度
D．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度
13．两个行星各有一个卫星绕其表面运行，已知两个卫星的周期之比为1∶2，两行星半径之比为2∶1 ，则（ ）
A．两行星密度之比为4∶1 B．两行星质量之比为16∶1
C．两行星表面处重力加速度之比为8∶1 D．两卫星的速率之比为4∶1
三、填空题
14．两颗人造卫星A、B的质量之比mA∶mB=1∶2，轨道半径之比rA∶rB=1∶3，某一时刻它们的连线通过地心，则此时它们的线速度之比vA∶vB= ，向心加速度之比aA∶aB= ，向心力之比FA∶FB= 。
15．地球绕太阳运行的半长轴为1.5×1011 m，周期为365 天；
月球绕地球运行的轨道半长轴为3.82×108m，周期为27.3 天，则对于绕太阳运行的行星，R3／T2的值为______m3／s2；对于绕地球运行的物体，则R3／T2＝________ m3/s2.
16．右图中，有两颗人造地球卫星围绕地球运动，它们运行的轨道可能是___________,不可能是___________.
四、证明题和计算题
17.（10分）宇航员驾驶一飞船在靠近某行星表面附近的圆形轨道上运行，已知飞船运行的周期为T，行星的平均密度为。试证明（万有引力恒量G为已知，是恒量）
18.（12分）神舟五号载人飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度h=342km的圆形轨道。已知地球半径，地面处的重力加速度。试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T的公式（用h、R、g表示），然后计算周期的数值（保留两位有效数字）。
万有引力定律同步测试答卷
姓名_____________ 班别___________ 学号____________
一、单项选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
二、多项选择
10
11
12
13
三、填空题
14.____________; ____________;_____________; 15.______________;______________
16.__________;__________;
四、证明题和计算题
17.
18.
参考答案
一、单项选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
C
B
A
D
A
B
D
A
B
二、多项选择
10
11
12
13
ABD
AD
AD
ACD
、填空题
14. ；9：1；9：2 15. 3.4×1018；1.0×1013 16. ①③； ②.
四、证明题和计算题
17.解：设行星半径为R、质量为M，飞船在靠近行星表面附近的轨道上运行时，有
即 ①（6分）
又行星密度 ②（2分）
将①代入②得 证毕（2分）
18.解：设地球质量为M，飞船质量为m，速度为v，圆轨道的半径为r，由万有引力和牛顿第二定律，有
代入数值，得 2分
万有引力定律 同步练习
1.下列说法正确的是（ ）
A.行星绕太阳转动的椭圆轨道可以近似地看作圆轨道，其向心力来源于太阳对行星的引力
B.太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力，所以行星绕太阳运转而不是太阳绕行星运转
C.万有引力定律适用于天体，不适用于地面上的物体
D.行星与卫星之间的引力，地面上的物体所受的重力和太阳对行星的引力，性质相同规律也相同
答案：A
2.对于万有引力定律的表达式F=G·，下列说法中正确的是（ ）
A.公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的
B.当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C.m1与m2受到的引力总是大小相等的而与m1、m2是否相等无关
D.m1与m2受到的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力
答案：AC 引力常量G是卡文迪许利用扭秤装置测得，选项A正确.当r趋近于零时，物体不能看成质点，F=G不再适用，所以由它得出的结论是错误的，B选项错.m1、m2之间的引力是一对相互作用力，它们大小相等、方向相反，但由于分别作用在两个物体上，所以不能平衡.C选项正确，D选项错误.
3.下列叙述正确的是（ ）
A.卡文迪许实验证明了万有引力定律，并测出了引力常量
B.万有引力常量的单位是N·m2/kg2
C.我们平时很难觉察到物体间的引力，这是由于一般物体间没有万有引力作用
D.万有引力常量的数值是人为规定的
答案：AB
4.甲、乙两个质点间的万有引力大小为F，若甲物体的质量不变，乙物体的质量增加到原来的2倍，同时，它们之间的距离减为原来的1/2，则甲、乙两物体的万有引力大小将变为（ ）
A.F B.F/2
C.8F D.4F
答案：C
5.要使两物体间万有引力减小到原来的1/4，可采用的方法是（ ）
A.使两物体间质量各减少一半，距离保持不变
B.使两物体间距离增至原来的2倍，质量不变
C.使其中一个物体质量减为原来的1/4，距离不变
D.使两物体质量及它们之间的距离都减为原来的1/4
答案：ABC
6.两个行星的质量分别为m1和 m2，绕太阳运行的轨道半径分别为r1和r2，若它们只受太阳万有引力作用，那么这两个行星的速度之比为（ ）
A.1 B.m2r1/m1r2
C.m1r2/m2r1 D./
答案：D 两个行星都绕太阳运动，故
m1=，m2=，所以v1∶v2=/，D正确.
7.某物体在地球表面上受到地球对它的引力大小为800 N，为使此物体受到的引力减至50 N，物体距地面的高度应为_______R（R为地球半径）.
答案：3 设地球半径为R，物体距地面的高度为h，物体在地球表面时所受的引力为：
F1=G
物体在高空所受地球的引力为：F2=G
两式相除得：=
解得：h=3R.
8.离地面某一高度h处的重力加速度是地球表面重力加速度的，则高度h是地球半径的_______倍.
答案：－1 根据地面上物体受到的地球引力约等于物体所受的重力，则有
G=mg
G=mgh
且gh＝g
三式联立可得：h=（－1）R
即h是地球半径的（－1）倍.
思路导引
←太阳与行星之间的引力是一对作用力与反作用力.
←G是卡文迪许利用扭秤装置、在实验室内测定的万有引力定律适用两质点间引力计算.
←G的单位由F、m、r的单位决定.宇宙中任何两物体之间都存在万有引力F=G.
←太阳对行星的引力提供行星做圆周运动的向心力G=m.
←物体在地球表面上重力近似等于地球结它的万有引力.
对此类问题，应明确星球表面上物体受到的重力等于万有引力（忽略星球自转带来的影响），从而进一步认识到g值随高度的增加而减小.
拓展练习
1.由牛顿第二定律F=ma可知，加速度与物体的质量成反比，而在自由落体运动中，物体所受的重力加速度与物体的质量无关，这两者是否矛盾？请说明理由.
答案：不矛盾 理由略
2.地球公转轨道的半径在天文学上常用来作为长度单位，叫做一个天文单位，用来量度太阳系内天体与太阳间的距离．已知火星公转的周期是1.84年，根据开普勒第三定律，火星公转轨道半径是多少个天文单位？(将地球和火星绕太阳公转的轨道近似看成圆形轨道)
答案：1.5个天文单位
3.开普勒行星运动三定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动．如果一颗人造地球卫星沿椭圆轨道运动，它在离地球最近的位置(近地点)和最远的位置(远地点)，哪点的速度比较大？
答案：近地点的速度大
4.两艘万吨油轮，满载时质量分别是4.0×108 kg和2×109 kg，当它们相距0.1 km时，计算其万有引力.
答案：5340 N
5.一个质子由两个u夸克和一个d夸克组成．每个夸克的质量是7.1×10－30 kg，求两个夸克相距1.0×10－16 m时的万有引力．
答案：3.36×10－37 N
万有引力定律 同步练习
一、不定项选择题（共48分，每小题6分，漏选得3分，错选或不答均不得分。请将答案填在题后的方框里）
1.下列说法正确的是（ ）
A.行星绕太阳的椭圆轨道可以近似地看作圆轨道，其向心力来源于太阳对行星的引力
B.太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力，所以行星绕太阳运转而不是太阳绕行星运转
C.万有引力定律适用于天体，不适用于地面上的物体
D.行星与卫星之间的引力、地面上的物体所受的重力和太阳对行星的引力，性质相同，规律也相同
2.关于万有引力的说法正确的是（ ）
A.万有引力只有在天体与天体之间才能明显地表现出来
B.一个苹果由于其质量很小，所以它受到的万有引力几乎可以忽略
C.地球对人造卫星的万有引力远大于卫星对地球的万有引力
D.地球表面的大气层是因为万有引力约束而存在于地球表面附近
3.一星球密度和地球密度相同，它的表面重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，则该星球质量是地球质量的（忽略地球、星球的自转）（ ）
A.2倍 B.4倍
C.8倍 D.16倍
4.若已知某行星绕太阳公转的半径为，公转周期为，万有引力常量为，则由此可求出（ ）
A. 某行星的质量 B.太阳的质量C. 某行星的密度 D.太阳的密度
5.宇宙飞船进入一个围绕太阳运动的近乎圆形的轨道上运动，如果轨道半径是地球轨道半径的9倍，那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是（ ）
A.3年 B.9年
C.27年 D.81年
6.近地卫星线速度为7.9km/s，已知月球质量是地球质量的1/81，地球半径是月球半径的3.8倍，则在月球上发射“近月卫星”的环绕速度约为（ ）
A.1.0 km/s B.1.7 km/s
C.2.0 km/s D.1.5 km/s
7.由于空气阻力的作用，人造卫星缓慢地靠近地球，则（ ）
A.卫星运动速率减小
B.卫星运动速率增大
C.卫星运行周期变小
D.卫星的向心加速度变大
8.地球同步卫星距地面高度为，地球表面的重力加速度为，地球半径为，地球的自转角速度为，那么同步卫星绕地球转动的角速度为（ ）
A.
B.
C.
D.
选择题答题表
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
二、填空题（共24分，每小题6分，直接填写在题中相应位置）
9.某物体在地球表面上受到地球对它的引力大小为960N，为使此物体受到的引力减至60N，物体距地面的高度应为_____。（为地球的半径）
10.一物体在一星球表面时受到的吸引力为在地球表面所受吸引力的倍，该星球半径是地球半径的倍。若该星球和地球的质量分布都是均匀的，则该星球的密度是地球密度的_________倍。
11.两颗人造地球卫星，它们的质量之比，它们的轨道半径之比，那么它们所受的向心力之比__________;它们的角速度之比____________.
12.若已知某行星的平均密度为，引力常量为，那么在该行星表面附近运动的人造卫星的角速度大小为____________.
三、解答题（共28分。要写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤）
13.（14分）对某行星的一颗卫星进行观测，已知运行的轨迹是半径为的圆周，周期为，求：（1）该行星的质量；（2）测得行星的半径为卫星轨道半径的1/10，则此行星表面重力加速度为多大？
14.（14分）在地球某处海平面上测得物体自由下落高度所需的时间为，到某高山顶测得物体自由落体下落相同高度所需时间增加了，已知地球半径为，求山的高度。
万有引力定律 同步练习
一、不定项选择题（共48分，每小题6分，漏选得3分，错选或不答均不得分。请将答案填在题后的方框里）
1.关于万有引力的说法正确的是（ ）
A.万有引力是普遍存在于宇宙中所有有质量的物体之间的相互作用
B.重力和万有引力是两种不同性质的力
C.当两物体间有另一质量较大的物体存在时，则这两个物体间的万有引力将增大
D.当两物体紧贴在一起时，万有引力将无穷大
2.已知金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期，它们绕太阳的公转均可看作匀速圆周运动，则（ ）
A.金星到太阳的距离大于地球到太阳的距离
B.金星运动的速度小于地球运动的速度
C.金星的向心加速度大于地球的向心加速度
D.金星的质量大于地球的质量
3.关于第一宇宙速度的正确说法是（ ）
A.它是人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度
B.它是人造地球卫星在圆形轨道上的最小运行速度
C.它是能使卫星绕地球运行的最小发射速度
D.它是人造地球卫星绕地球做椭圆轨道运行时在近地点的速度
4.两颗人造卫星绕地球做圆周运动，它们的质量之比1：2，轨道半径之比为1：4，则（ ）
A.它们的运动速率之比为2:1
B.它们的周期之比为1:4
C.它们的运动速率之比为4:1
D.它们的周期之比为1:8
5.两颗行星和各有一卫星和，卫星的圆轨道接近各自行星的表面，如果两颗行星质量之比为，两行星半径之比为，则两卫星周期之比等于（ ）
A. B. C. D.
6.有两个大小一样、同样材料组成的均匀球体靠在一起，他们之间的万有引力为，若用上述材料制成两个半径更小的靠在一起的均匀球体，他们间的万有引力将（ ）
A.等于 B.小于
C.大于 D.无法比较
7.三颗人造卫星、、在地球的大气层外沿如图所示的方向做匀速圆周运动，，则三颗卫星（ ）
A.线速度大小：
B.周期：
C.向心力大小：
D.轨道半径和周期
的关系：
8.人造卫星离地距离等于地球半径，卫星以速度沿圆轨道运动，设地面的重力加速度为，则有（ ）
A. B.
C. D.
选择题答题表
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
二、填空题（共24分，每小题6分，直接填写在题中相应位置）
9.空间探测器进入某行星的万有引力范围之内以后，在靠近该行星表面上做匀速圆周运动，测得运动周期为，则这个行星的平均密度=__________.
10.1990年3月，紫金山天文台将1965年9月20日发现的2752号小行星命名为“吴健雄星”，其直径为32km，如该小行星的密度和地球相同，则该小行星的第一宇宙速度为________m/s。（已知：km，地球第一宇宙速度km/s）
11.已知地球半径为，地球自转角速度为，地球表面的重力加速度为，则在赤道上空，一颗相对地面静止的同步通讯卫星离地面的高度为____________（用已知三个量表示）
12.某天文台测得某卫星的轨道半径为，周期为，则卫星的向心加速度为_____________，行星的质量为________________.
三、解答题（共28分。要写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤）
13.（14分）我国自行研制的“神舟六号”载人飞船在飞行过程中绕地球做匀速圆周运动，已知地球半径为，地球表面的重力加速度为，时间内飞船绕地球运动的圈数为，求飞船离地面的高度。
14.（14分）一物体在地球表面重16N，将它挂在以5 m/s2的加速度竖直上升的火箭中的弹簧秤钩上，弹簧秤示数9N，求此火箭离地球表面的距离为地球半径的几倍？（ m/s2）
万有引力定律 同步练习
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分100分，考试用时90分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共40分）
一、选择题（每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，至少有一个选项是正确的，全部选对得4分，对而不全得2分。）
1．关于开普勒行星运动的公式=k，以下理解正确的是 （ ）
A．k是一个与行星无关的常量
B．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R地，周期为T地;月球绕地球运转轨道的长半轴
为R月，周期为T月，则
C．T表示行星运动的自转周期
D．T表示行星运动的公转周期
2．对于万有引力定律的表达式F=G，下面说法中正确的是 （ ）
A．公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的
B．当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C．m1与m2受到的引力总是大小相等的，而与m1、m2是否相等无关
D．m1与m2受到的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力
3．如图1所示，a、b、c是地球大气层外圆形轨道上运动的三颗卫星，
a和b质量相等且小于c的质量，则（ ）
A．b所需向心力最小
B．b、c的周期相同且大于a的周期
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度
4．已知甲、乙两行星的半径之比为a，它们各自的第一宇宙速度之比为b，则下列结论正确的是 （ ）
A．甲、乙两行星的质量之比为b2a∶1
B．甲、乙两行星表面的重力加速度之比为b2∶a
C．甲、乙两行星各自卫星的最小周期之比为a∶b
D．甲、乙两行星各自卫星的最大角速度之比为a∶b
5．近地卫星线速度为7.9 km/s，已知月球质量是地球质量的，地球半径是月球半径的3.8
倍，则在月球上发射“近月卫星”的环绕速度约为 （ ）
A．1.0 km/s B．1.7 km/s C．2.0 km/s D．1.5 km/s
6．假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则（ ）
A．根据公式v=ωr，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍
B．根据公式F=m ，可知卫星所需的向心力将减小到原来的
C．根据公式F=G ，可知地球提供的向心力将减小到原来的
D．根据上述B和C中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的
7．据观测，某行星外围有一模糊不清的环，为了判断该环是连续物还是卫星群，又测出了环中各层的线速度v的大小与该层至行星中心的距离R，则以下判断中正确的是（ ）
A．若v与R成正比，则环是连续物 B．若v与R成反比，则环是连续物
C．若v2与R成正比，则环是卫星群 D．若v2与R成反比，则环是卫星群
8．地球同步卫星距地面高度为h，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，地球自转的角速度为ω，那么同步卫星绕地球转动的线速度为 （ ）
A．v=（R+h）ω B．v=
C．v=R D．v=
9．下列说法中正确的是 （ ）
A．已知地球中心距太阳中心的距离，只要观测到火星绕太阳的公转周期，就可估测出火星中心距太阳中心的距离
B．已知地球中心距太阳中心的距离，就能估测出地球中心距月球中心的距离
C．已知月球中心距地球中心的距离，就能估测出同步地球卫星距地球中心的距离
D．已知月球中心距地球中心的距离，只要观测火星绕太阳公转的周期，就能估测出火星距太阳的距离
10．两颗靠得较近的天体组成双星，它们以两者连线上某点为圆心。设其做匀速圆周运动，因而不会由于相互的引力作用而被吸在一起，则下列说法中正确的是 （ ）
A．它们做圆周运动的角速度之比与它们的质量成正比
B．它们做匀速圆周运动的线速度之比与它们的质量成反比
C．它们做匀速圆周运动的向心力之比与它们的质量成正比
D．它们做圆周运动的轨道半径之比与它们的质量成反比
第Ⅱ卷（非选择题，共60分）
二、填空题（每小题6分，共24分。把正确答案填写在题中的横线上，或按题目要求作答。）
11．已知一颗人造卫星在某行星表面上空绕该行星做匀速圆周运动，经过时间t，卫星运动的弧长为s，卫星与行星的中心连线扫过的角度是1 rad，那么卫星的环绕周期T=________，该行星的质量M=________（万有引力常量为G）。
12．假设地球自转速度达到使赤道上的物体“飘”起（完全失重），则地球上一天约等于_______h（地球赤道半径取6.4×106 m， g=10 m/s2）
13．两个行星的质量分别为M1和M2，它们绕太阳运行的轨道可以当做半径为R1和R2的圆。假定它们只受到太阳的引力作用，则它们的向心加速度之比a1∶a2=________，它们的运行周期之比T1∶T2=________。
14．已知地球的半径为R，地面的重力加速度为g，引力常量为G。可求得地球的平均密度ρ=________。
三、计算题（共36分。要求写出必要的文字说明、主要方程式和重要演算步骤，有数值计算的要明确写出数值和单位，只有最终结果的不得分。）
15．（12分）同步通讯卫星是进行现代通讯的重要的工具，我们的国家在卫星的发射方面已取得了辉煌的成就，进入了世界航天大国的行列。下面是关于同步卫星的一些问题，请回答或进行讨论。
（1）同步通讯卫星的轨道有什么特点？
（2）同步通讯卫星的轨道离地球表面的距离约为多大？
16．（12分）已知万有引力常量G，地球半径R，地球和月亮之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球运转的周期T1，地球的自转的周期T2，地球表面的重力加速度g。某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：同步卫星绕地心作圆周运动，由 。
（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出正确的解法和结果。
（2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。
17．（12分）某物体在地面上受到的重力为160 N，将它置于宇宙飞船中，当宇宙飞船以a= 的加速度加速上升时，在某高度处物体对飞船中支持面的压力为90 N，试求此时宇宙飞船离地面的距离是多少?（已知地球半径R=6.4×103 km，g=10 m/s2）
参考答案
1．【答案】 AD
【解析】 公式=k成立的前提条件是绕同一天体运动的行星，故B错。公式中的T指的是行星运转的公转周期，故D正确，C错。由于此公式对所有行星都成立，而各行星质量及其他又相差很多，故k应是与行星无关的常量。故A正确。
2．【答案】 AC
【解析】 引力常量G是卡文迪许利用扭秤装置测得，选项A正确。当r趋近于零时，物体不能看成质点，F=G不再适用，所以由它得出的结论是错误的，B选项错。m1、m2之间的引力是一对相互作用力，它们大小相等，方向相反，但由于分别作用在两个物体上，所以不能平衡。C选项正确，D选项错误。
3．【答案】 ABD
【解析】 因卫星运动的向心力就是它们所受的万有引力，而b所受的引力最小，故A对。
由GMm/r2=ma得a=GM/r2，即卫星的向心加速度与轨道半径的平方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错。由GMm/r2=4π2mr/T2得T=2π，即人造地球卫星运行的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B对。由GMm/r2=mv2／r得v=，即地球卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比，所以b、c线速度大小相等且小于a的线速度，D对。
4．【答案】 ABC
【解析】 由G得M=，则=b2a。由mg=m得
g=，则。由T=得。由ω=得
。
5．【答案】 B
【解析】 卫星在地球（月球）表面附近绕地球（月球）做匀速圆周运动，向心力为地球（月球）对卫星的吸引力，则G，近地（月）卫星的线速度为v=。近月卫星与近地卫星的线速度之比为=0.22。所以近月卫星的线速度为v2=0.22v1=0.22×7.9 km/s=1.7 km/s，选项B正确.
6．【答案】 CD
【解析】 卫星绕地球做圆周运动时，地球对卫星的吸引力提供卫星做圆周运动的向心力，由F向=G知，卫星的轨道半径增大到原来的2倍，向心力减小到原来的，C选项正确.根据G=m得v=，所以，卫星的轨道半径增大到原来的2倍，线速度减小到原来的.D选项正确。由于随着半径r的变化，角速度和线速度都要变化，所以不能根据v=ω r和F=m得出v∝r及F∝，故A、B选项均错.
7．【答案】 AD
【解析】 若环为连续物，则角速度ω一定，由v=Rω知，v与R成正比，所以A选项正确.若环为卫星群，由G得v=，所以，v2与R成反比，D选项正确.
8．【答案】 ACD
【解析】 由v=ω r得，同步卫星的线速度为v=ω（R+h），A选项正确。根据地球对卫星的引力提供卫星的向心力得G=mω2r求得v=，r=。由mg=G 得GM=gR2，则v=，C选项正确.r=。由v=ωr得v=ω，D选项正确.
9．【答案】 AC
【解析】 对于选项A，因为地球、火星均是太阳系的行星，都绕中心天体太阳运动，因而有=k，而地球的公转周期T1=1年365天，这是常识，对于估算问题不必给出。因此，给出日、地中心间距离R1和火星绕日公转周期T2，可由上面的比例式推算出火星中心距太阳中心的距离R2。所以选项A正确。对于选项C，月球与地球同步卫星都绕这个中心天体运动，所以有=k′。由于月球的公转周期T1=1个月=30天是常识，同步地球卫星的周期与地球自转周期相等，T2=1天，题目都不必给出。由上述比例式可推算出R2，故选项C正确。选项B、D中的两星球所绕行的中心天体不同，比值k也不同，故不能用分析A、C时所列出的比例式进行估算，选项B、D错误。
10．【答案】 BD
【解析】 双星以它们连线上某点为圆心做匀速圆周运动，向心力是它们之间的相互吸引力，所以双星做圆周运动的向心力大小相等，C选项错。双星圆周运动的角速度相等，A选项错。由上述关系得G=m1ω2r1=m2ω2r2，则m1r1=m2r2 ，即双星做圆周运动的轨道半径与双星的质量成反比，D选项正确。由v=ωr得，即双星做圆周运动的线速度与它们的质量成反比，B选项正确。
11．【答案】 2πt；
【解析】 卫星在t时间内转过的角度为1 rad，则卫星在1个周期内需转过2π rad，故T=2πt，由弧长公式s=rθ，得卫星的轨道半径为r=s，由G=mr（）2得M=
12．【答案】 1.4
【解析】 欲使赤道上的物体“飘”起来，则赤道上的物体所受重力完全提供向心力，故mg=mR（）2，T=1.4 h.
13．【答案】 R22∶R12；∶
【解析】 a=，则a∝。由GR知T2∝R3分析。
14．【答案】 3g/4πGR
【解析】 由mg=G和ρ=得ρ=。
15．解：（1）同步卫星的轨道平面必须与地球的赤道平面重合，这是同步卫星运动实现的必要的条件，同步卫星发射后并不是直接进入同步轨道的，而是要先进入近地的停泊轨道，再进入转移轨道，最后经过一系列的调整进入同步轨道。同步卫星的轨道平面虽然要与地球的赤道的平面重合，但发射并不一定要在赤道上发射。 （4分）
（2）万有引力提供向心力，可得G =m（R+h） （4分）
整理后得 h=－R （2分）
代入数据，得 h=3.6104km （2分）
16．解：（1）上面的结果是错误的，地球半径R在计算过程中不能忽略。
正确的解法和结果： （2分）
得 （2分）
（2）方法一：对月球绕地作圆周运动， （2分）
得 （2分）
方法二：在地球表面重力近似等于万有引力： （2分）
得 （2分）
17．解：物体在地面时重力为160 N，则其质量m==16 kg. （2分）
物体在地面时有G=mg （2分）
在h高处时有 FN－G=ma （2分）
由上式得（）2==16 （2分）
所以=4 （2分）
则h=3R=19.2×103 km （2分）
万有引力定律 同步练习
1.开普勒关于行星运动的公式R3/T2=k，以下理解正确的是（ ）
k是一个与行星无关的常量
R代表行星运动的轨道半径
T代表行星运动的自转周期
T代表行星绕太阳运动的公转周期
2．开普勒关于行星运动的描述是（ ）
所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上
所有的行星围绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上
所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等
所有行星轨道的半径的半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相等
3．两大小相等的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，若两个半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为（ ）
2F B.4F C.8F D.16F
4.设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R（R是地球的半径）处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则g/ g0为（ ）
1
1/9
1/4
1/16
5．地球的质量是月球的81倍，地球与月球之间的距离为s，一飞行器运动在地球与月球连线的某位置时，地球对它的吸引力大小是月球对它吸引力大小的4倍，则此飞行器离地心的距离是（ ）
3/4S
4/9S
9/11S
16/18S
6.已知两行星绕太阳运动的半长轴之比为b，它们的公转周期之比为 。
7．两个物体相距r时，相互吸引力是F，那么当它们相距r/2时，相互吸引力是 。
8．某物体在地球表面上受到地球对它的引力为800N，为使此物体受到的引力减至50N，物体距地面的高度为 R.
答案：
1、AD
2、AC
3、D
4、D
5、C
6、
7、4F
8、3
万有引力定律 同步练习
1．对于万有引力定律的表达式F=G m1m2/r2,下面说法正确的是（ ）
A、公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的
B、 当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C、m1与m2受到的引力总是大小相等的，而与m1、m2是否相等无关
D、m1与m2受到的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力
2. 下列叙述正确的是（ ）
A、卡文迪许实验证明了万有引力定律，并测出了引力常量
B、万有引力常量的单位是N·m2/kg2
C、我们平时很难觉察到物体间的引力，这是由于一般物体间没有万有引力作用
D、万有引力常量的数值是人为规定的
3.下列关于万有引力定律的说法正确的（ ）
A、万有引力是牛顿发现的
B、F=G m1m2/r2中的G是一个比例常数，是有单位的
C、万有引力定律适用质点间的相互作用
D、两个质量分布均匀的分离的球体之间的相互作用也可以用F=G m1m2/r2来计算，r是两球体球心间的距离
4.把太阳系各行星的运动近似看作匀速圆周运动，侧离太阳越远的行星（ ）
A、周期越小
B、线速度越小
C、角速度越小
D、加速度越小
5.甲、乙两个质点间的万有引力大小为F ，若甲物体的质量不变，乙物体的质量增加到原来的2倍，同时，它们之间的距离减为原来的1/2，则甲、乙两物体的万有引力大小将变为（ ）
A、F
B、F/2
C、8F
D、4F
6.设想把质量为m的物体放到地球的中心，地球质量为M，半径为R，则物体与地球间的万有引力是（ ）
A、零
B、无穷大
C、GMm/R2
D、无法确定
7．要使两物体间万有引力减少到原来的1/4，可采用的方法是（ ）
A、使两物体的质量各减少一半，距离保持不变
B、使两物体间距离增至原来的2倍，质量不变
C、使其中一个物体质量减为原来的1/4，距离不变
D、使两物体质量及它们之间的距离都减为原来的1/4
8．已知地面处的重力加速度为g，距地面高为地球半径处的重力加速度是
9．月球环绕地球的轨道半径约为地球半径的60倍，运行周期约为27d，试用开普勒定律计算处：在赤道平面内离地面多大高度，人造地球卫星可以随地球一起转动，就像停留在天空不动一样。（地球半径约为6.4×103km）
10．地球半径R=6400km，地面的重力加速度g＝9.8m/s2。地核的体积约为整个地球体积的16％，地核的质量约为地球质量的34％，试估算地核的平均密度。
答案：
1、AC
2、B
3、ABCD
4、BCD
5、C
6、A
7、ABC
8、g/4
9、3.36×104km
10、1.2×104kg/m3
第三章 万有引力定律及其应用
目标导航
1、了解开普勒行星三定律，知道开普勒行星运动定律的发现为万有引力定律的发现奠定了基础。
2、通过学习万有引力定律，理解万有引力定律的内容及适用条件。
3、了解引力常量的测定过程，理解卡文迪许实验装置及其原理，体会运用对称平衡法、微小变量放大显示法、光反向原理等科学方法，培养创造性的思维。
4、能运用万有引力定律对天体的运动进行定性分析和定量计量，会求太阳和其他行星的质量，会计算人造卫星的环绕速度，知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。
5、了解经典力学的发展历程和伟大成就，体会经典力学创立的价值和意义，体会科学研究方法对人们认识自然的重要作用，知道物理学的进展以自然科学的促进作用。
万有引力定律
（1课时）
要点精讲
开普勒对行星运动的描述
开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的焦点上。开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相同时间内扫过面积相等
开普勒第三定律：所有行星的轨道长半轴的三次方跟公转的周期的平方的比值都相等，
即R3/T2=K。
注意：开普勒第三定律虽然是根据行星绕太阳的运动总结出来的，但也适用于卫星、飞船绕行星运动。
二、万有引力定律
1．定律的内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的两个物体间的引力的大小跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。表达式F=
2．万有引力定律表达式的适用条件：适用于两个质点之间的万有引力的计算，当两个物体之间的距离远大于物体本身的大小时，公式可以近似适用，对于质量均匀分布的球体，可以视为质点。这时公式中的r是两球心的距离。
3．式中G的意义：G=6.67×10-11N.m2/kg2，称为万有引力常量，它在数值上等于两个质量都是1kg的物体相距1m时相互吸引力的大小，G值十分微小表明通常情况下，一般物体之间的万有引力非常小，但在质量巨大的天体之间万有引力具有可观的数值。
典型题分析
[例1] 如图所示，半径R=20cm、质量M=168kg的均匀铜球中，挖去一球形空穴，空穴的半径为，并且跟铜球相切。在铜球外有一质量m=1kg、体积可忽略的小球，这个小球位于连接铜球球心跟空穴中心的直线上，并且在空穴一边，两球心相距是d=2cm，试求它们之间的吸引力。
[解析]： 完整的铜球与小球m之间的相互吸引力为F=G，这个力F跟铜球M的所有质点和小球m的所有质点之间引力的总合力，它应该等于被挖掉球穴后和剩余部分与半径为的铜球对小球m的吸引力和，即F=F1+F2式中F1是挖掉球穴后的剩余部分对m的吸引力，F2是半径为的小铜球对m的吸引力，因为F2=
所以挖掉球穴后的剩余部分对小球的吸引力F1=F-F2=G—=GMm=2.41×10-9N
说明:万有引力定律的公式只适用于计算质点或均匀球体之间的相互作用力.挖去球穴后的乘余部分已不是一个均匀的球体,且它与小球m相距较近,不能看成质点.所以在解题时注意公式的适用条件.
[例2]假设火星和地球都是球体,火星质量M火和地球质量M地之比为M火/M地=p,火星的半径R火和地球半径R地之比R火/R地=q,那么离火星表面R火处的重力加速度g火h和离地球表面R在高处的重力加速度g地h之比g火h/g地h=?
[解析]利用重力与万有引力近似相等求解
距火星表面R火高处 mg火h=G (1)
距地球表面R地高处 mg地h=G (2)
(1)(2)两式相除得:
[例3]宇宙员站在一星球表面上的某高处,沿水平方向抛出一小球.经过时间t,小球落到星球表面,测得抛出点与落地点之间的距离为L.若抛出时的初速度增大到2倍,则抛出点与落地点之间的距离为L.已知两落地点在同一水平面上台阶,该星球的半径为R,引力常量为G.求该星球的质量M.
[解析]设抛出点的高度为h,第一次平抛的水平位移为x,则x2+h2=L2 (1)
由平抛规律可知,当初速度增大至2倍时,其水平位移也增大到2x,可知(2x)2+h2=()2 (2)
由(1)(2)解得h=
设该星球上的重力加速度为g,由平抛运动的规律的h= (3)
由万有引力定律和牛顿第二定律可得 G (4)
式中的m为小球的质量,联立以上各式,可解得M=
基础演练与综合应用
1.下面关于万有引力的说法中正确的是( )
A.万有引力是普遍存在于宇宙中所有具有质量的物体之间的相互作用
B.重力和万有引力是两种不同性质的力
C.当两物体间有另一质量不可忽略的物体存在时,则这两个物体间的万有引力将增大
D.当两物体间距为零时,万有引力将无穷大
2.下列说法正确的是( )
A.万有引力是卡文迪许发现的
B.万有引力定律适用于任何两物体之间
C.万有引力定律只适用于天体之间
D.海王星和冥王星都是根据万有引力定律发现的
3.两物体之间的万有引力大小为F1,若二物体之间的距离减小x,二物体仍可视为质点,此时此两个物体之间有万有引力为F2,根据上述条件可以计算( )
A.二物体的质量 B. 万有引力恒量
C.二物体之间的距离 D.条件不足,无法计算上述中的任一物理量
4.两个质量均匀的球体,相距为r,它们之间的万有引力为10-8N,若它们的质量、距离都增加为原来的2倍，则它们间的万有引力为（ ）
A．4×10-8 B．10-8N C．10-6 N D．10-4N
5．如图所示，两球质量分布均匀，大小分别为m1、m2，则两球间的万有引力的大小为（ ）
A．G B．G
C．G D．G
6．离地面高h处的重力加速度是地球表面处重力加速度的一半，则h是地球半径的（ ）
A．2倍 B．倍 C．倍 D．（）倍
7．有两个大小一样，同种材料组成的均匀球体紧靠在一起,它们之间的万有引力为F,若用上述材料制成两个半径更小的靠在一起的均匀球体,它们间的万有尽引力将( )
A.等于F B.小于F C.大于F D.无法比较
8.设想把物体放到地球中心,则此物体此时与地球间万有引力为( )
A.零 B.无穷大 C.为一有限值 D. 无法确定
9.月球中心与地球中心之间的距离约是地球半径的60倍,两者质量之比M月:M地=1:81.由地球飞往月球的火箭,飞到离月球距离r= _________R地时,火箭中的人感到不受“重力”作用。
10．两个物体相距为L，相互吸引力大小为F。使其中的一个物体的质量减小为原来的一半，另一个物体的质量减小为原来的，如果保持它们的距离不变，则相互吸引力的大小为
________；要使它们相互吸引力的大小仍为F，它们间的距离应为________。
11．用M表示地球的质量，R表示地球的半径，r表示月球到地球的距离。试证明：在地球的引力作用下
（1）地面上的物体的重力加速度g=
（2）月球的加速度a月=
12．已知月球和地球质量之比为1：8，月球和地球半径之比为1：3.8，一人在月球上以10m/s的初速度竖直向上抛出一物体。求物体上升的最大高度，已知地球表面的重力加速度为10m/s2。
第一节 万有引力定律
1．A 2．D 3．C 4．B 5．D 6．D 7．B 8．A 9．6 10．
11．略 12．28
万有引力定律-备课资料
学习目标
学习提示
1.了解人类对力学运动的研究首先是从研究天体运动开始的.
2.介绍两种学说——地心说与日心说，了解科学发现的艰辛.
3.知道开普勒定律.
4.了解万有引力定律得出的思路和过程.
5.理解万有引力定律的含义及表达式.
6.知道引力常量测定的原理，了解测量装置的空间特点.
7.知道引力常量的大小及其普适性.
本节课首先通过科学家对天体的研究、两种学说的分析得出对行星运动的规律的描述——开普勒三定律.
然后，介绍了万有引力定律，这是本节的重点，而难点是利用万有引力定律解释天体运动和生活中的一些实际问题.引力常量的得出使万有引力定律有了实际的真正意义.
教材习题探讨
1.由万有引力定律得太阳对地球的引力
F=G=6.67×10－11×N
=3.54×1022N.
2.这位同学的解答是不对的.
理由：两球之间的引力为F=G
左右两球对杆的压力大小相等、方向相反，所以AB杆所受压力为零.
3.已知： r星∶r地=2∶1
M星∶m地=1∶5
由 mg=G得
==×（）2=
人跳高为竖直上抛运动
h=
所以==20
即人在星球上和在地球上，上跳高度之比为20∶1.
方法点拨
考查万有引力定律.
万有引力定律中的r为两球心之间的距离，且杆所受压力为合外力.
在星球或地球表面物体的重力近似等于星球或地球对物体的万有引力.
互动学习
知识链接
1.什么是重力？
答案：重力是指地球上的物体由于地球的吸引而受到的力.
2.做圆周运动的物体都需向心力
向心力的计算公式F=_______=_______=_______.
答案：mrω2 m mr（）2
3.牛顿第二定律表达式_______.
由牛顿第二定律得出向心加速度a=_______=_______=_______.
答案：F=ma rω2 r（）2
4.作用力和反作用力总是_______、_______、_______.
答案：大小相等 方向相反 作用在同一条直线上
重力是由于地球的吸引而使物体受到的力，与地球对物体的万有引力不是一回事.
做匀速圆周运动的物体所受外力的合力一定指向圆心，提供向心力，向心力产生的加速度称为向心加速度.
知识总结
1.本节课同学们要了解牛顿推导万有引力定律的基本思路和研究方法，特别是要了解牛顿主要利用了前人的哪些研究成果，怎样建立物理模型，进行了哪些突破性的创新等.知道该定律不能在实验室中得出和进行验证，了解牛顿主要是利用了开普勒定律等研究成果，采用了以高等数学为工具的演绎推理的方法，对结论的正确性进行了实践的检验，如地—月检验等.
2.关于开普勒行星运动定律要注意的几点：
(1)开普勒行星运动定律的内容包括三个方面：即轨道定律、面积定律、周期定律.前两个定律只作为了解；知道周期定律的数学表达式，即r3/T2=k，并能利用它解决简单的问题.
(2)开普勒定律是描述性的经验定律，它描述了行星运动的规律，但没有提出和解释行星为什么这样运动.但是它为万有引力定律的得出(即解释行星为什么这样运动的问题)作出了重大的贡献.
万有引力定律-知识探讨
合作与讨论
任何物体间都存在着引力，为什么当两个人接近时不会吸在一起？我们通常分析物体的受力时是否需要考虑物体间的万有引力？请你根据实际中的情况，假设合理的数据，通过计算说明以上两个问题．
我的思路：我们可以具体假设两个人的质量，然后利用万有引力定律计算其万有引力；我们通常分析物体的受力时是否需要考虑物体间的万有引力，要视其万有引力与其他力相比在大小上是否可以忽略，如果相差太远，则可以不计；若相差不是很远，那就不能忽略.比如两艘万吨油轮如果相距很近(如1 km)，这时的万有引力就不能忽略.对这两个问题的讨论有助于对有关的问题建立理想化模型.
例题思考
【例1】 地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆.天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星的轨道半径长轴约等于地球公转半径的18倍(图3－1)，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现.哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星.哈雷彗星最近出现的时间是1986年，请你根据开普勒行星运动第三定律(即=k，其中T为行星绕太阳公转的周期，r为轨道的半长轴)估算，它下次飞近地球是哪一年？
图3－1
思路：地球和哈雷彗星都是绕太阳公转的行星，它们运行的规律服从开普勒行星运动规律，即=k，其中T为行星绕太阳公转的周期，r为轨道的半长轴，k是对任何太阳系中的任何行星都适用的恒量.可以根据已知条件列方程求解.
解析：将地球的公转轨道理想化成圆形轨道，其周期为T1，半径为r1，哈雷彗星的周期为T2，轨道半长轴为r2，则根据开普勒第三定律有：
因为r2=18r1,地球公转周期为1年，所以可知哈雷彗星的周期为
T2==76.4年
所以它下次飞近地球的时间是2062年.
点评：本题是科学技术问题的立意，我们要在理解开普勒第三定律的基础上，充分发掘已知条件，在需要时将有关情景建立理想化模型.
【例2】 牛顿在证明万有引力的过程中：
(1)在探究太阳对行星的引力的规律时，利用了前辈们的研究成果，他以左边的三个等式为根据，得出了右边的关系式.左边的三个等式有的可以在实验室中验证，有的则不能.这个无法在实验室验证的规律是怎么得到的？
(2)牛顿对他推导的结论F∝之后，采用了“月—地检验”证明这个结论的正确性，即证明地球对地面物体的引力与月球所受的引力是同一种力，遵循相同的规律.这个检验表明了地球表面重物的下落与天体运动的多样性和统一性.如果把月球绕地球公转的运动理想化成匀速圆周运动，在牛顿年代，已经知道月球的轨道半径约为地球半径的60倍(即3.84×108 m)，地球表面的重力加速度为g，月球公转的周期为T(以28天计).请你根据所学的知识和所给的已知条件重新验证这个结论.
解析：(1)左边上面两个公式是可以在实验室中得到验证的，而第三个公式是开普勒等一大批天文学家经过大量的天象观测、大胆的猜想以及利用数学工具进行严密的演绎推理得出的，虽然这个结论不能在实验室直接得到验证，但是这个规律是经过反复的实践检验的，是完全与事实相符合的.
(2)在当时的历史条件下，地球表面使物体下落的力，即重力G=mg.根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速度就是月球公转的向心加速度.根据向心力公式：F=mω2r=m(2π/T)2r，得 a=(2π/T)2r=［2×3.14/(28×24×3600)］2×3.84×108 m/s2=2.6×10－3 m/s2. 假如结论F∝是正确的，则物体在月球轨道上的向心加速度是地球表面重力加速度的1/3600，即a′=(1/3600)×9.8 m/s2=2.7×10－3 m/s2.显然，实际推算和假设基本接近，在误差允许的范围内，说明月球绕地球的力与地面物体下落的力同样遵循反平方的规律.这就是牛顿的地—月检验.
点评：本题从问题情境立意.有些结论或规律可以在实验室得到证明；而有一些则不能直接得到证明，如牛顿第一定律就是一个典型的例子.牛顿第一定律的得出是在实验的基础上经过推理，然后再在实践中进行检验得到的.所以有些根本无法在实验室完成和得到证明的规律，完全可以通过其他的科学研究方法得出，这就需要同学们学习科学家们那种大胆猜想、敢于创新、不畏艰苦、持之以恒的精神，还要牢牢掌握学习的基本功，利用数学工具等多种方法结合起来解决生活和自然中的问题.学会科学家们解决问题的方法，本题在培养学生知识、能力、情感态度方面都有益处，对培养学生的创新和创造能力都有一定的帮助.
探讨典型例题
【例1】有一个名叫谷神的小行星（质量1.00×1021kg），它的轨道半径是地球轨道半径（R=1.49×1011 m）的2.77倍，求出它绕太阳转一周需要多少年？（k=3.35×1018 m/s2）
解析：谷神绕太阳沿椭圆轨道运动，设它的轨道半径为R，运动周期为T：
由开普勒第三定律，=k，则
T==1.45×108s=4.59年.
【例2】两个质量大小相等的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，若两个半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为（ ）
A.2F B.4F
C.8F D.16F
解析：小铁球之间的万有引力
F=G=G
大铁球半径是小铁球的2倍，其质量分别为
小铁球 m=ρV=ρ·（πr3）
大铁球 M=ρV=ρ[(2r)3]=8ρ·πr3=8m
故两个大铁球间的万有引力
F′=G=G=64G=16F.
答案：D
规律发现
题中给出的谷神小行星的质量与解题无关，目的是使学生明确行星运行周期取决于轨道半径，同时培养学生合理利用已知条件的能力.
要准确理解万有引力定律公式中各量的意义并能灵活应用，本题准确判定小球与大球的质量、球心距离关系是关键.
万有引力定律-课文知识点解析
天体究竟做怎样的运动
一、古代的两种学说
1.地心说：宇宙以地球为中心，外边围绕着月亮、水星、金星、太阳、火星、木星、土星，然后是恒星天和最高天这样“九重天”，所有行星和太阳、月亮都有本轮和均轮，而且均轮都是偏心圆，最早于公元前300多年由古希腊哲学家亚里士多德系统提出，至公元前100多年，由天文学家托勒密进一步改进和完善，由于符合天主教的神学，统治人们达1000多年.
2.日心说：（heliocentric system）认为太阳是宇宙中心，地球和其他行星都绕太阳转动的学说，又称“日心地动说”或“日心体系”.16世纪，波兰天文学家哥白尼经过近40年的辛勤研究，在分析过去的大量资料和自己长期观测的基础上，于1543年出版的《天体运行论》中，系统地提出了日心体系，认为地球不是宇宙中心，而是一颗普通行星，太阳才是宇宙中心，行星运动的一年周期是地球每年绕太阳公转一周的反映，哥白尼体系另一些内容是：水星、金星、火星、木星、土星五颗行星和地球一样，都在圆形轨道上匀速地绕太阳公转，月球是地球的卫星，它在以地球为中心的圆形轨道上，每月绕地球转一周，同时跟地球一起绕太阳公转，地球每天自转一周，天穹实际上不转动，因地球自转才出现日月星辰每天东升西落的现象，限于当时的科学发展水平，哥白尼学说也有缺点和错误，这就是：把太阳视为宇宙的中心，实际上，太阳只是太阳系的中心天体，不是宇宙中心；沿用了行星在圆轨道上的匀速运动的旧观念，实际上行星轨道是椭圆的，运动也不是匀速的.
二、行星运动的描述
1.第谷的观测
第谷是丹麦的天文学家，是一位出色的观测家，他用了三十年的时间观测、记录了行星、月亮、彗星的位置.第谷本人虽然没有准确描绘出行星运动的规律，但他所记录的数据为后人的研究提供了坚实的基础.
2.开普勒三定律
德国天文学家开普勒曾经与第谷一起工作过一段时间，第谷去世后，开普勒认真整理了第谷的观测资料，在哥白尼学说的基础上又迈进了一步，抛弃了圆轨道的说法，于1609年在他的著作《新天文学》中提出了著名的三大定律中的前两条，十年后，又提出第三条定律.
开普勒第一定律（又叫椭圆轨道定律）
所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上.
开普勒第二定律（又叫面积定律）
太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积.
开普勒第三定律（又叫周期定律）
所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等.
数学表达式为=k，或者为=
其中R为椭圆轨道的半长轴，T为公转周期，k是与行星无关的常量.
苹果落地的思考：万有引力定律的发现
一、近代物理学家对行星运动本质的认识
开普勒三定律清晰地说明了行星是怎样运动的，但行星“为什么会这样运动”？是上帝安排的吗？近代物理学家对此提出了不同的动力学解释：
伽利略：认为一切物体都有合并的趋势，这种趋势导致行星做圆周运动.
开普勒：行星绕太阳运动，一定是受到了太阳的某种力的作用.
笛卡儿（法国）：行星周围有旋转的物质（以太）迫使行星绕太阳运行.
胡克、哈雷等人：行星绕太阳运动的原因是因为太阳对行星产生吸引力.
牛顿：在前人研究的基础上，凭借其非凡的数学才能，阐明了天体运动的根本原因，提出具有普遍意义的万有引力定律，即行星绕太阳运行的原因是由于太阳与行星之间存在相互吸引的力，称为万有引力.
二、万有引力定律的推导思路和方法
1.把行星绕太阳的运动近似看成是匀速圆周运动，太阳对行星的万有引力是行星做圆周运动所需的向心力，即F=m将圆周运动中的线速度与周期的关系式v=代入上式得F=4π2（）
据开普勒第三定律知： =k
即 F=4π2k
2.牛顿认为k是一个与行星无关，但与太阳质量有关的物理量，行星吸引太阳的力和太阳吸引行星的力应大小相等，并且有相同的性质，而太阳对行星的引力F与行星的质量成正比，自然也应跟太阳的质量成正比，设太阳的质量为M，则4π2k∝M，所以F∝，写成等式为F=G，式中G为常量.
3.牛顿认为太阳与行星的引力跟月球与地球的引力，以及地面上的物体与地球的引力也遵循同样的规律，由此得出万有引力定律
F=G
三、万有引力定律（law of universal gravitation）
1.内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比.
2.公式： F=G
式中质量的单位用kg，距离的单位用m，力的单位用N，G为引力常量，标准值为G=6.67259×10－11 N·m2/kg2，通常G=6.67×10－11 N·m2/kg2.
3.万有引力定律公式使用的条件
公式中的r对于可看作是质点的物体而言指的就是两质点的距离；对于一般物体而言，r应为两个物体的质量中心的距离，如质量分布均匀的球体，r可为两球心之间的距离.
4.应用万有引力定律时应注意的问题.
（1）万有引力的普遍性.万有引力不仅存在于星球间，任何客观存在的有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力.
（2）万有引力的相互性.两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用于两个物体上.
（3）万有引力的宏观性.在通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间，它的存在才有实际的物理意义，故在分析地球表面物体受力时，不考虑地面物体对地球的万有引力.只考虑地球对地面物体的引力.
（4）万有引力的特殊性，两个物体间的万有引力只与它们本身的质量有关，与它们间的距离有关，而与所在空间的性质无关，也与周围有无其他物体无关.
讨论与交流
1.略
2.由于人的质量远小于地球的质量，因此两人之间的吸引力远小于地球对人的吸引力，（即人的重力）两人间的引力不足以克服人与地面间的摩擦力，因而两人不能吸在一起.
例如两个质量各为50 kg的人相距1 m时他们相互的引力
F=G=N=1.7×10－7N，这个引力相当于几百粒尘埃的重量.
实践与拓展
1.略
2.对F=ma的理解是当F一定时a与m成反比，而对不同的下落物体重力不同，即合外力不同，不能研究a与m的关系.
四、引力常量值测定的意义
引力常量的测出有着非常重要的意义，不仅用实验证明了万有引力的存在，更使得万有引力定律有了真正的实用价值.例如，可以用测定地球表面物体重力加速度的方法，测定地球的质量，设地球半径为R，质量为M，地球表面物体的重力加速度为g，由牛顿第二定律和万有引力定律可得：
G=mg
所以 M=
因为引力常量G、地球半径R和地表物体的重力加速度均已知，因此可以计算出地球的质量.也正是由于这一应用，使卡文迪许被人们称为是第一个能称出地球质量的人.
全析提示
地心说符合人们的日常经验，同时也符合势力强大的宗教神学关于地球是宇宙中心的说法，故地心说统治了人们相当长的时间.
日心说能很容易地解释天体的运动，因此日心说逐渐受到人们的重视，到17世纪，就建立了日心说的理论体系.古代的两种说法都不正确，因为不管是地球还是太阳，它们都在不停地运转；不可能静止，鉴于当时人们对自然科学的认识能力，只是日心说比地心说更进一步.
开普勒定律是总结行星运动的观察结果而总结归纳出来的规律，它们每一条都是经验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的，开普勒定律只涉及运动学、几何学方面的内容.
不同行星椭圆轨道是不同的.
行星近日点的速率大于远日点的速率.
思维拓展
开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，只不过此时=k′，比值
k′是由行星的质量所决定的另一恒量，与卫星无关.
行星的轨道都跟圆近似，因此计算时可以认为行星是做匀速圆周运动的.
思维拓展
对事物的认识总是一步步的，经历了漫长的过程.
全析提示
万有引力是自然界的一种基本作用力，对它的研究和探讨，促进了物理学的发展，在人类认识自然的历史上起到了巨大的作用.
思维拓展
对于更一般、且不可看作质点的物体，在计算引力时可采用分隔法：将物体分割成无数个小单元，每个小单元看作质点，求出各质点间的引力，再利用力的合成求出两物体间的引力，对于这样的问题高中阶段一般不涉及，但应了解这种做法.
要点提炼
万有引力虽具有普遍性，但由于一般物体间万有引力较小，可忽略，只有在研究质量很大的天体时，才必须考虑.
全析提示
采用估算方式进行半定量分析说理.
运用万有引力定律可以计算出天体的质量、万有引力常量G的数值，测得是否准确，对于天体质量计算的准确程度有直接的影响.因此，人类不断改进对基本物理常数G值的测定技术，使它的数值日益精确.
曲线运动与万有引力定律 同步练习
（时间90分钟，赋分100分）
一、选择题（每小题3分，共30分。每小题至少有一个选项是正确的）
1．做平抛运动的物体，在第n秒内、第（n+1）秒内相等的物理量是（不计空气阻力，设物体未落地）
A．竖直位移 B．竖直位移的增量
C．速度的增量 D．平均速度的增量
2．如图4-1所示，卫星A，B，C在相隔不远的不同轨道上，以地球为中心做匀速圆周运动，且运动方向相同。若在某时刻恰好在同一直线上，则当卫星B经过一个周期时，下列关于三个卫星的位置说法中正确的是（ ）
A．三个卫星的位置仍在一条直线上
B．卫星A位置超前于B，卫星C位置滞后于B
C．卫星A位置滞后于B，卫星C位置超前于B
D．由于缺少条件，无法比较它们的位置
3．图4-2为一空间探测器的示意图，，，，是四个喷气发动机，，的连线与空间一固定坐标系的x轴平行，，的连线与y轴平行。每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动。开始时，探测器以恒定的速率向正x方向平动。要使探测器改为向正x偏负y60°的方向以原来的速率平动，则可（ ）
A．先开动适当时间，再开动适当时间
B．先开动适当时间，再开动适当时间
C．先开动适当时间
D．先开动适当时间，再开动适当时间
4．一轮船以一定的速度，船头垂直河岸向对岸行驶，河水匀速流动（河道是直的），如图4-3轮船渡河通过的路径和所用时间与水流速度的关系是（ ）
A．水流速度越大，则路程越长，所用时间也越长
B．水流速度越大，则路程越短，所用时间也越短
C．水流速度越大，路程和时间均不变
D．水流速度越大，路程越长，但所用的时间不变
5．一个物体以初速度从A点开始在光滑水平面上运动。已知有一个水平力作用在物体上，物体运动轨迹如图4-4中实线所示，图中B为轨迹上的一点，虚线是过A，B两点并与轨迹相切的直线，虚线和实线将水平面划分为5个区域。关于施力物体的位置，下面说法正确的是（ ）
A．如果这个力是引力，则施力物体一定在④区域
B．如果这个力是引力，则施力物体一定在②区域
C．如果这个力是斥力，则施力物体可能在②区域
D．如果这个力是斥力，则施力物体可能在③区域
6．在地球大气层外有很多太空垃圾绕地球做匀速圆周运动，每到太阳活动期，由于受太阳的影响，地球大气层的厚度开始增加，而使得部分垃圾进入大气层，开始做靠近地球的向心运动，产生这一结果的原因是（ ）
A．由于太空垃圾受到地球引力减小而导致的向心运动
B．由于太空垃圾受到地球引力增大而导致的向心运动
C．由于太空垃圾受到空气阻力而导致的向心运动
D．地球的引力提供了太空垃圾做匀速圆周运动所需的向心力，故产生向心运动的结果与空气阻力无关
7．长为L的细杆一端拴一小球，可绕另一端在竖直面内做圆周运动，小球在最高点的速度为v，下列说法正确的是（ ）
A．v越大，球在最高点受到的合外力越大
B．v越大，球在最高点受到的向心力越大
C．v越大，球在最高点对杆的作用力越大
D．v至少要大小
8．如图4-5所示，将完全相同的两小球A，B用长L=0.8m的细绳，悬于以v=4m/s向右匀速运动的小车顶部，两球的小车前后壁接触。由于某种原因，小车突然停止，此时悬线中张力之比为（）
A．1：1 B．1：2
C．1：3 D．1：4
9．“借助引力”技术开发之前，行星探测飞船只能飞至金星、火星和木星，因为现代火箭技术其实相当有限，不能提供足够的能量，使行星探测飞船直接飞往更遥远的星体。但如果“借助引力”，可使行星探测飞船“免费”飞往更遥远的星体。如图4-6为美国航空天局设计的“卡西尼”飞船的星际航程计划的一部分图形。当飞船接近木星时，会从木星的引力中获取动量，当飞行离开木星后，也会从木星的引力中获取动量，从而可飞抵遥远的土星。由此可知以下说法正确的是（ ）
①飞船由于木星的吸力提供能量，机械能大大增加
②木星会因为失去能量而轨迹发生较大改变
③飞船受到太阳的引力一直比受到木星的引力大
④飞船飞过木星前后速度方向会发生改变
A．①③④ B．①②④ C．②③ D．①④
10、图4－7中，M、N是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R，内筒半径比R小很多，可以忽略不计，筒的两端是封闭的，两筒之间抽成真空。两筒以相同的角速度 ω绕其中心轴线（图中垂直于纸面）做匀速转动。设从M筒内部可以通过窄缝 s （与M筒的轴线平行）不断地向外射出两种不同速率 v1 和v2 的微粒，从 s 处射出时的初速度的方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上。如果R、v1 和v2都不变，而ω取某一合适的值，则（ ）
(A)有可能使微粒落在N筒上的位置都在 a 处一条与 s 缝平行的窄条上
（B） 有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如 b 处一条与 s 缝平行的窄条上
（C） 有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如 b 处和c 处与 s 缝平行的窄条上
(D) 只要时间足够长，N筒上将到处都落有微粒
图4－7
二、填空题（每空4分，共20分）
11、用轻质尼龙线系一个质量为 0.25 kg 的钢球在竖直面内旋转。已知线长为 1.0 m ，若钢球恰能通过最高点，则球转到最低点时线受到的拉力是____N；若将线换成质量可以忽略的轻杆，为了使球恰能通过最高点，此杆的最大承受力至少应为____N。
12．平抛的小球在它落地前的最后1s内，速度大小由44.7m/s增加到50m/s。小球抛出时速度的大小和抛出点距地面的高度分别为________。
13．假设站在赤道某地的人，恰能在日落后4小时的时候，恰观察到一颗自己头顶上空被阳光照亮的人造地球卫星，若该卫星是在赤道所在平面内做匀速圆周运动，又已知地球的同步卫星绕地球运行的轨道半径约为地球半径的6.6倍，试估算此人造地球卫星绕地球运行的周期为_________s。
14．如图4－8所示，实线为某质点作平抛运动轨迹的一部分，测得AB，BC间的水平距离为，高度差，，由此可知质点平抛的初速度，抛出点到A点的水平距离为__________m，竖直距离为__________m。（6分）
15、如图4-9所示皮带转动轮，大轮直径是小轮直径的3倍，A是大轮边缘上一点，B是小轮边缘上一点，C是大轮上一点，C到圆心O1的距离等于小轮半径。转动时皮带不打滑，则A、B、C三点的角速度之比ωA： ωB： ωC=________，向心加速度大小之比aA：aB：aC=________。
图4-9
四、计算题（共40分）
16、(8分)如图4－10所示, 在内壁光滑的平底试管内放一个质量为1g的小球, 试管的开口端加盖与水平轴O连接. 试管底与O相距5cm, 试管在转轴带动下沿竖直平面做匀速圆周运动. 求：
(1) 转轴的角速度达到多大时, 试管底所受压力的最大值等于最小值的3倍.
(2) 转轴的角速度满足什么条件时,会出现小球与试管底脱离接触的情况? g取10m/s.
图4－10
17、（10分）如图4－11所示, 在半径为R的水平圆盘的正上方高h处水平抛出一个小球, 圆盘做匀速转动,当圆盘半径OB转到与小球水平初速度方向平行时,小球开始抛出, 要使小球只与圆盘碰撞一次, 且落点为B, 求小球的初速度和圆盘转动的角速度.
图4－11
?
18．（10分）侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处的日照条件下的情况全部拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球的半径为R，地面处的重力加速度为g，地球自转的周期为T。
?
?
19．（10分）在水平桌面上放一根长1m、质量为0.2kg的均匀直尺,尺的一端伸出桌面20cm,该端用铰链O连接一根长0.15m的轻杆,在杆的下端和中间各固定有质量均为0.1kg的小球A和B,当杆绕O转动而经过图4－12所示的竖直位置时,直尺恰只对桌子边缘有压力,求此时A球的速度大小(取g=10m/s2)
图4－12
20．（12分）由于地球在自转，因而在发射卫星时，利用地球的自转，可以尽量减少发射人造卫星时火箭所提供的能量，而且最理想的发射场地应该是地球的赤道附近。现假设某火箭的发射场地就在赤道上，为了尽量节省发射卫星时所需的能量，那么
（1）发射运动在赤道面上卫星应该是由_______向_______转（空格中分别填东、西、南、北四个方向中的一个。）
（2）如果某卫星的质量是，由于地球的自转使得卫星具有了一定的初动能，这一初动能即为利用地球的自转与地球没有自转相比较，火箭发射卫星时所节省的能量，求此能量的大小。
（3）如果使卫星在地球赤道面的附近做匀速圆周运动，则火箭使卫星运行的速度相对于地面应达到多少？
已知万有引力恒量，地球的半径为，要求答案保留两位有效数字。
?
参考答案
1．BC 2．B 3．AD 4．D 5．AC 6．C 7．AB 8．C 9．AD 10、ABC
11、15，12.5
12．41，45。
13．
14．4，0.8， 0.2
15、1：3：1 3：9：1
16、(1) (2)
17、v=
18．侦察卫星绕地球做匀速圆周运动的周期设为，有①
地面处的重力加速度为g，有②
得到卫星的周期
其中r=h+R
地球自转周期为T，在卫星绕行一周时，地球自转转过的角度为
摄像机应拍摄赤道圆周的弧长为
19．设直尺的重心和直尺的O端到桌子边缘的距离分别为L1和L2，轻杆长为L，直尺的质量为M，A和B球的质量均为m，A和B球经过图所示位置时的速度分别为vA和vB，OB段杆和AB段杆的张力分别为TOB和TAB。
对A球：TAB-mg=m ①
对B球：TOB-TAB-mg=m ②
又= ③
对直尺：MgL1=TOBL2 ④
联立上述四式可得:vA=1m/s
20．（1）西，东
（2）在发射之初，由于地球的自转，使得卫星具有一初速度，其大小为
∴节省的能量
（3）卫星在地球附近绕地球作圆周运动时重力提供向心力，设卫星作圆周运动的速度（即卫星对地心的速度）为v，由牛顿第二定律得
即
∴卫星相对于地面的速度应达到
曲线运动与万有引力定律 同步练习
（时间90分钟，赋分100分）
一、选择题（每小题3分，共30分。每小题至少有一个选项是正确的）
1．做平抛运动的物体，在第n秒内、第（n+1）秒内相等的物理量是（不计空气阻力，设物体未落地）
A．竖直位移 B．竖直位移的增量
C．速度的增量 D．平均速度的增量
2．如图4-1所示，卫星A，B，C在相隔不远的不同轨道上，以地球为中心做匀速圆周运动，且运动方向相同。若在某时刻恰好在同一直线上，则当卫星B经过一个周期时，下列关于三个卫星的位置说法中正确的是（ ）
A．三个卫星的位置仍在一条直线上
B．卫星A位置超前于B，卫星C位置滞后于B
C．卫星A位置滞后于B，卫星C位置超前于B
D．由于缺少条件，无法比较它们的位置
3．图4-2为一空间探测器的示意图，，，，是四个喷气发动机，，的连线与空间一固定坐标系的x轴平行，，的连线与y轴平行。每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动。开始时，探测器以恒定的速率向正x方向平动。要使探测器改为向正x偏负y60°的方向以原来的速率平动，则可（ ）
A．先开动适当时间，再开动适当时间
B．先开动适当时间，再开动适当时间
C．先开动适当时间
D．先开动适当时间，再开动适当时间
4．一轮船以一定的速度，船头垂直河岸向对岸行驶，河水匀速流动（河道是直的），如图4-3轮船渡河通过的路径和所用时间与水流速度的关系是（ ）
A．水流速度越大，则路程越长，所用时间也越长
B．水流速度越大，则路程越短，所用时间也越短
C．水流速度越大，路程和时间均不变
D．水流速度越大，路程越长，但所用的时间不变
5．一个物体以初速度从A点开始在光滑水平面上运动。已知有一个水平力作用在物体上，物体运动轨迹如图4-4中实线所示，图中B为轨迹上的一点，虚线是过A，B两点并与轨迹相切的直线，虚线和实线将水平面划分为5个区域。关于施力物体的位置，下面说法正确的是（ ）
A．如果这个力是引力，则施力物体一定在④区域
B．如果这个力是引力，则施力物体一定在②区域
C．如果这个力是斥力，则施力物体可能在②区域
D．如果这个力是斥力，则施力物体可能在③区域
6．在地球大气层外有很多太空垃圾绕地球做匀速圆周运动，每到太阳活动期，由于受太阳的影响，地球大气层的厚度开始增加，而使得部分垃圾进入大气层，开始做靠近地球的向心运动，产生这一结果的原因是（ ）
A．由于太空垃圾受到地球引力减小而导致的向心运动
B．由于太空垃圾受到地球引力增大而导致的向心运动
C．由于太空垃圾受到空气阻力而导致的向心运动
D．地球的引力提供了太空垃圾做匀速圆周运动所需的向心力，故产生向心运动的结果与空气阻力无关
7．长为L的细杆一端拴一小球，可绕另一端在竖直面内做圆周运动，小球在最高点的速度为v，下列说法正确的是（ ）
A．v越大，球在最高点受到的合外力越大
B．v越大，球在最高点受到的向心力越大
C．v越大，球在最高点对杆的作用力越大
D．v至少要大小
8．如图4-5所示，将完全相同的两小球A，B用长L=0.8m的细绳，悬于以v=4m/s向右匀速运动的小车顶部，两球的小车前后壁接触。由于某种原因，小车突然停止，此时悬线中张力之比为（）
A．1：1 B．1：2
C．1：3 D．1：4
9．“借助引力”技术开发之前，行星探测飞船只能飞至金星、火星和木星，因为现代火箭技术其实相当有限，不能提供足够的能量，使行星探测飞船直接飞往更遥远的星体。但如果“借助引力”，可使行星探测飞船“免费”飞往更遥远的星体。如图4-6为美国航空天局设计的“卡西尼”飞船的星际航程计划的一部分图形。当飞船接近木星时，会从木星的引力中获取动量，当飞行离开木星后，也会从木星的引力中获取动量，从而可飞抵遥远的土星。由此可知以下说法正确的是（ ）
①飞船由于木星的吸力提供能量，机械能大大增加
②木星会因为失去能量而轨迹发生较大改变
③飞船受到太阳的引力一直比受到木星的引力大
④飞船飞过木星前后速度方向会发生改变
A．①③④ B．①②④ C．②③ D．①④
10、图4－7中，M、N是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R，内筒半径比R小很多，可以忽略不计，筒的两端是封闭的，两筒之间抽成真空。两筒以相同的角速度 ω绕其中心轴线（图中垂直于纸面）做匀速转动。设从M筒内部可以通过窄缝 s （与M筒的轴线平行）不断地向外射出两种不同速率 v1 和v2 的微粒，从 s 处射出时的初速度的方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上。如果R、v1 和v2都不变，而ω取某一合适的值，则（ ）
(A)有可能使微粒落在N筒上的位置都在 a 处一条与 s 缝平行的窄条上
（B） 有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如 b 处一条与 s 缝平行的窄条上
（C） 有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如 b 处和c 处与 s 缝平行的窄条上
(D) 只要时间足够长，N筒上将到处都落有微粒
图4－7
二、填空题（每空4分，共20分）
11、用轻质尼龙线系一个质量为 0.25 kg 的钢球在竖直面内旋转。已知线长为 1.0 m ，若钢球恰能通过最高点，则球转到最低点时线受到的拉力是____N；若将线换成质量可以忽略的轻杆，为了使球恰能通过最高点，此杆的最大承受力至少应为____N。
12．平抛的小球在它落地前的最后1s内，速度大小由44.7m/s增加到50m/s。小球抛出时速度的大小和抛出点距地面的高度分别为________。
13．假设站在赤道某地的人，恰能在日落后4小时的时候，恰观察到一颗自己头顶上空被阳光照亮的人造地球卫星，若该卫星是在赤道所在平面内做匀速圆周运动，又已知地球的同步卫星绕地球运行的轨道半径约为地球半径的6.6倍，试估算此人造地球卫星绕地球运行的周期为_________s。
14．如图4－8所示，实线为某质点作平抛运动轨迹的一部分，测得AB，BC间的水平距离为，高度差，，由此可知质点平抛的初速度，抛出点到A点的水平距离为__________m，竖直距离为__________m。（6分）
15、如图4-9所示皮带转动轮，大轮直径是小轮直径的3倍，A是大轮边缘上一点，B是小轮边缘上一点，C是大轮上一点，C到圆心O1的距离等于小轮半径。转动时皮带不打滑，则A、B、C三点的角速度之比ωA： ωB： ωC=________，向心加速度大小之比aA：aB：aC=________。
图4-9
四、计算题（共40分）
16、(8分)如图4－10所示, 在内壁光滑的平底试管内放一个质量为1g的小球, 试管的开口端加盖与水平轴O连接. 试管底与O相距5cm, 试管在转轴带动下沿竖直平面做匀速圆周运动. 求：
(1) 转轴的角速度达到多大时, 试管底所受压力的最大值等于最小值的3倍.
(2) 转轴的角速度满足什么条件时,会出现小球与试管底脱离接触的情况? g取10m/s.
图4－10
17、（10分）如图4－11所示, 在半径为R的水平圆盘的正上方高h处水平抛出一个小球, 圆盘做匀速转动,当圆盘半径OB转到与小球水平初速度方向平行时,小球开始抛出, 要使小球只与圆盘碰撞一次, 且落点为B, 求小球的初速度和圆盘转动的角速度.
图4－11
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18．（10分）侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处的日照条件下的情况全部拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球的半径为R，地面处的重力加速度为g，地球自转的周期为T。
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19．（10分）在水平桌面上放一根长1m、质量为0.2kg的均匀直尺,尺的一端伸出桌面20cm,该端用铰链O连接一根长0.15m的轻杆,在杆的下端和中间各固定有质量均为0.1kg的小球A和B,当杆绕O转动而经过图4－12所示的竖直位置时,直尺恰只对桌子边缘有压力,求此时A球的速度大小(取g=10m/s2)
图4－12
20．（12分）由于地球在自转，因而在发射卫星时，利用地球的自转，可以尽量减少发射人造卫星时火箭所提供的能量，而且最理想的发射场地应该是地球的赤道附近。现假设某火箭的发射场地就在赤道上，为了尽量节省发射卫星时所需的能量，那么
（1）发射运动在赤道面上卫星应该是由_______向_______转（空格中分别填东、西、南、北四个方向中的一个。）
（2）如果某卫星的质量是，由于地球的自转使得卫星具有了一定的初动能，这一初动能即为利用地球的自转与地球没有自转相比较，火箭发射卫星时所节省的能量，求此能量的大小。
（3）如果使卫星在地球赤道面的附近做匀速圆周运动，则火箭使卫星运行的速度相对于地面应达到多少？
已知万有引力恒量，地球的半径为，要求答案保留两位有效数字。
?
参考答案
1．BC 2．B 3．AD 4．D 5．AC 6．C 7．AB 8．C 9．AD 10、ABC
11、15，12.5
12．41，45。
13．
14．4，0.8， 0.2
15、1：3：1 3：9：1
16、(1) (2)
17、v=
18．侦察卫星绕地球做匀速圆周运动的周期设为，有①
地面处的重力加速度为g，有②
得到卫星的周期
其中r=h+R
地球自转周期为T，在卫星绕行一周时，地球自转转过的角度为
摄像机应拍摄赤道圆周的弧长为
19．设直尺的重心和直尺的O端到桌子边缘的距离分别为L1和L2，轻杆长为L，直尺的质量为M，A和B球的质量均为m，A和B球经过图所示位置时的速度分别为vA和vB，OB段杆和AB段杆的张力分别为TOB和TAB。
对A球：TAB-mg=m ①
对B球：TOB-TAB-mg=m ②
又= ③
对直尺：MgL1=TOBL2 ④
联立上述四式可得:vA=1m/s
20．（1）西，东
（2）在发射之初，由于地球的自转，使得卫星具有一初速度，其大小为
∴节省的能量
（3）卫星在地球附近绕地球作圆周运动时重力提供向心力，设卫星作圆周运动的速度（即卫星对地心的速度）为v，由牛顿第二定律得
即
∴卫星相对于地面的速度应达到
