广西百色市2022-2023学年高二下学期期末教学质量调研数学试题
一、单选题
1．（2017高二下·桃江期末）五位同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是（ ）
A．54 B．5×4×3×2 C．45 D．5×4
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，五位同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每位同学均有4种讲座可选择，
则5位同学共有4×4×4×4×4=45种，
故选：C．
【分析】根据题意，5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每人有4种选择方法，根据分步计数原理得到结果．
2．（2023高二下·百色期末）设f(x)是可导函数，且，则（ ）
A．2 B． C．-1 D．-2
【答案】B
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】因为 .
故答案为：B.
【分析】根据导数的定义运算求解.
3．（2023高二下·百色期末）若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题意可知： 随机变量 的分布列为
X 0 1
P
对于A：可得随机变量 的期望，故A错误；
对于B： ，故B错误；
对于C： ，故C错误；
对于D： ，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据题意可得随机变量 的分布列，对于A：根据期望的公式运算求解；对于BCD：根据期望的性质运算求解.
4．（2019高一下·柳州期末）对具有线性相关关系的变量 ，有观测数据 ，已知它们之间的线性回归方程是 ，若 ，则 （ ）
A．254 B．25.4 C．74 D．7.4
【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】由题意， ，因为线性回归直线通过样本中心点 ，将 代入可得 ，所以 .
故答案为：A.
【分析】先求出 ，再由线性回归直线通过样本中心点 即可求出 .
5．（2023高二下·百色期末）设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】当时， 单调递减，则，
当时，先减后增，再减，则 先负后正，再负，
可得ACD错误，B正确.
故答案为：B.
【分析】根据导数符号与原函数单调性之间的关系分析判断.
6．（2023高二下·百色期末）甲乙两位游客慕名来到百色旅游，准备分别从凌云浩坤湖、大王岭原始森林、靖西鹅泉和乐业大石围天坑4个景点中随机选择其中一个，记事件：甲和乙选择的景点不同，事件：甲和乙恰好一人选择乐业大石围天坑，则条件概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】条件概率
【解析】【解答】由题意可知： 甲和乙选择的景点不同 的选法有种，即，
甲和乙选择的景点不同 且 甲和乙恰好一人选择乐业大石围天坑不同 的选法有种，即，
所以 .
故答案为：C.
【分析】根据题意分别求，结合条件概率公式运算求解.
7．（2017·新课标Ⅱ卷理）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【答案】D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：4项工作分成3组，可得： =6，
安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，
可得：6× =36种．
故选：D．
【分析】把工作分成3组，然后安排工作方式即可．
8．（2023高二下·百色期末）是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令，
因为，可知是定义在R上的奇函数，
又因为，
且 当时，有恒成立， 则，
则在上单调递增，所以在上单调递增，
对于A：因为，即 ，故A错误；
对于B：因为，即 ，故B错误；
对于C：因为，即 ，故C正确；
对于D：因为，即 ，故D错误；
故答案为：C.
【分析】构建，可知是定义在R上的奇函数，根据导数可知则的单调性，结合单调性逐项分析判断.
二、多选题
9．（2023高二下·百色期末）如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0实数的直线上，则（ ）
A．解释变量和响应变量是函数关系
B．相关系数
C．残差平方和为0
D．决定系数
【答案】A,C,D
【知识点】变量相关关系；回归分析；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】对于A：由题意可知：这条直线就是回归直线，它们的相关关系是一次函数，故A正确；
对于B：因为越接近于1，线性相关性越强，由题意可知此时线性相关性最强，
所以，故B错误；
对于C：由题意可知：残差，所以残差的平方和为0，故C正确，
对于D： 决定系数越接近于1，拟合效果越好， 此时 所有的散点都落在直线上，
说明拟合效果最好，所以，故D正确；
故答案为：ACD．
【分析】 根据题意结合统计中的相关概念逐项分析判断．
10．（2023高二下·百色期末）若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（ ）
A．共计有720种不同的排法
B．男生甲排在两端的排法总数共有120种
C．男生甲、乙相邻的排法总数为120种
D．男女生相间排法总数为72种
【答案】A,D
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式；简单计数与排列组合
【解析】【解答】对于A：3男3女排成一排共计有种不同的排法，故A正确；
对于B：男生甲排在两端有种排法，
剩余的人排列有种排法，
所以男生甲排在两端的排法总数有种，故B错误；
对于C：将甲乙捆绑成整体的排法有种，
将这个整体与剩余的4人排列的排法有种，
所以男生甲、乙相邻的排法总数有种，故C错误；
对于D： 男女生相间有：“男女男女男”或“女男女男女”，
所以男女生相间的排法总数为种，故D正确；
故答案为：AD.
【分析】对于A：根据全排列分析求解；对于B：先排男生甲，再排剩余4人，结合分步乘法计数原理运算求解；对于B：利用捆绑发运算求解；对于D： 男女生相间有：“男女男女男”或“女男女男女”，结合排列数运算求解.
11．（2023高三上·泉州期末）已知某地区有20000名同学参加某次模拟考试（满分150分），其中数学考试成绩X近似服从正态分布，则下列说法正确的是（ ）
（参考数据：①；②；③）
A．根据以上数据无法计算本次数学考试的平均分
B．的值越大，成绩不低于100分的人数越多
C．若，则这次考试分数高于120分的约有46人
D．从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为
【答案】B,D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】对A，根据正态分布知，数学考试成绩X的平均值为，A不符合题意；
对B，根据中标准差的意义，的值越大则高于90分低于100分的人数变小，所以成绩不低于100分的人数增多，B符合题意；
对于C，时，，
故这次考试分数高于120分的约有人，C不符合题意；
对D，由数学考试成绩X近似服从正态分布知，
由n次独立重复试验可知，从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】根据正态分布的定义，得到数学考试成绩X的平均值，可判定A不符合题意；根据标准差的意义，可判定B符合题意；当时，根据，可判定C不符合题意；根据，结合由n次独立重复试验可概率计算公式，可判定D符合题意.
12．（2023高二下·百色期末）已知函数，若，其中，则（ ）
A． B．
C． D．的取值范围为
【答案】B,C,D
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】因为，则，
令，解得或；令，解得；
则在，上单调递增，在上单调递减，
且，
令，解得或；令，解得或；
则的图象，
令，
由图象可知：，故A错误；
可知方程有3个不同的根，
可得，即，
整理得，
对照系数得，故C、D正确；
由 ，可得，
因为，则，满足 ，故B正确．
故答案为：BCD．
【分析】求导，利用导数判断原函数的单调性和极值，结合的图象可得，根据题意可得，结合系数关系可得，结合范围逐项分析判断.
三、填空题
13．（2023高二下·百色期末）设曲线在处的切线方程为 ；
【答案】
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】由题意可得： ，则，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程.
故答案为： .
【分析】求导，可得切点坐标和切线斜率，进而可求切线方程.
14．（2023高二下·百色期末）的展开式中含项的系数为 ；
【答案】
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】因为 的展开式为，
令，可得，
所以的展开式中含项的系数为 .
故答案为： .
【分析】根据题意利用二项展开式的通项公式运算求解.
15．（2023高二下·百色期末）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为 ．
【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；组合及组合数公式
【解析】【解答】由题意可知： 将4个1和2个0随机排成一行， 共有种排法，2个0相邻共有5种排法，
所以2个0不相邻的概率为.
故答案为： .
【分析】根据古典概型结合对立事件概率求法运算求解.
16．（2023高二下·百色期末）已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当时，，
令，解得；令，解得；
则在上单调递减，在上单调递增，
且，当x趋近于时，趋近于0；
当时，，
令，解得；令，解得；
则在上单调递减，在上单调递增，
且，当x趋近于时，趋近于，当x趋近于时，趋近于0；
综上所述，作出的图象，
令 ，可得或，
因为，无实根，则，有3个不同的实根，
所以 的取值范围是.
故答案为：.
【分析】利用导数分析的单调性和极值，并作出的图象，分析可得或，结合图象分析求解.
四、解答题
17．（2023高二下·百色期末）已知，N，若的展开式中，____．
在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在上面（横线处）问题中，解决上面两个问题（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：在二项式的展开式中，
若选填①，只有第6项的二项式系数最大，则展开式中有11项，即；
若选填②，第4项与第8项的二项式系数相等，则，即；
若选填③，所有二项式系数的和为，则，即．故；
（2）解：由（1）知，于是中，取，得；
取，得
∴所求
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】(1) 对于①②③：根据二项式系数的性质运算求解；
(2)由(1)可得 ，利用赋值法，令，运算求解.
18．（2023高二下·百色期末）某校为研究本校的近视情况与本校学生是否有长时间使用电子产品习惯的关系，在已近视的学生中随机调查了100，同时在未近视的学生中随机调查了100人，得到如下数据：
长时间使用电子产品 非长时间使用电子产品
近视 45 55
附：，其中．
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（1）依据的独立性检验，能否认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关联？
（2）据调查，某校患近视学生约为46%，而该校长时间使用电子产品的学生约为30%，这些人的近视率约为60%．现从每天非长时间使用电子产品的学生中任意调查一名学生，求他患近视的概率．
【答案】（1）解：零假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关．
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关．
（2）解：设“长时间使用电子产品的学生”，“非长时间使用电子产品的学生”，
“任意调查一人，此人患近视”，
则，，，，
根据全概率公式有：
，
所以.
【知识点】独立性检验的应用；全概率公式；2×2列联表
【解析】【分析】 (1) 零假设，根据题意求 ，并与临界值对比分析；
(2)设“长时间使用电子产品的学生”，“非长时间使用电子产品的学生”，“任意调查一人，此人患近视”，根据题意利用全概率公式运算求解.
19．（2023高二下·百色期末）已知函数在处有极值，且曲线在点处的切线与直线平行.
（1）求；
（2）求函数在区间上的最值.
【答案】（1）解：函数的导函数为，
由题意得，解得，
∴.
（2）解：由（1）得，
当时，由，得或；
由，得，
函数在，上单调递增，在上单调递减，
∴函数在处取得极大值，在处取极小值，
∴，，，，
∴函数在区间上的最小值为－2，最大值为1.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1) 求导，结合导数的几何意义列式求解；
(2) 由（1）可得 ， ，利用导数判断单调性和最值.
20．（2023高二下·百色期末）《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴，要大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台进行农产品销售，众多网红主播参与到直播当中，在众多网红直播中，统计了名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，得到如图所示的散点图.
参考数据和公式：，
附：对于一组数据、、、，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
（1）利用散点图判断，和哪一个更适合作为观看人次和销售量的回归方程类型；（只要给出判断即可，不必说明理由）
（2）对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：
其中令，.
根据（1）的判断结果及表中数据，求（单位：千件）关于（单位：十万次）的回归方程，并预测当观看人次为万人时的销售量；
【答案】（1）解：由散点图可知，散点分布在一条对数型曲线附近，所以选择回归方程更适合.
（2）解：令，则，
因为，，
所以，
又因为，，所以，
所以与的线性回归方程为，
故关于的回归方程为.
令，代入回归方程可得（千件）
所以预测观看人次为万人时的销售量约为件.
【知识点】线性回归方程；回归分析；可线性化的回归分析
【解析】【分析】 (1) 根据散点图分析判断即可；
(2) 令 ，将非线性回归方程转化为线性回归方程，可得，结合题中数据和公式解得 ，并代入运算求解.
21．（2023高二下·百色期末）某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.
（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；
（2）设甲公司答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差；
（3）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
【答案】（1）解：记“甲、乙两家公司共答对2道题” 的事件为，它是甲乙各答对1道题的事件、甲答对2题乙没答对题的事件和，它们互斥，
则有，
所以甲、乙两家公司共答对2道题目的概率是.
（2）解：设甲公司答对题数为，则的取值分别为，
，
则的分布列为：
1 2 3
期望，方差.
（3）解：设乙公司答对题数为，则的取值分别为，
，
，
则的分布列为：
0 1 2 3
期望，
方差，
显然，
所以甲公司竞标成功的可能性更大.
【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】 (1)记“甲、乙两家公司共答对2道题” 的事件为，它是甲乙各答对1道题的事件、甲答对2题乙没答对题的事件和，利用互斥事件概率和公式运算求解；
(2) 由题意可知： 的取值分别为， 结合超几何分布求分布列、 数学期望和方差 .
22．（2023高二下·百色期末）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个相异零点，，求证：．
【答案】（1）解：由题可知的定义域是，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：因为函数有两个相异零点，，又由于，
故不妨设，且有，，
∴，
要证
，
令，则，所以只要证明，时恒成立，
令，，
，由于已知，
∴恒成立，所以在递增，
∴，
所以时，恒成立，即恒成立，从而证明.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1) 求导，分 和 两种情况讨论，利用导数判断原函数单调性；
(2)不妨设， ，由 ，，为两个相异零点可得 ， ，分析法可知 等价于 ， 构造 ，， ，应用导数研究其性质有，结论即得证.
1 / 1广西百色市2022-2023学年高二下学期期末教学质量调研数学试题
一、单选题
1．（2017高二下·桃江期末）五位同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是（ ）
A．54 B．5×4×3×2 C．45 D．5×4
2．（2023高二下·百色期末）设f(x)是可导函数，且，则（ ）
A．2 B． C．-1 D．-2
3．（2023高二下·百色期末）若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019高一下·柳州期末）对具有线性相关关系的变量 ，有观测数据 ，已知它们之间的线性回归方程是 ，若 ，则 （ ）
A．254 B．25.4 C．74 D．7.4
5．（2023高二下·百色期末）设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023高二下·百色期末）甲乙两位游客慕名来到百色旅游，准备分别从凌云浩坤湖、大王岭原始森林、靖西鹅泉和乐业大石围天坑4个景点中随机选择其中一个，记事件：甲和乙选择的景点不同，事件：甲和乙恰好一人选择乐业大石围天坑，则条件概率（ ）
A． B． C． D．
7．（2017·新课标Ⅱ卷理）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
8．（2023高二下·百色期末）是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2023高二下·百色期末）如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0实数的直线上，则（ ）
A．解释变量和响应变量是函数关系
B．相关系数
C．残差平方和为0
D．决定系数
10．（2023高二下·百色期末）若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（ ）
A．共计有720种不同的排法
B．男生甲排在两端的排法总数共有120种
C．男生甲、乙相邻的排法总数为120种
D．男女生相间排法总数为72种
11．（2023高三上·泉州期末）已知某地区有20000名同学参加某次模拟考试（满分150分），其中数学考试成绩X近似服从正态分布，则下列说法正确的是（ ）
（参考数据：①；②；③）
A．根据以上数据无法计算本次数学考试的平均分
B．的值越大，成绩不低于100分的人数越多
C．若，则这次考试分数高于120分的约有46人
D．从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为
12．（2023高二下·百色期末）已知函数，若，其中，则（ ）
A． B．
C． D．的取值范围为
三、填空题
13．（2023高二下·百色期末）设曲线在处的切线方程为 ；
14．（2023高二下·百色期末）的展开式中含项的系数为 ；
15．（2023高二下·百色期末）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为 ．
16．（2023高二下·百色期末）已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是 ．
四、解答题
17．（2023高二下·百色期末）已知，N，若的展开式中，____．
在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在上面（横线处）问题中，解决上面两个问题（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．（2023高二下·百色期末）某校为研究本校的近视情况与本校学生是否有长时间使用电子产品习惯的关系，在已近视的学生中随机调查了100，同时在未近视的学生中随机调查了100人，得到如下数据：
长时间使用电子产品 非长时间使用电子产品
近视 45 55
附：，其中．
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（1）依据的独立性检验，能否认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关联？
（2）据调查，某校患近视学生约为46%，而该校长时间使用电子产品的学生约为30%，这些人的近视率约为60%．现从每天非长时间使用电子产品的学生中任意调查一名学生，求他患近视的概率．
19．（2023高二下·百色期末）已知函数在处有极值，且曲线在点处的切线与直线平行.
（1）求；
（2）求函数在区间上的最值.
20．（2023高二下·百色期末）《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴，要大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台进行农产品销售，众多网红主播参与到直播当中，在众多网红直播中，统计了名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，得到如图所示的散点图.
参考数据和公式：，
附：对于一组数据、、、，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
（1）利用散点图判断，和哪一个更适合作为观看人次和销售量的回归方程类型；（只要给出判断即可，不必说明理由）
（2）对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：
其中令，.
根据（1）的判断结果及表中数据，求（单位：千件）关于（单位：十万次）的回归方程，并预测当观看人次为万人时的销售量；
21．（2023高二下·百色期末）某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.
（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；
（2）设甲公司答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差；
（3）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
22．（2023高二下·百色期末）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个相异零点，，求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，五位同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每位同学均有4种讲座可选择，
则5位同学共有4×4×4×4×4=45种，
故选：C．
【分析】根据题意，5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每人有4种选择方法，根据分步计数原理得到结果．
2．【答案】B
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】因为 .
故答案为：B.
【分析】根据导数的定义运算求解.
3．【答案】D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题意可知： 随机变量 的分布列为
X 0 1
P
对于A：可得随机变量 的期望，故A错误；
对于B： ，故B错误；
对于C： ，故C错误；
对于D： ，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据题意可得随机变量 的分布列，对于A：根据期望的公式运算求解；对于BCD：根据期望的性质运算求解.
4．【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】由题意， ，因为线性回归直线通过样本中心点 ，将 代入可得 ，所以 .
故答案为：A.
【分析】先求出 ，再由线性回归直线通过样本中心点 即可求出 .
5．【答案】B
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】当时， 单调递减，则，
当时，先减后增，再减，则 先负后正，再负，
可得ACD错误，B正确.
故答案为：B.
【分析】根据导数符号与原函数单调性之间的关系分析判断.
6．【答案】C
【知识点】条件概率
【解析】【解答】由题意可知： 甲和乙选择的景点不同 的选法有种，即，
甲和乙选择的景点不同 且 甲和乙恰好一人选择乐业大石围天坑不同 的选法有种，即，
所以 .
故答案为：C.
【分析】根据题意分别求，结合条件概率公式运算求解.
7．【答案】D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：4项工作分成3组，可得： =6，
安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，
可得：6× =36种．
故选：D．
【分析】把工作分成3组，然后安排工作方式即可．
8．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令，
因为，可知是定义在R上的奇函数，
又因为，
且 当时，有恒成立， 则，
则在上单调递增，所以在上单调递增，
对于A：因为，即 ，故A错误；
对于B：因为，即 ，故B错误；
对于C：因为，即 ，故C正确；
对于D：因为，即 ，故D错误；
故答案为：C.
【分析】构建，可知是定义在R上的奇函数，根据导数可知则的单调性，结合单调性逐项分析判断.
9．【答案】A,C,D
【知识点】变量相关关系；回归分析；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】对于A：由题意可知：这条直线就是回归直线，它们的相关关系是一次函数，故A正确；
对于B：因为越接近于1，线性相关性越强，由题意可知此时线性相关性最强，
所以，故B错误；
对于C：由题意可知：残差，所以残差的平方和为0，故C正确，
对于D： 决定系数越接近于1，拟合效果越好， 此时 所有的散点都落在直线上，
说明拟合效果最好，所以，故D正确；
故答案为：ACD．
【分析】 根据题意结合统计中的相关概念逐项分析判断．
10．【答案】A,D
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式；简单计数与排列组合
【解析】【解答】对于A：3男3女排成一排共计有种不同的排法，故A正确；
对于B：男生甲排在两端有种排法，
剩余的人排列有种排法，
所以男生甲排在两端的排法总数有种，故B错误；
对于C：将甲乙捆绑成整体的排法有种，
将这个整体与剩余的4人排列的排法有种，
所以男生甲、乙相邻的排法总数有种，故C错误；
对于D： 男女生相间有：“男女男女男”或“女男女男女”，
所以男女生相间的排法总数为种，故D正确；
故答案为：AD.
【分析】对于A：根据全排列分析求解；对于B：先排男生甲，再排剩余4人，结合分步乘法计数原理运算求解；对于B：利用捆绑发运算求解；对于D： 男女生相间有：“男女男女男”或“女男女男女”，结合排列数运算求解.
11．【答案】B,D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】对A，根据正态分布知，数学考试成绩X的平均值为，A不符合题意；
对B，根据中标准差的意义，的值越大则高于90分低于100分的人数变小，所以成绩不低于100分的人数增多，B符合题意；
对于C，时，，
故这次考试分数高于120分的约有人，C不符合题意；
对D，由数学考试成绩X近似服从正态分布知，
由n次独立重复试验可知，从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】根据正态分布的定义，得到数学考试成绩X的平均值，可判定A不符合题意；根据标准差的意义，可判定B符合题意；当时，根据，可判定C不符合题意；根据，结合由n次独立重复试验可概率计算公式，可判定D符合题意.
12．【答案】B,C,D
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】因为，则，
令，解得或；令，解得；
则在，上单调递增，在上单调递减，
且，
令，解得或；令，解得或；
则的图象，
令，
由图象可知：，故A错误；
可知方程有3个不同的根，
可得，即，
整理得，
对照系数得，故C、D正确；
由 ，可得，
因为，则，满足 ，故B正确．
故答案为：BCD．
【分析】求导，利用导数判断原函数的单调性和极值，结合的图象可得，根据题意可得，结合系数关系可得，结合范围逐项分析判断.
13．【答案】
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】由题意可得： ，则，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程.
故答案为： .
【分析】求导，可得切点坐标和切线斜率，进而可求切线方程.
14．【答案】
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】因为 的展开式为，
令，可得，
所以的展开式中含项的系数为 .
故答案为： .
【分析】根据题意利用二项展开式的通项公式运算求解.
15．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；组合及组合数公式
【解析】【解答】由题意可知： 将4个1和2个0随机排成一行， 共有种排法，2个0相邻共有5种排法，
所以2个0不相邻的概率为.
故答案为： .
【分析】根据古典概型结合对立事件概率求法运算求解.
16．【答案】
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当时，，
令，解得；令，解得；
则在上单调递减，在上单调递增，
且，当x趋近于时，趋近于0；
当时，，
令，解得；令，解得；
则在上单调递减，在上单调递增，
且，当x趋近于时，趋近于，当x趋近于时，趋近于0；
综上所述，作出的图象，
令 ，可得或，
因为，无实根，则，有3个不同的实根，
所以 的取值范围是.
故答案为：.
【分析】利用导数分析的单调性和极值，并作出的图象，分析可得或，结合图象分析求解.
17．【答案】（1）解：在二项式的展开式中，
若选填①，只有第6项的二项式系数最大，则展开式中有11项，即；
若选填②，第4项与第8项的二项式系数相等，则，即；
若选填③，所有二项式系数的和为，则，即．故；
（2）解：由（1）知，于是中，取，得；
取，得
∴所求
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】(1) 对于①②③：根据二项式系数的性质运算求解；
(2)由(1)可得 ，利用赋值法，令，运算求解.
18．【答案】（1）解：零假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关．
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关．
（2）解：设“长时间使用电子产品的学生”，“非长时间使用电子产品的学生”，
“任意调查一人，此人患近视”，
则，，，，
根据全概率公式有：
，
所以.
【知识点】独立性检验的应用；全概率公式；2×2列联表
【解析】【分析】 (1) 零假设，根据题意求 ，并与临界值对比分析；
(2)设“长时间使用电子产品的学生”，“非长时间使用电子产品的学生”，“任意调查一人，此人患近视”，根据题意利用全概率公式运算求解.
19．【答案】（1）解：函数的导函数为，
由题意得，解得，
∴.
（2）解：由（1）得，
当时，由，得或；
由，得，
函数在，上单调递增，在上单调递减，
∴函数在处取得极大值，在处取极小值，
∴，，，，
∴函数在区间上的最小值为－2，最大值为1.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1) 求导，结合导数的几何意义列式求解；
(2) 由（1）可得 ， ，利用导数判断单调性和最值.
20．【答案】（1）解：由散点图可知，散点分布在一条对数型曲线附近，所以选择回归方程更适合.
（2）解：令，则，
因为，，
所以，
又因为，，所以，
所以与的线性回归方程为，
故关于的回归方程为.
令，代入回归方程可得（千件）
所以预测观看人次为万人时的销售量约为件.
【知识点】线性回归方程；回归分析；可线性化的回归分析
【解析】【分析】 (1) 根据散点图分析判断即可；
(2) 令 ，将非线性回归方程转化为线性回归方程，可得，结合题中数据和公式解得 ，并代入运算求解.
21．【答案】（1）解：记“甲、乙两家公司共答对2道题” 的事件为，它是甲乙各答对1道题的事件、甲答对2题乙没答对题的事件和，它们互斥，
则有，
所以甲、乙两家公司共答对2道题目的概率是.
（2）解：设甲公司答对题数为，则的取值分别为，
，
则的分布列为：
1 2 3
期望，方差.
（3）解：设乙公司答对题数为，则的取值分别为，
，
，
则的分布列为：
0 1 2 3
期望，
方差，
显然，
所以甲公司竞标成功的可能性更大.
【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】 (1)记“甲、乙两家公司共答对2道题” 的事件为，它是甲乙各答对1道题的事件、甲答对2题乙没答对题的事件和，利用互斥事件概率和公式运算求解；
(2) 由题意可知： 的取值分别为， 结合超几何分布求分布列、 数学期望和方差 .
22．【答案】（1）解：由题可知的定义域是，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：因为函数有两个相异零点，，又由于，
故不妨设，且有，，
∴，
要证
，
令，则，所以只要证明，时恒成立，
令，，
，由于已知，
∴恒成立，所以在递增，
∴，
所以时，恒成立，即恒成立，从而证明.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1) 求导，分 和 两种情况讨论，利用导数判断原函数单调性；
(2)不妨设， ，由 ，，为两个相异零点可得 ， ，分析法可知 等价于 ， 构造 ，， ，应用导数研究其性质有，结论即得证.
1 / 1
